劳斯判据判定稳定性
3.5劳斯稳定性及稳定判据
an a n 1 A1 B1 C1
an 2 an 3 A2 B2 C2
an 4 an 5 A3 B3 C3
劳斯表
劳斯表计算举例
s 5 s s s s s s
4 3 2 1 0
6
a6 s6 a5 s5 a4 s4 a3 s 3 a2 s 2 a1 s a0 0
系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具有负 实部的共轭复数。 或者说，特征方程的根应全位于s平面的左半平面。
3 代数稳定判据
1 劳斯稳定判据
线性定常系统的特征方程一般式为
an s n an1s n1 a1s a0 0
系统稳定的充要条件为： 1）特征方程的全部 系数为正值； 2）由特征方程系数组成 的劳斯表的第一列也为正。
本次课程作业
3-16（1）、（6）
3-20
五 稳定性及其代数稳定判 据 1 稳定性的定义
处于某一初始平衡状态的系统。在任何足够小的初始偏差 作用下，其过渡过程随着时间的推移，是否具有逐渐恢复原平 衡状态的性能。
如果系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后， 经过足够长的时间后能回复到原来的初始平衡状态，则称系统 是稳定的。否则是不稳定的。
s3 j
s1 s4
c( ) 0 系统稳定
G( s ) N ( s) ( s 3)(s 20)(s 2 2 s 4)
s2
o
c(t)
t 0
s3,4 1 j 3
t t Ae cos 3 t Be sin 3t 增加运动模态 c( ) 0 系统稳定
劳斯稳定判据的定义
劳斯稳定判据的定义
劳斯稳定判据，是控制理论中常用的一种判据，用于判断系统的稳定性。
在控制系统中，稳定性是一个非常重要的指标，它决定了系统在各种工况下的可靠性和可控性。
劳斯稳定判据通过分析系统的特征方程，判断系统的稳定性。
特征方程是系统的传递函数的分母多项式，通过求解特征方程的根来判断系统的稳定性。
劳斯稳定判据的定义如下：设特征方程为F(s)=0，将特征方程F(s)进行因式分解，得到特征方程的根s1，s2，...，sn。
如果特征方程的所有根的实部都小于零，且特征方程的根的个数与特征方程的阶数相等，则系统是稳定的。
通过劳斯稳定判据，我们可以很方便地判断系统的稳定性。
只需要将特征方程进行因式分解，并对特征方程的根进行判断即可。
如果特征方程的根都满足实部小于零的条件，且根的个数与特征方程的阶数相等，那么系统就是稳定的。
否则，系统就是不稳定的。
劳斯稳定判据的应用范围非常广泛。
不仅在控制系统中常常用到，而且在其他领域中也有广泛的应用。
例如，在电力系统中，劳斯稳定判据可以用于判断发电机的稳定性；在通信系统中，劳斯稳定判据可以用于判断信道的稳定性；在经济学中，劳斯稳定判据可以用于判断经济系统的稳定性等等。
劳斯稳定判据是一个非常重要的判据，它可以帮助我们判断系统的
稳定性。
通过分析特征方程的根，我们可以得到系统的稳定性信息。
劳斯稳定判据的应用非常广泛，不仅在控制系统中常常用到，而且在其他领域中也有广泛的应用。
通过劳斯稳定判据，我们可以更好地理解和分析系统的稳定性，从而提高系统的可靠性和可控性。
劳斯判据判断临界稳定的条件
劳斯判据判断临界稳定的条件好嘞，今天咱们聊聊劳斯判据，这可是控制理论里的一个“大佬”。
想象一下，一个船在风浪中航行，要是不稳，简直就像无头苍蝇一样，搞不好就翻船了。
劳斯判据就像是一个导航仪，让你知道这船在什么情况下还能继续航行，而不会翻倒。
要是你对这个概念不太了解，那就跟我来，咱们轻松聊聊！啥是临界稳定呢？就是你知道的，既不稳定，也不完全稳定，就像一个平衡木上的小丑，稍微一失去平衡就要摔下去了。
想象一下，一个人走在细绳上，左摇右晃，哎哟，真是提心吊胆。
劳斯判据就像是教练，在旁边给你打气，告诉你什么时候该加油，什么时候该放松。
它帮我们判断系统的特性，尤其是在临界稳定的情况下，简直是如鱼得水。
咱们说说劳斯判据的基本原理，听起来可能有点拗口，但其实就是看看系统的特征方程，构造一个“劳斯阵”。
这个阵可不是普通的阵，而是有特定规则的。
有些人一听到数学就打退堂鼓，别担心，劳斯阵其实挺简单的。
你只要把特征方程的系数按一定的方式排成表，接下来就可以开始“解密”了。
在劳斯阵里，有一个“重要角色”，那就是判别式。
这个小家伙告诉你，阵列的符号变化，能不能用来判断系统的稳定性。
比如说，假如你发现这个判别式的符号在某些行变了，那就得小心了，系统可能会不太稳。
就像一个大树摇摇欲坠，随时可能倒下。
你说这多可怕呀！不过如果没有符号变化，哇，那可就稳如老狗了，继续航行，绝对没有问题。
但万一你发现有零值，那就麻烦了。
你得重新做一些小调整，就像给你的船加油一样，确保一切正常。
别担心，这也是劳斯判据的好处，给了你调整的机会，让你有时间做出改变，免得真的翻船。
就像生活中的很多事情，有时候遇到困难，转个弯就能找到解决办法。
说到这里，咱们来聊聊实际应用。
你会发现，劳斯判据不仅仅是在课本里，也在很多地方派上用场。
比如，汽车的控制系统、飞行器的稳定性，这些都离不开它的帮助。
你想想，一个飞行员要在万米高空保持飞机的稳定，那绝对是个技术活儿，劳斯判据帮他分析，确保万无一失。
劳斯-霍尔维茨稳定性判据
lim c (t) lim c (1 )(t) L lim c (n 1 )(t) 0
t t
t
(3.60)
则称系统(3.58)是稳定的。
为了决定系统的稳定性，可求出式(3.59)的解。由数学 分析知道，式(3.59)的特征方程式为
a n sn a n 1 sn 1 L a 1 s a 0 0
(a) 稳定的(b) 不稳定的来自图3-31 圆锥体的稳定性
因此，系统的稳定性定义为，系统在受到外作用力后， 偏离了最初的工作点，而当外作用力消失后，系统能够返 回到原来的工作点，则称系统是稳定的。
设系统在初始条件为零时，在单位理想脉冲作用下， 这时系统的脉冲响应为c(t)。若t ∞时，脉冲响应
limc(t) 0
一、稳定性的概念
稳定性的概念可以通过图3-31所示的方法加以说明。 考虑置于水平面上的圆锥体，其底部朝下时，我们施加一 个很小的外力（扰动），圆锥体会稍微产生倾斜，外作用 力撤消后，经过若干次摆动，它仍会返回到原来的状态。 而当圆锥体尖部朝下放置时，由于只有一点能使圆锥体保 持平衡，所以在受到任何极微小的外力（扰动）后，它就 会倾倒，如果没有外力作用，就再也不能回到原来的状态。
则稳态响应也必定是有界的。则系统稳定性可以归结为，系统在 任何一个有界输入的作用下，其输出是否有界的问题。
一个稳定的系统定义为，在有界输入的作用下，其输 出响应也是有界的。这叫做有界输入有界输出稳定，又 简称为BIBO稳定。
线性系统的稳定性可以根据闭环极点在S平面内的位置来 确定。设单输入单输出线性系统的微分方程为，即
图3-32 根平面
表3.4列举了几个简单系统稳定性的例子。需要指出 的是，对于线性定常系统，由于系统特征方程根是由特征 方程的结构（即方程的阶数）和系数决定的，因此系统的 稳定性与输入信号和初始条件无关，仅由系统的结构和参 数决定。
系统稳定性分析—劳斯稳定判据
© BIP
例题4：s6 s5 6s4 5s3 9s2 4s 4 0
S6 1
6
S5 1
5
9
4
辅助方程
4
0
S4 1
5
4
S3
0 4
0 10
0 0
S2 2.5
4
0
0 s4 5s2 4 0
0 0 4s3 10s 0 0
S1 3.6
0
0
0
S0 4
0
0
0
某一行全为零，说明存在对称于原点的根，系统不稳定
No.15
© BIP
图7 K=15时系统的单位阶跃响应曲线
No.16
© BIP
图8 K=20时系统的单位阶跃响应曲线
No.17
© BIP
例题2：液位控制系统的稳定性分析。
进水
阀门
进水阀门的 传递函数K3
减速器
+ 电位器
-
连杆
执行电机和 减速器的传
递函数
K2/S(TS+1)
电动机
放大器
控制对象水箱的
系统稳定性分析之 ——劳斯判据
一、系统稳定的重要性
图1“舞动的格蒂”—首座塔科马大桥
No.2
© BIP
二、系统稳定性的基本概念和条件
1、定义：如果线性控制系统在初始扰动的作 用下，使被控量产生偏差，当扰动消失后，该 偏差随着时间的推移逐渐减小并趋于零，即系 统趋于原来的工作状态，则称该系统为渐进稳 定。反之，如果在初始扰动的作用下，系统的 偏差随着时间的推移而发散，系统无法趋于原 来的工作状态，则称系统不稳定。
传递函数K4/S
Routh 稳定性判定
ja
-a 0 a 0 -ja
j jb
-a
0
a
-jb 处理 利用该零行上面一行元素构成辅助多项式，取辅助多项式 方法 导数的系数代替该零行，继续计算劳斯数列中其余各项。
第五章 系统的稳定性
s7 s6 s5 s4 s3 s2 s1 s0 1 7 3 5 16/3 0 5 0 0 0 20 0 (0) 20 -400/ 20
图5.2 系统方框图
将已知条件代入，系统的特征方程为
D ( s ) s 3 34.6 s 2 7500 s 7500 K 0
列出Routh数列为
s3 s2
1
7500 7500 K 0 0
0 0
0 K 34.6
34.6 34.6 7500 7500 K 1 s 34.6 0 s 7500 K
s
4
s3 s2 s1 s0
1 19 30 1 11 0 1 (19) 1 11 30 30 0 （改变符号一次） 1 (30) 11 1 30 12 0 0 （改变符号一次） 30 30 0 0
3）第一列符号变化2次，系统有两个不稳定根。
第五章 系统的稳定性
低阶系统(六阶以下)
第五章 系统的稳定性
一、劳斯稳定判据的步骤
5.2 Routh稳定判据
n n 1 1. 列写系统的特征方程式 D ( s ) a n s a n 1 s a1 s a 0 0
2. 系统稳定的必要条件 各系数同号且不为零 或 an>0, an-1>0, … , a1>0, a0>0 3. 列写Routh数列表
第五章 系统的稳定性
例5.1 系统的特征方程 求系统的稳定性。
自动控制原理第四章-1-劳斯稳定性判据
04
劳斯稳定性判据的优缺点
优点
简单易行
劳斯稳定性判据是一种直接的方法，用于确定系统的稳定 性。它不需要求解系统的极点，只需要检查劳斯表格的第 一列。
普遍适用性
劳斯稳定性判据适用于所有线性时不变系统，无论系统是 单输入单输出（SISO）还是多输入多输出（MIMO）。
数学基础
劳斯稳定性判据基于数学中的因式分解和不等式性质，具 有坚实的数学基础。
劳斯稳定性判据的局限性在于它只能判断系统 的稳定性，无法给出系统动态性能的评估和优 化。
对自动控制原理的展望
随着科技的发展，自动控制原理的应用领域不断扩大，涉及到工业、交通、医疗、 农业等多个领域。
未来，自动控制原理将与人工智能、机器学习等先进技术相结合，实现更加智能化、 自适应的控制方案。
自动控制原理的理论体系也将不断完善和发展，以适应不断变化的应用需求和技术 环境。
2
在航空航天领域，为了确保飞行器的安全和稳定， 需要利用劳斯稳定性判据对飞行控制系统进行稳 定性分析和设计。
3
在化工领域，为了确保生产过程的稳定和安全， 需要利用劳斯稳定性判据对工业控制系统进行稳 定性分析和设计。
02
劳斯稳定性判据的基本原理
线性系统的稳定性
线性系统
01
在自动控制原理中，线性系统是指系统的数学模型可以表示为
缺点
01
对初始条件的敏感性
劳斯稳定性判据对系统的初始条件非常敏感。即使系统在大部分时间内
是稳定的，如果初始条件设置不正确，可能会导致错误的稳定性判断。
02
数值稳定性问题
在计算劳斯表格时，可能会遇到数值稳定性的问题，例如数值溢出或数
值不精确。这可能会影响判据的准确性。
劳斯判据
(3.63)
假如所有的根均在左半平面，即 p j <0，s i<0 ，则p j >0 ，s i >0 。所以将各因子项相乘展开后，式（3.63）的所 有系数都是正数。 根据这一原则，在判别系统的稳定性时，可首先检查系 统特征方程的系数是否都为正数，假如有任何系数为负数或 等于零（缺项），则系统就是不稳定的。但是，假若特征方 程的所有系数均为正数，并不能肯定系统是稳定的，还要做 进一步的判别。因为上述所说的原则只是系统稳定性的必要 条件，而不是充分必要条件。
an 3 b2 an 5 b3 an 7 b4
按此规律一直计算到n -1行为止。在上述计算过程中，为 了简化数值运算，可将某一行中的各系数均乘一个正数，不 会影响稳定性结论。 3. 考察阵列表第一列系数的符号。假若劳斯阵列表中第 一列系数均为正数，则该系统是稳定的，即特征方程所有的 根均位于根平面的左半平面。假若第一列系数有负数，则第 一列系数符号的改变次数等于在右半平面上根的个数。 例3.3 系统特征方程为
线性闭环系统的稳定性可以根据闭环极点在S平面内的位 置予ห้องสมุดไป่ตู้确定。假如单输入单输出线性系统由下述的微分方程 式来描述，即
an c ( n ) an 1c ( n 1) a1c (1) a0c bm r ( m ) bm1r ( m1) b1r (1) b0 r
2 2
s4 1 s3 6
例3.4 已知系统特征方程式为
s5 3s 4 2s3 s 2 5s 6 0
解 列写劳斯阵列表 5 1 2 5 s s4 3 1 6 s3 5 9 （各系数均已乘3） 2 s -11 15 （各系数均已乘5/2） 1 （各系数均已乘11） s 174 s0 15 劳斯阵列表第一列有负数，所以系统是不稳定的。由于第 一列系数的符号改变了两次(5→－11→174)，所以，系统特 征方程有两个根的实部为正。
第五章劳斯稳定性判据
如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程 式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。
如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的 次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，相应 的系统为不稳定。
C(s)
bmsm bm1sm1 sn an1sn1
b1s b0 a1s a0
xi
s
n1
aj
n2 i (s ii ) i i
1
2 i
j1 s p j i1
s2 2ii s i2
06-7-20
控制系统的稳定性分析
S4
2
12Biblioteka 16明该方程在S右半平面S3
0
0
0
8
24
上没有特征根。令 F(s)=0，求得两对大 小相等、符号相反的
S2
6
16
根 j 2 , j2
S1
8
0
3
，显然这个系统处于临界稳定状态。
06-7-20 S 0
16
控制系统的稳定性分析
23
劳斯判据特殊情况之三 特征方程在虚轴上有重根
如果特征方程在虚轴上仅有单根，则系统的响应是持续 的正弦振荡，此时系统既不是稳定的，也不是不稳定的，因 而称之为临界稳定；如果虚根是重根，则系统响应是不稳定
1.稳定性是控制系统自身的固有性质，这稳定性取决于系 统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关；
A：对线性系统，系统是大范围稳定的（与输入偏差无 关）；
劳斯-霍尔维茨稳定性判据
第三章控制系统的时域分析法3.2 劳斯-霍尔维茨稳定性判据稳定性是控制系统最重要的问题，也是对系统最基本的要求。
控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。
如果系统不稳定，当它受到扰动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并随时间推移而发散，即使扰动消失了，也不可能恢复原来的平衡状态。
因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是控制理论的基本任务之一。
常用的稳定性分析方法有：1. 劳斯－赫尔维茨（Routh－Hurwitz）判据：这是一种代数判据。
它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，来判断系统的稳定性.2. 根轨迹法：这是一种利用图解来系统特征根的方法。
它是以系统开环传递函数的某一参数为变量化出闭环系统的特征根在S平面的轨迹，从而全面了解闭环系统特征根随该参数的变化情况。
3. 奈魁斯特（Nyquist）判据：这是一种在复变函数理论基础上建立起来的方法。
它根据系统的开环频率特性确定闭环系统的稳定性，同样避免了求解闭环系统特征根的困难。
这一方法在工程上是得到了比较广泛的应用。
4. 李雅普诺夫方法上述几种方法主要适用于线性系统，而李雅普诺夫方法不仅适用于线性系统，也适用于非线性系统。
该方法是根据李雅普诺夫函数的特征来决定系统的稳定性。
一、稳定性的概念稳定性的概念可以通过图3-31所示的方法加以说明。
考虑置于水平面上的圆锥体，其底部朝下时，我们施加一个很小的外力（扰动），圆锥体会稍微产生倾斜，外作用力撤消后，经过若干次摆动，它仍会返回到原来的状态。
而当圆锥体尖部朝下放置时，由于只有一点能使圆锥体保持平衡，所以在受到任何极微小的外力（扰动）后，它就会倾倒，如果没有外力作用，就再也不能回到原来的状态。
因此，系统的稳定性定义为，系统在受到外作用力后，偏离了最初的工作点，而当外作用力消失后，系统能够返回到原来的工作点，则称系统是稳定的。
3-2 劳斯判据
朱文兴
3.5 3.5.1
线性系统的稳定性分析 稳定的概念
所谓稳定性是指系统在受到外界力的作用后恢复 平衡状态的能力。
如果系统受到有界扰动，不论扰动引起的初始偏差有多大， 当扰动取消后，系统都能以足够的准确度恢复到初始平衡状态， 则这种系统称为大范围稳定的系统； 如果系统受到有界扰动，只有当扰动引起的初始偏差小于 某一范围时，系统才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态，否
0< K < 6
22
②确定系统的相对稳定性 例3-9 检验多项式 2s3 + 10s2 + 13s + 4 = 0 是否有根在s 右半平面，并检验有几个根在垂直线 s = 1 的右边？
解：1)
s3 s2
2 10
13 4
劳斯表中第一列元素均 为正
∴系统在s 右半平面没有 根，系统是稳定的。
s1
s0
3/2 2/3 2
2 0
特征方程式不缺项且系数为正值，劳斯表中
第一列元素的符号无变化，∴系统没有正实部 的根。解辅助方程求出系统有两对纯虚根，系
20 统处于临界（不）稳定。两对纯虚根分别是
s0
s=±j和s=±√2j，剩下的一个根是s=-1。
劳斯判据小结
控制系统稳定的充要条件是：
1、系统的闭环特征方程式s的幂次不缺项； 2、全部系数为正值； 3、由该方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都要是正的。
1 2 1 6 5
3 4 5 0
5 0
特征方程式不缺项，且系数都为正值，劳斯表的第一列 15 元素 符号改变了2次，∴系统不稳定，且s 右半平面有2 个根。
3.5.3 两种特殊情况
第一种特殊情况：劳斯表中某行的第一列元素为零， 而其余各项不为零，或不全为零。对此情况，有两 种处理方法。
自控判断稳定性4种方法
3、波特图——幅值裕度——系统开环频率特性相位为-180时（穿越频率），其幅值倒数K，意义为闭环稳定系统，如果系统的开环传递系数再增大K倍，系统临界稳定。
——相位裕度——系统开环频率特性的幅值为1时（截止频率），其相位与180之和。意义为：闭环稳定系统，如果系统开环频率特性再滞后r，系统进入临界稳定。
低频段——稳态误差有关。L(w)在低频段常见频率为[-20]、[-40],也就是一阶或二阶无差（v=1/v=2)
Байду номын сангаас
中频段——截止频率附近的频段，与系统的瞬态性能有关。为了具有合适的相位裕度（30~60），L（w)在中频段穿过0分贝线的斜率应为[-20]，并且具有足够的宽度。
高频段——抗高频干扰能力。高频段闭环频率特性近似于开环频率特性，高频段幅值分贝越小，则抑制高频信号衰落的作用越大，抗高频干扰越强。L（w）在高频段应具有较大的负斜率。
4、根轨迹——系统开环传递函数的某一参数变化造成闭环特征根在根平面上变化的轨迹。
——增加开环零点，根轨迹左移，提高相对稳定性，改善动态性能。零点越靠近虚轴影响越大。
——增加开环极点，根轨迹右移，不利于系统稳定和动态性能。
从闭环系统的零、极点来看，只要闭环系统的特征方程的根都分布在s平面的左半平面，系统就是稳定的。
1、劳斯判据——判定多项式方程在S平面的右半平面是否存在根的充要判据。——特征方程具有正实部根的数目与劳斯表第一列中符号变化的次数相同。
2、奈奎斯特判据——利用开环频率的几何特性来判断闭环系统的稳定性和稳定性程度，更便于分析开环参数和结构变化对闭环系统瞬态性能影响。——利用幅角原理——Z、P分别为右半平面闭环、开环极点，要想闭环系统稳定，则Z=P+N=0，其中N为开环频率特性曲线GH（jw)顺时针绕（-1，j0)的圈数。
第四章 稳定性分析——劳斯判据(4-1)..
6
8
T
19
例：设系统特征方程为： s 8s 10s 2 0 试判别系统的稳定性，并分析有几个根位于垂线 s 1 与虚轴之间。 解：列出劳斯表
3 2
s3 s2 s1 s0
1 10 8 2 9.75 0 2 0
因劳斯表中第一列元素无符号变化，所以系统稳 定。 令： s s1 1
要使系统稳定，第一列元素的符号均应大于零 由此得： 1。 K 0,2T 0, 即：T 0 2。 (2 T )(K 1) 2TK 0 T 2(KK11)
18
则稳定条件为： T 0 , 0< K <
K
6
4
2
T 2 T 2
K
T 2 T 2
系统稳定区域
4
0
2
将辅助方程A(s)对变量 s 求导，得 2 s 0 新方程，并用 新方程的系数代替全零行的元素。
16
求解辅助方程A(s)=0得到 s1,2 4 j 说明此特征方程有一对共轭根分布在虚轴上系统处 于临界稳定状态。
3．劳斯判据的应用 劳斯判据主要用来判断系统是否稳定。 问题： 1。这种判据并不能指出如何使系统达到稳定。 2。如果采用劳斯表判别出的系统是稳定的，它 也不能表明系统一定具备满意的动态响应。即：劳 斯判据不能表征特征方程在左半面的根相对于虚轴 的距离。
第四章
控制系统的稳定性分析
上海交通大学自动化系 田作华
Zhtian@
1
第四章
控制系统的稳定性分析
第一节 稳定性的基本概念 一、系统的稳定性
如果一个线性定常系统在扰动作用消失后，能 够恢复到原始的平衡状态，即系统的零输入响应 是收敛的，则称系统是稳定的。 反之，若系统不能恢复到原始的平衡状态， 即系统的零输入响应具有等幅震荡或发散性质， 则称系统是不稳定的。
简述劳斯稳定判据内容
简述劳斯稳定判据内容
劳斯稳定判据是控制系统理论中常用的一种稳定性判据，用于判断线性时不变（LTI）系统的稳定性。
其判据是通过系统的
传递函数的分子和分母的系数来确定。
劳斯稳定判据的内容如下：
1. 将系统的传递函数表示为一个分式形式，其中分母是一个多项式。
2. 将分母多项式的系数按降序排列，如果存在某个系数为零，则将其设置为理想情况下小于零的一个极小值，例如-ε。
3. 按照以下步骤来构造劳斯表（一个方阵），其中每一行表示分母多项式的一个系数：
a. 第一行为分母多项式的系数。
b. 第二行为倒数第二行的系数乘以第一行的第一个元素除以
第一行的第一个元素的相反数，以此类推。
c. 每一行的系数先用倒数第二行的系数乘以第一行的第一个
元素除以第一行的第一个元素的相反数，然后再减去倒数第二行的第一个元素乘以第一行除以第一行的第一个元素的相反数，以此类推。
4. 判断系统的稳定性：
a. 如果劳斯表的首行（分母多项式系数）全为正，则系统稳定。
b. 如果劳斯表的首行有一个负元素，但是上一行（倒数第二行）全为正，则系统稳定。
c. 如果劳斯表的首行中有一个零元素，但是上一行全为正，
则系统边界稳定（不稳定的情况也可能发生）。
d. 如果劳斯表的首行有一个负元素，并且上一行中也有一个
负元素，则系统不稳定。
劳斯稳定判据是一种必要条件但不是充分条件，即如果劳斯判据判断出系统稳定，则系统一定是稳定的；但如果判断出系统不稳定，则系统可能是不稳定的，也可能是边界稳定的。
因此，在劳斯判据显示不确定的情况下，还需要进行其他稳定性判据的分析。
劳斯判据
三、劳斯判据
根据稳定的充要条件来判别系统的稳定性， 需要求出系统的全部特征根。对于高阶系 统，求跟的工作量很大，因此，希望使用 一种间接判断系统特征根是否全部位于s左 半平面的代替方法。 劳斯和赫尔维茨分别于1877年和1895年独立 提出了判断系统稳定的代数判据，称为劳 斯-赫尔维茨稳定判据。
注意：该判据为稳定的必要条件，故通常用来判断系 统不稳定的情况，而不能判断系统稳定。
D( s) a0 s a1s
n
n 1
... an1s an 0
三、劳斯判据
2、劳斯判据（1977年由Routh提出的代数判据） ①系统的特征方程 D(s) a0 s n a1s n1 ... an1s an 0 各项系数均为正； ②按特征方程的系数列些劳斯表 s | a a a a a a a s | a a a a a a a b s | b b b b a a s | c c c a a a | a b b b b s | c c b b s |
三、劳斯判据
1、赫尔维茨判据 设线性系统的特征方程为 则使线性系统稳定的必要条件是：上式各项系数为正。 证明： D( s) a0 s n a1s n1 ... an1s an K (s p1 )( s p2 )...( s pn ) 若所有的特征根均在s平面左边，则有 p j 0 或者说 p j 0 ，那么他们的多项式相乘后，系数一定也大于零。
二、系统稳定的充要பைடு நூலகம்件
M ( s) b0 s m b1s m1 bm1s bm G( s) D( s) a0 s n a1s n 1 ... an 1s an 由于 (t ) 的拉氏变换为1，设 si (i 1,2....n)为特征根 n Ai M ( s ) 所以输出的拉氏变换为 C (s) 1 G(s) D( s) i 1 s si
3.5劳斯稳定性及稳定判据
s3
B1
A1a3 a5 A2 A1
s2
C1
B1 A2 A1B2 B1
s1
D1
C1B2 B1C2 C1
s0
E1
D1C 2 D1
a0
a3
A2
a5a2 a6a1 a5
B2
A1a1 a5 A3 A1
C2
B1 A3 0 B1
a0
a1
0
0 A3
a5a0 a5
a0
s5 1
1
4
s4 2
3
5
一次符号变化
s 3 0.5 1.5 0
二次符号变化
s2 9
5
0
1 3 0 ( 1 ) 2
950
系统不稳定
其第一列系数符 号变化两次，表
s1 16
0
9
0
1( 32) 9
0
0
( 9 ) 32
示有两个极点在 s的右半平面。
s0 5
0
0
500
用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性结论；
s5 0 增加运动模态 常数项 k
c() k 系统不稳定
s3 j
s2
s1
o
N (s)
s4
G(s) (s 3)( s 20)( s2 2s 4)( s2 4)
s5,6 j2 增加运动模态 A1 cos 2t B1 sin2t
0
t
c() 0 系统持续震荡，也称为临界稳定
s1,2 j 2 , s3,4 j2
(第12讲) 第五章 劳斯稳定性判据
a 0 s a1 s
n
n 1
a n 1 s a n 0
则该系统稳定的条件为： a. 特征方程的各项系数 a i ( i 0 , , n 1) 都不等于零； b. 特征方程的各项系数 a i 的符号都相同； 此两项为必要条件。
例 如 ： q s s 2 s s 4 s s 2s 8
2
s1 , 2
a1
a1 4 a 2 a 0
2
2a2
只有 a 2 , a 1 , a 0 都大于零，系统才稳定（负实根或实部 为负）。 对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以 下描述的代数稳定性判据。
06-7-20
控制系统的稳定性分析
13
5.3 代数稳定性判据
5.3.1 劳斯稳定性判据 设线性系统的闭环特征方程为：
B：对实际“小偏差线性化”的近似线性系统，偏差达到 一定范围之后，系统不再稳定。 2.稳定性指的是自由震荡之下的稳定性，即输入为零，系 统在初始偏差不为零时的稳定性；也即是讨论自由振荡是收敛 还是发散。
5.2 系统稳定的充要条件
设系统或环节的微分方程为：
y
(n)
( t ) a n 1 y
(m )
06-7-20 控制系统的稳定性分析 2
如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下偏离原 来的平衡状态，并随时间的推移而发散。
因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施， 是自动控制理论的基本任务之一。
其他：
一个反馈系统要么是稳定的，要么是不稳定的---绝对稳定性。 具有绝对稳定性的系统称为稳定系统； 若一个闭环系统是稳定的，还可以用相对稳定性来进一步衡 量其稳定程度。例如：飞机越稳定操作起来越困难。但是现代战 斗机的相对不稳定性导致的结果就是良好的可操纵性，因此战斗 机不如商业运输机飞行平稳，但是能够实现快速机动。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
劳斯判据
即Routh-Hurwitz判据
一、系统稳定的必要条件
判据是判别系统特征根分布的一个代数判据。
要使系统稳定，即系统全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件：
1）特征方程的各项系数都不等于零。
2）特征方程的各项系数的符号都相同。
此即系统稳定的必要条件。
按习惯，一般取最高阶次项的系数为正，上述两个条件可以归结为一个必要条件，即系统特征方程的各项系数全大于零，且不能为零。
二、系统稳定的充要条件
系统稳定的充要条件是表的第一列元素全部大于零，且不能等于零。
运用判据还可以判定一个不稳定系统所包含的具有正实部的特征根的个数为表第一列元素中符号改变的次数。
运用判据的关键在于建立表。
建立表的方法请参阅相关的例题或教材。
运用判据判定系统的稳定性，需要知道系统闭环传递函数或系统的特征方程。
在应用判据还应注意以下两种特殊的情况：
1．如果在表中任意一行的第一个元素为0，而其后各元不全为0，则在计算下一行的第一个元时，该元将趋于无穷大。
于是表的计算无法继续。
为了克服这一困难，可以用一个很小的正数代替第一列等于0的元素，然后计算表的其余各元。
若上下各元符号不变，切第一列元素符号均为正，则系统特征根中存在共轭的虚根。
此时，系统为临界稳定系统。
2．如果在表中任意一行的所有元素均为0，表的计算无法继续。
此时，可以利用该行的上一行的元构成一个辅助多项式，并用多项式方程的导数的系数组成表的下一行。
这样，表中的其余各元就可以计算下去。
出现上述情况，一般是由于系统的特征根中，或存在两个符号相反的实根（系统自由响应发散，系统不稳
定），或存在一对共轭复根（系统自由响应发散，系统不稳定），或存在一对共轭的纯虚根（即系统自由响应会维持某一频率的等幅振荡，此时，系统临界稳定），或是以上几种根的组合等。
这些特殊的使系统不稳定或临界稳定的特征根可以通过求解辅助多项式方程得到。
三、相对稳定性的检验
对于稳定的系统，运用判据还可以检验系统的相对稳定性，采用以下方法：
1）将s平面的虚轴向左移动某个数值，即令s=z-（（（为正实数），代入系统特征方程，则得到关于z的特征方程。
2）利用判据对新的特征方程进行稳定性判别。
如新系统稳定，则说明原系统特征方程所有的根均在新虚轴之左边，（越大，系统相对稳定性越好。