27_1 圆的确定
2.4.1圆的标准方程课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
解1：(待定系数法) 设圆C的方程为 ( x a )2 ( y b)2 r 2 ,
由已知条件可得
a b 1 0
2
2
2
(1
a
)
(1
b
)
r
， 解得a 3, b 2, r 5.
2
2
2
(2
a
)
(
2
b
)
r
∴圆心为C的圆的标准方程为( x 3)2 ( y 2)2 25.
问题1 在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，
圆就唯一确定了．
由此，我们可以建立圆上点的坐标应满足的关系式，进而得
到圆的方程．
新知探究一：圆的标准方程
问题2 在平面直角坐标系中，如何确定圆的方程呢？
y
设圆心A(a,b)和圆上动点M(x,y),半径为r.
A(1,1)
x
•
B(2,-2)
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2), 且圆心C在直线 l：x －y ＋1＝0
上，求此圆的标准方程．
解3： ∵ A(1,1),B(2,-2)
3 1
2 1
线段AB的中点D( , ), k AB
3.
2 2
2 1
∴AB的垂直平分线方程为
y
l
•
A(1,1)
x
O
•
•
B(2,-2)
习题小结
圆的标准方程的两种求法
11-27圆中常用定理(1)
圆中常用定理1、垂直于弦的直径垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；推论1 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
垂径定理及推论1可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等。
2、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。
推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
3、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
4、圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
1、已知：如图，在⊙O中，半径OM⊥弦AB于点N。
①若AB＝，ON＝1，求MN的长；②若半径OM＝R，∠AOB＝120°，求MN的长。
2、已知：△ABC内接于⊙O且AB＝AC，⊙O的半径等于6cm，O点到BC的距离OD等于2cm，求AB的长。
（注：凡是与三角形外接圆有关的问题，一定要首先判断三角形的形状，确定圆心与三角形的位置关系，防止丢解或多解。
27.1.1圆的基本元素(上课用)最新课件PPT
判断：半圆周是弧，但弧不一定是半圆.( )
圆心角
顶点在圆心，并且两边都和圆周相交的 角叫做圆心角
Ａ
如图：⊙Ｏ中的圆心角 Ｃ 有∠_Ａ__Ｏ_Ｃ__、_∠__Ｂ_Ｏ__C_
Ｏ
思考：∠ＡＢＣ是不是 圆心角？
Ｂ
拓展运用
1、判断正误:
√ （1）圆中的直径是弦； ×（2）弦是圆中的直径； √ （3）直径是圆中最长的弦； √ （4）半径和弦都是线段； √ （5）直径相等的两个圆是等圆； ×（6）弦是圆上两点间的部分； ×（7）若P是⊙O内一点，过P点的最长的弦有无数条。 √ （8）半圆是弧，但弧不一定是半圆.
O
努力，未来老婆的婚纱都是租的。只有你的 让你在无尽黑暗中找到光明。我受过的伤都 勋章。知世故而不世故，是最善良的成熟。 日领教过这世界深深的恶意，然后开启爱他 的快意人生。第二名就意味着你是头号输家 比·布莱恩特。当你感觉累的时候，你正在走 路。如果每个人都理解你，那你得普通成什 赚钱的速度一定要超过父母变老的速度。不 现以前的自己是个傻逼的过程，就是成长。 远不要大于本事。你那能叫活着么？你那“ 的气质里，藏着你走过的路，读过的书，和 人。”素质是家教的问题，和未成年没关系
圆的确定
O●
要确定一个圆,必须确定圆的_圆__心_和_半__径_ 圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小.
这个以点O为圆心的圆叫作_圆__O__，记为_⊙__O__.
圆的分类
圆心相同的两个圆叫做 圆心不同半径相等的
同心圆
两个圆叫做
等圆
弦
A O●
连结圆上任意两点的线段叫弦
如图,弦有 AB、BC、AC
C D
A
O
B
解： ∵ AB为 ⊙O 的直径， ∴AO：AB=1：2 又∵ OD∥BC， ∴∠AOD= ∠ＡＢＣ， ∠ＡＤＯ＝ ∠ＡＣＢ， ∴△ＡＯＤ∽△ＡＢＣ。
华师版九年级数学下册教学课件(HS) 第27章 圆 第27章 小结与复习
二、与圆有关的位置关系 1.点与圆的位置关系 判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离d与圆的半径r比较得到． 设☉O的半径是r，点P到圆心的距离为d，则有
d＜r
点P在圆内；
[注意]点与圆的位置关系可以转 化为点到圆心的距离与半径之间
d=r
点P在圆上；
的关系；反过来，也可以通过这
种数量关系判断点与圆的位置关
d＞r
点P在圆外.
系．
2.直线与圆的位置关系 设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离
直线与圆的
位置关系
相离
相切
图形
d与r的关系 公共点个数 公共点名称 直线名称
பைடு நூலகம்
d＞r 0个
d=r 1个 切点 切线
相交
d＜r 2个 交点 割线
三、 圆的基本性质 1. 圆的对称性 圆是轴对称图形，它的任意一条_______所在的直直径线都是它的对称轴.
(3)边长a，边心距r的正n边形的面积为
S
1 nar 2
1 lr. 2
其中l为正n边形的周长.
考点一 圆周角定理
例1 在图中，BC是☉O的直径，AD⊥BC,若∠D=36°,则∠BAD的度数是
（）
B
A. 72° B.54° C. 45° D.36 °
A
B
C
D
针对训练
1.如图a，四边形ABCD为☉O的内接正方形，点P为劣弧BC上的任意一
3.与切线相关的定理 (1)判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆 的切线.
(2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
(3)切线长定理：经过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线 长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
2-2-1圆的标准方程课件(北师大版必修二)
解 设圆心 C(a，b)，半径长为 r，则由 C 为 P1P2 的中点，得 a 3＋5 8＋4 ＝ 2 ＝4，b＝ 2 ＝6，即圆心坐标为 C(4,6)， ∴r＝|CP1|＝ 4－32＋6－82＝ 5. 故所求圆的方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5. 分别计算点 M、N、P 到圆心 C 的距离： |CM|＝ 4－52＋6－32＝ 10＞ 5， |CN|＝ 4－32＋6－42＝ 5， |CP|＝ 3－42＋5－62＝ 2＜ 5， 所以点 M 在此圆外，点 N 在此圆上，点 P 在此圆内．
误区警示 考虑问题不全致误 【示例】 已知圆 C 的圆心到 x 轴的距离是到 y 轴的距离的 2 倍，且经过点 A(1,0)，B(3,0)，求圆 C 的方程． [错解] 由题意，可知圆心在直线 y＝2x 上，且在线段 AB 的垂 直平分线 x＝2 上，
y＝2x， 由 x＝2，
可得圆心 C(2,4)，r＝|AC|＝ 17，
解 法一
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
依题意，得 3－a2＋1－b2＝r2， －1－a2＋3－b2＝r2， 3a－b－2＝0， a＝2， 解得b＝4， r＝ 10.
所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10.
法二
设圆心为 C，又∵圆心在直线 3x－y－2＝0 上，
(1)
(2)
【题后反思】 本题以圆为载体求函数的最值，求解过程中，注 重代数与几何的联系，以化归的思想实现两者的转化，另外数 形结合思想在求解过程中起到了桥梁作用，使问题的求解更形 象、直观．几种常见代数式的几何意义： (1)x2＋y2：点(x，y)与原点的距离的平方． (2)(x－a)2＋(y－b)2：点(x，y)与点(a，b)的距离的平方． y (3)x：过点(x，y)与原点的直线的斜率．
2. 2.1 圆的标准方程课件(北师大版必修二)
a＝2， 解此方程组，得b＝－3， r2＝25， ∴△ABC的外接圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
4．求过点A(2，－3)，B(－2，－5)且圆心C在直线x
－
2y－3＝0上的圆的方程． 解：法一：因为A(2，－3)，B(－2，－5)，
1 所以AB中点D(0，－4)，kAB＝2， AB的垂直平分线方程为y－(－4)＝－2(x－0)， 即2x＋y＋4＝0.
世界上较大的摩天轮中坐落于泰晤士河畔的 英航伦敦眼(BA London Eye)，距地总高达135m. 然而，由于伦敦眼属于观景摩天轮结构，有些人认为其在 排行上应该与重力式的Femis Wheel分开来计算，因此世 界上最大的重力式摩天轮应是位于日本福冈的天空之梦福
冈(Sky Dream Fukuoka, SDF)，是座轮身直径112m，离
r2，通过比较点到圆心的距离和半径的大小关系，得
到：
(1)点M在圆C上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
(2)点M在圆C外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；
(3)点M在圆C内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.
[例1]
求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)． (2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为 直径． (3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点A(0，－4)，
x2＋y2＝r2 .
1．根据圆的定义，确定圆的条件是两个：即圆
心和半径，只需确定了这两者，圆就被唯一确定了．
2．圆的标准方程中具有三个参变量a，b，r， 因此确立圆的方程需三个独立的条件，根据条件列出 以a，b，r为变量的方程组，解方程组求出a，b，r的 值即能写出圆的标准方程．
第27章27.127.1.1圆的基本元素课件
18. 如图所示，BD、CE 是△ABC 的高，求证：E、 B、C、D 四点在同一个圆上．
证明：取 BC 的中点 F，连结 DF、EF. ∵BD、CE 是△ABC 的高， ∴△BCD 和△BCE 都是直角三角形． ∴DF、EF 分别为 Rt△BCD 和 Rt△BCE 斜边上的中 线， ∴DF＝EF＝BF＝CF. ∴E、B、C、D 四点在以点 F 为圆心，12BC 为半径 的圆上．
的点的最大距离为 a，最小距离为 b(a>b)，则此圆的半
径为( C )
A．a＋2 b
B．a－2 b
C．a＋2 b 或a－2 b
D．a＋b 或 a－b
11. 如图，在直角∠O 的内部有一滑动杆 AB．当端
点 A 沿直线 AO 向下滑动时，端点 B 会随之自动地沿直 线 OB 向左滑动．如果滑动杆从图中 AB 处滑动到 A′B′ 处，那么滑动杆的中点 C 所经过的路径是( B )
1. 以 O 为圆心的圆叫圆 O，记为 ⊙O ． 2. 连结圆上任意两点的线段，叫做 弦 ，经过圆 心的弦叫做 直径 ．
3. 圆上任意两点间的部分叫做 圆弧 ，简称 弧 ； ︵
以 A、B 为端点的弧记作 AB ，读作弧 AB．其中大于半
圆周的弧叫做 优弧 ，小于半圆周的弧叫做 劣弧 ．
知识点 圆、弦、弧等概念的应用
3. 如图，MN 为⊙O 的弦，∠M＝50°，则∠MON 等于( D )
A．50° C．65°
B．55° D．80°
4. 如图，正方形网格中，一条圆弧经过 A、B、C 三 点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( B )
第27讲 圆的基本性质公开课教案教学设计课件案例试卷
(1)[2021·丽水]如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥OA于点E， 连结OC，OD.若⊙O的半径为m，∠AOD＝∠α，则下列结 论一定成立的是( B )
(2)[2021·鄂州]筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具， 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工 作原理，如图1.筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的 圆，如图2.已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦 AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低 点，则点C到弦AB所在直线的距离是( B )
7．[2021·黄石]如图，A，B是⊙O上的两点，
∠AOB＝60°，OF⊥AB交⊙O于点F，
则∠BAF等于( C ) A．20°
B．22.5°
C．15°
D．12.5°
8．[2021·牡丹江]半径为12 cm的圆中，垂直平分半径的弦长
为______________．
9．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C， 使DC＝BD，连结AC. (1)求证：AB＝AC. (2)过点D作DE⊥AC，垂足为E.若⊙O的半径为5， ∠BAC＝60°，求DE的长．
例1 如图，在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格 线的交点称为格点)，如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的 格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为( B )
【举一反三】 通过数量关系判断点与圆的位置关系，即将点到圆 心的距离与圆的半径进行比较．
[2021·上海]如图，长方形ABCD中，AB＝4，AD＝3，圆B 半径为1，圆A与圆B内切，则点C，D与圆A的位置关系 是( C ) A.点C在圆A外，点D在圆A内 B．点C在圆A外，点D在圆A外 C．点C在圆A上，点D在圆A内 D．点C在圆A内，点D在圆A外
27-1 薛定谔得出的波动方程
2
可归一化 ;
27-1 薛定谔得出的波动方程
第二十七章 薛定谔方程
例1：一质量为m的粒子在自由空间绕一 定点做圆周运动，圆半径为r。求粒子的波函 数，并确定其可能的能量值和角动量值。 解：取定点为坐标原点，圆周所在平面为 xy平面 由于 r 和 ( 2) 都是常量， 所以波函数只是方位角 的函数 令波函数 ( )
27-1 薛定谔得出的波动方程
第二十七章 薛定谔方程
薛定谔方程是非相对论微观粒子的基本方程 ——量子力学基本假设 其地位同经典物理的牛顿定律 在势场 U U ( x, t ) 中运动的粒子的波函数
( x, t )
满足下列一维薛定谔方程
U ( x , t ) i 2 2m x t
粒子在自由空间运动，则
(U 0)
27-1 薛定谔得出的波动方程
第二十七章 薛定谔方程
令波函数 程 (U 0) 2 2 1 d E 2 2 2 2m r sin d 2 2 d 2mr E 0 2 2 d
2mr E 令 ml 2
2
d 2 m 0 l 2 d
2
27-1 薛定谔得出的波动方程
第二十七章 薛定谔方程
d 2 ml 0 2 d
2
其通解为
Ae
iml
是 的有限连续函数
要使 再满足在任一给定的 值为单值，
就需要
( ) ( 2 )
•故该方程又称为：能量本征值方程 •定态: 能量取确定值的状态
•定态波函数:
E ( x,t ) E ( x)T (t ) C E ( x) eiEt
27-1 薛定谔得出的波动方程
第27讲 圆的认识
则AE=20+12=32，或AE=20-12=8，
故AE的长是8或32.
(2011·牡丹江中考)已知⊙O的直径AB=40，弦CD⊥AB于点E， 且CD=32，则AE的长为( (A)12 (B)8 ) (C)12或28 (D)8或32
【解析】选D.如图,连结OC. ∵弦CD⊥AB于点E，
∴CE= 1 CD=16.
2
在直角△OCE中， OC2 CE 2 202 162 12， OE
(B)45°
(C)55°
(D)75°
【解析】选A.连结AD，∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°,∴∠A=90°-55°=35°, 根据同弧所对的圆周角相等可得∠BCD=∠A=35°.
2.(2012·六盘水中考)如图，已知∠OCB=20°,则∠A=____度.
【解析】∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=20°,
∴ OD OA 2 AD2 132 122 5, ∴CD=OC-OD=13-5=8. 答案：8
5.(2012·娄底中考)如图，⊙O的直径CD垂直于AB， ∠AOC=48°，则∠BDC=_____度.
【解析】连结BO.∵直径CD垂直于AB，∴ AC BC.
则∠BDC= 1 ∠BOC= 1 ∠AOC=24°.
3.圆心角与圆周角：
圆心 (1)顶点在_____的角叫做圆心角;
圆上 相交 (2)顶点在_____，并且两边都与圆_____的角叫做圆周角.
【即时应用】
直径 1.圆的最长的弦是_____. 6 2.已知圆上有三个点，以任意两个点为端点的弧共有__条.
∠BOC ∠BAC 3.如图______是圆心角，______为圆周角.
二、圆的有关性质 1.圆的对称性：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形. 2.垂直于弦的直径的性质及其推论 平分这条弦 (1)定理：垂直于弦的直径___________ ，并且平分这条弦所对
初三年级数学圆的知识点归纳
【导语】学习时集中精⼒，养成良好学习习惯，是节省学习时间和提⾼学习效率的最为基本的⽅法。
搜集的《初三年级数学圆的知识点归纳》，希望对同学们有帮助。
【篇⼀】 1.点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r，点到圆⼼的距离为d，则 ①点在圆上<===>d=r;②点在圆内<===>dd>r. ⼆.圆的对称性: 1.与圆相关的概念： ④同⼼圆：圆⼼相同，半径不等的两个圆叫做同⼼圆。
⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。
⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
⑦圆⼼⾓：顶点在圆⼼的⾓叫做圆⼼⾓. ⑧弦⼼距:从圆⼼到弦的距离叫做弦⼼距. 2.圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有⽆数条对称轴。
3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
说明：根据垂径定理与推论可知对于⼀个圆和⼀条直线来说，如果具备： ①过圆⼼;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧。
上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。
4.定理：在同圆或等圆中,相等的圆⼼⾓所对弧相等、所对的弦相等、所对的弦⼼距相等。
推论:在同圆或等圆中,如果两个圆⼼⾓、两条弧、两条弦或两条弦的弦⼼距中有⼀组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 三.圆周⾓和圆⼼⾓的关系: 1.圆周⾓的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的⾓,叫做圆周⾓. 2.圆周⾓定理;⼀条弧所对的圆周⾓等于它所对的圆⼼⾓的⼀半. 推论1:同弧或等弧所对圆周⾓相等;反之，在同圆或等圆中，相等圆周⾓所对弧也相等; 推论2:半圆或直径所对的圆周⾓是直⾓;90°的圆周⾓所对的弦是直径; 四.确定圆的条件: 1.理解确定⼀个圆必须的具备两个条件: 经过⼀点可以作⽆数个圆,经过两点也可以作⽆数个圆,其圆⼼在这个两点线段的垂直平分线上. 2.定理:不在同⼀直线上的三个点确定⼀个圆. 3.三⾓形的外接圆、三⾓形的外⼼、圆的内接三⾓形的概念: (1)三⾓形的外接圆和圆的内接三⾓形:经过⼀个三⾓形三个顶点的圆叫做这个三⾓形的外接圆,这个三⾓形叫做圆的内接三⾓形. (2)三⾓形的外⼼:三⾓形外接圆的圆⼼叫做这个三⾓形的外⼼. (3)三⾓形的外⼼的性质:三⾓形外⼼到三顶点的距离相等. 【篇⼆】 1.在⼀个平⾯内，线段OA绕它固定的⼀个端点O旋转⼀周，另⼀个端点A所形成的图形叫做圆。
第27讲 与圆有关的位置关系(课件)中考数学一轮复习(全国通用)
1. 点和圆的位置关系
已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：
位置关系
图形
半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可
以确定该点与圆的位置关系．
定义
性质及判定
点在圆的外部
d > r 点P在圆外
点在圆周上
d = r 点P在圆上
点在圆的内部
内切
内含
O2
d
性质及判定
无
> + ⇔两圆外离
1个切点
= + ⇔两圆外切
两个交点
− < < + ⇔两圆相交
1个切点
= − ⇔两圆内切
R
r
O1
O2
d
r
相交
公共点个数
O1
R
d
O2
rd R
O1 O2
R
r d
O1 O2
无
0 ≤ < − ⇔两圆内含
∴圆A与圆C外切，圆B与圆C相交，圆A与圆B外离，
故选：D．
）
考点二 切线的性质与判定
1.切线的性质与判定
定义
线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点．
圆的切线垂直于过切点的半径．（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆心的直线．）
解题方法：当题目已知一条直线切圆于某一点时，通常作的辅助线是连接切点与圆心（这是圆中作辅助线的一
∴不能判定BC是⊙A切线；
故选：D．
）
考点二 切线的性质与判定
题型02 利用切线的性质求线段长
华师版九年级数学下册27 第1课时 切线的判定教案与反思
1．掌握判定直线与圆相切的方法，并能运用直线与圆相切的方法进行计算与证明．（重点）2．能灵活选用切线的三种判定方法判定一条直线是圆的切线.(难点)一、情境导入下雨天，当你转动雨伞，你会发现雨伞上的水珠顺着伞面的边缘飞出．仔细观察一下，水珠是顺着什么样的方向飞出的？这就是我们所要研究的直线与圆相切的情况．二、合作探究探究点：切线的判定【类型一】已知直线过圆上的某一个点，证明圆的切线如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°，求证：CD是⊙O的切线．解析：要证明CD是⊙O的切线，即证明OC⊥CD．连接OC，由AC=CD，∠D=30°，则∠A=∠D=30°，得到∠COD=60°，∴∠OCD=90°．证明：如图，连接OC.∵AC＝CD，∠D＝30°，∴∠A＝∠D＝30°.∵OA＝OC，∴∠2＝∠A＝30°，∴∠1＝60°，∴∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．方法总结：切线的判定方法有三种：①利用切线的定义，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；③经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【类型二】到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线如图，在△OAB中，OA=54,OA⊥OB，以O为圆心，4为半径作2，OB=5⊙O，求证：AB是⊙O的切线．解析：作OC ⊥AB 于点C ，先利用勾股定理计算出AB =10，再利用面积法求出OC =4，而⊙O 的半径为4，则根据切线的判定方法可判断AB 是⊙O 的切线．证明：作OC ⊥AB 于点C .∵OA ⊥OB ，∴∠AOB =90°.在Rt △OAB 中，AB =22=+OB OA OC •AB OB •OA ，∴OC 的半径为4，∴OC 为⊙O 的半径.而OC ⊥AB ， ∴AB 是⊙O 的切线．方法总结：在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．【类型三】 直线与圆的公共点没有确定时，证明圆的切线如图，△ABC 中，AB =AC ，D 为BC 的中点，以D 为圆心的圆与AB 相切于点E ．求证：AC 与⊙D 相切.解析：过点D 作DF ⊥AC ，根据△ABC 是等腰三角形，D 是BC 边的中点，以及AB 是⊙D 的切线，得到DF =DE ，说明DF 是⊙D 的一条半径，根据切线的判定定理证明AC 是⊙D 的切线．证明：作DF ⊥AC 于点F ，连接AD 、DE ．∵AB 是⊙D 的切线，∴DE ⊥AB .∵AB =AC ，D 是BC 的中点，∴AD 平分 ∠BAC .又∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DF =DE ，∴AC 是⊙D 的切线．方法总结：如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径．【类型四】 切线的判定和有关计算如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，点D 在AB 上，DE ⊥EB .(1)求证：AC是△BDE的外接圆的切线；(2)若AD＝23，AE＝6，求EC的长．解析：(1)取BD的中点O，连接OE，如图，由∠BED＝90°，可得BD为△BDE的外接圆的直径，点O为△BDE的外接圆的圆心，再证明OE∥BC，得到∠AEO＝∠C＝90°，可得结论；(2)设⊙O的半径为r，根据勾股定理和平行线分线段成比例定理，可求答案．(1)证明：取BD的中点O，连接OE，如图所示，∵DE⊥EB，∴∠BED＝90°，∴BD 为△BDE的外接圆的直径，点O为△BDE的外接圆的圆心．∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE.∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO＝∠C＝90°，∴OE⊥AE，∴AC是△BDE的外接圆的切线；(2)解：设⊙O的半径为r，则OA＝OD＋DA＝r＋23，OE＝r.在Rt△AEO中，有AE2＋OE2＝AO2，即62＋r2＝(r＋23)2，解得r＝2 3.∵OE∥BC，∴AECE＝AOOB，即6CE＝4323，∴CE＝3.方法总结：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某直线是圆的切线，已知此直线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可．三、板书设计教学过程中，强调只要出现切线就要想到半径，就要想到有垂直的关系，要形成一个定势思维.。
27圆
【使用说明及预习指导】1.先仔细阅读教材必修,再思考知识梳理所提问题，有针对性的二次阅读教材，构建知识体系，画出知识树；2.限时15分钟独立、规范完成探究部分，并总结规律方法。
【学习目标】
1.熟练掌握圆的标准方程、一般方程、直线与圆、圆与圆的位置关系提高运算求解能力。
2.通过独立思考、小组合作、探究用代数研究几何的思想方法。
A、在圆上B、在圆外C、在圆内D、以上皆有可能
7.如果圆x2+y2+Dx+Ey+F=0Байду номын сангаасy轴的两个交点分别位于原点的两侧，那么（）
A、D≠0，F>0 B、E=0, F>0 C、E≠0，D=0 D、F<0
8.与圆C：x2+(y+5)2=3相切、且纵截距和横截距相等的直线共有：（）
A、2条B、3条C、4条D、6条
5.若圆 与圆 （a>0）的公共弦的长为 ，
则 ___________
【我的疑问】
【课内探究】
探究1．待定系数法求圆的方程
（1）求经过点P(1,1)和坐标原点，圆心在直线2x+3y+1=0上的圆的方程。
（2）求圆心在直线y=-4x上，并且与直线L：x+y-1=0相切于点P(3,-2)的圆的方程。
（3）判断①②两圆的位置关系
3.缜密思维、激情投入，享受学习成功的快乐。
【重点难点】重点：圆的方程；难点：直线与圆的位置关系
【课前预习】
一、基础知识梳理：
思考1：圆的方程有哪几种形式？如何根据形式确定圆心、半径？
思考2:如何将圆的一般方程化为圆的标准方程？
思考3：判断直线与圆的位置关系的方法有哪些？
九年数学下册第二十七章圆.1圆的认识4圆周角__圆周角和直径的关系课件新版华东师大版0301283
知1－讲
总结
知1－讲
题中条件有直径，因此可作辅助线，构造直径所对的 圆周角〔直角〕是常用的作辅助线的方法，而题中有 条件AB=AC，因此可根据等腰三角形“三线合一〞 性质证明BD=CD.
知1－练
1 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，假设∠A＝ 30°，那么∠B的度数为( ) A．15° B．30° C．45° D．60°
知1－讲
例2 如下图，AB 是⊙ O 的直径，BD 是⊙ O 的弦，延 长BD 到点C，使AC=AB. 求证：BD=CD.
知1－讲
导引：紧扣“直径所对的圆周角是直角〞结合等腰三角形“三 线合一〞性质求解.
证明：如下图，连结AD. ∵ AB 是⊙ O 的直径， ∴∠ ADB=90°，即AD ⊥ BC. 又∵ AC=AB，∴ BD=CD.
总结
知2－讲
圆中求角常见的作辅助线的方法： 1. 有直径，通常作直径所对的圆周角，从而得出两 直线互相垂直，简记为见直径作直角 . 2. 有90°的圆周角，通常作直径，简记为有直角作 直径.
1 以下结论正确的选项是( ) A．直径所对的角是直角 B．90°的圆心角所对的弦是直径 C．同一条弦所对的圆周角相等 D．半圆所对的圆周角是直角
(2)在解决圆的有关问题时，常常利用圆周角定理及其推 论进行两种转化：一是利用同弧所对的圆周角相等，进 行角与角之间的转化，二是将圆周角相等的问题转化为 弦相等或线段相等的问题.
所以
∠ ACB= ∠ OCA + ∠ OCB = 1
80 2
=90°.
因此，不管点C在⊙O上何处〔除点A、B外〕，
∠ ACB总等于90°，即：
半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90° (直角).
圆的方程
圆的方程确定圆的方程需要有三个互相独立的条件。
的圆方程的适用范围。
一、圆的方程形式:⑴圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2,其中（a,b）是圆心坐标,r是圆的半径；⑵圆的一般方程：x2+y2+D x+E y+F=0（D2+E2-4F>0）,圆心坐标为（-2D，-2E），半径为r=2422FED-+.注①确定圆的方程需要有三个互相独立的条件, 通常也用待定系数法;②圆的方程有三种形式，注意各种形式中各量的几何意义,使用时常数形结合充分运用圆的平面几何知识.③圆的直径式方程：1212()()()()0x x x x y y y y--+--=,其中1122(,),(,)A x yB x y是圆的一条直径的两个端点.（用向量可推导）.二、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交，判定方法有两种：⑴代数法：直线：A x+B y+C=0，圆：x2+y2+D x+E y+F=0，联立得方程组22Ax By Cx y Dx Ey F++=⎧⎨++++=⎩−−−→消元一元二次方程24b ac=-−−−→判别式△>⇔⎧⎪=⇔⎨⎪<⇔⎩△相交△相切△相离（2）几何法：直线:A x+B y+C=0，圆：(x-a)2+(y-b)2=r2，圆心（a，b）到直线的距离为d rd rd r>⇔⎧⎪=⇔⎨⎪<⇔⎩相离相切相交三、圆和圆的位置关系：设两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为r1，r2，|O1O2|为圆心距，则两圆位置关系如下：①|O1O2|>r1+r2⇔两圆外离；②|O1O2|=r1+r2⇔两圆外切；③| r1-r2|<|O1O2|< r1+r2⇔两圆相交；④| O1O2 |=| r1-r2|⇔两圆内切；⑤0<| O1O2|<| r1-r2|⇔两圆内含。
注：直线和圆位置关系及圆和圆位置关系常借助于平面几何知识，而一般不采用方程组理论（△法）.圆的方程四、圆的切线:1.求过圆上的一点00(,)x y圆的切线方程:先求切点与圆心连线的斜率k,则由垂直关系,切线斜率为1-k,由点斜式方程可求得切线方程;2.求过圆外一点00(,)x y圆的切线方程:⑴(几何方法)设切线方程为00()y y x x-=-k即00-0x y x y-+=k k,然后由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,切线方程即可求出. ⑵(代数方法) 设切线方程为00()y y x x-=-k,即00y x x y=-+k k代入圆方程得一个关于x的一元二次方程,由0∆=,求得k ,切线方程即可求出.注：①以上方法只能求存在斜率的切线,斜率不存在的切线,可结合图形求得.②过圆222x y r +=上一点00(,)P x y 的切线方程为200xx yy r +=.圆的方程 例23.若直线()011＝+++y x a 与圆2220x y x +-=相切，则a 的值为( ) ()11A -或 ()22B -或 1)(C 1)(-D 例24. 两圆x 2+y 2-4x +2y+1=0与(x +2)2+(y -2)2=9的位置关系是（ ） (A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离 例25. 已知圆C 与圆(x -1)2+y 2=1关于直线y =-x 对称，则圆C 的方程为( ) (A) (x +1)2+y 2=1 (B) x 2+y 2=1 (C)x 2+(y +1)2=1 (D)x 2+(y -1)2=1 例26. 若直线4x -3y -2＝0与圆01242222=-++-+a y ax y x 有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围是（ ） (A)-3＜a ＜7 (B)-6＜a ＜4 (C)-7＜a ＜3 (D)-21＜a ＜19 例27. 把参数方程⎩⎨⎧+==1cos sin ααy x （α为参数）化为普通方程，结果是 . 例28. 过点)1,1(-的直线被圆0222=-+x y x 截得的弦长为2，则此直线的方程为例29. 圆的方程为x 2+y 2－6x －8y ＝0，过坐标原点作长为8的弦，求弦所在的直线方程。
第5单元 圆(讲义)-2024-2025学年六年级上册数学人教版
圆(思维导图+考点梳理+典例分析+高频考题+答案解析)【圆的认识与圆周率】1．圆的认识：圆是一种几何图形．当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆．2．圆周率：圆周率符号一般以π来表示，是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数．它定义为圆形之周长与直径之比．它也等于圆形之面积与半径平方之比．【圆及其性质】1、圆的概念：（1）、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。
圆心一般用字母O 表示。
它到圆上任意一点的距离都相等。
（2）、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。
一般用字母r表示。
把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。
（3）、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
一般用字母d表示。
直径是一个圆内最长的线段。
直径的长度是半径的2倍。
2、圆的性质：（1）、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。
同圆中所有的半径、直径都相等。
（2）．在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。
（3）、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
如果已知的是直径，我们要把直径除以2换成半径，确定圆心，然后才开始画圆。
要比较两个圆的大小，就是比较两个圆的直径或半径。
（4）、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。
折痕所在的这条直线叫做对称轴。
【圆、圆环的面积】1、圆的面积公式：S＝πr22、圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积即可得，公式：S＝πr22﹣πr12＝π（r22﹣r12）【圆、圆环的周长】1、圆的周长＝πd＝2πr，2、半圆的周长等于圆周长一半加上直径，即；半圆周长＝πr+2r．3、圆环的周长等于两个圆的周长，即：圆环的周长＝πd1+πd2＝2πr1+2πr2．【扇形的面积】扇形面积可以用扇形所在圆的面积除以360再乘以扇形圆心角的角度n，即：S=nπr 2360．【扇形的认识】1、一条圆弧和经过这条圆弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形2、扇形弧长计算公式，l是弧长，n是扇形圆心角，π是圆周率，R是扇形半径。
第6单元-数学-新课标(RJ)
d>R＋r 外离⇔________
d＝R＋r 外切⇔________ 设⊙O1，⊙O2的半径分
别为R，r(R>r)，圆心之
间的距离为d，那么⊙O1 和⊙O2
R－r<d<R＋r 相交⇔________________
d＝R－r 内切⇔________
d<R－r 两圆内含⇔________
步骤
(2)从假设的结论出发，推出矛盾； (3)由矛盾的结果说明假设不成立，从而肯定原命题 的结论正确
考点聚焦 归类探究
第27课时┃圆的有关性质
归 类 探 究
探究一 垂径定理及其推论 命题角度： 1. 垂径定理的应用； 2. 垂径定理的推论的应用． 例1
[2013· 徐州 ] 如图27－1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
相等 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧______ 直角 ；90°的圆周角 半圆(或直径)所对的圆周角是______ 直径 所对的弦是______
如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这
直角 三角形 个三角形是________
考点聚焦 归类探究
第27课时┃圆的有关性质
考点7
圆内接多边形
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上
图27－1
考点聚焦
归类探究
第27课时┃圆的有关性质
方法点析 垂径定理及其推论是证明两线段相等，两条弧相等及两
直线垂直的重要依据之一，在有关弦长、弦心距的计算中常
常需要作垂直于弦的线段，构造直角三角形．
考点聚焦
归类探究
第27课时┃圆的有关性质
探究二 圆心角、弧、弦之间的关系
命题角度： 在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系． ︵ ︵ ︵ 例2 如图 27－2，已知 AB 是⊙O 的直径，BC＝CD＝DE.
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当堂清
3.填空题 (1)．经过平面上一点可以画 个圆；经过平面上 两点A、B可以作 个圆，这些圆的圆心在 。 (2)．过平面上不在同一直线上的三点可以作 个圆。 (3)．锐角三角形的外心在 ；直角三角形的外心 在 ；钝角三角形的外心在 。
当堂清
4. 在△ABC中，BC=16cm，外心O到BC的距离 为6cm，求△ABC的外接圆半径.
1. 确定圆的条件是什么？
2. 正确判断点与圆的位置关系；
3.外心、三角形的外接圆及圆的内接三角形 的概念； 4.会灵活运用确定圆的条件来画圆。
一位考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘 时，发现一圆形瓷器碎片，你能帮助这位 考古学家画出这个碎片所在的整圆，以便 于进行深入的研究吗？
要确定一个圆必须 满足几个条件?
5.已知Rt△ABC的两直角边为a和b，且a，b是方程 x2-x-12=0的两根，求Rt△ABC的外接圆面积．
当堂清
6.草原上有三个放牧点，要修建一个牧民 定居点，使得三个放牧点到定居点的距离 相等，那么如何确定定居点的位置?
●
A
●
B
●
C
拓展探究
如 图 , 一 根 5m 长的绳子,一 端栓在柱子上 , 另一端栓着一 只羊,请画出 羊的活动区域 .
当堂清
2.判断： (1)经过三点一定可以作圆。（ × ） (2)三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线 的交点。（√ ） (3)三角形的外心到三边的距离相等。（× ） (4)等腰三角形的外心一定在这个三角形内（ × ）
(5)任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有 一个内接三角形．（ × ） (6)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等. （√ ）
现在你知道了怎样要 将一个如图所示的破损的 圆盘复原了吗？
方法: 1、在圆弧上任取三点A、 B、C。 2、作线段AB、BC的垂 直平分线,其交点O即为 圆心。 3、以点O为圆心，OC长 为半径作圆。 ⊙O即为所求。
A
B
C O
已知△ABC，用直尺和圆 规作出过点A、B、C的圆
A
O
C
B
经过三角形各个顶点的圆 叫做三角形的外接圆，外接圆 的圆心叫做三角形的外心，这 个三角形叫做圆的内接三角形。
（3）AB、AC的中垂线的交点O到B、C的距 离 相等 。
过如下三点能不能做圆? 为什么?
A
B
C
不在同一直线上的三点确定一个圆
已知：不在同一直线上的三点A、 B、C 求作： ⊙O使它经过点A、B、C
A
N
B
E
O
作法：1、连结AB，作线段 F AB的垂直平分线MN； 2、连接AC，作线段AC的垂 C直平分线EF，交MN于点O； M 3、以O为圆心，OB为半径作 圆。 所以⊙O就是所求作的圆。
植物园
动物园
人工湖
图中工具的CD边所在直线恰好垂直平分 AB边，怎样用这个工具找出一个圆的圆心。 A
B
· 圆心
C
D
当堂清
1.选择题
(1).下列命题不正确的是
A.过一点有无数个圆.
C.弦是圆的一部分.
B.过两点有无数个圆.
D.过同一直线上三点不能画圆.
(2).三角形的外心具有的性质是
A.到三边的距离相等. B.到三个顶点的距离相等.
注意
P P P
O
r
·
A
1、过一点可以作几条直线？ 2、过几点可确定一条直线？
过几点可以确定一个圆呢？
经过一个已知点A能确 定一个圆吗?
A
你怎样画这个圆?
点 能 作经 无过 数一 个个 圆已 知
经过两个已知点A、B能 确定一个圆吗?
经过两个已知点 A、B能作无数个圆
经过两个已 知点A、B所作的 圆的圆心在怎样的 一条直线上?
┐
B
C
（图二）
B C （图三）
1、比较这三个三角形外心的位置， 你有何发现？ 2、图二中，若AB=3，BC=4，则它的外接 圆半径是多少？
某市要建一个圆形公园，要求公园刚好把动 物园A，植物园B和人工湖C包括在内，又要使 这个圆形的面积最小，请你给出这个公园的施 工图。（A、B、C不在同一直线上）
它们的圆心都在线段AB 的中垂线上。
A
B
经过三个已知点A，B， C能确定一个圆吗？
A 假设经过A、B、C三点 N F 的⊙O存在 （1）圆心O到A、B、C三 点距离 相等 （填“相等” C O E M B 或”不相等”）。 （2）连结AB、AC，过O点 分别作直线MN⊥AB， EF⊥AC，则MN是AB 的 垂直平分线 ；EF是AC的 垂直平分线 。
5
5m 4m
o
5m 4m
o
大家快算算！
正确答案
（1）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位 置和大小才唯一确定。
（2）经过一个已知点能作无数个圆！ （3）经过两个已知点A、B能作无数个圆！这 些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上。 （4）不在同一直线上的三个点确定一个圆。 （5）外接圆，外心的概念。
C.外心在三角形的外.
D.外心在三角形内.
(3)．下列说法正确的是（ B ） A．三点确定一个圆 B．三角形有且只有一个外接圆 C．四边形都有一个外接圆 D．圆有且只有一个内接三角 形 (4)．下列命题中的假命题是（ B ） A．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 B．三角形的外心到三角形三边的距离相等 C．三角形的外心一定在三角形一边的中垂线上 D．三角形任意两边的中垂线的交点，是这个三 角形的外心 (5)．下列图形一定有外接圆的是（ A ） A．三角形 B．平行四边形 C．梯形 D．菱形
思考：任意四个点是不是可以作一个圆？ 请举例说明. 不一定
1. 四点在一条直线上不能作圆； 2. 三点在同一直线上, 另一点不在这条直线上不能作圆； 3. 四点中任意三点不在一条直线可能作圆也可能作不出一个圆.
A
A A B A B
B
B
D
C
D
C
D
C
D
C
问题3：反过来，已知点到圆心的距离和圆的 半径，能否判断点和圆的位置关系？
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP = d， 则有： 点P在圆内 d＜r；
点P在圆上 d = r； 点P在圆外 d＞r . 符号 读作 “等价于”，它表示从 符号 的左端可以 得到右端从右端也可以 得到左端．
1、复习．
2、预习：27.2
作业布置
3、必做题：练习部分/习题27.1
选做题：(1)思考：不共线的任意四点能否确定一 个圆？若能，则这四个点有何特征？ (2)已知△ABC中，AB=AC=5，BC=6，O是 △ABC的外心，G是△ABC的重心，求OG的长。
(3)拓展：对于一个一般三角形（如边长 为4、6、8的三角形）能否计算它的外接圆半径？ （若能，设外接圆半径为x，请列出关于x的方程。）
A O B 如图：⊙O是△ABC的 外接圆， △ABC是⊙O 的内接三角形，点O是 C △ABC的外心 外心是△ABC三条边的垂 直平分线的交点，它到三角 形的三个顶点的距离相等。
如图，请找出图中圆的圆 心，并写出你找圆心的方法?
A
O
C
B
画出过以下三角形的顶点的C
O
B （图一）
我国射击运动员在奥 运会上屡获金牌，为我国 赢得荣誉，右图是射击靶 的示意图，它是由许多同 心圆（圆心相同，半径不 等的圆）构成的，你知道 击中靶上不同位置的成绩 是如何计算的吗？
问题１：观察图中点A，点B，点C与圆的位置 关系？ A 点A在圆内， O· C 点B在圆上， r B 点C在圆外. 问题２：设⊙O半径为 r , 说出来点A，点B，点 C与圆心O的距离与半径的关系： OA < r， OB = r， OC > r.