3.1不等式的基本性质(1)(人教A版选修4-5)
高中数学·选修4-5(人教版)第一讲几何平均不等式及绝对值三角不等式PPT课件
9
3 .
归纳升华
1．利用三个正数的算术—几何平均不等式常处理下
面两个类型的最值： (1)求函数 y＝ax2＋bx的最小值，其中 ax2＞0，bx＞0.
则
y
＝
ax2
＋
b x
＝
ax2
＋
b 2x
＋
b 2x
≥
3
3
ax2·2bx·2bx
＝
3 2
3 2ab2.当且仅当 ax2＝2bx，即 x＝ 3 2ba时，等号成立．
(1)如果 a，b，c∈R，那么a＋3b＋c≥3 abc.(
)
(2)如果 a，b，c∈R＋，那么a＋3b＋c≥3 abc，当且仅
当 a＝b 或 b＝c 时，等号成立．( )
(3)如果 a，b，c∈R＋，那么 abc≤a＋3b＋c3，当且 仅当 a＝b＝c 时，等号成立．( )
(4)如果 a1，a2，a3，…，an 都是实数．那么 a1＋a2
n
＋…＋an≥n· a1a2…an.( )
解析：(1)根据定理 3，只有在 a，b，c 都是正数才成
立．其他情况不一定成立，如 a＝1，b＝－1，c＝－3，
a＋b＋c
3
3
3 ＝－1， abc＝ 3，故(1)不正确．
(2)由定理 3，知等号成立的条件是 a＝b＝c.故(2)不正
确．
(3)由定理 3 知(3)正确． (4)必须 a1，a2，…，an 都是正数，命题才成立． 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式 1．1.3 三个正数的算术—
几何平均不等式
[知识提炼·梳理] 1．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)如果 a1，a2，a3∈R＋，则a1＋a32＋a3叫做这 3 个正 数的算术平均数，3 a1a2a3叫做这三个正数的几何平均数．
1.1.1 不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)
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求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个 重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行 运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性
质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一
定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．
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α＋β α－β π π π π 5．“已知－ ≤α≤ ，－ ≤β≤ ”，求 ， 的取值 2 2 2 2 2 2 范围．
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(5)如果a>b>0，那么an ＞ bn(n∈N，n≥2)．
＞ n b(n∈N，n≥2)． (6)如果a>b>0，那么 a 3．对上述不等式的理解
n
使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条
件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如： (1)等式两边同乘以一个数仍为等式，但不等式两边同 乘以同一个数c(或代数式)结果有三种：①c＞0时得 同向不 等式；②c＝0时得 等式 ；③c<0时得 异向 不等式．
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1．不等式的基本性质
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1．实数大小的比较
(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的 左右位置关系来规定实数的 大小 ．在数轴上，右边的数总 比左边的数 大 ． (2)如果a－b＞0，则 a＞b ；如果a－b＝0，则 a＝b ；
如果a－b＜0，则 a＜b .
(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的 差a －b的符号 ；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们 的值的大小，而这又归结为判断它们的 差的符号 ．
π π 解：∵－ ≤α≤ ， 2 2 π π － ≤β≤ ， 2 2 π α＋β π ∴－π≤α＋β≤π.∴－ ≤ ≤ . 2 2 2 π π π π 又∵－ ≤α≤ ，－ ≤－β≤ ， 2 2 2 2 π α－β π ∴－π≤α－β≤π.∴－ ≤ ≤ . 2 2 2 α＋β α－β π π ∴ 、 的取值范围均为[－ ， ]． 2 2 2 2
2019-2020人教A版数学选修4-5第1讲 1 1.不等式的基本性质课件PPT
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1．若例 1 中改为“A＝ 较 A 与 B 的大小．
yx22＋＋11，B＝yx，其中 x＞y＞0”，试比
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[解] 因为 A2－B2＝yx22＋ ＋11－yx22 ＝x2y2＋x21x－2＋y21x2＋1＝x2x2x－2＋y21＝xx－2yx2＋x＋1y， 且 x＞y＞0，所以 x－y＞0，x＋y＞0，x2＞0，x2＋1＞1， 所以xx－2yx2＋x＋1y＞0. 所以 A2＞B2，又 A＞0，B＞0，故有 A＞B.
阅读教材 P3～P5 第一行，完成下列问题．
性质 1 对称性
a>b⇔b<a
性质 2 传递性
如果 a>b，b>c，那么__a_>_c___
性质 3
可加性 推论
如果 a>b，那么 a＋c>b＋c 如果 a>b，c>d，那么__a_＋__c__>b＋d
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教材整理 2 不等式的基本性质
性质 4 性质 5
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已知数轴上两点 A，B 对应的实数分别为 x，y，若 x＜y＜0，则
|x|与|y|对应的点 P，Q 的位置关系是( )
A．P 在 Q 的左边
B．P 在 Q 的右边
C．P，Q 两点重合
D．不能确定
B [∵x＜y＜0，∴|x|＞|y|＞0.故 P 在 Q 的右边．]
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教材整理 2 不等式的基本性质
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利用性质证明简单不等式 【例 3】 已知 c>a>b>0，求证：c－a a>c－b b. [精彩点拨] 构造分母关系 → 构造分子关系 → 证明不等式
1.1.1.不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)
a 3 b 2 又∵ y＝ ＝－1，x＝ ＝－1， －3 －2 a b ∴y ＝x，因此⑤不正确． 由不等式的性质可推出②④恒成立． 即恒成立的不等式有②④.
c d 2．已知三个不等式：ab＞0，bc－ad＞0，a－b＞0(其中 a，b， c，d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个 不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题有几个？
[解析]
1 1 c c 由 a>b>1， 得， <b， >b； c<0 幂函数 y＝xc(c<0) a a
是减函数， 所以 ac<bc； 因为 a－c>b－c， 所以 logb(a－c)>loga(a －c)>loga(b－c)，①②③均正确．
[答案] D
点击下图片 进入:
的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化 出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”， 即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．
[通一类] 3．若已知二次函数y＝f(x)的图象过原点，且1≤f(－1)≤2,
3≤f(1)≤4.求f(－2)的范围．
解：法一：∵f(x)过原点，∴可设 f(x)＝ax2＋bx.
m＋n＝4， ∴ m－n＝－2. m＝1， ∴ n＝3.
∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)． ∵1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4， ∴6≤f(－2)≤10.
本课时考点主要考查不等式的性质，2012年湖南高
考将不等式的性质及函数的单调性结合命题，是高考命题
b(n∈N，n≥2).
[小问题· 大思维]
1．若 x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y，②a＋x＞b＋y， a b ③ax＞by，④x－b＞y－a，⑤y＞x这五个不等式中， 恒成立的不等式有哪些？
人教版数学高二A版选修4-5学业分层测评1 不等式的基本性质
学业分层测评(一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设a ，b ，c ，d ∈R ，且a >b ，c >d ，则下列结论正确的是( ) A ．a ＋c >b ＋d B ．a －c >b －d C ．ac >bdD.a d >b c【解析】 ∵a >b ，c >d ，∴a ＋c >b ＋d . 【答案】 A2．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( ) A ．b －a >0 B ．a 3＋b 3<0 C ．b ＋a >0D.a 2－b 2<0【解析】 a －|b |>0⇒|b |<a ⇒－a <b <a ⇒a ＋b >0.故选C. 【答案】 C3．若a <b <0，则下列不等式不能成立的是( ) A.1a >1bB ．2a >2bC ．|a |>|b |>0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a>⎝ ⎛⎭⎪⎫12b【解析】 考查不等式的基本性质及其应用．取a ＝－2，b ＝－1验证即可求解．【答案】 B4．已知a ＜0，－1＜b ＜0，那么( ) A ．a ＞ab ＞ab 2 B ．ab 2＞ab ＞a C ．ab ＞a ＞ab 2D.ab ＞ab 2＞a【解析】 ab 2－ab ＝ab (b －1)，∵a＜0，－1＜b＜0，∴b－1＜0，ab＞0，∴ab2－ab＜0，即ab2＜ab；又ab2－a＝a(b2－1)，∵－1＜b＜0，∴b2＜1，即b2－1＜0.又a＜0，∴ab2－a＞0，即ab2＞a.故ab＞ab2＞a.【答案】 D5．设a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜1a”的()【导学号：32750004】A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】∵0＜ab＜1，当a＜0且b＜0时可推得b＞1a，所以“0＜ab＜1”不是“b＜1a”的充分条件，①反过来，若b＜1a，当b＜0且a＞0时，有ab＜0，推不出“0＜ab＜1”，所以“0＜ab＜1”也不是“b＜1a”的必要条件，②由①②知，应选D.【答案】 D二、填空题6．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是f(x)________g(x)．【解析】f(x)－g(x)＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1＞0，∴f(x)＞g(x)．【答案】＞7．给出四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0.能得出1a<1b成立的有________．(填序号)【解析】1a<1b⇔1a－1b<0⇔b－aab<0，∴①②④可推出1a<1b成立．【答案】①②④8．已知α，β满足－1≤α＋β≤1,1≤α＋2β≤3，则α＋3β的取值范围是________．【解析】设α＋3β＝λ(α＋β)＋μ(α＋2β)，可解得λ＝－1，μ＝2，∴α＋3β＝－(α＋β)＋2(α＋2β)．又－1≤α＋β≤1,1≤α＋2β≤3，∴1≤α＋3β≤7.【答案】[1,7]三、解答题9．(1)已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：3ad＜3bc；(2)若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：e(a－c)2＞e(b－d)2.【证明】(1)∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.∴0＜－1c＜－1d.又a＞b＞0，∴－ad＞－bc＞0，∴3－ad＞3－bc，即－3ad＞－3bc.两边同乘以－1，得3ad＜3bc.(2)∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，∴(a－c)2＞(b－d)2＞0，∴1(a－c)2＜1(b－d)2.又∵e＜0，∴e(a－c)2＞e(b－d)2.10．设x，y为实数，且3≤xy2≤8,4≤x2y≤9，求x3y4的取值范围．【解】由4≤x2y≤9，得16≤x4y2≤81. ①又3≤xy2≤8，∴18≤1xy2≤13. ②由①×②得18×16≤x4y2·1xy2≤81×13，即2≤x3y4≤27，因此x3y4的取值范围是[2,27]．[能力提升]1．若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜1b或b＞1a”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】对于0＜ab＜1，如果a＞0，则b＞0，a＜1b成立，如果a＜0，则b＜0，b＞1a成立，因此“0＜ab＜1”是“a＜1b或b＞1a”的充分条件；反之，若a＝－1，b＝2，结论“a＜1b 或b＞1a”成立，但条件0＜ab＜1不成立，因此“0＜ab＜1”不是“a＜1b或b＞1a”的必要条件，即“0＜ab＜1”是“a＜1b或b＞1a”的充分而不必要条件．【答案】 A2．设a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论：①ca＞cb；②ac＜b c；③log b(a－c)＞log a(b－c)．其中所有的正确结论的序号是()A．①B．①②C．②③ D.①②③【解析】由a＞b＞1，c＜0，得1a＜1b，ca＞cb；幂函数y＝x c(c＜0)是减函数，所以a c＜b c；因为a－c＞b－c，所以log b(a－c)＞log a(a－c)＞log a(b－c)，①②③均正确．【答案】 D3．给出下列条件：①1＜a＜b；②0＜a＜b＜1；③0＜a＜1＜b.其中能推出log b 1b＜log a1b＜log a b成立的条件的序号是________．(填所有可能的条件的序号) 【解析】∵log b1b＝－1，若1＜a＜b，则1b＜1a＜1＜b，∴log a1b＜log a1a＝－1，故条件①不可以；若0＜a＜b＜1，则b＜1＜1b＜1a，∴log a b ＞log a 1b ＞log a 1a ＝－1＝log b 1b ， 故条件②可以；若0＜a ＜1＜b ，则0＜1b ＜1， ∴log a 1b ＞0，log a b ＜0，条件③不可以．故应填②. 【答案】 ②4．已知f (x )＝ax 2＋c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围.【导学号：32750005】【解】 由－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，得 ⎩⎪⎨⎪⎧－4≤a ＋c ≤－1，－1≤4a ＋c ≤5.设u ＝a ＋c ，v ＝4a ＋c ，则有a ＝v －u 3，c ＝4u －v 3， ∴f (3)＝9a ＋c ＝－53u ＋83v . 又⎩⎪⎨⎪⎧－4≤u ≤－1，－1≤v ≤5，∴⎩⎪⎨⎪⎧53≤－53u ≤203，－83≤83v ≤403，∴－1≤－53u ＋83v ≤20， 即－1≤f (3)≤20.∴f (3)的取值范围为[－1,20].。
1.1.1 不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)
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1 1 4．已知a，b，x，y都是正数，且a>b，x>y， x y 求证： > . x＋a y＋b 证明：因为a，b，x，y都是正数，
1 1 x y 且a>b.x>y，所以a>b， a b 所以x<y. a b 故x＋1<y＋1， x＋a y＋b x y 即 x < y .所以 > . x＋a y＋b
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2．不等式的基本性质
由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些 基本性质： (1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即 a＞
b⇔b＜a . (2)如果a＞b，b＞c，那么 a＞c .即a＞b，b＞c⇒ a＞c .
(3)如果a＞b，那么a＋c> b＋c . (4)如果a＞b，c>0，那么ac > bc；如果a>b，c<0，那么 ac < bc.
n n
n
a>
n
b (n＝2k＋
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[例 1]
1 1 4 已知 x，y 均为正数，设 m＝ ＋ ，n＝ ，试比 x y x＋y
较 m 和 n 的大小．
[思路点拨]
变形 转化为因式 与0比较 两式作差 ――→ ―――→ 乘积形式
判断正负，得出大小
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[解]
x＋y 1 1 4 4 m－n＝ x ＋ y － ＝ xy － ＝ x＋y x＋y
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(2)a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相 加，但不可以 相减 ；而a>b>0，c>d>0⇒ac>bd，即已知的两 个不等式同向且两边为 正值 时，可以相乘，但不可以 相除 ． (3)性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为 正值 ， 并且n∈N，n≥2，否则结论不成立．而当n取正奇数时可放宽 条件，a>b⇒a >b (n＝2k＋1，k∈N)，a>b⇒ 1，k∈N＋)．
3.1不等式的基本性质(1)(人教A版选修4-5)
练习
比较x2+y2与xy+x+y-1的大小．
【解题回顾】用作差比较法比较两个实数的大小，步骤 是：作差——变形——判断符号．常见的变形 手段是通分、因式分解或配方等；变形的结果 是常数、若干个因式的积或完全平方式等.
• 例2、比较
练习题
• 1. 已知 x≠0 , 比较 (x2 +2)2 与 x4+x2 +4的大小.
用数学式子表示为:
a b a b 0; a b a b 0; a b a b 0.
a b a b 0; a b a b 0; a b a b 0.
上式中的左边部分反映的是实数的大小顺 序，而右边部分则是实数的运算性质，合起来 就成为实数的大小顺序与运算性质之间的关系。 这一性质不仅可以用来比较两个实数的大小， 而且是推导不等式的性质、不等式的证明、解 不等式的主要依据。
第一讲 不等式和 绝对值不等式
一 不等式
1
不等式的基本性质
(第一课时)
• 观察以下四个不等式：
• • • •
a+2 > a+1----------------(1) a+3>3a-------------------(2) 3x+1<2x+6--------------(3) x<a------------------------(4)
作业
一、课本 P10 2
二、补充
1．比较 ( x 5)( x 7)与( x 6) 的大小．
2
2．如果x 0,比较 ( x 1) 2 与( x 1) 2 的大小． 3．已知 a 0，比较 (a 2 2a 1)( a 2 2a 1)
1.1.1 不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)
6a2 2．在数轴的正半轴上，A 点对应的实数为 ，B 点对应的 9＋a4 实数为 1， 试判别 A 点在 B 点的左边， 还是在 B 点的右边？
－a2－32 6a2 解：因为 ≤0， 4－1＝ 4 9＋a 9＋a 6a2 所以 ≤1. 9＋a4 当且仅当 a＝± 3时取“＝”， 所以当 a≠± 3时，A 点在 B 点左边，当 a＝± 3时，A 点 与 B 点重合．
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∴(a－c)(b－d)>0. eb－a＋c－d e e ∵e<0，∴ >0.即 > . a－cb－d a－c b－d
c<d<0⇒－c>－d>0 ⇒ 法二： a>b>0
1 1 a－c>b－d>0⇒ < a－c b－d⇒ e ＞ e . a－c b－d e<0
“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等．
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1．已知a，b∈R，比较a4＋b4与a3b＋ab3的大小．
解：因为(a4＋b4)－(a3b＋ab3) ＝a3(a－b)＋b3(b－a) ＝(a－b)(a3－b3) ＝(a－b)2(a2＋ab＋b2) b 3 ＝(a－b)2[(a＋ )2＋ b2]≥0 2 4 (当且仅当a＝b时，取“＝”号) 所以a4＋b4≥a3b＋ab3.
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2．不等式的基本性质
由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些 基本性质： (1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即 a＞
b⇔b＜a . (2)如果a＞b，b＞c，那么 a＞c .即a＞b，b＞c⇒ a＞c .
(3)如果a＞b，那么a＋c> b＋c . (4)如果a＞b，c>0，那么ac > bc；如果a>b，c<0，那么 ac < bc.
第一讲 不等式和绝对值不等式 知识归纳 课件(人教A选修4-5)
对于不等式恒成立求参数范围问题，常见类型及其解法
如下：
(1)分离参数法：
运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a，f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立
中的参数范围问题．
(2)更换主元法：
不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常 困难或不可能时，可转换思维角度，将主元与参数互换，
常可得到简捷的解法．
5 ②当－ ≤x≤2 时， 2 3 原不等式变形为 2－x－2x－5>2x，解得 x<－ . 5 5 3 ∴解集为{x|－ ≤x<－ }． 2 5 ③当 x>2 时，原不等式变形为 x－2－2x－5>2x， 7 解得 x<－ ，∴原不等式无解． 3 3 综上可得，原不等式的解集为{x|x<－ }. 5
2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.
答案：5
3．(2011· 陕西高考)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R 恒成立，则a的取值范围是________．
解析：令 f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝ －2x＋1x≤－1， 3－1<x<2， 2x－1x≥2， ∴f(x)≥3. ∵|x＋1|＋|x－2|≥a 对任意 x∈R 恒成立，∴a≤3.
[解析]
x＋3z 由 x－2y＋3z＝0 得 y＝ ， 2
2 2 y2 x ＋9z ＋6xz 6xz＋6xz 则xz＝ ≥ ＝3， 4xz 4xz
当且仅当 x＝3z 时取“＝”．
[答案]
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 1 1 [例 3] 设 a， c 为正实数， b， 求证：3＋ 3＋ 3＋abc≥2 3. a b c 1 [证明]因为 a，b，c 为正实数，由平均不等式可得 3＋ a
2019-2020学年人教版高中数学选修4-5教材用书：第一讲 不等式和绝对值不等式 一 不等式 1.不等式的基本性
1．不等式的基本性质1．实数大小的比较(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小．在数轴上，右边的数总比左边的数大．(2)如果a－b＞0，则a＞b；如果a－b＝0，则a＝b；如果a－b＜0，则a＜b.(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差与0的大小；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差与0的大小．2．不等式的基本性质由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质：(1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即a＞b⇔b＜a.(2)如果a＞b，b＞c，那么a＞c.即a＞b，b＞c⇒a>c.(3)如果a＞b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a＞b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b>0，那么a n>b n(n∈N，n≥2)．(6)如果a>b>0n∈N，n≥2)．3．对上述不等式的理解使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：(1)等式两边同乘一个数仍为等式，但不等式两边同乘同一个数c(或代数式)结果有三种：①c＞0时得同向不等式；②c＝0时得等式；③c<0时得异向不等式．(2)a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相加，但不可以相减；而a>b>0，c>d>0⇒ac>bd，即已知的两个不等式同向且两边为正值时，可以相乘，但不可以相除．(3)性质(5)(6)成立的条件是已知不等式两边均为正值，并且n∈N，n≥2，否则结论不成立．而当n取正奇数时可放宽条件，a>b⇒a n>b n(n＝2k＋1，k∈N)，a>b⇒na>nb(n＝2k＋1，k∈N*)．已知x，y均为正数，设m＝x ＋y，n＝x＋y，试比较m和n的大小．两式作差――→变形 转化为因式乘积形式――→与0比较判断正负，得出大小 m －n ＝1x ＋1y －4x ＋y ＝x ＋y xy －4x ＋y ＝＋－4xy＋＝－＋，∵x ，y 均为正数，∴x >0，y >0，xy >0，x ＋y >0，(x －y )2≥0. ∴m －n ≥0，即m ≥n (当x ＝y 时，等号成立)．比较两个数(式子)的大小，一般用作差法，其步骤是：作差—变形—判断差的符号—结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等．1．已知a ，b ∈R ，比较a 4＋b 4与a 3b ＋ab 3的大小． 解：因为(a 4＋b 4)－(a 3b ＋ab 3) ＝a 3(a －b )＋b 3(b －a ) ＝(a －b )(a 3－b 3) ＝(a －b )2(a 2＋ab ＋b 2) ＝(a －b )2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋34b2≥0. 当且仅当a ＝b 时，等号成立， 所以a 4＋b 4≥a 3b ＋ab 3.2．在数轴的正半轴上，A 点对应的实数为6a29＋a4，B 点对应的实数为1，试判断A 点在B 点的左边，还是在B 点的右边？解：因为6a29＋a4－1＝－－9＋a4≤0，所以6a29＋a4≤1. 当且仅当a ＝±3时，等号成立，所以当a ≠±3时，A 点在B 点左边，当a ＝±3时，A 点与B 点重合.已知a >b >0，c <d <0，e <0.求证：a －c >b －d .可以作差比较，也可用不等式的性质直接证明． 法一：e a －c －eb －d＝－d －a ＋－－＝－a ＋c －－－，∵a >b >0，c <d <0，∴b －a <0，c －d <0.∴b －a ＋c －d <0.又∵a >0，c <0，∴a －c >0.同理b －d >0， ∴(a －c )(b －d )>0. ∵e <0，∴－a ＋c －－－>0，即e a －c >eb －d . 法二：⎭⎪⎬⎪⎫c<d<0⇒－c>－d>0a>b>0⇒⎭⎪⎬⎪⎫a －c>b －d>0⇒1a －c <1b －d e<0⇒e a －c ＞e b －d.进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．3．已知x ≥1，y ≥1，求证：x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y . 证明：左边－右边＝(y －y 2)x 2＋(y 2－1)x －y ＋1 ＝(1－y )＝(1－y )(xy －1)(x －1)．因为x ≥1，y ≥1，所以1－y ≤0，xy －1≥0，x －1≥0. 所以x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y .4．已知a ，b ，x ，y 都是正数，且1a >1b ，x >y ，求证：x x ＋a >yy ＋b .证明：因为a ，b ，x ，y 都是正数，且1a >1b ，x >y ，所以x a >y b ，所以a x <by .故a x ＋1<b y ＋1，即x ＋a x <y ＋b y .所以x x ＋a >yy ＋b.(1)已知－π2≤α≤β≤2，求α－β的取值范围．(2)已知－1≤a ＋b ≤1,1≤a －2b ≤3，求a ＋3b 的取值范围． 求代数式的范围应充分利用不等式的基本性质． (1)∵－π2≤α≤β≤π2， ∴－π2≤α≤π2，－π2≤－β≤π2，且α≤β.∴－π≤α－β≤π且α－β≤0.∴－π≤α－β≤0.即α－β的取值范围为．(2)设a ＋3b ＝λ1(a ＋b )＋λ2(a －2b )＝(λ1＋λ2)a ＋(λ1－2λ2)b .解得λ1＝53，λ2＝－23.∴－53≤53(a ＋b )≤53，－2≤－23(a －2b )≤－23.∴－113≤a ＋3b ≤1.即a ＋3b 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－113，1.求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．5．已知1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1，求2α－β的取值范围． 解：设2α－β＝m (α＋β)＋n (α－β)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，n ＝32.又∵1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧12≤12α＋β，－3≤32α－β－32⇒－52≤2α－β≤12.∴2α－β的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12.6．三个正数a ，b ，c 满足a ≤b ＋c ≤2a ，b ≤a ＋c ≤2b ，求ba 的取值范围．解：两个不等式同时除以a ，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤b a ＋ca≤2，①b a ≤1＋c a ≤2·ba ，②将②×(－1)，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤b a ＋ca≤2，－2·b a ≤－1－c a ≤－ba，两式相加，得1－2b a ≤b a －1≤2－b a ，解得23≤b a ≤32.即b a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，32. 课时跟踪检测(一)1．下列命题中不．正确的是( ) A ．若3a>3b ，则a >b B ．若a >b ，c >d ，则a －d >b －c C ．若a >b >0，c >d >0，则a d >bcD ．若a >b >0，ac >bd ，则c >d解析：选D 当a >b >0，ac >ad 时，c ，d 的大小关系不确定． 2．已知a >b >c ，则下列不等式正确的是( ) A ．ac >bc B ．ac 2>bc 2C ．b (a －b )>c (a －b )D ．|ac |>|bc |解析：选C a >b >c ⇒a －b >0⇒(a －b )b >(a －b )c . 3．如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( ) A.1a <1b B ．ab <b 2C ．－ab <－a 2D ．－1a <－1b解析：选D 对于A 项，由a <b <0，得b －a >0，ab >0，故1a －1b ＝b －a ab >0，1a >1b ，故A 项错误；对于B 项，由a <b <0，得b (a －b )>0，ab >b 2，故B 项错误；对于C 项，由a <b <0，得a (a －b )>0，a 2>ab ，即－ab >－a 2，故C 项错误；对于D 项，由a <b <0，得a －b <0，ab >0，故－1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1b ＝a －b ab <0，－1a <－1b成立，故D 项正确．4．若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋bc ＜0；③a －c ＞b －d ；④a (d －c )＞b (d－c )中，成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选 C ∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0，∴ad ＜bc ，故①不成立．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0，∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0，∴a (－c )＞(－b )(－d )，∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd ＜0，故②成立．∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )，a －c ＞b －d ，故③成立．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，故④成立．成立的个数为3.5．给出四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0. 能得出1a ＜1b成立的有________(填序号)．解析：由1a <1b ，得1a －1b <0，b －a ab <0，故①②④可推得1a <1b成立．答案：①②④6．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >c b ；②a c <b c；③log b (a －c )>log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是________．解析：由a >b >1，c <0，得1a <1b ，c a >c b ；幂函数y ＝x c (c <0)是减函数，所以a c <b c；因为a －c >b －c ，所以log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，①②③均正确．答案：①②③7．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________． 解析：设z ＝2x －3y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，即2x －3y ＝(m ＋n )x ＋(m －n )y .∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝52.∴2x －3y ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )．∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3，∴－2<－12(x ＋y )<12，5<52(x －y )<152.由不等式同向可加性，得3<－12(x ＋y )＋52(x －y )<8，即3<z <8.答案：(3,8)8．若a >0，b >0，求证：b2a ＋a2b≥a ＋b . 证明：∵b2a ＋a2b －a －b ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b a ＝－＋ab，(a －b )2≥0恒成立，且已知a ＞0，b ＞0， ∴a ＋b >0，ab >0.∴－＋ab≥0.∴b2a ＋a2b≥a ＋b . 9．已知－6<a <8,2<b <3，分别求2a ＋b ，a －b ，ab 的取值范围．解：∵－6<a <8，∴－12<2a <16. 又2<b <3，∴－10<2a ＋b <19. ∵2<b <3，∴－3<－b <－2. 又∵－6<a <8，∴－9<a －b <6. ∵2<b <3，∴13<1b <12.①当0≤a <8时，0≤ab <4；②当－6＜a ＜0时，－3＜ab＜0.综合①②得－3<ab<4.∴2a ＋b ，a －b ，ab的取值范围分别为(－10,19)，(－9,6)，(－3,4)．10．已知a >0，a ≠1. (1)比较下列各式大小．①a 2＋1与a ＋a ；②a 3＋1与a 2＋a ； ③a 5＋1与a 3＋a 2.(2)探讨在m ，n ∈N ＋条件下，am ＋n＋1与a m ＋a n的大小关系，并加以证明．解：(1)由题意，知a >0，a ≠1，①a 2＋1－(a ＋a )＝a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0. ∴a 2＋1>a ＋a .②a 3＋1－(a 2＋a )＝a 2(a －1)－(a －1) ＝(a ＋1)(a －1)2＞0，∴a 3＋1>a 2＋a ， ③a 5＋1－(a 3＋a 2)＝a 3(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 2－1)(a 3－1)． 当a >1时，a 3>1，a 2>1，∴(a 2－1)(a 3－1)>0. 当0<a <1时，0<a 3<1,0<a 2<1， ∴(a 2－1)(a 3－1)>0，即a 5＋1>a 3＋a 2. (2)根据(1)可得am ＋n＋1＞a m ＋a n.证明如下：a m ＋n ＋1－(a m ＋a n )＝a m (a n －1)＋(1－a n )＝(a m －1)(a n －1)．当a >1时，a m>1，a n>1，∴(a m－1)(a n－1)>0. 当0<a <1时，0<a m<1,0<a n<1， ∴(a m－1)(a n－1)>0.综上可知(a m－1)(a n－1)>0，即a m ＋n＋1>a m ＋a n.。
人教A版高中数学选修4-5第一讲二绝对值不等式上课课件
3x 2 y 3a 3b 3 x a 2 y b
2 xa 3 yb
3 2 5
所以：3x 2 y 3a 2b 5 .
例2
两个施工队分别被安排在公路沿线的两 个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑 的第10km和第20km处。现要在公路沿线建两 个施工队的共同临时生活区，每个施工队每 天在生活区和施工区地点之间往返一次。要 使两个施工队每天往返的路程之和最小，生 活区应该建在何处？
分析
本题是绝对值不等式的应用，第一把 实际问题划归为数学问题，即归结为求解 形如y x a x b 的函数的极值问题， 这类问题借助于绝对值三角不等式解答。
解：设生活区建于公路路碑的第xkm处，两个施 工队每天往返的路程之和为S(x)km,
则S x 2 x 10 x 20 .
因 ：x 10 x 20 x 10 20 x 10, 且 x 1020 x 0 取等 。
因此：a b a b .
其几何意义是三角形的两边之和大于 第三边（如下图）。
x
a+b b
由此可称 定理1为绝 对值三角
不等式
a
y
0
(2)当向量a,b共线时，分以下两种情况： 如果向量a,b方向相同时，a b a b ; 如果向量a,b方向相反时，a b a b .
一般地，我们有 a b a b .
.. . . x . . .. x
0 a b a+b
a+b b a 0
图1
(2)当ab<0时，又可以分a>0,b<0和a<0,b>0两 中情况.
如果a>0,b>0时，如图2-1，a b a b .
.. b a+b
【人教版】高中数学选修4-5第1讲不等式和绝对值不等式课堂练习
A．(－∞，lg 6]
B．(－∞，3lg 2]
C．lg 6，＋∞)
D．3lg 2，＋∞)
解析：因为 lg x＋lg y＋lg z＝lg(xyz)，
而 xyz≤x＋3y＋z3＝23， 所以 lg x＋lg y＋lg z≤lg 23＝3lg 2，当且仅当 x＝y＝z＝2 时，取等号． 答案：B 4．已知 x＋2y＋3z＝6，则 2x＋4y＋8z 的最小值为( )
(3)当 a＝1，b＝－2，k＝2 时，显然命题不成立．所以是假命题．
(4)取 a＝2，b＝0，c＝－3 满足 a＞b，b＞c 的条件，但是 a－b＝2＜b－c
＝3.所以是假命题．
10．已知 a＞b＞0，比较ba与ba＋＋11的大小．
解：ab－ab＋＋11＝a（b＋b1（）b－＋b1（）a＋1）＝b（ab－＋b1）.
A．a－b＞0
B．a3＋b3＞0
C．a2－b2＜0
D．a＋b＜0
解析：当 b≥0 时，a＋b＜0，当 b＜0 时，a－b＜0，所以 a＋b＜0，
故选 D.
答案：D
4．(2015·浙江卷)设 a，b 是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：y＝3－3x＋1x≤3－2 3，
当且仅当 3x＝1x，即 x＝ 33时，等号成立．
所以 ymax＝3－2 3. 答案：3－2 3 7．已知函数 f(x)＝2x，点 P(a，b)在函数 y＝1x(x＞0)的图象上，那么 f(a)·f(b) 的最小值是________． 解析：点 P(a，b)在函数 y＝1x(x＞0)的图象上，所以有 ab＝1. 因为 a＞0，b＞0，所以 f(a)·f(b)＝2a·2b＝2a＋b≥22 ab＝4， 当且仅当 a＝b＝1 时，等号成立． 答案：4 8．当 x＞0 时，f(x)＝x22＋x 1的值域是________． 解析：因为 x＞0，所以 x＋1x≥2，所以 0＜x＋1 1x≤12. 所以 0＜x＋2 1x≤1. 又因为 f(x)＝x22＋x 1＝x＋2 1x， 所以 0＜f(x)≤1，当且仅当 x＝1 时，等号成立．故 f(x)的值域是(0，1]． 答案：(0，1] 三、解答题 9．已知 x＜0，求 2x＋1x的最大值． 解：由 x＜0，得－x＞0， 得－2x＋－1x≥2 （－2x）－1x＝2 2， 所以 2x＋1x≤－2 2，
高中数学人教A版选修4-5第一讲 一 3.三个正数的算术—几何平均不等式 课件
当且仅当x－a＝x－1 a2即x＝a＋1时，取等号．
∴2x＋x－1 a2的最小值为3＋2a. 由题意可得3＋2a≥7，得a≥2.
答案：2
8．设a，b，c∈R＋，求证：
(a＋b＋c)a＋1 b＋b＋1 c＋a＋1 c≥92. 证明：∵a，b，c∈R＋， ∴2(a＋b＋c)＝(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥
6．若a>2，b>3，则a＋b＋a－21b－3的最小值为________．
解析：a>2，b>3，∴a－2>0，b－3>0. 则a＋b＋a－21b－3＝(a－2)＋(b－3)＋a－21b－3＋5
3 ≥3
a－2×b－3×a－21b－3＋5＝8.
当且仅当a－2＝b－3＝
解析：设圆柱半径h＝πr2·6－2 4r＝πr2(3－2r)≤πr＋r＋33－2r3＝π. 当且仅当r＝3－2r，即r＝1时取等号．
答案：B
5．设0<x<1，则x(1－x)2的最大值为 ________.
解析：∵0<x<1，∴1－x>0. 故3 2x1－x1－x ≤2x＋1－x3＋1－x＝23. ∴x(1－x)2≤247当且仅当x＝13时取等号. 答案：247
解：∵6＝x＋3y＋4z＝
x 2
＋
x 2
＋y＋y＋y＋
4z≥66 x2y3z， ∴x2x3z≤1当x2＝y＝4z时，取“＝”. ∴x＝2，y＝1，z＝14时，x2y3z取得最大值1.
10．有一块边长为36 cm的正三角形铁皮，从它的 三个角上剪下三个全等的四边形后做成一个无 盖的正三棱柱容器，要使这个容器的容积最大，剪下的 三个四边形面积之和等于多少？最大容积是多少？ 解：剪下的三个全等的四边形如图所示，设A1F1＝ x，则AF1＝ 3x， ∴A1B1＝F1F2＝36－2 3x. ∴V＝ 43(36－2 3x)2·x ＝32 3(6 3－x)(6 3－x)·2x.
人教新课标A版选修4-5第一讲1.1.1不等式的基本性质
60
∵60<x<84,∴27<x-y<56,
20
即
11
33
< <3.
答案:(27,56)
20
11
,3
<
<
84
28
,
典型例题领会
-21-
学习目标导引
题型一
题型二
题型三
基础知识梳理
核心要点解析
典型例题领会
题型四
反思本题不能直接用x的取值范围去减或除以y的取值范围,应严
格利用不等式的基本性质去求得取值范围.在有些题目中,还要注
(5)如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n≥2).
(6)如果 a>b>0,那么 > (n∈N,n≥2).
3.作差比较法
(1)理论根据:a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔a<b.
(2)方法步骤:① 作差;② 变形;③ 判断符号;④ 下结论.
典型例题领会
-5-
学习目标导引
-17-
学习目标导引
题型一
题型二
题型三
基础知识梳理
核心要点解析
典型例题领会
-18-
题型四
用作差法比较大小
【例 2】当 a≠0 时,比较(a2+ 2a+1)(a2- 2a+1)与(a2+a+1)(a2-a+1)
的大小.
分析:比较两个数(式)的大小,将两数(式)作差,若差值为正,则前者
大;若差值为负,则后者大.
1
1
1
2020版人教A版数学选修4-5同步配套___第一讲 不等式和绝对值不1.1.1
与
������-������ ������+������
的大小.
解:
������ 3 -������ 3 ������ 3 +������ 3
−
������-������ ������ +������
=(a-b)
������
2+������������ +������2 ������3+������ 3
剖析：(1)在应用传递性时,如果两个不等式中有一个带等号而另
一个不带等号,那么等号是传递不过去的.如a≤b,b<c⇒a<c.(2)在乘
法法则中,要特别注意乘数c,例如,当c≠0时,有a>b⇒ac2>bc2;若无
c≠0这个条件,则a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(当c=0时,取
“=”).(3)a>b>0⇒an>bn>0成立的条件是“n为大于0的数”,如果去掉
重难聚焦
典例透析
题型一 题型二 题型三 题型四
题型四
易错辨析
易错点 同向不等式相加时,忽视前提条件致错
【例 4】
已知−
π2≤α<β≤π2
,
求
������+������ 2
,
������-������ 2
的取值范围.
错解：∵−
π2≤α<β≤π2,∴−
π 4
≤
������ 2
≤
π 4
,
−
π 4
≤
������ 2
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重难聚焦
典例透析
123
3.作差比较法
(1)理论依据:a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔a<b.
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高中数学 选修4--5知识点 1、不等式的基本性质①（对称性）b a >②（传递性）,a b b c a c >>⇒>③（可加性）a b a c b c >⇔+>+（同向可加性）d b c a d c b a +>+⇒>>,（异向可减性）d b c a d c b a ->-⇒<>,④（可积性）bc ac c b a >⇒>>0,bc ac c b a <⇒<>0,⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d>><<⇒>⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且 ⑦（开方法则）0,1)a b n N n >>∈>且 ⑧（倒数法则）ba b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤②（基本不等式） 2a b +≥()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.变形公式： a b +≥ 2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. （正：a 和b 都是正数 定：ab 为定值或a+b 为定值 相等：当且仅当a=b 时等号成立。
③（三个正数的算术—几何平均不等式）3a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）.⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>（当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b>+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b<+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<< ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+3、几个著名不等式①平均不等式：1122a b a b --+≤≤≤+,a b R +∈（，当且仅当a b =时取""=号）. （即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）. 变形公式：222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭ 222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n+++≥+++ ③二维形式的三角不等式：④二维形式的柯西不等式：22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a a b b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式：2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数. 4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法： ①舍去或加上一些项，如22131()();242a a ++>+ ②将分子或分母放大（缩小），如211,(1)k k k <- 211,(1)k k k >+=⇒<*,1)k N k >∈>等. 5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集. 规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法. 分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （<≤“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解2()0(0)()f x a a f x a≥⎧>>⇔⎨>⎩2()0(0)()f x a a f x a≥⎧>⇔⎨<⎩2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>⑵当01a <<时, ()()()()f x g x a a f x g x >⇔< 规律：根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时, ()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化. 11、含绝对值不等式的解法：⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ⑵平方法：22()()()().f x g x f x g x ≤⇔≤ ⑶同解变形法，其同解定理有：①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或③()()()()()(()0)f x g x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或 规律：关键是去掉绝对值的符号. 12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如20ax bx c ++>且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论a 与0的大小；⑵讨论∆与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时 0,0;b c ⇒=> ②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩ ⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时0,0;b c ⇒=<②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩⑶()f x a <恒成立max ();f x a ⇔<()f x a ≤恒成立max ();f x a ⇔≤⑷()f x a >恒成立min ();f x a ⇔>()f x a ≥恒成立min ().f x a ⇔≥15、线性规划问题⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：法一：取点定域法：由于直线0Ax By C ++=的同一侧的所有点的坐标代入Ax By C ++后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点00(,)x y （如原点），由00Ax By C ++的正负即可判断出0Ax By C ++>(或0)<表示直线哪一侧的平面区域.即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.法二：根据0Ax By C ++>(或0)<，观察B 的符号与不等式开口的符号，若同号，0Ax By C ++>(或0)<表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.⑶利用线性规划求目标函数z Ax By =+(,A B 为常数）的最值：法一：角点法：如果目标函数z Ax By =+ （x y 、即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z 值，最大的那个数为目标函数z 的最大值，最小的那个数为目标函数z 的最小值法二：画——移——定——求：第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线0:0l Ax By += ，平移直线0l （据可行域，将直线0l 平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解(,)x y ；第四步，将最优解(,)x y 代入目标函数z Ax By =+即可求出最大值或最小值 .第二步中最优解的确定方法：利用z 的几何意义：A z y x B B =-+,z B为直线的纵截距. ①若0,B >则使目标函数z Ax By =+所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最小值；②若0,B <则使目标函数z Ax By =+所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最大值. ⑷常见的目标函数的类型：①“截距”型：;z Ax By =+②“斜率”型：y z x =或;y b z x a-=-③“距离”型：22z x y =+或z =22()()z x a y b =-+-或z =在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.。
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作商比较法： 作商——变形——与1比较大小． 大多用于比较幂指式的大小．
练习
1、若m 0,比较m 与2 的大小
2、选择题： 已知 a b ，在以下4个不等式中正确的是：
（1）
m
m
1 1 a b
（2）lg( a
2
1 ) lg( b 1 )
2
（3）
a
2
b
2
（4）
2 2
aБайду номын сангаас
b
• = (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2] • x∈R ∴ 2 (x + 1/2)2 + 1/2 >0 • 若x≠1 那么 (x -1)2 > 0则 2x4+1 > 2x3+x2 • 若 x =1 那么(x -1)2 = 0 则 2x4+1 = 2x3+x2 • 综上所述: 若 x = 1 时 2x4+1 = 2x3+x2 • 求差比较大小 若 x≠1 时 2x4+1 > 2x3+x2 分四步进行：①作差；②变形；③定号； ③下结论。
• 2.比较 (x2 +2)2 与 x4+5x2 +2的大小
• 3. 比较 x3 与 x2-x + 1的大小.
【典型例题】
例3、比较以下两个实数的大小：
(1)16 与18 ; ( 2)
18 16
1 n1 n
b a
与2 n (n N )
*
（3）比较a b 和a b 的
a b
【解题回顾】本题的解答关键在于选择合适的方法.
第一讲 不等式和 绝对值不等式
一 不等式
1
不等式的基本性质
(第一课时)
• 观察以下四个不等式：
• • • •
a+2 > a+1----------------(1) a+3>3a-------------------(2) 3x+1<2x+6--------------(3) x<a------------------------(4)
2.
0
基本理论
Ｘ
• 1.实数在数轴上的性质:
• 研究不等式的出发点是实数的大小关系。数 轴上的点与实数1-1对应，因此可以利用数 轴上点的左右位置关系来规定实数的大小：
Ａ a a<b
Ｂ b x
Ｂ b a>b
Ａ a x
设a,b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是 A,B,那么,当点A在点B的左边时,a<b;当点A在点B的右 边时,a>b. 关于a,b的大小关系,有以下基本事实:如果a>b,那么 a-b是正数;如果a=b,那么a-b等于零;如果a<b,那么a-b 是负数;反过来也对.
用数学式子表示为:
a b a b 0; a b a b 0; a b a b 0.
a b a b 0; a b a b 0; a b a b 0.
上式中的左边部分反映的是实数的大小顺 序，而右边部分则是实数的运算性质，合起来 就成为实数的大小顺序与运算性质之间的关系。 这一性质不仅可以用来比较两个实数的大小， 而且是推导不等式的性质、不等式的证明、解 不等式的主要依据。
作业
一、课本 P10 2
二、补充
1．比较 ( x 5)( x 7)与( x 6) 的大小．
2
2．如果x 0,比较 ( x 1) 2 与( x 1) 2 的大小． 3．已知 a 0，比较 (a 2 2a 1)( a 2 2a 1)
与 (a 2 a 1)( a 2 a 1) 的大小．
练习
比较x2+y2与xy+x+y-1的大小．
【解题回顾】用作差比较法比较两个实数的大小，步骤 是：作差——变形——判断符号．常见的变形 手段是通分、因式分解或配方等；变形的结果 是常数、若干个因式的积或完全平方式等.
• 例2、比较
练习题
• 1. 已知 x≠0 , 比较 (x2 +2)2 与 x4+x2 +4的大小.
思考？
从上述事实出发，你认为可以用什么方法
比较两个实数的大小？
要比较两个实数a与b的大小，可以转化为比
较它们的差a - b 与0的大小。在这里，0为实数
比较大小提供了“标杆”。
例1、试比较 2x4+1 与 2x3+x2 的大小 2 4 3 4
• 解： (2x +1) - (2x +x ) = 2x +1 - 2x3 _ x2 • = (2x4 - 2x3 )- (x2 -1) • = 2x3 (x -1) - (x -1) (x +1) • = (x－1) [2x3 - (x +1) ] • = (x－1)[(2x3－2x2) + (2x2－2x) + (x－1)] • = (x -1)2 (2x2 + 2x + 1) • = (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2] • 技能： • 分组组合；添项、拆项；配方法。
• • • • • • • • • • •
小结
主要内容 基本理论: a - b > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b 基本理论四大应用之一：比较实数的大小. 一般步骤： 作差－变形－判断符号—下结论。 变形是关键： 1°变形常用方法:配方法，因式分解法。 2°变形常见形式是：变形为常数；一个常数与几 个平方和；几个因式的积。
• 同向不等式： • 在两个不等式中,如果每一个的左边都大于右边,或每一个的 左边都小于右边（不等号的方向相同）. • 异向不等式： • 在两个不等式中,如果一个不等式的左边大于右边,而另一个 的左边小于右边（不等号的方向相反）. • 同解不等式 • 形式不同但解相同的不等式。 • 其它重要概念 • 绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式