单位阶跃响应与单位脉冲响应
控制工程作业答案
（2）给系统串联传递函数为 的超前校正装置后，系统的传递函数为
在题图7-3(a)中，曲线 为校正装置的对数幅频渐近线，曲线 为校正后系统的对数幅频渐近线，由题图7-3(a)可知，校正后系统的剪切频率仍为 ，但是由于串入了一个超前装置，使得系统相频特性曲线发生变化，在剪切频率处的相位相对未校正前的相位有所增加，从而相位裕度增大，即
绘出系统的对数坐标图如题图6-8(b)所示。
在题图6-8(b)中，因为 ，需要在对数相频特性的低频段曲线向上补作 的垂线。在 的频段内，其对数相频特性曲线穿越 线一次，且为负穿越，则
而 ，于是闭环极点位于s右半平面的个数为
（4）
解：系统的频率特性为
则系统的对数幅频和相频特性为
绘出系统的对数坐标图如题图6-8(d)所示。
（b）解：（1）输入 输出
（2）引入中间变量x为 与c之间连接点的位移
（3） ①
②
（4）消去中间变量x,整理得：
（5）两边拉氏变换：
（6）传递函数：
3-3证明题图3-3(a)和(b)所示系统是相似系统。
解：（a）(1)输入 ，输出
（2）系统的传递函数：
（b）（1）输入 ，输出
（2）引入中间变量x为 与c1之间连接点的位移
稳态误差。
解：（1）只考虑 作用于系统时， ，系统的结构图如题图4-16（a）所示。
由题图4-16(a)可知，系统的开环传递函数为
因为系统为0型系统，且
所以，系统的稳态偏差为
又因为
所以，有
（2）只考虑 作用于系统时， ，以偏差 为输出时系统的结构图如题图4-16（c）所示。
微积分讲座---Z3.15 单位阶跃响应与单位脉冲响应的关系
k
(k) (i) i
k
g(k) h(i) i
由于
(k) (k) (k) (k 1)
那么
h(k) g(k) g(k) g(k 1)
2
3.2 基本信号与基本响应
第三章 离散系统的时域分析
例3 某离散系统的差分方程如下，求单位脉冲响应h(k) 和单位阶跃响应g(k)。
y(k) y(k 1) 2y(k 2) f (k)
解：(1)先求h(k)
h(k) h(k 1) 2h(k 2) (k)
初始条件：h(1) h(2) 0
由迭代得：
h(0) 1，h(1)=1
代入初始值求： h(k) C1(1)k C2(2)k，k 0
h(k) 1 (1)k 2 响应
第三章 离散系统的时域分析
(2)再求g(k)
h(k) 1 (1)k 2 (2)k，k 0
3
3
g(k) k h(i) 1 k (1)i 2 k (2)i
i
3 i0
3 i0
由级数求和公式得：
k (1)i 1 (1)k1 1 [1 (1)k ]
i0
3.2 基本信号与基本响应
知识点Z3.15
第三章 离散系统的时域分析
单位阶跃响应与单位脉冲响应的关系
主要内容：
单位阶跃响应与单位脉冲响应之间的关系
基本要求：
掌握 g(k) 和 h(k) 之间的关系
1
3.2 基本信号与基本响应
第三章 离散系统的时域分析
Z3.15 单位阶跃响应与单位脉冲响应的关系
由于 那么
1 (1) 2
k (2)i 1 (2)k1 2(2)k 1
i0
1 2
得单位阶跃响应为：
二阶系统的斜坡响应
二阶系统的斜坡响应、脉冲响应分析一、要求（1）时域响应函数（2）时域指标（3）与阶跃响应的对比（4）结合matlab进行相关分析二、二阶标准传递函数开环传函：闭环传函：输出：二阶系统的时间响应取决于和这两个参数，由上面的公式数学模型来研究二阶系统时间响应及动态性能指标。
二、阶系统的响应分析时域响应函数：1、单位斜坡响应由上式取反拉氏变换可以得到单位斜坡响应的时间函数：sin(,2、单位脉冲响应单位脉冲响应的时间函数：sin(3、单位阶跃响应单位阶跃响应的时间函数：sin(,实域指标：a、单位斜坡响应1、无阻尼情况p =0 + 4i和0- 4i稳态误差：=0系统的斜坡响应在斜坡函数上等幅震荡2、欠阻尼情况p = -2.0000 + 3.4641i和-2.0000 - 3.4641i取调节时间：=, 稳态误差：=取调节时间：=, 稳态误差：=3、临界阻尼情况p=-4调节时间：=, 稳态误差：=4、过阻尼情况取p =-14.9282和-1.0718稳态误差：=由以上图及计算公式可以看出：减小系统的阻尼比，可以减小系统的稳态误差和峰值时间，但是最大偏离量要增大、调节时间会加长，从而使动态性能恶化。
b、单位脉冲响应1、无阻尼情况与单位斜坡响应相似有一对纯虚根，由输出可以看出其响应为等幅振荡响应与单位阶跃响应相近。
2、欠阻尼情况取取3、临界阻尼情况4、过阻尼情况取综合上图，我们看出随着系统的阻尼比的增大，可以看出输出峰值和峰值时间不断减小，调节时间不断增大，从而反映了阻尼比越大，系统响应时间越快，但达到稳定所需的调节时间也相应的加大了，从中反映了阻尼比对系统特性的影响。
c、单位阶跃响应1、无阻尼情况2、欠阻尼情况取取3、临界阻尼情况4、过阻尼情况取通过与单位阶跃响应的对比，我们可以发现在相同阻尼比的情况下，单位脉冲响应的时间较其他响应要长，单位斜坡响应最短，但通过比较发现单位脉冲响应和阶跃反应比较相似,但阶跃响应在某些方面特性如调节时间、上升时间等有着较好的特性。
(完整版)二阶系统的斜坡响应
二阶系统的斜坡响应、脉冲响应分析一、要求（1）时域响应函数（2）时域指标（3）与阶跃响应的对比（4）结合matlab进行相关分析二、二阶标准传递函数开环传函：G(s)=ωn2s(s+2ζωn)闭环传函：∅(s)=C(s)R(s)=ωn2s2+2ζωn s+ωn2输出：C(s)=ωn2s+2ζωn s+ωnR(S)二阶系统的时间响应取决于ωn和ζ这两个参数，由上面的公式数学模型来研究二阶系统时间响应及动态性能指标。
二、阶系统的响应分析时域响应函数：1、单位斜坡响应R(s)=1 2C(s)=ωn22n n2∗12由上式取反拉氏变换可以得到单位斜坡响应的时间函数：C(t)=t−2ζωn +n2e−ζωn t sin(ωd t+2β)ωd =√1−ζ2, β=arctan√1−ζ2ζ2、单位脉冲响应R (s )=1C (s )=ωn 2s 2+2ζωn s +ωn2 单位脉冲响应的时间函数：C (t )=n 22e −ζωn tsin(ωd t) ωd =√1−ζ23、单位阶跃响应R (s )=1C (s )=ωn 22n n 2∗1s单位阶跃响应的时间函数：C (t )=1−√1−ζ2e −ζωn tsin(ωd t +β) ωd =√1−ζ2, β=arctan√1−ζ2ζ实域指标：ωn 2=16a 、单位斜坡响应1、 无阻尼情况（ζ=0）p =0 + 4i和0- 4i=0稳态误差：e ss(∞)=2ζωn系统的斜坡响应在斜坡函数上等幅震荡2、欠阻尼情况（0<ζ<1）p = -2.0000 + 3.4641i和-2.0000 - 3.4641i取ζ=0.7调节时间：t s=3ζω=30.7∗4=1.071s, 稳态误差：e ss(∞)=2ζωn=0.7∗24=0.35取ζ=0.5调节时间：t s=3ζω=30.5∗4=1.5s, 稳态误差：e ss(∞)=2ζωn=0.5∗24=0.253、临界阻尼情况（ζ=1）p=-4调节时间：t s=4.1ωn =4.14=1.025, 稳态误差：e ss(∞)=2ωn=24=0.54、过阻尼情况（ζ>1）取ζ=2 p =-14.9282和-1.0718稳态误差：e ss(∞)=2ζωn =2∗24=1由以上图及计算公式可以看出：减小系统的阻尼比ζ，可以减小系统的稳态误差和峰值时间，但是最大偏离量要增大、调节时间会加长，从而使动态性能恶化。
脉冲响应函数
y(t ) x(t ) * g (t ) g (t ) * x(t ) 表示为：
回忆拉氏变换的卷积定理，有L[y(t)]=L[x(t)*g(t)]，所以： Y(s)=X(s)G(s)
Tuesday, November 27, 2018
4
单位阶跃响应函数
27, 2018
1 ( t ) dt 1 ,
1
(t )
0
2
t
脉冲响应函数
以下讨论线性控制系统在单位脉冲 (t ) 作用下的输出响 应g(t)，称为脉冲响应函数。
L[ (t )] 1,Y ( s) 1 G(s),
y(t ) L1[Y (s)] L1[G(s)] g (t ) 故：
出现在 t 时刻，积分面积为A的理想脉冲函数定义如下： 0, t (t ) (t ) A ( t ) dt A A (t ) 且 , t 0 实际单位脉冲函数：
0, t 0 和 t (t ) 1 , , 0t (t ) (t ) 当 0时， Tuesday, November
从上式可以看出，g(t)是系统的脉冲响应函数，它等于 系统传递函数的拉氏反变换。g(t)与G(s)有一一对应的关系。 g(t)也是线性控制系统的数学模型。 [例2-16]：设系统的脉冲响应函数是 g (t ) 4e 1 t 4 8 2 [解]： G ( s ) L[ g (t )] L[4e ] 1 2s 1 s 2
G(s) -1 G(s) L[ g (t )dt ] , 即L [ ] g (t )dt s s
自动控制原理复习提纲
第一章绪论1、基本概念（1）自动控制：在没有人直接参与的情况下，利用控制器使被控对象（或过程）的某些物理量（被控量）自动地按预先给定的规律去运行。
（2）自动控制系统：能够实现自动控制任务的系统，由控制装置与被控对象组成。
（3）被控对象：指被控设备或过程。
（4）输出量，也称被控量：指被控制的量。
它表征被控对象或过程的状态和性能，它又常常被称为系统对输入的响应。
（5）输入量：是人为给定的系统预期输出的希望值。
（6）偏差信号：参考输入与实际输出的差称为偏差信号，偏差信号一般作为控制器的输入信号。
（7）负反馈控制：把被控量反送到系统的输入端与给定量进行比较，利用偏差引起控制器产生控制量，以减小或消除偏差。
2、自动控制方式（1）开环控制开环控制系统指系统的输出量对系统的控制作用没有影响的系统。
它分为按给定控制和按扰动控制两种形式。
按给定控制：信号由给定输入到输出单向传递。
按扰动控制（顺馈控制）：根据测得的扰动信号来补偿扰动对输出的影响。
（2）闭环控制（反馈控制）闭环控制系统指系统的输出量与输入端存在反馈回路，即输出量对控制作用有直接影响的系统。
系统根据实际输出来修正控制作用，实现对被控对象进行控制的任务，这种控制原理称为反馈控制原理。
3、自动控制系统的分类（1）按给定信号的特征分类①恒值控制系统：希望系统的输出维持在给定值上不变或变化很小。
②随动控制系统：给定信号的变化规律是事先不确定的随机信号。
③程序控制系统：系统的给定输入不是随机的，而是确定的、按预先的规律变化。
（2）按系统的数学模型分类⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪−−−→⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎪⎪−−−→⎨⎨⎪⎩⎩⎪⎪⎧−−−→⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪−−−→⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩分析法分析法分析法分析法时域法根轨迹法线性定常系统频域法线性系统状态空间法时域法线性时变系统状态空间法非本质非线性线性化法描述函数法非线性系统本质非线性相平面法状态空间法 （3）按信号传递的连续性划分①连续系统：系统中的所有元件的输入输出信号均为时间的连续函数，所以又常称为模拟系统。
一阶系统的时域分析
数T之间的关系。
时间t
0
T
2T 3T
…
输出量 0 0.632 0.865 0.950 … 1.0
斜率 1/T 0.368/T 0.135/T 0.050/T … 0.0
根据这一特点，可用实验的方法测定一阶系统的时间常 数，或测定系统是否属于一阶系统。
时间常数T是一阶系统的一个重要参数。 当t=3T时，响应输出可达稳态值的95％；
输出量和输入量之间的位置误差： t ess (t) 1(t) c(t) e T
稳态误差 ：
t
lim
t
ess
(t
)
lim
t
e
T
0
三 一阶系统的单位斜坡响应
当一阶系统的输入信号为单位斜坡信号r(t)=t，其拉氏变 换为R(s)=1/s2，则系统的输出为:
C(s)
R(s) Ts 1
1 Ts 1
S tep R esponse 10
9
8
7
k 0.1
6
A m plitude
5
4
3
k 0.3
2
1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
T im e (sec)
小结
• 一阶系统的传递函数和典型方块图 • 一阶系统的单位阶跃响应(单调上升曲线，性
能指标常用调整时间) • 系统对输入信号导数的响应等于对输入信号响
五．三种响应之间的关系
比较一阶系统对单位脉冲、单位阶跃和单位斜 坡输入信号的响应，就会发现它们的输入信号 有如下关系：
d (t) d [1(t)];
dt
1(t) d [t 1(t)]; dt
脉冲响应函数
从上式可以看出，g(t)是系统的脉冲响应函数，它等于系统传递函数的拉氏 反变换。g(t)与G(s)有一一对应的关系。g(t)也是线性控制系统的数学模型。
[例2-16]：设系统的脉冲响应函数是
1t
，g求(tG)(s)。4e 2
[解]：
1t
Friday, June 05, 2020
8
1(t)的作用下的输出响应h(t).
0,t 0 x(t) 1(t) 1,t 0 X (s) L[x(t)] L[1(t)] 1
s 1 则输出： y(s) G(s), 单位阶跃响应函数：s h(t) L1[Y (s)] L1[1 G(s)]
s
Friday, June 05, 2020
Friday, June 05, 2020
7
பைடு நூலகம்
基本要求：
会列写控制系统中常用元件的数学模型以及根据系统的组成列写系统的微分方程； 根据微分方程求传递函数的方法； 熟悉绘制结构图和信号流图的方法； 熟悉由结构图和信号流图求取传递函数的方法 －结构图和信号流图的等效变换 －在结构图和信号流图上，用列方程的方法求传递函数 －梅逊公式
5
小结
脉冲响应函数； 脉冲响应函数与传递函数之间的关系； 单位阶跃响应函数； 脉冲响应函数和单位阶跃响应函数之间的关系。
Friday, June 05, 2020
6
本章总结
本章讨论了控制系统数学模型问题，数学模型是实际系统 与控制理论联系的桥梁，建立系统的数学模型是对系统进 行分析的第一步。 本章介绍了时域和频域的数学模型：系统的微分方程，传 递函数，结构图，信号流图，脉冲响应函数等。请注意各 种数学模型之间的联系。 本章研究的数学模型是基于线性定常控制系统的，是研究 输入输出之间的关系，不涉及系统内部状态的变化，故称 为输入输出模型。
第三章 一阶系统、二阶系统、高阶
t 0
n e t
n
1
2
sin d t t 0
2 3.临界阻尼 1 k (t ) n tent
t 0
4.过阻尼 1 k (t )
n
2 2 1
[e
( 2 1)n t
e
( 2 1Biblioteka n t]二阶系统的单位脉冲响应曲线
y (t ) 1 Ai e sit Bk e k nk t cos(dk t ) Ck e k nk t sin(dk t )
i 1 q k 1 r k 1
q
r
r
1 Ai e sit Dk e k nk t sin(dk t k )
K3
eb
1 Ra
或写成 ia
ea eb Ra
ea
ia
eb
ey
y
r
y
电动机力矩平衡方程式 d 2 d J 0 2 b0 M dt dt 其中 M K 2ia 电磁转矩
ia
M
K2
M
1
s
1 M ( s) s( J 0 s b0 )
( s)
1 J 0 s b0
ey
y
r
y
输入：输入电位计转角r(t)
输出：输出电位计转角y(t)
ey
y
r
y
输入电位计和输出电位计电压: er K0 r ey K 0 y
放大器输入电压 ev 和输出电压 ea ev er e y K 0 (r y ) ea K1ev
r y
K0
ev
K1
ea
ey
自动控制原理第三章课后习题 答案(最新)
3-1 设系统的微分方程式如下：（1） )(2)(2.0t r t c =&（2） )()()(24.0)(04.0t r t c t c t c =++&&&试求系统闭环传递函数Φ(s),以及系统的单位脉冲响应g(t)和单位阶跃响应c(t)。
已知全部初始条件为零。
解：（1） 因为)(2)(2.0s R s sC = 闭环传递函数ss R s C s 10)()()(==Φ 单位脉冲响应：s s C /10)(= 010)(≥=t t g单位阶跃响应c(t) 2/10)(s s C = 010)(≥=t t t c（2）)()()124.004.0(2s R s C s s =++ 124.004.0)()(2++=s s s R s C 闭环传递函数124.004.01)()()(2++==s s s R s C s φ 单位脉冲响应：124.004.01)(2++=s s s C t e t g t 4sin 325)(3-= 单位阶跃响应h(t) 16)3(61]16)3[(25)(22+++-=++=s s s s s s Ct e t e t c t t 4sin 434cos 1)(33----=3-2 温度计的传递函数为11+Ts ，用其测量容器内的水温，1min 才能显示出该温度的98%的数值。
若加热容器使水温按10ºC/min 的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大？解法一 依题意，温度计闭环传递函数11)(+=ΦTs s 由一阶系统阶跃响应特性可知：o o T c 98)4(=，因此有 min 14=T ，得出 min 25.0=T 。
视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为Tss s s G 1)(1)()(=Φ-Φ=⎩⎨⎧==11v TK 用静态误差系数法，当t t r ⋅=10)( 时，C T Ke ss ︒===5.21010。
控制系统阶跃响应与脉冲响应实验
电子信息工程学系实验报告实验项目名称：控制系统阶跃响应与脉冲响应实验实验目的:（1）观察学习控制系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应（2）记录单位阶跃响应和单位脉冲响应曲线（3）掌握时间响应分析的一般方法实验环境:Matlab7.1软件实验内容及过程:1、实验内容：已知二阶系统：（1）建立系统模型，观察阶跃响应曲线和单位脉冲响应，并计算系统的闭环根、阻尼比，无阻尼振荡频率，并作记录。
（2）修改参数，分别实验ξ=1，ξ=2的响应曲线，并作记录。
2、实验步骤：（1）运行MATLAB；（2）建立系统模型1）传递函数模型TF2）ZPK模型3）MATLAB的阶跃响应函数3、实验要求：（1）分析系统的阻尼比和无阻尼振荡频率对系统阶跃响应和脉冲响应的影响；（2）分析响应曲线的零初值、非零初值与系统模型的关系；（3）分析响应曲线的稳态值与系统模型的关系；（4）分析系统零点对阶跃响应曲线和单位脉冲响应曲线的影响；实验结果及分析：1、阶跃曲线（step）与脉冲曲线（impulse）,三组图分别当ξ=sqrt（10）/10,ξ=1，ξ=2的响应曲线：图1 不同ξ系统响应曲线下面是三种情况下的系统的闭环根、阻尼比，无阻尼振荡频率的结果：Eigenvalue（闭环跟） Damping（阻尼比） Freq. (rad/s)（无阻尼振荡频率）-1.00e+000 + 3.00e+000i 3.16e-001 3.16e+000-1.00e+000 - 3.00e+000i 3.16e-001 3.16e+000Eigenvalue（闭环跟） Damping（阻尼比） Freq. (rad/s)（无阻尼振荡频率）-3.16e+000 1.00e+000 3.16e+000-3.16e+000 1.00e+000 3.16e+000Eigenvalue（闭环跟） Damping（阻尼比） Freq. (rad/s)（无阻尼振荡频率）-8.47e-001 1.00e+000 8.47e-001-1.18e+001 1.00e+000 1.18e+0012、实验结果分析（1）分析系统的阻尼比和无阻尼振荡频率对系统阶跃响应和脉冲响应的影响；系统的阻尼比（0<ζ<1）越大，其阶跃响应超调量越小，上升时间越长；系统的阻尼比ζ决定了其振荡特性：0<ζ<1时，有振荡，ζ>1 时，无振荡、无超调，阶跃响应非周期趋于稳态输出。
3.2 几种典型输入信号及响应之间的关系
A, t 0 r(t) 0 , t 0
A 为常数
r(t) A
0
t
A=1 时 单位阶跃信号，常表示为 r(t) = 1( t ) 一般情况下可表示为 对应的拉氏变换为 r(t) = A×1( t ) R(s) = A / s
1
②
斜坡（速度ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ信号
r ( t ) At 1( t )
8
A为振幅，ω为角频率，φ为初始相角。
s sin cos R( s ) s2 2
0 R( s )
s2 2
4
微 分 关 系
积 分 关 系
对抛物线信号微分 = 斜坡信号 对斜坡信号微分 = 阶跃信号 对阶跃信号微分 = 脉冲信号 对脉冲信号积分 = 阶跃信号 对阶跃信号积分 = 斜坡信号 对斜坡信号积分 = 抛物线信号
( t ) 1( t ) r(t) t 1 2 t 2
7
阶跃响应 脉冲响应的积分
即
斜坡响应 阶跃响应的积分 抛物线响应 斜坡响应的积分
脉冲响应=阶跃响应的微分 阶跃响应=斜坡响应的微分 斜坡响应=抛物线响应的微分
r(t)
系统
或
注：最常用的是单位阶跃响应
y(t)
r(t)
A
0
矩形 脉冲
t
令ε→0，即得脉冲信号的数学表达式为
, t 0 r( t ) 0 , t 0
,
r ( t )dt A
R(s) = A
A=1时 单位脉冲函数，记作δ(t)
3
⑤
正弦信号
A sin( t ), r( t ) 0 , t 0 t0
单位脉冲响应、单位阶跃响应
单位阶跃响应1——非振荡型
y(t)
1
0.9 y( )
误差带Δ=5%
1.05 y( )
0.95 y( )
ess
0.1 y( )
0
tr ts
ess:稳态误差 tr:上升时间 ts:调节时间
t
16
单位阶跃响应2——衰减振荡型
y(t)
误差带Δ=5%
超调量
1
y( )
0
tr
tp
ess:稳态误差 tr:上升时间 tp:峰值时间
对上式进行拉氏反变换得
t
y(t) 1 e T , t 0
T<0时， y(t)？
稳态分量
暂态分量
K≠1 时， y(t)=？
19
0.9 0.1
暂态性能指标：ts= 3T（Δ=5% ）, tr=2.2T, σp= 0
稳态指标：ess= 0
ts= 4T（Δ=2% ）
特点：T↓（极点与虚轴的距离↑） 快速性↑
属于衰减振荡
其中 tg1( 1 2 ) cos1( ) ：阻尼角（见注）
d n( 1 2 ) ：阻尼振荡频率。
1
1 2
特点：n 快速性 ； 或 振荡性
该式对 1 0 也成立，对应的y( t )? 31
,
R(s) = A
r( t )dt 1时 单位脉冲函数，记作δ(t)
8
⑤ 正弦信号
r(
t
)
A 0,
sin( t
t0
),
t0
A为振幅，ω为角频率，φ为初始相角。
s sin cos
Z3.15 单位阶跃响应与单位脉冲响应的关系
i0
1 2
得单位阶跃响应为：
g(k) 1 1 [1 (1)k ] 2 [2(2)k 1] 1 (1)k 4 (2)k 1 ，k 0
32
3
6
3
2
4
Xidian University, ICIE. All Rights Reserved
பைடு நூலகம்
3.2 基本信号与基本响应
第三章 离散系统的时域分析
例3 某离散系统的差分方程如下，求单位脉冲响应h(k) 和单位阶跃响应g(k)。
y(k) y(k 1) 2y(k 2) f (k)
解：(1)先求h(k)
h(k) h(k 1) 2h(k 2) (k)
初始条件：h(1) h(2) 0
由迭代得：
h(0) 1，h(1)=1
代入初始值求： h(k) C1(1)k C2(2)k，k 0
h(k) 1 (1)k 2 (2)k，k 0
3
3
3
Xidian University, ICIE. All Rights Reserved
3.2 基本信号与基本响应
第三章 离散系统的时域分析
3.2 基本信号与基本响应
知识点Z3.15
第三章 离散系统的时域分析
单位阶跃响应与单位脉冲响应的关系
主要内容：
单位阶跃响应与单位脉冲响应之间的关系
基本要求：
掌握 g(k) 和 h(k) 之间的关系
1
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3.2 基本信号与基本响应
第三章 离散系统的时域分析
Z3.15 单位阶跃响应与单位脉冲响应的关系
由于 那么
k
自动控制原理第三章课后习题答案解析(最新)
3-1（1） )(2)(2.0t r t c= （2） )()()(24.0)(04.0t r t c t c t c=++ 试求系统闭环传递函数Φ(s),以及系统的单位脉冲响应g(t)和单位阶跃响应c(t)。
已知全部初始条件为零。
解：（1） 因为)(2)(2.0s R s sC =闭环传递函数ss R s C s 10)()()(==Φ 单位脉冲响应：s s C /10)(= 010)(≥=t t g单位阶跃响应c(t) 2/10)(s s C = 010)(≥=t t t c（2）)()()124.004.0(2s R s C s s =++ 124.004.0)()(2++=s s s R s C 闭环传递函数124.004.01)()()(2++==s s s R s C s φ 单位脉冲响应：124.004.01)(2++=s s s C t e t g t 4sin 325)(3-= 单位阶跃响应h(t) 16)3(61]16)3[(25)(22+++-=++=s s s s s s Ct e t e t c t t 4sin 434cos 1)(33----=3-2 温度计的传递函数为11+Ts ，用其测量容器内的水温，1min 才能显示出该温度的98%的数值。
若加热容器使水温按10ºC/min 的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大？解法一 依题意，温度计闭环传递函数11)(+=ΦTs s 由一阶系统阶跃响应特性可知：o o T c 98)4(=，因此有 min 14=T ，得出 min 25.0=T 。
视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为Ts s s s G 1)(1)()(=Φ-Φ= ⎩⎨⎧==11v T K用静态误差系数法，当t t r ⋅=10)( 时，C T Ke ss ︒===5.21010。
解法二 依题意，系统误差定义为 )()()(t c t r t e -=，应有 1111)()(1)()()(+=+-=-==ΦTs TsTs s R s C s R s E s e C T s Ts Ts ss R s s e s e s ss ︒==⋅+=Φ=→→5.210101lim )()(lim 23-3 已知二阶系统的单位阶跃响应为)1.536.1sin(5.1210)(2.1o tt et c +-=-试求系统的超调量σ％、峰值时间ｔp 和调节时间ｔs 。
第五节脉冲响应函数
∞
∞
y 表示为： (t ) = x (t ) * g (t ) = g (t ) * x(t )
回忆拉氏变换的卷积定理，有L[y(t)]=L[x(t)*g(t)]，所以： Y(s)=X(s)G(s)
Wednesday, March 16, 2011
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单位阶跃响应函数
以下讨论线性控制系统在单位脉冲δ (t ) 作用下的输出响 应g(t)，称为脉冲响应函数。
Q L[δ (t )] = 1,∴Y ( s ) = 1× G ( s ),
y (t ) = L−1[Y ( s )] = L−1[G ( s )] = g (t ) 故：
从上式可以看出，g(t)是系统的脉冲响应函数，它等于 系统传递函数的拉氏反变换。g(t)与G(s)有一一对应的关系。 g(t)也是线性控制系统的数学模型。 [例2-16]：设系统的脉冲响应函数是 g (t ) = 4e 1 − t 4 8 2 [解]： ( s ) = L[ g (t )] = L[4e ] = G = 1 2s + 1 s+ 2
∴ h(t ) = ∫ g (t )dt
0
∞
& 或g (t ) = h(t )
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小结
脉冲响应函数； 脉冲响应函数与传递函数之间的关系； 单位阶跃函数； 脉冲响应函数和单位阶跃函数之间的关系。
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本章小结
0, t < 0 和 t > ∆ δ ∆ (t ) = 1 , , 0<t <∆ ∆
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单位脉冲响应和单位阶跃响应的关系
单位脉冲响应和单位阶跃响应的关系
单位脉冲响应（Unit Impulse Response）和单位阶跃响应（Unit Step Response）是信号处理中常用的概念。
它们之间存在着紧密的关系。
单位脉冲响应是系统对单位脉冲信号的响应。
单位脉冲信号是一个在时间上非常短暂、幅度为1的信号，持续时间很短。
系统的单位脉冲响应描述了系统对单位脉冲信号的处理过程，通常以h(t)表示。
单位阶跃响应是系统对单位阶跃信号的响应。
单位阶跃信号是一个从时间0开始，幅度从0突变到1的信号。
系统的单位阶跃响应描述了系统对单位阶跃信号的处理过程，通常以g(t)表示。
这两个响应之间的关系可以通过积分来表示。
具体而言，单位阶跃响应是单位脉冲响应的积分。
即：
g(t) = ∫[0, t] h(τ) dτ
这意味着，如果你知道系统的单位脉冲响应，你可以通过对其进行积分来获得单位阶跃响应。
这种关系是由于单位阶跃信号可以看作是单位脉冲信号的积分。
单位脉冲信号在时间上的突变导致了单位阶跃信号的跃变。
在实际的信号处理中，单位脉冲响应和单位阶跃响应是非常有用的概念。
通过分析和理解系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应，我们可以了解系统对不同类型的输入信号的响应特性，并进行滤波、系统建模和信号分析等任务。
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dn d tn
c(t )
a1
d n1 d t n1
c(t )
an 1
d dt
c(t )
anc(t )
b0
dm d tm
r (t ) b1
d m1 d t m1
r (t )
bm 1
d dt
r (t )
bmr (t )
微分方
齐次方程通解
特解
程的解
c(t) c1(t) c2 (t)
第三章
M
p
c(t p ) c() 100 % c()
振荡次数 N：
在调整时间ts内系统响应曲线的振荡次数。实测时， 可按响应曲线穿越稳态值次数的一半计数。
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第三章
➢评价系统准确性的性能指标
ISE
J
e2 (t)dt 0
o
t
R(s)
2A S3
当A=1/2时称为单位抛物线函数,其数学表达式为
r (t )
0 1 2
t
t0 t0
R(s)
1 S3
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四．脉冲函数
r(t)
A
第三章
0
r (t )
A
t 0及t 0t
（平方误差积分）
ITSE
J
0
te2
(t
)dt
（时间乘平方误差的积分）
IAE
J
0 |
e(t)
|
dt（绝对误差积分）
ITAE J 0 t | e(t) | d（t 时间乘绝对误差的积分）
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第三章
第四节 一阶系统的瞬态响应
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➢评价系统快速性的性能指标
第三章
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第三章
上升时间tr: (1)响应曲线从零时刻出发首次到达稳态值所需时
间。 (2)对无超调系统，响应曲线从稳态值的10%上升到 90%所需的时间。
r (t )
0 At
t0 t0
o
t
R(s)
A S2
当A=1时称为单位斜坡函数,其数学表达式为
r (t
)
0 t
t0 t0
R(s)
1 S2
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三．抛物线函数
r(t)
第三章
r
(t
)
0 At
2
t0 t 0
用下，其动态性能一般满足要求。
单位脉冲响应的特点：
系统的脉冲响应中只有暂态响应，而稳态响应总是为零， 也就是说不存在与输入相对应的稳态响应。所以系统的脉冲 响应更能反映系统的暂态性能。
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第三章
第三节 控制系统的暂态响应的性能指标
一、暂态响应的概念
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第三章
电网络分析
网络响应=暂态响应（暂态分量）+稳态响应（稳态分量） 利用拉氏变换解微分方程
系统响应=零状态响应+零输入响应
二．单位阶跃响应与单位脉冲响应
单位阶跃响应：如给定输入r(t)为单位阶跃函数,系统的输出 即为单位阶跃响应，一般用h(t)表示。
t R(s) A
o
当A=1时称为单位脉冲函数,其数学表达式为
r
(t )
(t
)
0
(t)dt 1
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t 0及t 0 t 0
R(s) 1
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五．正弦函数
第三章
r
(t
)
0
A
sin
t
t0 t0
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R(s) S 2 2
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第三章
第二节 线性定常系统的时域响应
一．时域响应的概念
控制系统模型建立后，就可以分析控制系统的性能。时域分析 就是研究系统的动态性能和稳态性能，动态性能可以通过 在典型输入信号控制系统的过渡性能来评价。稳态性能则 是根据在典型输入信号作用下系统的稳态误差来评价。
峰值时间tp: 响应曲线从零上升到第一个峰值所需时间。
调整时间ts: 响应曲线到达并保持在允许误差范围（稳态值的 ±2%或±5%）内所需的时间。
C自动控制理论
➢评价系统平稳性的性能指标
最大超调量 Mp：
响应曲线的最大 峰值与稳态值之 差。通常用百分 数表示：
➢ 一阶系统的形式
C(s) 1 R(s) Ts 1
闭环极点(特征根)：-1/T
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➢一阶系统的单位阶跃响应
单位脉冲响应：如给定输入r(t)为单位脉冲函数,系统的输出 即为单位脉冲响应，一般用g(t)表示。
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单位阶跃响应
求导
第三章
单位脉冲响应
单位阶跃响应的特点：
阶跃输入对系统来说是最严格的工作状态，如果系统 在阶跃作用下的动态性能满足要求，系统在其它输入信号作
系统的阶跃响应: 1.强烈振荡过程 2.振荡过程 3.单调过程 4.微振荡过程
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时间响应 稳态响应 瞬态响应：
系统在某一输入信号作下， 其输出量从初始状态到进入 稳定状态前的响应过程。
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二 、暂态响应性能指标
第三章
➢评价系统快速性的性能指标 ➢评价系统平稳性的性能指标 ➢评价系统准确性的性能指标
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第三章
根据时域响应建立数学模型 先行系统的稳定性 劳斯－赫尔维茨稳定判据 小参量对闭环控制系统性能的影响 控制系统的稳态误差 给定稳态误差和扰动稳态误差 线性系统时域响应的计算机辅助分析
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第三章
第一节 典型输入信号
一．阶跃函数
r(t) A
o
0
r (t )
A
t0 t0
t
R(s) A S
当A=1时称为单位阶跃函数,其数学表达式为
r (t )
1
(t )
0 1
t0 t0
R(s) A S
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二．斜坡函数
r(t)
第三章