常用逻辑用语习题及答案

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常用逻辑用语习题及答案

1．(2011·山东高考)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( )

A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3

B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3

C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3

D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3

【解析】命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，将条件与结论进行否定．

∴否命题是：若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3.

)

【答案】A

2．(2011·福建高考)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的( )

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

【解析】若a＝2，则(a－1)(a－2)＝0，

但(a－1)(a－2)＝0，有a＝1或a＝2，即(a－1)(a－2)＝0 a＝2.

∴“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件．

【答案】A

—

3.(2011·湖北高考)若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ(a，b)＝a2＋b2－a－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的( )

A．必要而不充分的条件B．充分而不必要的条件

C．充要条件D．既不充分也不必要的条件

【解析】若φ(a，b)＝0，则a2＋b2＝a＋b，

∴a＋b≥0且a2＋b2＝a2＋b2＋2ab，

因此ab ＝0且a ＋b ≥0.

∴a ≥0，b ≥0且ab ＝0，“a 与b ”互补． 则φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的充分条件．

!

显然a ≥0，b ≥0，且ab ＝0时，有a 2＋b 2＝(a ＋b )2，

∴φ(a ，b )＝a 2＋b 2－(a ＋b )＝a ＋b －(a ＋b )＝0，

故φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的充要条件．

4.设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2

＜0，其中a ＞0，命题q ：实数x 满足⎩

⎪⎨⎪⎧x 2

－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0.

(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若¬p 是¬q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．

【尝试解答】 (1)由x 2－4ax ＋3a 2＜0得(x －3a )(x －a )＜0，又a ＞0，所以a ＜x ＜3a . 当a ＝1时，1＜x ＜3，

)

又⎩

⎪⎨⎪⎧x 2

－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0.得2＜x ≤3.

由p ∧q 为真．

∴x 满足⎩⎪⎨⎪⎧2＜x ≤3，1＜x ＜3.

即2＜x ＜3.

所以实数x 的取值范围是2＜x ＜3. (2)由¬p 是¬q 的充分不必要条件，知

q 是p 的充分不必要条件，

由A ＝{x |a ＜x ＜3a ，a ＞0}，B ＝{x |2＜x ≤3}， ∴B A .

*

因此a ≤2且3＜3a .

所以实数a 的取值范围是1＜a ≤2.

评析：．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．

提醒：列关于参数的不等式时要考查端点值是否能取到，常用的方法是代入端点值验证是否符合题意．

5.已知条件p ：A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，条件q ：B ＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0}．若

p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．

【解】 化简，B ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}， ①当a ≥1

3时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}；

②当a ＜1

3

时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}．

!

因为p 是q 的充分条件，

所以A ⊆B ，于是有

⎩⎪⎨⎪

⎧a ≥13

，a 2

＋1≤3a ＋1，2a ≥2，

解得1≤a ≤3. 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜13

，a 2

＋1≤2，2a ≥3a ＋1，

解得a ＝－1.

故a 的取值范围是{a |1≤a ≤3或a ＝－1}．

6.(2011·山东高考)对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”是“y ＝f (x )是奇函数”的( )

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 ￥

【解析】 由y ＝f (x )是奇函数⇒y ＝|f (x )|是偶函数；但y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对

称y ＝f (x )为奇函数．

∴“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”是“y ＝f (x )是奇函数”的必要不充分条件，选B.

7．(2011·陕西高考)设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是( ) A ．若a ≠－b ，则|a |≠|b | B ．若a ＝－b ，则|a |≠|b | C ．若|a |≠|b |，则a ≠－b D ．若|a |＝|b |，则a ＝－b

8．(2011·浙江高考)设a ，b 为实数，则“0＜ab ＜1”是“b ＜1

a

”的( )

*

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件 【解析】 ∵0＜ab ＜1，∴a ，b 同号，且ab ＜1. ∴当a ＞0，b ＞0时，b ＜1a ；当a ＜0，b ＜0时，b ＞1

a

.

∴“0＜ab ＜1”是“b ＜1

a

”的不充分条件．

而取b ＝－1，a ＝1，显然有b ＜1

a

，但不能推出0＜ab ＜1，

∴“0＜ab ＜1”是“b ＜1

a

”的不必要条件

9．(2011·辽宁高考)已知命题p ：∃n ∈N ，2n ＞1 000，则¬p 为( )

（

A ．∀n ∈N ，2n ≤1 000

B ．∀n ∈N ，2n ＞1 000

C ．∃n ∈N ，2n ≤1 000

D ．∃n ∈N ，2n ＜1 000

【解析】 由于特称命题的否定是全称命题，因而綈p 为∀n ∈N ，2n ≤1 000. 【答案】 A

10．(2012·郑州一中月考)已知命题p ：“∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是( )

A ．(0，1)

B ．(0，2)

C ．(2，3)

D ．(2，4)