量子力学习题

第六章 角动量初步

6-1 分别用球坐标和直角坐标证明z

L ˆ是厄米算符 6-2 试证明：ϕθϕθψ33sin )(),,(i e r f r =为2

ˆL 和z

L ˆ的共同本征函数，并求相应的本征值。说明当体系处于此状态时，y

x L L ˆ,ˆ有无确定值。 6-3 设体系处在102111Y C Y C +=ψ的状态中，试：（1）将此波函数归一化；（2）求力学量2

L

的测量值及相应的几率；（3）求力学量z L 的可能值及相应的几率；（4）x L 和y L 的可能值及相应的几率。

6-4 设在2ˆL 和z L ˆ的共同表象中，算符y L 的矩阵表示为⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--=0000022i i i i L y ，求它的

本征值和归一化的本征函数，并将它表示成m Y 1的线性叠加。

6-5 求粒子处在态lm Y 时，轨道角动量的x 分量和y 分量的平均值x L 和y L ，并证明

)(2

)()(22

22m l l L L y x -+=

∆=∆ 6-6 设体系处于z

L ˆ的本征态lm Y ，求证轨道角动量沿与z 轴成θ角方向上的分量的平均值为θcos m 了。

6-7 设体系处于某一状态，在该状态中测量力学量L 2 得到的值是2

2 ，测量力学量z

L ˆ得到的值为 -，求测量力学量x L 和y L 的可能值。 6-8 求L 2 ，x L 的共同本征函数，限定2

2

2 =L 。 6-9 对于11Y ，求x L 的取值及相应的几率。

6-10 试证明：（1）{}

x r L L r i L x x L x )ˆˆ()ˆˆ(ˆˆˆˆ22 ⨯-⨯=- （2）{}

x

x x x p L L p i L p p L )ˆˆ()ˆˆ(ˆˆˆˆ22 ⨯-⨯=- 6-11 证明： （1）p i p L L p

ˆ2ˆˆˆˆ =⨯+⨯ （2）⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⨯-⨯p L p L L p i ˆ,ˆ)ˆˆˆˆ(2 6-12 证明：p r i p r p r L

∙+∙-=2

222)(ˆ

，进而证明

r

r r r L

r p ∂∂∂∂-=2222221ˆ1ˆ

6-13 对于（z L L ˆ,ˆ2）的共同本征态),(ϕθlm Y ，计算2x L 和2y

L 的平均值，以及y x L L ∆∆,，验证测不准关系。

6-14 粒子处于状态0,)2(>++=-αψαr e z y x C ，C 为归一化常数。求（1）L 2 的取值；

（2）z L ˆ的平均值；（3） =z L 的几率；（4）L x 的可能值及相应的几率。 6-15 将（z

L L ˆ,ˆ2）的共同本征态Y l m ，记为lm ，证明1002002

=Ω=∑⎰∑

m

lm m

d Y r r

Y lm r

r

6-16 运用（z L L ˆ,ˆ2）的共同本征矢作为基矢，写出表示轨道角动量算符±L L L z ˆ,ˆ,ˆ2和y

L ˆ的矩阵。指出从0=l 到2=l 的矩阵元。

6-17 （1）在2ˆJ 和z

J ˆ是对角的，即以jm 作为基矢的表象中，对2

1=j 的体系写出+J ˆ和-

J ˆ矩阵。

（2）对于（1）中的体系导出z

y x J J J ˆ,ˆ,ˆ的矩阵。 6-18 （1）已知2

1=

j 的体系在2ˆJ 和z J ˆ的表象中的x

J ˆ矩阵(见上题)，试求通过变换S J S x 1-使x J ˆ对角化的么正矩阵S （2）在x J ˆ是对角的表象中，写出z

y J J ˆ,ˆ和2

ˆJ 的矩阵。 6-19 对于)21(ˆ,ˆ,ˆ2

2

212

1=j J J J z ，)21(ˆ2=m J z 的共同本征态2

1,212

211==m j m j ，求21ˆˆˆJ J J +=的平方2ˆJ 的平均值及2J 的取值几率分布。（01≠j ） 6-20 设21ˆˆˆJ J J +=代表两个角动量1ˆJ 与2

ˆJ 之和,求证：

（1）m m z z jm

J m j jm J m j '

1'1''ˆˆδ=，即z

J 1ˆ对量子数m 是对角化的。（提示：利用[]0ˆ,ˆ1=±

J J z

）

（2）11'1'''

ˆ1ˆ±±±±=m m jm

J m j jm J m j δ 。（提示：利用[]

±

±±=11ˆˆ,ˆJ J J z ） 6-21 证明（1）m l m l lm Y l l m l m l Y l l m l m l Y ,12

1,12

1

])

12)(12())(([

])

32)(12()1)(1([

cos -++--+++++-++=θ

（2）}])

12)(12()1)(([

])

32)(12()1)(2({[

)(sin 1,12

11,12

1+-+++----+++++++=m l m l i lm Y l l m l m l Y l l m l m l e Y ϕ

θ

6-22. 证明2ˆL

和2∇的球坐标表达式 ⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=2

2222sin 1sin sin 1ˆϕθθθθθ L ，222222222222ˆ11L r r r r r z y x -⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∇