考研数学定理声明.doc
上海市考研数学复习资料微积分重要定理证明
上海市考研数学复习资料微积分重要定理证明微积分是数学的一个重要分支，它研究函数的变化和计算与数学模型相关的问题。
在上海市考研数学复习中，微积分占据了重要的位置。
本文将介绍微积分中的一些重要定理的证明。
一、极限定理1.1 极限的定义对于一个函数f(x)，当x无限接近于某个实数a时，如果f(x)的值无限接近于L，那么我们称L为函数f(x)在x=a处的极限，记作lim(x->a)f(x)=L。
1.2 极限的唯一性定理假设函数f(x)在x=a处的极限存在且为L，如果还有另一个数M也是函数f(x)在x=a处的极限，那么L=M。
证明：假设lim(x->a)f(x)=L，同时lim(x->a)f(x)=M。
根据极限的定义，我们可以得出以下结论：对于任意给定的正数ε1，存在对应的正数δ1，使得当0＜|x-a|＜δ1时，有|f(x)-L|＜ε1。
对于任意给定的正数ε2，存在对应的正数δ2，使得当0＜|x-a|＜δ2时，有|f(x)-M|＜ε2。
选择ε=min(ε1,ε2)，对于这个选定的ε，存在对应的正数δ=min(δ1,δ2)，使得当0＜|x-a|＜δ时，有同时满足|f(x)-L|＜ε和|f(x)-M|＜ε。
根据三角不等式，我们可以得出：|L-M|≤|f(x)-L|+|f(x)-M|＜2ε。
由于2ε>0，而L和M的差是一个常数，根据数学的基本性质，我们可以确定L和M是相等的，即L=M。
二、导数定理2.1 导数的定义对于一个函数f(x)，如果它在某个点a的邻域内有定义，并且当x 无限接近于a时，函数的增量f(x)-f(a)与x-a之比的极限存在，那么这个极限称为函数f(x)在点a处的导数，记作f'(a)或df(x)/dx(a)。
2.2 导数的和差积规则假设函数u(x)和v(x)在点x处都可导，那么(u(x)+v(x))' = u'(x) +v'(x)。
证明：根据导数的定义，可以得到下面的等式：(u(x)+v(x))' = lim(Δx->0)[(u(x+Δx)+v(x+Δx)) - (u(x)+v(x))]/Δx。
考研数学必考的定理证明整理
考研数学必考的定理证明整理在考研数学中，有一些定理是非常重要且必考的，掌握了这些定理的证明方法，可以在考试中帮助我们更好地理解和解答数学问题。
下面整理了一些考研数学中必考的定理证明，希望对大家复习有所帮助。
1.逆序数定理：逆序数是指在一个排列中，如果一个数之前有比它大的数，则称这个数是逆序的。
逆序数定理指出，对于任意的排列，其逆序数的奇偶性与该排列的逆序数的个数是相同的。
即如果逆序数的个数是偶数，则排列的逆序数是偶数；如果逆序数的个数是奇数，则排列的逆序数是奇数。
证明思路：利用归纳法进行证明，首先证明初始情况成立，然后假设逆序数的定理对于所有小于n的情况成立，再证明对于n的情况也成立。
2.幂级数：幂级数在数学中是一个重要的概念，特别是在微积分和函数论中应用广泛。
幂级数的收敛半径和收敛域是幂级数的重要性质。
幂级数的收敛半径可以通过柯西-阿达玛公式求得，而收敛域的边界上收敛性需要通过级数的边界性分析得到。
证明思路：根据幂级数的定义，首先确定幂级数的通项项、幂级数求和函数的定义域和收敛半径。
然后通过柯西-阿达玛公式计算幂级数的收敛半径。
最后通过比较判断幂级数的收敛性。
3.极值定理：极值定理也是考研中的一个重要定理，它指出一个连续函数在闭区间上必有最大值和最小值。
极值定理有两个重要的推论，即费马定理和魏尔斯特拉斯定理。
费马定理指出，如果函数在一点处取得极值，则该点处的导数为0。
魏尔斯特拉斯定理指出，一个函数在闭区间上连续，则它在该区间上必有最大值和最小值。
证明思路：根据连续函数的定义和闭区间的定义，利用极值定理的条件和结论，通过反证法进行证明。
首先假设函数在闭区间上没有取得最大值或最小值，然后通过构造序列和利用辅助函数等方法逐步推导出矛盾，从而证明极值定理成立。
以上是一些考研数学中必考的定理证明，这些定理在数学理论和应用中都有着重要的地位，掌握了它们的证明方法可以提高我们对数学知识的理解和应用能力。
在备考过程中，除了熟悉定理的证明过程，还要注意练习相关的例题和应用题，加强对定理的理解和掌握，提高解题的能力。
上海市考研数学复习资料数学分析重点定理证明
上海市考研数学复习资料数学分析重点定理证明上海市考研数学复习资料数学分析重点定理的证明一、极限与连续极限和连续是数学分析中非常重要的概念，它们是数学分析基础理论的支撑。
下面将介绍一些数学分析中的重点定理，并给出证明。
1. 极限的重要定理之泰勒展开定理泰勒展开定理是数学分析中的一项重要定理，它对于研究函数的性质和计算函数的值都有很大的帮助。
下面给出定理的证明：定理：设函数f(x)在点x=a处n阶可导，那么函数f(x)在x=a处的泰勒展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)其中Rn(x)是拉格朗日余项，满足| Rn(x) | <= M |x-a|^(n+1)/(n+1)!，其中M为常数。
证明：我们可以利用泰勒公式对函数f(x)在点x=a处进行展开。
首先，我们对函数f(x)在点x=a处进行n阶的泰勒展开：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)其中Rn(x)为拉格朗日余项。
由于函数f(x)在点x=a处n阶可导，因此可以得到f(a)、f'(a)、f''(a)、...、f^n(a)的具体值。
我们将Rn(x)的具体表达式进行展开，并根据泰勒公式的表达式得到其表示形式。
经过简化后，我们可以得到：| Rn(x) | <= M |x-a|^(n+1)/(n+1)!其中M为常数。
因此，函数f(x)在点x=a处的泰勒展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)定理得证。
2. 连续函数的重要定理之介值定理介值定理是连续函数的一个重要性质，它可以帮助我们研究函数在某个区间上的性质。
2020年考研高等数学的7个定理定义
2020年考研高等数学的7个定理定义1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界;如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。
函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、函数的单调性、奇偶性、周期性3、数列的极限定理(极限的性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。
如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散;但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。
如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的;同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
4、函数的极限函数极限的定义中00(或A0(或f(x)>0)，反之也成立。
函数f(x)当x→x0时极限存有的充分必要条件是左极限右极限各自存有并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存有。
一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。
如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。
5、极限运算法则有限个无穷小之和也是无穷小;有界函数与无穷小的乘积是无穷小;常数与无穷小的乘积是无穷小;有限个无穷小的乘积也是无穷小;如果F1(x)≥F2(x),而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b。
6、极限存有准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1;lim(x→∞)(1+1/x)x=1。
考研数学定理证明
= lim [u(x + ∆x)v(x + ∆x)] − [u(x)v(x)]
∆ x→0
∆x
=
lim
∆ x→0
u(x [
+
∆ x) ∆x
−
u(x)
·
v(x
+
∆ x)
+
u(x)
·
v(x
+
∆ x) ∆x
−
v(x) ]
= lim u(x + ∆x) − u(x) · v(x + ∆x) + u(x) · lim v(x + ∆x) − v(x)
ˆ +∞
ˆ +∞
Z ∼ f(z) =
fX(x)fY(z − x) dx =
fX(z − y)fY(y) dy
−∞
−∞
其中, fX(x), fY(y) 分别为 X ,Y 的边缘概率密度. 证:
F(z) = P{Z z}
¨
= P{X + Y z} =
f(x , y) dxdy
ˆ +∞ ˆ z−x
x+y z
=
[
f(x , y) dy] dx
−∞ ˆ
==u==x=+==y
−∞ +∞
ˆ
[
z
f(x , u − x) du] dx
ˆ z ˆ−∞+∞ −∞
= [ f(x , u − x) dx] du
−∞ −∞
故
ˆ +∞
f(z) = F′(z) =
f(x , z − x) dx
−∞
当 X ,Y 独立时,
ˆ +∞
考研数学：必考的定理证明整理
考研数学的定理证明是一直考生普遍感觉不太有把握的内容，而2016 年考研数学真题释放出一个明确信号——考生需重视教材中重要定理的证明。
下面跨考教育为考生梳理一下教材中那些要求会证的重要定理。
一、求导公式的证明2015 年真题考了一个证明题：证明两个函数乘积的导数公式。
几乎每位同学都对这个公式怎么用比较熟悉，而对它怎么来的较为陌生。
实际上，从授课的角度，这种在2015 年前从未考过的基本公式的证明，一般只会在基础阶段讲到。
如果这个阶段的考生带着急功近利的心态只关注结论怎么用，而不关心结论怎么来的，那很可能从未认真思考过该公式的证明过程，进而在考场上变得很被动。
这里给2017 考研学子提个醒：要重视基础阶段的复习，那些真题中未考过的重要结论的证明，有可能考到，不要放过。
当然，该公式的证明并不难。
先考虑f(x)*g(x) 在点x0 处的导数。
函数在一点的导数自然用导数定义考察，可以按照导数定义写出一个极限式子。
该极限为“0分之0”型，但不能用洛必达法则，因为分子的导数不好算(乘积的导数公式恰好是要证的，不能用!) 。
利用数学上常用的拼凑之法，加一项，减一项。
这个“无中生有”的项要和前后都有联系，便于提公因子。
之后分子的四项两两配对，除以分母后考虑极限，不难得出结果。
再由x0 的任意性，便得到了f(x)*g(x) 在任意点的导数公式。
类似可考虑f(x)+g(x) ，f(x)-g(x) ，f(x)/g(x) 的导数公式的证明。
二、微分中值定理的证明这一部分内容比较丰富，包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。
除泰勒中值定理外，其它定理要求会证。
费马引理的条件有两个：1.f(xO)存在2. f(xO)为f(x)的极值，结论为f(xO)=O。
考虑函数在一点的导数，用什么方法？自然想到导数定义。
我们可以按照导数定义写出f(xO)的极限形式。
往下如何推理？关键要看第二个条件怎么用。
“f(x0为f(x)的极值”翻译成数学语言即f(x)-f(x0)<0( 或>0) ，对x0 的某去心邻域成立。
考研数学：三种拉格朗日中值定理证明方法1500字
考研数学：三种拉格朗日中值定理证明方法1500字拉格朗日中值定理是微积分中的重要定理之一，它是由法国数学家拉格朗日在18世纪提出的。
该定理涉及到函数的导数与函数在某一区间上的变化率之间的关系，具有广泛的应用价值。
以下将介绍三种拉格朗日中值定理的证明方法。
证明方法一：基于罗尔定理的证明罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，因此我们可以先用罗尔定理来推导拉格朗日中值定理。
设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内存在可导函数F(x)。
如果f(a) =f(b)，那么在(a, b)内至少存在一个点ξ，使得F’(ξ) = 0。
证明过程如下：1. 构造辅助函数g(x) = f(x) - F(x)。
根据题设，g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导。
2. 由于f(a) = f(b)，所以g(a) = g(b)。
3. 根据罗尔定理，存在一个点ξ，使得g’(ξ) = 0。
即f’(ξ) - F’(ξ) = 0。
4. 移项得到f’(ξ) = F’(ξ)，即在(a, b)内存在一个点ξ，使得函数f(x)在点ξ处的斜率等于函数F(x)在点ξ处的斜率。
这就是拉格朗日中值定理。
证明方法二：基于函数的增量与导数的关系的证明函数的增量与导数之间有如下关系：f(x+Δx) - f(x) = f’(x+θΔx)Δx，其中θ∈(0, 1)。
证明过程如下：1. 考虑函数Φ(x) = f(x) - F(x)，其中F(x)是f(x)的一个原函数。
因为F(x)是可导函数，所以Φ(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导。
2. 对于任意x∈(a, b)，存在ξ∈(x, x+Δx)，使得Φ(x+Δx) - Φ(x) = Φ’(ξ)Δx。
3. 根据Φ(x) = f(x) - F(x)，我们可以得到Φ(x+Δx) - Φ(x) = f(x+Δx) - f(x) - [F(x+Δx) - F(x)]。
考研数学高数定理定义总结
考研数学高数定理定义总结高数定理是大学数学中的重要内容，包括了极限、连续性和可微性、中值定理、导数与微分以及积分和微分方程几个方面。
以下是这些定理的定义总结：1.极限：极限是函数论中最基本的概念之一、设函数$f(x)$在$x_0$的邻域内有定义，如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$\varepsilon$，都存在正数$\delta$，使得当$0<，x-x_0，<\delta$时，有$，f(x)-A，<\varepsilon$，则称函数$f(x)$当$x$趋于$x_0$时极限为$A$，记作$\lim_{x \to x_0} f(x) = A$。
2.连续性和可微性：函数$f(x)$在点$x_0$处连续的定义是：$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$。
函数在点$x_0$处可微的定义是：如果函数$f(x)$在$x_0$的一些邻域内有定义，并且存在常数$A$，使得$$f(x)=f(x_0)+(x-x_0)A+o(x-x_0)，x\to x_0$$则称函数$f(x)$在$x_0$处可微。
3.中值定理：中值定理是微积分中的重要定理之一、设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$上可微。
则在$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$，其中$f'(c)$是$f(x)$在点$c$处的导数。
4.导数与微分：设函数$f(x)$在点$x$处有定义。
如果极限$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$存在，那么称此极限为函数$f(x)$在点$x$处的导数，记作$f'(x)$。
函数$f(x)$在点$x$处的微分定义为$df=f'(x)dx$。
5.积分：积分是微积分中的重要概念之一、设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上有定义，将区间$[a,b]$分成$n$个小区间$[x_{i-1},x_i]$，其中$a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_n=b$。
考研数学中的常见定理与公式总结
考研数学中的常见定理与公式总结数学在考研中占据着重要的地位，它是考生们必须要掌握的一门科目。
在数学的学习过程中，各种定理与公式是考生们必不可少的基础知识。
下面将对考研数学中的常见定理与公式进行总结与归纳，帮助考生们更好地备考。
1. 极限定理极限定理是解决极限问题时的重要工具，也是基本的数学定理之一。
主要包括以下几个常见的定理：1.1 保号性定理若函数f(x)在点x=a的某个邻域内，对于任意一个正数ε，都存在正数δ，使得当0 < |x-a| < δ时，有 |f(x)-f(a)| < ε 。
则称函数f(x)在点x=a处具有保号性。
1.2 夹逼准则设函数f(x)，g(x)，h(x)满足当x在某一去心邻域内时，有f(x)≤g(x)≤h(x)，且limₓₐ f(x)=limₓₐ h(x)=L，则必有limₓₐ g(x)=L。
1.3 极限的四则运算法则设函数f(x)和g(x)在点x=a的某个去心邻域内有极限limₓₐ f(x)=A，limₓₐ g(x)=B，则有以下运算法则：(1) limₓₐ [f(x)+g(x)]=A+B(2) limₓₐ [f(x)-g(x)]=A-B(3) limₓₐ [f(x)g(x)]=AB(4) limₓₐ [f(x)/g(x)]=A/B (B≠0)2. 线性代数的基本定理与公式线性代数在考研数学中也有重要地位，以下是一些常用的定理与公式：2.1 行列式的性质(1) 行列互换，行列式变号(2) 若行列有两行（两列）相等，则行列式为0(3) 行列交换，行列式变号(4) 列行式换位，行列式不变(5) 行与行的倍数的和的行列式，等于各行分别乘以这个数的行列式之和2.2 矩阵的运算(1) 矩阵的加法和减法：若A=(a_ij)，B=(b_ij)为m×n矩阵，则有A±B=(a_ij±b_ij)(2) 矩阵的数乘：若A为m×n矩阵，k为常数，则有 kA=(ka_ij)(3) 矩阵的乘法：若A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则有AB=(c_ij)，其中c_ij=a_i1*b_1j+...+a_in*b_nj3. 微积分中的重要定理与公式微积分是考研数学中的核心内容，在微积分中有很多重要的定理与公式需要掌握，以下仅列举部分：3.1 导数的基本公式(1) (cf(x))'=cf'(x) （常数c为常数函数）(2) (f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)(3) (f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)(4) (f(x)/g(x))'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g(x)²（g(x)≠0）(5) (g(f(x)))'=g'(f(x))*f'(x)3.2 不定积分的基本公式(1) ∫kdx=kx+C (k为常数)(2) ∫xn dx=(1/(n+1))x^(n+1)+C (n≠-1)(3) ∫sinxdx=-cosx+C(4) ∫cosxdx=sinx+C(5) ∫1/x dx=ln|x|+C (x≠0)综上所述，以上仅是考研数学中常见定理与公式的部分总结。
考研数学高数定理证明的知识点
考研数学高数定理证明的知识点数学高等数学（高数）是考研数学中的一个重要部分，其中涉及了许多重要的定理及其证明。
以下是一些常见的高数定理及其证明的知识点：1.邻域性原理：如果一个函数在一些点的一些邻域内恒大于（或小于）另一个函数，而两个函数在该点处相等，则这两个函数在该邻域内恒大于（或小于）。
证明：假设函数f(x)和g(x)在点x0处连续且f(x)>g(x)，且f(x0)=g(x0)。
因为f(x)和g(x)在x0处连续，所以存在一个邻域N(x0)使得f(x)>g(x)在该邻域内成立。
因此，f(x)>g(x)在N(x0)内恒成立。
2.极限的一致性：如果两个函数在一个有限闭区间内的一致性极限或一致性趋于无穷大的极限都存在，则它们的差的（绝对值的）极限是0。
证明：假设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]内一致趋于函数h(x)和0，即对任意的ε>0，存在N，当n>N时，有，f(x)-h(x)，<ε以及，g(x)-0，<ε成立。
由于，h(x)，≤，f(x)-h(x)，+，g(x)-0，所以当n>N时，有，h(x)，≤2ε成立。
因此，极限，h(x)，=0。
3.导数的基本性质：导数具有线性性、乘积法则、商法则和链式法则等基本性质。
证明：以线性性为例，假设函数f(x)和g(x)在点x0处可导。
根据导数的定义，有lim_(x→x0) (f(x)-f(x0))/(x-x0)=lim_(x→x0) (g(x)-g(x0))/(x-x0)=f'(x0)和g'(x0)。
我们可以得到lim_(x→x0) (f(x)+g(x)-[f(x0)+g(x0)])/(x-x0)=lim_(x→x0)[(f(x)-f(x0))/(x-x0)+(g(x)-g(x0))/(x-x0)]=f'(x0)+g'(x0)。
因此，函数f(x)+g(x)在点x0处可导，且(f+g)'(x0)=f'(x0)+g'(x0)。
考研数学：必考的定理证明整理(2)
2017考研数学：必考的定理证明整理（2）考研数学的定理证明是一直考生普遍感觉不太有把握的内容，而2016年考研数学真题释放出一个明确信号考生需重视教材中重要定理的证明。
下面为考生梳理一下教材中那些要求会证的重要定理。
三、微积分基本定理的证明该部分包括两个定理：变限积分求导定理和牛顿-莱布尼茨公式。
变限积分求导定理的条件是变上限积分函数的被积函数在闭区间连续，结论可以形式地理解为变上限积分函数的导数为把积分号扔掉，并用积分上限替换被积函数的自变量。
注意该求导公式对闭区间成立，而闭区间上的导数要区别对待：对应开区间上每一点的导数是一类，而区间端点处的导数属单侧导数。
花开两朵，各表一枝。
我们先考虑变上限积分函数在开区间上任意点x处的导数。
一点的导数仍用导数定义考虑。
至于导数定义这个极限式如何化简，笔者就不能剥夺读者思考的权利了。
单侧导数类似考虑。
牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。
它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。
这段话精彩地指出了牛顿-莱布尼茨公式在高数中举足轻重的作用。
而多数考生能熟练运用该公式计算定积分。
不过，提起该公式的证明，熟悉的考生并不多。
该公式和变限积分求导定理的公共条件是函数f(x)在闭区间连续，该公式的另一个条件是F(x)为f(x)在闭区间上的一个原函数，结论是f(x)在该区间上的定积分等于其原函数在区间端点处的函数值的差。
该公式的证明要用到变限积分求导定理。
若该公式的条件成立，则不难判断变限积分求导定理的条件成立，故变限积分求导定理的结论成立。
注意到该公式的另一个条件提到了原函数，那么我们把变限积分求导定理的结论用原函数的语言描述一下，即f(x)对应的变上限积分函数为f(x)在闭区间上的另一个原函数。
根据原函数的概念，我们知道同一个函数的两个原函数之间只差个常数，所以F(x)等于f(x)的变上限积分函数加某个常数C。
2024年考研数学高等数学部分重要基本定理证明
数学高等数学部分重要基本定理证明（数学一）本文将对2024年考研数学高等数学部分的几个重要基本定理进行证明，包括连续函数的一致连续性、可导函数的连续性、可导函数的增量有界性以及闭区间上函数的连续性。
首先，我们来证明连续函数的一致连续性。
定义函数f(x)在区间[a,b]上连续，则对于任意ε>0，存在对应的δ>0，当，x1-x2，<δ时，有，f(x1)-f(x2)，<ε成立。
要证明函数的一致连续性，即要证明对于任意ε>0，不论取如何小的δ，总存在对应的x1和x2，使得，f(x1)-f(x2)，≥ε成立。
反证法：假设对于一些ε>0，不论取多小的δ，总存在对应的x1和x2，使得，f(x1)-f(x2)，≥ε成立。
则对于这个ε>0，无论如何选择δ，总可以找到这样的x1和x2，使得，f(x1)-f(x2)，≥ε成立。
由连续函数的定义可知，当，x1-x2，足够小时，有，f(x1)-f(x2)，<ε成立。
这与我们的假设矛盾。
综上所述，连续函数的一致连续性成立。
接下来证明可导函数的连续性。
定义函数f(x)在区间[a,b]上可导，则对于任意x∈(a,b)，f(x)在x处连续。
要证明函数的连续性，即对于任意ε>0，存在对应的δ>0，当，x-x0，<δ时，有，f(x)-f(x0)，<ε成立。
根据可导函数的定义可知，当x足够接近x0时，有，f(x)-f(x0)，<ε'成立，其中ε'是一个任意小的正实数。
取ε'=ε/2，则对于ε>0，存在对应的δ>0，当，x-x0，<δ时，有，f(x)-f(x0)，<ε'=ε/2成立。
又由于f(x0)-f(x0)=0<ε/2成立，所以有，f(x)-f(x0)，≤，f(x)-f(x0)，+，f(x0)-f(x0)，<ε/2+ε/2=ε成立。
综上所述，可导函数的连续性成立。
2023考研数学高数重要定理：函数与极限
2023考研数学高数重要定理：函数与极限2023考研数学高数重要定理：函数与极限函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f〔x〕-geK1那么函数f 〔x〕在定义域上有下界，K1为下界假如有f〔x〕-leK2，那么有上界，K2称为上界。
函数f〔x〕在定义域内有界的充分要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定理〔极限的性〕数列xn不能同时收敛于两个不同的极限。
定理〔收敛数列的有界性〕假如数列xn收敛，那么数列xn一定有界。
假如数列xn无界，那么数列xn一定发散但假如数列xn 有界，却不能断定数列xn一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，〔-1〕n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的要条件而不是充分条件。
定理〔收敛数列与其子数列的关系〕假如数列xn收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.假如数列xn有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列xn是发散的，如数列1，-1，1，-1，〔-1〕n+1…中子数列x2k-1收敛于1，xnk收敛于-1，xn却是发散的同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
3、函数的极限函数极限的定义中定理〔极限的部分保号性〕假如lim〔x-rarrx0〕时f 〔x〕=A，而且A》0〔或A0〔或f〔x〕》0〕，反之也成立。
函数f〔x〕当x-rarrx0时极限存在的充分要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f〔x0-0〕=f〔x0+0〕，假设不相等那么limf〔x〕不存在。
一般的说，假如lim〔x-rarr-infin〕f〔x〕=c，那么直线y=c是函数y=f〔x〕的图形程度渐近线。
假如lim〔x-rarrx0〕f〔x〕=-infin，那么直线x=x0是函数y=f〔x〕图形的铅直渐近线。
4、极限运算法那么定理：有限个无穷小之和也是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小定理假如F1〔x〕-geF2〔x〕，而limF1〔x〕=a，limF2〔x〕=b，那么a-geb.5、极限存在准那么：两个重要极限lim〔x-rarr0〕〔sinx/x〕=1lim〔x-rarr-infin〕〔1+1/x〕x=1.夹逼准那么假如数列xn、yn、zn满足以下条件：yn-lexn-lezn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准那么也成立。
考研数学：高数重要定理证明汇总
考研数学：高数重要定理证明汇总高数定理证明之微分中值定理:这一部分内容比较丰富，包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。
除泰勒中值定理外，其它定理要求会证。
费马引理的条件有两个：1.f'(x0)存在2.f(x0)为f(x)的极值，结论为f'(x0)=0。
考虑函数在一点的导数，用什么方法?自然想到导数定义。
我们可以按照导数定义写出f'(x0)的极限形式。
往下如何推理?关键要看第二个条件怎么用。
“f(x0)为f(x)的极值”翻译成数学语言即f(x)-f(x0)<0(或>0)，对x0的某去心邻域成立。
结合导数定义式中函数部分表达式，不难想到考虑函数部分的正负号。
若能得出函数部分的符号，如何得到极限值的符号呢?极限的保号性是个桥梁。
费马引理中的“引理”包含着引出其它定理之意。
那么它引出的定理就是我们下面要讨论的罗尔定理。
若在微分中值定理这部分推举一个考频最高的，那罗尔定理当之无愧。
该定理的条件和结论想必各位都比较熟悉。
条件有三：“闭区间连续”、“开区间可导”和“端值相等”，结论是在开区间存在一点(即所谓的中值)，使得函数在该点的导数为0。
该定理的证明不好理解，需认真体会：条件怎么用?如何和结论建立联系?当然，我们现在讨论该定理的证明是“马后炮”式的：已经有了证明过程，我们看看怎么去理解掌握。
如果在罗尔生活的时代，证出该定理，那可是十足的创新，是要流芳百世的。
闲言少叙，言归正传。
既然我们讨论费马引理的作用是要引出罗尔定理，那么罗尔定理的证明过程中就要用到费马引理。
我们对比这两个定理的结论，不难发现是一致的：都是函数在一点的导数为0。
话说到这，可能有同学要说：罗尔定理的证明并不难呀，由费马引理得结论不就行了。
大方向对，但过程没这么简单。
起码要说清一点：费马引理的条件是否满足，为什么满足?前面提过费马引理的条件有两个——“可导”和“取极值”，“可导”不难判断是成立的，那么“取极值”呢?似乎不能由条件直接得到。
考研数学公式定理背诵手册(数学二)：高等数学
能用，而不能肯定 lim f (x) 是否存在． x→x0 g (x)
定理 6（局部泰勒公式） 设 f (x) 在 x0 点有 n 阶导数，则
f
(x)
=
f
(x0 ) +
f
' (x0 )(x − x0 ) +
1 2!
f
'' (x0 )(x − x0 )2
+
+
1 n!
f
(n)
( x0
)( x
−
x0
)n
+
u = u0 连续，那么复合函数 y = f [ϕ(x)] 在点 x = x0 也是连续的．
8．初等函数的连续性 一切初等函数在其定义区间内都是连续的． 9．闭区间上连续函数的性质 定理 1（最大值和最小值定理） 在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和 最小值． 定理 2（有界性定理） 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界．
（3） (uv)' = u'v + uv' ；
（4）
⎛ ⎜⎝
u v
⎞' ⎟⎠
=
u'v − uv' v2
(v ≠ 0) ．
3．复合函数的求导法则
设 y = f (u) ，而 u = ϕ(x) 且 f (u) 及ϕ(x) 都可导，则复合函数 y = f [ϕ(x)] 的导数为
dy = dy ⋅ du 或 f ' (x) = f ' (u) ⋅ϕ ' (x) ． dx du dx
86
(sin x)' = cos x ；
(cos x)' = − sin x ；
考研数学公式定理介绍材料随身看
目录一、高等数学 (1)(一) 函数、极限、连续 (1)(二) 一元函数微分学 (5)(三)一元函数积分学 (13)(四) 向量代数和空间解析几何 (20)(五)多元函数微分学 (29)(六)多元函数积分学 (35)(七)无穷级数 (40)(八)常微分方程 (47)二、线性代数 (52)(一) 行列式 (52)(二)矩阵 (54)(三) 向量 (57)(四)线性方程组 (60)(五)矩阵的特征值和特征向量 (62)(六)二次型 (63)三、概率论与数理统计 (66)(一)随机事件和概率 (66)(二)随机变量及其概率分布 (70)(三)多维随机变量及其分布 (72)(四)随机变量的数字特征 (75)(五)大数定律和中心极限定理 (78)(六)数理统计的基本概念 (79)(七)参数估计 (81)(八)假设检验 (84)经常用到的初等数学公式 (86)平面几何 (91)一、高等数学(一) 函数、极限、连续(二) 一元函数微分学(三)一元函数积分学'(),'(),u x v x a b u x v x 设（），（）在［，］上具有连续导函数则()'()()()|()'()aaab bbu x v x dx u x v x v x u x dx =-⎰⎰3． 定积分不等式证明中常用的不等式22(1)2a b ab +≥ 1(2)0,2a a a>+≥ (3)柯西不等式： ()()222(()())()(),bbba aaf xg x dx f x dx g x dx f x g x a b ≤⎰⎰⎰g 其中（），（）在［，］上连续有理函数，三角函数的有理式和简单无理函数的积分，广义积分和定积分的应 用1． 三角函数代换 函数()f x 含根式所作代换三角形示意图22a x -sin x a t =22a x +tan x a t =22x a -sec x a t =有理函数积分(1)ln ||Adx A x a C x a=-+-⎰11(2)(1)()1()n n A A dx C n x a n x a -=-+≠---⎰(四) 向量代数和空间解析几何椭球面2222221x y za b c++=(,,a b c均为正数)o bczyx单叶双曲面2222221 x y za b c+-= (,,a b c均为正数)双叶双曲面2222221 x y za b c--+= (,,a b c均为正数)椭圆的抛物面22222x ypz a b+= (,,a b p为正数)双曲抛物面(又名马鞍面)22222x ypz a b-= (,,a b p均为正数)(五)多元函数微分学(六)多元函数积分学(7)((,)(,))f x y D A DD f x y d f Aξησξη∃⎰⎰D中值定理）若在闭域上连续，为的面积，则在上至少一点（，），使=(, (8)二重积分的对称性原理(,)(,)x f x y yf x yσ⎰⎰D1）如果积分域D关于轴对称，为的奇偶函数，则二重积分d10,(,)(,)2(,),(,)(,), Df y f x y f x yf x y d f f x y f x yσ-=-⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰关于为奇函数，即关于y为偶函数，即D D1为在上半平面部分这个性质的几何意义见图(a)、(b)(,)y f x y x2）如果积分域D关于轴对称，为的奇偶函数，(,)f x yσ⎰⎰D则二重积分d20,(,)(,)2(,),(,)(,), Df x f x y f x yf x y d f x f x y f x yσ-=-⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰关于的奇函数，即关于为偶函数，即D D2为在右半平面部分(,),f x y x y3）如果D关于原点对称，同时为的奇偶函数，Rdz(七)无穷级数(八)常微分方程。
考研数学高数必考定理
考研数学高数必考定理考研数学高数必考定理一、导数与微分1、函数f(x)在点x0处可导=>函数在该点处连续;函数f(x)在点x0处连续≠>在该点可导。
即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而不是充分条件。
2、导数存在的充分必要条件函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是在点x0处的左极限lim(h→-0)[f(x0+h)-f(x0)]/h及右极限lim(h→+0)[f(x0+h)-f(x0)]/h都存在且相等，即左导数f-′(x0)右导数f+′(x0)存在相等。
3、函数f(x)在点x0处可微=>函数在该点处可导;函数f(x)在点x0处可微的充分必要条件是函数在该点处可导。
4、原函数可导则反函数也可导，且反函数的导数是原函数导数的倒数。
二、函数与极限1、函数的极限定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A0(或f(x)>0)，反之也成立。
函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。
一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。
如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。
2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。
如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散;但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的;同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
都是有多年考研辅导经验的,指导复习当然针对性强，有事半功倍的效果。
缺点就是,嘿嘿,学费问题。
你所在地的学费情况我就不清楚了，你可以自己去查一下～还有一句话想说，其实这两个办法也不是对立的,你可以在学校里去旁听老师的课,把第一轮扎扎实实的复习完,放假回家去报名参加个辅导班,利用假期有针对性的做第二轮复习~相信两轮复习下来,你的长进一定不蝎呵呵~
我就说这么多，要是以后想起来了会再来补充的~最后祝你如愿考上理想院校哦~加油
也不知道一楼是哪个名校数学系的研究生,广州大学吗？这么有才华！听他的话等楼主没考到１3０哭的地方都找不到。
考研每一门学科都要复习好几轮,也不知道楼主考什么专业,数学几?
基础差的话第一轮复习要弄清楚定理及其证明过程。
如果应届本科生又是学理科,平时成绩不错，高数，线性分都很高的话第一轮可以直接看教材做题。
有一个证明题,而且基本上都是应用中值定理来解决问题的。
但是要参加硕士入学数学统一考试的考生所学专业要么是理工要么是经管，考生们在大学学习数学的时候对于逻辑推理方面的训练大多是不够的,这就导致数学考试中遇到证明推理题就发怵,以致于简单的证明题得分率却极低。
给大家简单介绍一些解决数学证明题的入手点,希望对有此隐患的考生有所帮助。
1.结合几何意义记住零点存在定理、中值定理、泰勒公式、极限存在的两个准则等基本原理,包括条件及结论。
知道基本原理是证明的基础，知道的程度(即就是对定理理解的深入程度)不同会导致不同的推理能力。
如２0０６年数学一真题第１６题(1）是证明极限的存在性并求极限。
只要证明了极限存在,求值是很容易的,但是如果没有证明第一步,即使求出了极限值也是不能得分的。
因为数学推理是环环相扣的,如果第一步未得到结论,那么第二步就是空中楼阁。
这个题目非常简单,只用了极限存在的两个准则之一:单调有界数列必有极限。
只要知道这个准则，该问题就能轻松解决,因为对于该题中的数列来说,“单调性”与“有界性”都是很好验证的。
像这样直接可以利用基本原理的证明题并不是很多,更多的是要用到第二步。
２.借助几何意义寻求证明思路
一个证明题,大多时候是能用其几何意义来正确解释的,当然最为基础的是要正确理解题目文字的含义。
如2007年数学一第1９题是一个关于中值定理的证明题，可以在直角坐标系中画出满足题设条件的函数草图,再联系结论能够发现:两个函数除两个端点外还有一个函数值相等的点,那就是两个函数分别取最大值的点(正确审题:两个函数取得最大值的点不一定是同一个点）之间的一个点。
这样很容易想到辅助函数F（x)=f(x）-ｇ（x）有三个零点,两次应用罗尔中值定理就能得到所证结论。
再如2005年数学一第１8题（1）是关于零点存在定理的证明题,只要在直角坐标系中结合所给条件作出函数y=f(x)及y＝１-x在［０，１]上的图形就立刻能看到两个函数图形有交点，这就是所证结论,重要的是写出推理过程。
从图形也应该看到两函数在两个端点处大小关系恰好相反，也就是差函数在两个端点的值是异号的,零点存在定理保证了区间内有零点，这就证得所需结果。
如果第二步实在无法完满解决问题的话，转第三步。
３．逆推法
从结论出发寻求证明方法。
如20０4年第１5题是不等式证明题,该题只要应用不等式证明的一般步骤就能解决问题:即从结论出发构造函数，利用函数的单调性推出结论。
在判定函数的单调性时需借助导数符号与单调性之间的关系,正常情况只需一阶导的符号就可判断函数的单调性,非正常情况却出现的更多(这里所举出的例子就属非正常情况),这时需先用二阶导数的符号判定一阶导数的单调性，再用一阶导的符号判定原来函数的单调性,从而得所要证的结果。
该题中可设F(ｘ)=lｎ*x-ln*a－4（x-
ａ)/e*,其中ｅF(a）就是所要证的不等式。
对于那些经常使用如上方法的考生来说，利用三步走就能轻松收获数学证明的1２分,但对于从心理上就不自信能解决证明题的考生来说，却常常轻易丢失１２分,后一部分同学请按“证明三步走”来建立自信心,以阻止考试分数的白白流失。
最后提醒大家:强化阶段大家应把复习过的知识系统化综合化,注意搞细搞透搞活,也可适当做几套模拟题。
数学题目千变万化,有各种延伸或变式,考生们要在考试中取得好成绩,一定要脚踏实地地复习,华而不实靠押题碰运气是行不通的，多思多议,不断地总结经验与教训，做到融会贯通。