人教版高中数学必修2(A版) 4.1.2圆的一般方程 PPT课件
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新课标人教A版高一必修二数学4.1.2圆的一般方程课件(共14张ppt)
思考2:方程 x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0 的一般形式是什么？
x2 y2 Dx Ey F 0
思考3:方程 x2 y2 2x 4 y 1 0
与表x2示的y2图 形2x都 是4 y圆 吗6 ？0为什么？
思考4:方程可x2 化 y2 Dx Ey F 0
圆心为，( D半, 径E为)
22
1 D2 E2 4F 2
思考7:当D=0，E=0或F=0时， 圆的x2位置y2分别Dx有什Ey么特F 点 0？
y
y
y
C
C
C
o
x
o
x
o
x
D=0
E=0
F=0
知识探究二：圆的直径方程
思考1:已知点A(1，3)和B(-5，5)，如 何求以线段AB为直径的圆方程？
例3已知线段AB的端点B的坐标是（4， 3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求 线段AB的中点M的轨迹方程.
y B
AM
o
x
例4已知点P（5，3），点M在圆x2+y24x+2y+4=0上运动，求|PM|的最大值和 最小值.
P y
o
A Mx
C
B
小结作业
1.任一圆的方程可写成的x2 形y2式 D，x 但E方y 程F 表0
灿若寒星整理制作
高中数学课件
4.1.2圆的一般方程
问题提出
1.圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标 准方程是什么？
(x a)2 ( y b)2 r2
2.直线方程有多种形式，圆的方程是 否还可以表示成其他形式？这是一个 需要探讨的问题.
x2 y2 Dx Ey F 0
思考3:方程 x2 y2 2x 4 y 1 0
与表x2示的y2图 形2x都 是4 y圆 吗6 ？0为什么？
思考4:方程可x2 化 y2 Dx Ey F 0
圆心为，( D半, 径E为)
22
1 D2 E2 4F 2
思考7:当D=0，E=0或F=0时， 圆的x2位置y2分别Dx有什Ey么特F 点 0？
y
y
y
C
C
C
o
x
o
x
o
x
D=0
E=0
F=0
知识探究二：圆的直径方程
思考1:已知点A(1，3)和B(-5，5)，如 何求以线段AB为直径的圆方程？
例3已知线段AB的端点B的坐标是（4， 3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求 线段AB的中点M的轨迹方程.
y B
AM
o
x
例4已知点P（5，3），点M在圆x2+y24x+2y+4=0上运动，求|PM|的最大值和 最小值.
P y
o
A Mx
C
B
小结作业
1.任一圆的方程可写成的x2 形y2式 D，x 但E方y 程F 表0
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高中数学课件
4.1.2圆的一般方程
问题提出
1.圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标 准方程是什么？
(x a)2 ( y b)2 r2
2.直线方程有多种形式，圆的方程是 否还可以表示成其他形式？这是一个 需要探讨的问题.
高中数学第四章 圆与方程 412 圆的一般方程课件 新人教A版必修2
大家好
1
第四章 圆与方程
4．1.2 圆的一般方程
第四章 圆与方程
1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆 心和半径． 2.会在不同条件下求圆的一般式方程．
1．方程
当 D2＋E2－4F>0 时，方程__x_2_＋__y_2_＋__D__x_＋__E_y__＋__F_＝__0_叫做圆的
一般方程，其中圆心为__－__D2_，__－__E2__，半径为__12__D__2＋__E__2－__4_F__．
形． 3．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤 (1)根据题意，选择_标__准__方__程__或_一__般__方__程__； (2)根据条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组； (3)解出 a，b，r 或 D，E，F，代入标准方程或一般方程．
探究点一 圆的一般方程的概念 判断方程 x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0 能否表示圆， 若能表示圆，求出圆心和半径． [解] 法一：由方程 x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0 可知， D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20， 所以 D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2， 所以当 m＝2 时，它表示一个点； 当 m≠2 时，它表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)， 半径为 r＝ 5|m－2|.
2．说明 (1)方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 不一定表示圆，当且仅当
__D__2_＋__E_2_－__4_F_>__0__时表示圆．
(2)当___D__2_＋__E_2_－__4_F_＝__0_____时，方程表示一个点－D2 ，－E2.
(3)当___D__2_＋__E_2_－__4_F_<__0_____时，方程无实数解，不表示任何图
1
第四章 圆与方程
4．1.2 圆的一般方程
第四章 圆与方程
1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆 心和半径． 2.会在不同条件下求圆的一般式方程．
1．方程
当 D2＋E2－4F>0 时，方程__x_2_＋__y_2_＋__D__x_＋__E_y__＋__F_＝__0_叫做圆的
一般方程，其中圆心为__－__D2_，__－__E2__，半径为__12__D__2＋__E__2－__4_F__．
形． 3．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤 (1)根据题意，选择_标__准__方__程__或_一__般__方__程__； (2)根据条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组； (3)解出 a，b，r 或 D，E，F，代入标准方程或一般方程．
探究点一 圆的一般方程的概念 判断方程 x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0 能否表示圆， 若能表示圆，求出圆心和半径． [解] 法一：由方程 x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0 可知， D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20， 所以 D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2， 所以当 m＝2 时，它表示一个点； 当 m≠2 时，它表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)， 半径为 r＝ 5|m－2|.
2．说明 (1)方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 不一定表示圆，当且仅当
__D__2_＋__E_2_－__4_F_>__0__时表示圆．
(2)当___D__2_＋__E_2_－__4_F_＝__0_____时，方程表示一个点－D2 ，－E2.
(3)当___D__2_＋__E_2_－__4_F_<__0_____时，方程无实数解，不表示任何图
2019-2020人教A版数学必修2第4章 4.1 4.1.2 圆的一般方程课件PPT
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2．求经过点 A(－2，－4)且与直线 x＋3y－26＝0 相切于点 B(8， 6)的圆的方程．
[解] 设所求圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则圆心坐标为－D2 ，－E2. ∵圆与 x＋3y－26＝0 相切于点 B，∴86＋＋DE22 －4y＋10＝0 化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5， ∴它不能表示圆． (4)方程 2x2＋2y2－5x＝0 化为x－542＋y2＝542， ∴它表示以54，0为圆心，54为半径长的圆．
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求圆的一般方程 【例 2】 已知△ABC 的三个顶点为 A(1，4)， B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC 的外接圆方程、外心坐标和外 接圆半径． [解] 法一：设△ABC 的外接圆方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∵A，B，C 在圆上，
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3．经过圆 x2＋2x＋y2＝0 的圆心，且与直线 x＋y＝0 垂直的直线
方程是( )
A．x＋y＋1＝0
B．x＋y－1＝0
C．x－y－1＝0 D．x－y＋1＝0
D [由题意知圆心坐标是(－1，0)，故所求直线方程为 y＝x＋1， 即 x－y＋1＝0.]
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4．圆 x2＋y2＋2x－4y＋m＝0 的直径为 3，则 m 的值为________．
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(1)B (2)(－2，－4) 5 [(1)由方程 x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0 可得 (x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k，此方程表示圆，则 5－5k>0，解得 k<1.故实 数 k 的取值范围是(－∞，1)．故选 B.
(2)由题可得 a2＝a＋2，解得 a＝－1 或 a＝2.当 a＝－1 时，方程 为 x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为 5. 当 a＝2 时，方程不表示圆．]
2．求经过点 A(－2，－4)且与直线 x＋3y－26＝0 相切于点 B(8， 6)的圆的方程．
[解] 设所求圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则圆心坐标为－D2 ，－E2. ∵圆与 x＋3y－26＝0 相切于点 B，∴86＋＋DE22 －4y＋10＝0 化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5， ∴它不能表示圆． (4)方程 2x2＋2y2－5x＝0 化为x－542＋y2＝542， ∴它表示以54，0为圆心，54为半径长的圆．
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求圆的一般方程 【例 2】 已知△ABC 的三个顶点为 A(1，4)， B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC 的外接圆方程、外心坐标和外 接圆半径． [解] 法一：设△ABC 的外接圆方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∵A，B，C 在圆上，
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3．经过圆 x2＋2x＋y2＝0 的圆心，且与直线 x＋y＝0 垂直的直线
方程是( )
A．x＋y＋1＝0
B．x＋y－1＝0
C．x－y－1＝0 D．x－y＋1＝0
D [由题意知圆心坐标是(－1，0)，故所求直线方程为 y＝x＋1， 即 x－y＋1＝0.]
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4．圆 x2＋y2＋2x－4y＋m＝0 的直径为 3，则 m 的值为________．
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(1)B (2)(－2，－4) 5 [(1)由方程 x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0 可得 (x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k，此方程表示圆，则 5－5k>0，解得 k<1.故实 数 k 的取值范围是(－∞，1)．故选 B.
(2)由题可得 a2＝a＋2，解得 a＝－1 或 a＝2.当 a＝－1 时，方程 为 x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为 5. 当 a＝2 时，方程不表示圆．]
人教A版高中数学必修二4.1.2圆的一般方程 课件
5.
，则动点P的轨迹是
（1）若 λ＝1，则点P的轨迹是线段AB的中垂线. （2）若 λ＞0 且 λ≠1 ，则点P的轨迹是圆. （3）若 λ<0，则点P的轨迹不存在.
4x0 2 3 x0
1,
∴ x0＝1，即圆心为(1，－4)，
半径 r (3 1)2 (2 4)2 2 2 ,
故圆的方程为 (x－1)2＋(y＋4)2＝8.
.
C
练习2.
解1：设 M(x，y) ，Q(x0，y0) ，
y ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱQ
则由线段中点坐标公式得
M
x
x
y
x0 10 2
y0 0 2
4.1.2 圆的一般方程
将圆的标准方程 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
展开，得
x2 y2 2ax 2by a2 b2 r 2 0
可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：
x2 y2 Dx Ey F 0
反过来，x2 y2 Dx Ey F 0 所表示的曲线是圆吗？
即
x0 y0
2x 10 2y
O
P
（相关点法）
∵点 Q 在圆 x2+y2=16 上 ， x02 y02 16
即 (2 x 10)2 (2 y)2 16
即 ( x 5)2 y2 4 所求点M的轨迹方程.
练习2.
解2：设 M(x，y) ，Q(x0，y0) ，
∵点 Q 在圆 x2+y2=16 上 ，
解3：
∴ 线段AB的中点M轨迹是以( 3 , 3)为圆心、1为半径的圆.
22
小结圆的方程：
1. 圆心为(a，b)，半径为r 的圆的标准方程为：
(x a)2 ( y b)2 r2
4.1.2圆的一般方程 课件(人教A必修2)
C. (－1,2)
D. (－1, －2)
解析: 选A.2).
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第四章 圆与方程
2. 圆x2＋y2－6x＋8y＝0的半径等于( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 25
解析: 选C.(x－3)2＋(y＋4)2＝25.
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第四章 圆与方程
典题例证·技法归纳
【满分警示】 求动点的轨迹方程是指动点(x, y)满足的等式 关系, 求动点轨迹是说明动点满足的曲线或者 图形.
(1)当___D__2＋__E__2－___4_F_＝__0_____时, 方程表示一
个点, 该点的坐标为(－D2 , －E2 );
(2)当___D__2＋__E__2－___4_F_<_0_______时, 方程不表
示任何图形;
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第四章 圆与方程
(3)当__D__2＋__E__2－__4_F__>_0___时, 方程表示的曲线 为圆, 它的圆心坐标为 _(_－__D2_,_－__E2__)___, 半径长等于
x－x23＋2y＋2 y2＝12.6 分
栏目 导引
第四章 圆与方程
两边平方并化简, 得曲线方程 x2＋y2＋2x－3＝0. 将方程配方, 得(x＋1)2＋y2＝4.10 分 ∴所求曲线是圆心为(－1,0), 半径为 2 的圆, 其方程为(x＋1)2＋y2＝4.12 分
栏目 导引
第四章 圆与方程
名师微博
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第四章 圆与方程
(3)方程 x2＋y2－2x－4y＋10＝0 化为 (x－1)2＋(y－2)2＝－5, ∴它不能表示圆.
(4)方程 2x2＋2y2－5x＝0 化为x－542＋y2 ＝452, ∴它表示以45，0为圆心, 54为半径的圆.
高中数学人教A版必修二第四章4.1.2 圆的一般方程课件
圆的一般方程
x2 y2 2x 4y 1 0
(x -1) 2 (y 2) 2 4 配
拆 平
x2 2x 1 y2 4y 4 4 方
方
x2 y2 2x 4y 1 0
看不见圆心、半径
提取圆心和半 径的必经之路
已知x2 y2 2x 6 y 2 0表示圆，
则它的圆心坐标为
，半径为
(2)没有xy这样的二次项.
(3) D2 E 2 4F 0
本节总结：圆的一般方程
方我突程们出x把2了+yD形22++式DEx上2+-E的4yF+特F＞=点00的时轨x2迹+y可2+能D是x+圆Ey、+F点=或0所无表轨示迹.的 圆的方程称为圆的一般方程.
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 明确指出了圆心和半径 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0
x2 y2 2x 6y 2 0
x2 2x 1 y2 6y 2 1 (x 1)2 y2 6 y 2 1
(x 1)2 (y2 6 y 9) 2 10 (x 1)2 (y 3)2 2 10 (x 1)2 (y 3)2 8
圆心（ -1，，3） 半径2 2
。 X配方 y配方
人民教育出版社 高中数学 高一 必修2
4.1.2 圆的一般方程
圆的标准方程: x a2 y bN2 o r2
• 圆心C(a,b),半径为r.
Image
(x -1) 2 (y 2) 2 4
22
No • 圆心C(1,2), •半径为2 Image
(x -1) 2 (y 2) 2No4 拆平方 Image
x2 y2 Dx Ey F 0
高中数学人教A版必修2课件-4.1.2圆的一般方程
以（1，-2）为圆心，以
（3）(x a)2 y2 a2 b2
为半径的圆
表示以（-a，0）为圆心，以 a2 b2 为半
径的圆
表示点（-a，0）
例：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的方程 方法一：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
x2 y2 Dx Ey F 0
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 12 5D E F 0
72
(1)2
7D
E
F
0
22 82 2D 8E F 0
所求圆的方程为
D 4
E
6
F 12
x2 y2 4x 6 y 12 0
方法二： 几何方法 y
O E
A(5,1)
x
B(7,-3)
C(2,-8)
,
3 2
为圆心，1为半径的圆
点的轨迹方程指的是该点坐标(x,y)满足的关系式； “轨迹”与“轨迹方程”既有区分又有联系，求 “轨迹”时第一要求出“轨迹方程”，然后再说 明方程的所表示的图形。
求轨迹方程的一般步骤: 1.建系,设点;
2.列式,代入;
3.简化,检验.
P123 练习 3
作业布置 P124 A组 第4题 P124 B组 第2、3题
小结：求圆的方程
几何方法
待定系数法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
求 半径 （圆心到圆上一点的距离）
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
再如：
(1)x2 y2 2x 4 y 1 0
配方得
（3）(x a)2 y2 a2 b2
为半径的圆
表示以（-a，0）为圆心，以 a2 b2 为半
径的圆
表示点（-a，0）
例：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的方程 方法一：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
x2 y2 Dx Ey F 0
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 12 5D E F 0
72
(1)2
7D
E
F
0
22 82 2D 8E F 0
所求圆的方程为
D 4
E
6
F 12
x2 y2 4x 6 y 12 0
方法二： 几何方法 y
O E
A(5,1)
x
B(7,-3)
C(2,-8)
,
3 2
为圆心，1为半径的圆
点的轨迹方程指的是该点坐标(x,y)满足的关系式； “轨迹”与“轨迹方程”既有区分又有联系，求 “轨迹”时第一要求出“轨迹方程”，然后再说 明方程的所表示的图形。
求轨迹方程的一般步骤: 1.建系,设点;
2.列式,代入;
3.简化,检验.
P123 练习 3
作业布置 P124 A组 第4题 P124 B组 第2、3题
小结：求圆的方程
几何方法
待定系数法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
求 半径 （圆心到圆上一点的距离）
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
再如：
(1)x2 y2 2x 4 y 1 0
配方得
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三.讲授新课：
x2 y2 Dx Ey F 0
x
D 2
2
yE 22 NhomakorabeaD2E2 4
4F
（1）当 D2 E2 4F 0 时，此方程表示圆，
圆心
-
（2）当 D2
D 2
,
E 2
E2 4F
r 0
D2 E2 4F 2
时，此方程表示点
-
D 2
,
E 2
（3）当 D2 E2 4F 0 时，此方程不表示任何图形
2.圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=-D/2，b=-E/2，r= 1 D2 E 2 4F
（2）标准方程易于看出圆2 心与半径 一般方程突出了方程形式上的特点
新课标人教A版高中数学必修二4.圆的 一般方 程PPT 课件
三.例题分析 新课标人教A版高中数学必修二4.圆的一般方程PPT课件
例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？ 如果是，请求出圆的圆心及半径。 注：让学生自己分析探求解决途径：①、用配
求半径 （圆心到圆上一点的距离）
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
写出圆的标准方程
新课标人教A版高中数学必修二4.圆的 一般方 程PPT 课件
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
新课标人教A版高中数学必修二4.圆的 一般方 程PPT 课件
练习：P134
A3
3.已知圆C的圆心在直线 x 2 y 1 0 上，并
x
2．求圆x 2
2 y
2x
4y
1
0上的点到原点 O的
距离的最大值 .
3.已知P(xy,y)为圆x2+y2-6x-4y+12=0上的点 ((21))求求x2x+y的2的最最小大值值与最小值
人教版高中数学必修二4.1.2__圆的一般方程ppt模板
以建立点M的坐标满足
的条件，求出点M的
轨迹方程.
解： 设点M的坐标是
( x, y), 点A的坐标是
( x0 , y0 ).
由于点B的坐标是(4,3),且点M是线段AB的中点，所以
x0 4 y0 3 x ,y ， 2 2
于是有
x0 2 x 4, y0 2 y 3.
(1)
因为点A在圆
（2）没有xy这样的二次项.
例1 下列方程各表示什么图形?
(1) x y 0
2 2
(2) x y 2x 4 y 6 0
2 2
(3) x2 y 2 2ax b2 0
答案：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（1）原点(0,0).
(2) 圆心为（1， - 2），半径为 11 的圆 .
（3）当a2 + b2 ≠0时， 表示圆心为（- a，0），半径为 a2 + b2 的圆.
x y Dx Ey F 0 表示以
2
D E ( , ) 为圆心， 2 2
D 2 E 2 4 F 为半径的圆.
（2）当 方程
D 2 E 2 4 F 0 时，
D 2 E 2 D2 E 2 4F (x ) ( y ) 2 2 4
只有一实数解 （3）当
当a2 + b2 = 0时，表示一个点（0，0）.
例2 求过三点
O(0, 0), M1 (1,1), M 2 (4, 2) 的圆的方程，
并求出这个圆的半径长和圆心坐标．
解： 设圆的方程为 把点
x2 y 2 Dx Ey F 0,
O(0, 0), M1 (1,1), M 的坐标代入得方程组 2 (4, 2)
的条件，求出点M的
轨迹方程.
解： 设点M的坐标是
( x, y), 点A的坐标是
( x0 , y0 ).
由于点B的坐标是(4,3),且点M是线段AB的中点，所以
x0 4 y0 3 x ,y ， 2 2
于是有
x0 2 x 4, y0 2 y 3.
(1)
因为点A在圆
（2）没有xy这样的二次项.
例1 下列方程各表示什么图形?
(1) x y 0
2 2
(2) x y 2x 4 y 6 0
2 2
(3) x2 y 2 2ax b2 0
答案：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（1）原点(0,0).
(2) 圆心为（1， - 2），半径为 11 的圆 .
（3）当a2 + b2 ≠0时， 表示圆心为（- a，0），半径为 a2 + b2 的圆.
x y Dx Ey F 0 表示以
2
D E ( , ) 为圆心， 2 2
D 2 E 2 4 F 为半径的圆.
（2）当 方程
D 2 E 2 4 F 0 时，
D 2 E 2 D2 E 2 4F (x ) ( y ) 2 2 4
只有一实数解 （3）当
当a2 + b2 = 0时，表示一个点（0，0）.
例2 求过三点
O(0, 0), M1 (1,1), M 2 (4, 2) 的圆的方程，
并求出这个圆的半径长和圆心坐标．
解： 设圆的方程为 把点
x2 y 2 Dx Ey F 0,
O(0, 0), M1 (1,1), M 的坐标代入得方程组 2 (4, 2)
高中数学人教A版必修2第4章 4.1 4.1.2 圆的一般方程
_____.
2
高中数学人教版必修2课件
重点 方程．
确定圆的一般方程
方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)叫做圆的一般
注意：(1)x2 和 y2 的系数相同，都不等于 0.(2)没有xy 这样
的二次项．
3
高中数学人教版必修2课件
难点
求曲线轨迹方程的常用方法
1．直接法：建系，设点，列式，代换，化简，证明(可省 略)，适用于动点满足的条件易于列出的问题，是求曲线轨迹方 程最基本的方法． 2．定义法：若动点 P 的轨迹符合某已知曲线的定义，可直 接设出相应的曲线方程，用待定系数法或题中所给几何条件确 定相应系数，从而求出方程． 3．代入法(也叫相关点法)：若动点 P(x，y)的变动依赖于另 一动点 Q(x0，y0)，而 Q(x0，y0)在某已知曲线 f(x，y)＝0 上，则 可先写出方程 f(x0，y0)＝0，再找出(x0，y0)与(x，y)之间的关系， 代入已知方程 f(x0，y0)＝0，便可得到动点 P(x，y)适合的曲线方 程． 4．待定系数法：题设条件已确定曲线类型，可建立以有关 系数为变量的方程(组)，用待定系数法确定曲线中系数而得出方 程．
高中数学人教版必修2课件
4．1.2 圆的一般方程
1．方程 x2＋y2＋2x－4y－6＝0 表示的图形是(
D )
2．圆 x2＋y2－2x＋2y＝0 的周长是(
A )
1
高中数学人教版必修2课件
3．若 x2＋y2＋(λ－1)x＋2λy＋λ＝0 表示圆，则λ的取值范围 是( C )
(1，－5) ，半径为 4．圆 x2＋y2－2x＋10y－24＝0 的圆心为_________
4
高中数学人教版必修2课件
2
高中数学人教版必修2课件
重点 方程．
确定圆的一般方程
方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)叫做圆的一般
注意：(1)x2 和 y2 的系数相同，都不等于 0.(2)没有xy 这样
的二次项．
3
高中数学人教版必修2课件
难点
求曲线轨迹方程的常用方法
1．直接法：建系，设点，列式，代换，化简，证明(可省 略)，适用于动点满足的条件易于列出的问题，是求曲线轨迹方 程最基本的方法． 2．定义法：若动点 P 的轨迹符合某已知曲线的定义，可直 接设出相应的曲线方程，用待定系数法或题中所给几何条件确 定相应系数，从而求出方程． 3．代入法(也叫相关点法)：若动点 P(x，y)的变动依赖于另 一动点 Q(x0，y0)，而 Q(x0，y0)在某已知曲线 f(x，y)＝0 上，则 可先写出方程 f(x0，y0)＝0，再找出(x0，y0)与(x，y)之间的关系， 代入已知方程 f(x0，y0)＝0，便可得到动点 P(x，y)适合的曲线方 程． 4．待定系数法：题设条件已确定曲线类型，可建立以有关 系数为变量的方程(组)，用待定系数法确定曲线中系数而得出方 程．
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4．1.2 圆的一般方程
1．方程 x2＋y2＋2x－4y－6＝0 表示的图形是(
D )
2．圆 x2＋y2－2x＋2y＝0 的周长是(
A )
1
高中数学人教版必修2课件
3．若 x2＋y2＋(λ－1)x＋2λy＋λ＝0 表示圆，则λ的取值范围 是( C )
(1，－5) ，半径为 4．圆 x2＋y2－2x＋10y－24＝0 的圆心为_________
4
高中数学人教版必修2课件
高一数学人教版A版必修二课件：4.1.2 圆的一般方程
围，并写出圆心坐标和半径.
解 由表示圆的条件，
得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
解得
1 m<5.
圆心坐标为(－m,1)，半径为 1－5m.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 (1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐 标和半径分别为_(_－__a2_，__a2_)，____22_|a_|__；
A.x＋y－1＝0
B.x＋y＋3＝0
C.x－y＋1＝0
D.x－y＋3＝0
解析 因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.
解析答案
1 23 45
3.方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是( B )
A.m≤2
B.m＜12
C.m＜2
D.m≤21
解析 由D2＋E2－4F＞0，
解析答案
规律与方法
1.判断二元二次方程表示圆要“两看”： 一看方程是否具备圆的一般方程的特征；二看它能否表示圆.此时判 D2＋E2－4F是否大于0；或直接配方变形，判断等号右边是否为大于 零的常数. 2.待定系数法求圆的方程 如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程， 再用待定系数法分别求出常数D、E、F.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 求经过点A(－2，－4)且与直线x＋3y－26＝0相切于点B(8,6) 的圆的方程.
解 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意得 －2－a2＋－4－b2＝r2，
8－a2＋6－b2＝r2，
a＝121， 解得b＝－32，
得(－1)2＋12－4m＞0，
即 m＜12.
高中数学 4.14.1.2圆的一般方程课件 新人教A版必修2
种形式的方程中的一种；②根据所给条件，列出关于 D， 栏
目
E，F 或 a，b，r 的方程组；③解方程组．求出 D，E，
链 接
F 或 a，b，r 的值，并把它们代入所设的方程中，得到
所求的圆的方程．
第二十七页，共39页。
跟踪 训练
2．(1)已知圆经过 A(2，－3)和 B(－2，－5)，若圆心 在直线 x－2y－3＝0 上，求圆的方程．
第十九页，共39页。
跟踪 训练
1．求出下列各圆的圆心坐标和半径：
(1)x2＋y2－6x＝0；
(2)x2＋y2＋2by＝0(b≠0)；
栏
目
(3)x2＋y2－2ax－2
3y＋3a2＝0－
6 2 <a<
26.
链 接
解析：(1)原方程化为(x－3)2＋y2＝32，因此该圆的圆 心为(3,0)，半径为 3.
第十四页，共39页。
栏 目 链 接
第十五页，共39页。
题型一 圆的一般方程的概念(gàiniàn)
例1 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心(yuánxīn)和
半径．
栏
(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；
目 链
接
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；
(4)2x2＋2y2－5x＝0.
第二十页，共39页。
跟踪 训练
(2)原方程化为 x2＋(y＋b)2＝b2(b≠0)，因此该
圆的圆心为(0，－b)，半径为|b|.
栏
目
(3)原方程化为(x－a)2＋(y－ 3)2＝3－2a2.因为
链 接
表示圆，所以 3－2a2>0，从而该圆的圆心为(a， 3)，
高中数学人教A版必修二4.1.2圆的一般方程课件
x2+y2-7x-3y+2=0. ( 3)“求经过点A(4,-5)，且与直线m：x-2y+4=0相切于 点B(-2,1)的圆的方程”，有哪一些方法？
(4-a)2+(-5-b)2=r2
(-2-a)2+(1-b)2=r2
b|a1a--(-+2-12b(-)+2=4)-2|2=r2
42+(-5)2+4D-5E+F=0
当当a当 当 a,,baba不,不,b同 b不同不时同时同 为时为0时 为时00为 时 时 , 0,, 时,
表表示表 表 示圆示圆 示心圆心 圆为心为心为 为 a,a0a,0, 半a ,,,半 径0半径 为径 , 半 为为a径 2a2为 ab22b的2a的 b圆22圆 的 . .b圆2
当当a当 当 a,,baba同,同,b时b同时同为时为时 0为时0为 0时,时0,,时,
(-2)2+12 -2D+E+F=0
-
-E2|-D2-D2(--1-122+)((-=-E22-2))2+4|
=
D2+E2 -4F 2
AB的中垂线：y-(-2)=1 (x-1) m的垂线：y-1=-2[x-(-2)]
L XZ XJY
例析
例2.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点
A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的
若设 2a D,2b E ,a 2 b2 r 2 F，则有 :
x 2 y 2 Dx Ey F 0
任何一个圆的方程都是二元二次方程。
2.下列二元二次方程各表示什么图形？由 此你能得到什么结论？
(1)x2+y2 -2x- 4y +1=0
人教A版高中数学必修二课件第四章4.1.2圆的一般方程(共37张PPT).pptx
答案:(x-5)2+y2=16
【拓展提升】求轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当坐标系,设出动点M的坐标(x,y). (2)列出点M满足条件的集合. (3)用坐标表示上述条件,列出方程f(x,y)=0. (4)将上述方程化简. (5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点.
【变式训练】(2013·合肥高一检测)过原点O作圆x2+y2-8x=0
【解题探究】1.题1中三点与圆心、半径无直接联系,应怎样 设出圆的方程? 2.圆的一般方程中含有几个待定系数,在求圆的方程时如何求 出待定系数? 探究提示: 1.可设出圆的一般方程求解. 2.含有三个待定系数,需三个独立条件,列出三个方程构成方 程组求出待定系数.
【解析】1.选C.设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0分别代入 (－1,5)，(5,5)，(6,－2)得
C.(x-2)2+y2=25(y≠0)D.(x-2)2+y2=25
2.已知点A(-3,0),B(3,0),动点P满足|PA|=2|PB|.若点P的轨
迹为曲线C,则此曲线的方程为
.
【解题探究】1.直角三角形中的两条直角边,反映在直线位置 关系上是什么? 2.几何关系|PA|=2|PB|如何用数量关系表示? 探究提示: 1.直角三角形中的两条直角边,反映在直线位置关系上便是垂 直,因而其斜率之积为-1. 2.几何关系|PA|=2|PB|可通过两点间的距离公式转化为数量 关系.
r＝1 D2＋E2－4F＝ 5 | m－2 | . 2
方法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2， 因此，当m＝2时，它表示一个点， 当m≠2时，原方程表示圆的方程． 此时，圆的圆心为(2m，-m)，半径为r＝|m5－2|.
【拓展提升】求轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当坐标系,设出动点M的坐标(x,y). (2)列出点M满足条件的集合. (3)用坐标表示上述条件,列出方程f(x,y)=0. (4)将上述方程化简. (5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点.
【变式训练】(2013·合肥高一检测)过原点O作圆x2+y2-8x=0
【解题探究】1.题1中三点与圆心、半径无直接联系,应怎样 设出圆的方程? 2.圆的一般方程中含有几个待定系数,在求圆的方程时如何求 出待定系数? 探究提示: 1.可设出圆的一般方程求解. 2.含有三个待定系数,需三个独立条件,列出三个方程构成方 程组求出待定系数.
【解析】1.选C.设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0分别代入 (－1,5)，(5,5)，(6,－2)得
C.(x-2)2+y2=25(y≠0)D.(x-2)2+y2=25
2.已知点A(-3,0),B(3,0),动点P满足|PA|=2|PB|.若点P的轨
迹为曲线C,则此曲线的方程为
.
【解题探究】1.直角三角形中的两条直角边,反映在直线位置 关系上是什么? 2.几何关系|PA|=2|PB|如何用数量关系表示? 探究提示: 1.直角三角形中的两条直角边,反映在直线位置关系上便是垂 直,因而其斜率之积为-1. 2.几何关系|PA|=2|PB|可通过两点间的距离公式转化为数量 关系.
r＝1 D2＋E2－4F＝ 5 | m－2 | . 2
方法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2， 因此，当m＝2时，它表示一个点， 当m≠2时，原方程表示圆的方程． 此时，圆的圆心为(2m，-m)，半径为r＝|m5－2|.
人教A版高中数学必修2第四章4.1.2圆的一般方程课件(共16张PPT)
没有xy这样的二次项
ห้องสมุดไป่ตู้
练一练
1.下列方程能否表示圆方程？若能写出圆心与半径
(1) 2x2+2y2-12x+4y=0 是 圆心（3，-1）半径 10 (2) x2+2y2-6x+4y-1=0 不是
(3) x2+y2+2by=0
(4).x2 + y2 + 2ax - b2 = 0
巩固应用
1. 已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2,3),
y=-E/2，表示一个点（ - D , - E ）.
22
( x + D )2 + ( y + E )2 = D2 + E2 - 4F
2
2
4
(3) 当D2+E2-4F＜0时,方程无实数解,所 以不表示任何图形.
所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）可表示圆的方程
1.圆的一般方程:
例：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程
方法一：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
(x - a)2 + (y - b)2 = r2(r 0)
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 - a)2 + (1- b)2 = r 2 a = 2 (7 - a)2 + (-3 - b)2 = r 2 b = -3 (2 - a)2 + (-8 - b)2 = r 2 r = 5
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）
高中数学 4.1.2圆的一般方程课件 新人教A版必修2
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高中数学课件
知识回顾
1. 圆的标准方程； 2. 点与圆的位置关系及其判断。
问题探究
探究1：已知点M与两个定点O(0， 0)，A( 3， 0) 1 的距离之比为 ，求点M的轨迹方程并判断其轨 2 迹。
探究2：（1）方程x 2 y 2 2 x 4 y 1 0 表示什么图形？ （2）方程x y 2 x 4 y 6 0表示什么
2 2
图形？
探究3：方程x y Dx Ey F 0表示
2 2
什么图形？
学法小结
圆的一般方程： x y Dx Ey F （ 0 D E 4 F 0）
2 2 2 2
自我检测
检测1：教材P 123 练习T1 检测2：教材P 123 练习T2
典例精析
Hale Waihona Puke 例1：求过三点O(0， 0)，M 1 (1， 1)，M 2 (4， 2)的 圆的方程，并求这个圆 的半径长和圆心坐标。
例2：已知线段AB的端点B的坐标是(4， 3)， 端点A在圆( x 1) y 4上运动，求线段 AB
2 2
的中心M的轨迹方程。
高中数学课件
知识回顾
1. 圆的标准方程； 2. 点与圆的位置关系及其判断。
问题探究
探究1：已知点M与两个定点O(0， 0)，A( 3， 0) 1 的距离之比为 ，求点M的轨迹方程并判断其轨 2 迹。
探究2：（1）方程x 2 y 2 2 x 4 y 1 0 表示什么图形？ （2）方程x y 2 x 4 y 6 0表示什么
2 2
图形？
探究3：方程x y Dx Ey F 0表示
2 2
什么图形？
学法小结
圆的一般方程： x y Dx Ey F （ 0 D E 4 F 0）
2 2 2 2
自我检测
检测1：教材P 123 练习T1 检测2：教材P 123 练习T2
典例精析
Hale Waihona Puke 例1：求过三点O(0， 0)，M 1 (1， 1)，M 2 (4， 2)的 圆的方程，并求这个圆 的半径长和圆心坐标。
例2：已知线段AB的端点B的坐标是(4， 3)， 端点A在圆( x 1) y 4上运动，求线段 AB
2 2
的中心M的轨迹方程。
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未知量 是什么？
过三点O、M1、M2的圆方程
方案1：待定系数法
设x y Dx Ey F 0
2 2
(或 x a y b r 2）
2 2
方案2： 数形结合： 挖几何性 质
M1(1,1)
O(0,0)
D
E
F（或a, b, r )
挖出两条直径（弦中 垂线）方程
表示
（2）当D2+E2-4F=0时， 表示
（3）当D2+E2-4F<0时， 表示
D E D2 E 2 4F 圆心（ ， ), 半径为 的圆 2 2 2 D E 一个点（ ， ) 2 2 没有意义 回到目录
2、圆的一般方程的特点
当D E 4F 0时,方程x y Dx Ey F 0
∵A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)三点在圆上 52+12+5D+E+F=0 即: 5D+E+F=-26 ∴ 2 7 +(-3)2+7D-3E+F=0 7D-3E+F=-58 22+(-8)2+2D-8E+F=0 2D-8E+F=-68 解得:D=-4,E=6,F=-12 从而所求方程为:x2+y2-4x+6y-12=0
标题
§4.1.2圆的一般方程
§4.1.2圆的一般方程
一、问题情景 二、自主学习 三、教师点拨 四、课堂小结
本课结束
一、问题情景
我们知道：方程 x a y b r 2(r>0)表示圆心(a,b),半径为r的圆
2 2
那么方程x 2 y 2 Dx Ey F 0表示什么图形呢？
相关点法特点:点A在已知曲线C(方程已知）运动 导致了M点运动，求M点轨迹方程
回到目录
0
如果D2+E2-4F>0
D 2 E 2 D2 E 2 4F (x ) ( y ) 2 2 4
x
x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0
令-2a=D,-2b=E,a2+b2-r2=F
x2+y2+Dx+Ey+F=0
配方
注意: 二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0
（1）当D2+E2-4F>0时，
回到目录
二、自主学习
自学辅导教材123页§4.1.2 时间30分钟 （完成所有探究与练习） 集中全部精力！提升自学能力！
回到目录
三、教师点拨
1、圆的标准方程的变形研究
圆心在(a,b)，半径为r的圆的标准方程是
(x a) ( y b) r
展 开
2 2 2
y
o1(a,b)
D 2 E 2 D 2 E 2 4F 2 (x ) ( y ) ( ) 2 2 2
回到目录
已知量
是什么？
B(4,3)
M是AB中点
四、课堂小结
1.圆的方程有标准方程与一般方程两种形式，二 者之间可相互转化 2.求圆的方程关键是确定圆心坐标与半径 （1）常用“待定系数法”，先设出圆的方程 （两种设法），然后列方程组解之
（2）数形结合：挖掘几何性质，直接求圆心坐 标与半径 3 .求轨迹方程（实质是求轨迹上任意一点坐标关 系）
x a
圆的标准方程:
2
y b r
2程表明 圆的方程是一种特 殊的二元二次方程, 代数特征明显.
x y Dx Ey F 0 (D2 E 2 4F 0)
2 2
圆的一般方程:
回到目录
例4:求过 三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程.并求这 个圆的圆心坐标和半径长 M2(4,2)
回到目录
配方得(x-2)2+(y+3)2=25 ∴圆心为(2,-3),半径为5.
自我归纳：请根据以上例题归纳用待定系数法 求圆的方程的一般步骤
（1)根据题意，选择标准方程或一般方程； （2）根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组 （3）解出a,b,r或D,E,F代入标准方程或一般方程
回到目录
需要三个 方程构成 方程组 已知量
是什么？
圆上三点A(5,1),B(7,-3),C(2,8)
回到目录
练习:△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,3),C(2,-8),求它的外接圆方程,并求其半径和圆心坐标.
解方程组关键是消元 （1)代入消元 2 2 解:设所求方程为:x +y +Dx+Ey+F=0 （2）加减消元
例5 已知线段AB的端点B（4，3），端点A 2 2 在圆( x 1) y 4 上运动，求线段AB的 中点M的轨迹方程。
未知量 是什么？
线段AB中点M的轨迹方程
M的坐标（x,y) 中变量x与y之间满足的 等式。
求出A点坐标(用x,y表示）
A在圆( x 1)2 y 2 4 上运动
2 2 2 2
称为圆的一般方程.
D E D 2 E 2 4F 该圆的圆心是（ ， ), 半径r= 2 2 2
注意：圆的一般方程的3个特点
（1）x2与y2的系数相同，不等于0 （2）没有xy项 (3)D2 E 2 4F 0
回到目录
3、圆的标准方程与一般方程的关系以及各自特点 圆的标准方程 指出了圆心和 半径,几何特征 明显.
过三点O、M1、M2的圆方程
方案1：待定系数法
设x y Dx Ey F 0
2 2
(或 x a y b r 2）
2 2
方案2： 数形结合： 挖几何性 质
M1(1,1)
O(0,0)
D
E
F（或a, b, r )
挖出两条直径（弦中 垂线）方程
表示
（2）当D2+E2-4F=0时， 表示
（3）当D2+E2-4F<0时， 表示
D E D2 E 2 4F 圆心（ ， ), 半径为 的圆 2 2 2 D E 一个点（ ， ) 2 2 没有意义 回到目录
2、圆的一般方程的特点
当D E 4F 0时,方程x y Dx Ey F 0
∵A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)三点在圆上 52+12+5D+E+F=0 即: 5D+E+F=-26 ∴ 2 7 +(-3)2+7D-3E+F=0 7D-3E+F=-58 22+(-8)2+2D-8E+F=0 2D-8E+F=-68 解得:D=-4,E=6,F=-12 从而所求方程为:x2+y2-4x+6y-12=0
标题
§4.1.2圆的一般方程
§4.1.2圆的一般方程
一、问题情景 二、自主学习 三、教师点拨 四、课堂小结
本课结束
一、问题情景
我们知道：方程 x a y b r 2(r>0)表示圆心(a,b),半径为r的圆
2 2
那么方程x 2 y 2 Dx Ey F 0表示什么图形呢？
相关点法特点:点A在已知曲线C(方程已知）运动 导致了M点运动，求M点轨迹方程
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0
如果D2+E2-4F>0
D 2 E 2 D2 E 2 4F (x ) ( y ) 2 2 4
x
x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0
令-2a=D,-2b=E,a2+b2-r2=F
x2+y2+Dx+Ey+F=0
配方
注意: 二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0
（1）当D2+E2-4F>0时，
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二、自主学习
自学辅导教材123页§4.1.2 时间30分钟 （完成所有探究与练习） 集中全部精力！提升自学能力！
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三、教师点拨
1、圆的标准方程的变形研究
圆心在(a,b)，半径为r的圆的标准方程是
(x a) ( y b) r
展 开
2 2 2
y
o1(a,b)
D 2 E 2 D 2 E 2 4F 2 (x ) ( y ) ( ) 2 2 2
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已知量
是什么？
B(4,3)
M是AB中点
四、课堂小结
1.圆的方程有标准方程与一般方程两种形式，二 者之间可相互转化 2.求圆的方程关键是确定圆心坐标与半径 （1）常用“待定系数法”，先设出圆的方程 （两种设法），然后列方程组解之
（2）数形结合：挖掘几何性质，直接求圆心坐 标与半径 3 .求轨迹方程（实质是求轨迹上任意一点坐标关 系）
x a
圆的标准方程:
2
y b r
2程表明 圆的方程是一种特 殊的二元二次方程, 代数特征明显.
x y Dx Ey F 0 (D2 E 2 4F 0)
2 2
圆的一般方程:
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例4:求过 三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程.并求这 个圆的圆心坐标和半径长 M2(4,2)
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配方得(x-2)2+(y+3)2=25 ∴圆心为(2,-3),半径为5.
自我归纳：请根据以上例题归纳用待定系数法 求圆的方程的一般步骤
（1)根据题意，选择标准方程或一般方程； （2）根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组 （3）解出a,b,r或D,E,F代入标准方程或一般方程
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需要三个 方程构成 方程组 已知量
是什么？
圆上三点A(5,1),B(7,-3),C(2,8)
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练习:△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,3),C(2,-8),求它的外接圆方程,并求其半径和圆心坐标.
解方程组关键是消元 （1)代入消元 2 2 解:设所求方程为:x +y +Dx+Ey+F=0 （2）加减消元
例5 已知线段AB的端点B（4，3），端点A 2 2 在圆( x 1) y 4 上运动，求线段AB的 中点M的轨迹方程。
未知量 是什么？
线段AB中点M的轨迹方程
M的坐标（x,y) 中变量x与y之间满足的 等式。
求出A点坐标(用x,y表示）
A在圆( x 1)2 y 2 4 上运动
2 2 2 2
称为圆的一般方程.
D E D 2 E 2 4F 该圆的圆心是（ ， ), 半径r= 2 2 2
注意：圆的一般方程的3个特点
（1）x2与y2的系数相同，不等于0 （2）没有xy项 (3)D2 E 2 4F 0
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3、圆的标准方程与一般方程的关系以及各自特点 圆的标准方程 指出了圆心和 半径,几何特征 明显.