高一数学基础知识讲义(2021)——集合

数学基础知识

第一讲 集合

知识要点一：

集合的有关概念

⑴某些指定的对象集在一起就成为一个集合，这些研究对象叫做元素。

⑵集合中元素的特性：⎪⎩

⎪

⎨⎧的元素顺序无关无序性：集合与组成它元素是互不相同的互异性：集合中任两个必须是确定的确定性：集合中的元素

注意：这三条性质对于研究集合有着很重要的意义， 经常会渗透到集合的各种题目中，同学们应当重视。

⑶元素与集合的关系：①如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作：

A a ∈

②如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作：A a ∉

（注意：属于或不属于（∉∈,）一定是用在表示元素与集合间的关系上）

⑷集合的分类：集合的种类通常分为：有限集（集合含有有限个元素）、无限集（集合含有无限个元素）、空集（不含任何元素的集合，用记号∅表示）

⑸集合的表示：

①集合的表示方法：

列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来的表示

方法。例：{

}2,1=A

描述法：在花括号内先写上表示这个集合一般元素的符号及取值范围，再

画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。例：

{}4>=x x B （如果元素的取值范围是全体实数，范围可省略不写）。

图示法（即维恩图法）：用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合。

②特定集合的表示：自然数集（非负整数集）记作N ；正整数集记作()+N N *；整数集记作Z ；有理数集记作Q ；实数集记作R 。（这些特定集合外面不用加{}）

高考要求：理解集合的概念，了解属于关系的意义，掌握相关的术语符号，会表示一些简单集合。

例题讲解：

夯实基础

一、判断下列语句是否正确

1）大于5的自然数集可以构成一个集合。 正确{}5>∈x N x

2）由1，2，3，2，1构成一个集合，这个集合共有5个元素。错误

3）所有的偶数构成的集合是无限集。 正确

4）集合{}{}b a c B c b a A ,,,,,==则集合A 和集合B 是两个不同的集合。 错误

二、用符号∈或∉填空。

1）N __0 2）Z _____14.3 3）Q ______π

4）若{}

x x x A 22==，则A _____2-

5）若{}

0322=--=x x x B ，则B _____3

三、用适当的方法表示下列集合

1）一次函数12+=x y 与421

+-=x y 的交点组成的集合。⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛517,56

⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛517,56⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧517,56区别是什么？

2）绝对值等于3的全体实数构成的集合。{}3,3-

3）大于0的偶数。{}*,2N n n x x ∈={},...8,6,4,2

能力提升

1）集合(){}

N y x y x y x A ∈=+=,,72,，用列举法表示集合A 。

,00

53

22

x y N x y N N ∈∴≥≥∉∈∴解： 当x=1 y=3 当x=3 y=2

x=2 y= x=4 y= x=5 y=1

{（1,3）,(3,2),(5,1)}

2）集合{

}

0122

=++=x ax x A 中只有一个元素，求a 的值。

21

2

21044a 1=0

a=1

x ≠++=∆=-⨯⨯∴解：当a=0 方程：2x+1=0 x=-合题意

当a 0 ax 当

3）用描述法可将集合{}

,11,9,7,5,3,1---表示成

________________________。

n+1

{x x n *}N =∈解：（-1）（2-1）,n

知识要点二：

集合与集合之间的关系

⑴子集

①一般地，如果集合A 中的任何元素都是集合B 中的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集

记作B A ⊆（A 包含于B ）或A B ⊇(B 包含A )即：对任意B x A x ∈⇒∈，则B A ⊆。

显然A A ⊆，对于任一集合A ，规定A ⊆φ。

⑵真子集：如果集合B A ⊆，但存在元素A x B x ∉∈,,我们称集合A 是集合

B 的真子集，记作A B 。⊂

集合是任意非空集合的真子集。

⑵集合的相等

集合,A B 如果B A ⊆，同时B A ⊆，则称A B =。

⑶严格区分，正确使用“,,,,∈∉⊆⊄”等符号。

前两个是用在元素与集合的关系上，后三个是用在集合与集合的关系上，一定注意区分。

集合关系与其特征性质之间的关系

一般地，设(){}(){}

,A x p x B x q x ==，如果B A ⊆，则B x A x ∈⇒∈，

{}

2x x x x

例： A={3} B=

于是x 具有性质()p x x ⇒具有性质()q x ，即()()p x q x ⇒。

B ∈⇒⇒若A B 当x 3x 2当x 3x 2

我们说A 一定是的子集。

反之，如果()()p x q x ⇒，则A 一定是B 的子集。

集合的运算

⑴交集

一般地，对于两个给定的集合,A B ，由属于A 又属于B 的所有元素构成的集合，叫做,A B 的交集，记作A B ⋂，读作“A 交B ”

由定义容易知道：

⑵并集

一般地，对于两个给定的集合,A B ，由A ，B 两个集合的所有元素构成的集合，叫做,A B 的并集，记作A B ⋃，读作“A 并B ”

由定义容易知道