2015届高考数学总复习第六章 第四节基本不等式≤ (a,b∈R+ )精讲课件 文
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第六章
第四节 基本不等式： (a，b∈R＋)
利用基本不等式比较数(或式)的大小
【例1】 若a>b>1，P＝
ln ，试比较P，Q，R的大小．
，Q＝ (ln a ＋ln b)，R＝
自主解答： 解析：∵a>b>1，∴ln a>ln b>0，
点评：如果两个数(式)的关系符合基本不等式的结构形式，
则可以用基本不等式比较大小，如果两个数(式)的关系通过 变形可以变成基本不等式的结构形式，则可以用基本不等
和．
(1)求k的值及f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
解析：(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗 费用为C(x)＝ 因此C(x)＝ ，再由C(0)＝8，得k＝40，
而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20× (2)由(1)知f(x)＝ ＋6x(0≤x≤10)， －10＝80－10＝70，
C．9
B．3
D．不存在
(2)(2012· 佛山一中期中)下列结论正确的是(
A．当x＞0且x≠1时，lg x＋ B．当x＞0时， C．当x≥2时，x＋ ≥2 的最小值为2 无最大值 ≥2
)
D．当0＜x≤2时，x－
思路点拨：对于(1)，根据等比数列所给的等式，找出m，n的
关系m＋n＝3，将所找的关系与
则t∈(0,1]，y＝t＋ 在(0,1]上为减函数， 故当t＝1时，y取最小值5，∴③错误．故选B. 答案：B
点评：利用基本不等式判断一个不等式的正误，主要看该
不等式是否满足基本不等式成立的条件．
变式探究
2．(2012· 广东执信中学检测)“a＞b＞0”是“ab＜ ”的( ) B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
当x≥2时，y＝x＋ 是增函数， ∴最小值为 C错；
对选项D，当0＜x≤2时，y＝x－ 是增函数， ∴有最大值2－ 答案：(1)B (2)B ，D错．故选B.
点评：在使用基本不等式求最值时，一定要注意其中的
等号能不能成立，是否符合使用基本不等式的条件．如果根
据限制条件等号不能成立，则应该通过其他方法解决 ( 如函 数、导数等 ) ．使用基本不等式求最值，其基本的技巧是变
式比较大小．
变式探究
1．已知m＝a＋ n之间的大小关系是( (a>2)，n＝ ) x2－2(x＜0)，则m，
A．m>n
C．m＝n
B．m<n
D．m≤n
解析：因为a>2，x<0，所以m＝(a－2)＋ ＋2＝4，
n＝22－x2＜22＝4，所以m>n.故选A. 答案：A
利用基本不等式判定不等式的正误 【例2】 给出以下四个不等式：
A．充分不必要条件 C．充要条件
解析：a2＋b2≥2ab中参数的取值不只是可以取正数．
均值不等式 答案：A 才需满足a>0，b>0.故选A.
利用最值定理求最值
【例3】 (1)(2012· 蚌埠质检)已知正项等比数列{an}满足a7 ，则 )
＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得 的最小值为(
A．1
思路点拨：本题要求根据条件求最值，x＋y为常数，xy可 有最大值，如何合理利用条件 x ＋y ＝1是解答本题的关键，可 在要求的式子上乘以(x＋y)，也可通过三角换元转化为三角问 题.
点评：利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式
的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条
件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻 辑推理最后转化为需证问题．
换，通过变换出现两式之和为常数或者两式之积为常数，达
到使用基本不等式的目的．使用基本不等式求最值时，要注 意三个条件，即“一正、二定、三相等”．
变式探究 3．(1)设a＞0，b＞0.若 的最小值为________． (2) 已知 x ， y∈R ＋ ，且满足 ________． ＝ 1 ，则 xy 的最大值为 是3a与3b的等比中项，则
①(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)；
②|a|＋ ③sin x＋ 其中正确的个数是( A．0 B．1 ) C．2 D．3 ≥4；
解析：①(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≥2ab＋2ab＝4ab，∴①正确．
∴②错误．③当sin x＝ 显然等号取不到， 事实上，设t＝sin x，
时，sin x＝±2，
解析：(1)由题有()2＝3a· 3b⇒a＋b＝1，又a＞0，b＞0，
(2)因为x＞0，y＞0， 所以 所以(4x)· (3y)≤ 可化为4x＋3y＝12，
2＝36(当且仅当4x＝3y时等号成立)，
即12xy≤36，所以xy≤3.所以xy的最大值为3. 答案：(1)4 (2)3
利用基本不等式证明其他不等式 【例4】 若x>0，y>0，x＋y＝1，求证： ≥9.
求最值，关键的一步是
结合，再用基本不等式
对于(2)，用基本不等式或函数的单调性对选项进行验证，可 得到结论．
解析：(1)设等比数列的公比为q，则由a7＝a6＋2a5得q2＝q
＋2，解得q＝2(舍去负值q＝－1)， ∴aman＝aqm＋n－2＝2a，得2m＋n－2＝2. ∴m＋n＝3.
故选B. (2)对选项 A，当0＜x＜ 1时，lg x ＜0，A错；对选项究 4．已知a＞0，b＞0且a＋b＝1.求证：
∴原不等式成立．
基本不等式的实际应用 【例5】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋
的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年 的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每 年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满 足关系： 若不建隔热层，每年能源消耗 费用为8万元．设f为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之
当且仅当
＝2(3x＋5)时，等号成立，
即(3x＋5)2＝400,3x＋5＝±20， ∴x＝5或x＝－ (舍去)时，上式中的等号成立，即 f(x)min＝70(万元)， ∴当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小，最小值为 70万元．
点评：(1) 解实际应用题的基本思路是：①设变量时一般把 要求的变量定义为函数；②根据实际问题抽象出函数的解 析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；③在求函 数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量 的取值范围)内求解． (2)利用基本不等式解决实际问题的关键是使用变量表示求 解目标，可以建立一个变量的函数关系，也可以建立满足
第四节 基本不等式： (a，b∈R＋)
利用基本不等式比较数(或式)的大小
【例1】 若a>b>1，P＝
ln ，试比较P，Q，R的大小．
，Q＝ (ln a ＋ln b)，R＝
自主解答： 解析：∵a>b>1，∴ln a>ln b>0，
点评：如果两个数(式)的关系符合基本不等式的结构形式，
则可以用基本不等式比较大小，如果两个数(式)的关系通过 变形可以变成基本不等式的结构形式，则可以用基本不等
和．
(1)求k的值及f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
解析：(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗 费用为C(x)＝ 因此C(x)＝ ，再由C(0)＝8，得k＝40，
而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20× (2)由(1)知f(x)＝ ＋6x(0≤x≤10)， －10＝80－10＝70，
C．9
B．3
D．不存在
(2)(2012· 佛山一中期中)下列结论正确的是(
A．当x＞0且x≠1时，lg x＋ B．当x＞0时， C．当x≥2时，x＋ ≥2 的最小值为2 无最大值 ≥2
)
D．当0＜x≤2时，x－
思路点拨：对于(1)，根据等比数列所给的等式，找出m，n的
关系m＋n＝3，将所找的关系与
则t∈(0,1]，y＝t＋ 在(0,1]上为减函数， 故当t＝1时，y取最小值5，∴③错误．故选B. 答案：B
点评：利用基本不等式判断一个不等式的正误，主要看该
不等式是否满足基本不等式成立的条件．
变式探究
2．(2012· 广东执信中学检测)“a＞b＞0”是“ab＜ ”的( ) B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
当x≥2时，y＝x＋ 是增函数， ∴最小值为 C错；
对选项D，当0＜x≤2时，y＝x－ 是增函数， ∴有最大值2－ 答案：(1)B (2)B ，D错．故选B.
点评：在使用基本不等式求最值时，一定要注意其中的
等号能不能成立，是否符合使用基本不等式的条件．如果根
据限制条件等号不能成立，则应该通过其他方法解决 ( 如函 数、导数等 ) ．使用基本不等式求最值，其基本的技巧是变
式比较大小．
变式探究
1．已知m＝a＋ n之间的大小关系是( (a>2)，n＝ ) x2－2(x＜0)，则m，
A．m>n
C．m＝n
B．m<n
D．m≤n
解析：因为a>2，x<0，所以m＝(a－2)＋ ＋2＝4，
n＝22－x2＜22＝4，所以m>n.故选A. 答案：A
利用基本不等式判定不等式的正误 【例2】 给出以下四个不等式：
A．充分不必要条件 C．充要条件
解析：a2＋b2≥2ab中参数的取值不只是可以取正数．
均值不等式 答案：A 才需满足a>0，b>0.故选A.
利用最值定理求最值
【例3】 (1)(2012· 蚌埠质检)已知正项等比数列{an}满足a7 ，则 )
＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得 的最小值为(
A．1
思路点拨：本题要求根据条件求最值，x＋y为常数，xy可 有最大值，如何合理利用条件 x ＋y ＝1是解答本题的关键，可 在要求的式子上乘以(x＋y)，也可通过三角换元转化为三角问 题.
点评：利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式
的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条
件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻 辑推理最后转化为需证问题．
换，通过变换出现两式之和为常数或者两式之积为常数，达
到使用基本不等式的目的．使用基本不等式求最值时，要注 意三个条件，即“一正、二定、三相等”．
变式探究 3．(1)设a＞0，b＞0.若 的最小值为________． (2) 已知 x ， y∈R ＋ ，且满足 ________． ＝ 1 ，则 xy 的最大值为 是3a与3b的等比中项，则
①(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)；
②|a|＋ ③sin x＋ 其中正确的个数是( A．0 B．1 ) C．2 D．3 ≥4；
解析：①(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≥2ab＋2ab＝4ab，∴①正确．
∴②错误．③当sin x＝ 显然等号取不到， 事实上，设t＝sin x，
时，sin x＝±2，
解析：(1)由题有()2＝3a· 3b⇒a＋b＝1，又a＞0，b＞0，
(2)因为x＞0，y＞0， 所以 所以(4x)· (3y)≤ 可化为4x＋3y＝12，
2＝36(当且仅当4x＝3y时等号成立)，
即12xy≤36，所以xy≤3.所以xy的最大值为3. 答案：(1)4 (2)3
利用基本不等式证明其他不等式 【例4】 若x>0，y>0，x＋y＝1，求证： ≥9.
求最值，关键的一步是
结合，再用基本不等式
对于(2)，用基本不等式或函数的单调性对选项进行验证，可 得到结论．
解析：(1)设等比数列的公比为q，则由a7＝a6＋2a5得q2＝q
＋2，解得q＝2(舍去负值q＝－1)， ∴aman＝aqm＋n－2＝2a，得2m＋n－2＝2. ∴m＋n＝3.
故选B. (2)对选项 A，当0＜x＜ 1时，lg x ＜0，A错；对选项究 4．已知a＞0，b＞0且a＋b＝1.求证：
∴原不等式成立．
基本不等式的实际应用 【例5】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋
的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年 的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每 年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满 足关系： 若不建隔热层，每年能源消耗 费用为8万元．设f为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之
当且仅当
＝2(3x＋5)时，等号成立，
即(3x＋5)2＝400,3x＋5＝±20， ∴x＝5或x＝－ (舍去)时，上式中的等号成立，即 f(x)min＝70(万元)， ∴当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小，最小值为 70万元．
点评：(1) 解实际应用题的基本思路是：①设变量时一般把 要求的变量定义为函数；②根据实际问题抽象出函数的解 析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；③在求函 数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量 的取值范围)内求解． (2)利用基本不等式解决实际问题的关键是使用变量表示求 解目标，可以建立一个变量的函数关系，也可以建立满足