新高一数学暑假衔接课程
高一数学暑期预科-初高衔接课讲义
新高一数学必备知识一、乘法公式1、完全平方公式和平方差公式()2222b ab a b a +±=± ()()22b a b a b a -=-+2、和立方与差立方公式()3223333b ab b a a b a +++=+ ()3223333b ab b a a b a -+-=-3、立方和与立方差公式()()3322b a b ab a b a +=+-+ ()()3322b a b ab a b a -=++-二、一元二次方程1、韦达定理一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：若ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）两根分别是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．也被称为韦达定理．以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0． 利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题(相关地，抛物线与x 轴两交点间的距离)，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)的两根，则a ac b b x 2421-+-=，aac b b x 2422---=，||4|242||2424|||222221a acb a ac b a ac b b a ac b b x x -=-=-----+-=-∴||a ∆=．【例题精讲】例1. 已知方程5x 2＋kx -6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．例2. 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x -3=0的两根． (1) 求|x 1-x 2|的值； (2) 求222111x x +的值； (3) 求31x ＋32x 的值．例3. 已知α、β是方程x 2＋2x -5=0的两个实数根，则α2＋αβ＋2α的值为_______．【巩固练习】1. 1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式142121<-+x x x x ，则实数m 的值范围是 ．2. 关于x 的方程240x x m ++=的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．3. 已知α、β是方程210x x --=的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 ．2、利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等【例题精讲】例1. 设a ,b 是相异的两实数，满足ab b a b b a a 2222,34,34++=+=求的值例2. 0519998081999522=++=+-b b a a 及已知，求ba的值．【巩固练习】1. 如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，求baa b +的值2. 设实数a ,b 分别满足,01999,01991922=++=++b b a a 且ba ab ab 14,1++≠求的值．3. △ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 ．3、根的分布定理 （1）0分布一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根从几何意义上来说就是二次函数()c bx ax x f ++=2与x 轴交点的横坐标，所以研究02=++c bx ax 的实根的情况，可从函数()c bx ax x f ++=2的图象上进行研究.0∆>⎧0∆>⎧【例题精讲】例1. 已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围．例2. 若方程05)2(2=-+-+m x m x 的根满足下列条件，分别求出实数m 的取值范围． （1）方程两实根均为正数；（2）方程有一正根一负根．【巩固练习】已知一元二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围．（2）k分布【知识梳理】kk k【例题精讲】例1. 若关于x 的方程02=++a x x 的一个大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围．例2. 若关于x 的方程02=++a x x 的两根均小于1，求实数a 的取值范围．例3.已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围．【巩固练习】1. 关于x 的方程02)1(22=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，则（ ）12121||11>-<<<-><<-a a D a Ca B a A 或2. 实数k 为何值时，方程022=-+-k kx x 的两根都大于21 ．3. （1）已知：,αβ是方程()221420x m x m +-+-=的两个根，且2αβ<<，求m 的取值范围；（2）若220x ax ++=的两根都小于1-，求a 的取值范围．（3）m、n分布()0⎧>f m()0⎧<f m【例题精讲】例1. 已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0，（1）若方程有两根，其中一根满足011<<-x ，另一根满足212<<x ，求m 的范围； （2）若方程两根满足1021<≤<x x ，求m 的范围．例 2. 关于x 的二次方程()2271320x p x p p -++--=的两根βα,满足012αβ<<<<，求实数p 的取值范围．例3. 二次函数6)1(2522-++-=m x m x y 的图像与x 轴的两个交点满足1121≤<≤-x x ，且分居y 轴的两侧，求实数m 的取值范围．例4. 若二次函数y =的图象与两端点为A （0，3），B （3，0）的线段AB 有两个不同的交点，求m 的取值范围．21x mx -+-【巩固练习】1. 关于x 的方程0532=+-a x x 的两根分别满足021<<-x ，312<<x ，求a 的取值范围．2. 二次方程2210x kx k ++-=的两个根1x 与2x ，当121x -<<-且212x <<时，实数k 的取值范围是 ．总结：一元二方程根的分布只需考虑三个方面：（1）a 和△的符号（2）对称轴相对于区间的位置（3）所给区间端点函数值符号【例题精讲】例1.当关于x 的方程的根满足下列条件时，求实数a 的取值范围： （1）方程x 2-ax+a -7=0的两个根一个大于2，另一个小于2； （2）方程ax 2+3x+4=0的根都小于1；（3）方程x 2-2(a+4)x+2a 2+5a +3=0的两个根都在31-≤≤x 内；（4）方程7x 2-（a+13）x+2a -1=0的一个根在10<<x 内，另一个根在21<<x 内．例2.已知函数22()(21)2f x x a x a =--+-与非负x 轴至少有一个交点，求a 的取值范围．【巩固练习】已知方程03)3(24=+--m x m mx 有一个根小于1-，其余三个根都大于1-，求m 的取值范围．三、不等式1、一元二次不等式例1. 解下列不等式（1）()()x x x 2531-<--； （2）()()21311+>+x x x ；（3）()()()233122+>-+x x x ； （4）2223133x x x ->+-； （5）()13112->+-x x x x（6）x 2＋2x －3≤0； （7）x －x 2＋6＜0； （8）4x 2＋4x ＋1≥0； （9）x 2－6x ＋9≤0； （10）－4＋x －x 2＜0．例2.设R m ∈，解关于x 的不等式0322<-+m mx mx ．2、分式不等式及高次不等式（1）简单分式不等式的解法：已知f (x )与g (x )是关于x 的多项式，不等式()0()f x g x >，()0()f x g x <，()0()f x g x ≥，()0()f xg x ≤称为分式不等式．前面介绍过的符号法则可以进行推广，进而可以研究分式不等式．将分式不等式进行同解变形，利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式（组）即可求解．具体如下：()0()f x g x >①，即()0()0f x g x >⎧⎨>⎩或()0()0f xg x <⎧⎨<⎩，即()()0f x g x ⋅>；()0()f x g x <②，即()0()0f x g x >⎧⎨<⎩或()0()0f x g x <⎧⎨>⎩，即()()0f x g x ⋅<； ()0()f x g x ≥③，即()()0()0f x g x g x ⋅≥⎧⎨≠⎩，即()()0f x g x ⋅>或()0f x =； ()0()f x g x ≤④，即()()0()0f x g x g x ⋅≤⎧⎨≠⎩，即()()0f x g x ⋅<或()0f x =．（2）简单高次不等式的解法：不等式的最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式．前面介绍过的符号法则可以进行推广，进而可以研究高次不等式．解高次不等式的方法有两种：方法1：将高次不等式f (x )＞0(＜0)中的多项式f (x )分解成若干个不可约因式的乘积，根据符号法则等价转化为两个或多个不等式（组）即可求解．但应注意：原不等式的解集是各不等式（组）解集的并集，且次数较大时，此种方法比较烦琐．方法2：穿针引线法：①将不等式化为标准形式，右端为0，左端为一次因式（因式中x 的系数为正）或二次不可约因式的乘积；②求出各因式的实数根，并在数轴上标出；③自最右端上方起，用曲线自右向左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿而不过（奇过偶不过）；④记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号即可写出解集．例题解析（1）求不等式032≥-+x x 的解集 （2）求不等式3223x x -≥+的解集（3）求不等式221x x 的解集（4）求不等式()()0236522≤++--x x x x 的解集3、恒成立与有解问题一元二次不等式的恒成立问题，即可以看成一个函数()x f y =的图象与x 轴的位置关系问题，若是不等式()0>x f 恒成立，即函数图象恒在x 轴上方，且与x 轴无交点，同理可以得到其他类似情形。
2021-2022学年新高一数学暑期衔接讲义-第1讲 方程的进阶——韦达定理(学生版)
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例2. 0519998081999
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2=++=+-b b a a 及已知，求b
a
的值．
【巩固练习】
1. 如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，求b
a
a b +的值
2. 设实数a ,b 分别满足,01999,01991922=++=++b b a a 且b
a a
b ab 1
4,1++≠求的值．
3. △ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 ．
当堂检测
1．设1x 、2x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根，1x +1、2x +1是关于x 的方程的两根，
则p 、q 的值分别等于 ．
2．在R t △ABC 中，∠C =90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程
0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是 ．
课后巩固
1、将本节课错题进行组卷，进行二次练习，培养错题管理习惯；
2、对笔记本进行复习，培养复习习惯。
预习思考
同学们，今天我们学习了韦达定理，大家尝试一下借助韦达定理解下面这道题：
已知x1、x2是关于x的一元二次方程4x2＋4(m-1)x＋m2=0的两个非零实数根，问x1和x2能否同号？若能同号，请求出相应的m的取值范围；若不能同号，请说明理由．。
暑假衔接班新高一数学教案25次课(5次复习-20次预习共87页)
暑假衔接班新高一数学教案25次课(5次复习-20次预习共87页)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN1840年，争取成为选举人了，失败了；1843年，参加国会大选落选了；1846年，再次参加国会大选 这次当选了！前往华盛顿特区，表现可圈可点；1848年，寻求国会议员连任失败了！1849年，想在自己的州内担任土地局长的工作，被拒绝了！1854年，竞选美国参议员，落选了；1856年，在共和党的全国代表大会上争取副总统的提名，得票不到一百张；1858年，再度竞选美国参议员一一再度落败；1860年，当选美国总统。
评语：此路艰辛而泥泞。
我一只脚滑了一下，另一只脚也因而站不稳；但我缓口气，告诉自己，“这不过是滑一跤，并不是死去而爬不起来。
” ——林肯在竞选参议员落败后如是说。
二、【基础知识梳理】 1.一次函数的定义一次函数：若两个变量x 、y 间的关系式可以表示成b kx y +=（k 、b 为常数，0≠k ）的形式，称y 是x 的一次函数.正比例函数：形如kx y =（0≠k ）的函数，称y 是x 的正比例函数，此时也可说y 与x 成正比例，正比例函数是一次函数，但一次函数并不一定是正比例函数.2.求一次函数的解析式关键：确定一次函数b kx y +=中的字母k 与b 的值. 步骤：1、设一次函数表达式2、将x ，y 的对应值或点的坐标代入表达式3、解关于系数的方程或方程组4、将所求的待定系数代入所设函数表达式中 3.一次函数的图象与性质y=kx ＋b(k 、b 为常数，k ≠0）当k ＞0时，y 的值随x 的值增大而增大； 当k ＜0时，y 的值随x 值的增大而减小．直线y=kx ＋b(k 、b 为常数，k ≠0）时在坐标平面内的位置与k 的关系． ①0,0>>b k 直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）； ②0,0<>b k 直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）； ③0,0><b k 直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）； ④0,0><b k 直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）； 4.平移直线11b x k y +=与直线22b x k y +=的位置关系：两直线平行⇔21k k =. 平移规律：左加右减，上加又减.5.一次函数与一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组 ①一次函数与一元一次方程：一般地将0=x 或0=y 代入y= kx+ b 中解一元一次方程可求求直线与坐标轴的交点坐标。
高一数学同步课暑假第七讲
高一数学同步课暑假第七讲摘要：一、课程简介1.高一数学同步课暑假第七讲的主题2.课程的主要内容二、课程目标1.帮助学生巩固高一数学基础知识2.提升学生的数学解题能力3.培养学生的数学思维三、课程内容详解1.集合与基本初等函数2.函数的性质与应用3.三角函数的基本概念与计算方法4.三角函数的图像与性质5.三角函数的应用四、课程总结与作业布置1.课程重点与难点回顾2.课程作业与练习题正文：【课程简介】高一数学同步课暑假第七讲以“三角函数”为主题，涵盖了函数的基本概念、性质、计算方法、图像和性质以及应用等方面的内容。
通过本讲的学习，学生将巩固高一数学基础知识，提升数学解题能力，并培养数学思维。
【课程目标】1.帮助学生巩固高一数学基础知识：通过讲解三角函数的基本概念、性质、计算方法等，使学生更好地掌握函数相关知识，为后续学习打下坚实基础。
2.提升学生的数学解题能力：通过分析不同类型的三角函数题目，教授解题技巧和方法，提高学生在实际问题中运用数学知识的能力。
3.培养学生的数学思维：通过对三角函数图像和性质的研究，培养学生观察、分析、推理的能力，提高学生的数学素养。
【课程内容详解】1.集合与基本初等函数：回顾集合的基本概念，介绍基本初等函数，为后续三角函数的学习做铺垫。
2.函数的性质与应用：讲解函数的基本性质，如单调性、奇偶性等，并介绍函数在实际问题中的应用。
3.三角函数的基本概念与计算方法：学习正弦、余弦、正切等三角函数的定义，掌握三角函数的计算方法，如和差化积、倍角公式等。
4.三角函数的图像与性质：分析三角函数的图像及其变化规律，研究三角函数的性质，如周期性、对称性等。
5.三角函数的应用：通过实际问题，讲解三角函数在解决实际问题中的应用，如测量、定位等。
【课程总结与作业布置】1.课程重点与难点回顾：本讲的重点是三角函数的基本概念、性质、计算方法、图像和性质以及应用，难点主要在于对三角函数图像和性质的理解和运用。
2021-2022学年新高一数学暑期衔接讲义-第3讲 不等式的进阶——一元二次不等式(解析版)
进门测试建议5min①关于x 的二次方程x 2+2(m +3)x +2m +14=0有两根，且一个大于1，一个小于1，求m 的范围； ②关于x 的二次方程x 2+2(m +3)x +2m +14=0有两根，且在内，求m 的范围；③关于x 的二次方程x 2+2(m +3)x +2m +14=0有两根，且在[1，3]之外，求m 的范围；④关于x 的二次方程mx 2+2(m +3)x +2m +14=0有两根，且一个大于4，一个小于4，求m 的范围． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)． 课堂导入建议10min柯西柯西1789年8月21日生于巴黎，他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职．由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒．他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的，很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式...在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书，其中有些还是经典之作，不过并不是他所有的创作质都很高，因此他还曾被人批评高产而轻率，这点倒是与数学王子相反，据说，法国科学院''会刊''创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能够到四页，所以，柯西较长的论文只得投稿到其他地方．精讲精练214m <-2755m -<≤-214m <-19013m -<<[0,1]2=++x px【解析】由px q x+≥对于一切实数q≥①, q=-2p-26.行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离． 在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s (m)与汽车的车速(km/h)满足下列关系：s ＝n v 100＋v 2400(n 为常数，且n ∈N *)，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中⎩⎪⎨⎪⎧6＜s 1＜814＜s 2＜17.（1）求n 的值；（2）要使刹车距离不超过12.6 m ，则行驶的最大速度是多少？【答案】（1）n=6，（2）60 km/h【解析】(1)依题意得⎩⎨⎧6＜40n 100＋1 600400＜814＜70n 100＋4 900400＜17，解得⎩⎪⎨⎪⎧5＜n ＜1052＜n ＜9514，又n ∈N *，所以n ＝6.(2)s ＝3v 50＋v 2400≤12.6⇒v 2＋24v －5 040≤0⇒－84≤v ≤60，因为v ≥0，所以0≤v ≤60，即行驶的最大速度为60 km/h.7. 设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m ＜n )． （1）若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )＞0的解集； （2）若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，比较f (x )与m 的大小．【解析】（1）当a ＞0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |x ＜－1或x ＞2}；当a ＜0时，解集为{x |－1＜x ＜2}． （2）由函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n ，得f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，∵a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a ，∴x －m ＜0,1－an ＋ax ＞0.∴f (x )－m ＜0，即f (x )＜m .温故知新建议15min课后巩固1、将本节课错题进行组卷，进行二次练习，培养错题管理习惯；2、对笔记本进行复习，培养复习习惯。
新高一数学暑期衔接教材(精品)Word版含解析
第一讲 乘法公式我们可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．课堂实训1、计算：【1】 2222(2)4a b c a b c +-=+++_______________________【2】 331278x y -=（____________）•（__________________________） 【3】 42(2)(2)(416)a a a a +-++=_____________________ 【4】 22222(2)()x xy y x xy y ++-+=______________________2、已知2310x x -+=，求331x x +的值。
3、计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．4、已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．5、化简：233396127962x x x x x x x x++-+---+第二讲 根式0)a ≥叫做二次根式，二次根式有下列性质：○12(0)a a =≥ 2a = 30,0)a b =≥≥ 40,0)a b=>≥ 课堂实训1、化简下列各式（1 （21)x ≥2、计算（没有特殊说明，本节中出现的字母均为整数）（1（2（3）（4（5课后练习1、设x y ==，求代数式22x xy y x y +++的值。
2、当22320(0,0),a ab b a b +-=≠≠球22a b a b b a ab+--的值。
暑假衔接班新高一数学教案必修一1.1.1集合的含义与表示【知识精讲】
1.1.1集合的含义与表示【学习目标】1.通过实例了解元素和集合的含义，熟记特殊集合记号，理解元素与集合的属于关系；（重点）重点，2.针对具体问题能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合；（重难点）3.在具体情境中了解全集与空集的含义；（难点）4.通过集合的表示培养数学抽象能力.（素养目标）【知识精讲】知识点1：元素与集合的概念1.元素一般地，我们把研究对象统称为元素，元素通常用小写拉丁字母a，b，c表示.2.集合我们通常把一些元素组成的总体叫做集合，简称为集，集合通常用大写拉丁字母A，B，C表示。
3.集合中元素的特征第1页（共7页）【例1】现有以下说法，其中正确的是（）①接近于0的数的全体构成一个集合；②正方体的全体构成一个集合；③未来世界的高科技产品构成一个集合；④不大于3的所有自然数构成一个集合．A．①②B．②③C．③④D．②④【分析】利用集合中元素的确定性能求出结果．【解答】解：在①中，接近于0的数的全体不能构成一个集合，故①错误；在②中，正方体的全体能构成一个集合，故②正确；在③中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，故③错误；在④中，不大于3的所有自然数能构成一个集合，故④正确．故选：D．【例2】若﹣1∈{2，a2﹣a﹣1，a2+1}，则a＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．0 或1 【分析】﹣1可以是集合中任何一个不确定的元素，结合互异性，即可得出结论．【解答】解：①若a2﹣a﹣1＝﹣1，则a2﹣a＝0，解得a＝0或a＝1，a＝1时，{2，a2﹣a﹣1，a2+1}＝{2，﹣1，2}，舍去，∴a＝0；②若a2+1＝﹣1，则a2＝﹣2，a无实数解；由①②知：a＝0．第2页（共7页）知识点2：元素与集合的关系知识点3：常用的数集及其记法【例3】已知A＝{x|x≤2，x∈R}，a，b，则（）A．a∈A，且b∉A B．a∉A，且b∈A C．a∈A，且b∈A D．a∉A，且b∉A 【分析】根据已知中A＝{x|x≤2，x∈R}，判断a，b的值与的大小，可得a，b与集合A的关系【解答】解：∵A＝{x|x≤2，x∈R}，a，b，由＞，可得a∉A由2＜，可得b∈A第3页（共7页）【例4】下列所给关系正确的个数是（）①π∈R；② ∉Q；③0∈N*；④|﹣4|∉N*．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据元素与集合之间的关系判断四个结论是否正确【解答】解：由于①π∈R；② ∉Q；③0∉N*；④|﹣4|∈N*．故①②正确，③④错误故选：B．知识点4：集合的表示方法集合的表示方法，常见的有自然语言法，列举法和描述法.（1）自然语言法是指用文字叙述的形式描述集合的方法，如所有矩形组成的集合就是用自然语言表示的.（2）列举法和描述法，【例5】用描述法表示下列各集合．第4页（共7页）（1）大于﹣4且小于8的所有整数组成的集合；（2）绝对值小于4的所有实数组成的集合；（3）y轴上的所有点组成的集合．【分析】根据描述法的表示形式，（1）（2）都用x表示元素，再根据条件写出x满足的条件，从而表示出这两个集合，而（3）中的元素用（x，y）表示，表示点，然后写出x，y满足的条件，进而便表示出该集合．【解答】解：（1）设大于﹣4且小于8的整数为x，满足条件x∈Z，且﹣4＜x＜8，用描述法表示为：A＝{x∈Z|﹣4＜x＜8}；（2）用x表示绝对值小于4的实数，满足条件|x|＜4，描述法表示为：B＝{x||x|＜4}；（3）点用（x，y）表示，y轴上的点满足x＝0，y∈R，描述法表示为：C＝{（x，y）|x＝0，y∈R}．【例6】用列举法表示下列集合：（1）A＝{（x，y）|x+y＝6，x∈N，y∈N}；（2）B＝{x|∈N，x∈N}；（3）C＝{y|y＝﹣x2+6，x∈N，y∈N}．【分析】根据集合的意义，列举即可．【解答】解：（1）A＝{（x，y）|x+y＝6，x∈N，y∈N}＝{（x，y）|（0，6），（1，5），（2，第5页（共7页）4），（3，3），（4，2），（5，1），（6，0）}；（2）B＝{x|∈N，x∈N}＝{0，1，2}；（3）C＝{y|y＝﹣x2+6，x∈N，y∈N}＝{2，5，6}．知识点5：集合相等定义:只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.【例7】已知集合A＝{a，b，2}，B＝{2，b2，2a}，若A＝B，求实数a，b的值【分析】利用集合相等的定义列出方程组，再结合集合中元素的互异性质能求出实数a，b 的值．【解答】解：∵集合A＝{a，b，2}，B＝{2，b2，2a}，A＝B，∴或，解得a＝0，b＝0或a＝0，b＝1或a，b．当a＝0，b＝0时，A＝{0，0，2}，不成立；当a＝0，b＝1时，A＝{0，1，2}，B＝{2，1，0}，成立；当a，b时，A＝{，，2}，B+{2，，}，成立．∴实数a，b的值为a＝0，b＝1或a，b．【例8】若a，b∈R，集合，，，，，求b﹣a的值．【分析】由集合相等的意义，结合集合中元素的特征，可得a+b＝0，进而分析可得a、b的值，计算可得答案．【解答】解：∵a，b∈R，集合{1，a+b，a}＝{0，，b}，第6页（共7页）∴，解得a＝﹣1，b＝1，∴b﹣a＝2．第7页（共7页）。
新高一数学暑假衔接课：第二讲 一元二次不等式
第二讲 一元二次不等式（一）知识整合1.形如20(0) (0)ax bx c a ++><≠或其中的不等式称为关于x 的一元二次不等式．2．一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或与二次函数2(0)y ax bx c a =++≠及一元二次方程20ax bx c ++=的关系(简称：三个二次)．一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：(1) 将二次项系数先化为正数； (2) 观测相应的二次函数图象．①如果图象与x 轴有两个交点12(,0),(,0)x x ，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根12,x x (也可由根的判别式0∆>来判断) ．那么(图1)： 2120 (0) ax bx c a x x x x ++>>⇔<>或2120 (0) ax bx c a x x x ++<>⇔<<②如果图象与x 轴只有一个交点(,0)2ba-，此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根22x bx x a==-(也可由根的判别式0∆=来判断) ． 那么(图2)： 20 (0) 2b ax bx c a x a++>>⇔≠-20 (0) ax bx c a ++<>⇔无解③如果图象与x 轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别式0∆<来判断) ． 那么(图3)： 20 (0) ax bx c a x ++>>⇔取一切实数20 (0) ax bx c a ++<>⇔无解0>∆0=∆0<∆3.含有字母系数的一元一次不等式 一元一次不等式最终可以化为 ax b >的形式：（1）当0a >时，不等式的解为：bx a >； （2）当0a <时，不等式的解为：bx a<；（3）当0a =时，不等式化为：0x b ⋅>； ① 若0b <，则不等式的解是全体实数； ② 若0b ≥，则不等式无解． 4.恒成立结论(1)2(0)0ax bx c a >≠＋＋恒成立的条件是：2040a b ac ><且－． (2)2(0)0ax bx c a <≠＋＋恒成立的条件是：2040a b ac <<且－．5.区间的概念设 a ，b 是实数，且 a ＜b ，满足 a ≤x ≤b 的实数 x 的全体，叫做闭区间，记作 [a ，b ]，即，[,]{|}a b x a x b =≤≤。
准高一数学 暑假初升高衔接班 4份教案
初升高衔接班补充初高中衔接材料（一）恒等式变形：1、因式分解 2、配方 3、分式和根式（二）方程与不等式1、一元二次方程的韦达定理 2、一元二次不等式3、分式不等式，绝对值不等式 （三）二次函数补充一：立方和（差）公式1．公式：（1）()()22b a b a b a -=-+（2）()2222b ab a b a +±=±（3）()()2233b ab a b a b a +-+=+（4）()()2233bab a b a b a ++-=-（5）2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++（6）()3223333b ab b a a b a +++=+（7）()3223333b ab b a a b a -+-=-例1：计算：（1）()()964322+-+x x x （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-2242412121b b a a b a例2：（1）()()()()42422222+++--+a a a a a a （2）()()()11122++---x x x x x（3）()()211x x x ++- （4）()()3211x xx x +++-例3．因式分解（1）66y x - （2）33662n m n m ++（3）()()()116119222+-+-+x x x （4）4323-+x x例4：已知2,2==+xy y x ，求33y x +的值例5：（1）已知2=+b a ，求336b ab a ++的值。
（2）已知31=-x x ，求331xx -的值。
例6： 化简（1）()()2222y xy x y x +-+ （2）()()[]2222z y z y z y ++-（3）⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-4121412141222x x x x x例7：已知0152=++a a ，试求下列各式的值：（1）a a 1+（2）221a a + （3）331a a + （4）441aa +例8：已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．补充二：十字相乘法与分组分解法一、十字相乘法：两个一次二项多项式n mx +与l kx +相乘时，可以把系数分离出来，按如下方式进行演算：即 ()()()nl x nk ml mkx l kx n mx +++=++2把以上演算过程反过来，就可以把二次三项式()nl x nk ml mkx +++2分解因式即()()()l kx n mx nl x nk ml mkx ++=+++2这说明，对于二次三项式()02≠++ac c bx ax ，如果把a 写成c mk ,写成nl 时，b 恰好是nk ml +，那么c bx ax ++2可以分解为()()l kx n mx ++例1：分解因式（十字相乘法）（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12；（2）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．（5）81032++x x （6）122++-x x（6）6222++-xy y x （8）22592y xy x --例2：分解因式（分组分解法）（1）322333y xy y x x -+- （2）63223-+-x x x（3）32933x x x +++例3：分解因式（1）4324--m m （2）42249374b b a a +-（2）2221b ab a -+- （4）2215x x --（5）21252x x -- （6）2524x x +-（6）233+-x x （8）=-+2675x x（9）()=++-a x a x 12（10）=+-91242m m例4：用因式分解法解下列方程:(1) 04432=--x x (2)()()x x x =-+-22112补充三：根式与分式10)a ≥叫做二次根式，其性质如下：(1) 2= ；= ；= ；= ． 2．分式[1]分式的意义 形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称AB为分式．当M ≠0时，分式AB具有下列性质： （1） ； （2） ．[2]繁分式当分式AB的分子、分母中至少有一个是分式时，AB就叫做繁分式，如2m n pmn p+++，说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．3、分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程例5 计算(没有特殊说明，本题中出现的字母均为正数)：（1）（2）1)x≥（3（4）（5）例6设x y==33x y+的值．例7 化简：（1）11xx x x x-+-补充四：一元二次方程的韦达定理对于一元二次方程()002≠=++a c bx ax 用配方法可变形为：222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+， 因右边大于0.所以（1） 当042>-=∆ac b 时，方程有根ab x a b x 2,221∆--=∆+-=（2） 当042=-=∆ac b ，方程有根abx x 221-== （3） 当042<-=∆ac b ，方程没有实数根。
第12讲 对数(解析版)新高一数学暑假衔接课(苏教版2019必修第一册)
第12讲对数知识点一对数的概念与性质1．对数的概念一般地，如果a b ＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a b N =，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．2．常用对数与自然对数3．对数的基本性质(1)负数和0没有对数；(2)log a 1＝0(a ＞0，且a ≠1)；(3)log a a ＝1(a ＞0，且a ≠1)；(4)log a a N ＝N (a ＞0，a ≠1，N ＞0).4．指数式与对数式的互化(其中a ＞0，且a≠1).知识点二对数的运算性质1．若a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，n ∈R ，那么：(1)log a (MN )＝log log a a M N +；(2)log aMN＝log log a a M N -；(3)log a M n ＝log a n M ．2．对数运算中的常见公式及推广知识点二换底公式1．换底公式：log log log c a c NN a=（0,1,0,0,1a a N c c >≠>>≠）.2．换底公式的推论3．对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？4．你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论log n mN M =log N M n吗？考点一：指数式与对数式的互化例1将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．(1)3－2＝19；－2＝16；(3)13log 27＝－3；(4)64＝－6.【解析】(1)∵3－2＝19，∴log 319＝－2.(2)－2＝16，∴log 1416＝－2.(3)∵13log 27＝－3－3＝27.(4)∵64＝－6，∴(x )－6＝64.【总结】变式将下列指数式与对数式互化．(1)log 216＝4；(2)x ＝6；(3)43＝64；(4)3－3＝127.【解析】(1)因为log 216＝4，所以24＝16.(2)因为x ＝6，所以(3)6＝x .(3)因为43＝64，所以log 464＝3.(4)因为3－3＝127，所以log 3127＝－3.考点二：对数的计算例2求下列各式中的x 的值．(1)log 64x ＝－23；(2)log x 8＝6；(3)lg 100＝x ；(4)－ln e 2＝x .【解析】(1)x ＝()2364-＝()2334-＝4－2＝116.(2)x 6＝8，所以x ＝()166x＝168＝()1362＝122＝2.(3)10x ＝100＝102，于是x ＝2.(4)由－ln e 2＝x ，得－x ＝ln e 2，即e －x ＝e 2.所以x ＝－2.【总结】变式求下列各式中x 的值．(1)log x 27＝32；(2)log 2x ＝－23；(3)x ＝log 2719.【解析】(1)由log x 27＝32，可得x 32＝27，∴x ＝2723＝(33)23＝32＝9.(2)由log 2x ＝－23，可得x ＝232-.∴x 23＝314＝322.(3)由x ＝log 2719，可得27x ＝19，∴33x ＝3－2，∴x ＝－23.考点三：对数的性质例3求下列各式中x 的值．(1)log 2(log 5x )＝0；(2)log 3(lg x )＝1；(3)log 3(log 4(log 5x ))＝0.【解析】(1)∵log 2(log 5x )＝0，∴log 5x ＝20＝1，∴x ＝51＝5.(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1000.(3)由log 3(log 4(log 5x ))＝0可得log 4(log 5x )＝1，故log 5x ＝4，∴x ＝54＝625.【总结】变式求下列各式中x 的值．(1)log 3(log 4(log 5x ))＝1【解析】由log 3(log 4(log 5x ))＝1可得，log 4(log 5x )＝3，则log 5x ＝43＝64，所以x ＝564.(2)3log 3(log 4(log 5x ))＝1【解析】由3log 3(log 4(log 5x ))＝1可得log 4(log 5x )＝1，故log 5x ＝4，所以x ＝54＝625.考点四：对数的运算性质例4求下列各式的值．(1)log 2(47×25)；(2)lg5100；(3)lg 14－2lg73＋lg 7－lg 18；(4)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.【解析】(1)log 2(47×25)＝log 247＋log 225＝7log 24＋5log 22＝7×2＋5×1＝19.(2)lg5100＝lg 10015＝15lg 100＝15×2＝25.(3)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18＝lg (2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg (32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.(4)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.【总结】变式已知ab ＞0，有下列四个等式：①lg (ab )＝lg a ＋lg b ；②lg ＝lg a －lg b ；③12lg 2＝lg ；④lg (ab )＝1log ab 10，其中正确的是________．【答案】③【解析】①②式成立的前提条件是a ＞0，b ＞0；④式成立的前提条件是ab ≠1.只有③式成立．考点五：对数换底公式的应用例5计算：(1)log 29·log 34；(2)log 52×log 79log 513×log 734.【解析】(1)由换底公式可得，log 29·log 34＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3lg 2·2lg2lg 3＝4.(2)原式＝log 52log 513×log 79log 734＝13log 9＝lg 2lg 13×13lg 9lg 4＝12lg 2－lg 3×2lg 323lg 2＝－32.【总结】变式若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于()A ．9B ．19C ．25D ．125【答案】D【解析】log 513·log 36·log 6x ＝－log 53·log 36·log 6x ＝－log 5x ，则log 5x ＝－2，则x ＝5－2＝125.故选D.考点六：对数的综合应用例6已知log 189＝a ，18b ＝5，求log 3645.(用a ，b 表示)【解析】因为18b ＝5，所以b ＝log 185.所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18（5×9）log 18（2×18）＝log 185＋log 189log 182＋log 1818＝a ＋b 1＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－log 189＝a ＋b 2－a .【总结】求解与对数有关的各种求值问题的三个注意点(1)利用对数的定义可以将对数式转化为指数式；(2)两边同时取对数是将指数式化成对数式的常用方法；(3)对数的换底公式在解题中起着重要的作用，能够将不同底的问题转化为同底问题，从而使我们能够利用对数的运算性质解题．变式（1）已知log 189＝a ，18b ＝5，求log 1845？(用a ，b 表示)【解析】因为18b ＝5，所以log 185＝b ，所以log 1845＝log 189＋log 185＝a ＋b .（2）已知log 94＝a ，9b ＝5，求log 3645.(用a ，b 表示)【解析】因为9b ＝5，所以log 95＝b .所以log 3645＝log 945log 936＝log 9（5×9）log 9（4×9）＝log 95＋log 99log 94＋log 99＝b ＋1a ＋1.考点七：利用对数运算解决实际问题例6某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t 的变化规律是μ＝μ0e －λt ，其中μ0、λ是正常数．经检测，当t ＝2时，μ＝0.9μ0，则当稳定性系数降为0.5μ0时，该种汽车已使用的年数为________(结果精确到1，参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771).【答案】13【解析】由0.9μ0＝μ0e －2λ＝μ0(e －λ)2，得e －λ＝0.9，令0.5μ0＝μ0(e －λ)t ，得0.5＝(0.9)t ，两边取常用对数，得lg 0.5＝t 2lg 0.9，故t ＝2lg 0.5lg 0.9＝2lg 2－1lg 910＝－2lg 22lg 3－1＝2lg 21－2lg 3≈13.【总结】变式有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2020年为3000万吨，2021年增长率约为50%.有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从________年开始，快递业产生的包装垃圾超过30000万吨(参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771).【答案】2026【解析】第n 年(2021为第一年)包装垃圾为3000×1.5n ，令3000×1.5n ＞30000，解得n ＞log 1.510＝1lg 3－lg 2≈10.1761≈5.68.又n 为整数，所以从2026年开始快递业产生的包装垃圾超过30000万吨．1．(多选)下列指数式与对数式互化正确的有() A．e0＝1与ln1＝0B．log39＝2与912＝3C．138 ＝12与log812＝－13D．log77＝1与71＝7【答案】ACD【解析】log39＝2化为指数式为32＝9，故B错误．A、C、D正确．2．在b＝log a－2(5－a)中，实数a的取值范围是()A．(－∞，2)∪(5，＋∞)B．(2，5)C．(2，3)∪(3，5)D．(3，4)【答案】C【解析】－a＞0，－2＞0，－2≠1，解得2<a<3或3<a<5.3．已知a23＝49(a＞0)，则log23a＝()A．2B．3C．12D．13【答案】B【解析】由a 23＝49，得a323，所以log23a＝log233＝3.4．若log5x＝2，log y8＝3，则x＋y＝________．【答案】27【解析】∵log5x＝2，∴x＝52＝25.∵log y8＝3，∴y3＝8，∴y＝2，∴x＋y＝27. 5．已知x＝log23，求23x－2－3x2x－2－x的值．【解析】（方法1）∵23x＝(2log23)3＝33＝27，2－3x＝(2x)－3＝(2log23)－3＝3－3＝127，2x＝2log23＝3，2－x＝12x＝13，∴原式＝27－1273－13＝919.（方法2）∵x ＝log 23，∴2x ＝3，∴23x －2－3x2x －2－x ＝（2x ）3－（2x ）－32x －（2x ）－1＝33－3－33－3－1＝27－1273－13＝919.6．求值：lg 4＋lg 25＝()A ．100B ．10C ．2D ．1【答案】C【解析】lg 4＋lg 25＝lg (4·25)＝lg 102＝2lg 10＝2.故选C.7．已知log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m 等于()A ．92B ．9C ．18D ．27【答案】B【解析】∵log 34·log 48·log 8m ＝lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8＝lg mlg 3＝2，∴lg m ＝2lg 3，∴m ＝9.8．(多选)设a ＞0且a ≠1，m ，n 是正整数，则()A ．log a (mn )＝log a m ＋log a n B ．log＝log amlog a n C ．log a n m ＝n log a m D ．log a m n ＝n log a m 【答案】AD【解析】由对数的运算性质可得log a (mn )＝log a m ＋log a n ，故A 正确；log＝log a m －log a n ，故B 错误；log a n m ＝1nlog a m ，故C 错误；log a m n ＝n log a m ，故D 正确．故选A 、D9．已知a 2＝1681(a ＞0)，则log 23a ＝________．【答案】2【解析】由a 2＝1681(a ＞0)得a ＝49，所以234log 9＝2232log 3⎛⎫⎪⎝⎭＝2.10．已知a,b 是方程log 3x 3＋log 273x ＝－43的两个根，试给出关于a,b 的一个结论________．【答案】a ＋b ＝1081(答案不唯一)【解析】根据换底公式有log 33log 33x ＋log 33x log 327＝－43，即11＋log 3x ＋1＋log 3x 3＝－43.令1＋log 3x ＝t ，则1t ＋t 3＝－43，解得t ＝－1或t ＝－3.所以1＋log 3x ＝－1或1＋log 3x ＝－3，解得x ＝19或x ＝181.故a ＋b ＝1081.1．若lg x ＝lg a ＋2lg b －3lg c ，则x ＝()A ．a ＋2b －3cB ．a ＋b 2－c 3C ．ab 2c 3D ．2ab 3c【答案】C【解析】∵lg x ＝lg a ＋2lg b －3lg c ＝lg ab 2c 3，∴x ＝ab 2c 3.故选C.2．方程9x －6·3x －7＝0，则x ＝()A ．log 37B ．log 73C ．7D ．－1【答案】A【解析】设3x ＝t (t ＞0)，则原方程可化为t 2－6t －7＝0，解得t ＝7或t ＝－1(舍去)，即3x ＝7.∴x ＝log 37.3．若log x 7y ＝z ，则()A ．y 7＝x zB ．y ＝x 7zC ．y ＝7x zD ．y ＝z 7x【答案】B【解析】由log x 7y ＝z ，得x z ＝7y ，∴(7y )7＝(x z )7，则y ＝x 7z .4．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是()A ．a －2B ．3a －(1＋a )2C ．5a －2D ．－a 2＋3a －1【答案】A【解析】∵a ＝log 32，∴log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2.5．方程lg (x 2－1)＝lg (2x ＋2)的根为()A ．－3B ．3C ．－1或3D ．1或－3【答案】B【解析】由lg (x 2－1)＝lg (2x ＋2)，得x 2－1＝2x ＋2，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.经检验x ＝－1不合题意，所以原方程的根为x ＝3.6．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中某类物质的原子总数N 约为1050.则下列各数中与MN最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)()A ．1093B ．10113C ．10123D ．10133【答案】C【解析】因为M ≈3361，N ≈1050，所以lg M ≈361×lg 3，lg N ≈50，lgM N ＝lg M －lg N ≈361×0.48－50≈123，所以MN≈10123.故选C.7．(多选)下列指数式与对数式互化正确的是()A ．54＝625与log 4625＝5B ．10－2＝0.01与lg 0.01＝－2C －4＝16与log －416＝12D ．912＝3与log 93＝12【答案】BD【解析】对于A ，54＝625可化为log 5625＝4，故不正确；对于B ，10－2＝0.01可化为lg 0.01＝－2，故正确；对于C －4＝16可化为log 1216＝－4，故不正确；对于D ，912＝3可化为log 93＝12，故正确．故选B 、D.8．(多选)下列运算正确的是()A ．2log 1510＋log 150.25＝2B ．log 427·log 258·log 95＝98C ．lg 2＋lg 50＝2D ．((2log2-－(log 22)2＝－54【答案】BCD【解析】对于A ，2log 1510＋log 150.25＝log 15102＋log 150.25＝log 1525＝－2，故A 错误；对于B ，log 427·log 258·log 95＝32log 23·32log 52·12log 35＝98·lg 3lg 2·lg 2lg 5·lg 5lg 3＝98，故B 正确；对于C ，lg 2＋lg 50＝lg (2×50)＝2，故C 正确；对于D ，((2log 2－(log 22)2＝(2log 2＝－1－14＝－54，故D 正确．故选B 、C 、D.9．若a ＝lg 2，b ＝lg 3，则2100b a -的值为________．【答案】43【解析】∵a ＝lg2，∴10a ＝2.∵b ＝lg3，∴10b ＝3，∴2100ba -＝（10a ）210b＝43.10．若log m 2＝a ，log m 3＝b ，则2a b m+的值为________．【答案】18【解析】因为log m 2＝a ，log m 3＝b ，所以m a ＝2，m b ＝3，即2a bm +＝m a ×(m b )2＝2×32＝18.11．若log 12x ＝m ，log 14y ＝m ＋2，求x 2y的值．【解析】∵log 12x ＝mm＝x ，x 22m.∵log 14y ＝m ＋2m ＋2＝y ，y2m ＋4.∴x 2ym ＋42m －（2m ＋4）－4＝16.12．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L ＝4＋lg V ．已知某同学视力的五分记录法的数据为3.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)()A ．1.5B ．1.2C ．0.8D ．0.6【答案】C【解析】因为L ＝4＋lg V ，即V ＝10L －4，所以当L ＝3.9时，V ＝10－0.1＝1100.1≈0.8.故选C.13．若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为()A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】A【解析】∵log 2(log 3x )＝0，∴log 3x ＝1，∴x ＝3.同理y ＝4，z ＝2.∴x ＋y ＋z ＝9.故选A.14．利用对数恒等式a log a N ＝N(a ＞0，且a ≠1，N ＞0).计算：－1＋log 0.54＝________；(2)23＋log 23＋32－log 39＝________．【答案】(1)8(2)25【解析】(1)0.51log 412-+⎛⎫⎪⎝⎭＝112-⎛⎫ ⎪⎝⎭·12log 412⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2×4＝8.(2)23log 32+＋32log 93-＝23×2log 32＋32log 933＝8×3＋99＝25.15．已知log 23＝a ，则4a ＋4－a 的值为________．【答案】829【解析】因为log 23＝a ，所以4a ＋4－a ＝2log 34＋2log 34-＝()2log 322＋()2log 322-＝()22log 32＋()log 3222-＝32＋3－2＝829.16．求x 的值．(1)()()2221log 321x x x -+-＝1；(2))1log＝x .【解析】(1)由()()2221log321xx x -+-＝1x 2＋2x －1＝2x 2－1，x 2＋2x －1＞0，x 2－1＞0且2x 2－1≠1，解得x ＝－2.(2)x ＝)1log)1log))1log1-＝1.17．设实数a ，b ，c 为正数，且满足a 2＋b 2＝c 2，log ＝1，log 8(a ＋b －c )＝23，求实数a ，b ，c 的值．【解析】由log ＝1得1＋b ＋ca＝4，即b ＋c ＝3a ，由log 8(a ＋b －c )＝23得a ＋b －c ＝823＝4，又a 2＋b 2＝c 2，∴a ＝6，b ＝8，c ＝10.18．已知log a b ＝log b a (a ＞0，且a ≠1；b ＞0，且b ≠1)，试探究a 与b 的关系，并给出证明．【解析】a ＝b 或a ＝1b .证明如下：设log a b ＝log b a ＝k ，则b ＝a k ，a ＝b k ，所以b ＝(b k )k ＝bk 2，因为b ＞0，且b ≠1，所以k 2＝1，即k ＝±1.当k ＝－1时，a ＝1b；当k ＝1时，a ＝b .所以a ＝b 或a ＝1b.。
第08讲 不等式的基本性质(解析版)新高一数学暑假衔接课(苏教版2019必修第一册)
第08讲不等式的基本性质知识点一不等式(1)不等式的定义用数学符号“>”“<”“≥”“≤”“≠”连接两个数或代数式，含有这些不等号的式子叫作不等式．(2)关于a≥b和a≤b的含义①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a>b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a>b 或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是a<b或a＝b，等价于“a不大于b”，即若a<b 或a＝b中有一个正确，则a≤b正确．(3)不等式中常用符号语言大于小于大于或等于小于或等于至多至少不少于不多于><≥≤≤≥≥≤知识点二两个实数的大小比较1．文字叙述(1)当a－b为正数时，称a>b；(2)当a－b为零时，称a＝b；(3)当a－b为负数时，称a<b．2．符号表示(1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a<b⇔a－b<0.3．p⇔q的含义提示：p⇔q的含义是p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推．知识点三不等式的性质不等式的性质性质1(自反性)a＞b⇔b＜a性质2(传递性)a＞b，b＞c⇒a＞c性质3(加法保号性)a＞b⇔a＋c＞b＋c性质4(乘正保号性、乘a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc负改号性)性质5(同向可加性)a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d性质6(全正可乘性)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd性质7(拓展)a>b>0⇒a n>b n(n∈N*)考点一：实数比较大小例1(1)已知x <1，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小；(2)已知a >0，试比较a 与1a的大小．【解析】(1)(x 3－1)－(2x 2－2x )＝(x －1)(x 2＋x ＋1)－2x (x －1)＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)21324x ⎡⎤⎛⎫-+⎢ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.∵x <1，∴x －1<0.x －122＋34>0，∴(x －1)21324x ⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦<0.即x 3－1<2x 2－2x .(2)∵a －1a ＝a 2－1a ＝（a －1）（a ＋1）a，又∵a >0，∴当a >1时，（a －1）（a ＋1）a >0，有a >1a ；当a ＝1时，（a －1）（a ＋1）a＝0，有a ＝1a ；当0<a <1时，（a －1）（a ＋1）a <0，有a <1a .综上，当a >1时，a >1a ；当a ＝1时，a ＝1a ；当0<a <1时，a <1a.【总结】1．利用作差法比较大小的四个步骤(1)作差：对要比较大小的两个式子作差；(2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形；(3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号；(4)得出结论．2．作商法比较大小如果两实数同号，亦可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大于1，等于1，还是小于1.方法如下：依据a >0，b >0，ab>1⇔a >b ；ab＝1⇔a ＝b ；ab<1⇔a <b a <0，b <0，ab >1⇔a <b ；ab ＝1⇔a ＝b ；ab<1⇔a >b 应用范围两同号实数比较大小或分式、积、幂之间比较大小步骤(1)作商；(2)变形；(3)判断商值与1的大小；(4)下结论变式已知a ≥1，试比较M ＝a ＋1－a 和N ＝a －a －1的大小．【解析】（方法1）因为a ≥1，所以M ＝a ＋1－a >0，N ＝a －a －1>0.所以M N ＝a ＋1－a a －a －1＝a ＋a －1a ＋1＋a.因为a ＋1＋a >a ＋a －1>0，所以MN<1，所以M <N .（方法2）因为a ≥1，所以M ＝a ＋1－a >0，N ＝a －a －1>0.又1M ＝1a ＋1－a ＝a ＋1＋a ，1N ＝1a －a －1＝a ＋a －1，所以1M >1N>0，所以M <N .考点二：不等式的性质例2(1)下列命题中正确的是()A.若0>a >b ，则a 2>b 2B.若a 2>b 2，则a >b >0C.若a >b ，则b a<1 D.若a >b ，则a 3>b 3(2)若c >a >b >0，求证：a c －a >bc －b.(1)【答案】D【解析】对于A ，由0>a >b 可知，0<－a <－b ，则(－b )2>(－a )2，即b 2>a 2，故错误；对于B ，还可能a <b <0，故错误；对于C ，只有当a >0且a >b 时，ba <1才成立，故错误；对于D ，若a >b >0，则a 3>b 3；若a ≥0>b ，则a 3≥0，b 3<0，所以a 3>b 3；若0>a >b ，则－b >－a >0，所以(－b )3>(－a )3，即－a 3<－b 3，所以a 3>b 3.综上，若a >b ，则a 3>b 3，故正确．(2)【解析】证明：因为a >b >0⇒－a <－b ⇒c －a <c －b .因为c >a ，所以c －a >0，所以0<c －a <c －b .上式两边同乘1（c －a ）（c －b ），得1c －a >1c －b>0.又因为a >b >0，所以a c －a >bc －b.变式若a >b >0，c <d <0，e <0，求证：e （a －c ）2>e（b －d ）2.【解析】证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0.又a >b >0，∴a －c >b －d >0，则(a －c )2>(b －d )2>0，即1（a －c ）2<1（b －d ）2.又e <0，∴e （a －c ）2>e（b －d ）2.考点三：利用不等式的性质解不等式例3解不等式：x －13－x ＋26>4＋3x2，并用不等式的性质说明理由．【解析】去分母，得2(x －1)－(x ＋2)>3(4＋3x ).(性质4)去括号，得2x －2－x －2>12＋9x .移项，得2x －x －9x >2＋2＋12.(性质3)合并同类项，得－8x >16，即8x <－16.系数化为1，得x <－2.(性质4)【总结】变式已知关于x 的方程3(x －2a )＋2＝x －a ＋1的解满足不等式2(x －5)≥8a ，求a 的取值范围．【解析】解方程，得x ＝5a －12.将其代入不等式，得≥8a .去括号，得5a －1－10≥8a .移项，得5a －8a ≥1＋10.合并同类项，得－3a ≥11.系数化为1，得a ≤－113.考点四：利用不等式的性质求代数式的取值范围例4已知1＜a ＜4，2＜b ＜8，试求2a ＋3b 与a －b 的取值范围．【解析】∵1＜a ＜4，2＜b ＜8，∴2＜2a ＜8，6＜3b ＜24.∴8＜2a ＋3b ＜32.∵2＜b ＜8，∴－8＜－b ＜－2.又∵1＜a ＜4，∴1＋(－8)＜a ＋(－b )＜4＋(－2)，即－7＜a －b ＜2.【总结】变式（1）已知1＜a ＜4，2＜b ＜8，试求ab的取值范围．【解析】∵2＜b ＜8，∴18＜1b ＜12，而1＜a ＜4，∴1×18＜a ×1b ＜4×12，即18＜ab＜2.（2）已知1≤a ＋b ≤4，－1≤a －b ≤2，求4a －2b 的取值范围．【解析】（方法1）设u ＝a ＋b ，v ＝a －b 得a ＝u ＋v 2，b ＝u －v2，∴4a －2b ＝2u ＋2v －u ＋v ＝u ＋3v .∵1≤u ≤4，－1≤v ≤2，∴－3≤3v ≤6.则－2≤u ＋3v ≤10，即－2≤4a －2b ≤10.（方法2）令4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，∴4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b .＋y ＝4，－y ＝－2，＝1，＝3.≤a ＋b ≤4，3≤3（a －b ）≤6.∴－2≤4a －2b ≤10.1．若abcd ＜0，且a ＞0，b ＞c ，d ＜0，则()A.b ＜0，c ＜0B ．b ＞0，c ＞0C.b ＞0，c ＜0D ．0＜c ＜b 或c ＜b ＜0【答案】D【解析】由a ＞0，d ＜0，且abcd ＜0，知bc ＞0，又∵b ＞c ，∴0＜c ＜b 或c ＜b ＜0.2．已知a ，b ，c 为不全相等的实数，P ＝a 2＋b 2＋c 2＋3，Q ＝2(a ＋b ＋c )，那么P 与Q 的大小关系是()A.P ＞Q B ．P ≥Q C.P ＜Q D ．P ≤Q【答案】A【解析】因为P －Q ＝a 2＋b 2＋c 2＋3－2(a ＋b ＋c )＝(a －1)2＋(b －1)2＋(c －1)2，所以当a ，b ，c 为不全相等的实数时，有P －Q ＞0，即P ＞Q .故选A.3．(多选)已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式中一定成立的是()A.x ＋y >y ＋z B ．xz <yz C.xy >xz D ．x |y |>z |y |【答案】ABC【解析】因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0，3z <x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0.>0，>z ，可得xy >xz ，故C 成立；由不等式的性质知A 、B 均成立；当x ＝1，y ＝0，z ＝－1，满足x >y >z ，且x ＋y ＋z ＝0，显然D 不成立．4．若0＜x ＜1，则x ，1x，x ，x 2中最小的是________．【答案】x 2【解析】因为0＜x ＜1，所以1x＞1，0＜x ＜1，0＜x 2＜1.因为x x ＝x ＜1，x 2x ＝x ＜1，所以x ＜x ，x 2＜x ，即x 2＜x ＜x ＜1x ，故最小的是x 2.5．已知x >y >0，试比较x 3－2y 3与xy 2－2x 2y 的大小．【解析】由题意，知(x 3－2y 3)－(xy 2－2x 2y )＝x 3－xy 2＋2x 2y －2y 3＝x (x 2－y 2)＋2y (x 2－y 2)＝(x 2－y 2)·(x ＋2y )＝(x －y )(x ＋y )(x ＋2y )，∵x >y >0，∴x －y >0，x ＋y >0，x ＋2y >0，∴(x 3－2y 3)－(xy 2－2x 2y )>0，即x 3－2y 3>xy 2－2x 2y .6．已知a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是()A ．若a ＞b ，c ＞b ，则a ＞cB ．若a ＞－b ，则c －a ＜c ＋bC ．若a ＞b ，c ＜d ，则a c ＞bd D ．若a 2＞b 2，则－a ＜－b 【答案】B【解析】选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立；选项C 不满足倒数不等式的条件，如a ＞b ＞0，c ＜0＜d 时，不成立；选项D 只有a ＞b ＞0时才可以，否则如a ＝－1，b ＝0时不成立，故选B ．7．设a ＝3x 2－x ＋1，b ＝2x 2＋x ，则()A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ≥bD ．a ≤b【答案】C【解析】a －b ＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，∴a ≥b ．8．若－1<α<β<1，则α－β的取值范围为________．【答案】(－2,0)【解析】由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1．所以－2<α－β<2，但α<β，故知－2<α－β<0．9．已知角α，β满足－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是________．【答案】(－π，2π)【解析】结合题意可知3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)，且2(α－β)∈(－π，π)，α＋β∈(0，π)，利用不等式的性质可知3α－β的取值范围是(－π，2π)．10．已知12<a <60,15<b <36，则a －b 的取值范围为________，ab的取值范围为________．【答案】(－24,45)【解析】∵15<b <36，∴－36<－b <－15，又12<a <60，∴12－36<a －b <60－15，即－24<a －b <45，∵136<1b <115，∴1236<a b <6015，∴13<ab<4．1．下列结论成立的是()A.若ac >bc ，则a >bB.若a >b ，则a 2>b 2C.若a >b ，c <d ，则a ＋c >b ＋dD.若a >b ，c >d ，则a －d >b －c【答案】D【解析】对于A ，当c <0时，A 不成立；对于B ，取a ＝－1，b ＝－2时，B 不成立；对于C ，a >b ，c <d ，取a ＝2，b ＝1，c ＝3，d ＝4，则a ＋c ＝b ＋d ，因此C 不成立；对于D ，因为c >d ，所以－d >－c ，又a >b ，所以a －d >b －c ，因此D 成立．故选D.2．已知0<a 1<1，0<a 2<1，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是()A.M <N B ．M >N C.M ＝N D ．M ≥N【答案】B【解析】∵0<a 1<1，0<a 2<1，∴－1<a 1－1<0，－1<a 2－1<0，∴M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)>0，∴M >N .3．有外表一样，质量不同的四个小球，它们的质量分别是a ，b ，c ，d .已知a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d >b ＋c ，a ＋c <b ，则这四个小球的质量由大到小的排列顺序是()A.d >b >a >cB ．b >c >d >aC.d >b >c >a D ．c >a >d >b【答案】A【解析】因为a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d >b ＋c ，所以2a >2c ，即a >c ，因此b <d .因为a ＋c <b ，所以a <b .综上可得d >b >a >c .故选A.4．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是()A.－2<α－β<0B.－2<α－β<－1C.－1<α－β<0D.－1<α－β<1【答案】A【解析】由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1，∴－2<α－β<2.又∵α<β，故知－2<α－β<0.5．同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同．爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”，这个时候小明若有所思，如果爸爸、妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为x 元/升，第二次加油汽油单价是y 元/升(x ≠y )，妈妈每次加满油箱，需加油a 升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，则爸爸、妈妈更合算的是()A.爸爸B ．妈妈C.一样D ．不确定【答案】A【解析】由题意，妈妈两次加油共需付款a (x ＋y )元，爸爸两次能加300x ＋300y ＝300（x ＋y ）xy升油，设爸爸两次加油的平均单价为M 元/升，妈妈两次加油的平均单价为N 元/升，则M ＝600300（x ＋y ）xy ＝2xy x ＋y ，N ＝a （x ＋y ）2a ＝x ＋y2，且x ≠y ，∴N －M ＝x ＋y 2－2xyx ＋y ＝（x －y ）22（x ＋y ）＞0，∴爸爸的加油方式更合算．故选A.6．(多选)若1a <1b<0，则下列结论正确的是()A.a 2<b 2B ．ab <b 2C.a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |【答案】ABC 【解析】∵1a <1b<0，∴b <a <0，∴a 2<b 2，ab <b 2，a ＋b <0，|a |＋|b |＝|a ＋b |.故选A 、B 、C.7．(多选)已知a ，b ，c ，m ∈R ，则下列推证中不正确的是()A.a ＞b ⇒am 2＞bm 2B.a c ＞bc⇒a ＞b C.ac 2＞bc 2⇒a ＞b D.a 2＞b 2，ab ＞0⇒1a ＜1b【答案】ABD【解析】A ，m ＝0时不成立；B ，c ＜0时不成立；C ，ac 2＞bc 2，两边同除以c 2，可得a ＞b ，正确；D ，由a 2＞b 2，ab ＞0，取a ＝－2，b ＝－1，可得1a ＞1b，不成立．故选A 、B 、D.8．比较大小：a 2＋b 2＋c 2________2(a ＋b ＋c )－4.【答案】＞【解析】a 2＋b 2＋c 2－[2(a ＋b ＋c )－4]＝a 2＋b 2＋c 2－2a －2b －2c ＋4＝(a －1)2＋(b －1)2＋(c －1)2＋1≥1＞0，故a 2＋b 2＋c 2＞2(a ＋b ＋c )－4.9．a 2与a －1的大小关系为________．【答案】a 2＞a －1【解析】因为a 2－(a －1)＝a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34＞0，所以a 2＞a －1.10．下列命题中，正确的是________.①若a ＞b ，c ＞d ，则ac 2＞bd 2；②若a ＜b ，则3a ＜3b ；③若a ＜b ＜0，则1a ＞1b ；④若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则a c ＞bd；⑤若a ＜b ＜0，c ＜d ＜0，则ac ＜bd .【答案】②③【解析】对①，举反例，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，不成立，错误；对②，开三次方根不改变大小关系，正确；对③，是不等式的性质，正确；对④，取a ＝4，b ＝3，c ＝4，d ＝3，不成立，错误；对⑤，负数越小绝对值越大，应该是ac ＞bd ，错误．11．解不等式2－x －13＜x ＋12，并用不等式的性质说明理由．【解析】由2－x －13＜x ＋12，两边同乘以6，得12－2(x －1)＜3(x ＋1)，(不等式的性质4)即12－2x ＋2＜3x ＋3，两边同时加2x －3，得11＜5x ，(不等式的性质3)即5x ＞11，(不等式的性质1)两边同乘以15，得x ＞115，(不等式的性质4)|x .[素养提升练]12．已知实数a ，b ，则“a ＋ba －b＞0”是“|a |＞|b |”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】a ＋ba －b＞0⇔(a ＋b )(a －b )＞0⇔a 2－b 2＞0⇔a 2＞b 2⇔|a |＞|b |，为充要条件．故选C.13．(多选)已知a ，b ，c ∈R ，下列命题为真命题的是()A.若a ＜b ＜0，则a 2＜ab ＜b 2B.若a ＞b ，则ac 2≥bc 2C.若ac 2＞bc 2，则a ＞bD.若b ＜a ＜0，则1a ＜1b【答案】BCD【解析】对于A ，当a ＜b ＜0时，a 2－ab ＝a (a －b )＞0，∴a 2＞ab ，A 错误；对于B ，若a ＞b ，当c ＝0时，则ac 2＝bc 2，若c ≠0，则c 2＞0，则有ac 2＞bc 2，B 正确；对于C ，若ac 2＞bc 2，则c 2≠0，∴a ＞b ，C 正确；对于D ，当0＞a ＞b 时，1a －1b ＝b －a ab ＜0，∴1a ＜1b ，D 正确．故选B 、C 、D.14．已知－1≤x ＋y ≤4，且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．【答案】[3，8]【解析】∵z ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )，－2≤－12(x ＋y )≤12，5≤52(x －y )≤152，∴3≤－12(x ＋y )＋52(x －y )≤8，∴z 的取值范围是3≤z ≤8.15．给出下列命题：①a ＞b ⇒ac 2＞bc 2；②a ＞|b |⇒a 4＞b 4；③a ＞b ⇒a 3＞b 3；④|a |＞b ⇒a 2＞b 2.其中正确命题的序号是________．【答案】②③【解析】①当c 2＝0时不成立；②因为a ＞|b |≥0，所以a 2＞|b |2，即a 2＞b 2，所以a 4＞b 4，所以正确；③当a ＞b 时，a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b ＋34b 2＞0，成立；④当b ＜0时，不一定成立．如：|2|＞－3，但22＜(－3)2.16．已知－1＜x ＜y ＜0，比较1x ，1y，x 2，y 2的大小关系．【解析】因为－1＜x ＜y ＜0，根据实数的性质，可得x 2＞0，y 2＞0，1x ＜0，1y ＜0，由x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )，且1x －1y ＝y －x xy，又由－1＜x ＜y ＜0，可得x ＋y ＜0，x －y ＜0，xy ＞0，所以(x ＋y )(x －y )＞0，且y －x xy＞0，即x 2＞y 2＞0且0＞1x ＞1y ，所以x 2＞y 2＞1x ＞1y .17．已知三个不等式：①ab ＞0；②c a ＞d b；③bc ＞ad .若以其中两个作为条件，余下的一个作为结论，请写出一个真命题，并写出推理过程．【解析】(1)①②⇒③，即若ab ＞0且c a ＞d b ，则bc ＞ad .因为c a ＞d b 且ab ＞0，所以c a ·ab ＞d b·ab ⇒bc ＞ad ，则命题成立．(2)①③⇒②，即若ab ＞0且bc ＞ad ，则c a ＞d b.因为ab ＞0，所以1ab ＞0，又因为bc ＞ad ，所以bc ·1ab ＞ad ·1ab ⇒c a ＞d b，则命题成立．18．下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡；(3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了．【解析】(1)设糖水b 克，含糖a 克，糖水浓度为a b ，加入m 克糖，即证明不等式a ＋m b ＋m ＞a b (其中a ，b ，m 为正实数，且b ＞a )成立．不妨用作差比较法，证明如下：a ＋mb ＋m －a b ＝b （a ＋m ）－a （b ＋m ）b （b ＋m ）＝m （b －a ）b （b ＋m ）.∵a ，b ，m 为正实数，且a ＜b ，∴b ＋m ＞0，b －a ＞0，∴m （b －a ）b （b ＋m ）＞0，即a ＋m b ＋m＞a b .(2)设原糖水b 克，含糖a 克，糖水浓度为a b ；另一份糖水d 克，含糖c 克，糖水浓度为c d ，且a b ＜c d ，求证：a b ＜a ＋c b ＋d＜c d (其中b ＞a ＞0，d ＞c ＞0).证明：∵a b ＜c d，且b ＞a ＞0，d ＞c ＞0，∴ad ＜bc ，即bc －ad ＞0，a b －a ＋c b ＋d ＝ab ＋ad －ab －bc b （b ＋d ）＝ad －bc b （b ＋d ）＜0，即a b ＜a ＋c b ＋d，c d －a ＋c b ＋d ＝cb ＋cd －ad －cd d （b ＋d ）＝cb －ad d （b ＋d ）＞0，即a ＋c b ＋d ＜c d .∴a b ＜a ＋c b ＋d＜c d .(3)设原糖水b 克，含糖a 克，糖水浓度为a b ，加入m 克水，求证a b ＞a b ＋m (其中b ＞a ＞0，m ＞0).证明：a b －a b ＋m ＝ab ＋am －ab b （b ＋m ）＝am b （b ＋m ）＞0，∴a b ＞a b ＋m .。
新高一数学暑假衔接学习资料系列讲义12讲(含答案)
【第1讲】 乘法公式【基础知识回顾】知识点1 平方公式（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．（3）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； 知识点2 立方公式（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （4）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．【合作探究】探究一 平方公式的应用 【例1】计算：（1）)416)(4(2m m m +-+（2）)41101251)(2151(22n mn m n m ++-（3）)164)(2)(2(24++-+a a a a （4）22222))(2(y xy x y xy x +-++ （5）22)312(+-x x【解析】（1）原式=333644m m +=+（2）原式=3333811251)21()51(nm n m -=- （3）原式=644)()44)(4(63322242-=-=++-a a a a a （4）原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+63362332)(y y x x y x ++=+=（5）原式=22]31)2([+-+x x913223822)2(312312)2(2)31()2()(234222222+-+-=-⨯⨯+⨯+-++-+=x x x x x x x x x x归纳总结：在进行代数式乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．【练习1】计算：2(21)x y ++【解析】原式=22(21)[(2)1]x y x y ++=++2(2)2(2)1x y x y =++++ 2244421x xy y x y =+++++探究二 立方公式的应用【例2】计算：（1）3(1)x + （2）3(23)x -【解析】（1）332(1)331x x x x +=+++（2）332(23)8365427x x x x -=-+-归纳总结：常用配方法：()2222a b a b ab+=+-，()2222a b a b ab+=-+．【练习2】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：(1) 38x +(2) 30.12527b -分析： (1)中，382=，(2)中3330.1250.5,27(3)b b ==． 【解析】(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+(2) 333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++探究三 整体代换【例3】已知13x x +=，求：（1）221x x +；（2）331x x +． 【解析】13x x +=，所以（1）222211()2327x x x x +=+-=-=．（2）32223211111()(1)()[()3]3(33)18x x x x x x x x x x +=+-+=++-=-=．归纳总结：（1）本题若先从方程13x x +=中解出x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．（2）本题是根据条件式与求值式的联系，用“整体代换”的方法计算，简化了计算．【练习3-1】已知2310x x +-=，求：（1）221x x +；（2）331x x -． 【解析】2310x x +-=，0≠∴x ，213x x ∴-=-，13x x ∴-=-．（1）222211()2(3)211x x x x +=-+=-+=；（2）331x x -2211()(1)3(111)36x x x x =-++=-⨯+=-．【练习3-2】已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．【解析】2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．【课后作业】1．不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ）A ．总是正数B ．总是负数C ．可以是零D ．可以是正数也可以是负数2．已知22169x y +=， 7x y -=，那么xy 的值为（ ） A ．120 B ．60 C ．30 D ．153．如果多项式29x mx -+是一个完全平方式，则m 的值是4．如果多项式k x x ++82是一个完全平方式，则k 的值是5．()()22_________a b a b +--=()222__________a b a b +=+-6．已知17x y +=，60xy =，则22x y += 7．填空，使之符合立方和或立方差公式或完全立方公式： （1）3(3)()27x x -=- （2）3(23)()827x x +=+ （3）26(2)()8x x +=+ （4）3(32)()278a a -=-（5）3(2)()x +=； （6）3(23)()x y -=（7）221111()()9432a b a b -=+ （8）2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )8．若2210x x +-=，则221x x +=____________；331x x -=____________． 9．已知2310x x -+=，求3313x x ++的值．10．观察下列各式：2(1)(1)1x x x -+=-；23(1)(1)1x x x x -++=-；324(1)(1)1x x x x x -+++=-…..根据上述规律可得：1(1)(...1)nn x x xx --++++=_________________【参考答案】1．乘法公式答案1．A 2．B 3．6± 4．16 5．4ab ； 2ab 6．1697．（1）239x x ++ （2）2469x x -+ （3）4224x x -+ （4）2964a a ++ （5）326128x x x +++ （6）32238365427x x y xy y -+- （7）1132a b - （8）424ab ac bc --7．【解析】(1) 2229166824x y z xy xz yz ++--+(2) 22353421a ab b a b -++-+(3) 2233a b ab --(4) 331164a b -8．【解析】2210x x +-=，0≠∴x ，212x x ∴-=-，12x x ∴-=-．（1）222211()2(2)26x x x x +=-+=-+=；（2）331x x -2211()(1)2(61)14x x x x =-++=-⨯+=-．9．【解析】2310x x -+= 0≠∴x31=+∴x x原式=22221111()(1)3()[()3]33(33)321x x x x x x x x +-++=++-+=-+=10．11n x +-【第2讲】 因式分解【基础知识回顾】知识点1 因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用． 知识点2 因式分解方法因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等．知识点3 常用的乘法公式：（1）平方差公式：22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方和公式：222()2a b a ab b +=++； （3）完全平方差公式：222()2a b a ab b -=-+．（4）2()a b c ++=2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++.（5）33a b +=22()()a b a ab b +-+(立方和公式) （6）33a b -= 22()()a b a ab b -++(立方差公式)【合作探究】探究一 公式法【例1】分解因式：(1) 34381a b b - (2) 76a ab -【分析】(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现66a b -，可看着是3232()()a b -或2323()()a b -． 【解析】(1)3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++．(2) 76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-22222222()()()()()()()()a a b a ab b a b a ab b a a b a b a ab b a ab b =+-+-++=+-++-+归纳总结：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如3338(2)a b ab =，这里逆用了法则()n n nab a b =； (2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号．【练习1】把下列各式分解因式： (1) 34xy x +(2) 33n n x x y +-(3) 2232(2)y x x y -+【解析】（1）34xy x +=22()()x x y y xy x +-+（2）33n n x x y +-=22()(),n x x y x xy y -++（3）2232(2)y x x y -+=22432(1)(4321)y x x x x x --+++探究二 提取公因式法与分组分解法【例2-1】把22x y ax ay -++分解因式． 【分析】：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是x y +；把第三、四项作为另一组，在提出公因式a 后，另一个因式也是x y +.【解析】：22()()()()()x y ax ay x y x y a x y x y x y a -++=+-++=+-+【例2-2】分解因式：（1）()()255a b a b -+-； （2）32933x x x +++．【解析】（1）()()255a b a b -+-=(5)(1)a b a --；（2）32933x x x +++32(3)(39)x x x =+++． 2(3)3(3)x x x =+++=2(3)(3)x x ++【例2-3】分解因式： （1）32933x x x +++；（2）222456x xy y x y +--+-．【解析】（1）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++．或32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++ ＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+＝2(3)(3)x x ++．（2）222456x xy y x y +--+- =222(4)56x y x y y +--+-=22(4)(2)(3)x y x y y +---- =(22)(3)x y x y -++-．或 222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +---- =(2)()(45)6x y x y x y -+---=(22)(3)x y x y -++-．【例2-4】把2222428x xy y z ++-分解因式．【分析】：先将系数2提出后，得到22224x xy y z ++-，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．【解析】：22222224282(24)x xy y z x xy y z ++-=++-222[()(2)]2(2)(2)x y z x y z x y z =+-=+++-【练习2】分解因式（1）27()5()2a b a b +-+-(2)22(67)25x x -- 【解析】（1）27()5()2a b a b +-+-=(772)(1)a b a b +++- (2) 22(67)25x x --=22[(67)5][(67)5]x x x x --⋅-+=2(21)(35)(675)x x x x +--+ 探究三 十字相乘法【例3-1】把下列各式因式分解：(1) 276x x -+(2) 21336x x ++ (3) 226x xy y +-【解析】(1)6(1)(6),(1)(6)7=-⨯--+-=-276[(1)][(6)](1)(6)x x x x x x ∴-+=+-+-=--． (2)3649,4913=⨯+=21336(4)(9)x x x x ∴++=++(3) 222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+-归纳总结：这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【例3-2】把下列各式因式分解：(1) 21252x x --(2) 22568x xy y +-3241-⨯1 254y y -⨯【解析】(1) 21252(32)(41)x x x x --=-+(2) 22568(2)(54)x xy y x y x y +-=+-归纳总结：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．【练习3-1】把下列各式因式分解：(1) 2524x x +-(2) 2215x x -- (3) 222()8()12x x x x +-++【解析】(1)24(3)8,(3)85-=-⨯-+=2524[(3)](8)(3)(8)x x x x x x ∴+-=+-+=-+ (2)15(5)3,(5)32-=-⨯-+=-2215[(5)](3)(5)(3)x x x x x x ∴--=+-+=-+ (3) 22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-探究四 拆、添项法【例4】分解因式3234x x -+【分析】：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决．【解析】 323234(1)(33)x x x x -+=+--22(1)(1)3(1)(1)(1)[(1)3(1)]x x x x x x x x x =+-+-+-=+-+--22(1)(44)(1)(2)x x x x x =+-+=+-归纳总结：将23x -拆成224x x -，将多项式分成两组32()x x +和244x -+．【课后作业】1．把下列各式分解因式： (1)327a +(2) 38m -(3)3278x -+(4) 3311864p q --(5)3318125x y -(6) 3331121627x y c+2．把下列各式分解因式： (1) 34xy x +(2)33n n x x y +-(3)2323()a m n a b +-(4) 2232(2)y x x y -+3．把下列各式分解因式： (1) 232x x -+ (2) 23736x x ++(3)21126x x +-(4) 2627x x --(5) 2245m mn n --(6)2()11()28a b a b -+-+ 4．把下列各式分解因式： (1) 5431016ax ax ax -+ (2) 2126n n n aa b a b +++- (3) 22(2)9x x --(4) 42718x x --(5) 2673x x --(6) 2282615x xy y +-5．把下列各式分解因式： (1) 233ax ay xy y -+- (2) 328421x x x +-- (3)251526x x xy y -+-(4) 224202536a ab b -+- (5) 22414xy x y +-- (6) 432224a b a b a b ab +--(7)66321x y x --+ (8)2(1)()x x y xy x +-+【参考答案】1．222(3)(39),(2)(42),(23)(469),a a a m m m x x x +-+-++-++ 222222211211(2)(42),(2)(4),(2)(24)645525216p q p pq q xy x y xy xy c x y xyc c -+-+-+++-+2．2222()(),()(),nx x y y xy x x x y x xy y +-+-++22222432()[()()],(1)(4321)a m n b m n b m n b y x x x x x +-++++--+++3．(2)(1),(36)(1),(13)(2),(9)(3)x x x x x x x x --+++--+(9)(3),(5)(),(4)(7)x x m n m n a b a b -+-+-+-+4．322(2)(8),(3)(2),(3)(1)(23),(3)(3)(2)n ax x x a a b a b x x x x x x x --+--+-+-++ 2(23)(31),(2)(415),(772)(1),(21)(35)(675)x x x y x y a b a b x x x x -+-++++-+--+5．2()(3),(21)(21),(3)(52),(256)(256)x y a y x x x x y a b a b -++--+---+23333(12)(12),()(),(1)(1),()(1)x y x y ab a b a b x y x y x x y x y -++-+----+-++．【第3讲】 根式与根式的运算【基础知识回顾】知识点1 二次根式的概念0)a ≥的代数式叫做二次根式. 知识点2 二次根式性质(1)2(0)a a =≥(2) ||a =(3)0,0)a b =≥≥(4)0,0)a b =>≥a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩ 【合作探究】探究一 根式的简化【例1-1】将下列式子化为最简二次根式：（1（20)x <．(3) +【解析】（1=（2220)x x x =-<．(3) 原式=2|1|211+-=--=归纳总结：||a =的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．【练习1-1】 化简下列各式：（10)a ≥；(2)1)x +≥ 【解析】（10)a ==≥；(2) 原式=(1)(2)2 3 (2)|1||2|(1)(2) 1 (1x 2) x x x x x x x x -+-=->⎧-+-=⎨---=≤≤⎩【例1-2】（1(x=-x的取值范围是；（2=成立的条件是（）A.2x≠ B.0x> C.2x> D.02x<<【解析】（1|3|(x x=-=-|3|(3)x x-=-(3)0x∴-≥35x∴≤≤（2）由于20xx≥⎧⎨->⎩2x∴>。
2020新版新高一暑期衔接数学讲义
新高一衔接教材数学新版高一暑期衔接数学课程第1讲数与式1910+⨯的正整数n ，有1(1)n n ++第2讲一元二次函数与二次不等式第3讲一元二次方程与韦达定理第4讲基本不等式【内容概述】基本不等式2a bab +≤1、若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号.2、如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 变形： 有:a+b ≥ab 2；ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ,当且仅当a=b 时取等号.3、如果a,b ∈R+,a ·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P 2;如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值42S .注：1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． 2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 4、常用不等式有：1）2222211a b a b ab a b++≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； 2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）； 3）若0,0a b m >>>，则b b ma a m+<+（糖水的浓度问题）。
变式1: 变式：（配凑项与系数） 1. 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
2. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
3.（耐克函数型）求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()af x x x=+的单调性。
4.（用耐克函数单调性）求函数2254x y x +=+的值域。
5.（条件不等式）1）若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 .2）已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。
苏科版新高一暑期衔接数学教材(4课时)
第 1 课时因式分解(1)课标导航：1.熟习常有的乘法公式,会用乘法公式分解因式;2.认识方程的根与对应的代数式的因式分解之间的关系,领会因式分解的求根法和待定系数法.讲堂实录：1.分解因式的方法主要有 : 提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、解求根法及待定系数法.2.常有的乘法公式有 :(1)平方差公式 :a2b2；(2)立方差公式 : a3b3;(3)立方和公式 :a3b3;(4)完整平方公式: (a b)2;(5)完整立方公式 : (a b)3.思想点击：【例 1】分解因式:8x3y3【例 2】把以下对于x 的二次多项式分解因式：(1) x22x 1(2) x2 4 xy 4 y2【例 3】解方程 : (1) x61(2) 2x33x28x 3 0随堂训练：1.分解以下因式(1) x22x 3(2)x y (x y)22(3)m23m 6(4)27a327a2 b 9ab 2b312.解列三次方程:(1) x39 3x23x 0(2)( x 1) x ( x 1)( x 2) 240反应练习 :1.分解以下因式:(1) x25x 3(2)x2 2 2x 3(3) 3x24xy y2(4) ( x22x)27( x22x)12 (5) 4x2z24xy y2(6) a31(7) 4x413x29(8) 3x25xy 2 y2x 9 y 4 ．2.解以下方程 :(1) x3x 2 0 ;(2) x4x3x 1 03. 已知 x y 1, 且a b x3y33xy ,求a3b33ab 的值.4.化简 : (a31)( a31) [( a411)(a1)] a3a3a4ax31x31x3x5. 化简x2x 1x1x1 ,并求当x28 时,此式的值.第 2 课时因式分解(2)课标导航：1.掌握十字相乘法、分组分解法;2.能依据问题 ,灵巧运用各样方法分解因式.讲堂实录：1.十字相乘法 :设 ax2＋ bx＋c＝ (cx＋ d)(ex＋ f) ，此中 a≠ 0．∵(cx ＋ d)(ex＋ f) ＝ cex2＋dex＋ cfx ＋ df＝ cex2＋ (de＋cf)x ＋df ，∴ a＝ ce,b＝ de＋ cf,c ＝ df; 能够将以上三式表示为cde f思想点击：【例 1】用十字相乘法分解以下各因式:(1) x23x 28(2)12a217a 6(3) x y ( x y)22【例 2】分解因式(1) x2 2 y y22x(2) x 2＋x－ (a2－a)(3) a2b22ac 2bc 2ab 【例 3】分解因式 : 2x2xy y 24x 5y6【例 4】已知a2b 3 ,求 a22a 4b24b 4ab 3 的值.随堂训练：分解因式 :(1)b23b10; (2)y2 6 y8；(3)x25x6;(4)a27a 12；(5)bc3bd 3;(6)x216;x2反应练习 : 1.分解因式：(1)x 2＋ 6x＋ 8＝(3)4x2 20x 25(5)3x2 xy 2 y2(7)6( x 6) 2x2(9)x2 a2 2a 2x2.分解因式 :(1) a(a＋ 3)2－ a(a－ b)2 (3) 4( x y 1) y( y 2x); (2)x 2－ 2x－ 1＝; ;(4)x25x 6; ; (6) a2b27ab 10; ;(8)a3b 45ab a2b；;(10)4x 2－ 8x －12y－ 9y2＝;(2)3x2 5xy 2 y2 x 9 y 4(4)4b 2－ 10b＋c2－5c＋ 4bc＋6(5) 2x2xy 3x y 1(6) a2c22ab b2 d 22cd 3.已知x 2 y 1 0 ，求x2xy 2 y23x 3y 2 的值.第 3 课时一元二次方程课标导航：1.娴熟掌握一元二次方程的求解方法;2.掌握一元二次方程根与系数的关系—韦达定理,能娴熟应用韦达定理解决有关问题.讲堂实录：1、一元二次方程ax2bx c 0(a0) 的求解方法：（ 1）公式法：鉴别式△＝若，则方程无实数根。
暑假新高一数学衔接课程
暑假新高一数学衔接课程第一讲：代数式及恒等变形第二讲：方程与方程组第三讲：不等式与不等式组第四讲：函数及其表示第五讲：二次函数的图像与性质第六讲：二次函数在给定区间上的最值第七讲：二次方程根的分布问题第八讲：常见函数图像与性质第九讲：函数图像变换第十讲：方法篇第十一讲：思想篇第十二讲：集合附件：两套衔接教材测试卷第一讲 代数式及恒等变形1、乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+。
（3）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（4）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（6）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（7）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-。
2、二次根式：0)a ≥的代数式叫做二次根式，化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
3、指数运算法则及推广①规定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n( N *）n 个 2）)0(10≠=a a ；3）11(ppp ap a a -⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭R ） ②性质：1）(0,rsr sa a a a r +⋅=>、∈s R ）；2）r a aa sr sr ,0()(>=⋅、∈s R ）；3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a rrr ,0,0()( R ）。
4、n 次根式：若存在实数x ，使得a x n =，则称n a x =为a 的n 次方根。
在实数范围内,正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根是一个负数,零的奇次方根是零，负数没有偶次方根。
5、分数指数幂：nma =6、因式分解（1）提取公因式法； （2）运用公式法； （3）分组分解法；典型例题讲解1、乘法公式的应用例1：已知2=x ，计算22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++的值。
新高一数学暑假衔接课程(无答案)
新高一数学暑假衔接课程（无答案）第4讲集合的基本概念第5讲集合的基本运算第6讲集合的综合复习第7讲函数的概念与定义域第8讲求函数的值域第9讲函数的解析式第10讲函数的表示方法及值域综合复习第11讲函数的单调性（1）第12讲函数的单调性（2）第13讲函数的奇偶性第14讲指数运算第15讲对数运算第1讲数与式知识点一：乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式22+-=-；a b a b a b()()（2）完全平方公式222±=±+．()2a b a ab b我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 【典型例题】：（1）计算： 22)312(+-x x =___________________________________（2）计算：()222(42)a b a ab b +-+=______________________________ （3）计算()2232(964)x y x xy y +-+ =____________________________ (4)()223(469)x x xy -++=___________________________________ 变式1：利用公式计算（1）)916141(31212++⎪⎭⎫ ⎝⎛-m m m =_______________________(2) ()()2222()()a b a ab b a b a ab b +-+-++=________________________ 变式2:利用立方和、立方差公式进行因式分解（1） 3327m n - （2）331278m n - （3）3125x - （4） 66m n -【典型例题】（1）)41101251)(2151(22n mn m n m +--（2）已知2310x x -+=，求331xx +的值． （3）已知0=++c b a ，求111111()()()a b c bccaab+++++的值．变式1:计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++变式2:已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值． 知识点二、根式(0)a a ≥叫做二次根式，其性质如下： (1) 2()(0)a a a =≥2a a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩(0,0)ab a b a b =≥≥ 0,0)b b a b a a=>≥ 【典型例题】：基本的化简、求值化简下列各式：22(32)(31)-- 22(1)(2)1)x x x -+-≥=_____________ （3） 423+=_______________________（4）2(1)(1)()a b a b a b +-+=_______________________a aa aba ab+-+=_______________________（6）设23232323x y +-==-+，求33x y +=_______________________2a a =-成立的条件是( )A．0a >B．0a <C．0a ≤ D．a 是任意实数变式2:若3x <296|6|x x x -+--的值是( )A．－３ B．３ C．－９ D．９743+（1）2(1)(1)()a b a b a b +-+a a a aba ab+-+知识点三、分式 【典型例题—1】： 1、分式的化简（1）化简233396162279x x x x x x x x++-+-+-- （2）化简11xx x x x-+-2、（1）试证：111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）；（2）计算：1111223910+++⨯⨯⨯； （3）证明：对任意大于1的正整数n ，有11112334(1)2n n +++<⨯⨯+．3、分式的运用 设ce a=，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值 变式1：对任意的正整数n ，1(2)n n =+______________变式2:选择题：若223x y x y -=+，则xy =（ ）（A）１ （B）54 （C）45 （D）65变式3:计算1111 (12233499100)++++⨯⨯⨯⨯ 知识点四、因式分解 【内容概述】因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。
新高一数学暑假衔接课：第八讲 函数值域
第八讲 函数值域（一）知识整合初中里我们学习了一次函数、反比例函数和二次函数这样几种函数，请做出它们的解析式和图像，并对照图像说明三种函数的值域。
一、函数的值域1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；2、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；3、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；4、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；5、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结；在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。
研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。
确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。
三、函数的值域的求法求函数值域没有通用的方法和固定的模式，要靠自己在解题过程中逐渐探索和积累.除了上述常用的方法外，还有很多方法，应注意选择最优的解法.总之，求函数的值域关键是要重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.1.直接法（观察法）：根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数2.配方法 ：当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域3.换元法：通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是无理函数、三角函数（用三角代换）等4.分离常数法：将形如b ax dcx y ++=（0≠a ）的函数分离常数，变形过程为： bax a bc d a c b ax a bc d b ax a c b ax d cx +-+=+-++=++)(， 再结合x 的范围确定bax a bc d +-的取值范围，从而确定函数值域. （2）典型例题一 通用方法 1．换元法有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（几个）新的量来代替原来的量，通过换元，我们常常可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元法．在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．例1.求()1f x x x =+-的值域；【答案】令10x t -=≥，则21(0)x t t =-≥，222155()(1)1244f x f t t t t ⎛⎫=-=-+=-+≤ ⎪⎝⎭，所以函数值域为5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，4．例2.求函数241y x x =+-的值域； 【答案】设1t x =-则t ≥0∴x =1-t 2代入得y =f (t )=2×(1-t 2)+4t =-2t 2+4t +2=-2(t -1)2+4 ∵t ≥0∴y ≤4∴所求值域为(],4-∞ 2．数形结合对于一些函数（如二次函数、分段函数等）的求值域问题，我们可以借助形象直观的函数图像来观察其函数值的变化情况，再有的放矢地通过函数解析式求函数最值，确定函数值域，用数形结合法，使运算过程大大简化；例3.求函数2223(20)()23(03)x x x f x x x x ⎧+--≤<⎪=⎨--≤≤⎪⎩ 的值域．【答案】求分段函数的值域可作出它的图像，则其函数值的整体变化情况就一目了然了，从而可以快速地求出其值域． 解：作图像如图所示．(1)(1)4f f -==-∵，(2)3f -=-，(3)0f =，(0)3f =-， ∴函数的最大值、最小值分别为0和4-，即函数的值域为[40]-，．例4.求函数()()2228y x x =-++的值域。
新高一数学衔接课教案
新高一数学衔接课教案高一新生要作好充分思想打算, 以自信、宽容的心态, 尽快融入集体, 适应新同学、适应新校内环境、适应与初中迥异的纪律制度。
下面是我为你打算的__, 快来借鉴一下并自己写一篇与我们共享吧！新高一数学连接课教案篇1一、教学目标1.驾驭商的算术平方根的性质, 能利用性质进展二次根式的化简与运算;2.会进展简洁的二次根式的除法运算;3.使学生驾驭分母有理化概念, 并能利用分母有理化解决二次根式的化简及近似计算问题;4.造就学生利用二次根式的除法公式进展化简与计算的实力;5.通过二次根式公式的引入过程, 渗透从特别到一般的归纳方法, 提高学生的归纳总结实力;6.通过分母有理化的教学, 渗透数学的简洁性.二、教学重点和难点1.重点：会利用商的算术平方根的性质进展二次根式的化简, 会进展简洁的二次根式的除法运算, 还要使学生驾驭二次根式的除法采纳分母有理化的方法进展.2.难点：二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.三、教学方法从特别到一般总结归纳的方法以及类比的方法, 在学习了二次根式乘法的根底上本小节内容可引导学生自学, 进展总结比照.新高一数学连接课教案篇2教学目标1.使学生驾驭的概念,图象和性质.(1)能依据定义判定形如什么样的函数是,了解对底数的限制条件的合理性,明确的定义域.(2)能在根本性质的指导下,用列表描点法画出的图象,能从数形两方面相识的性质.(3)能利用的性质比拟某些幂形数的大小,会利用的图象画出形如的图象.2.通过对的概念图象性质的学习,造就学生视察,分析归纳的实力,进一步体会数形结合的思想方法.3.通过对的探究,让学生相识到数学的应用价值,激发学生学习数学的爱好.使学生擅长从现实生活中数学的发觉问题,解决问题.教学建议教材分析(1)是在学生系统学习了函数概念,根本驾驭了函数的性质的根底上进展探究的,它是重要的根本初等函数之一,作为常见函数,它既是函数概念及性质的第一次应用,也是今后学习对数函数的根底,同时在生活及生产实际中有着广泛的应用,所以应重点探究.(2)本节的教学重点是在理解定义的根底上驾驭的图象和性质.难点是对底数在和时,函数值改变状况的区分.(3)是学生完全生疏的一类函数,对于这样的函数应怎样进展较为系统的理论探究是学生面临的重要问题,所以从的探究过程中得到相应的结论虽然重要,但更为重要的是要了解系统探究一类函数的方法,所以在教学中要特殊让学生去体会探究的方法,以便能将其迁移到其他函数的探究.教法建议(1)关于的定义遵照课本上说法它是一种形式定义即解析式的特征必需是的样子,不能有一点差异,诸如,等都不是.(2)对底数的限制条件的理解与相识也是相识的重要内容.假如有可能尽量让学生自己去探究对底数,指数都有什么限制要求,老师再赐予补充或用详细例子加以说明,因为对这个条件的相识不仅关系到对的相识及性质的分类探讨,还关系到后面学习对数函数中底数的相识,所以必须要真正了解它的由来.关于图象的绘制,虽然是用列表描点法,但在详细教学中应幸免描点前的盲目列表计算,也应幸免盲目的连点成线,要把表列在关键之处,要把点连在恰当之处,所以应在列表描点前先把函数的性质作一些简洁的探讨,取得对要画图象的存在范围,大致特征,改变趋势的也许相识后,以此为指导再列表计算,描点得图象.新高一数学连接课教案篇31、教材〔教学内容〕本课时主要探究随意角三角函数的定义。
新高一数学暑假衔接课：第六讲 交集,并集
第六讲 交集，并集（一）知识整合1.交集的定义：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，叫做A 与B 的交集.数学语言表述为B A ，},|{B x A x x B A ∈∈=且 .2.交集的运算必须掌握的几条性质： （1）A B B A =； （2）B B A A B A ⊆⊆ ,； （3）∅=∅=∅=A A A A A ,； （4）A B A B A =⇔⊆ ； （5）)()(C B A C B A =.3.并集的定义：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做集合A 与集合B 的并集.符号表示为B A ，},|{B x A x x B A ∈∈=或 .4.并集运算必须掌握的几条性质（1）并集满足交换律，符号语言表达式为：A B B A =；（2）任何集合同自身的并集等于集合自身，符号语言表达式为：A A A = ； （3）任何集合同空集的并集等于集合本身，符号语言表达式为：A A =∅ ； （4）B B A B A =⇔⊆ ；（5）任何集合都是该集合与另一集合并集的子集，符号语言表达式为：)(),(B A B B A A ⊆⊆.（二）典型例题例1.（1）设}6,5,3,1{},4,3,1{},3,2,1{===C B A ,求)(,)(C B A C B A .解：}3,1{)(=C B A}3,1{)(=C B A（2） 若集合}4,2,1{},3,2,1,0{==B A ，则集合B A =_____________. 解：}4,3,2,1,0{例2.（1）已知集合}9,1,5{},,12,0{2a a B a a A --=-=分别符合下列条件的a 的值.（1）B A ∈9； （2）{}B A =9.解：（1）9∈（A ∩B ）；∴9∈A ；∴2a ﹣1＝9，或a 2＝9； ∴a ＝5，或a ＝±3；①a ＝5时，A ＝{0，9，25}，B ＝{0，﹣4，9}，满足条件； ②a ＝3时，B ＝{﹣2，﹣2，9}，不满足集合元素的互异性； ③a ＝﹣3时，A ＝{0，﹣7，9}，B ＝{﹣8，4，9}，满足条件； ∴a ＝5，或﹣3；（2）{9}＝A ∩B ；同样得到9∈A ；由（1）知，a ＝5时，A ∩B ＝{0，9}，不满足条件； a ＝3时集合B 不存在，a ＝﹣3时有A ∩B ＝{9}； ∴a ＝﹣3．（2）已知集合},3,1{},,1{},,3,1{2x B A x B x A === ，则x =____________.解：3,32±==x x ，此时符合。
初升高数学暑假衔接(人教版)高一预习4.5 函数的应用(学生版)
4.5函数的应用（二）【知识梳理】知识点一函数的零点对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．方程、函数、图象之间的关系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点．知识点二函数的零点、方程的解、函数图象与x轴的交点方程f(x)＝0的实数解⇔函数y＝f(x)的零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．知识点三函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．知识点四二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解．知识点五用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0.2．求区间(a，b)的中点c.3．计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：(1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；(2)若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；(3)若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断．【基础自测】1．在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为()A －14，BCD2．f (x )2＋2x －3，x ≤0，2＋ln x ，x >0的零点个数为()A ．3B ．2C ．1D ．03．函数f (x )＝(lg x )2－lg x 的零点为________．4．函数f (x )＝x 3的零点有______个．5．已知函数()2log f x x x b =+-的零点在区间(]0,1上，则b 的取值范围为_______．【例题详解】一、求函数的零点二、探求零点所在区间三、根据零点所在的区间求参数范围四、判断函数零点个数五、根据函数零点个数求参数范围六、二分法概念的理解．．．．用二分法求函数内的唯一零点时，精确度为0.001．0.1a b -<0.001a b -<跟踪训练6(1)已知函数f (x )的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A ．4,4B ．3,4C ．5,4D ．4,3七、用二分法求方程的近似解例7(1)用二分法求方程lg 30x x +-=的近似解，以下区间可以作为初始区间的是（）A ．[1,2]B ．[2,3]C ．[3,4]D ．[4,5]【课堂巩固】8．在用二分法求方程()0f x =在[0,1]上的近似解时，经计算，(0.5)0f <得出方程的一个近似解为__________（精确度为0.2）.【课时作业】20．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.(1)写出函数y＝f(x)的解析式；(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．。
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新高一数学衔接课程说明课程目标初高中数学无论是在知识的广度和难度上，还是在学习方法上，都存在较大的差异，对于刚升入新高一的学生来说，在学习中存在很多不适应的地方：比如学习习惯、学习方法等.因此我们编写了这套《初高中数学衔接课程》，旨在解决以上问题.1．补充初高中脱节的数学知识、需要加深的初中数学知识等，为高中学习铺路搭桥.2．学习集合与函数等知识，使新高一的学生了解高中数学的基本特点、要求、学法及教学方法；3．培养学生学习高中数学的自信心.适用对象新高一学生课时安排授课时间：7-8月，共计10-15次课，20小时（一对一）或30小时（班组课）.课程特色以初中所学知识为起点，逐步过渡到高一知识，注重在初高中知识之间搭台阶，平稳起步；对于高中新知识，注重对概念、定理、公式的理解，避免死记硬背；在知识衔接的同时，注重学习方法、学习习惯的衔接.课程结构第1讲数与式第2讲一元二次方程与韦达定理第3讲一元二次函数与二次不等式第4讲集合的基本概念第5讲集合的基本运算第6讲集合的综合复习第7讲函数的概念与定义域第8讲 求函数的值域 第9讲 函数的解析式第10讲 函数的表示方法及值域综合复习 第11讲 函数的单调性（1） 第12讲 函数的单调性（2） 第13讲 函数的奇偶性 第14讲 指数运算 第15讲 对数运算第1讲 数与式知识点一：乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 【典型例题】：（1）计算： 22)312(+-x x =___________________________________（2）计算：()222(42)a b a ab b +-+=______________________________ （3）计算()2232(964)x y x xy y +-+ =____________________________ (4)()223(469)x x xy -++=___________________________________ 变式1：利用公式计算（1）)916141(31212++⎪⎭⎫ ⎝⎛-m m m =_______________________(2) ()()2222()()a b a ab b a b a ab b +-+-++=________________________变式2:利用立方和、立方差公式进行因式分解（1） 3327m n - （2）331278m n -（3）3125x - （4） 66m n -【典型例题】（1）)41101251)(2151(22n mn m n m +--（2）已知2310x x -+=，求331x x +的值．（3）已知0=++c b a ，求111111()()()a b c b c c a a b+++++的值． 变式1:计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++变式2:已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．知识点二、根式0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：(1) 2(0)a a =≥a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩0,0)a b =≥≥ 0,0)a b=>≥ 【典型例题】：基本的化简、求值化简下列各式：+1)x +≥=_____________（3）（4）21)(1++--=_______________________+（6）设x y =，求33x y +=_______________________变式1:a =-成立的条件是( )A．0a >B．0a <C．0a ≤ D．a 是任意实数变式2:若3x <|6|x -的值是( ) A．－３B．３C．－９D．９变式3：（1）21)(1++--+知识点三、分式 【典型例题—1】： 1、分式的化简（1）化简233396162279x x x x x x x x++-+-+-- （2）化简11xx x x x-+-2、（1）试证：111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）；（2）计算：1111223910+++⨯⨯⨯； （3）证明：对任意大于1的正整数n ，有11112334(1)2n n +++<⨯⨯+．3、分式的运用设ce a =，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值变式1：对任意的正整数n ，1(2)n n =+______________变式2:选择题：若223x y x y -=+，则x y =（ ）（A）１ （B）54 （C）45 （D）65变式3:计算1111 (12233499100)++++⨯⨯⨯⨯知识点四、因式分解 【内容概述】因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。
在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用。
是一种重要的基本技能。
因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等。
1、【典型例题】：公式法(立方和、立方差公式) 我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+ (立方和公式) 2233()()a b a ab b a b -++=- (立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)。
运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解。
例：(1) 38x +(2) 30.12527b -变式： 分解因式：(1) 34381a b b - (2) 76a ab -2、【典型例题】：分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma mb na nb+++既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．常见题型：（1）分组后能提取公因式 （2）分组后能直接运用公式例：分解因式（1）2105ax ay by bx -+- =_______________________（2） 2222()()ab c d a b cd ---=_______________________（3）22x y ax ay -++ =_______________________（4）2222428x xy y z ++-=_______________________3、【典型例题】：十字相乘法2()x p q x pq +++型的因式分解把下列各式因式分解：（1）276x x -+=_______________________（2） 21336x x ++=_______________________（3）2524x x +-=_______________________（4） 2215x x --=_______________________（5）226x xy y +-=_______________________(6) 222()8()12x x x x +-++=_______________________一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解 (1) 21252x x -- (2) 22568x xy y +-变式练习:（1）x 2-6x+5=_______________________（2）x 2+15x+56=_______________________（3）x 2+2xy-3y 2=_______________________（4）(x 2+x)2-4(x 2+x)-12 =_______________________4、 拆项法(选讲）分解因式3234x x -+ =_______________________课后练习： 1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）；（2）(4m + 22)164(m m =++ )； (3)2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )． （4）若()()22322481x y x xy y y -+++=，则,x y 的值为________ （5）若210x x ++=，则4221x x x ---= ______________（6）12a =，13b =，则2223352a ab a ab b -=+-________________ （7）若2220x xy y +-=，则22223x xy y x y++=+_______________= ）（A）a b < （B）a b > （C）0a b << （D）0b a <<（9 ）计算 ）（C） （D）（10）若112x y -=，则33x xy yx xy y+---的值为( )A．35 B．35- C．5- D．53102m +-0)x y ÷>>3．把下列各式分解因式：(1) 233ax ay xy y -+- (2) 328421x x x +--(3) 251526x x xy y -+-（4）22414xy x y +-- (5) 432234ab b a b a b a --+ (6) 66321x y x --+第2讲 一元二次方程与韦达定理知识点一、一元二次方程根的判别式【典型例题】例1.求下列方程的根（1）0322=-+x x (2) 0122=++x x (3) 0322=++x x例2.判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x 2－3x ＋3＝0； （2）x 2－ax －1＝0； （3） x 2－ax ＋(a －1)＝0 （4）x 2－2x ＋a ＝0．变式练习:已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围：(1) 方程有两个不相等的实数根； (2)方程有两个相等的实数根；(3)方程有实数根； (4) 方程无实数根。