向量的加减法及数乘运算

，是实数，
（1）（ a ) ( )a;


(2)( )a a a; (3) ( a b ) a b .
特别地:（ ） a a a b a b










向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算
于是求 a b 就是求这样一个向量，
它与
b
O
这是因为： a b b a b b a 0 a


b的和等于 a。
此即向量减法的三角形法则
法（二） 三角形法则
如图,已知向量 a 和向量 b ,作向量 a b
那么：
a b , b a, a b 0.
向量 a 加上 b 的相反向量，叫做 a 与 b
即： a b a b
2． 向量减法的定义
的差，

求向量差的运算，叫做向量的减法。
思考：
任意给出两个向量，如何做出这两个向量的差呢？
法（一） 平行四边形法则 因为 a b a b
1． 相反向量：
做 a 的相反向量 记作 a
与 a长度相等，方向相反的向量，叫
规定:零向量的相反向量仍是零向量。 注： （1） a a （2）任意向量与它相反向量的和是零向量。
即： a a a a 0 （3）如果， a , b互为相反向量，
B
b d
D
d
A
c
a
b
a
c
C
o
例2．如图，平行四边形 ABCD中， AB a , AD b , 用 a , b 表示向量 AC , DB 。
解：由作向量和的平行四边形法则， 得
例题
AC a b
D
C
b
由作向量差的方法，
A 知 DB AB AD a b
一、①λ
a 的定义及运算律 (a≠0)
②向量共线定理
b=λa
向量a与b共线
二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 且有公共点Ｂ 3. 证明 两直线平行: AB=λCD AB∥CD
A,B,C三点共线
AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
设 e1 , e2是两个不共线的向量， AB 2e1 ke2 , CB e1 3e2 , CD 2e1 e2 ，若A、B、D三点共线，求k的值.
(a) (a) (a) 又如何呢？ 类比上述结论， a a a 3a 与 a方向相反
N M
Q
P
3a
即 3a 3 a
一般地，我们规定实数λ 与向量 a 的积是一个向量， 这种运算叫做向量的数乘，记作 a ，它的长度和方向
例3.如图，已知任意两个向量 a、 b ，试作 OA a b,
间的位置关系吗？为什么？
a b 3b 2b b
O
OB a 2b, OC a 3b. 你能判断A、B、C三点之
C
B
A
a
小结:
a b a b a b
（2）
a、b R
a b ab a b a b a b a b
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
1.向量加法三角形法则: 特点:首尾顺次连，起点 指终点
2.向量加法平行四边形法则:
特点:起点相同,对角为和
C
ab
a b
B B
例1．已知向量 a , b , c , d，求作向量 a b , c d
例题
作法：如图，在平面内任取一点O， 作 OA a , OB b , OC c , OD d 作 BA, DC 则 BA a b , DC c d
规定如下：
（1）| a || || a |;
（2）当 0时， 的方向与 a a 当 0时， a 的方向与 a
的方向相同； 的方向相反。
特别的，当 0 时， a 0.
练一练: 书本P90,练习2,3
向量的数乘运算满足如下运算律：
例1、计算下列各式
(1)( 3) 4a 12a
(2)3(a b ) 2(a b ) a
a 5b 2c
(3)( 2a 3b c ) (3a 2b c )
5b
练一练:
书本P90,练习5
a
B
练习.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且
来表示 MA 。 a b AB a, AD b，你能用 、 、 MB、 MC 和 MD
D M C
b
A
a
B
另： （1） a b ab a b
b
a
o
作法: 在平面中任取一点o
过O作 OA a
b
B
过O作 OB
a
A
a b
则 BA a b
b
连端点，指向被减数
思考
如果，∥ a b ，怎样做出 a b ？
(1)同向
Biblioteka Baidua
b
b
a
(2)反向
A
b
a
A
B
B
b
O
a O
A
A
a b
b
B
a
a b b
C
b
A
A
a B
O
a
3.向量减法三角形法则:
特点：平移同起点，方向指被减
a
b
b
B
O
a
BA a b
A
作一作，看成果
已知非零向量 a ,作出 a a a ,你能发现什么？ a 3a与 a 方向相同 a a a O 3a 即 3a A C B 3a
b a (a 0)
思考:1) a 为什么要是非零向量?
2) b 可以是零向量吗?
总结:
证明三点共线的方法:
AB=λBC
且有公共点Ｂ
A,B,C三点共线
已知两个非零向量e1和e2不共线，如果 AB 2e1 3e2， BC 6e1 23e2， CD 4e1 8e2， 求证 : A、B、D三点共线.
（1）做出 b 的相反向量 b
作出 a b 即 a b

（2）利用向量加法的平行四边形法则

a
b
B`
C
A
a b
a
b
B
b
O
法（二） 三角形法则
a
b
B`
C
A
a b
a
b
B
观察作图（一）： a b 即是由 b 指向 a 的向量
思考 :
(1)若b a(a 0), 则a, b位置关系如何?
b // a
成立
(2)若b // a(a 0), 则b a是否成立?
向量共线定理：
向量a (a 0)与b共线, 当且仅当有唯一一个实数 , 使b a.
即a与b共线
向量的数乘运算
例1已知向量a , b, 求作向量a b
b a
作法（1）在平面内任取一点O
(2)作 OA a , AB b
(3)则 OB a b
这种作法叫做向量加法
o·
A
的三角形法则
B
AB BC AC
ab ba ( a b ) c a ( b c)