2015届高考数学总复习第六章 第四节基本不等式≤ (a,b∈R+ )精讲课件 文
第六章 第四节基本不等式≤ (a,b∈R+ )课件 理课件
考点四 利用基本不等式证明其他不等式
≥9. 【例4】 若x>0，y>0，x＋y＝1，求证：1＋1x·1＋1y
思路点拨：本题要求根据条件求最值，x＋y为常数， xy可有最大值，如何合理利用条件x＋y＝1是解答本题的关 键，可在要求的式子上乘以(x＋y)，也可通过三角换元转化 为三角问题.
之和为
f(x)
＝
20C(x)
＋
C1(x)
＝
20×
40 3x＋5
＋
6x
＝
800 3x＋5
＋
6x(0≤x≤10)．
(2)由(1)知 f(x)＝38x0＋05＋6x(0≤x≤10)， ∴f(x)＝38x0＋05＋2(3x＋5)－10≥
2 38x0＋05·23x＋5－10＝80－10＝70， 当且仅当38x0＋05＝2(3x＋5)时，等号成立， 即(3x＋5)2＝400,3x＋5＝±20， ∴x＝5 或 x＝－235(舍去)时，上式中的等号成立， 即 f(x)min＝70(万元)， 所以当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小， 最小值为 70 万元．
＝b时取等号)．
2
2
2(当且仅当a
三、均值不等式(基本不等式)
两个正数的均值不等式：若 a，b∈R＋，则a＋2 b
≥ ab(当且仅当 a＝b 时取等号)．
变式： ab≤a＋2 b2(a，b∈R＋)．
三个正数的均值不等式：a＋3b＋c≥3 abc(属知识
拓展)．
n
个
正
数
的
均
值
不
等
式
：
a1＋a2＋…＋an n
≥n a1a2…an(属知识拓展)．
四、最值定理
2015高考数学一轮总复习课件：6.4 基本不等式
第二十四页，编辑于星期五：十二点 三十五分。
点评：对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘 ，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的范围，然后 再利用基本不等式求最值.
规律总结：应用不等式可以解决生产、生活中的实际问题，在解决此类问 题时需注意：一要过“阅读”关，读懂题目，能够概括出问题所涉及的内容； 二要过“理解关”，准确理解和把握这些变量之间的关系；三要过“建模关”，在 前两步的基础上，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型；四要过“解 题关”，通过解决数学问题得出实际问题的结论.
第六页，编辑于星期五：十二点 三十五分。
自主测评
判断下列命题是否正确.
（1）ab≤a＋2 b2成立的条件是 ab>0.（ ）
（2）函数
f（x）＝cos
4 x＋cos
x，x∈0，π2的最小值等于
4.（
）
xy （3）“x>0 且 y>0”是“y＋x≥2”的充要条件.（ ）
1 （4）若 a>0，则 a3＋a2的最小值为 2 a.（ ）
第十四页，编辑于星期五：十二点 三十五分。
规范解题：（1）∵x＞－3，∴x＋3＞0，
2
2
∴x＋x＋3＝（x＋3）＋x＋3－3≥2 2－3，当且仅当 x＝ 2－3 时取等号，∴最小
值为 2 2－3.
（2）∵a＋b＝1，
∴原式＝1＋a＋a b1＋a＋b b＝2＋ba·2＋ba
＝5＋2ba＋ba≥9，当且仅当
规范解答：（1）设休闲区的宽为 a m，则长为 ax m，
20 10
由 a2x＝4 000，得 a＝
.（3 分）
x
则 S（x）＝（a＋8）（ax＋20） ＝a2x＋（8x＋20）a＋160
2015届高考数学总复习 第六章 第四节基本不等式≤ (a,b∈R+ )课时精练 理
第四节 基本不等式： ab ≤a ＋b2(a ，b ∈R ＋)1．已知a >0，b >0，“a ＋b ＝2” 是“ab ≤1”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由基本不等式可知，a ＋b ＝2⇒ab ≤1，但ab ≤1不能推出a ＋b ＝2.故选A. 答案：A2．(2013·常州质检)已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：因为x <0，所以－x >0，所以x ＋1x －2＝－(－x ＋1－x)－2≤－2（－x ）·1－x －2＝－4，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时，等号成立．答案：C3．(2013·长沙质检)若0<x <1，则当f (x )＝x (4－3x )取得最大值时，x 的值为( ) A.13 B.12 C.34 D.23解析：因为0<x <1，所以f (x )＝x (4－3x )＝13·3x (4－3x )≤13×⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4－3x 22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取得“＝”，故选D.答案：D4．设a ，b ，c ，d ∈R ，若a,1，b 成等比数列，且c,1，d 成等差数列，则下列不等式恒成立的是( )A ．a ＋b ≤2cdB ．a ＋b ≥2cdC ．|a ＋b |≤2cdD ．|a ＋b |≥2cd解析：∵ab ＝1>0，∴a ，b 同号．∴|a ＋b |＝|a |＋|b |≥2|a ||b |＝2.又c ＋d ＝2，∴(c ＋d )2＝4，即c 2＋d 2＋2cd ＝4.∴4－2cd ＝c 2＋d 2≥2cd ，得2cd ≤2，∴|a ＋b |≥2cd .故选D.答案：D5．已知函数f (x )＝2x满足f (m )·f (n )＝2，则mn 的最大值为( ) A.12 B.14 C.16 D.18解析：由已知得2m ·2n ＝2m ＋n＝2，所以m ＋n ＝1，于是mn ≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝14.故选B.答案：B6．函数y ＝x 2＋2x ＋2x ＋1(x >－1)的图象最低点的坐标为( )A ．(1,2)B ．(1，－2)C ．(1,1)D ．(0,2)解析：y ＝（x ＋1）2＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1≥2，当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时，y 最小值为2，故选D.答案：D7．某工厂第一年年底的产量为p ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则有( )A ．x ≥a ＋b 2B ．x ＝a ＋b 2C ．x ≤a ＋b 2D ．x >a ＋b 2解析：依题意得，该工厂第二年的产量为p (1＋a )，第三年的产量为p (1＋a )(1＋b )．又由于这两年的平均增长率为x ，则p (1＋x )2＝p (1＋a )·(1＋b )．于是(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋1＋b 22，所以1＋x ≤2＋a ＋b 2，即x ≤a ＋b 2.故选C.答案：C8．已知x >0，y >0,2x ＋y ＝13，则1x ＋1y的最小值是________________．解析：1x ＋1y ＝6x ＋3y x ＋6x ＋3y y ＝9＋3y x ＋6x y≥9＋218＝9＋6 2.答案：9＋6 29．若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：∵x ＞0，∴x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，∴x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞10．(2013·商丘模拟)若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y的最小值为__________．解析：依题意得4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2,9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ×3y ＝232x ＋y＝232＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，因此9x ＋3y的最小值是6.答案：611．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，4x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为6，则log3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b 的最小值为________．解析：画出不等式组表示的平面区域，可知当直线z ＝ax ＋by 经过点(2,4)时，z 取最大值，∴2a ＋4b ＝6，即1＝a ＋2b 3，所以1a ＋2b ＝a ＋2b 3a ＋2（a ＋2b ）3b ＝53＋2b 3a ＋2a 3b ≥2×23＋53＝3.∴lo g 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ≥log 33＝2.故log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b 的最小值为2. 答案：212．(2013·豫西五校联考)已知a ，b ∈R ，且ab ＝50，则|a ＋2b |的最小值是________．解析：依题意得，a ，b 同号，于是有|a ＋2b |＝|a |＋|2b |≥2|a |×|2b |＝22|ab |＝2100＝20(当且仅当|a |＝|2b |时取等号)，因此|a ＋2b |的最小值是20.答案：2013．围建一个面积为368 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口(如图所示)，已知旧墙的维修费用为180元/m ，新墙的造价为460元/m ，设利用的旧墙的长度为x (单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．解析：(1)因为利用的旧墙的长度为x 米，则以被利用的那部分旧墙为一边的矩形的另一边长的为368xm ，于是y ＝180x ＋460(x －2)＋460×2×368x＝640x ＋232×82×10x－920＝640x ＋338 560x－920(x >0)．(2)∵x >0，∴640x ＋338 560x≥2640x ·338 560x＝29 440.∴y ＝640x ＋338 560x－920≥29 440－920＝28 520，当且仅当640x ＝338 560x，即x ＝23时，等号成立．∴当x ＝23 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是28 520元．14．(2013·苏北四市联考)某开发商用9 000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．(1)若该写字楼共x 层，总开发费用为y 万元，求函数y ＝f (x )的表达式；(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？解析：(1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为： 4 000×2 000＝8 000 000(元)＝800(万元)，从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多： 100×2 000＝200 000(元)＝20(万元)，写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列， 所以函数表达式为：y ＝f (x )＝800x ＋x （x －1）2×20＋9 000＝10x 2＋790x ＋9 000(x ∈N *)；(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为：g (x )＝f （x ）2 000x ×10 000＝5（10x 2＋790x ＋9 000）x＝50⎝⎛⎭⎪⎫x ＋900x＋79≥50×(2900＋79)＝6 950(元)．当且仅当x ＝900x，即x ＝30时等号成立．答：该写字楼建为30层时，每平方米平均开发费用最低．。
2015高考数学配套课件：6-4 基本不等式
山 东
(2)条件变形进行“1”的代换求目标函数最值．
金 太
阳
书
业
有
限
公
司
菜 单 隐藏
第十九页，编辑于星期五：十五点 八分。
高考总复习 A 数学（理）
抓主干 考点
基本不等式的实际应用
解密
研考向
【例3】 为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2014年举行促
要点
探 究 销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促
训练
则函数的解析式可化为y＝(t＋1)＋t＋1t2＋1＝2t＋2t ＋3.
山 东
因为t>0，所以2t＋2t ≥2
金
2t×2t
＝4，当且仅当2t＝
2 t
，即t＝1，
太 阳
书
也就是x＝2时取等号．
业
有
所以2t＋2t ＋3≥4＋3＝7，即函数f(x)的最小值为f(2)＝7.故选D.
限 公
答案：D
司
菜 单 隐藏
10＋ xy＋1x6y ，因为x，y均为正数，所以由基本不等式得10＋ xy＋1x6y
山 东 金
≥10＋2 16＝18，
太 阳
当且仅当x＝12，y＝3时等号成立．
书
业
答案：18
有
限
公
司
菜 单 隐藏
第六页，编辑于星期五：十五点 八分。
高考总复习 A 数学（理）
抓主干 考点 解密
研考向 要点 探究
悟典题 能力 提升
要点
探究
____________________[通关方略]____________________
悟典题
能力 提升
2015届高考数学(理)一轮复习单元总结课件第六章《不等式》
(1)已知 a，b，c，d 均为实数，有下列命题：
①若 ab＜0，bc－ad＞0，则ca－db＞0；
②若 ab＞0，ca－db＞0，则 bc－ad＞0；
③若 bc－ad＞0，ca－db＞0，则 ab＞0.
其中正确命题的个数是( )．
A．0
B．1
C．2
D．3
(2)若 f(x)＝ax2＋bx，且 1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，
∴mn＝＝1223， ，∴12≤12(α＋β)≤2，－3≤32(α－β)≤－32，
∴－52≤2α－β≤12.
(1)A (2)[－52，12] (1)在不等式的这些性质中，乘(除)法性质的应用最 容易出错，所以在利用不等式性质推证不等式时，要紧扣不
等式性质成立的条件．(2)的出错点在于求出α、β范围， 再求 2α－β的范围，因为α、β是两个相互联系，相互制 约的量，而不是各自独立的，当α＋β取到最大值或最小值 时，α－β不一定能取到最值，所以用以上方法可能扩大变
A
3．“x<0”是“x＋1x≤－2”成立的(
)．
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
当
x<0
时
，
x
＋
1
x
＝
－
[(
－
x)
＋
(
－
1
x
)]
≤
－
2
（－x）·（－1x）＝－2.∵x
1
与x同号，∴若
x＋1x≤－2，
则 x<0，1x<0，∴“x<0”是“x＋1x≤－2”成立的充要条件，
D
(1)实数的大小比较常常转化为对它们差(简称作差
2015高考数学(理)一轮复习配套课件6-4基本不等式
取等号)．
3 项必须注意——基本不等式求最值应注意的问题 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一 正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个 条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技 巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
答案：18
1 2. 若 a>b>0，则 a ＋ 的最小值为( ba－b
2
)
A. 2 C. 4
B. 3 D. 5
1 1 2 解析： 依题意得 a－b>0， 所以 a ＋ ≥a ＋ ba－b b＋a－b 2 [ ] 2
[归纳拓展]
常用的几个重要不等式：
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． a＋b 2 (2)ab≤( 2 ) (a，b∈R)． a＋b 2 a2＋b2 (3)( )≤ (a，b∈R)． 2 2
b a (4) ＋ ≥2(a· b>0)． a b a＋b (5)1 1≤ ab≤ 2 ≤ a＋b 2 a2＋b2 2 (a>0，b>0)．
1 (3)已知 x，y>0，且 x＋4y＝1，则 xy 的最大值是 16
1 ，x ＋
1 y的最小值是
9
.
02突破3个热点考向
考向一 利用基本不等式求最值 例 1 值为( A. 9 C. 3 ) 9 B. 2 3 2 D. 2 (1)[2013· 重庆高考 ] 3－aa＋6 (－6≤a≤3)的最大
就是
a＋b 2 ab≤ 2 (a，b>0)等，还要注意“添、拆项”技巧和公式
等号成立的条件等．
2 个重要变形——基本不等式的变形 a＋b 2 a2＋b2 (1)ab≤( )≤ (当且仅当 a＝b 时取等号)，这个不等式链 2 2 用处很大． (2) a2＋b2 a＋b 2 2 ≥ 2 ≥ ab≥1 1(a>0，b>0，当且仅当 a＝b 时 a＋b
2015年高考数学一轮总复习精品课件：第六章+不等式 6.4 基本不等式及其应用(共27张PPT)
= 2,
当且仅当 x=2-x,即 x=1 时取等号.
∴当 x=1 时,函数 y= (4-2)的最大值是 2.
考点一
考点二
考点三
考点四
第十五页，编辑于星期五：十一点 十一分。
探究突破
方法提炼
利用基本不等式求最值的注意事项:
1.在应用基本不等式求最值时,要把握三个方面,即“一正——各项都是
正数;二定——和或积为定值;三相等——等号能取得”,这三个方面缺一不
于(B)
A.10
B.9
C.8
D.7
解析:由已知可得,m≤(2a+b)
2
2
+ +5
即 m≤
2
∵ +
2
+5
2
1
+
恒成立,
恒成立,
的最小值为 9,
∴m≤9,∴m 的最大值为 9.
考点一
考点二
考点三
考点四
第十八页，编辑于星期五：十一点 十一分。
探究突破
方法提炼
不等式恒成立问题要根据不等式的形式进行适当的变形,有的可用分
+
(5) + ≥2(a,b 同号且不为 0).
第五页，编辑于星期五：十一点 十一分。
6
梳理自测
基础自测
1.若 x+2y=4,则 2x+4y 的最小值是(B)
A.4
B.8
C.2 2
D.4 2
解析:∵2x+4y≥2· 2 ·22 =2· 2+2 =2· 24 =8,
当且仅当 2x=22y,即 x=2y=2 时取等号,∴2x+4y 的最小值为 8.
2015届高考数学(文)配套课件7-4《基本不等式》(人教版)
例 3 已知 a＞0，b＞0，且 ab＝a＋b＋3，求 a＋b 的最小 值．
【思路一】 化二元函数为一元函数． 【解析一】 ∵ab＝a＋b＋3，∴b＝aa＋ －31.
a＞0， 由b＝aa＋ －31＞0， 得 a＞1.
∴a＋b＝a＋aa＋ －31＝a＋1＋a－4 1 ＝a－1＋a－4 1＋2≥2 a－1·a－4 1＋2＝6. (当且仅当 a－1＝a－4 1即 a＝3 时，上式取“＝”号．) ∴a＋b 的最小值为 6.
探究 4 证明不等式时，可依据求证式两端的式子结构，合 理选择重要不等式及其变形不等式来证．
本题先局部运用重要不等式，然后用不等式的性质，通过不 等式相加(有时相乘)综合推出要求证的不等式，这种证明方法在 证明这类轮换对称不等式时具有一定的普遍性．
思考题 4 已知 a>0，b>0，c>0 且 a，b，c 不全相等，求 证：bac＋abc＋acb>a＋b＋c.
【证明】 ∵a，b，c ∈R＋，且不全相等， ∴bac＋abc≥2 bac·abc＝2c. 同理：abc＋acb≥2a，acb＋bac≥2b.
上述三个等号至少有一个不成立，三式相加，得 2bac＋abc＋acb>2(a＋b＋c)． 即bac＋abc＋acb>a＋b＋c. 【答案】 略
例 5 如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个 底宽 2 m 的无盖长方体的沉淀箱，污水从 A 孔流入，经沉淀后从 B 孔流出，设箱体的长度为 a m，高度为 b m，已知流出的水中 该杂质的质量分数与 a，b 的乘积 ab 成反比．现有制箱材料 60 m2， 问 a，b 各为多少 m 时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数 最小(A，B 孔面积忽略不计)．
【思路二】 将 ab＝a＋b＋3 与 ab≤(a＋2 b)2 联立消去 ab 可 建立关于 a＋b 的不等式，求出 a＋b 的取值范围，从而求得 a＋ b 的最小值．
2015高考数学一轮课件：第 6篇 第4节 基本不等式
基础梳理
课 时 训考练点 突 破
考点突破
数学 人教A版 ·文科 第十三页，编辑于星期五：十三点 三十四分。
基础梳理
利用基本不等式证明不等式
[例1] 设a>0，b>0，a＋b＝1， 求证a＋1a2＋b＋1b2≥225. [证明] 因为a>0，b>0，a＋b＝1， 所以1＝a＋b≥2 ab， ab≤12， 所以ab≤14，即a1b≥4.
答案：C
数学 人教A版 ·文科 第八页，编辑于星期五：十三点 三十四分。
基础梳理
课 时 训考练点 突 破
2．(2014武汉市高三调研)若logmn＝－1，则m＋3n的最
小值为( )
A．2
B．2 2
C．2 3
D．4
解析：∵logmn＝－1，m>0且m≠1，n>0，
∴mn＝1，
∴m＋3n≥2 3mn＝2 3，
数学 人教A版 ·文科 第二十四页，编辑于星期五：十三点 三十四分。
基础梳理
课 时 训考练点 突 破
(2)由2x－3＝12y得x＋y＝3， 1x＋my ＝13(x＋y)1x＋my ＝131＋m＋xy＋myx ≥13(1＋m＋2 m)，当且仅当xy＝myx时取等号 ∴13(1＋m＋2 m)＝3， 解得m＝4.故选D.
基础梳理
课 时 训考练点 突 破
利用基本不等式求最值
[例2] (1)(2014南京模拟)若x<0，则函数f(x)＝1－x－
1x6的最小值为________．
(2)设0<x<2，则函数y＝
x4－2x 的最大值为
________．
[思维导引] (1)直接利用基本不等式求最值注意保证
“一正，二定，三相等”；(2)配凑成基本不等式的形式求
2015高考数学一轮配套课件：6-4 第4课时 基本不等式
y2＝12时取等号，
∴x
1＋y2的最大值为3
4
2 .
基础知识整合
典例重点突破
试题深度研析
课时专项训练
第二十四页，编辑于星期五：十四点 六分。
高考总复习 数学
(3)因为 2x＞0,2y＞0，所以 1＝2x＋2y≥2 2x·2y
＝2 2x＋y，故 2x＋y≤12，
即 2x＋y≤14＝2－2， 所以 x＋y≤－2，故选 D.
课时专项训练
第二十页，编辑于星期五：十四点 六分。
高考总复习 数学
(4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次能否保证等号 成立，并且要注意多次取等号的条件是否一致，即多次等号 能否同时成立． (5)为了创造使用基本不等式的条件，常需要对求值的式子进 行恒等变形，运用基本不等式求最值的关键在于凑配“和” 与“积”，并且在凑配过程中注意等号成立的条件．
高考总复习 数学
(二)命题趋势 1．从考查内容看，主要考查利用不等式求最值，且常与函
数、数列、解析几何等结合在一起考查． 2．从考查形式看，主要以选择题、填空题的形式出现，考
查最值的求法；也可渗透在解答题中，难度一般不大， 属中低档题．
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典例重点突破
试题深度研析
课时专项训练
第三页，编辑于星期五：十四点 六分。
试题深度研析
课时专项训练
第八页，编辑于星期五：十四点 六分。
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对点演练
已知 m＞0，n＞0，且 mn＝81，则 m＋n 的最小值为
A．18 B．36
()
C．81 D．243
解析：∵m＞0，n＞0，∴m＋n≥2 mn＝18.当且仅当 m＝n＝9
时，等号成立．
6-4第四节 基本不等式(2015年高考总复习)
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第六章
第四节
高考总复习模块新课标
新课标A版数学
1 1 变式思考 2 (1)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则 ＋ 的最 x y 小值为__________． 2x (2)当x＞0时，f(x)＝ 2 的最大值为__________． x ＋1
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பைடு நூலகம்
题型一 【例1】 ＋b＋c＝1.
利用基本不等式证明不等式
(2013· 新课标全国卷Ⅱ)设a，b，c均为正数，且a
1 证明：(1)ab＋bc＋ac≤3； a2 b2 c2 (2) ＋ ＋ ≥1. b c a 【思维启迪】
答案 B
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5 1 3．若x＞ ，则f(x)＝4x＋ 的最小值为( 4 4x－5 A．－3 C．5 B．2 D．7
)
1 1 解析 f(x)＝4x＋ ＝4x－5＋ ＋5. 4x－5 4x－5 5 1 ∵x＞ ，∴4x－5＞0，∴4x－5＋ ≥2. 4 4x－5 3 故f(x)≥2＋5＝7，等号成立的条件是x＝ . 2
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备考这样做 1.注意基本不等式求最值时的条件． 2.在复习时注意对式子的灵活变形． 3.注意分类讨论思想及与函数思想的综合应用.
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2015年高考数学(理)一轮总复习课件：第六章+不等式、推理与证明 第4节 基本不等式
3．已知 t>0，则函数 y＝t2－4tt＋1的最小值为________． 【解析】 ∵t>0，∴y＝t2－4tt＋1＝t＋1t －4≥2－4＝－2， 当且仅当 t＝1 时等号成立． 【答案】 －2
第七页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
4．已知 x>1，则 x＋x－4 1的最小值为________． 【解析】 ∵x>1，∴x－1>0， ∴x＋x－4 1＝(x－1)＋x－4 1＋1≥4＋1＝5， 当且仅当 x－1＝x－4 1即 x＝3 时等号成立． 【答案】 5
第二十七页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
两个变形
基本不等式的变形
(1)a2＋2 b2≥a＋2 b2≥ab(a，b∈R，当且仅当 a＝b 时取等 号)；
(2)
a2＋2 b2≥a＋2 b≥ ab≥1a＋2 1b(a>0，b>0，当且仅当 a
＝b 时取等号)．
第二十八页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
当
x≥80
时，L(x)＝1
200－x＋10
000
x
≤1 200－2 x·10 x000＝1 200－200＝1 000.
此时，当 x＝10 x000时，即 x＝100 时 L(x)取得最大值 1 000
万元．
由于 950<1 000，
所以，当产量为 100 千件时，该厂在这一商品中所获利
润最大，最大利润为 1 000 万元．
三点注意 (1)使用基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”三 个条件缺一不可． (2) 在 运 用 基 本 不 等 式 时 ， 要 特 别 注 意 “ 拆 ”“ 拼 ”“ 凑 ” 等 技 巧 ， 使 其 满 足 基 本 不 等 式 中 “正”“定”“等”的条件． (3)多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能够保 证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性.
高考数学大一轮复习 第六章 第四节 基本不等式课件
(×) (√ ) (√ )
基础盘查二 利用基本不等式求最值问题 (一)循纲忆知
会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
(二)小题查验 1．判断正误
(1)函数y＝x＋1x的最小值是2 (2)x＞0且y＞0是xy＋xy≥2的充分不必要条件 (3)若a≠0，则a2＋a12的最小值为2
( ×) ( √) (√ )
＋c＝1，则1a＋1b＋1c的最小值为__9__．
解析：∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1， ∴1a＋1b＋1c＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋cb＋c＝3＋ba＋ac＋ab＋bc＋ac＋bc ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a＝b＝c＝13时，取等号．
[题点发散 5] 若本例变为：已知各项为正数的等比数列{an}满足 a7＝
a6＋2a5，若存在两项 am，an，使得
9
am·an＝2
2a1，则m1 ＋n4的最小
值为__5___．
解析：设公比为 q(q＞0)，由 a7＝a6＋2a5⇒a5q2＝a5q＋2a5⇒q2－q－2 ＝0(q＞0)⇒q＝2.
am·an＝2 2a1⇒a12m－1·a12n－1＝8a21⇒2m－1·2n－1＝8⇒m＋n－2＝3⇒m ＋n＝5，则m1 ＋n4＝15m1 ＋n4(m＋n)＝155＋mn ＋4nm≥15(5＋2 4)＝95， 当且仅当 n＝2m＝130时等号成立．
[题点发散 1] 本例的条件已知 a＞0，b＞0，a＋b＝1 不变，则1＋1a
1＋1b的最小值为__9___．
解析： 1＋1a 1＋1b ＝ 1＋a＋a b 1＋a＋b b ＝ 2＋ba ·2＋ab ＝5＋ 2ba＋ab≥5＋4＝9.当且仅当a＝b＝12时，取等号．
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第四节 基本不等式： (a，b∈R＋)
利用基本不等式比较数(或式)的大小
【例1】 若a>b>1，P＝
ln ，试比较P，Q，R的大小．
，Q＝ (ln a ＋ln b)，R＝
自主解答： 解析：∵a>b>1，∴ln a>ln b>0，
点评：如果两个数(式)的关系符合基本不等式的结构形式，
则可以用基本不等式比较大小，如果两个数(式)的关系通过 变形可以变成基本不等式的结构形式，则可以用基本不等
和．
(1)求k的值及f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
解析：(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗 费用为C(x)＝ 因此C(x)＝ ，再由C(0)＝8，得k＝40，
而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20× (2)由(1)知f(x)＝ ＋6x(0≤x≤10)， －10＝80－10＝70，
C．9
B．3
D．不存在
(2)(2012· 佛山一中期中)下列结论正确的是(
A．当x＞0且x≠1时，lg x＋ B．当x＞0时， C．当x≥2时，x＋ ≥2 的最小值为2 无最大值 ≥2
)
D．当0＜x≤2时，x－
思路点拨：对于(1)，根据等比数列所给的等式，找出m，n的
关系m＋n＝3，将所找的关系与
则t∈(0,1]，y＝t＋ 在(0,1]上为减函数， 故当t＝1时，y取最小值5，∴③错误．故选B. 答案：B
点评：利用基本不等式判断一个不等式的正误，主要看该
不等式是否满足基本不等式成立的条件．
变式探究
2．(2012· 广东执信中学检测)“a＞b＞0”是“ab＜ ”的( ) B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
当x≥2时，y＝x＋ 是增函数， ∴最小值为 C错；
对选项D，当0＜x≤2时，y＝x－ 是增函数， ∴有最大值2－ 答案：(1)B (2)B ，D错．故选B.
点评：在使用基本不等式求最值时，一定要注意其中的
等号能不能成立，是否符合使用基本不等式的条件．如果根
据限制条件等号不能成立，则应该通过其他方法解决 ( 如函 数、导数等 ) ．使用基本不等式求最值，其基本的技巧是变
式比较大小．
变式探究
1．已知m＝a＋ n之间的大小关系是( (a>2)，n＝ ) x2－2(x＜0)，则m，
A．m>n
C．m＝n
B．m<n
D．m≤n
解析：因为a>2，x<0，所以m＝(a－2)＋ ＋2＝4，
n＝22－x2＜22＝4，所以m>n.故选A. 答案：A
利用基本不等式判定不等式的正误 【例2】 给出以下四个不等式：
A．充分不必要条件 C．充要条件
解析：a2＋b2≥2ab中参数的取值不只是可以取正数．
均值不等式 答案：A 才需满足a>0，b>0.故选A.
利用最值定理求最值
【例3】 (1)(2012· 蚌埠质检)已知正项等比数列{an}满足a7 ，则 )
＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得 的最小值为(
A．1
思路点拨：本题要求根据条件求最值，x＋y为常数，xy可 有最大值，如何合理利用条件 x ＋y ＝1是解答本题的关键，可 在要求的式子上乘以(x＋y)，也可通过三角换元转化为三角问 题.
点评：利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式
的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条
件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻 辑推理最后转化为需证问题．
换，通过变换出现两式之和为常数或者两式之积为常数，达
到使用基本不等式的目的．使用基本不等式求最值时，要注 意三个条件，即“一正、二定、三相等”．
变式探究 3．(1)设a＞0，b＞0.若 的最小值为________． (2) 已知 x ， y∈R ＋ ，且满足 ________． ＝ 1 ，则 xy 的最大值为 是3a与3b的等比中项，则
①(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)；
②|a|＋ ③sin x＋ 其中正确的个数是( A．0 B．1 ) C．2 D．3 ≥4；
解析：①(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≥2ab＋2ab＝4ab，∴①正确．
∴②错误．③当sin x＝ 显然等号取不到， 事实上，设t＝sin x，
时，sin x＝±2，
解析：(1)由题有()2＝3a· 3b⇒a＋b＝1，又a＞0，b＞0，
(2)因为x＞0，y＞0， 所以 所以(4x)· (3y)≤ 可化为4x＋3y＝12，
2＝36(当且仅当4x＝3y时等号成立)，
即12xy≤36，所以xy≤3.所以xy的最大值为3. 答案：(1)4 (2)3
利用基本不等式证明其他不等式 【例4】 若x>0，y>0，x＋y＝1，求证： ≥9.
求最值，关键的一步是
结合，再用基本不等式
对于(2)，用基本不等式或函数的单调性对选项进行验证，可 得到结论．
解析：(1)设等比数列的公比为q，则由a7＝a6＋2a5得q2＝q
＋2，解得q＝2(舍去负值q＝－1)， ∴aman＝aqm＋n－2＝2a，得2m＋n－2＝2. ∴m＋n＝3.
故选B. (2)对选项 A，当0＜x＜ 1时，lg x ＜0，A错；对选项究 4．已知a＞0，b＞0且a＋b＝1.求证：
∴原不等式成立．
基本不等式的实际应用 【例5】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋
的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年 的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每 年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满 足关系： 若不建隔热层，每年能源消耗 费用为8万元．设f为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之
当且仅当
＝2(3x＋5)时，等号成立，
即(3x＋5)2＝400,3x＋5＝±20， ∴x＝5或x＝－ (舍去)时，上式中的等号成立，即 f(x)min＝70(万元)， ∴当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小，最小值为 70万元．
点评：(1) 解实际应用题的基本思路是：①设变量时一般把 要求的变量定义为函数；②根据实际问题抽象出函数的解 析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；③在求函 数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量 的取值范围)内求解． (2)利用基本不等式解决实际问题的关键是使用变量表示求 解目标，可以建立一个变量的函数关系，也可以建立满足