一个关于“烧开水”的数学问题

一个关于“烧开水”的数学问题

※ 本文不需考虑物理学中的热力学第二定律：不可能制成一种循环动作的热机，只从一个热源吸取能量，使之全部变成有用的功，而不产生其他影响.

Question ：规定1L 冷水烧开需用1单位能量.现有1L 冷水，把其等分为两部分，分别装到导热性极好的1号、2号容器中.先把1号容器中的

2

1

L 水烧开，将1号容器浸在2号容器中，等到两部分水都等温后，再将2号容器中的温水烧开即可(需要的是boiled water,而不是boiling water). 这样只需的能量为4

3

4

12

1=

+，节约了25％的能量. 假设可以把1L 冷水分成无限份，利用热传递，最多可以节省多少能量？

Answer ：将1L 水分为N 份，1份水若获得n

1单位能量，即可烧开.

方案一

1、将第1份水烧开，再将第1份与第2～N 份同时进行热传递，得到：

此过程需要能量为n

1

.

2、将第2份水烧开，再将第2份与第3～N 份同时进行热传递，得到：

此过程需要能量为21

1n

n -.

······

k 、将第k-1份水烧开，再将第k-1份与第k ～N 份同时进行热传递，

其中第k-1～N 份的目前能量记为k a ，得到：

此过程需要能量为11

--k a n

.

组别 1

2

3

··· N

目前能量

21n

21n

21n

···

21n

组别 1 2 3 ··· N

目前能量

21n 22n 22n ···

22n

组别 ··· k-1

K

··· N

目前能量

···

k a k a ···

k a

k+1、将第k 份水烧开，再将第k 份与第k+1～N 份同时进行热传递，

得到：

此过程需要能量为k a n -1

.

······

分析与计算：

根据第k 、k+1步可列出，

1)1()1

()1(++-=-++-k k k a k n a n

a k n ，即)1()(1

1+-=-++k n a k n a n

k k ，且有01

=a ，可得：2

1

n k a k -=

. 需要的总能量为n n k n a n

n

k n

k k 21

)1(1

1)1(1

2

1+=--=-∑∑==，

2

1

21lim =+∞→n n n ，故方案一可节约50％的能量.

方案二

1、将第1份水烧开，再将第1份依次与第2～N 份进行热传递，得到：

组别 ··· k

K+1

··· N

目前能量

···

1+k a 1+k a

···

1+k a

组别 1 2 3 ··· N

目前能量

n n 121

-

n 21 n 41

···

n n 121

-

此过程需要能量为n

1

.

2、将第2份水烧开，再将第2份依次与第3～N 份进行热传递，

得到:

组别

2

3 4

···

k

···

N

目前能量

煮沸

n 1

第1次热传递 n

85 n

85

第2次热传递 n

83

n

83

··· ···

···

第k 次热传递 n

k k 22

+

n

k k 22

+

··· ···

···

第N 次热传递

n

n n

22

+

n

n n

22

+

记第2份水第k-2次热传递后的能量为k α，也即第k 份水热

递后的能量为k α，于是k k k n αα221

11=+--，n

85

3=α,

得：n

k k k 22

+=

α. 此过程需要能量为n n 21

1-.

3、将第3份水烧开，再将第3份依次与第4～N 份进行热传递，

得到:

组别

3

4 5

···

k

···

N

目前能量

煮沸

n 1

第1次热传递 n

1611

n

1611

第2次热传递

n

6429

n

6429

··· ···

···

第k 次热传递 n

k k k 22285+++

n

k k k 2

228

5+++

··· ···

···

第N 次

n

n n n 22285+++

n

n n n 2228

5+++