倍角和半角公式

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两倍角与半角公式与万能公式

两倍角与半角公式与万能公式
两倍角公式：
1. 正弦函数的两倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ
2. 余弦函数的两倍角公式：cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ =
2cos^2θ - 1 = 1 - 2sin^2θ
3. 正切函数的两倍角公式：tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan^2θ)半角公式：
1. 正弦函数的半角公式：sin(θ/2) = ±√((1 - cosθ)/2)
2. 余弦函数的半角公式：cos(θ/2) = ±√((1 + cosθ)/2)
3. 正切函数的半角公式：tan(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / (1 + cosθ))
万能公式（辅助角公式）：
1. sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB
2. cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB
3. tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)
这些公式在解决三角函数问题时非常有用，可以帮助化简表达式、求解特殊角度的值、结合其他角度等。

使用这些公式时，需要注意角度的范围、符号以及对应的关系，可以灵活运用来简化计算过程。

同时，需要注意避免混淆正负号以及其他基本运算的错误。

三角函数的倍角与半角公式的应用

三角函数的倍角与半角公式的应用三角函数是数学中重要的概念之一，它在几何学和三角学的计算中起到了重要的作用。

而倍角与半角公式则是三角函数在角度变化时的关键工具。

本文将介绍三角函数的倍角与半角公式，并探讨其在实际应用中的应用场景。

一、正弦函数的倍角与半角公式正弦函数常表示为sinθ，其中θ是一个角度。

正弦函数的倍角公式为sin2θ=2sinθcosθ，半角公式为sin(θ/2)=±√((1-cosθ)/2)。

正弦函数的倍角公式广泛应用于几何学中的角的求解。

例如，在一个等边三角形中，如果已知其中一个角的正弦值sinθ，我们可以通过倍角公式求解出另一个角的正弦值sin2θ，从而帮助我们计算出该等边三角形的其他属性，如边长、面积等。

半角公式则可以用于计算复杂的三角函数表达式的简化。

例如，当需要计算sin(θ/2)时，如果已知θ的值，我们可以利用半角公式将sin(θ/2)变换为cosθ的形式，从而简化计算过程，提高计算的准确性和效率。

二、余弦函数的倍角与半角公式余弦函数常表示为cosθ，其中θ是一个角度。

余弦函数的倍角公式为cos2θ=cos^2(θ)-sin^2(θ)，半角公式为cos(θ/2)=±√((1+cosθ)/2)。

余弦函数的倍角公式同样具有广泛的应用场景。

在解析几何学中，我们常常需要计算两个向量之间的夹角。

当我们已知两个向量的余弦值cosθ时，可以利用倍角公式求解出cos2θ的值，进而帮助我们计算出这两个向量夹角的大小。

与正弦函数类似，余弦函数的半角公式也可以用于三角函数的简化计算。

例如，当需要计算cos(θ/2)时，如果已知θ的值，我们可以利用半角公式将cos(θ/2)变换为cosθ的形式，从而简化计算过程。

三、正切函数的倍角与半角公式正切函数常表示为tanθ，其中θ是一个角度。

正切函数的倍角公式为tan2θ=(2tanθ)/(1-tan^2(θ))，半角公式为tan(θ/2)=±√((1-cosθ)/(1+cosθ))。

倍角公式和半角公式口诀

倍角公式和半角公式口诀倍角公式口诀：正弦二倍，正负取决；余弦二倍，正负不同；正切二倍，正负相同；余切二倍，正负取决。

半角公式口诀：正弦半角，加减号；余弦半角，加减号；正切半角，加减号；余切半角，加减号。

正文：在三角函数中，倍角公式和半角公式是非常重要的公式之一。

它们可以帮助我们简化复杂的三角函数表达式，从而更方便地进行计算和推导。

下面我们将分别介绍倍角公式和半角公式的口诀，并举例说明其应用。

倍角公式口诀是一种简单易记的口诀，可以帮助我们快速记忆倍角公式的变化规律。

首先我们来看倍角公式口诀：正弦二倍，正负取决；余弦二倍，正负不同；正切二倍，正负相同；余切二倍，正负取决。

这个口诀告诉我们，在倍角公式中，正弦和余切的正负取决于原角的正负，而余弦和正切的正负则与原角的正负相反。

这个口诀的记忆方式非常简单直观，让人很容易就能记住倍角公式的正负变化规律。

接下来我们通过一个具体的例子来说明倍角公式的应用。

假设我们需要计算sin(2x)的值，其中x是一个已知的角度。

根据倍角公式sin(2x) = 2sin(x)cos(x)，我们可以利用已知角度x的正弦值和余弦值来求得sin(2x)的值，而无需直接求解sin(2x)的正弦值。

这样一来，我们可以大大简化计算的复杂度，提高计算效率。

接下来我们来看半角公式口诀：正弦半角，加减号；余弦半角，加减号；正切半角，加减号；余切半角，加减号。

这个口诀告诉我们，在半角公式中，正弦、余弦、正切和余切的正负变化规律。

根据这个口诀，我们可以很容易地记住半角公式的正负变化规律，从而在实际计算中更加得心应手。

接下来我们通过一个具体的例子来说明半角公式的应用。

假设我们需要计算sin(x/2)的值，其中x是一个已知的角度。

根据半角公式sin(x/2) = ±√[(1-cos(x))/2]，我们可以利用已知角度x的余弦值来求得sin(x/2)的值，而无需直接求解sin(x/2)的正弦值。

倍角公式和半角公式-拔高难度-讲义

倍⾓公式和半⾓公式-拔⾼难度-讲义倍⾓公式和半⾓公式知识讲解⼀、倍⾓公式sin 22sin cos ααα=；2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=- 3sin 33sin 4sin ααα=-；3cos34cos 3cos ααα=-；323tan tan tan 313tan αααα-=- ⼆、半⾓公式1cos sin22αα-=±；1cos cos 22αα+=±； 1cos 1cos sin tan21cos sin 1cos ααααααα--=±==++ 三、万能公式22tan2sin 1tan 2ααα+；221tan 2cos 1tan 2ααα-=+；22tan2tan 1tan 2ααα=-四、公式的推导sin 2sin()sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=22cos2cos()cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=?-?=- 再利⽤22sin cos 1αα+=，可得：2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==-?-sin 2tan2cos2ααα===sin 2sinsin1cos 222tan2sin cos 2sin cos 222αααααα-=== sin 2cossinsin 222tan21cos cos2cos cos222ααααααααα===+ 【说明】这⾥没有考虑cossin22αα==，实际处理题⽬的时候需要把等于０的情况分出来单独讨论⼀下．五、综合运⽤1.倍⾓、半⾓、和差化积、积化和差等公式的运⽤1）并项功能： 2221sin 2sin cos 2sin cos (sin cos )ααααααα±=+±=± 2）升次功能： 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- 3）降次功能： 221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-== 2.三⾓变换中常⽤的数学思想⽅法技巧有：1）⾓的变换：和、差、倍、半、互余、互补的相对性，有效沟通条件与结论中⾓的差异，⽐如：3015453060452? =-=-=ααββαββ=-+=+-=?()()()()ππ2()()44ααβαβαββααα=++-=+--=+--()()222βαβαβαααβα?-=-+=-=--ππππππ244362αααααα+-=++-=++-= ? ? ? ? ???????????π3ππ2ππ5ππ443366αααααα++-=++-=++-= ? ? ? ? ? ?2）函数名称的变换：三⾓变形中，常常需要变函数名称为同名函数，在三⾓函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名；有时可以使⽤万能公式将所有函数名化为正切； 3）常数代换：在三⾓函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三⾓函数值，例如：2222ππππ1sin cos sec tan sintan 2sin 2464αααα=+=-===； 4）幂的变换：降幂是三⾓变换时常⽤的⽅法常⽤的降幂公式有：21cos2cos 2αα+=，21cos2sin 2αα-=但降幂并⾮绝对，有时也需要对某些式⼦进⾏升幂处理，⽐如221cos22cos ,1cos22sin αααα+=-=；21sin 2(sin cos )ααα±=±；5）公式变形：三⾓公式是变换的依据，应熟练掌握三⾓公式的顺⽤，逆⽤及变形应⽤，例如：tan tan tan()(1tan tan)αβαβαβ±=±??m ； 6）辅助⾓公式的运⽤：在求值问题中，要注意辅助⾓公式() sin cos y a b ααα?=++的应⽤，其中tan b a=，?所在的象限由,a b 的符号确定．⼀．填空题（共1⼩题）1．（2012?北京模拟）如果函数y=cos2ωx﹣sin2ωx的最⼩正周期是4π，那么正数ω的值是．【解答】解：因为函数y=cos2ωx﹣sin2ωx=cos2ωx，它的最⼩正周期是4π，所以，解得ω=．故答案为：⼆．解答题（共12⼩题）2．（2018春?晋江市校级期中）已知向量、是两个相互垂直的单位向量，向量=2﹣，=﹣+2．（1）求以及向量在向量⽅向上的投影；（2）设向量与的夹⾓为α，求tan2α；（3）若t∈R，求|﹣t|的最⼩值．【解答】解：（1）分别以、的⽅向为x，y轴的正⽅向，建⽴平⾯直⾓坐标系，则=（2，﹣1），=（﹣1，2），所以?=﹣2﹣2=﹣4，||=||=，故向量在向量⽅向上的投影为||cos＜，＞==﹣；（2）cosα==﹣，由α∈[0，π]，可得sinα==，则tanα==﹣，tan2α===﹣；（3）由（1）﹣t=（2+t，﹣1﹣2t），|﹣t|2=（2+t）2+（﹣1﹣2t）2=5t2+8t+5=5（t+）2+，当t=﹣时，|﹣t|取得最⼩值．3．（2018?辽宁模拟）已知函数f（x）=2cos2x+sin2x．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求f（x）的最⼤值和最⼩值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=2cos2x+sin2x，f（）=2cos+sin2==﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）f（x）=2cos2x+sin2x=2cos2x+=，所以f（x）的最⼤值为2，最⼩值为﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）4．（2017春?殷都区校级期末）已知函数f（x）=sin2（x+）﹣cos2x﹣（x∈R）．（1）求函数f（x）最⼩值和最⼩正周期；（2）若A为锐⾓，且向量=（1，5）与向量=（1，f（﹣A））垂直，求cos2A．﹣=cos2x﹣1=，∴函数f（x）最⼩值是﹣2，最⼩正周期T==π；（2）∵向量=（1，5）与向量=（1，f（﹣A））垂直，∴1+5f（﹣A）=0，则1+5[]=0，∴=＞0，∵A为锐⾓，∴，则，∴==，则cos2A=cos[（）﹣]=+=×+=．5．（2017?青⽺区校级模拟）设a，b，c分别是△ABC三个内⾓∠A，∠B，∠C 的对边，若向量，，且．（1）求tanA?tanB的值；（2）求的最⼤值．【解答】解：（1）由得，，即4cos（A﹣B）=5cos（A+B），解得，．（2）因为=，⼜=，所以，tan（A+B）有最⼩值，当且仅当时，取得最⼩值．⼜tanC=﹣tan（A+B），则tanC有最⼤值，故的最⼤值为．6．（2015秋?硚⼝区期末）当α≠（2k+1）π，k∈Z时，等式恒成⽴，我们把这个恒等式叫“半⾓公式”．（1）证明上述半⾓公式；（2）若α，β都是锐⾓，，试求的值．【解答】解：（1）右边==左边，（2）∵α，β都是锐⾓，?，∵0＜α+β＜π?，∴sinβ=sin（α+β﹣α）=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=，∴，∴=．【解答】解：∵0＜β＜＜α＜，∴＜2α＜π，﹣＜﹣β＜0，∴＜2α﹣β＜π．∵cos（2α﹣β）=﹣，∴sin（2α﹣β）=．同理可得：﹣＜α﹣2β＜．⼜∵sin（α﹣2β）=，∴cos（α﹣2β）=．∴cos（α+β）=cos[（2α﹣β）﹣（α﹣2β）] =cos（2α﹣β）cos（α﹣2β）+sin（2α﹣β）sin（α﹣2β）=（﹣）×+×=，∵＜α+β＜，∴α+β=，∴sin=．8．（2011春?天河区校级期中）已知sinα=，sin（α+β）=，α与β均为锐⾓，求cos．（cos）【解答】解：∵0＜α＜，∴cosα=．…（2分）⼜∵0＜α＜，0＜β＜，∴0＜α+β＜π．…（4分）若0＜α+β＜，∵sin（α+β）＜sinα，∴α+β＜α不可能．故＜α+β＜π．∴cos（α+β）=﹣．…（6分）∴cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=﹣??，…（10分）∵0＜β＜，∴0＜＜．故cos．…（13分）9．已知，求证：y=x2﹣4x+5．【解答】证明：由x=2+tan得x﹣2=tan=，故（x﹣2）2====﹣1⼜故（x﹣2）2=y﹣1整理得y=x2﹣4x+5证毕10．（2017秋?烟台期中）设△ABC的内⾓A，B，C的对应边分别为a，b，c，若（1）求a：b：c；（2）若△ABC外接圆的半径为14，求△ABC的⾯积．【解答】解：（1）由m，n共线，得，，所以：2b=a+c设a=b﹣d，c=b+d，由已知，，即，∴，从⽽，∴a：b：c=7：5：3．（2）由正弦定理，得：，由（1）设即，所以：所以：，所以：△ABC的⾯积为．11．（2016秋?黄陵县校级⽉考）已知向量与为共线向量，且α∈[﹣π，0]．（Ⅰ）求sinα+cosα的值（Ⅱ）求的值．【解答】解：（Ⅰ）∵与为共线向量，∴（cosα﹣）?1﹣（﹣1）?sinα=0，∴sinα+cosα=．（Ⅱ）∵1+sin2α=（sinα+cosα）2=，∴sin2α=﹣，∴（sinα﹣cosα）2=（sinα+cosα）2﹣4sinαcosα=﹣2×（﹣）=．⼜∵α∈[﹣π，0]，sinα?cosα＜0，∴α∈[﹣，0]，∴sinα﹣cosα＜0，∴sinα﹣cosα=﹣．∴=．12．（2016春?长治校级期中）已知函数f（x）=sin（3x+）．若α是第⼆象限的⾓，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．∴f（）=sin（α+），⼜f（）=cos（α+）cos2α=cos（α+）sin（2α+），∴cos（α+）×2cos（α+）sin（α+）=sin（α+），依题意知sin（α+）=0或=；①∵α是第⼆象限的⾓，∴cosα＜0，sinα＞0，∴cosα﹣sinα=cos（α+）＜0，②由①②得：cos（α+）=﹣或﹣1，∴cosα﹣sinα=×（﹣）=﹣或﹣．13．（2015秋?临河区校级期末）已知，．（1）求cos2α的值；（2）求的值．【解答】解：（1）∵，．cos2α=2cos2α﹣1=﹣1=﹣．（2）∵，．∴sinα==．∴=sinα+cosα==．。

三角函数的倍角公式与半角公式

三角函数的倍角公式与半角公式在学习三角函数的过程中，倍角公式和半角公式是非常重要的推导与应用。

它们能够使我们简化复杂的三角函数运算，并且在解决问题时提供更加灵活和便捷的方法。

本文将详细介绍三角函数的倍角公式和半角公式，并探讨它们的应用。

一、三角函数的倍角公式1. 正弦函数的倍角公式对于一个角θ，正弦函数的倍角公式可以表示为：sin(2θ) = 2sinθcosθ这个公式告诉我们，当我们需要求一个角的正弦函数的两倍时，可以通过将这个角的正弦函数与余弦函数相乘得到。

这在解决一些三角函数运算较为复杂的问题时非常有用。

2. 余弦函数的倍角公式同样地，余弦函数的倍角公式可以表示为：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ这个公式告诉我们，当我们需要求一个角的余弦函数的两倍时，可以通过将这个角的余弦函数的平方减去正弦函数的平方得到。

这个公式可以在求解一些三角函数的平方和差问题时提供便捷的方法。

3. 正切函数的倍角公式tan(2θ) = (2tanθ)/(1-tan²θ)这个公式给出了正切函数的两倍与原角度的正切函数之间的关系。

在一些复杂的三角函数问题中，这个公式能够帮助我们简化计算，得出更加精确的结果。

二、三角函数的半角公式1. 正弦函数的半角公式对于一个角θ，正弦函数的半角公式可以表示为：sin(θ/2) = √[(1 - cosθ)/2]这个公式告诉我们，当我们需要求一个角的半角的正弦函数时，可以通过将这个角的余弦函数与1的差再除以2开方得到。

这个公式在一些角的半角问题的解决中非常有用。

2. 余弦函数的半角公式余弦函数的半角公式可以表示为：cos(θ/2) = √[(1 + cosθ)/2]这个公式告诉我们，当我们需要求一个角的半角的余弦函数时，可以通过将这个角的余弦函数与1的和再除以2开方得到。

在一些复杂的三角函数问题中，这个公式能够提供简化计算的方法。

3. 正切函数的半角公式tan(θ/2) = sinθ/(1 + cosθ)这个公式给出了正切函数的半角与原角度的正弦函数和余弦函数之间的关系。

倍角公式和半角公式

半角公式利用某个角（如A）的正弦，余弦，正切，及其他三角函数，来求某个角的半角（如A/2）的正弦，余弦，正切，及其他三角函数的公式。

si n^2(α/2)=(1-cosα)/2c os^2(α/2)=(1+c osα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=si nα/(1+c osα)=(1-cosα)/si nα=+或-[1-cosα）/（1+c osα）]开二次方倍角公式是三角函数中非常实用的一类公式.现列出公式如下:sin2α=2sinαco sαt an2α=2t anα/(1-tan^2(α))c os2α=c os^2(α)-si n^2(α)=2c os^2(α)-1=1-2si n^2(α)可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用.号外:tan(α/2)=si nα/(1+c osα)=(1-c osα)/si nαtan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·倍角公式：si n(2α)=2sinα·c osαc os(2α)=c os^2(α)-sin^2(α)=2c os^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]其他一些公式·三倍角公式：si n3α=3sinα-4si n^3(α)c os3α=4c os^3(α)-3c osαtan3α=tan(α)*(-3+tan(α)^2)/(-1+3*tan(α)^2)·半角公式：si n^2(α/2)=(1-cosα)/2c os^2(α/2)=(1+c osα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=si nα/(1+c osα)=(1-c osα)/si nα·万能公式：si nα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]c osα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式：si nα·cosβ=(1/2)[si n(α+β)+sin(α-β)]c osα·si nβ=(1/2)[si n(α+β)-sin(α-β)]c osα·c osβ=(1/2)[c os(α+β)+c os(α-β)]si nα·si nβ=-(1/2)[c os(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：si nα+si nβ=2si n[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]si nα-si nβ=2cos[(α+β)/2]si n[(α-β)/2]c osα+c osβ=2c os[(α+β)/2]c os[(α-β)/2]c osα-c osβ=-2si n[(α+β)/2]si n[(α-β)/2]·其他：si nα+si n(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+si n(α+2π*3/n)+……+si n[α+2π*(n-1)/n]=0c osα+c os(α+2π/n)+c os(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+c os[α+2π*(n-1)/n]=0 以及si n^2(α)+si n^2(α-2π/3)+si n^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0四倍角公式：si n4A=-4*(cosA*si nA*(2*si nA^2-1))c os4A=1+(-8*c os A^2+8*c os A^4)tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)五倍角公式：si n5A=16si nA^5-20si nA^3+5si nAc os5A=16c os A^5-20c os A^3+5cosAtan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)六倍角公式：si n6A=2*(cosA*si nA*(2*si nA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*si nA^2))c os6A=((-1+2*c os A^2)*(16*c os A^4-16*c os A^2+1))tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)七倍角公式：si n7A=-(sinA*(56*si nA^2-112*si nA^4-7+64*si nA^6))c os7A=(c osA*(56*c osA^2-112*c osA^4+64*c os A^6-7))tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)八倍角公式：si n8A=-8*(cosA*si nA*(2*si nA^2-1)*(-8*si nA^2+8*sinA^4+1))c os8A=1+(160*c os A^4-256*c os A^6+128*c os A^8-32*c os A^2)tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)九倍角公式：si n9A=(sinA*(-3+4*si nA^2)*(64*sinA^6-96*si nA^4+36*si nA^2-3))c os9A=(c osA*(-3+4*cosA^2)*(64*c os A^6-96*cosA^4+36*c os A^2-3))tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)十倍角公式：si n10A=2*(c os A*sinA*(4*sinA^2+2*si nA-1)*(4*sinA^2-2*si nA-1)*(-20*si nA^2+5+16*si nA^4))c os10A=((-1+2*c os A^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*c os A^2+1))tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)【本讲教育信息】一. 教学内容：3.1 和角公式3.2 倍角公式和半角公式二. 教学目的1. 了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的推导和证明过程，能够利用两角和与差的余弦、正弦、正切公式进行简单的三角函数式的求值、化简和证明，了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的内在联系；2. 掌握倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的推导过程，能够利用倍角、半角的正弦、余弦、正切公式进行求值、化简和证明，了解倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的内在联系。

三角形倍角公式和半角公式

三角形倍角公式和半角公式大家好，今天我们来聊聊三角形倍角公式和半角公式。

这两个公式可是数学里的小宝贝哦！它们可以帮助我们解决很多三角形的问题。

不过，别看它们小小的，可是个个都是“大腕儿”呢！让我们来认识一下三角形倍角公式。

三角形倍角公式是这样的：sin2A + sin2B +sin2C = 2sin(A + B)cos(A B)。

你看，这个公式里面有三个角A、B、C,而且这三个角都是三角形的内角。

这个公式的意思是说，一个三角形的两个角的正弦值的平方之和等于另外两个角的正弦值的两倍乘以这两个角的余弦值之差。

这个公式可厉害了，它可以帮助我们求出三角形的各个角度，还可以用来判断一个三角形是不是直角三角形。

接下来，我们来说说半角公式。

半角公式是这样的：cos(A/2) = (1 tan(A/2)) / (1 + tan(A/2))。

这个公式里面只有一个角A,而且这个角也是三角形的一个内角。

这个公式的意思是说，一个三角形的一个角度的一半的余弦值等于这个角度一半的正切值减一除以这个角度一半的正切值加一。

这个公式可神奇了，它可以帮助我们求出一个三角形的一个角度的一半的余弦值，还可以用来判断一个三角形是不是等腰三角形。

那么，这两个公式有什么用呢？其实，它们在我们的日常生活中也有很多应用。

比如说，我们在装修房子的时候，需要测量墙角的角度，这时候就可以用到这两个公式了。

还有，我们在玩游戏的时候，如果要让角色沿着一个圆弧走，也可以用到这两个公式。

这两个公式可是我们生活中的小助手哦！学会了这两个公式还不够，我们还需要知道它们的逆运算。

比如说，我们知道了sin2A + sin2B + sin2C = 2sin(A + B)cos(A B),那么它的逆运算就是什么呢？没错，就是sin(A + B)cos(A B) = sin2A + sin2B + sin2C。

同样地，我们知道了cos(A/2) = (1 tan(A/2))/ (1 + tan(A/2)),那么它的逆运算就是什么呢？没错，就是tan(A/2) = (1 cos(A/2)) / (1 + cos(A/2))。

倍角公式和半角公式

半角公式利用某个角（如A）的正弦，余弦，正切，及其他三角函数，来求某个角的半角（如A/2）的正弦，余弦，正切，及其他三角函数的公式。

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=+或-[1-cosα）/（1+cosα）]开二次方倍角公式是三角函数中非常实用的一类公式.现列出公式如下:sin2α=2sinαcosαtan2α=2tanα/(1-tan^2(α))cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用.号外:tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosαcos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]其他一些公式·三倍角公式：sin3α=3sinα-4sin^3(α)cos3α=4cos^3(α)-3cosαtan3α=tan(α)*(-3+tan(α)^2)/(-1+3*tan(α)^2)·半角公式：sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0四倍角公式：sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)五倍角公式：sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinAcos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosAtan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)六倍角公式：sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)七倍角公式：sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)八倍角公式：sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)九倍角公式：sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)十倍角公式：sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4))cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)【本讲教育信息】一. 教学内容：3.1 和角公式3.2 倍角公式和半角公式二. 教学目的1. 了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的推导和证明过程，能够利用两角和与差的余弦、正弦、正切公式进行简单的三角函数式的求值、化简和证明，了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的内在联系；2. 掌握倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的推导过程，能够利用倍角、半角的正弦、余弦、正切公式进行求值、化简和证明，了解倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的内在联系。

三角函数的倍角与半角公式的综合应用

三角函数的倍角与半角公式的综合应用三角函数是数学中的重要概念，它们在各个领域中有广泛的应用。

其中，倍角与半角公式是三角函数中的重要内容，它们可以帮助我们简化计算和求解问题。

本文将介绍三角函数的倍角与半角公式，并通过实际问题的应用来加深理解。

一、倍角公式倍角公式是指将角的两倍表示成单一角的函数表达式。

对于任意角θ，倍角公式可以表示为：sin 2θ = 2sinθcosθcos 2θ = cos^2θ - sin^2θtan 2θ = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)这些公式可以帮助我们将角的计算简化，并在解决实际问题时提供便利。

下面通过一个几何问题来说明倍角公式的应用。

例题：已知直角三角形的一条直角边的长度为3，另一直角边的长度为4，求斜边的长度。

解析：设斜边的长度为x，则根据勾股定理，有x^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25。

因此，x = √25 = 5。

扩展：如果我们希望计算一个角的正弦值，而该角的三角函数值无法直接获得，可以利用倍角公式将该角表示为已知角的函数表达式，从而计算得到该角的正弦值。

倍角公式为我们提供了一种简化计算的方法。

二、半角公式半角公式是指将角的一半表示成其他角的函数表达式。

对于任意角θ，半角公式可以表示为：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / 2]cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ) / 2]tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / (1 + cosθ)]其中，±表示正负号的选择，根据具体问题的情况确定。

半角公式同样可以简化计算和求解问题，下面通过一个几何问题来说明半角公式的应用。

例题：已知一个等边三角形的边长为2，求其内角的度数。

解析：设该等边三角形的一个内角为θ，则根据等边三角形的性质，有θ = 180° / 3 = 60°。

因此，等边三角形内角为60°。

4.5和角公式、倍角公式与半角公式

1.和角公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β， (C α－β) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β， (C α＋β) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β， (S α－β) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， (S α＋β) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β， (T α－β)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β. (T α＋β)2.倍角公式sin 2α＝2sin αcos α，(S 2α)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，(C 2α) tan 2α＝2tan α1－tan 2α.(T 2α)3.半角公式2cos α＝±1＋cos α2，(C 2α) sin 2α＝±1－cos α2，(S 2α) tan 2α＝±1－cos α1＋cos α.(T 2α)(根号前的正负号，由角α2所在象限确定)4.公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；(2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( √ ) (2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定.( × ) (3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( × )(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ )(5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( √ )1.已知sin α＋cos α＝13，则sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α等于( ) A.118 B.1718 C.89 D.29答案 B解析由sin α＋cos α＝13两边平方得1＋sin 2α＝19，解得sin 2α＝－89，所以sin 2 ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α2＝1－sin 2α2＝1＋892＝1718，故选B.2.若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α等于( )A.－34B.34C.－43D.43答案 B解析由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34.3.(2015·重庆)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β等于( )A.17B.16C.57D.56 答案 A解析 tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝12－131＋12×13＝17.4.(教材改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ . 答案22解析 sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58° ＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77° ＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝22. 5.设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为 .答案17250解析 ∵α为锐角，cos(α＋π6)＝45，∴α＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，2π3， ∴sin(α＋π6)＝35，∴sin(2α＋π3)＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)＝2425，∴cos(2α＋π3)＝2cos 2(α＋π6)－1＝725，∴sin(2α＋π12)＝sin(2α＋π3－π4)＝22[sin(2α＋π3)－cos(2α＋π3)]＝17250.题型一三角函数公式的基本应用例1 (1)已知sin α＝35，α∈(π2，π)，则cos 2α2sin (α＋π4)＝ .(2)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是 . 答案 (1)－75(2) 3解析 (1)cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝⎛⎭⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α， ∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－45.∴原式＝－75.(2)∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α， ∴cos α＝－12，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3.思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征. (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.(1)若α∈(π2，π)，tan(α＋π4)＝17，则sin α等于( )A.35 B.45 C.－35D.－45(2)已知cos(x －π6)＝－33，则cos x ＋cos(x －π3)的值是( )A.－233B.±233C.－1D.±1答案 (1)A (2)C解析 (1)∵tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝17，∴tan α＝－34＝sin αcos α，∴cos α＝－43sin α.又∵sin 2α＋cos 2α＝1， ∴sin 2α＝925.又∵α∈(π2，π)，∴sin α＝35.(2)cos x ＋cos(x －π3)＝cos x ＋12cos x ＋32sin x＝32cos x ＋32sin x ＝3(32cos x ＋12sin x ) ＝3cos(x －π6)＝－1.题型二三角函数公式的灵活应用例2 (1)sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos(110°－x )的值为( ) A. 2 B.22 C.12D.32(2)(2015·重庆)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5等于( )A.1B.2C.3D.4 答案 (1)B (2)C解析 (1)原式＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos [90°－(x －20°)] ＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )sin(x －20°)＝ sin [(65°－x )＋(x －20°)]＝sin 45°＝22.故选B. (2)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtan π5－1＝2＋12－1＝3.思维升华运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.(1)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4B.π3C.π2D.3π4(2)函数f (x )＝2sin 2(π4＋x )－3cos 2x 的最大值为( )A.2B.3C.2＋ 3D.2－ 3答案 (1)A (2)B解析 (1)由题意知：sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－1＝－tan A ，所以A ＝π4.(2)f (x )＝1－cos 2(π4＋x )－3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1，可得f (x )的最大值是3. 题型三角的变换问题例3 (1)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( ) A.2525 B.255C.2525或255D.55或525(2)已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是 .答案 (1)A (2)－45解析 (1)依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45.又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β). 因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.于是cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525.(2)∵cos(α－π6)＋sin α＝453，∴32cos α＋32sin α＝453， 3(12cos α＋32sin α)＝453， 3sin(π6＋α)＝453，∴sin(π6＋α)＝45，∴sin(α＋7π6)＝－sin(π6＋α)＝－45.思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)等. 若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2等于( ) A.33B.－33C.539D.－69答案 C解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β2， ∵0＜α＜π2，∴π4＜π4＋α＜3π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝223.又－π2＜β＜0，则π4＜π4－β2＜π2，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63. 故cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝13×33＋223×63＝539.6.三角函数求值忽视角的范围致误典例 (1)已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，则cos(α＋β)的值为 . (2)已知在△ABC 中，sin(A ＋B )＝23，cos B ＝－34，则cos A ＝ .易错分析 (1)角α2－β，α－β2的范围没有确定准确，导致开方时符号错误.(2)对三角形中角的范围挖掘不够，忽视隐含条件，B 为钝角. 解析 (1)∵0＜β＜π2＜α＜π，∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π，∴cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝53， sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝459，∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝⎝⎛⎭⎫－19×53＋459×23＝7527， ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1 ＝2×49×5729－1＝－239729.(2)在△ABC 中，∵cos B ＝－34，∴π2＜B ＜π，sin B ＝1－cos 2B ＝74. ∵π2＜B ＜A ＋B ＜π，sin(A ＋B )＝23， ∴cos(A ＋B )＝－1－sin 2(A ＋B )＝－53， ∴cos A ＝cos [(A ＋B )－B ]＝cos(A ＋B )cos B ＋sin(A ＋B )sin B ＝⎝⎛⎭⎫－53×⎝⎛⎭⎫－34＋23×74＝35＋2712.答案 (1)－239729 (2)35＋2712温馨提醒在解决三角函数式的求值问题时，要注意题目中角的范围的限制，特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号.另外，对题目隐含条件的挖掘也是容易忽视的问题，解题时要加强对审题深度的要求与训练，以防出错.[方法与技巧] 1.巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x ·tan y )；倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22， 1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2.2.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形. [失误与防范]1.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通.2.在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围.A 组专项基础训练 (时间：35分钟)1.cos 85°＋sin 25°cos 30°cos 25°等于( )A.－32 B.22 C.12D.1 答案 C解析原式＝sin 5°＋32sin 25°cos 25°＝sin (30°－25°)＋32sin 25°cos 25°＝12cos 25°cos 25°＝12.2.若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝378，则sin θ等于( )A.35B.45C.74D.34 答案 D解析由sin 2θ＝378和sin 2θ＋cos 2θ＝1，得(sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝(3＋74)2，又θ∈[π4，π2]，∴sin θ＋cos θ＝3＋74.同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34.3.若tan θ＝3，则sin 2θ1＋cos 2θ等于( )A. 3B.－ 3C.33D.－33答案 A 解析sin 2θ1＋cos 2θ＝2sin θcos θ1＋2cos 2θ－1＝tan θ＝ 3.4.已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于( ) A.－53B.－59C.59 D.53答案 A解析由sin α＋cos α＝33两边平方得1＋2sin αcos α＝13， ∴2sin αcos α＝－23.∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α＝(sin α－cos α)2 ＝1－2sin αcos α＝153. ∴cos 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α) ＝33×⎝⎛⎭⎫－153＝－53. 5.已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( )A.1318B.1322C.322D.16答案 C解析因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝322. 6.sin 250°1＋sin 10°＝ . 答案 12解析 sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12. 7.已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝ . 答案 1解析根据已知条件：cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0.又α、β为锐角，则sin β＋cos β＞0，∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1.8.函数f (x )＝2cos x sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的最大值为 . 答案 1－32解析 ∵f (x )＝2cos x sin ⎝⎛⎭⎫x －π3 ＝2cos x ⎝⎛⎭⎫12sin x －32cos x ＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32， ∴f (x )的最大值为1－32. 9.已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值；(2)求tan α－1tan α的值. 解 (1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3 ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π，又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32. ∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3. 10.已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值. 解 (1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12. 又π2<α<π，所以cos α＝－32. (2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2. 又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45. cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35 ＝－43＋310. B 组专项能力提升(时间：25分钟)11.已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)等于( ) A.－255B.－3510C.－31010D.255答案 A 解析由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13. 又－π2<α<0，所以sin α＝－1010. 故2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α ＝－255. 12.若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22 B.33 C. 2 D. 3 答案 D解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝14， ∴cos 2α＝14， ∴cos α＝12或－12(舍去)， ∴α＝π3，∴tan α＝ 3. 13.已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝ . 答案 2－156解析 ∵cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α) ＝cos 2α＝23，又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴2α∈(0，π)，∴sin 2α＝1－cos 22α＝53， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α ＝12×23－32×53＝2－156. 14.设f (x )＝1＋cos 2x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝ . 答案 ±3解析 f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝(2＋a 2)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. 依题意有2＋a 2＝2＋3，∴a ＝±3.15.已知函数f (x )＝sin x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x 2. (1)求函数f (x )在[－π，0]上的单调区间；(2)已知角α满足α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2f (2α)＋4f ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝1，求f (α)的值.解 f (x )＝sin x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x 2 ＝sin x 2cos x 2＝12sin x . (1)函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π，－π2，单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2，0. (2)2f (2α)＋4f ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝1⇒sin 2α＋2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝1⇒2sin αcos α＋2(cos 2α－sin 2α)＝1 ⇒cos 2α＋2sin αcos α－3sin 2α＝0 ⇒(cos α＋3sin α)(cos α－sin α)＝0.∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos α－sin α＝0⇒tan α＝1得α＝π4， ∴f (α)＝12sin π4＝24.。

三角函数的倍角与半角的公式与应用

三角函数的倍角与半角的公式与应用三角函数是数学中重要的概念之一，它们在几何、物理、工程等领域中广泛应用。

本文将介绍三角函数的倍角与半角的公式以及它们的应用。

一、三角函数的倍角公式在三角函数中，有两个重要的倍角公式，即正弦函数的倍角公式和余弦函数的倍角公式。

1. 正弦函数的倍角公式正弦函数的倍角公式可以表示为：sin(2θ) = 2sinθcosθ这个公式表明，正弦函数的两倍角可以表示为两个一角的正弦函数和余弦函数的乘积。

这个公式在解决一些三角函数的问题时非常有用。

2. 余弦函数的倍角公式余弦函数的倍角公式可以表示为：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ这个公式表明，余弦函数的两倍角可以表示为一角的余弦函数和正弦函数的平方差。

同样地，这个公式在解决一些三角函数的问题时非常有用。

二、三角函数的半角公式与倍角公式类似，三角函数还有半角公式。

半角公式可以将一个角的三角函数表示为另一个角的三角函数和一个常数的形式。

1. 正弦函数的半角公式正弦函数的半角公式可以表示为：sin(θ/2) = √[(1 - cosθ)/2]根据这个公式，我们可以通过已知角的余弦函数值来求解未知角的正弦函数值，进而解决相关的数学问题。

2. 余弦函数的半角公式余弦函数的半角公式可以表示为：cos(θ/2) = √[(1 + cosθ)/2]这个公式与正弦函数的半角公式类似，可以帮助我们求解与角的余弦函数有关的问题。

三、三角函数公式的应用三角函数的倍角与半角公式在数学问题的求解中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 角的求解通过倍角公式和半角公式，我们可以解决与角度相关的问题。

例如，已知一个角的正弦函数值，我们可以利用正弦函数的半角公式计算出该角的半角的正弦函数值。

这样我们就能够准确地求解出未知角的值。

2. 三角函数的性质推导倍角和半角公式也可以用于三角函数性质的推导。

通过这些公式，我们可以进一步研究三角函数之间的关系，从而深入理解三角函数的性质和特点。

倍角公式和半角公式课件

倍角公式的证明方法
01
02
03
04
证明倍角公式的方法有多种，包括直接证明、反证法、数学
归纳法等。
直接证明是利用三角函数的定义和性质，通过代数运算和恒
等变换来证明倍角公式。
反证法是通过假设倍角公式不成立，然后推导出矛盾，从而
证明倍角公式成立。
数学归纳法是通过数学归纳法的基本步骤，逐步推导倍角公
倍角公式和半角公式课件
contents
目录
• 倍角公式介绍 • 倍角公式的推导与证明 • 半角公式介绍 • 半角公式的推导与证明 • 倍角公式和半角公式的比较与联系
01
倍角公式介绍
倍角公式的定义
定义
倍角公式是指利用三角函数的基本关系，将一个角度的三角函数值转化为两个相同或不同角度的三角函数值的公式。
04
半角公式的推导与证明
半角公式的推导过程
半角公式是通过三角函数的和差化积公式推导出来的，通过对正弦、余弦函数进行一系列的变形和运算，最终得到半角公式。
半角公式的推导过程需要运用三角函数的和差化积公式、二倍角公式以及三角函数的周期性和奇偶性等基础知识。
在推导过程中，需要注意运算的准确性和逻辑的严密性，以确保最终得到的半角公式是正确的。
单击此处添加正文，文字是您思想的提一一二三四五六七八九一二三四五六七八九一二三四五六七八九文，单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了最终呈现发布的良好效果单击此4*25}
在使用倍角公式和半角公式时，需要注意公式的适用范围和限制条件，以确保公式的正确性和有效性。
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举例
$sin
2alpha
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2sinalphacosalpha$，$cos

三角函数的倍角公式与半角公式应用

三角函数的倍角公式与半角公式应用三角函数是数学中重要的一部分，广泛应用于科学、工程和金融等领域。

在三角函数的应用中，倍角公式和半角公式是常见且重要的部分。

它们能够帮助我们简化复杂的计算，提高计算的效率和准确性。

本文将介绍三角函数的倍角公式和半角公式，并应用于实际问题中。

一、三角函数的倍角公式倍角公式是指将一个角的两倍用另外一个角的三角函数表达出来的公式。

对于正弦函数、余弦函数和正切函数而言，它们的倍角公式如下：1. 正弦函数的倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ2. 余弦函数的倍角公式：cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ = 2cos^2θ - 1 = 1 - 2sin^2θ3. 正切函数的倍角公式：tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan^2θ)倍角公式的应用十分广泛。

例如，在几何图形的计算中，我们可以利用倍角公式简化角的计算，从而简化问题的解决过程。

此外，在信号处理和电路分析中，倍角公式也能够帮助我们分析和处理复杂的信号。

二、三角函数的半角公式半角公式是指将一个角的一半用另外一个角的三角函数表达出来的公式。

与倍角公式类似，正弦函数、余弦函数和正切函数都有对应的半角公式：1. 正弦函数的半角公式：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / 2]2. 余弦函数的半角公式：cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ) / 2]3. 正切函数的半角公式：tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / (1 + cosθ)]在实际问题中，半角公式也经常被使用。

例如，在概率论和统计学中，我们可以利用半角公式计算概率密度函数和累积分布函数，从而分析和解决与随机变量相关的问题。

三、三角函数公式的应用举例1. 应用倍角公式的例子：假设有一个直角三角形，已知一个角度θ的正弦函数值为0.6，我们想要计算该角的余弦函数值。

利用倍角公式，我们可以将该问题简化为计算2θ的正弦函数值和余弦函数值。

三角函数倍角半角公式大全

三角函数倍角半角公式大全二倍角公式：sin2α=2sinαcosαtan2α=2tanα/(1-tan^2(α))cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) 半角公式：sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]拓展资料：倍角公式：是三角函数中非常实用的一类公式。

就是把二倍角的三角函数用本角的三角函数表示出来。

在计算中可以用来化简计算式、减少求三角函数的次数，在工程中也有广泛的运用。

半角公式：是利用某个角（如∠A）的正弦值、余弦值、正切值，及其他三角函数值，来求其半角的正弦值，余弦值，正切值，及其他三角函数值的公式。

三角函数差角公式又称三角函数的减法定理是几个角的和（差）的三角函数通过其中各个角的三角函数来表示的关系。

三角函数的倍角和半角公式

三角函数的倍角和半角公式三角函数中的倍角和半角公式，那可是数学世界里相当有趣又实用的家伙们！咱们先来说说倍角公式。

sin2α = 2sinαcosα，cos2α = cos²α - sin²α =2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α，tan2α = 2tanα / (1 - tan²α)。

这些公式看起来有点复杂，但只要咱们好好理解，就会发现它们其实就像咱们熟悉的好朋友。

记得我以前教过一个学生小明，他一开始对这些公式那叫一个头疼。

有一次上课，我出了一道题：已知sinα = 3/5，α是锐角，求sin2α 的值。

小明瞪着题目，一脸茫然。

我就引导他，先根据sinα 求出cosα，然后再用倍角公式。

我一步一步地带着他算，最后得出了答案。

从那以后，小明像是突然开了窍，对倍角公式不再害怕了。

再说说半角公式，sin²(α/2) = (1 - cosα) / 2 ，cos²(α/2) = (1 + cosα) / 2 ，tan(α/2) = ±√[(1 - cosα)/(1 + cosα)] 。

这些公式在解决一些复杂的三角问题时，往往能起到意想不到的效果。

就像有一次考试，有一道题是求一个角的半角的正弦值。

好多同学都被难住了，但平时认真掌握了半角公式的同学就轻松地做出来了。

其实啊，倍角和半角公式就像是数学大厦里的一块块基石，虽然它们本身可能不起眼，但组合起来就能构建出各种复杂而美妙的数学结构。

比如说在解决几何问题中，如果遇到角度之间的倍数或者半倍关系，这时候倍角和半角公式就能大显身手啦。

想象一下一个三角形，其中一个角是另一个角的两倍，我们就可以通过这些公式找到它们之间的关系，从而求出未知的角度或者边长。

在物理中，当研究波动、振动这些现象时，也常常会用到三角函数的倍角和半角公式。

比如声波的传播，电磁波的变化，都离不开这些公式的帮助。

半角公式

§3－3 倍角、半角公式甲 . 倍角、半角公式例1.设 sin θ=52, 求 sin 2θ 与 cos 2θ之值. 17214,±(1) 设 cos θ= -135, 求sin 2θ 与 cos 2θ之值. 169119169120,-± (2) 已知θ为锐角且 sin θ=31, 求 sin 2θ, cos 2θ, tan 2θ之值. 72497924,, (3) 设 sin θ-cos θ=51, 求 sin 2θ, sin θ, cos θ的值. 545353542524,,,,--or例2.已知 πθπ<<2且 sin 2θ=32, 试求 sin 2θ与 cos 2θ之值. 91954,-类题.(1) 已知 πθπ223<<且 cos 2θ=43, 试求 sin 2θ, cos 2θ与 tan 2θ之值. 73,,81873- A (2) 如图, θ为一个有向角, 5,2==BC AB , 求 sin 2θ之值. 20- θ B C 例 3. 已知πθπ223<<且 tan 2θ= -2, 试求 sin 2θ与 cos 2θ之值. 5354,--类题.(1) 若 sin θ + 3 cos θ = 0, 试求 sin 2θ与 cos 2θ之值. 5453,-- (2) 设 πθπ<<2且 3 sin 2θ - sin θ cos θ - 2 cos 2θ = 0, 则 sin 2θ + cos 2θ7-设 40πθ<<, 求证：θθθcos 22sin 12sin 1=-++.类题. 设 πθπ223<<, 试证： θθθcos 22sin 12sin 1-=-++.例5.已知θ为锐角, 且sin θ=31, 试求 sin 3θ 与 cos 3θ的值. 72102723,类题.(1) 设 sin θ=53-, 且tan θ> 0, 0≤θ< 2π, 则 sin 3θ = , cos 3θ = .12544125117,- (2) sin θ-cos θ=31, 得sin 3θ + cos 3θ = . 2725-例6.试求 sin 18 , cos 18 之值. 45210451,++-(1)(i) 假设你不知道 sin 18 之值, 求证 sin 18 为 4 x 3 - 2 x 2 - 3 x + 1 = 0之一根. (ii) 利用(i)求 sin 18 .(2) 试求 cos 36 之值. 415+例7. 已知 23πθπ<<且 cos θ=53-, 试求 sin 2θ, cos 2θ, tan 2θ的值. 2,,55552--类题.(1) 已知 273πθπ<<且 cos θ=54-, 试求 sin 2θ, cos 2θ, tan 2θ的值. 3,,101103--(2) 求 sin 22.5 , cos 22.5, tan 22.5的值. 12,,222222---例8.试求下列各式之值：(1) cos 20 ‧cos 40 ‧cos 80 = . 1 (2) cos π72‧cos π74‧cos π76= . 81求值 cos 24 ‧cos 48 ‧cos 96 ‧cos 168 = . 161例9.cos 2 8π + cos 2 π83 + cos 2 π85+ cos 2π87 = . 2类题. 设 θ=8π, 求 sin 4θ + sin 4 3θ + sin 4 5θ + sin 4 7θ之值为 .例10.(1) 设 cos 2θ= t, 试以t 表示 4 ( cos 6θ - sin 6θ ) = . 3 t + t 3 (2) 设 sin x + cos x = a, 试求 sin 3 x + cos 3 x = . 2 a 3 -3 a类题.(1) 设 cos 2 x = t, 则 2 ( cos 8 x - sin 8 x ) = . t 3 + t(2) 设 sin x – cos x = t, 试将 sin 3 x + cos 3 x 表成 t 之多项式. 2 t 3 - 3 t (3) 若以 x 表示 sin 2θ之值, πθ≤≤0, , 则将三角方程式 sin 4θ + cos 4θ表成 x 的二次方程式为何?且此方程式θ的值为何? x 2 + x - 2 = 0,4π例11.考虑函数 f ( x ) = cos 2x + 4 sin 2 x - cos x - 2 (1) 解方程式 f ( x ) = 0. x = 2n 3ππ±, ( 2 n + 1)π (2) 在 πθ20≤≤的条件下, 解不等式 f ( x ) > 0. πππ≠<<x x ,353(1) 设ππ≤≤-x , 求解sin 2x - sin x = 0.(2) 设π<<x 0, 则二曲线 y = sin x 与 y = sin 2x 的交点坐标为 . ),(233π例12.函数 f ( x ) = sin 2 2 t - 3 cos 2 t 在π20≤≤t 的范围内, 其最大值为 , 最小值为 . ,161-3类题.设 f ( t ) = sin 2 t - 3 cos 2 t, 且323ππ≤≤t , 求 f ( t ) 之最大值 M = , 最小值m = . ,161。

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