中考冲刺指南(最新版)：第十四讲 解直角三角形
第14讲 等腰三角形与直角三角形(解析)
第十四讲——等腰三角形与直角三角形考向一 等腰三角形的性质1．（2020·青海中考真题）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（ ）A ．55°，55°B ．70°，40°或70°，55°C ．70°，40°D ．55°，55°或70°，40°【答案】D【分析】先根据等腰三角形的定义，分70°的内角为顶角和70°的内角为底角两种情况，再分别根据三角形的内角和定理即可得．【详解】（1）当70°的内角为等腰三角形的顶角,则另外两个内角均为底角，它们的度数为18070552°-°=°（2）当70°的内角为等腰三角形的底角，则另两个内角一个为底角，一个为顶角;底角为70°，顶角为180707040°-°-°=°综上，另外两个内角的度数分别是55,55°°或70,40°°故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的内角和定理，根据等腰三角形的定义，正确分两种情况讨论是解题关键．2．（2020·四川泸州市·中考真题）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将一线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的段GN 的比例中项，即满足MG GN MN MG ==这个数称为“黄金分割”数，把点G 称为线段MN 的“黄金分割”点．如图，在ABC V 中，已知3AB AC ==，4BC =，若D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，则ADE V 的面积为（ ）A ．10-B ．5-CD ．20-【答案】A【分析】作AF ⊥BC ，根据等腰三角形ABC 的性质求出AF 的长，再根据黄金分割点的定义求出BE 、CD 的长度，得到ADE V 中DE 的长，利用三角形面积公式即可解题.【详解】解：过点A 作AF ⊥BC ，∵AB=AC ，∴BF=12BC=2，在Rt ABF V ==，∵D 是边BC 的两个“黄金分割”点，∴CD BC =4CD =，解得CD=2，同理BE=2-，∵CE=BC-BE=4-(，∴S △ABC=12DE AF ´´=()182´10-，故选：A.【点睛】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出DE 和AF 的长是解题的关键。
中考冲刺复习解直角三角形专题1PPT课件
尖山民中 李经刚
1
整体概况
概况一
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01
概况二
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02
概况三
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03
2
正在修建的恩黔高速公路某处需要打通一条隧道， 工作人员为初步估算隧道的长度．现利用勘测 飞机在与A的相对高度为1500米的高空C处测得 隧道进口A处和隧道出口B处的俯角分别为53º 和45º（隧道进口A和隧道出口B在同一海拔高 度），计算隧道AB的长．
C
53° 45°
A
B
第19题图
3
• 在军事上，常用时钟表示方位角（读数对应的 时针方向），如正北为12点方向，北偏西30° 为11点方向。在一次反恐演习中，甲队员在A处 掩护，乙队员从A处沿12点方向以40米/分的速 度前进，2分钟后到达B处。这时，甲队员发现 自己的1点方向的C处有恐怖分子，乙队员发现 C处位于自己的2点方向（如图）。假设距恐怖 分子100米以外为安全位置。
10
（1）求改造前坡顶与地面的 距离BE的长； （2）为确保安全，工厂计划 改造时保持坡脚A不动，坡 顶B沿BC削进到F点处，问 BF至少是多少米？
6
• 如图，线段AB，DC分别表示甲、乙两建筑物的
高．某初三课外兴趣活动小组为了测量两建筑
物的高，用自制测角仪在B外测得D点的仰角为 α，在A处测得D点的仰角为β．已知甲、乙两建 筑物之间的距离BC为m．请你通过计算用含α、 β、m的式子分别表示出甲、乙两建筑物的高度 ．
D
Aβ 乙
甲 α
B
C
7
问答
问题提问与解答
HERE COMES THE QUESTION AND ANSWER SESSION 8
初三下册数学《解直角三角形》知识点整理
初三下册数学《解直角三角形》知识点整理解直角三角形一、锐角三角函数、锐角三角函数定义在直角三角形AB中，∠=900，设B=a，A=b，AB=，锐角A的四个三角函数是：正弦定义：在直角三角形中AB，锐角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦，记作sinA，即sinA=a,余弦的定义：在直角三角行AB，锐角A的邻边与斜边的比叫做角A的余弦，记作sA，即sA=b,正切的定义：在直角三角形AB中，锐角A的对边与邻边的比叫做角A的正切，记作tanA，即tanA=ba，锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切,记作tA即aAAAb的对边的邻边t៕៕锐角A的正弦、余弦，正切、余切都叫做角A的锐角三角函数。
这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条：锐角∠A必须在直角三角形中，且∠=900;在直角三角形AB中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。
否则，不存在上述关系2注意:锐角三角函数的定义应明确a，b，ba，ab四个比值的大小同△AB的三边的大小无关，只与锐角的大小有关，即当锐角A取固定值时，它的四个三角函数也是固定的;sinA不是sinA的乘积，它是一个比值，是三角函数记号，是一个整体，其他三个三角函数记号也是一样;利用三角函数定义可推导出三角函数的性质，如同角三角函数关系，互余两角的三角函数关系、特殊角的三角函数值等;、同角三角函数的关系平方关系：22sin៕S៹倒数关系：tanata=1商数关系：៕= 01;sinst,ssintan注意：这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同事还要注意它们的变形公式。
中考冲刺指南(最新版)：第十四讲 解直角三角形
中考冲刺指南第十四讲解直角三角形班级学号姓名一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出四个选项中，只有一个是正确的．注意可以用多种不同的方法来选取正确的答案．1．（2013•温州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA的值是（C）A．B．C．D．2．（2013•重庆）计算6tan45°﹣2cos60°的结果是（D）43．（2013•太原）如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m 到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为（A）A．100m B．50m C．50m D．m 4．（2013•聊城）河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB 的长为（）455．（2013•杭州）在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边上的高等于（B）A．B．C．D．6．（2012•枣庄）如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则cos∠OBC的值为（B）A．B．C．D．7．（2012•杭州）如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1．若OC∥BA，∠AOC=36°，则（）8．（2013•深圳）如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC 的三个项点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是（D）A．B．C．D．9．（2013•荆门）如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB=45°，则sinC的值为（）A．B．C．D．10．（2012•苏州）已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是（）A．B．C．D．二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整的填写答案．11．（2013•济南）cos30°的值是．12．（2013•鞍山）△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=，则BC的长2．13．（2013•贵港）如图，AB是⊙O的弦，OH⊥AB于点H，点P是优弧上一点，若AB=2，OH=1，则∠APB的度数是60°．14．（2012•铁岭）如图，在东西方向的海岸线上有A、B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/小时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，问乙货船每小时航行2海里．15．（2013•荆门）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sinA=，则DE=．16．（2012•义乌市）如图，已知点A（0，2）、B（，2）、C（0，4），过点C向右作平行于x轴的射线，点P是射线上的动点，连接AP，以AP为边在其左侧作等边△APQ，连接PB、BA．若四边形ABPQ为梯形，则：（1）当AB为梯形的底时，点P的横坐标是；（2）当AB为梯形的腰时，点P的横坐标是0或2．三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．17．（本题6分）（2013•遂宁）计算：|﹣3|+()0302013830tan3π---⋅．解：原式=3+×﹣2﹣1=3+1﹣2﹣1=1．18．（2013•襄阳）如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼上的C处测得旗杆低端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°，如旗杆与教学楼的水平距离CD为9m，则旗杆的高度是多少？（结果保留根号）解：在Rt△ACD中，∵tan∠ACD=，∴tan30°=，∴=，∴AD=3m，在Rt△BCD中，∵tan∠BCD=，∴tan45°=，∴BD=9m，∴AB=AD+BD=3+9（m）．答：旗杆的高度是（3+9）m．19．（本题8分）（2013•黔西南州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径．（1）证明：∵∠C=∠P又∵∠1=∠C∴∠1=∠P∴CB∥PD；（2）解：连接AC∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°又∵CD⊥AB，∴=，∴∠P=∠CAB，∴sin∠CAB=，即=，又知，BC=3，∴AB=5，∴直径为5．20．（2013•湛江）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：sin30°=，cos30°=，则sin230°+cos230°=；①sin45°=，cos45°=，则sin245°+cos245°=；②sin60°=，cos60°=，则sin260°+cos260°=．③…观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A=．④（1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；（2）已知：∠A为锐角（cosA＞0）且sinA=，求cosA．解：sin230°+cos230°=（）2+（）2=+=1；①sin245°+cos245°=（）2+（）2=+=1；②sin260°+cos260°=（）2+（）2=+=1．③观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A=1．④（1）过点B作BD⊥AC于D，则∠ADB=90°．∵sinA=，cosA=，∴sin2A+cos2A=（）2+（）2=，∵∠ADB=90°，∴BD2+AD2=AB2，∴sin2A+cos2A=1．（2）∵sinA=，sin2A+cos2A=1，∠A为锐角，∴cosA==．21．（本题10分）（2013•舟山）某学校的校门是伸缩门（如图1），伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30厘米．校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60°（如图2）；校门打开时，每个菱形的锐角度数从60°缩小为10°（如图3）．问：校门打开了多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin5°≈0.0872，cos5°≈0.9962，sin10°≈0.1736，cos10°≈0.9848）．解：如图，校门关闭时，取其中一个菱形ABCD．根据题意，得∠BAD=60°，AB=0.3米．∵在菱形ABCD中，AB=AD，∴△BAD是等边三角形，∴BD=AB=0.3米，∴大门的宽是：0.3×20≈6（米）；校门打开时，取其中一个菱形A1B1C1D1．根据题意，得∠B1A1D1=10°，A1B1=0.3米．∵在菱形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∠B1A1O1=5°，∴在Rt△A1B1O1中，B1O1=sin∠B1A1O1•A1B1=sin5°×0.3=0.02616（米），∴B1D1=2B1O1=0.05232米，∴伸缩门的宽是：0.05232×20=1.0464米；∴校门打开的宽度为：6﹣1.0464=4.9536≈5（米）．故校门打开了5米．22．（本题12分）（2013•自贡）在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A 的北偏西30°，且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距km的C处．（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．解：（1）∵∠1=30°，∠2=60°，∴△ABC为直角三角形．∵AB=40km，AC=km，∴BC===16（km）．∵1小时20分钟=80分钟，1小时=60分钟，∴×60=12（千米/小时）．（2）作线段BR⊥x轴于R，作线段CS⊥x轴于S，延长BC交l于T．∵∠2=60°，∴∠4=90°﹣60°=30°．∵AC=8（km），∴CS=8sin30°=4（km）．∴AS=8cos30°=8×=12（km）．又∵∠1=30°，∴∠3=90°﹣30°=60°．∵AB=40km，∴BR=40•sin60°=20（km）．∴AR=40×cos60°=40×=20（km）．易得，△STC∽△RTB，所以=，，解得：ST=8（km）．所以AT=12+8=20（km）．又因为AM=19.5km，MN长为1km，∴AN=20.5km，∵19.5＜AT＜20.5故轮船能够正好行至码头MN靠岸．23．（本题12分）(2013年福州市模拟)如图，半径为2的⊙E 交x 轴于A 、B ，交y 轴于点C 、D ，直线CF 交x 轴负半轴于点F ，连接EB 、EC ．已知点E 的坐标为(1，1)，∠OFC ＝30°． (1) 求证：直线CF 是⊙E 的切线； (2) 求证：AB ＝CD ； (3) 求图中阴影部分的面积． 解：(1) 过点E 作EG ⊥y 轴于点G ，∵点E 的坐标为(1，1)，∴EG ＝1． 在Rt △CEG 中，sin ∠ECG ＝EG CE ＝12， ∴∠ECG ＝30°． ∵∠OFC ＝30°，∠FOC ＝90°，∴∠OCF ＝180°－∠FOC －∠OFC ＝60°． ∴∠FCE ＝∠OCF ＋∠ECG ＝90°． 即CF ⊥CE ．∴直线CF 是⊙E 的切线． (2) 过点E 作EH ⊥x 轴于点H ， ∵点E 的坐标为(1，1)，∴EG ＝EH ＝1． 在Rt △CEG 与Rt △BEH 中，∵⎩⎨⎧CE ＝BE EG ＝EH，∴Rt △CEG ≌Rt △BEH ． ∴CG ＝BH ．∵EH ⊥AB ，EG ⊥CD ，∴AB ＝2BH ，CD ＝2CG ． ∴AB ＝CD ． (3) 连接OE ，在Rt △CEG 中，CG ＝CE 2－EG 2＝3， ∴OC ＝3＋1． 同理：OB ＝3＋1．∵OG ＝EG ，∠OGE ＝90°，∴∠EOG ＝∠OEG ＝45°． 又∵∠OCE ＝30°，∴∠OEC ＝180°－∠EOG －∠OCE ＝105°． 同理：∠OEB ＝105°．∴∠OEB ＋∠OEC ＝210°．∴S 阴影＝210×π×22360－12×(3＋1)×1×2＝7π3－3－1．。
2024年中考数学总复习专题18解直角三角形复习划重点 学霸炼技法
叫做坡度(或坡比)，用字母 i 表示；
比)、坡角
坡面与水平面的夹角 α 叫坡角，i＝
h
tan α＝ .如图(3)
l
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专题十八
解直角三角形
中考·数学
一般指以观测者的位置为中心，将正
北或正南方向作为起始方向旋转到目
方向角
标方向所成的角(一般指锐角)，通常
表达成北(南)偏东(西)××度．如图
专题十八
解直角三角形
中考·数学
(2)sin ∠ADC的值．
∵AD 是△ABC 的中线，
1
∴CD＝ BC＝2，∴DE＝CD－CE＝1.
2
∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°，
AE
2
∴sin ∠ADC＝
＝
.
DE
2
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专题十八
解直角三角形
中考·数学
[规律方法]
解此类题的一般方法
(1)构造直角三角形．
(2)理清直角三角形的边、角关系．
(3)利用特殊角的三角函数值解答问题．
第26页
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专题十八
研究4
解题模型分析
解直角三角形
中考·数学
常见解直角三角形模型
■命题角度1：母子型
基本
模型
AB＝AB；BD＋DC＝BC
第27页
BC＝BC；AD＋DB＝AB
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专题十八
解直角三角形
中考·数学
演变
模型
BC＝EF；
解直角三角形
中考·数学
[对接教材]
人教：九下P60～P84；
北师：九下P2～P27；
(名师整理)最新人教版数学冲刺中考《解直角三角形专题突破》考点精讲精练课件
跟踪练习（一）☞
1.如图，sinα的值等于（ C ）
（A） 1 （B）2 2
（C） 5 （D）
5
5
2.如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距
离树的底端30米的B处测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树
OA的高度是（ C ）
A
A.
30
tan
米
B. 3s0in 米
C. 3t0a米 n D. 3c0o 米 s
冲刺中考考点精讲精练
解直角三 三角形
已知函数 值求角度
余弦
三角函数 的计算
坡角、坡度、 俯角、仰角。
三角函数 的定义
正切
坡度
直
三角函数
角
的应用
三
塔高、 梯长、
角
触礁等
形
边
角
关
系
板块（一）锐角三角函数的定义 ☞
三边关系： a 2 b 2 c2 两锐角关系： A B 9 0 0
B
O
板块（二）三角函数的有关计算 ☞
1.填表
三角函数 正弦
余弦
正切
锐角α
sinα cosα tanα
30°
30°
1
3
2
2
45°
2
2
2
2
60°
3
2
1 2
3
3 1
2
2
45 °1
3
45 ┌ 60 ┌
3
°1
°1
随着锐角度数的增大，正弦值逐渐 增大 ；余弦值逐渐 减小 ；
正切值逐渐 增大 。
跟踪练习（二）☞
已知△ABC中,∠C=90, b= 2 3,c=4 ,则∠A=___3_0，° a=___2
初三数学知识点：解直角三角形讲课稿
初三数学知识点：解直角三角形初三数学知识点：解直角三角形老师帮帮忙• [ 初三数学]•题型:解答题在Rt△ABC中∠C=90°∠A=30°BC=1两个动点PQ分别从点C出发，点P沿CA点Q沿CB，BA运动两点同时到达点A（1）点Q的速度是点P的速度的多少倍？（2）设CP=x，△CPQ的面积为S，当Q在BA上运动时，用x的代数式表示S，写出x的取值范围，并求出S的最大值。
这种类型的题我都不太会，请老师帮忙讲一下解这种类型题的技巧问题症结：找不到突破口，请老师帮我理一下思路考查知识点：解直角三角形的类型及应用难度:难解析过程：计算S的极值时，可用配方法，重新整理S规律方法：看起来很复杂，其实就是求三角形的面积，一步步理下去，要耐心，注意不要出错。
知识点：解直角三角形所属知识点：[解直角三角形]包含次级知识点：解直角三角形的类型及应用知识点总结常见考法（1）运用解直角三角形去解决一般三角形、四边形的问题；（2）利用直角三角形的有关知识解决实际问题（除传统的计算距离，高度、角度等，更有一些信息题）。
误区提醒概念不清，忽视条件，不善于把实际问题转化为直角三角形。
【典型例题】（2010年广州中考数学模拟试题(四)）杭州市在规划钱江新城期间，欲拆除钱塘江岸边的一根电线杆AB(如图)，已知距电线杆AB水平距离14米处是河岸，即BD＝14米，该河岸的坡面CD的坡角∠CDF的正切值为2（即tan∠CDF=2），岸高CF为2米，在坡顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E 之间是宽2米的人行道，请你通过计算说明在拆除电线杆AB时，为确保安全，是否将此人行道封上？(在地面上以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域)以上内容转载自/knowledge/10132.html，转载请注明出处。
初三中考总复习——解直角三角形
初三中考总复习——解直角三角形一、 本章地位和复习建议本章“锐角三角函数”属于三角学，是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容．也是中考重要的考点，更是学生高中后续学习的基础。
学习本章不仅可以使学生对函数概念的认识更全面，而且可以对用变化和对应的观点讨论几何图形问题的方法认识得更深入． 复习建议：1．依据考试说明的要求进行复习，注重知识系统全面复习、非重点的A 级知识点适当安排、不漏过，不随意拔高难度；B 级的知识要落实到位；C 级知识要达到灵活运用。
2．教会学生观察复杂的几何图形，善于分解出基本图形，注重总结规律和方法，提高学生的解题能力。
3．针对不同的学生，分层落实，分步达标。
4. 注重对数学思想方法的渗透和复习，特别是方程、数形结合、分类思想在解直角三角形问题中的应用。
1. （1）（2010.13）计算：60tan 342010)31(01--+--. （2）（2011.13）计算：101()2cos30(2)2π--︒-.（3） (2012. 13)计算：()11π32sin 458-⎛⎫-︒- ⎪⎝⎭.（4）(2013. 14) 计算：1)41(45cos 22)31(-+︒--+-.2.（1）(2012. 19)如图，在四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点E 904530BAC CED DCE DE ∠=︒∠=︒∠=︒，，，BE =．求CD 的长和四边形ABCD 的面积．（2）(2013. 19)如图，在□ABCD 中，F 是AD 的中点，延长BC到点E ，使CE=21BC ，连结DE ，CF 。
（1）求证：四边形CEDF 是平行四边形； （2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE 的长。
3.（1）（2009.20）已知：如图，在△ABC 中，AB=AC,AE 是角平分线，BM 平分∠ABC 交AE 于点M,经过B,M 两点的⊙O 交BC 于点G,交AB 于点F,FB 恰为⊙O 的直径. （1）求证：AE 与⊙O 相切； （2）当BC=4,cosC=时，求⊙O 的半径. （2）(2010.20)已知：如图，在△ABC 中，D 是AB 边上一点，⊙O 过D 、 B 、C 三点，∠DOC =2∠ACD =90°. （1）求证：直线AC 是⊙O 的切线； （2）如果∠ACB =75°，⊙O 的半径为2，求BD 的长.（3） (2011.20)如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，点F 在AC 的延长线上，且12CBF CAB ∠=∠．（1）求证：直线BF 是⊙O 的切线； （2）若AB=5，sin CBF ∠=BC 和BF 的长． （4）(2012. 20)已知：如图，AB 是O ⊙的直径，C 是O ⊙上一点，OD BC ⊥于点D ，过点C 作O ⊙的切线，交OD 的延长线于点E ，连结BE ．13（1）求证：BE 与O ⊙相切；（2）连结AD 并延长交BE 于点F ，若9OB =，2sin 3ABC ∠=，求BF 的长．（5）(2013. 20)如图，AB 是⊙O 的直径，PA ，PC 分别与⊙O 相切于点A ，C ，PC 交AB 的延长线于点D ，DE ⊥PO 交PO 的延长线于点E 。
中考数学辅导之—解直角三角形Ⅳ.doc
中考数学辅导之—解直角三角形Ⅳ从本期开始,我们将学习初三几何第六章解直角三角形.它是继直角三角形中的三边之间的关系,即勾股定理、直角三角形两锐角间的关系、直角三角形两锐角互余后,又一关于直角三角形的知识.本章是三角学的起始部分,对很好的解直角三角形有极大用处.一、本次知识要点及说明的问题1.锐角三角函数是关于直角三角形两直角边及斜边和直角三角形的一个锐角间的关系,设α是直角三角形的一个锐角则围绕三边有六个比值,即①斜边的对边α∠;②斜边的邻边α∠;③的邻边的对边αα∠∠;④的对边的邻边αα∠∠;⑤的对边斜边α∠;⑥的邻边斜边α∠.而①②③④这四个线段的比就是初三所学习的正弦、斜弦、正切、余切函数,这四个函数是角α的变化而变化,而与边长无关.如,设α=30°,无论它的对边和斜边多长21=∠斜边的对边α.2.三角函数定义:我们规定①斜边的对边A ∠叫∠A 的正弦.记作斜边的对边A A ∠=sin②斜边的邻边A ∠叫∠A 的余弦.记作斜边的邻边A A ∠=cosBα∠的对边α∠的邻边BA ∠的对边A ∠的邻边③的邻边的对边A A ∠∠叫∠A 的正切.记作的邻边的对边A A tgA ∠∠=④的对边的邻边A A ∠∠叫∠A 的余切.记作的对边的邻边A A tgA ∠∠=这四个三角函数定义是人们规定的,不能问为什么这样规定?这四个函数定义是本章重点中的重点,要达到①在直角三角形中,给我们一个锐角,我们知道这个角的正弦,余弦,正切,余切是哪两条线段的比.反之②在直角三角形中给我们两条线段的比,我们知道是哪个锐角的什么函数.a b ctgA b a tgA cb Ac a A ====,cos ,sin的什么函数是BDC BDCD∠因为CD 是∠BDC 的邻边,BD 是斜边,BD CD 是∠BDC 的邻边比斜边,所以BDCD是∠BDC 的余弦.3.特殊角的三角函数值①∠A=30°此时,设x AC x AB x BC 3,2,===则则2123030sin sin =====x x AB BC A 斜边的对边23233030cos cos =====x x AB AC A 斜边的邻边333303030=====xx AC BC tg tgA 的邻边的对边33303030=====x xBCAC ctg tgA 的对边的邻边B②∠A=45°此时,x AB x AC BC 2,=== 则22245sin sin ====x x AB BC A 22245cos cos ====xx AB AC A 145====x xAC BC tg tgA 145====xxBC AC ctg ctgA③∠A=60°此时设x BC x AB x AC 3,2,=== 则232360sin sin ====x x AB BC A 21260cos cos ====x x AB AC A 3360====xxAC BC tg tgA 33360====xx BC AC ctg ctgA4.互为余角的函数关系式:90°-∠A 与∠A 是互为余角.有A A cos )90sin(=- A A sin )90cos(=- ctgA A tg =-)90( tgA A ctg =-)90(通过这四个关系式,可以将正,余弦互化,正切与余切互化. 如 50cos 40sin = 8451sin 2138cos '=' 4842ctg tg = 04540235'=' tg ctg5.四个三角函数性质当∠A 从30°增长到45°,再增长到60°,它的正弦值从21增到22,再增到23.说明正弦值随着∠A 的增大而增大.即两个锐角,大角的正弦大,反之两个锐角的正弦值比较,正弦值越大,角越大.如 48sin 50sin >.同理正切函数也具有相同的性质,如tg53°>tg40°,再比如比较tg40°和ctg40°的大小,将ctg40°化成tg50°.∵tg40°<tg50°,∴tg40°<ctg40°.已知βαtg tg >,则一定有βα>的结论.再如?,s i n 21)21(s i n 2等于多少度ααα-=- 解: 21sin ,sin 21|21sin |)21(sin 2≤-=-=-αααα说明30,30sin ≤∴≤αα而余弦,余切则是函数值随着角度的增大而减小,即角越大,余弦(切)值越小,反之余弦(切)值越大,它的角越小.如cos40°>cos50° ctg20°>ctg50°若 60,60cos cos 21cos <∴>>ααα即比较两个函数值的大小,通常化成同名函数,再根据性质比较大小.例1:已知2)cos (sin ,450ααα-<<化简 解:|cos sin |)cos (sin 2αααα-=- αααcos sin ,450<∴<< 比如αααααcos sin ,23cos ,21sin ,30<== . 再如 50sin 40cos cos ,40sin sin ,40====ααα ααcos sin ,40cos 40sin <∴< 所以ααααsin cos |cos sin |-=-例2:已知2)cos (sin ,9045ααα-<<化简 解:|cos sin |)cos (sin 2αααα-=- αααcos sin ,9045>∴<< (在α的取值范围内任取2个角验证即可) ααααcos sin |cos sin |-=-∴ 例3.如已知ααα求,cos 23)23(cos 2-=-的取值范围. 解:αααcos 23|23cos |)23(cos 2-=-=-说明 30cos cos 23cos ≤≤αα即 30≥∴α上述四个函数的性质掌握起来较难,要想法弄懂,多思,多练.6.同角间的三角函数恒等式①平方关系 1cos sin 22=+αα ②倒数关系 1=⋅ααctg tg③比的关系 ααααααsin cos ,cos sin ==ctg tg 在这四个关系中,①②用的最多. 7.正余弦值的取值范围 1cos 0,1sin 0<<<<αα二、本次练习 (一)判断题1.015cos 75sin =- .( )2.在Rt ΔABC 中,∠C=90°,a,b,c 分别∠A,∠B,∠C 的对边则c bB c a A ==c o s ,s i n .( )3.已知βα,是锐角,若βαβα>>则,sin sin .( )4.直角三角形ABC 中,各边都扩大2倍,则正弦值也扩大2倍.( )5.若α是锐角, 60,30cos sin ==αα则.( )6.当αααααsin cos )cos (sin ,4502-=-<<时 ( ) (二)填空题 1.若ααcos ,23)90sin(则=- =______. 2.α是直角三角形的一个锐角,如果方程04cos 3cos 10102=+--ααx x 有两个相等实根,则αsin =______.3.若2)(,9045αααctg tg -<<化简 的结果是______.4.如果αα则,135)12(=⋅+ tg tg =______度.5.在Rt ΔABC 中,两直角边分别是2525-+和,则最大锐角的余弦值是______.6.计算 30sin 43030cos 6045cos 222+-⋅+tg tg 的值是______.7.已知0|3|)1c o s 2(,2=-+-βαβαtg 是锐角,则ββαctg tg -⋅sin 的值是______.8.若αα则,033=-ctg =______度.9.在Rt ΔABC 中,∠C=90°,A BC AC sin ,22,24则=== ______.10.βα,是锐角,且23)15cos(,23sin =-=βα,则3βα+=______. 11.在Rt ΔABC 中,∠C=Rt ∠,则A sin =______,ABAC是∠A 的______函数. 12.若α是锐角,且21cos )21(cos 2-=-αα,则α的取值范围是______.13.化简|154sin |36sin 12-+- 的结果是______.14.已知等腰三角形的两边分别是10,14.则底角的余弦值是______. 15.已知αα,0sin 2=-m 是锐角,则m 的取值范围是______.(三)选择填空:1.若αααcos ,sin ,450则 <<的大小关系是:A.ααcos sin >B.ααcos sin <C.ααcos sin =D.大小不确定2.在Rt ΔABC 中,∠C=90°,βcos ,31sin 则=A 等于:A.31B.32C.32D.3223.已知n m n m ,,cos sin ,cos sin 则=⋅=+αααα的关系是: A. m=n B. m=2n+1 C. m 2=2n+1 D. m 2=-2n+14.下列不等式正确的是: A. 4848cos 48sin tg << B. 48cos 4848sin <<tg C. 48cos 48sin 48<<tg D. 4848sin 48cos tg <<5.在Rt ΔABC 中,∠C=90°,a,b,c 是∠A,∠B,∠C 的对边.下列关系错误的是: A.B c b cos ⋅= B.tgB a b ⋅= C.A c a sin ⋅= D.ctgB b a ⋅=6.使式子)(31是锐角αα-ctg 有意义的条件是:A. 30>αB. 60>αC. 30<αD. 6030<<α(四)计算下列各式:1.3852330sin 45cos 30sin 45cos tg tg ⋅++- 2.30cos 160sin 160cos ++ 3.60sin 30sin 45cos 604545sin 2--+tg tg 4.48sin 5842sin 3260sin 32605860222⋅+⋅⋅-⋅-tg ctg ctg ctg tg tg三、本期答案 (一)判断题:1.√2.×3.√4.×5.√6.√ (二)填空题: 1.23 2.533.ααctg tg =4. 43=α5.14727-6.387.3618.30°9.55 10.75° 11.ABBC 余弦 12. 600≤<α 13. 1 14.145107或 15.20<<m(三)选择题1.B2.A3.C4.D5.A6.C (四)计算题1.226-2.3312- 3.6 4.633+。
中考冲刺第14天——解直角三角形
中考冲刺第14天——解直角三角形考点：1．了解：锐角三角函数；仰角、俯角、坡度、坡角、方向角的概念2．理解：特殊角的三角函数值3．会：知道什么是正弦、余弦、正切4．掌握：解直角三角形的应用步骤5．能：熟记特殊角的三角函数值，并能准确运算．审题、画图、解直角三角形题型：1．从考查的题型来看，涉及本知识点的主要以填空题或选择题的形式考查,属于中低档题,较为简单,少数以解答题形式考查,属于中档题,难度一般2．从考查内容来看,涉及本知识点的主要有：锐角三角函数；特殊角的三角函数值；解直角三角形的应用3．从考查热点来看,涉及本知识点的主要有：锐角三角函数；解直角三角形的实际生活应用 知识点：1．锐角三角函数的定义（1）在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =c ，BC =a ，AC =b.正弦：sin A==A a c ∠的对边斜边，余弦：cos A ==A b c ∠的邻边斜边，正切：tan A ==A a A c∠的对边∠的邻边. （2）锐角三角函数的计算αsin α cos α tan α 30°12 32 33 45°22 22 1 60°32 12 32．解直角三角形（1）解直角三角形的常用关系在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =c ，BC =a ，AC =b ，则①三边关系：a 2+b 2=c 2；②两锐角关系：∠A +∠B =90°；③边与角关系：sin A =cos B =a c ，cos A =sin B =b c ，tan A =a b；④sin 2A ＋cos 2A =1.3．解直角三角形的实际运用（1）仰角和俯角仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角（2）坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i =h :l .坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i =tan α.坡度越大，α角越大，坡面越陡. （3）方向角（或方位角）指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角.方法归纳：解这类问题的关键是构造直角三角形，应用锐角三角函数解题．所构造的直角三角形与已知条件或图形关系要密切.一般在直角三角形中，根据所给的边和角度，选用适当的锐角三角函数，求出有关的边和角.在现实生活中, 有许多和解直角三角形有关的实际问题，如航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等，解决这类问题其关键是把具体问题抽象成“直角三角形”模型，利用直角三角形的边角关系以及勾股定理来解决.真题：1．（柳州中考）在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =4，AC =3，则cos B =BC AB=（ ）A ．35B ．45CD ．342．（山东中考）如图，△ABC 、△FED 区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB 与地面BE 的央角∠PBE ＝43°，视线PE 与地面BE 的夹角∠PEB ＝20°，点A ，F 为视线与车窗底端的交点，AF //BE ，AC ⊥BE ，FD ⊥BE ．若A 点到B 点的距离AB ＝1.6m ，则盲区中DE 的长度是（ ）（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）A ．2.6mB ．2.8mC ．3.4mD ．4.5m3．（贵州中考）如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D 处测得旗杆顶端A 的仰角ADE ∠为55°，测角仪CD 的高度为1米，其底端C 与旗杆底端B 之间的距离为6米，设旗杆AB 的高度为x 米，则下列关系式正确的是（ ）A ．6tan 551x ︒=-B ．1tan 556x -︒=C ．1sin 556x -︒=D ．1cos556x -︒=4．（辽宁中考）如图，小明在一条东西走向公路的O 处，测得图书馆A 在他的北偏东60︒方向，且与他相距200m ，则图书馆A 到公路的距离AB 为（ ）A ．100mB ．C ．D m 5．（内蒙古中考）如图，A 经过平面直角坐标系的原点O ，交x 轴于点B (–4，0)，交y 轴于点C (0，3)，点D 为第二象限内圆上一点.则∠CDO 的正弦值是（ ）A ．35B ．34-C ．34D ．456．（山东中考）如图，在矩形ABCD 中，点E 在DC 上，将矩形沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处．若AB ＝3，BC ＝5，则tan ∠DAE 的值为（ ）A ．12B ．920C ．25D ．137．（四川中考）在Rt ACB 中，900.5C sinB ∠=︒=，，若6AC =，则BC 的长为（ ）A ．8B ．12C ．D ．8．（山东中考）如图，矩形ABCD 的四个顶点分别在直线3l ，4l ，2l ，1l 上．若直线1234//////l l l l 且间距相等，4AB =，3BC =，则tan α的值为（ ）A ．38 B ．34 C D ．159．（吉林中考）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点B ，塔身中心线AB 与垂直中心线AC 的夹角为A ∠，过点B 向垂直中心线AC 引垂线，垂足为点D ．通过测量可得AB 、BD 、AD 的长度，利用测量所得的数据计算A ∠的三角函数值，进而可求A ∠的大小．下列关系式正确的是（ ） A ．sin BD A AB = B ．cos AB A AD = C ．tan AD A BD = D ．sin AD A AB= 10．（广西中考）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，则cos A 的值是_____．11．（贵州中考）如图所示，在四边形ABCD 中，90B ∠=︒，2AB =，8CD =．连接AC ，AC CD ⊥，若1sin 3ACB ∠=，则AD 长度是_________． 12．（湖南中考）计算：sin 45︒=________．13．（南通中考）如图，测角仪CD 竖直放在距建筑物AB 底部5m 的位置，在D 处测得建筑物顶端A 的仰角为50°．若测角仪的高度是1.5m ，则建筑物AB 的高度约为_____m ．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）14．（济南中考）计算：0112sin3022π-⎛⎫⎛⎫-︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．15．（兰州中考）计算：201()(3)1tan 452π--+-++︒ 16．（日照中考）阅读理解：如图1，Rt △ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，∠C ＝90°，其外接圆半径为R ．根据锐角三角函数的定义：sin A ＝a c ，sin B ＝bc ，可得sin a A ＝sin b B ＝c ＝2R ，即：sin a A ＝sin b B ＝sin c C＝2R ，（规定sin90°＝1）．探究活动：如图2，在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，其外接圆半径为R ，那么：sin a A sin b Bsin c C（用＞、＝或<连接），并说明理由． 事实上，以上结论适用于任意三角形．初步应用：在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，∠A ＝60°，∠B ＝45°，a ＝8，求 B ．综合应用：如图3，在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔CD 的高度，在A 处用测角仪测得塔顶C 的仰角为15°，又沿古塔的方向前行了100m 到达B 处，此时A ，B ，D 三点在一条直线上，在B 处测得塔顶C 的仰角为45°，求古塔CD 的高度（结果保留小数点后一位）．，sin15°＝417．（泰州中考）我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面15m 的A 处测得在C 处的龙舟俯角为23︒；他登高6m 到正上方的B 处测得驶至D 处的龙舟俯角为50︒，问两次观测期间龙舟前进了多少？（结果精确到1m ，参考数据：tan 230.42︒≈，tan 400.84︒≈，tan 50 1.19︒≈，tan 67 2.36︒≈）18．（葫芦岛中考）如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度AB ，在观测点C 处测得大桥主架顶端A 的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点B 的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离CM 为60米，且AB 垂直于桥面．（点,,,A B C M 在同一平面内）（1）求大桥主架在桥面以上的高度AM ；（结果保留根号）（2）求大桥主架在水面以上的高度AB ．（结果精确到1米）（参考数据sin140.24,cos140.97,tan14 1.73︒︒︒≈≈≈≈）培训班内部题:1．（天津一模）计算3tan30°的值等于（ ）A B ．C D ．322．（2021·河北石家庄市·九年级一模）如图，⊙O 的半径为5，弦AB ＝8，D 是优弧AB 上一点，则sin D ＝（ ）A ．45 B ．58 C ．85 D ．353．（石家庄一模）如图，从点C 观测建筑物BD 的仰角是（ ）A ．ADC ∠B ．DAB ∠C ．DCA ∠D ．DCE ∠4．（重庆一模）山城重庆的美景吸引了很多游客，越来越多的人喜欢用无人机拍摄网红景点．如图，为了拍摄坡比为1：2.4的斜坡AB 上的景点A ，航拍无人机先从C 点俯拍，此时的俯角为37°，为取得更震撼的拍摄效果，无人机升高100米到达D 点，此时的俯角变为45°．已知坡AB 的长为65米，则无人机与斜坡AB 的坡底B 的水平距离BE 的长度为（ ）米．（参考数据：tan37°≈0.75，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80） A ．335 B ．340 C ．345 D ．3505．（九龙坡一模）计算：（﹣12）﹣2﹣tan45°＝_____．6．（陕西模拟）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，BC =点M 、N 分别在AD ，BC 上，且AM CN =，点P 在CD 上（且不与点D ，C 重合），当MP PN +最小时，tan MPN ∠的值是___．7．（2021·辽宁鞍山市·九年级一模）如图，小岛A 在港口P 的南偏西37︒方向，距离港口81海里处，甲船从A 出发，沿AP 方向以9海里/时的速度驶向港口，乙船从港口P 出发，沿南偏东60︒方向，以18海里/时的速度驶离港口，现两船同时出发，（3sin 375︒≈，4cos375≈︒，3tan 374︒≈） （1）出发后几小时两船与港口P 的距离相等？（2）出发后几小时乙船在甲船的正东方向？8．（南京一模）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点O 在边BC 上，以点O 为圆心，OB 为半径的⊙O 交AB 于点E ，D 为⊙O 上一点，点B 是弧DE 中点．（1）如图1，若AE ＝BE ，求证：四边形ACDE 是平行四边形；（2）如图2，若OB ＝OC ，BE ＝2AE ，求tan ∠CAD 的值．9．（江西模拟）图1是小辉家一款家用落地式取暖器，如图2是其竖直放置在水平地面上时的侧面示意图，其中矩形ABCD 是取暖器的主体，四边形BEFC 是底座．已知//BC EF ，30∠=∠=︒BEF CFE ，且BE CF =，烘干架连杆GH 可绕边CD 上一点H 旋转，以调节角度．已知52cm =CD ，8cm BC =，20cm EF =，12cm DH =，16cm =GH ．（1）求BE 的长；（精确到0.1cm 1.73≈）（2）当53GHD ∠=︒时，求点G 到地面EF 的距离．（精确到0.1cm ，参考数据：sin 530.80︒≈，cos 530.60︒≈，tan 53 1.33︒≈）专家押题：1．已知在Rt ABC 中，90C ∠=︒，B α∠=，2AC =，则AB 的长为（ ）A ．2sin αB ．2sin αC ．2cos αD ．2cos α2．如图的网格中每个小正方形的边长均相等，点A 、B 、C 都在格点上，则sin ∠ABC 的值为（ ）A ．13B ．2C D3．今年春天，红梅、李花、桃花争相盛开，重庆“开往春天的列车”火爆全网．重庆育才中学初三学生小陶来到佛图关公园附近的观景台上开展数学实践活动．如图，轻轨站上停靠着一辆长度为200米的轻轨列车AB ，小陶从轨道正上方观景台C 处先沿直线步行一段距离到达点D 处后，他再沿着坡度为i ＝1：2.4的斜坡DE 走了28.6米到另﹣观景台点E 处，在点E 处测得停靠在车站的轻轨车头端点A 的俯角为50°，测得车尾端点B 的俯角为14度．如图，若点A 、B 、C 、D 、E 、F 在同一平面内，点A 、B 、F 在同一水平线上，则观景台C 点距离轻轨轨道的竖直高度CF 约为（ ）米．（结果保留一位小数，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.9，tan14°≈0.25；sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）A ．39.1B ．47.3C ．52.2D ．63.24．如图，将矩形ABCD 沿直线AC 折叠，使点B 落在点E 处，连接DE ，若DE ：AC ＝3：5，则tan ∠ACD的值为（ ）A ．12 B ．2 C ．3 D ．235．共享单车为市民出行提供了便利．图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB 与地面平行，点A 、B 、D 共线，点D 、F 、G 共线，坐垫C 可沿射线BE 方向调节．已知，70ABE ∠=︒，45EAB ∠=︒，车轮半径为30cm ，40cm BE =，小明体验后觉得当坐垫C 离地面高度为90cm 时骑着比较舒适，此时CE 的长约为（ ）（结果精确到1cm ，参考数据：sin 700.9︒≈，cos700.3︒≈，tan 70 1.4︒≈） A ．25cm B ．27cm C ．22cm D ．20cm6．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 和点D 是⊙O 上位于直径AB 两侧的点，连接AC ，AD ，BD ，CD ，若⊙O 的半径是5，BD ＝8，则cos ∠ACD 的值是_____．7．如图，在正方形ABCD 外作等腰直角三角形90CDE CED DE CE ∠=︒=,,，连接BE ，则tan DEB ∠=_________．8．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，点O 是AC 上一点，以OC 为半径的⊙O 与AB 相切于点D ，弦DE AC ⊥于点F ，连接CE ．（1）若8AC =，6BC =，求⊙O 的半径；（2）若//CE AB ，求sin A 的值． 9．在一次课外综合实践活动中，甲、乙两位同学测量校园内的一棵大树的高度，他们分别在A ，B 两处用高度为1.5m 的测角仪（AE 和BD ）测得大树顶部C 的仰角分别为30°，45°，两人间的水平距离()AB 为20m ，已知点A ，E ，F ，C ，B ，D 在同一竖直平面内，且FC AB ⊥，求大树的高度CF ．（结果保留根号）10．如图，在△ABC 中，AC =BC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 边于点D ，过D 作⊙O 的切线交BC 于点E ． （1）证明：∠CDE =∠ABD ；（2）若AB =26，sin ∠CDE =513，求DC 的长．11．如图，O 是ABC 的外接圆，AB 是O 的直径，DCA B ∠=∠．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若DE AB ⊥，垂足为,E DE 交AC 于点3,10,tan 4F CD A ==，求CF 的长．。
九年级中考数学知识点总结--解直角三角形
九年级中考数学知识点总结--解直角三角形直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余。
表示为：∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
表示为：∵∠C=90°∠A=30°∴BC=21AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
表示为：∵∠ACB=90°，D 为AB 的中点 ； ∴ CD=21AB=BD =AD 4、勾股定理：222c b a =+5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD ∙=2 ，AB AD AC ∙=2， AB BD BC ∙=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得：AB ∙CD=AC ∙BC 锐角三角函数的概念1、 如图，在△ABC 中，∠C=90°c a sin =∠=斜边的对边A A c bcos =∠=斜边的邻边A Ab atan =∠∠=的邻边的对边A A Aabcot =∠∠=的对边的邻边A A A2、锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数3、锐角三角函数的取值范围：0 sinα≤1，0≤cosα≤1，tanα≥0，cotα≥0.ACBD锐角三角函数之间的关系（1）平方关系 1cos sin 22=+A A （2）弦切关系tanA=AAcos sin 特殊角的三角函数值α sinα cosα tanα 30° 45° 60°说明：锐角三角函数的增减性，当角度在0°~90°之间变化时. （1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
2024年中考数学一轮复习考点课件 解直角三角形及其应用
米，CD＝0.5米，请计算窗户的高度AB（结果精确到0.1米，参考数据：
tan48°≈1.11，tan63°≈1.96，sin48°≈0.74，sin63°≈0.89）.
解：如图，由题意知，△AFE和△BNE都是直角三角
形，EF＝OD＝2米，EN＝OC＝OD＋CD＝2＋0.5＝2.5
＝3.92－2.775≈1.1（米）.∴ 窗户的高度AB约为1.1米
第6题答案
强化练习
1. （2023·天津）计算sin45°＋
1
2
3
4
B）
C. 3
B. 2
A. 1
2
的值为（
2
5
6
7
8
9
D. 2
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2. （2023·六安金寨一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直
角函数值.
考点三
解直角三角形
典例7 （2023·宿州萧县三模）如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝2，
3
sinB＝ ，则AC的长为（
5
B）
典例7图
A. 3
B. 13
C. 2 3
D. 4
典例8
4
如图，在△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝ ，
5
BF为边AD上的中线.求：
（1） AC的长.
图
形
概
念
定
义
一般指以观测者的位置为中心，将正北
或正南方向作为起始方向旋转到目标方
向线所成的角（一般指锐角），通常表
中考解直角三角形知识点整理复习
中考解直角三角形知识点整理复习直角三角形是指角度为90度的三角形。
在中考中，解直角三角形是一个重要的考点，需要掌握的知识点包括勾股定理、三角函数的定义和性质以及相关应用。
以下是解直角三角形的知识点整理和复习材料。
一、勾股定理勾股定理是解直角三角形中最基础的定理，也是解题的基础。
勾股定理的表达式为：a²+b²=c²其中，a、b为直角边的长度，c为斜边的长度。
二、三角函数的定义和性质1.正弦函数正弦函数的定义为：sinA = 对边/斜边sinA的性质：（1）sinA在0°~90°区间内递增；（2）sinA在90°~180°区间内递减；（3）sinA在对称轴x=90°处对称。
2.余弦函数余弦函数的定义为：cosA = 邻边/斜边cosA的性质：（1）cosA在0°~90°区间内递减；（2）cosA在90°~180°区间内递增；（3）cosA在对称轴x=90°处对称。
3.正切函数正切函数的定义为：tanA = 对边/邻边tanA的性质：（1）tanA在0°~90°区间内递增；（2）tanA在90°~180°区间内递减；（3）tanA在对称轴x=90°处对称。
4.三角函数的相互关系正弦函数与余弦函数、正切函数的关系：（1）sinA = cos(90° - A)（2）cosA = sin(90° - A)（3）tanA = 1/cotA三、特殊角的三角函数值1.30°角的三角函数值sin30° = 1/2, cos30° = √3/2, tan30° = 1/√32.45°角的三角函数值sin45° = cos45° = 1/√2, tan45° = 13.60°角的三角函数值sin60° = √3/2, cos60° = 1/2, tan60° = √3四、应用题1.判断直角三角形当三条边满足勾股定理时，即a²+b²=c²，可以判断为直角三角形。
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中考冲刺指南第十四讲解直角三角形班级学号姓名一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出四个选项中，只有一个是正确的．注意可以用多种不同的方法来选取正确的答案．1．（2013•温州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA的值是（C）A．B．C．D．2．（2013•重庆）计算6tan45°﹣2cos60°的结果是（D）43．（2013•太原）如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m 到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为（A）A．100m B．50m C．50m D．m 4．（2013•聊城）河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB 的长为（）455．（2013•杭州）在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边上的高等于（B）A．B．C．D．6．（2012•枣庄）如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则cos∠OBC的值为（B）A．B．C．D．7．（2012•杭州）如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1．若OC∥BA，∠AOC=36°，则（）8．（2013•深圳）如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC 的三个项点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是（D）A．B．C．D．9．（2013•荆门）如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB=45°，则sinC的值为（）A．B．C．D．10．（2012•苏州）已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是（）A．B．C．D．二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整的填写答案．11．（2013•济南）cos30°的值是．12．（2013•鞍山）△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=，则BC的长2．13．（2013•贵港）如图，AB是⊙O的弦，OH⊥AB于点H，点P是优弧上一点，若AB=2，OH=1，则∠APB的度数是60°．14．（2012•铁岭）如图，在东西方向的海岸线上有A、B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/小时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，问乙货船每小时航行2海里．15．（2013•荆门）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sinA=，则DE=．16．（2012•义乌市）如图，已知点A（0，2）、B（，2）、C（0，4），过点C向右作平行于x轴的射线，点P是射线上的动点，连接AP，以AP为边在其左侧作等边△APQ，连接PB、BA．若四边形ABPQ为梯形，则：（1）当AB为梯形的底时，点P的横坐标是；（2）当AB为梯形的腰时，点P的横坐标是0或2．三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．17．（本题6分）（2013•遂宁）计算：|﹣3|+()0302013830tan3π---⋅．解：原式=3+×﹣2﹣1=3+1﹣2﹣1=1．18．（2013•襄阳）如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼上的C处测得旗杆低端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°，如旗杆与教学楼的水平距离CD为9m，则旗杆的高度是多少？（结果保留根号）解：在Rt△ACD中，∵tan∠ACD=，∴tan30°=，∴=，∴AD=3m，在Rt△BCD中，∵tan∠BCD=，∴tan45°=，∴BD=9m，∴AB=AD+BD=3+9（m）．答：旗杆的高度是（3+9）m．19．（本题8分）（2013•黔西南州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径．（1）证明：∵∠C=∠P又∵∠1=∠C∴∠1=∠P∴CB∥PD；（2）解：连接AC∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°又∵CD⊥AB，∴=，∴∠P=∠CAB，∴sin∠CAB=，即=，又知，BC=3，∴AB=5，∴直径为5．20．（2013•湛江）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：sin30°=，cos30°=，则sin230°+cos230°=；①sin45°=，cos45°=，则sin245°+cos245°=；②sin60°=，cos60°=，则sin260°+cos260°=．③…观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A=．④（1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；（2）已知：∠A为锐角（cosA＞0）且sinA=，求cosA．解：sin230°+cos230°=（）2+（）2=+=1；①sin245°+cos245°=（）2+（）2=+=1；②sin260°+cos260°=（）2+（）2=+=1．③观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A=1．④（1）过点B作BD⊥AC于D，则∠ADB=90°．∵sinA=，cosA=，∴sin2A+cos2A=（）2+（）2=，∵∠ADB=90°，∴BD2+AD2=AB2，∴sin2A+cos2A=1．（2）∵sinA=，sin2A+cos2A=1，∠A为锐角，∴cosA==．21．（本题10分）（2013•舟山）某学校的校门是伸缩门（如图1），伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30厘米．校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60°（如图2）；校门打开时，每个菱形的锐角度数从60°缩小为10°（如图3）．问：校门打开了多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin5°≈0.0872，cos5°≈0.9962，sin10°≈0.1736，cos10°≈0.9848）．解：如图，校门关闭时，取其中一个菱形ABCD．根据题意，得∠BAD=60°，AB=0.3米．∵在菱形ABCD中，AB=AD，∴△BAD是等边三角形，∴BD=AB=0.3米，∴大门的宽是：0.3×20≈6（米）；校门打开时，取其中一个菱形A1B1C1D1．根据题意，得∠B1A1D1=10°，A1B1=0.3米．∵在菱形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∠B1A1O1=5°，∴在Rt△A1B1O1中，B1O1=sin∠B1A1O1•A1B1=sin5°×0.3=0.02616（米），∴B1D1=2B1O1=0.05232米，∴伸缩门的宽是：0.05232×20=1.0464米；∴校门打开的宽度为：6﹣1.0464=4.9536≈5（米）．故校门打开了5米．22．（本题12分）（2013•自贡）在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A 的北偏西30°，且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距km的C处．（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．解：（1）∵∠1=30°，∠2=60°，∴△ABC为直角三角形．∵AB=40km，AC=km，∴BC===16（km）．∵1小时20分钟=80分钟，1小时=60分钟，∴×60=12（千米/小时）．（2）作线段BR⊥x轴于R，作线段CS⊥x轴于S，延长BC交l于T．∵∠2=60°，∴∠4=90°﹣60°=30°．∵AC=8（km），∴CS=8sin30°=4（km）．∴AS=8cos30°=8×=12（km）．又∵∠1=30°，∴∠3=90°﹣30°=60°．∵AB=40km，∴BR=40•sin60°=20（km）．∴AR=40×cos60°=40×=20（km）．易得，△STC∽△RTB，所以=，，解得：ST=8（km）．所以AT=12+8=20（km）．又因为AM=19.5km，MN长为1km，∴AN=20.5km，∵19.5＜AT＜20.5故轮船能够正好行至码头MN靠岸．23．（本题12分）(2013年福州市模拟)如图，半径为2的⊙E 交x 轴于A 、B ，交y 轴于点C 、D ，直线CF 交x 轴负半轴于点F ，连接EB 、EC ．已知点E 的坐标为(1，1)，∠OFC ＝30°． (1) 求证：直线CF 是⊙E 的切线； (2) 求证：AB ＝CD ； (3) 求图中阴影部分的面积． 解：(1) 过点E 作EG ⊥y 轴于点G ，∵点E 的坐标为(1，1)，∴EG ＝1． 在Rt △CEG 中，sin ∠ECG ＝EG CE ＝12， ∴∠ECG ＝30°． ∵∠OFC ＝30°，∠FOC ＝90°，∴∠OCF ＝180°－∠FOC －∠OFC ＝60°． ∴∠FCE ＝∠OCF ＋∠ECG ＝90°． 即CF ⊥CE ．∴直线CF 是⊙E 的切线． (2) 过点E 作EH ⊥x 轴于点H ， ∵点E 的坐标为(1，1)，∴EG ＝EH ＝1． 在Rt △CEG 与Rt △BEH 中，∵⎩⎨⎧CE ＝BE EG ＝EH，∴Rt △CEG ≌Rt △BEH ． ∴CG ＝BH ．∵EH ⊥AB ，EG ⊥CD ，∴AB ＝2BH ，CD ＝2CG ． ∴AB ＝CD ． (3) 连接OE ，在Rt △CEG 中，CG ＝CE 2－EG 2＝3， ∴OC ＝3＋1． 同理：OB ＝3＋1．∵OG ＝EG ，∠OGE ＝90°，∴∠EOG ＝∠OEG ＝45°． 又∵∠OCE ＝30°，∴∠OEC ＝180°－∠EOG －∠OCE ＝105°． 同理：∠OEB ＝105°．∴∠OEB ＋∠OEC ＝210°．∴S 阴影＝210×π×22360－12×(3＋1)×1×2＝7π3－3－1．。