多元正态分布及其抽样分布

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多元正态分布的性质

多元正态分布的性质正态分布是统计分析中最重要的概率分布之一，它能够帮助我们更好地理解数据的特性，也可以帮助我们做出更好的决策。

多元正态分布可以用来描述一组随机变量之间的关系，在许多计量方法和定量分析中，它被广泛应用。

本文尝试回答以下三个问题：一是什么是多元正态分布？二是多元正态分布的性质是什么？三是多元正态分布如何使用？首先，什么是多元正态分布？多元正态分布是指一个有两个或多个变量的正态分布，可以用来描述一组随机变量之间的关系，可以用来解释一个变量的分布特征。

与单变量正态分布不同的是，多元正态分布的特征取决于对角矩阵中的参数，即协方差矩阵或协方差矩阵。

与单变量正态分布不同，多元正态分布是以向量形式定义的，但可以使用同样的统计分析理论来描述多变量正态分布的性质，例如期望和方差。

其次，多元正态分布的性质是什么？多元正态分布存在着许多性质，根据多元数学理论可以列举出以下性质：1.元正态分布的期望向量表示为 m = (m_1,m_2,...,m_n)，这里的m_i表示每个随机变量的期望值；2.元正态分布的协方差矩阵S表示为：S=［s_ij］，sij表示第i 个和第j个随机变量之间的协方差；3.元正态分布的方差向量表示为：var=(var_1,var_2,...,var_n),其中var_i表示第i个随机变量的方差；4.元正态分布的对称性，即对于n个随机变量X_1,X_2,...,X_n 及其期望向量m和协方差矩阵S，当存在变换矩阵A，使得AX=y有解，则有：E(X) = mvar(X) = S5.元正态分布的共轭性，即如果X_1,X_2,...,X_n是一组多元正态分布随机变量，则任意一组X_1X_2...,X_n也是多元正态分布随机变量，且具有相同的期望向量m和协方差矩阵S。

最后，多元正态分布怎么使用？多元正态分布的使用是建立在统计分析的基础之上的。

在使用多元正态分布时，可以根据观测数据来估计期望向量m和协方差矩阵S。

三章多元正态分布

21
2.有关系数旳极大似然估计
❖ 有关系数ρij旳极大似然估计为
n
rij
ˆij
ˆii ˆ jj
sij
sii s jj
(xki xi )(xkj x j )
k 1
n
n
(xki xi )2
(xkj x j )2
k 1
k 1
其中 Σˆ ˆij , S sij , x x1, x2, , xp 。称rij为样本有关系数、Rˆ rij 为样本有关矩阵。
2
例（二元正态分布）
❖ 设x~N2(μ, Σ)，这里
x
x1 x2
,
μ
1 2
,
Σ
12 1 2
1 2
2 2
易见，ρ是x1和 x2旳有关系数。当|ρ|<1时，可得x旳概率密度函数为
f
x1,
x2
1
21 2
1
2
exp 2
1
1 2
x1 1 1
2
2
x1 1 1
1
16 4 2
μ
0 2
,
Σ
4 2
4 1
41
试求给定x1+2x3时
x2
x1
x3
旳条件分布。
15
❖解
令
y1
x2
x1
x3
,
y2
x1
2x2，于是
y1 y2
=
x2 x3 x1
x1 2x2
=
0 1 1
1 0 0
1 x1
0 2
x2 x3
0 1 1 1 2
Σ12 k
Σ
22
p

第二章多元正态分布及其抽样分布

1 2
Σ Σ11 Σ22
f ( x1 , x2 , , x p ) ( 2 )
(2 )
p 2
p 2
1 Σ22
1 exp[ (x μ)Σ 1 (x μ)] 2
1 2
Σ11
1 2
Σ22
1 (x1 μ1 ) Σ 1 11 exp[ (x1 μ1 ) (x2 μ 2 ) ] 1 2 Σ22 (x2 μ 2 )
n
六、x ~ N p (μ, Σ) ，则(x - μ)Σ-1 (x - μ) ~ 2 ( p)分布。

y Σ (x μ) Var(y ) Var[ Σ (x μ)] Σ Var(x μ)Σ
1 2 1 2 1 2

1 2
Σ ΣΣ Ι
2 y是p维标准正态分布，故yy服从（ p)分布。
服从p维正态分布，且均值向量为
E ( x ) ( Ex1 , Ex 2 , , Ex p ) ( 1 , 2 , , p )
x的协方差矩阵为
Var (x) E(x )(x )
E AuuA
AE uu A
AIA
AA Σx
系数，定义为
ij.k 1,, p
ij.k 1,, p ii.k 1,, p jj .k 1,, p
它度量了在值 xk 1 ,, xp给定的条件下，xi 与 x j （ i, j k ）相关性的强弱。
例设X~N6( ,)，其协方差矩阵为，计算偏相关系数。
7.033 2.168 3.540 4.981 2.874 30.530
为 x 2 给定的条件下 x1 数学期望。

第三讲多元正态分布

二元正态分布的密度曲面图
2 2 下图是当 1 2 , 0.75 时二元正态分布的钟形密
度曲面图。
多元正态分布性质
（1）、若 X ( X1, X 2 , X p )T ~ N p (, )，是对角阵，则 X1, X 2 , X p 相互独立。（2）、若 X ~ N p (, ) ， A 为 s p 阶常数阵，则
•有些现象服从多元正态分布
•许多多元统计分布的抽样分布是近似正态分布
23
多元正态分布
它是一元正态分布的推广
X ~ N p ,
设随机向量 X ( x1 , x2 ,, x p )' 服从P维正态分布，则有，
f ( X ) 2
p 2

1 2
1 1 exp x x 2

12
随机向量的数字特性
随机向量的均值
E ( X 1 ) 1 E( X 2 ) 2 E( X ) E( X ) p p
性质
E ( AX ) AE( X ) E ( AXB) AE( X ) B E ( AX BY ) AE( X ) BE(Y )
15
性质
1)若(x1,x2,…，xp)’ 和(y1,y2,…，yq)’不相关。则
cov(x1 , y1 ) cov(x1 , y2 ) cov(x1 , yq ) cov(x2 , y1 ) cov(x2 , y2 ) cov(x2 , yq ) 0 cov(x , y ) cov(x , y ) cov(x , y ) p 1 p 2 p q
(1) q

第二章多元正态分布

联合概率分布
均值向量量是向
协方差矩阵Σ
•多元正态分布在多元统计分析中的重要地位，就如同一元统计分析中一元正态分布所占重要地位一样，多元统计分析中的许多重要理论和方法都是直接或间接建立在正态分布的基础上。
•原因是: (1)许多实际问题研究中的随机向量确实遵从正态分布，或者近似遵从正态分布；
(2)对于多元正态分布，已经有一套统计推断方法，并且得到了许多完整的结果。
若某个随机变量X 的密度函数是
1
1(x)2
f(x)22 ex2 p{ 2 },x (, )
则称X服从一元正态分布，也称X是一元正态随机变量（其中有两个参数）。
记为 X ～ N(。,2)
可以证明：其期望（也叫均值）正好是参数μ，
方差正好是，它2 是一非负数。
有时候，仅仅用一个随机变量来描述随机现象就不够了，需要用多个随机变量来共同描述的随机现象和问题，而且这些随机变量间又有联系，所以必须要将它们看做一个整体来研究（即不能一个一个地单独研究多个一元随机变量），这就出现了多元随机向量的问题和概念．
二元联合分布函数的几何意义演示图:
F（x,y）=
Y
P(X≤x,Y≤y) ，
y
(x,y)
{ X≤x , Y≤yy } x
X
F(x,y)值为随机点落入黄色矩形区域内的概率
对于p元的随机向量来说，就对应地需要用联合分布函数来刻画其概率分布。
联合分布函数的定义：
设 X(X 1,X 2,..X .p,) 是一随机向量，它的联合分布函数定义为
其中，x和μ都是p维向量，Σ是p阶正定阵，则称
随机向量X(X 1,X 2,..X .p,) 服从p元正态分布，

正态总体的常用抽样分布

特点
卡方分布在正态分布两侧有更多的面积，即其尾部比正态分布更重。随着自由度n的增加，卡方分布趋近于正态分布。
04
抽样分布的应用
参数估计
1 2
参数估计
通过抽样分布，我们可以估计总体参数，如均值和方差。常用的估计方法有矩估计和最大似然估计。
置信区间
基于抽样分布，我们可以构建总体参数的置信区间，从而对总体参数进行区间估计。
03
样本方差的数学期望等于总体方差，其方差随着样本量的增加而减小。
样本偏度与峰度
样本偏度是总体偏度的无偏估计，用于衡量数据的对称性。样本峰度是总体峰度的无偏估计，用于衡量数据分布的尖锐程度。在正态分布中，偏度和峰度均为0，但在非正态分布中，偏度和峰度可能不为0。
03
其他常用抽样分布
t分布
中心极限定理
中心极限定理的基本思想
中心极限定理表明，无论总体分布是什么类型，只要样本量足够大，从该总体中随机抽取的样本均值将趋近于正态分布。这意味着我们可以利用正态分布的性质来分析和推断样本均值。
中心极限定理的应用
中心极限定理在统计学中具有广泛的应用价值。例如，在制定置信区间、假设检验和回归分析等统计方法时，都需要利用中心极限定理来处理样本数据和推断总体参数。因此，正确理解和应用中心极限定理对于统计推断的准确性和可靠性至关重要。
THANKS
样本量大小的影响
样本量大小
样本量的大小对抽样分布的形状和稳定性有显著影响。随着样本量增加，抽样分布的形状逐渐接近正态分布，且分布的离散程度逐渐减小。
样本量与精度
样本量越大，估计的精度越高，即估计的参数值越接近真实值。因此，在制定抽样计划时，应充分考虑样本量的大小，以确保估计的精度满足要求。

多元统计分析第二章多元正态分布

第2章多元正态分布多元正态分析是一元正态分布向多元的自然推广。

多元正态分布是多元分析的基础，多元分析的许多理论都是建立在多元正态总体基础上的。

虽然实际的数据不一定恰好是多元正态的，但是正态分布常常是真实的总体分布的一种有效的近似。

所以研究多元正态分布在理论上或实际上都有重大意义。

限于篇幅，本章仅简介多元正态简单理论，细节可参看王学民（2004），张尧庭（2002），余锦华（2005），Richard （2003），朱道元（1999）等。

现实世界的许多问题都可以纳入正态理论的范围内，正态分布可以作为许多统计量的近似的抽样分布。

2.1随机向量2.1.1随机向量定义2.1.1：称每个分量都是随机变量的向量为随机向量。

类似地，所有元素都是随机变量的矩阵称为随机矩阵。

设()1,,p X X X '= 是1p ⨯随机向量，其概率分布函数定义为：(){}111,,,,p p p F x x P X x X x =≤≤ ，1,,p x x 为任意实数多元分布函数()1,,p F x x 有如下性质：（1）()10,,1p F x x ≤≤ ；（2）()1,,p F x x 是每个变量,1,2,,i x i p = 的非降右连续函数；（3）(),,1F ∞∞= ；（4）()()()211,,,,,,,0p p F x x F x x F x -∞=-∞==-∞= 。

多元分布和一元分布一样也分为离散型和连续型。

连续型随机向量()1,,pX X X '= 的分布函数可以表示为： ()()1111,,,,px x p p p F x x f t t dt dt -∞-∞=⎰⎰，()1,,pp x x R ∈ (2.1)称()1,,p f x x 是()1,,p X X X '= 的多元联合概率密度，简称多元概率密度或多元密度。

多元概率密度()1,,p f x x 有以下性质：（1）()1,,p f x x 非负；（2）()11,,1p p f x x dx dx ∞∞-∞-∞=⎰⎰ ；（3）()()111,,,,p p p nF x x f x x x x ∂=∂∂2.1.2边缘分布、条件分布和独立性边缘分布设()1,,p X X X '= 是p 维连续型随机向量，由其q 个分量组成的向量()1X （不妨设()()11,,q X X X '= ）的分布称为的边缘分布，其边缘概率密度为：()()()1111,,,,X q p q p f x x f x x dx dx ∞∞+-∞-∞=⎰⎰ (2.2)条件分布设()1,,p X X X '= 是p 维连续型随机向量，()()11,,q X X X '= ,()()()()2112,,,,,0q p X q p X X X f x x ++'=> ,在给定()2X 的条件下,()1X 的条件概率密度函数为：()()()()21111,,,,,,,,p q q p X q p f x x f x x x x f x x ++=(2.3)独立性设()1,,n X X 是连续型随机向量,则1,,n X X 相互独立当且仅当()()()111,,n n X X n f x x f x f x = 对任意1,,n x x 成立。

第二章多元正态分布《应用多元统计分析》 ppt课件

写字母表示；随机变量用大写字母表示，其实现值用小写字母表示。
1
一、随机向量
在理论上，对多维随机向量的研究和对一维随机变量的研究思路是类似的，通过分布及其特征进行刻画。不同的是，可能要考虑变量之间的相关关系。
在统计应用上，对多维随机向量的研究和对一维随机变量的研究思路也是一样的，要通过样本资料来推断总体。
19
二、多元正态分布的数字特征
若 X ~ Np μ, Σ ，则 E(X) μ，D(X) Σ ，即 μ 恰好是
多维随机向量 X的均值向量， Σ 恰好是多维随机向量 X 的协差阵。其中，
1
μ
2
，
p
11 12
Σ
21
22
p1 p2
1p
2
p
pp
20
三、多元正态分布的参数估计
若 X 的联合分布密度为 f (x1, x2 , , xp )，则 X(1) 的边缘密度函数为：
f (x1, x2 , , xq )
f (x1, x2 ,
, xq , xq1,
, xp )dtq1
dt，p (2.3)
多维随机向量的独立性。若 p个随机变量
X1, X 2 ,, X p的联合分布密度等于各自边缘分布的乘积，则称 X1, X 2 ,, X p是互相独立的。
1
x)(x( )
x)
n
(x1 x1)2
1
1 n
n
(x1 x1)(x 2 x2 )
1
n
(x 2 x2 )2
1
n
x 2
1
n
x
p
1
n
( x 1
x1)(x p
xp

R语言版应用多元统计分析多元正态抽样分布

应用多元统计分析第2章多元正态抽样分布- 1-第2章多元正态抽样分布•在多元统计分析中，多元正态分布占有相当重要的地位。

这是因为，许多实际问题涉及到的随机向量服从正态分布或近似服从正态分布；当样本量很大时，许多统计量的极限分布往往和正态分布有关。

此外，对多元正态分布，理论与实践都比较成熟，已有一整套行之有效的统计推断方法。

•基于这些理由，我们在介绍多元统计分析的种种具体方法之前，首先介绍多元正态分布的定义、性质及多元正态分布中参数的估计问题。

多元统计分析讨论的是多变量总体。

以p个随机变量作为分量构成的向量称为p维随机向量。

如果我们同时对p个变量作一次观测，得到观测值，它是一个样品。

如果我们观察n次得到n 个样品品，而n个样品就构成一个样本。

常把n个样品排成一个n×p矩阵，称为样本数据矩阵（或样本资料阵），记为在多元统计分析理论中涉及到的向量一般都是随机向量，或是由多个随机向量构成的随机矩阵。

均值向量和协方差阵设是一个随机向量。

称向量为随机向量X 的均值向量。

称矩阵为随机向量X 的协方差矩阵，其中。

均值向量和协方差阵设是另一个随机向量。

称矩阵为随机向量X 与Y 的协方差矩阵，其中均值向量和协方差阵若为X 的协方差阵，则称为X 的相关阵，其中若记，则有或均值向量和协方差阵的性质性质1.设X 和Y 是适当维数的随机向量，A和B是适当阶数的常数矩阵，则有均值向量和协方差阵的性质性质2.若X 与Y 相互独立，则；反之则不一定成立。

性质3.随机向量X 的协方差阵是对称非负定矩阵。

性质4. ，其中L 为非负定矩阵，称为的平方根矩阵，记为，即。

证明由于，利用实对称非负定矩阵的对角化原理，存在正交矩阵，使得均值向量和协方差阵的性质其中这里为的特征值，为的与对应的单位正交特征向量。

2.1 随机向量均值向量和协方差阵的性质性质5. ，其中A为列满秩矩阵，若则A为非退化矩阵。

多元统计分析多元正态分布

因子分析可以用于数据的降维、分类和解释变量之间的复杂关系。
03
04
多元正态分布的聚类分析
K-means聚类
一种无监督的机器学习算法，通过迭代过程将数据划分为K个集群，使得每个数据点与其所在集群的中心点之间的平方距离之和最小。
总结词
K-means聚类是一种常见的聚类分析方法，其基本思想是：通过迭代过程将数据划分为K个集群，使得每个数据点与其所在集群的中心点之间的平方距离之和最小。具体步骤包括：随机选择K个中心点，将每个数据点分配给最近的中心点所在的集群，然后重新计算每个集群的中心点，并重复此过程直到中心点不再发生变化或达到预设的迭代次数。
定义与性质
性质
定义
均值向量
描述多元正态分布的期望值，表示分布的中心位置。
协方差矩阵
描述多元正态分布的各变量之间的方差和协方差，表示分布的散布程度和变量间的相关性。
维数
描述多元正态分布中随机变量的个数，不同维数的多元正态分布具有不同的形态和性质。
多元正态分布的参数
统计分析
多元正态分布在统计分析中广泛应用，如回归分析、因子分析、聚类分析等。
KNN分类
06
多元正态分布的可视化技术
总结词
主成分分析（PCA）是一种常用的多元统计分析方法，用于降维和数据可视化。
总结词
PCA可视化能够揭示数据中的模式和趋势，帮助我们理解数据的内在结构和关系。
详细描述
通过将数据投影到主成分上，我们可以将高维数据可视化为一组二维或三维图形，从而更直观地观察数据的分布、中心、离群值和聚类等特征。
逻辑回归分类
VS
支持向量机（SVM）是一种有监督学习算法，用于解决分类问题。在多元正态分布的背景下，支持向量机通过找到能够将不同类别的数据点最大化分隔的决策边界来实现分类。

多元统计分析第4章

第4章
多元正态分布
4.2 多元正态分布密度及其性质

多元正态分布是一元正态密度向多维的推广。回想一元正态分布，有概率密度函数

在一元正态密度函数的指数中，以单位标准差测量从x到μ的距离的平方

这个推广到多元的情况为

因此，对随机向量如下所示
，p维正态密度
其中，类似一元情况的正态密度，我们用表示p维正态密度。例4.1 （二元正态密度）
均值向量和协方差矩阵的极大似然估计

而且，该似然的最大

极大似然估计具有不变性
4.4 样本均值和协方差的抽样分布

在一元情况（p=1）,我们已知值为μ=（总体均值）和方差
是正态分布，其均
对于多元情况结论类似的，是正态分布，其均值为μ和协方差矩阵为（1/n）Σ. 对于样本方差，回想（n-1）s2的分布为σ2乘以一个自由度为n-1的卡方变量。样本协方差矩阵的抽样分布命名为Wishart分布；

多元正态似然：假定p×1向量是一个来自的独立随机样本，所有观测结果的联合密度函数是边缘正态密度之积

在式（4-11）中，联合密度的指数可以简化。由结论4.9（a)，

因此，利用式（4-13）和（4-14），联合密度写为

因此，当向量xj含有实际ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ测的具体数值时，有

在后面章节中，将可以方便地用不同形式表示似然函数（4-16）中的指数，特别地，利用恒等式

概况抽样分布结论如下：

Wishart分布的性质
4.5 样本均值和协方差矩阵的大样本特性
4.6 评估正态性假定
我们提出下述问题： 1. X的元素的边缘分布是否正态？分量Xi的几个线性组合是否呈正态？ 2. 根据各种特征的观测结果对作出的散布图，是否给出正态总体所期望的椭圆形状？ 3. 是否存在应该进行检验以确保精确的“杂乱”观测值？

抽样分布公式的详细整理

抽样分布公式的详细整理抽样分布是统计学中的一个重要概念，它描述的是在特定条件下，从总体中抽取的样本所形成的样本统计量的分布情况。

在实际应用中，我们常常需要根据已知的总体参数来估计未知的总体参数。

此时，抽样分布公式能够帮助我们进行相应的推断统计。

以下是常见的抽样分布公式的详细整理：1. 抽样分布公式在统计学中，常见的抽样分布公式有以下几种：1.1. 正态分布如果总体近似服从正态分布，那么从中抽取的样本均值就近似服从正态分布。

抽样分布公式如下所示：\[ \bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}) \]其中，\(\bar{X}\) 表示样本均值，\(\mu\) 表示总体均值，\(\sigma\)表示总体标准差，\(n\) 表示样本量。

1.2. t分布在实际应用中，当总体近似服从正态分布但总体标准差未知时，我们使用t分布进行推断统计。

抽样分布公式如下所示：\[ t = \frac{\bar{X} - \mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}} \]其中，\(\bar{X}\) 表示样本均值，\(\mu\) 表示总体均值，\(s\) 表示样本标准差，\(n\) 表示样本量。

1.3. 卡方分布在某些情况下，我们需要估计总体方差或总体标准差，此时可以使用卡方分布进行推断统计。

抽样分布公式如下所示：\[ \chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \]其中，\(\chi^2\) 表示卡方统计量，\(s\) 表示样本标准差，\(\sigma^2\) 表示总体方差，\(n\) 表示样本量。

1.4. F分布在某些情况下，我们需要进行总体方差比较或回归分析，此时可以使用F分布进行推断统计。

抽样分布公式如下所示：\[ F = \frac{MSB}{MSW} \]其中，\(MSB\) 表示组间平均平方和，\(MSW\) 表示组内平均平方和。

2. 应用案例为了更好地理解抽样分布公式的应用，以下是一个具体的案例：假设我们从一批电子产品中随机抽取了20个样品，测得平均寿命为3000小时，样本标准差为200小时。

矩阵与多元正态分布2

2
§1.5
常用分布及抽样分布
2 分布与Wishart分布
2 分布与分布 T t
1.5.1 1.5.2 1.5.3
F 中心分布与Wilks分布
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2
分布与Wishart分布
(i 1,2,, n)
在数理统计中，若 X i ~ N (0,1)
n i 1 2 i
n n 1 ( ) ( ) 1
X （） X 1 , X 2 , X p ( 1,2, , n)
相互独立，且 X ~ N p ( , )，
2 1 2 2 X 2 X p
所遵从的分布为自由度为n的p维非中心Wishart分布，记为 W ~ Wp (n, , Z ) 。
AB 502 102 2600 CD 1002 12 10001
1
2
A
1
2
2 有两个正态总体 G1 : N (1,12 ) 和 G2 : N (2 , 2 )，设有一个样本，其值在A处，点A距离哪个总体近些（样本来自哪个总体）？
欧氏距离主要有以下两个缺点：
4、随机变量的数字特征（1）随机向量的均值
（2）随机向量X的自协方差阵
（3）随机向量X和Y的协方差阵（4）随机向量的X的相关阵
例：益寿宁的降血脂效果
求均值向量和协方差阵、相关系数矩阵
相关系数矩阵＝？？
例：在一项实验中，测得大豆的周龄x(以周计) 和平均高度y(厘米)的数据如下：
注意：方阵A的特征值之和等于方阵A的迹
例：
先用7代替特征方程左端行列式中的λ
3－7 4

第三章正态分布与抽样分布

图3-5 正态分布的概率
关于正态分布，有几个概率应记住：关于正态分布，有几个概率应记住：一般正态分布：一般正态分布：
P（µ－1.96σ≤x＜µ+1.96σ）＝0.95 1.96σ≤x＜µ+1.96σ）＝）＝0.95 P（µ－2.58σ≤x＜µ+2.58σ）＝0.99 2.58σ≤x＜µ+2.58σ）＝）＝0.99 P（µ－σ≤x＜µ+σ）＝0.6826 σ≤x＜µ+σ）＝）＝0.6826 P（µ－2σ≤x＜µ+2σ）＝0.9545 2σ≤x＜µ+2σ）＝）＝0.9545 P（µ－3σ≤x＜µ+3σ）＝0.9973 3σ≤x＜µ+3σ）＝）＝0.9973
对于大样本资料，常将样本标准差S 对于大样本资料，常将样本标准差S 与样本均数配合使用，记为 X ± S ，用与样本均数配合使用，以说明所考察性状或指标的优良性与稳定性。对于小样本资料，定性。对于小样本资料，常将样本标准误 SX 与样本均数 X 配合使用，记配合使用，为 X ± S ，用以表示所考察性状或指标的优良性与抽样误差的大小。标的优良性与抽样误差的大小。
学上已证明总体的两个参数与x总体的两总体的两个参数与x 个参数有如下关系：个参数有如下关系：
µx = µ
σx =
σ
n
表 X 的抽样分布形式与原总体X分布形式的关系的抽样分布形式与原总体X
2.2 均数标准误
均数标准误 σx = 的大小反映样本均数 X n 抽样误差的大小标准误大，的大小。的抽样误差的大小。标准误大，说明各样本均间差异程度大；反之，亦然。数 X 间差异程度大；反之，亦然。在实际工作中，总体标准差σ往往是未知的，在实际工作中，总体标准差σ往往是未知的， σx 此时，可用样本标准差S 因而无法求得。此时，可用样本标准差S估 S 于是，计σ 。于是，以估计 n 。记σx 为 n， S SX 称作样本标准误或均数标准误。称作样本标准误或均数标准误。是均数抽样 SX 误差的估计值。误差的估计值。

多元正态分布

第一章多元正态分布
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 多元分布的基本概念多元正态分布均值向量和协方差阵的估计常用分布及抽样分布
一元正态分布在统计学的理论和实际应用中都有着重要的地位。同样，在多变量统计学中，多元正态分布也占有相当重要的位置。原因是：许多随机向量确实遵从正态分布，或近似遵从正态分布；
X和Y 的协差阵：
cov( X , Y ) (cov( X i , Y j )), i 1,, n ; j 1,, p
随机向量X 的相关阵：
R (corr ( X i , X j )) ( rij ) P P rij COV ( X i , X j ) D( X i) D( X j ) , i , j 1,2, , p
总体参数协差阵Σ的极大似然估计是：
1 1 n p L ( X ( i ) X )( X ( i ) X ) n n i 1
n 2 ( X X ) 1 i1 i 1 n 2 ( X X ) 2 1 i2 i 1 n

自协方差阵：
Σ COV ( X , X ) E ( X EX )( X EX ) D( X )
D( X 1 ) COV ( X , X ) 2 1 COV ( X , X ) P 1 COV ( X 1 , X 2 ) D( X 2 ) COV ( X P , X 2 ) COV ( X 1 , X P ) COV ( X 2 , X P ) D( X P )

xn2
X (1) x1 p x2 p X (2 ) ( X 1 , X 2 , , X P ) X x np (n)

生物统计学课件-3正态分布和抽样分布

人口普查数据通常呈现正态分布特征，通过对人口数据进行分析，可以了解人口数量、性别比例、年龄结构等方面
的信息。
生物量分布
生物量在不同生物个体之间存在差异，其生物量通常服从正态分布。通过对生物量分布进行分析，可以了解生物群落的结构和生态特征。
02
抽样分布
抽样分布的定义
抽样分布
抽样分布的特性
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实例一：人类身高数据的正态分布分析
总结词
人类身高数据呈现正态分布，即大多数人的身高集中在平均值附近，少数人偏离平均值。
详细描述
通过对大量人群的身高数据进行统计分析，可以发现这些数据呈现正态分布的特点。正态分布是一种常见的概率分布，其特点是数据点呈现钟形曲线，平均值处达到峰值，两侧逐渐降低。在人类身高数据中，平均身高即为正态分布的均值，大多数人的身高都接近这个平均值，只有少数人身高过高或过低。这种分布反映了人类身高的自然变异和遗传因素。
描述样本统计量（如样本均值、样本比例等）如何围绕总体参数（如总体均值、总体比例等）分布的统计规律。
与总体参数密切相关，样本量越大，抽样分布越接近总体参数。
抽样分布的形成
通过多次从总体中随机抽取样本，并观察样本统计量的变化，可以形成抽样分布。
抽样分布的性质
中心极限定理
无论总体分布是什么形状，当样本量足够大时，样本统计量
实例二：人类基因频率的抽样分布分析
总结词
人类基因频率在不同人群中存在差异，通过抽样分布分析可以了解基因频率的分布情况。
详细描述
基因频率是指某种特定基因在群体中的出现频率。由于不同人群的遗传背景和进化历程不同，基因频率也会有所差异。为了了解基因频率在不同人群中的分布情况，可以采用抽样分布的方法进行分析。通过对不同人群进行随机抽样，检测特定基因的存在与否，并计算基因频率。通过比较不同人群的基因频率数据，可以了解基因频率的分布特征和变异情况。

3-多元正态抽样分布

n

X
2 i
~
2 (n)
i 1
一、维希特（Wishart） 1、定义随机矩阵的分布
x11 x12
设随机矩阵X

x21
x22

xn1
xn2

x1p
x2
p

xnp

矩阵中的每一个元素均为随机变量，则矩阵X的分布是其行向量拉长，组成一个长向量

x1
p
x2 p

xn1 x11 x12
xn 2

x21
x22

xnp

xn1
xn 2

x1p
x2
p

xnp

n
W X il X lj l 1
服从自由度为 n 的非中心维斯特分布，记为W ~ Wp (n,。, μ)

0 )
n(x 0)1(x 0)
服从自由度为 p的卡方分布。
证：
由于样本均值
x
~
Np
(
,
1 n
)
令
1
n 2 (X )
1
E() E[ n 2 (X )]
1
D() D[ n 2 (X )] p
1
n 2 (X ) ~ N p (o,I)

A (X j X)(X j X)
j n1
A XiXi nXX
i n1
A XiXi nn
i 1
A n1