矩形的性质与判定经典例题练习

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矩形的性质与判定练习题(经典实用)

矩形的性质与判定练习题(经典实用) 矩形的性质和判定练习题(精选)1(矩形的对边，对角线且，四个角都是 .2(矩形是面积的60，一边长为5，则它的一条对角线长等于。

3(如果矩形的一边长为8，一条对角线长为10，那么这个矩形面积是__________。

4. 矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是___________.5.形的两条对角线的夹角是60?，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为_______，短边长为_______. 6(已知，如图:在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A(10，0)、C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当?ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为。

7(若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线等于 .y 8(平行四边形没有而矩形具有的性质是( ) P B C A、对角线相 B、对角线互相垂 C、对角线互相平分 D、对角相等9.下列叙述错误的是( )A.平行四边形的对角线互相平分。

B.平行四边形的四个内角相等。

x D A OC.矩形的对角线相等。

D.有一个角时90º的平行四边形是矩形10.下列检查一个门框是否为矩形的方法中正确的是( ) (6题图) A(测量两条对角线是否相等 B(用曲尺测量对角线是否互相垂直C(用曲尺测量门框的三个角是否都是直角D.测量两条对角线是否互相平分,ABC,AOB11(矩形ABCD的对角线相交于点O，如果的周长比的周长大10cm，则AD的长是( )A、5cmB、7.5cmC、10cmD、12.5cm 12.下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A、平行四边形B、等边三角形C、矩形D、直角三角形5一个矩形周长是12cm, 对角线长是5cm, 那么它的面积为 .6(如图，在?ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE?AB于E，PF?AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为( )55564235 A( B( C( D(二、解答题7、已知:如图，在?ABC中，AB=AC，AD?BC，垂足为点D，AN是?ABC的外角?CAM的平分线，CE?AN，垂足为点E，求证:四边形ADCE为矩形。

初一下册矩形的性质与判定练习题含答案

矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也说是长方形。

矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形的对角线相等且互相平分。

特别提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半矩形具有平行四边形的一切性质。

矩形的判定方法有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形【例题】专题一：矩形的性质矩形的性质性质1. 矩形的四个角都是直角。

几何语言：∵四边形ABCD 是矩形；∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°性质2. 矩形的对角线相等且平分。

几何语言：∵四边形ABCD 是矩形；∴OA=OC=OB=OD=D B 21AC 21==性质3. 对边平行且相等几何语言：∵四边形ABCD 是矩形；∴AD=BC ， AD ∥BC 或者 AB=CD ， AB ∥CD3. 直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

几何语言：∵ 在Rt △ABC 中，OA=OC （OB 是AC 边上的中线）∴ OB=21AC在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。

矩形具有平行四边形的一切性质。

1．如图，矩形ABCD 中，BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ，若AE=1，EF ＝2，则FC ＝，AB ＝。

FEADBFC ＝1，AB ＝2.2．只用一把刻度尺检查一张四边形纸片是否是矩形，下列操作中最为恰当的是（）A. 先测量两对角线是否互相平分，再测量对角线是否相等 CB. 先测量两对角线是否互相平分，再测量是否有一个直角C. 先测量两组对边是否相等，再测量对角线是否相等D. 先测量两组对边是否互相平行，再测量对角线是否相等3.已知：如图3-32，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AC = 10cm ，∠ACB = 30°, 则∠AOB = °，AD = cm ；60 534.如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在点E 处，求证：EF =DF .5.如图，在Rt ⊿ABC 中，∠C = 90，AC = AB ，AB = 30，矩形 DEFG 的一边DE 在AB 上，顶点G 、F 分别在AC 、BC 上，若 DG ：GF = 1：4，则矩形DEFG 的面积是 100 ；专题二：矩形的判定图3-32OBACDABCDF G矩形的判定方法方法1：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

矩形的性质与判定习题及答案

由题意得：AE＝CF＝t
AE＝CF＝t
∵点G、H分别是矩形ABCD的边AB、 EF＝5﹣2（5﹣t）＝2t-5
DC的中点，
∴ BG 1 AB，CH 1 CD
2
2
∴2t-5=4 ∴t＝4.5
又∵AB=CD,AB∥CD
综上，当t为0.5秒或4.5秒时，
∴BG∥CH，BG=CH
四边形EGFH为矩形
∴四边形BCHG为平行四边形
2
2
4
∴ 13 PE PF 15
4
∴ PE PF 60 13
（1）矩形的面积公式是S=长×宽（两邻边的乘积）
（2）过矩形对角线交点O的任一直线平分矩形ABCD的面积
（3）矩形ABCD对角线AC、BD相交于点O，则
①△ABO≌△CDO，△AOD≌△COB
△ABO，△CDO，△AOD，△COB都是等腰三角形
1
2
证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，在△AEG与△CFH中
∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC， ∠B＝90°
∴∠1＝∠2 ∵G、H分别是AB、DC的中点 ∴AG＝BG，CH＝DH ∴AG＝CH
AG CH
1
2
AE CF
∴△AEG≌△CFH（SAS）
∴EG＝FH
∵AE＝CF
又∵GF＝HE
②△ABD≌△CDB≌△BAC≌△DCA
△ABD，△CDB，△BAC，△DCA都是直角三角形
③S△ABO
=S△BCO
=S△CDO
=S△AOD
=
1 4
S矩形ABCD
例4．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、 H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE＝BF＝CG ＝DH．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．

矩形的性质与判定练习(含答案)

交于点 G ，四边形 ABGD 的面积是
．
26．如图，在长方形 ABCD 中， AB 4cm ，BC 8cm ．E 、F 分别是 AB 、BC 的中点．则
E 到 DF 的距离是
cm ．
27．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，矩形OABC 中， A(10, 0) ，C(0, 4) ， D 为
（1） BCD 的形状为
；
（2）随着点 E 位置的变化， DBF 的度数是否变化？并结合图说明你的理由；
（3）当点 F 落在边 AC 上时，若 AC 6 ，请直接写出 DE 的长．
43．如图，在平行四边形 ABCD 中，AC AD ，延长 DA 于点 E ，使得 DA AE ，连接 BE ．（1）求证：四边形 AEBC 是矩形；（2）过点 E 作 AB 的垂线分别交 AB ，AC 于点 F ，G ，连接 CE 交 AB 于点 O ，连接 OG ，若 AB 6 ， CAB 30 ，求 OGC 的面积．
且 OE 2DE ，则 DE 的长为
．
19．如图， ABC 中， AC 的垂直平分线分别交 AC 、 AB 于点 D 、 F ， BE DF 交 DF 延
长线于 E ，已知 A 30 ， BC 2 ， AF BF ，则四边形 BCDE 的面积是
．
20．如图，在 ABC 中， AD BC 于 D ， BE AC 于 E ， M 为 AB 边的中点，连结 ME 、
A． 3 1
B． 3 1
C． 6 1
D． 6 1
15．如图，在矩形 ABCD 中， AB 4 ， BC 6 ，点 E 为 BC 的中点，将 ABE 沿 AE 折叠，使点 B 落在矩形内点 F 处，连接 CF ，则 CF 的长为 ( )

完整版矩形的判定和性质练习题

矩形的判定和性质（基础练习）1. 在矩形ABCD中，对角线交于0点，AB=0.6, BC=0.8,那么△ AOB的面积为________________ ；周长为 _______________ .2. 一个矩形周长是12cm,对角线长是5cm,那么它的面积为__________________________ .3. 在厶ABC中，AM是中线， BAC= 90 , AB=6cm, AC=8cm,那么AM的长为4. 如图，矩形ABCD对角线交于O点，EF经过O点，那么图中全等三角形共有__________________________ 对.5. 在矩形ABCD中，AB=3, BC=4, P为形内一点，那么PA+PB+PC+PD的最小值为6.在矩形ABCD 内有一点Q,满足QA=1, QB=2, QC=3,那么QD的长为7. 如图，矩形ABCD的对角线交于O点，若OA=1, BC= .. 3 ,那么BDC的大小为 ___________________ .8. 如图，矩形ABCD对角线交于O点，且满足AM=BN,给出以下结论：① MN //DC;② DMN= MNC;③ S V OMD S ON c .其中正确的是_______________ .9. 一个平行四边形的四个内角的角平分线相交围成的四边形的形状是10.如图，在矩形ABCD 中，AE平分BAD, CAE= 15 ,那么BOE的度数为.解题技巧11.在矩形ABCD中，三等分点，那么AB : A和B的平分线交边CD于点M和BC的值为_____________________ .N,若M、N是CD的D CDB E14. 如图，矩形ABCD 的周长为16cm, DE=2cm, 三角形的面积为 _____________________ .15. 如图，在矩形 ABCD中，AD=12, AB=7, DF在平面上是否存在点 Q,使得QA=QD=QE=QF? 若存在，求出说明理由•16. 一个四边形满足：它的每个顶点到其它三个顶点的距离之和相等，试判断这个四边形的形状•17. 已知矩形ABCD ，试问：当边 AB 和BC 满足什么条件时，在边CD 上一定存在点P,使得 PA PB?12. 如图，在矩形 ABCD 中，DE BE= ______________________ .13. 如图,在矩形 ABCD 中,AP=DC, PH=PC,求证：PB 平分 CBH.AC 于点 E,QA 的长；若不存在,矩形的判定和性质（巩固练习）1. 矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是_____________2. 矩形的两条对角线的夹角是60°, —条对角线与矩形短边的和为15,那么矩形对角线的长为_______ ，短边长为_________3. 若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12,则斜边上的中线等于4. 如图，E为矩形ABC%角线AC上一点，DE± AC于E,Z ADE: / EDC=2:3,则/ BDE为__________成立吗？试说明理由.11. 如图，在矩形ABCD中, AB=3, BC=4,如果将该矩形沿对角线BD重叠，求图中阴影部分的面积.5.矩形的两邻边分别为4 cm和3 cm,则其对角线为cm, 矩形面积为cm 6.若矩形的一条对角线与一边的夹角是40,则两条对角线相交所成的锐角是7. 矩形具有一般平行四边形不具有的性质是（A.对边相互平行B. 对角线相等8. 矩形具备而平行四边形不具有的性质是（）C. 对角线相互平分D. 对角相等）A.对角线互相平分 B •邻角互补 C •对角相等D•对角线相等9. 在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（A.对角线互相平分且相等B ）.四个角相等.对角线互相垂直平分10.如图，四边形ABCD中，/ ABC=/ ADC=90 ,M N分别是AC BD?勺中点，那么MNL BD12. 如图，已知在四边形ABCD中，AC DB交于0 , E、F、G、H分别是四边的中点,求证：四边形EFGH是矩形.13.如图，平行四边形ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是DAB、ABC、BCD、CDA的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M ，A D 求证：四边形PQMN是矩形.14.如图矩形ABCD中，延长CB到E，使CE AC , F是AE中点. 求证：BF DF .15.如图，矩形ABCD中，CE BD于E , AF平分BAD交EC于F , 求证：CF BD .。

专题1.2 矩形的性质与判定(能力提升)(解析版)

专题1.2 矩形的性质与判定（能力提升）（解析版）一、选择题。

1．（2022春•遵化市期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（）A．4B．4C．3D．5【答案】B。

【解答】解：由矩形对角线相等且互相平分可得AO＝BO＝＝4，即△OAB为等腰三角形，又∠AOB＝60°，∴△OAB为等边三角形．故AB＝BO＝4，∴DC＝AB＝4．故选：B．2．（2021秋•沂水县期末）下列各图是由若干个正方形和长方形组成的，其中能表示等式（a+b）2＝a2+2ab+b2的是（）A．B．C．D．【答案】B。

【解答】解：对于等式（a+b）2＝a2+2ab+b2，可看作边长为（a+b）的正方形由一个边长为a的正方形、一个边长为b的正方形和一个长宽为a、b的矩形组成．故选：B．3．（2022•海曙区校级模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，EF是对角线BD 的垂直平分线，则EF的长为（）A．cm B．cm C．cm D．8cm【答案】C。

【解答】解：∵EF是BD的垂直平分线，∴OB＝OD，∵∠OBF＝∠ODE，∠BOF＝∠DOE，∴△BOF≌△DOE，则OE＝OF，∵∠OBF＝∠ABD，∴△BOF∽△BAD∴＝，∵BD＝＝10cm，∴BO＝5cm，∴FO＝5×cm＝cm，∴EF＝2FO＝cm．故选：C．4．（2021春•洛南县期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA ＝OC，OB＝OD．若要使四边形ABCD为矩形，则可以添加的条件是（）A．∠AOB＝60°B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB＝BC【答案】B。

【解答】解：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．故B选项符合题意，由∠AOB＝60°无法判断平行四边形ABCD是矩形．故A选项不符合题意，由AC⊥BD无法判断平行四边形ABCD是矩形．故C选项不符合题意，由AB＝BC无法判断平行四边形ABCD是矩形．故D选项不符合题意，故选：B．5．（2022春•黔南州期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为（）A．24B．3.6C．4.8D．5【答案】C。

矩形的性质与判定典型例题

矩形的证明题目一．选择题（共5小题）1．（2016春•巴南区校级月考）如图矩形都是由大小不等的正方形按照一定规律组成的，其中，第①个矩形的周长为6，第②个矩形的周长为10，第③个矩形的周长为16，…，则第⑧个矩形的周长为（）A．168 B．170 C．178 D．1882．（2016•姜堰区校级模拟）矩形ABCD中，AB=4，BC=8，矩形CEFG上的点G在CD边，EF=a，CE=2a，连接BD、BF、DF，则△BDF的面积是（）A．32 B．16 C．8 D．16+a23．（2016•深圳模拟）如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则下面的结论：①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE，其中正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2015•十堰一模）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，则AB的长为（）A．8 B．8 C．4 D．65．（2015•天台县模拟）如图，矩形ABCD中，BC=1，连接AC与BD交于点E1，过E1作E1F1⊥BC 于F1，连接AF1交BD于E2，过E2作E2F2⊥BC于F2，连接AF2交BD于E3，过E3作E3F3⊥BC于F3，…，以此类推，则BF n（其中n为正整数）的长为（）A．B．C．D．二．解答题（共25小题）6．（2015•龙岩）如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，若EF=EC，且EF⊥EC．（1）求证：AE=DC；（2）已知DC=，求BE的长．7．（2015•玉林）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．（1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；（2）取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的长．8．（2015•石家庄二模）已知：如图所示，四边形ABCD是矩形，分别以BC、CD为一边作等边△EBC和等边△FCD，点E在矩形上方，点F在矩形内部，连接AE、EF．（1）求∠ECF的度数；（2）求证：AE=FE．9．（2015春•巴南区校级期末）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．（1）猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论；（2）若AB=3，AD=4，求线段GC的长．10．（2015秋•开江县期末）已知，四边形ABCD是长方形，F是DA延长线上一点，CF交AB 于点E，G是CF上一点，且AG=AC，∠ACG=2∠GAF．（1）若∠ACB=60°，求∠ECB的度数．（2）若AF=12cm，AG=6.5cm，求△AEF中EF边上的高？11．（2015春•宜兴市校级期中）定义：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD 和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD．应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O．（1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；（2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．12．（2015春•汕头校级期中）如图所示，在矩形ABCD中，AB=12，AC=20，两条对角线相交于点O．以OB、OC为邻边作第1个平行四边形OBB1C，对角线相交于点A1，再以A1B1、A1C为邻边作第2个平行四边形A1B1C1C，对角线相交于点O1；再以O1B1、O1C1为邻边作第3个平行四边形O1B1B2C1…依此类推．（1）求矩形ABCD的面积；（2）求第1个平行四边形OBB1C的面积是第2个平行四边形A1B1C1C是第3个平行四边形OB1B2C的面积是（3）第n个平行四边形的面积是．13．（2015春•青山区期中）如图1，已知AB∥CD，AB=CD，∠A=∠D．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）E是AB边的中点，F为AD边上一点，∠DFC=2∠BCE．①如图2，若F为AD中点，DF=1.6，求CF的长度：②如图2，若CE=4，CF=5，则AF+BC= ，AF= ．14．（2015春•富顺县校级月考）矩形ABCD中，AB=3，AD=4；P是AD上的任意一点，过P作PE⊥OA，PF⊥OD，求PE+PF的值？15．（2015春•启东市校级月考）如图，已知矩形ABCD中，过点C引∠A的平分线AM的垂线，垂足为M，AM交BC于E，连接MB，MD．（1）求证：BE=DC；（2）求证：∠MBE=∠MDC．（3）如果AB=6，AD=10，则四边形ABMD面积= ．16．（2014•丹东一模）（1）如图1，四边形ABCD是矩形，E为AD上一点，且BE=ED，P为对角线BD上一点，PF⊥BE于点F，PG⊥AD于点G．判断PF、PG和AB的数量关系并说明理由．（2）如图2，当四边形ABCD变为平行四边形，其他条件不变，若∠ABC=60°，判断PF、PG 和AB的数量关系并说明理由．（3）如图3，当四边形ABCD满足∠ABD=90°，AB=3，BD=4，其它条件不变，判断PF、PG 和AB的数量关系并说明理由．17．（2014•南岸区一模）如图，在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，点F是CB延长线上一点，连接EF交AB于点G，且DE=BF．AE的垂直平分线MN交AE于点N、交EF于点M．若∠AFG=2∠BFG=45°，AF=2．（1）求证：AF=CE；（2）求△CEF的面积．18．（2014春•涪陵区期末）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=10．（1）求矩形ABCD的周长；（2）E是CD上的点，将△ADE沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上点F处．①求DE的长；②点P是线段CB延长线上的点，连接PA，若△PAF是等腰三角形，求PB的长．（3）M是AD上的动点，在DC 上存在点N，使△MDN沿折痕MN折叠，点D落在BC边上点T 处，求线段CT长度的最大值与最小值之和．19．（2014春•郯城县期末）如图1，在平面直接坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0）、（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标．（友情提示：图2、图3备用，不要漏解）20．（2013秋•渝中区校级期末）如图，点E是矩形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，G是AF的中点，再连接DG、DE，且DE=DG．（1）求证：∠DEA=2∠AEB；（2）若BC=2AB，求∠AED的度数．21．（2014春•宜昌校级期末）在矩形ABCG中，点D是AG的中点，点E是AB上一点，DE⊥DC，CE交BD于F，（1）求证：ED平分∠AEC；（2）当∠BEC=60°，且AE=1时，求矩形ABCG的面积；（3）当BE=BC，求证：BD平分∠CDE．22．（2014春•沂水县期末）数学学习总是如数学知识自身的生长历史一样，往往起源于猜测中的发现，我们所发现的不一定对，但是当利用我们已有的知识作为推理的前提论证之后，当所发现的在逻辑上没有矛盾之后，就可以作为新的推理的前提，数学中称之为定理．（1）尝试证明：等腰三角形的探索中借助折纸发现：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．但是当时并未说明这个结论的合理．现在我们学些了矩形的判定和性质之后，就可以解决这个问题了．如图1若在Rt△ABC中CD是斜边AB的中线，则，你能用矩形的性质说明这个结论吗？请说明．（2）迁移运用：利用上述结论解决下列问题：①如图2所示，四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠DCB=90°，EF分别是BD、AC的中点，请你说明EF与AC的位置关系．②如图3所示，▱ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，∠AEC=90°，且∠BED=90°，试说明平行四边形ABCD是矩形．23．（2014春•金川区校级期中）如图，在正方形ABCD的边BC上任取一点M，过点C作CN⊥DM 交AB于N，设正方形对角线交点为O，试确定OM与ON之间的关系，并说明理由．24．（2014春•合川区校级期中）如图，在矩形ABCD中，点E为CD上一点，将△BCE沿BE 翻折后点C恰好落在AD边上的点F处，过F作FH⊥BC于H，交BE于G，连接CG．（1）求证：四边形CEFG是菱形；（2）若AB=8，BC=10，求四边形CEFG的面积．25．（2014春•仙桃期中）矩形ABCD绕点A顺时针旋转至矩形AEFG，使B点正好落在CD上的点E处，连BE．（1）求证：∠BAE=2∠CBE；（2）如图2，连BG交AE于M，点N为BE的中点，连MN、AF，试探究AF与MN的数量关系，并证明你的结论．26．（2014春•青县校级期中）如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=AD=10cm，BC=8cm．点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿线段AB方向向B运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时发，当点P运动到点B 时，P、Q同时运动停止，设运动时间为t秒．（1）求CD的长；（2）当t为何值时，四边形PBQD为平行四边形？（3）在运动过程中，是否存在四边形BCQP是矩形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．27．（2013•遵义）如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．（1）求证：CM=CN；（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，求的值．28．（2013•郑州模拟）（1）如图1，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EF⊥BD 于点F，EG⊥AC于点G，CH⊥BD于点H，试证明CH=EF+EG；（2）若点E在BC的延长线上，如图2，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥A C的延长线于点G，CH⊥BD于点H，则EF、EG、CH三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；（3）如图3，BD是正方形ABCD的对角线，L在BD上，且BL=BC，连接CL，点E是CL上任一点，EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；（4）观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF、EG、CH这样的线段的关系，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论．29．（2013•重庆模拟）如图，矩形ABCD中，点E为矩形的边CD上任意一点，点P为线段AE中点，连接BP并延长交边AD于点F，点M为边CD上一点，连接FM，且∠1=∠2．（1）若AD=2，DE=1，求AP的长；（2）求证：PB=PF+FM．30．（2013•南岸区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，点M、N在线段AD上，∠MBC=∠NCB=60°，点E、F分别为线段CN、BC上的点，连接EF并延长，交MB的延长线于点G，EF=FG．（1）点K为线BM的中点，若线段AK=2，MN=3，求矩形ABCD的面积；（2）求证：MB=NE+BG．。

矩形的判定和性质经典习题

矩形的判定和性质经典习题[矩形的判定和性质]基础练习1. 在矩形ABCD 中, 对角线交于O 点，AB=0.6, BC=0.8, 那么△AOB 的面积为_______________; 周长为_______________.2. 一个矩形周长是12cm, 对角线长是5cm, 那么它的面积为__________________.3. 在△ABC 中, AM是中线, ∠BAC=90︒, AB=6cm, AC=8cm, 那么AM 的长为___________. 4. 如图, 矩形ABCD 对角线交于O 点, EF经过O 点, 那么图中全等三角形共有_________对. 5. 在矩形ABCD 中, AB=3, BC=4, P为形内一点, 那么PA+PB+PC+PD 的最小值为_________.6. 在矩形ABCD 内有一点Q, 满足QA=1, QB=2, QC=3, 那么QD 的长为________________. 7. 如图, 矩形ABCD 的对角线交于O 点, 若那么∠BDC 的大小为________. 8. 如图, 矩形ABCD 对角线交于O 点, 且满足AM=BN, 给出以下结论: ①MN //DC; ②∠DMN=∠MNC; ③S OMD =S ONC . 其中正确的是______________.9. 一个平行四边形的四个内角的角平分线相交围成的四边形的形状是________________. 10. 如图, 在矩形ABCD 中, AE平分∠BAD, ∠CAE=15︒, 那么∠BOE 的度数为_________.B D A B A AD C C D C B1二. 解题技巧1. 在矩形ABCD 中，∠A 和∠B 的平分线交边CD 于点M 和N ，若M 、N 是CD 的三等分点，那么AB ：BC 的值为___________________.2. 如图, 在矩形ABCD 中,DE ⊥AC 于点E,BC=, CD=2, 那么BE=_______________________.3. 如图, 在矩形ABCD 中, AP=DC, PH=PC, 求证: PB平分∠CBH.4. 如图, 矩形ABCD 的周长为16cm, DE=2cm, 若△CEF 是等腰直角三角形, 那么这个三角形的面积为______________.C B B A AD B CF C D D D A B三．简答题1. 如图, 在矩形ABCD 中, AD=12, AB=7, DF平分∠ADC, AF⊥EF, (1)求EF 长; (2)在平面上是否存在点Q, 使得QA=QD=QE=QF? 若存在, 求出QA 的长; 若不存在, 说明理由.2. 一个四边形满足: 它的每个顶点到其它三个顶点的距离之和A D 相等, 试判断这个四边形的形状.E3. 已知矩形ABCD ，试问：当边AB 和BC 满足什么条件时, 在边CD 上一定存在点P, 使得PA ⊥PB?二巩固练习基本知识点：矩形的性质及判定，直角三角形斜边中线定理.1. 矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是___________. 2. 矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为_______，短边长为_______.3. 若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线等于 .4. 如图，E 为矩形ABCD 对角线AC 上一点，DE ⊥AC 于E ，∠ADE: ∠EDC=2:3,则∠BDE 为_______. 5. 矩形的两邻边分别为4㎝和3㎝，则其对角线为㎝，矩形面积为 cm. 6.若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是__________. 7. 矩形具有一般平行四边形不具有的性质是（）A. 对边相互平行B. 对角线相等C. 对角线相互平分D. 对角相等228. 矩形具备而平行四边形不具有的性质是（）A ．对角线互相平分 B．邻角互补 C．对角相等 D．对角线相等 9. 在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（）A ．对角线互相平分且相等 B．四个角相等C ．是轴对称图形 D．对角线互相垂直平分 10. 如图，四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90°，M 、N 分别是AC 、BD•的中点，那么MN ⊥BD 成立吗？试说明理由．11. 如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，如果将该矩形沿对角线BD 重叠，求图中阴影部分的面积.AC D12. 如图，已知在四边形ABCD 中，AC ⊥DB 交于O ，E 、F求证：四边形EFGH 是矩形．AFBBCDOHC13. 如图，平行四边形ABCD 中，AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是∠DAB 、∠ABC 、∠BCD 、∠CDA 的平分线，AQ 与BN 交于P ，CN 与DQ 交于M ，ADQC求证：四边形PQMN 是矩形．★14. 如图矩形ABCD 中，延长CB 到E ，使CE =AC ，F 是AE 中点．求证：BF ⊥DF ．3BNPADFE BC★15. 如图，矩形ABCD 中，CE ⊥BD 于E ，AF 平分∠BAD 交EC 于F ， 4ADBCF求证：CF =BD ．。

矩形的性质与判定练习(含答案)

．
17．在四边形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 交于点 O ，OA OC ，OB OD ，添加一个条件
使四边形 ABCD 是矩形，那么所添加的条件可以是
（写出一个即可）．
18．如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，CE BD ，垂足为点 E ，CE 5 ，
A．5
B． 5 3
C．10
D．10 3
7．如图，延长矩形 ABCD 的边 BC 至点 E ，使 CE BD ，连接 AE ，如果 ADB 38 ，则 E 的值是 ( )
A． 19
B． 18
C． 20
D． 21
8．如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 交于 O ， BC 2 ， AE BD ，垂足为 E ，
．
24．如图，已知 BEFG 是长方形， A 为 EB 延长线上一点， AF 交 BG 于点 C ， D 为 AC 上一点，且 AD BD BF ，若 BFG 60 ，则 AFG 的度数为．
B．②③
3．下列对矩形的判定中，正确的个数有 (
C．③④ )
D．②④
（1）对角线相等的四边形是矩形；
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的四边形是矩形；
（4）有四个角是直角的四边形是矩形；
（5）四个角都相等的四边形是矩形；
（6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形；
（7）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；
A． 12 5
B． 24 5
C． 18 5
D．5
11．如图所示，矩形 ABCD 中， AE 平分 BAD 交 BC 于 E ，CAE 15 ，则下面的结论中正确的有 ( ) ① ODC 是等边三角形； ② BC 2 AB ； ③ AOE 135 ； ④ SAOE SCOE ．

矩形的性质和判定典型试题综合训练(含解析)完美打印版

矩形的性质和判定典型试题综合训练（含解析）一．选择题（共15小题）1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对角相等B．对边相等C．对角线相等D．对角线互相平分2．已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（）A．∠BAC=∠DCA B．∠BAC=∠DAC C．∠BAC=∠ABD D．∠BAC=∠ADB3．下列关于矩形的说法中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相平分的四边形是矩形D．矩形的对角线互相垂直且平分4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是（）A．AO=OC B．AC=BD C．AC⊥BD D．BD平分∠ABC5．下列图形是用矩形纸片来折出阴影部分为等腰三角形，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AD、BC于点E、F已知AB=3，BC=4，则图中阴影部分的面积是（）A．3 B．4 C．6 D．127．如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP 的面积S1与矩形QCNK的面积S2的关系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．S1=2S28．如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．3S1=2S29．如图，矩形ABCD中，AB=12，BC=13，以B为圆心，BA为半径画弧，交BC于点E，以D为圆心，DA 为半径画弧，交BC于点F，则EF的长为（）A．3 B．4 C．D．510．如图，长方形ABCD中，M为CD中点，分别以点B、M为圆心，以BC长、MC长为半径画弧，两弧相交于点P．若∠PMC=110°，则∠BPC的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°11．已知：线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业：对于两人的作业，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对12．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（）A．B．4 C．4.5 D．513．如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，当P从A向D运动（P与A，D不重合），则PE+PF的值（）A．增大B．减小C．不变D．先增大再减小14．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，P是CD边上的中点，E是BC边上的一动点，点M、N分别是AE、PE的中点，则线段MN长为（）A．2B．3 C．D．15．如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边做平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边做平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为（）A．cm2B．cm2C．5cm2D．cm2二．填空题（共12小题）16．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形．17．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线，相交于点E．若AD=6，则点E到AB的距离是．18．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加条件，才能保证四边形EFGH 是矩形．19．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．若BC=7，AE=4，则CE=．20．如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=3，MN∥BC分别交AB、CD于点M、N，在MN上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是．21．如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于．22．如图矩形ABCD中，AB=8cm，CB=4cm，E是DC的中点，BF=BC，则四边形DBFE的面积为cm2．23．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P为AB上任意一点，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，则EF 的最小值是．24．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（10，4），点D是OA的中点，点P在边BC上运动，当△ODP是等腰三角形时，点P的坐标为．25．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是．26．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中一定成立的结论有（将正确结论的序号填在横线上）27．如图，矩形ABCD中，AD=，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，且∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F=20°，则AB=．三．解答题（共7小题）28．如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若∠AOE=60°，AE=2，求矩形ADCE对角线的长．29．如图，在▱ABCD中，AC⊥BC，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F．（1）求证：四边形ADEC是矩形；（2）在▱ABCD中，取AB的中点M，连接CM，若CM=5，且AC=8，求四边形ADEC的面积．30．如图，O为△ABC内一点，把AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接形成四边形DEFG．（1）四边形DEFG是什么四边形，请说明理由；（2）若四边形DEFG是矩形，点0所在位置应满足什么条件？说明理由．31．△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠DCA的平分线于点F．（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．32．如图，在▱ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），CP=CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连结CQ．（1）若∠BPC=∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；（2）在（1）的条件下，当AP=2，AD=6时，求AQ的长．33．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，CE∥AD且CE=AD．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若△ABC是边长为4的等边三角形，AC，DE相交于点O，在CE上截取CF=CO，连接OF，求线段FC 的长及四边形AOFE的面积．34．已知：如图1，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA四条边上的点（且不与各边顶点重合），设m=EF+FG+GH+HE，探索m的取值范围．（1）如图2，当E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA四边中点时，m=．（2）为了解决这个问题，小贝同学采用轴对称的方法，如图3，将整个图形以CD为对称轴翻折，接着再连续翻折两次，从而找到解决问题的途径，求得m的取值范围．①请在图3中补全小贝同学翻折后的图形；②m的取值范围是．矩形的性质和判定典型试题综合训练参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对角相等B．对边相等C．对角线相等D．对角线互相平分【分析】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．【解答】解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．故选：C．2．已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（）A．∠BAC=∠DCA B．∠BAC=∠DAC C．∠BAC=∠ABD D．∠BAC=∠ADB【分析】由矩形和菱形的判定方法即可得出答案．【解答】解：A、∠BAC=∠DCA，不能判断四边形ABCD是矩形；B、∠BAC=∠DAC，能判定四边形ABCD是菱形；不能判断四边形ABCD是矩形；C、∠BAC=∠ABD，能得出对角线相等，能判断四边形ABCD是矩形；D、∠BAC=∠ADB，不能判断四边形ABCD是矩形；故选：C．3．下列关于矩形的说法中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相平分的四边形是矩形D．矩形的对角线互相垂直且平分【分析】根据矩形的性质和判定定理逐个判断即可．【解答】解：A、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；B、矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误；D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；故选B．4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是（）A．AO=OC B．AC=BD C．AC⊥BD D．BD平分∠ABC【分析】根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可．【解答】解：添加的条件是AC=BD，理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故选：B．5．下列图形是用矩形纸片来折出阴影部分为等腰三角形，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据等腰三角形的定义，即可一一判断．【解答】解：如图图1中，∵∠1=∠3，∠2=∠3，∴∠1=∠2，∴BA=BC，∴△ABC是等腰三角形．图3中，同法可证∠1=∠2，∴BA=BC，∴△ABC是等腰三角形．图4中，△ABC是等腰直角三角形，故选C．6．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AD、BC于点E、F已知AB=3，BC=4，则图中阴影部分的面积是（）A．3 B．4 C．6 D．12【分析】由全等三角形的判定得到△OFB≌△OED，将阴影部分的面积转化为规则的几何图形的面积进行计算．【解答】解：在矩形ABCD中，OB=OD，∠FBO=∠EDO，∴在△OFB与△OED中，∴△FBO≌△EDO，∴S阴影部分=S△ABO=S矩形=×3×4=3．故选A．7．如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP 的面积S1与矩形QCNK的面积S2的关系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．S1=2S2【分析】根据矩形的性质，可知△ABD的面积等于△CDB的面积，△MBK的面积等于△QKB的面积，△PKD的面积等于△NDK的面积，再根据等量关系即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，四边形MBQK是矩形，四边形PKND是矩形，∴△ABD的面积=△CDB的面积，△MBK的面积=△QKB的面积，△PKD的面积=△NDK的面积，∴△ABD的面积﹣△MBK的面积﹣△PKD的面积=△CDB的面积﹣△QKB的面积=△NDK的面积，∴S1=S2．故选：B．8．如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．3S1=2S2【分析】由于矩形ABCD的面积等于2个△ABC的面积，而△ABC的面积又等于矩形AEFC的一半，所以可得两个矩形的面积关系．【解答】解：矩形ABCD的面积S=2S△ABC，而S△ABC=S矩形AEFC，即S1=S2，故选B．9．如图，矩形ABCD中，AB=12，BC=13，以B为圆心，BA为半径画弧，交BC于点E，以D为圆心，DA为半径画弧，交BC于点F，则EF的长为（）A．3 B．4 C．D．5【分析】连接DF，在Rt△CDF中，求出CF，再求出CE即可解决问题．【解答】解：连接DF．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=BE=12，DA=BC=DF=13，∠C=90°，∴CF===5，∵EC=BC﹣BE=13﹣12=1，∴EF=CF﹣CE=4．故选B．10．如图，长方形ABCD中，M为CD中点，分别以点B、M为圆心，以BC长、MC长为半径画弧，两弧相交于点P．若∠PMC=110°，则∠BPC的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°【分析】根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等求出∠MCP，然后求出∠BCP，再根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理求解即可．【解答】解：∵以B、M为圆心，分别以BC长、MC长为半径的两弧相交于P点，∴BP=BC，MP=MC，∵∠PMC=110°，∴∠MCP=（180°﹣∠PMC）=（180°﹣110°）=35°，在长方形ABCD中，∠BCD=90°，∴∠BCP=90°﹣∠MCP=90°﹣35°=55°，∴∠BCP=∠BPC=55°．故选C．11．已知：线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业：对于两人的作业，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对【分析】先由两组对边分别相等的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断甲的作业正确；先由对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断乙的作业也正确．【解答】解：由甲同学的作业可知，CD=AB，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC=90°，∴▱ABCD是矩形．所以甲的作业正确；由乙同学的作业可知，CM=AM，MD=MB，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC=90°，∴▱ABCD是矩形．所以乙的作业正确；故选A．12．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（）A．B．4 C．4.5 D．5【分析】设FC′=x，则FD=9﹣x，根据矩形的性质结合BC=6、点C′为AD的中点，即可得出C′D的长度，在Rt△FC′D中，利用勾股定理即可找出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设FC′=x，则FD=9﹣x，∵BC=6，四边形ABCD为矩形，点C′为AD的中点，∴AD=BC=6，C′D=3．在Rt△FC′D中，∠D=90°，FC′=x，FD=9﹣x，C′D=3，∴FC′2=FD2+C′D2，即x2=（9﹣x）2+32，解得：x=5．故选D．13．如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，当P从A向D运动（P与A，D不重合），则PE+PF的值（）A．增大B．减小C．不变D．先增大再减小【分析】首先过A作AG⊥BD于G．利用面积法证明PE+PF=AG即可．【解答】解：如图，过A作AG⊥BD于G，则S△AOD=×OD×AG，S△AOP+S△POD=×AO×PF+×DO×PE=×DO×（PE+PF），∵S△AOD=S△AOP+S△POD，四边形ABCD是矩形，∴OA=OD，∴PE+PF=AG，∴PE+PF的值是定值，故选C．14．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，P是CD边上的中点，E是BC边上的一动点，点M、N分别是AE、PE的中点，则线段MN长为（）A．2B．3 C．D．【分析】连接AP，根据矩形的性质求出AP的长度，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN=AP，问题得解．【解答】解：连接AP，∵矩形ABCD中，AB=DC=4，P是CD边上的中点，∴DP=2，∴AP==2，连接AP，∵M，N分别是AE、PE的中点，∴MN是△AEP的中位线，∴MN=AP=．故选D．15．如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边做平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边做平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为（）A．cm2B．cm2C．5cm2D．cm2【分析】根据矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分可得下一个图形的面积是上一个图形的面积的，然后求解即可．【解答】方法一：解：设矩形ABCD的面积为S=20cm2，∵O为矩形ABCD的对角线的交点，∴平行四边形AOC1B底边AB上的高等于BC的，∴平行四边形AOC1B的面积=S，∵平行四边形AOC1B的对角线交于点O1，∴平行四边形AO1C2B的边AB上的高等于平行四边形AOC1B底边AB上的高的，∴平行四边形AO1C2B的面积=×S=，…，依此类推，平行四边形AO4C5B的面积===（cm2）．故选：B．二．填空题（共12小题）16．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件EB=DC，使四边形DBCE是矩形．【分析】利用平行四边形的判定与性质得到四边形DBCE为平行四边形，结合“对角线相等的平行四边形为矩形”来添加条件即可．【解答】解：添加EB=DC．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴DE∥BC，又∵DE=AD，∴DE=BC，∴四边形DBCE为平行四边形．又∵EB=DC，∴四边形DBCE是矩形．故答案是：EB=DC．17．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线，相交于点E．若AD=6，则点E到AB的距离是9．【分析】连接EO，延长EO交AB于H．只要证明四边形ADEO是平行四边形，推出OE=AD，再证明OH 是△ADB的中位线，可得OE=AD，延长即可求出EH解决问题．【解答】解：连接EO，延长EO交AB于H．∵DE∥OC，CE∥OD，∴四边形ODEC是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OD=OC，∴四边形ODEC是菱形，∴OE⊥CD，∵AB∥CD，AD⊥CD，∴EH⊥AB，AD∥OE，∵OA∥DE，∴四边形ADEO是平行四边形，∴AD=OE=6，∵OH∥AD，OB=OD，∴BH=AH，∴OH=AD=3，∴EH=OH+OE=3+6=9，故答案为9．18．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加AC⊥BD条件，才能保证四边形EFGH是矩形．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，HG∥BD，EH∥AC，根据平行线的性质∠EHG=∠1，∠1=∠2，根据矩形的四个角都是直角，∠EFG=90°，所以∠2=90°，因此AC⊥BD．【解答】解：∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，∴HG∥BD，EH∥AC，∴∠EHG=∠1，∠1=∠2，∴∠2=∠EHG，∵四边形EFGH是矩形，∴∠EHG=90°，∴∠2=90°，∴AC⊥BD．故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．19．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．若BC=7，AE=4，则CE=5．【分析】首先证明AB=AE=CD=4，在Rt△CED中，根据CE=计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB=CD，BC=AD=7，∠D=90°，∴∠AEB=∠EBC，∵∠ABE=∠EBC，∴AB=AE=CD=4，在Rt△EDC中，CE===5．故答案为520．如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=3，MN∥BC分别交AB、CD于点M、N，在MN上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是6．【分析】用矩形的面积减去△ADQ和△BCP的面积求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=4．S阴影=S矩形ABCD﹣S△BPC﹣S△ADQ=AB•CB﹣BC•MB AD•AM=4×3﹣4×BM﹣×4×AM=12﹣2MB﹣2AM=12﹣2（MB+AM）=12﹣2×3=6．故答案为：6．21．如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于7．【分析】连接EG，FH，根据题目数据可以证明△AEF与△CGH全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GH，同理可得EG=FH，然后根据两组对边相等的四边形是平行四边形可得四边形EGHF是平行四边形，所以△PEF和△PGH的面积和等于平行四边形EGHF的面积的一半，再利用平行四边形EGHF的面积等于矩形ABCD 的面积减去四周四个小直角三角形的面积即可求解．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，AF=CG=2，BE=DH=1，∴AE=AB﹣BE=4﹣1=3，CH=CD﹣DH=4﹣1=3，∴AE=CH，在△AEF与△CGH中，，∴△AEF≌△CGH（SAS），∴EF=GH，同理可得，△BGE≌△DFH，∴EG=FH，∴四边形EGHF是平行四边形，∵△PEF和△PGH的高的和等于点H到直线EF的距离，∴△PEF和△PGH的面积和=×平行四边形EGHF的面积，平行四边形EGHF的面积=4×6﹣×2×3﹣×1×（6﹣2）﹣×2×3﹣×1×（6﹣2），=24﹣3﹣2﹣3﹣2，=14，∴△PEF和△PGH的面积和=×14=7．故答案为：7．22．如图矩形ABCD中，AB=8cm，CB=4cm，E是DC的中点，BF=BC，则四边形DBFE的面积为10cm2．【分析】本题主要考查矩形的性质，找出题里面的等量关系求解即可．【解答】解：AB=8cm，CB=4cm，E是DC的中点，BF=BC，∴CE=4，CF=3．∴四边形DBFE的面积=8×4﹣8×4÷2﹣4×3÷2=10cm2．23．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P为AB上任意一点，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，则EF 的最小值是 2.4．【分析】根据已知得出四边形CEPF是矩形，得出EF=CP，要使EF最小，只要CP最小即可，根据垂线段最短得出即可．【解答】解：连接CP，如图所示：∵∠C=90°，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，∴∠C=∠PFC=∠PEC=90°，∴四边形CEPF是矩形，∴EF=CP，要使EF最小，只要CP最小即可，当CP⊥AB时，CP最小，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理得：AB=5，由三角形面积公式得：×4×3=×5×CP，∴CP=2.4，即EF=2.4，故答案为：2.4．24．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（10，4），点D是OA的中点，点P在边BC上运动，当△ODP是等腰三角形时，点P的坐标为（2，4）或（3，4）或（8，4）或（2.5，4）．【分析】分为三种情况：①OP=OD时，②DO=DP时，③OP=PD时，根据点B的坐标，根据勾股定理和等腰三角形的性质即可求出答案．【解答】解：∵B的坐标是（10，4），四边形OCBA是矩形，∴OC=AB=4，∵D为OA中点，∴OD=AD=5，∵P在BC上，∴P点的纵坐标是4，以O为圆心，以OD为半径作弧，交BC于P，如图1所示：此时OP=OD=5，由勾股定理得：CP=3，即P的坐标是（3，4）；由勾股定理得：CP=3，即P的坐标是（3，4）；以D为圆心，以OD为半径作弧，交BC于P、P′，如图2所示：此时DP=OD=DP′=5，由勾股定理得：DM=DN=3，即P的坐标是（2，4），P′的坐标是（8，4）；③作OD的垂直平分线交BC于P，如图3所示：此时OP=DP，P的坐标是（2.5，4）；故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）或（2.5，4）．25．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是16．【分析】由把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，∠EFB=60°，易证得△EFB′是等边三角形，继而可得△A′B′E中，B′E=2A′E，则可求得B′E的长，然后由勾股定理求得A′B′的长，继而求得答案．【解答】解：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=60°，∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，∴∠EFB=∠EFB′=60°，∠B=∠A′B′F=90°，∠A=∠A′=90°，AE=A′E=2，AB=A′B′，在△EFB′中，∵∠DEF=∠EFB=∠EB′F=60°∴△EFB′是等边三角形，Rt△A′EB′中，∵∠A′B′E=90°﹣60°=30°，∴B′E=2A′E，而A′E=2，∴B′E=4，∴A′B′=2，即AB=2，∵AE=2，DE=6，∴AD=AE+DE=2+6=8，∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×8=16．故答案为：16．26．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中一定成立的结论有①③④（将正确结论的序号填在横线上）【分析】①正确．只要证明BO=BC，OF=FO即可解决问题；②错误．可以证明△EOB≌△FCB，由此即可判断；③正确．只要证明△DEF是等边三角形即可．④正确．只要证明S△BCM=S△ACB，S△AOE=S△AOB=S即可；△ABC【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠DCB=90°，OA=OC，∴OB=OA=OB，∵∠COB=60°，∴△BOC是等边三角形，∴∠OCB=60°，∴∠DCA=30°，∵FO=FC，BO=BC，∴BF垂直平分OC，故①正确，∴∠FBC=∠OBE=30°，∴∠FOC=∠FCO=30°，∴∠FOB=90°，∵CD∥AB，∴∠FCO=∠EAO，∵∠FOC=∠AOE，OA=OC，∴△FOC≌△EOA，∴OE=OF，∴BF=BE，∵∠BOE=∠BCF=90°，∠EBO=∠CBF，∴△EBO≌△FBC，故②错误，∵DF∥EB，DF=BE，∴四边形DEBF是平行四边形，∴∠EDF=∠FBE=60°，∵∠DFE=180°﹣∠CFO=60°，∴△EDF是等边三角形，∴DE=EF，故③正确，易知CM=AC，AE=CF=BF=BE，∴S△BCM=S△ACB，S△AOE=S△AOB=S△ABC，∴S△AOE：S△BCM=2：3．故④正确，故答案为①③④27．如图，矩形ABCD中，AD=，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，且∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F=20°，则AB=．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AGC=∠GAF+∠F=40°，再根据等腰三角形的性质求出∠CAG，然后求出∠CAF=120°，再根据∠BAC=∠CAF﹣∠BAF求出∠BAC=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2BC=2AD，然后利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：由三角形的外角性质得，∠AGC=∠GAF+∠F=20°+20°=40°，∵∠ACG=∠AGC，∴∠CAG=180°﹣∠ACG﹣∠AGC=180°﹣2×40°=100°，∴∠CAF=∠CAG+∠GAF=100°+20°=120°，∴∠BAC=∠CAF﹣∠BAF=120°﹣90°=30°，在Rt△ABC中，AC=2BC=2AD=2，由勾股定理，AB===．故答案为：．三．解答题（共7小题）28．如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若∠AOE=60°，AE=2，求矩形ADCE对角线的长．【分析】（1）根据四边形ABDE是平行四边形和AB=AC，推出AD和DE相等且互相平分，即可推出四边形ADCE是矩形．（2）根据∠AOE=60°和矩形的对角线相等且互相平分，得出△AOE为等边三角形，即可求出AO的长，从而得到矩形ADCE对角线的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AB=DE，又∵AB=AC，∴DE=AC．∵AB=AC，D为BC中点，∴∠ADC=90°，又∵D为BC中点，∴CD=BD．∴CD∥AE，CD=AE．∴四边形AECD是平行四边形，又∴∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形．（2）解：∵四边形ADCE是矩形，∴AO=EO，∵∠AOE=60°∴△AOE为等边三角形，∴AO=AE=2，∴AC=2OA=4．29．如图，在▱ABCD中，AC⊥BC，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F．（1）求证：四边形ADEC是矩形；（2）在▱ABCD中，取AB的中点M，连接CM，若CM=5，且AC=8，求四边形ADEC的面积．【分析】（1）利用平行四边形的性质可得AD∥BC，结合条件可先证得四边形ADEC为平行四边形，结合AC⊥BC，可证得结论；（2）由直角三角形的性质可求得AB的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC的长，再利用矩形的性质可求得AD的长，结合AC可求得矩形ADEC的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．又∵DE∥AC，∴四边形ADEC是平行四边形．又∵AC⊥BC，∴∠ACE=90°．∴四边形ADEC是矩形；（2）解：∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°．∵M是AB的中点，∴AB=2CM=10．∵AC=8，∴BC==6．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD．又∵四边形ADEC是矩形，∴EC=AD．∴EC=BC=6．∴矩形ADEC的面积=6×8=48．30．如图，O为△ABC内一点，把AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接形成四边形DEFG．（1）四边形DEFG是什么四边形，请说明理由；（2）若四边形DEFG是矩形，点0所在位置应满足什么条件？说明理由．【分析】（1）可用三角形中位线定理求解，易知DG、EF分别是△ABC和△BOC的中位线，那么DG、EF 都平行且相等于BC，即DG与EF平行且相等，由此可证得四边形DEFG是平行四边形．（2）连接OA，则DE∥OA∥GF；若四边形DEFG是矩形，则DG和DE互相垂直；因此OA和BC也互相垂直，由此可判断出O点所处的位置．【解答】解：（1）四边形DEFG是平行四边形．理由如下：∵D、G分别是AB、AC的中点，∴DG是△ABC的中位线；∴DG∥BC，且DG=BC；同理可证：EF∥BC，且EF=BC；∴DG∥EF，且DG=EF；故四边形DEFG是平行四边形；（2）O在BC边的高上（且不与点A和垂足重合）理由如下：连接OA；∵把AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接形成四边形DEFG．∴DE∥OA∥GF，EF∥BC，∵O点在BC边的高上，∴AO⊥BC，∴AO⊥EF，∵DE∥OA，∴DE⊥EF，∴四边形DEFG是矩形．31．△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠DCA的平分线于点F．（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．【分析】（1）由于CE平分∠BCA，那么有∠1=∠2，而MN∥BC，利用平行线的性质有∠1=∠3，等量代换有∠2=∠3，于OE=OC，同理OC=OF，于是OE=OF；（2）OA=OC，那么可证四边形AECF是平行四边形，又CE、CF分别是∠BCA及其外角的角平分线，易证∠ECF是90°，从而可证四边形AECF是矩形．【解答】（1）解：当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形；理由如下：如图所示：∵CE平分∠BCA，∴∠1=∠2，又∵MN∥BC，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO，同理，FO=CO，∴EO=FO；（2）解：∵OA=OC，∴四边形AECF是平行四边形，∵CF是∠BCA的外角平分线，∴∠4=∠5，又∵∠1=∠2，∴∠1+∠5=∠2+∠4，又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°，∴∠2+∠4=90°，∴平行四边形AECF是矩形．32．如图，在▱ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），CP=CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连结CQ．（1）若∠BPC=∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；（2）在（1）的条件下，当AP=2，AD=6时，求AQ的长．【分析】（1）证出∠A=90°即可；（2）由HL证明Rt△CDQ≌Rt△CPQ，得出DQ=PQ，设AQ=x，则DQ=PQ=6﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】（1）证明：∵∠BPQ=∠BPC+∠CPQ=∠A+∠AQP，又∠BPC=∠AQP，∴∠CPQ=∠A，∵PQ⊥CP，∴∠A=∠CPQ=90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形∴∠D=∠CPQ=90°，在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，，∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL）），∴DQ=PQ，设AQ=x，则DQ=PQ=6﹣x在Rt△APQ中，AQ2+AP2=PQ2 ∴x2+22=（6﹣x）2，解得：x=∴AQ的长是．33．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，CE∥AD且CE=AD．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若△ABC是边长为4的等边三角形，AC，DE相交于点O，在CE上截取CF=CO，连接OF，求线段FC 的长及四边形AOFE的面积．【分析】（1）根据平行四边形判定得出平行四边形，再根据矩形判定推出即可；（2）分别求出AE、OH、CE、CF的长，再求出三角形AEC和三角形COF的面积，即可求出答案．【解答】（1）证明：∵CE∥AD且CE=AD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一性质），∴∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形；（2）解：∵△ABC是等边三角形，边长为4，∴AC=4，∠DAC=30°，∴∠ACE=30°，AE=2，CE=2，∵四边形ADCE为矩形，∴OC=OA=2，∵CF=CO，∴CF=2，过O作OH⊥CE于H，∴OH=OC=1，∴S四边形AOFE=S△AEC﹣S△COF=×2×2﹣×2×1=2﹣1．34．已知：如图1，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA四条边上的点（且不与各边顶点重合），设m=EF+FG+GH+HE，探索m的取值范围．（1）如图2，当E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA四边中点时，m=20．（2）为了解决这个问题，小贝同学采用轴对称的方法，如图3，将整个图形以CD为对称轴翻折，接着再连续翻折两次，从而找到解决问题的途径，求得m的取值范围．①请在图3中补全小贝同学翻折后的图形；②m的取值范围是20≤m＜28．【分析】（1）利用勾股定理求出矩形对角线的长度，再利用三角形中位线的性质得出EH=BD，EF=AC，FG=BD，HG=AC，进而求出即可；（2）①利用轴对称图形的性质得出答案即可；②利用两点之间线段最短以及三角形三边关系得出m的取值范围即可．【解答】解：（1）如图2，连接AC，BD，∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，∴AC=BD==10，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA四边中点，∴EH，EF，FG，HG，分别是△ABD，△ABC，△BCD，△ACD的中位线，∴EH=BD，EF=AC，FG=BD，HG=AC，∴m=EF+FG+GH+HE=AC+BD=10+10=20；（2）①如图3所示（虚线可以不画），②由图形可知，四边形的周长即折线HM的长，由两点之间线段最短可知，折线HM≥20，即周长不小于20；又由题可知，四边形周长小于矩形ABCD的周长，即周长小于28，故20≤m＜28．故答案为：20；20≤m＜28．。

矩形的性质和判定同步练习及答案

矩形的性质和判定一．填空题1．如图，矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD边于点E，点F是CD的中点，连接EF．若AB=8，且EF平分∠BED，则AD的长为．题1 题3 题42．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是．3．如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是．4．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为．5．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．若BC=7，AE=4，则CE= ．题5 题6 题76．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF= cm．7．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加条件，才能保证四边形EFGH是矩形．8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，要使四边形ABCD 为矩形，则需添加的条件为（填一个即可）．题8 题11 题129．已知四边形ABCD为平行四边形，要使得四边形ABCD为矩形，则可以添加一个条件为．10．木匠做一个矩形木框，长为80cm，宽为60cm，对角线的长为100cm，则这个木框（填“合格”或“不合格”）11．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使四边形ABCD成为矩形，这个条件是．12．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形．二．解答题13．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB=14，DE=8，求sin∠AEB的值．14．如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高．点O是AC中点，延长DO到E，使OE=OD，连接AE，CE．（1）求证：四边形ADCE的是矩形；（2）若AB=17，BC=16，求四边形ADCE的面积．15．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且FC=AB，E为AD上一点，EC交AF于点G．（1）求证：四边形ABCF是矩形；（2）若EA=EG，求证：ED=EC．16．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E点，延长BC至F点使CF=BE，连接AF，DE，DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AB=6，DE=8，BF=10，求AE的长．17．平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．矩形的性质和判定解析一．填空题（共12小题）1．如图，矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD边于点E，点F是CD的中点，连接EF．若AB=8，且EF平分∠BED，则AD的长为12 ．【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠AEB=∠EBC，再求出∠ABE=∠EBC，根据等角对等边可得AE=AB，然后根据AD=AE+ED代入数据计算即可得解．【解答】解：∵矩形ABCD中，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∵∠ABC的平分线交AD边于点E，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE=8，同理得出ED=DF=DC=4，∴AD=AE+ED=8+4=12，故答案为：12．2．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是80°．【分析】因为两条对角线相交所成的锐角只有一个，直接应用三角形的内角和定理求解即可．【解答】解：由矩形的对角线相等且互相平分，所构成的三角形为等腰三角形，利用等边对等角，所以另一底角为40°，两条对角线相交所成的钝角为：180°﹣40°×2=100°故它们所成锐角为：180°﹣100°=80°．故答案为80．3．如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是．【分析】根据四边形ABCD是矩形，得到∠ABE=∠BAD=90°，根据余角的性质得到∠BAE=∠ADB，根据相似三角形的性质得到BE=1，求得BC=2，根据勾股定理得到AE==，BD==，根据三角形的面积公式得到BF==，过F作FG⊥BC于G，根据相似三角形的性质得到CG=，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE=∠BAD=90°，∵AE⊥BD，∴∠AFB=90°，∴∠BAF+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90°，∴∠BAE=∠ADB，∴△ABE∽△ADB，∴，∵E是BC的中点，∴AD=2BE，∴2BE2=AB2=2，∴BE=1，∴BC=2，∴AE==，BD==，∴BF==，过F作FG⊥BC于G，∴FG∥CD，∴△BFG∽△BDC，∴==，∴FG=，BG=，∴CG=，∴CF==．故答案为：．4．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为．【分析】由AAS证明△ABM≌△DEA，得出AM=AD，证出BC=AD=3EM，连接DM，由HL证明Rt △DEM≌Rt△DCM，得出EM=CM，因此BC=3CM，设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC=1，∠B=∠C=90°，AD∥BC，AD=BC，∴∠AMB=∠DAE，∵DE=DC，∴AB=DE，∵DE⊥AM，∴∠DEA=∠DEM=90°，在△ABM和△DEA中，，∴△ABM≌△DEA（AAS），∴AM=AD，∵AE=2EM，∴BC=AD=3EM，连接DM，如图所示：在Rt△DEM和Rt△DCM中，，∴Rt△DEM≌Rt△DCM（HL），∴EM=CM，∴BC=3CM，设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得：12+（2x）2=（3x）2，解得：x=，∴BM=；故答案为：．5．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．若BC=7，AE=4，则CE= 5 ．【分析】首先证明AB=AE=CD=4，在Rt△CED中，根据CE=计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB=CD，BC=AD=7，∠D=90°，∴∠AEB=∠EBC，∵∠ABE=∠EBC，∴AB=AE=CD=4，在Rt△EDC中，CE===5．故答案为56．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF= cm．【分析】根据勾股定理求出AC，根据矩形性质得出∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD，求出BD、OD，根据三角形中位线求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD，∵AB=6cm，BC=8cm，∴由勾股定理得：BD=AC==10（cm），∴DO=5cm，∵点E、F分别是AO、AD的中点，∴EF=OD=，故答案为：．7．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加AC⊥BD 条件，才能保证四边形EFGH是矩形．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，HG∥BD，EH∥AC，根据平行线的性质∠EHG=∠1，∠1=∠2，根据矩形的四个角都是直角，∠EFG=90°，所以∠2=90°，因此AC⊥BD．【解答】解：∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，∴HG∥BD，EH∥AC，∴∠EHG=∠1，∠1=∠2，∴∠2=∠EHG，∵四边形EFGH是矩形，∴∠EHG=90°，∴∠2=90°，∴AC⊥BD．故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，要使四边形ABCD 为矩形，则需添加的条件为∠DAB=90°（填一个即可）．【分析】根据对角线互相平分线的四边形为平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，添加条件∠DAB=90°可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定．【解答】解：可以添加条件∠DAB=90°，∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠DAB=90°，∴四边形ABCD是矩形，故答案为：∠DAB=90°．9．已知四边形ABCD为平行四边形，要使得四边形ABCD为矩形，则可以添加一个条件为∠BAD=90°．【分析】根据矩形的判定方法：已知平行四边形，再加一个角是直角填空即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=90°，∴四边形ABCD是矩形，故答案为：∠BAD=90°（答案不唯一）．10．木匠做一个矩形木框，长为80cm，宽为60cm，对角线的长为100cm，则这个木框合格（填“合格”或“不合格”）【分析】只要算出桌面的长与宽的平方和是否等于对角线的平方，如果相等可得长、宽、对角线构成的是直角三角形，由此可得到每个角都是直角，根据矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形，可得此桌面合格．【解答】解：解：∵802+602=10000=1002，即：AD2+DC2=AC2，∴∠D=90°，同理：∠B=∠BCD=90°，∴四边形ABCD是矩形，故答案为合格．11．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使四边形ABCD成为矩形，这个条件是∠A=90°．【分析】根据有一个角是90°的平行四边形是矩形，即可解决问题．【解答】解：∵AB∥DC，AB=DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴当∠A=90°时，四边形ABCD是平行四边形．故答案为∠A=90°．（填∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°也可以）12．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件EB=DC ，使四边形DBCE是矩形．【解答】解：添加EB=DC．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴DE∥BC，又∵DE=AD，∴DE=BC，∴四边形DBCE为平行四边形．又∵EB=DC，∴四边形DBCE是矩形．故答案是：EB=DC．二．解答题（共6小题）13．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB=14，DE=8，求sin∠AEB的值．【分析】（1）欲证明四边形ABCD是矩形，只需推知∠DAB是直角；（2）如图，过点B作BH⊥AE于点H．构建直角△BEH．通过解该直角三角形可以求得sin ∠AEB的值．在Rt△BCE中，由勾股定理得．在Rt△AHB中，BH=AB•sin45°=7．所以通过解Rt△BHE得到：sin∠AEB=．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠DAF=∠F．∵∠F=45°，∴∠DAE=45°．∵AF是∠BAD的平分线，∴∠EAB=∠DAE=45°．∴∠DAB=90°．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．（2）解：如图，过点B作BH⊥AE于点H．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠DCB=∠D=90°．∵AB=14，DE=8，∴CE=6．在Rt△ADE中，∠DAE=45°，∴∠DEA=∠DAE=45°．∴AD=DE=8．∴BC=8．在Rt△BCE中，由勾股定理得．在Rt△AHB中，∠HAB=45°，∴BH=AB•sin45°=7．∵在Rt△BHE中，∠BHE=90°，∴sin∠AEB=．14．如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高．点O是AC中点，延长DO到E，使OE=OD，连接AE，CE．（1）求证：四边形ADCE的是矩形；（2）若AB=17，BC=16，求四边形ADCE的面积．【分析】（1）根据平行四边形的性质得出四边形ADCE是平行四边形，根据垂直推出∠ADC=90°，根据矩形的判定得出即可；（2）求出DC，根据勾股定理求出AD，根据矩形的面积公式求出即可．【解答】（1）证明：∵点O是AC中点，∴AO=OC，∵OE=OD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，∴∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形；（2）解：∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，BC=16，AB=17，∴BD=CD=8，AB=AC=17，∠ADC=90°，由勾股定理得：AD===15，∴四边形ADCE的面积是AD×DC=15×8=120．15．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且FC=AB，E为AD上一点，EC交AF于点G．（1）求证：四边形ABCF是矩形；（2）若EA=EG，求证：ED=EC．【分析】（1）由条件可先证得四边形ABCF为平行四边形，再由∠B=90°可证得结论；（2）利用等腰三角形的性质可求得∠EAG=∠EGA=∠FGC，再利用直角三角形的性质可求得∠D=∠ECD，可证得ED=EC．【解答】证明：（1）∵AB∥CD，且FC=AB，∴四边形ABCF为平行四边形，∵∠B=90°，∴四边形ABCF是矩形；（2）∵EA=EG，∴∠EAG=∠EGA=∠FGC，∵四边形ABCF为矩形，∴∠AFC=∠AFD=90°，∴∠D+∠DAF=∠FGC+∠ECD=90°，∴∠D=∠ECD，∴ED=EC．16．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E点，延长BC至F点使CF=BE，连接AF，DE，DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AB=6，DE=8，BF=10，求AE的长．【分析】（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF=90°即可．（2）证明△ABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长．【解答】（1）证明：∵CF=BE，∴CF+EC=BE+EC．即 EF=BC．∵在▱ABCD中，AD∥BC且AD=BC，∴AD∥EF且AD=EF．∴四边形AEFD是平行四边形．∵AE⊥BC，∴∠AEF=90°．∴四边形AEFD是矩形；（2）解：∵四边形AEFD是矩形，DE=8，∴AF=DE=8．∵AB=6，BF=10，∴AB2+AF2=62+82=100=BF2．∴∠BAF=90°．∵AE⊥BF，∴△ABF的面积=AB•AF=BF•AE．∴AE===．17．平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．【分析】（1）根据有一个角是90度的平行四边形是矩形即可判定．（2）首先证明AD=DF，求出AD即可解决问题．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴DF∥BE，∵CF=AE，∴DF=BE，∴四边形BFDE是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形．（2）∵AB∥CD，∴∠BAF=∠AFD，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠AFD，∴AD=DF，在Rt△ADE中，∵AE=3，DE=4，∴AD==5，∴矩形的面积为20．18．在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AD=DF，求证：AF平分∠BAD．【分析】（1）先证明四边形BFDE是平行四边形，再证明∠DEB=90°即可．（2）欲证明AF平分∠BAD，只要证明∠DAF=∠BAF即可．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，即BE∥DF，∵CF=AE，∴DF=BE，∴四边形BFDE是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形．（2）由（1）可知AB∥CD，∴∠BAF=∠AFD，∵AD=DF，∴∠DAF=∠AFD，∴∠BAF=∠DAF，即AF平分∠BAD．。

矩形的性质和判定综合练习

矩形的性质和判定(综合)1.如图，在矩形ABCD 中，AB ＜BC ，AC ，BD 相交于点O ，则图中等腰三角形的个数是（）A ． 8B ． 6C ． 4D ． 22.如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，对角线AC 的垂直平分线分别交AD 、AC 于点E 、O ，连接CE ，则CE 的长为（）A. 3B.3.5C.2.5D.2.8（第1题）（第2题）（第3题）3.勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中，就有“若勾三，股四，则弦五”记载，如图1是由边长相等的小正形和直角三角形构成的可以用其面积关系验证勾股定理。

图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=900,AB=3,AC=4,D,E,F,G,H,I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为（）(A)90 (B)100 (C)110 (D)1214．如图，矩形ABCD 中，AB=3,BC=5过对角线交点O 作OE⊥AC 交AD于E 则AE 的长是（）A ．1.6B ．2.5C ．3D ．3.45.如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形A ’B ’C ’D ’的位置，旋转角为α (0︒<α<90︒)。

若∠1=110︒，则∠α= 。

6.如图，在四边形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB=DC ，在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形为矩形，只需加上的一个条件是（填上你认为正确的一个答案即可）.（第5题）（第6题）（第7题）（第8题）7.把一张矩形纸片(矩形ABCD)按上图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕EF ，若AB=3cm ，BC=5cm ，则重叠部分△DEF 的面积是__________ cm 2．8.如图。

四边形ABCD 是矩形，点E 在线段CB 的延长线上，连接DE 交AB 于点F ，∠AED=2∠CED ，点G 是DF 的中点，若BE=1，AG=4，则AB 的长为9.如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，且AD ＝CD ＝BD ，DE 、DF 分别是∠BDC 、∠ADC 的平分线，四边形FDEC 是矩形吗？为什么？ AB C D E OC D A B D (B')D A A'B E F G F D A B E C1D'B'D A BC10.如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 中点，四边形ABDE 是平行四边形。

矩形的判定和性质(含解析)

矩形的判定和性质一、选择题1、如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是( )A .B .C .1D .二、填空题2、如图，将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG．若AB=4，BC=8，则△ABF的面积为__________.三、解答题3、如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE=15°，求∠BOE的度数．4、已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E在边AC上，延长BC 至D点，使CE=CD，延长BE交AD于F，过点C作CG∥BF，交AD于点G，在BE上取一点H，使∠HCE=∠DCG．（1）求证：△BCE≌△ACD；（2）求证：四边形FHCG是正方形；[注：若要用∠1、∠2等，请不要标在此图，要标在答题纸的图形上]．5、如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．求证：四边形BCDE是矩形。

6、如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．7、张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图①，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．小军的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．小俊的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF．【变式探究】如图③，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD-PE=CF；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下题：【结论运用】如图④，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值．矩形的判定和性质的答案和解析一、选择题1、答案：D试题分析：过F作FH⊥AE于H，根据矩形的性质得到AB=CD，AB∥CD，推出四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AF=CE，根据相似三角形的性质得到，于是得到AE=AF，列方程即可得到结论.解：过F作FH⊥AE于H，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB∥CD，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF=CE，∴DE=BF，∴AF=3-DE，∴AE=，∵∠FHA=∠D=∠DAF=90°，∴∠AFH+∠HAF=∠DAE+∠FAH=90°，∴∠DAE=∠AFH，∴△ADE∽△AFH，∴，∴AE=AF，∴=3-DE，∴DE=，故选：D.二、填空题2、答案：6试题分析：根据折叠的性质求出AF=CF，根据勾股定理得出关于CF的方程，求出CF，求出BF，根据面积公式求出即可。

矩形性质与判定练习题

矩形性质与判定练习题1、已知矩形的一条对角线长是8cm ，两条对角线的一个交角为60°，则矩形的周长为______2、矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是___________.3、形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为_______，短边长为_______.4、一个矩形周长是12cm ，对角线长是5cm ，那么它的面积为_______________5、在△ABC 中，AM 是中线, ∠BAC=090，AB=6cm ，AC=8cm ，那么AM 的长为____________.6、如图所示，将△ABC 绕AC 的中点O 顺时针旋转180°得到△CDA ，添加一个条件______，使四边形ABCD 为矩形。

第6题第7题第9题7、（2013江西）如图，矩形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连接DE 和BF ，分别取DE 、BF 的中点M 、N ，连接AM ，CN ，MN ，若AB=4，BC=面积为___________。

8、如图所示，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB ′C ′D ′的位置，旋转角为α00(090)α<<若01110∠=，则α=（）A 、020B 、030C 、040D 、0509、（2004•黑龙江）如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，如果将该矩形沿对角线BD 折叠，那么图中阴影部分的面积是___________。

10、菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A 、对角线互相垂直B 、对角线相等C 、对角线互相平分D 、对角互补第11题第12题11、如图：长方形纸片ABCD 中，AD=4cm ，AB=10cm ，按如图的方式折叠，使点B 与点D 重合．折痕为EF ，则DE 长为___________。

12、图所示，矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，∠BAE=30°，BE=1cm ，那么DE 的长为_____13、□ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，（1）若AB=AD ，则□ABCD 是形；（2）若AC=BD ，则□ABCD 是形；（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是形；（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是形。

几何思想之矩形的判定与性质专练

专题01 几何思想之矩形的判定与性质专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．（2021·浙江吴兴·八年级期末）如图，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到E ，使DE AD =，连结EB ，EC ，DB ，添加一个条件，不能使四边形DBCE 成为矩形的是（）．A ．AB BE=B ．CE DE ^C ．90ADB Ð=°D ．BE AB^【标准答案】D【思路指引】由条件：四边形ABCD 为平行四边形及DE =AD ，可得四边形DBCE 为平行四边形，根据所给的四个选项及矩形的判定即可作出判断．【详解详析】∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB =CD ，BC =AD ，BC ∥AD ，AB ∥CD∵DE =AD∴BC =DE∵BC ∥AD∴BC ∥DE∴四边形DBCE 是平行四边形当AB =BE 时，则由AB =CD 得BE =CD ，即四边形DBCE 的两条对角线相等，根据矩形的判定知，四边形DBCE 是矩形；当CE ⊥DE 时或90ADB Ð=°时，根据矩形的定义即知，四边形DBCE 是矩形；当BE AB ^时，则由AB ∥CD ，可知BE ⊥CD ，即DBCE Y 的对角线相互垂直，但不能判定它是矩形．故选：D ．【名师指路】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定方法是本题的关键．2．（2021·浙江·杭州外国语学校八年级期中）如图，△ABC 中，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，过点D 作DE ∥BC 交AB 于点E ，过D 作DF ⊥BC 于点F ，DF ＝5cm ，∠EDB ＝15°，则DE ＝（）A ．12.5cmB ．5cmC ．7.5cmD ．10cm【标准答案】D【思路指引】过点E 作BC 的垂线交BC 于点G ，先证明四边形EDFG 为矩形，得出5EG DF ==，利用角平分线的性质，证明出EBD △为等腰三角形，得出EB DE =，再在Rt BGE V 中，利用30°对应的边等于斜边的一半即可求解．【详解详析】解：过点E 作BC 的垂线交BC 于点G ，如图：由题意：DF BC ^，//GE FD \，//DE BC Q ，\四边形EDFG 为平行四边形，90DFG Ð=o Q ，\四边形EDFG 为矩形，5EG DF \==，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，EBD GBD \Ð=Ð，//DE BC Q ，15EDB GBD \Ð=Ð=°，EBD EDB \Ð=Ð，EBD \V 为等腰三角形，EB DE \=，30EBG \Ð=°，在Rt BGE V 中，152EG BE ==，10BE \=，10DE \=，故选：D ．【名师指路】本题考查了角平线的定义、等腰三角形的判定及性质、矩形的判定、直角三角形中30°对应的边等于斜边的一半，解题的关键是根据题意添加适当的辅助线构造直角三角形．3．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，动点P 从点B 出发，沿着BC 匀速向终点C 运动，则线段EF 的值大小变化情况是（）A ．一直增大B ．一直减小C ．先减小后增大D ．先增大后减少【标准答案】C【思路指引】连接AP ，先判断出四边形AFPE 是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=AP ，再根据垂线段最短可得AP ⊥AB 时，线段EF 的值最小，即可判断出动点P 从点B 出发，沿着BC 匀速向终点C 运动，线段EF 的值大小变化情况．【详解详析】如图，连接AP ．∵∠A=90°，PE ⊥AB ，PF ⊥AC∴四边形AFPE 是矩形，∴EF=AP ，由垂线段最短可得AP ⊥BC 时，AP 最短，则线段EF 的值最小，∴动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是先减小后增大．故选C．【名师指路】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CP⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键．4．（2021·浙江·温州市第二十一中学八年级月考）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，点P为边AB 上一动点（且点P不与点A，B重合），PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，点M为EF中点，则PM的最小值为（）A．54B．125C．43D．65【标准答案】D【思路指引】首先证明四边形CEPF是矩形，因为M是EF的中点，推出延长PM经过点C，推出EF=CP，可得PM=1 2EF=12PC，求出PC的最小值可得PM的最小值．【详解详析】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=5，AC=3，∴，∵PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，∴∠PEC=∠PFC=∠EPF=90°，∴四边形CEPF是矩形，∵M是EF的中点，∴延长PM经过点C，∴EF=CP，PM=12EF=12PC，当PC⊥AB时，PC=4312 55´=，∴PM的最小值为65，故选D．【名师指路】此题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的斜边上的高的求法，注意当CP ⊥AB 时，CP 最小．5．（2021·浙江瑞安·八年级期末）如图，在四边形ABCD 中，BD 平分ABC Ð，//AD BC ，90C Ð=°，5AB =，4CD =，则四边形ABCD 的周长是（）．A ．18B ．20C ．22D ．24【标准答案】C【思路指引】过点A 做AE BC ^交BC 于点E ，根据角平分线和平行线性质，推导得5AD AB ==；通过判定四边形AECD 为矩形，得5EC AD ==，4AE CD ==；再根据勾股定理计算，得BE ，从而得到四边形ABCD 的周长．【详解详析】如图，过点A 做AE BC ^交BC 于点E∵BD 平分ABCÐ∴ABD CBD Ð=Ð∵//AD BC∴ADB CBD Ð=Ð∴ABD ADB Ð=Ð∴5AD AB ==∵AE BC ^，90C Ð=°∴//AE DC∴四边形AECD 为矩形∴5EC AD ==，4AE CD ==又∵AE BC ^，即90AEB =°∠∴3BE ==∴四边形ABCD 的周长22AB BE EC CD AD =++++=故选：C ．【名师指路】本题考查了平行线、角平分线、等腰三角形、矩形、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、角平分线、矩形、勾股定理、等腰三角形的性质，从而完成求解．6．（2021·浙江杭州·八年级期中）如图，在ABC V 中，90BAC Ð=°，6AB =，8AC =，P 为边BC 上一动点，PE AB ^于E ，PF AC ^于F ，M 为EF 的中点，则PM 的最小值为（）A ．2.4B ．2.5C ．4.8D ．5【标准答案】A【思路指引】先求证四边形AFPE 是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离、垂线段最短，再利用相似三角形对应边成比例即可求得AP 最短时的长，最后求出PM 最短时的长即可．【详解详析】解：连结AP ，如图所示：∵∠BAC =90°，AB =6，AC =8，∴BC 10==5，∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，90BAC Ð=°∴四边形AFPE 是矩形，∴EF =AP ．∵M 是EF 的中点，∴PM =12AP ，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，∴当AP⊥BC时，AP=6810´=4.8，∴AP最短时，AP=4.8，∴当PM最短时，PM=12AP=2.4．故选A．【名师指路】本题主要考查了矩形的判定与性质以及垂线段最短，根据题意说明四边形AFPE是矩形并灵活运用“垂线段最短”成为解答本题的关键．7．（2021·浙江省余姚市实验学校八年级期中）在正方形ABCD中，AD＝6，点M在边DC上，连接AM，△ADM沿直线AM翻折后点D落到点N，过点N作NE⊥CD，垂足为点E．如图，如果ED＝2EC，则DM＝（）A．B．C．9﹣D．6﹣【标准答案】C【思路指引】过点N作NH⊥AD于H，先证明四边形NEDH为矩形，得到HD=NE，NH=DE，根据ED=2EC，ED+EC=CD=6，可以得到ED=HN=4，再利用勾股定理求出AH，即可得到NE的值，最后再直角三角形MNE中用勾股定理求解即可.【详解详析】解：如图所示，过点N作NH⊥AD于H，∵四边形ABCD是正方形，AD=6∴AD=CD=6，∠D=90°，∵NE⊥CD，NH⊥AD，∴∠NED=∠NHD=∠NHA=90°，∴四边形NEDH 为矩形，∴HD =NE ，NH =DE ，∵ED =2EC ，ED +EC =CD =6，∴ED =HN =4，由翻折的性质可得AD =AN =6，DM =MN∴AH ==∴6NE DH ==-，设DM =MN =x ，则ME =4-x ,则222MN NE ME =+,∴(()22264x x =-+-，解得9x =-，∴9DM =-故选C.【名师指路】本题主要考查了矩形的性质与判定，正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.8．（2021·浙江台州·八年级期中）如图，在四边形ABCD 中，4,1,90,30,120AD BC B A ADC ==Ð=°Ð=°Ð=°，则CD 的长为（）A．2B．1.5C．3D．2.5【标准答案】A【思路指引】作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，根据含30度直角三角形的性质求出DE，根据矩形的性质求出EF，得到DF的长，进而求出CD即可．【详解详析】解：作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，∵∠AED=90°，∠A=30°，AD=2，∴DE=12∵∠BED=90°，∠B=90°，∠CFE=90°，∴四边形BCFE为矩形，∴EF=BC=1，∴DF=DE-EF=1，∵∠ADC=120°，∠ADE=60°，∴∠CDF=120°-60°=60°，在Rt△CFD中，∠DCF=30°，∴CD=2DF=2，故选：A．【名师指路】本题考查了直角三角形的性质，矩形的判定和性质，掌握在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．9．（2021·浙江龙湾·八年级期中）如图，OA ⊥OB ，OB ＝4，P 是射线OA 上一动点，连接BP ，以B 为直角顶点向上作等腰直角三角形，在OA 上取一点D ，使∠CDO ＝45°，当P 在射线OA 上自O 向A 运动时，PD 的长度的变化（）A ．一直增大B ．一直减小C ．先增大后减小D ．保持不变【标准答案】D【思路指引】过点C 作CH OB ^于H ，CG OA ^于G ，先根据矩形的判定与性质可得,OG CH CG OH OB HB ===+，再根据三角形全等的判定定理证出OBP HCB @V V ，根据全等三角形的性质可得4,OB CH OP HB ===，然后根据等腰直角三角形的判定与性质可得DG CG OB HB ==+，最后根据线段的和差、等量代换即可得出结论．【详解详析】解：如图，过点C 作CH OB ^于H ，CG OA ^于G ，则四边形OHCG 是矩形，,OG CH CG OH OB HB \===+，∵CBP V 是等腰直角三角形，∴,90BC BP CBP =Ð=°，∴90HBC OBP Ð+Ð=°，∵CH OB ^，∴90HBC HCB Ð+Ð=°，∴OBP HCB Ð=Ð，在OBP V 和HCB V 中，90OBP HCB O BHC BP CB Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î，∴()OBP HCB AAS @V V ，∴4,OB CH OP HB ===，∴OG OB =，∵45,CDO CG OD Ð=°^，∴OCD V 是等腰直角三角形，∴DG CG OB HB ==+，∴()()28PD DG PG OB HB OP OG OB HB HB OB OB =-=+--=+--==，∴PD 的长度保持不变，故选：D ．【名师指路】本题考查了矩形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造矩形和全等三角形是解题关键．10．（2021·浙江瑞安·八年级期末）如图，在ABC V 中，90ACB Ð=°，以ABC V 的各边为边分别作正方形BAHI ，正方形BCFG 与正方形CADE ．延长BG ，FG 分别交AD ，DE 于点K ，J ，连结DH ，IJ ．图中两块阴影部分面积分别记为1S ，2S ，若12:1:4S S =，四边形18BAHE S =，则四边形MBNJ 的面积为（）A ．5B ．6C ．8D ．9【标准答案】B【思路指引】结合题意，根据正方形面积比，计算得2BC GJ =，从而得3AC GJ =；根据勾股定理性质，计算得AB =；再根据勾股定理计算，得2HD GJ =；结合18BAHE S =，通过计算得GJ ；通过证明FAN EBM △≌△，得FAN EBM S S =△△，结合矩形CFJE 和四边形MBNJ 、ABC V 的面积关系计算，即可得到答案．【详解详析】解：∵12:1:4S S =∴12GJ BC =∵四边形BCFG 与四边形CADE 是正方形∴2BC FC FG GB GJ ====∴3AC AD DE CE BC GJ GJ====+=∵90ACB Ð=°∴AB ==∵AH AB =，18090ADH ADE Ð=°-Ð=°∴2HD GJ ==∵四边形BAHE AHD S S =△+梯形18ADEB S = ∴()()11113233182222AD HD AD BE DE GJ GJ GJ GJ GJ ´++´=´´++´=∴GJ =∴32AF AC FC GJ GJ GJ BE=-=-==∵90CAB ABC Ð+Ð=°，18090ABC EBM ABI Ð+Ð=°-Ð=°∴CAB EBM Ð=Ð，即FAN EBMÐ=Ð∵四边形BCFG 与四边形CADE 是正方形∴18090AFN CFN Ð=°-Ð=°，BEM 90Ð=°∴90AFN BEM AF BE FAN EBM Ð=Ð=°ìï=íïÐ=Ðî∴FAN EBM △≌△∴FAN EBM S S =△△∴ABC S =V 四边形CFNB EBMS S +△∵90FCE CEJ EJF JFC Ð=Ð=Ð=Ð=°∴四边形CFJE 是矩形∴矩形CFJE S =四边形MBNJ S +四边形CFNB EBM S S +=△四边形MBNJ ABCS S +△∴四边形MBNJ S =矩形CFJE S -ABC S V 112332622JE CE AC BC GJ GJ GJ GJ =´-´=´-´´= 故选：B ．【名师指路】本题考查了矩形、正方形、勾股定理、全等三角形、平方根、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、正方形、勾股定理、全等三角形的性质，从而完成求解．二、填空题11．（2021·浙江·宁波市第七中学八年级期中）如图，矩形ABCD 中，AD ＝10，AB ＝6，点P 在边CD 上，且PC 平分∠BPD ，点M 在线段BP 上，点N 在线段BC 的延长线上，且PM ＝CN ，连接MN 交BP 于点F ，过点M 作ME ⊥CP 于E ．则EF ＝______________．【思路指引】过点M 作//MH BC 交CP 于H ，根据两直线平行，同位角相等可得MHP BCP Ð=Ð，两直线平行，内错角相等可得NCF MHF Ð=Ð，然后求出BPC MHP Ð=Ð，根据等角对等边可得PM MH =，根据等腰三角形三线合一的性质可得PE EH =，利用“角边角”证明NCF D 和MHF D 全等，根据全等三角形对应边相等可得CF FH =，从而求出12EF CP =，根据矩形的对边相等可得10BC AD ==，再利用勾股定理列式求出AP ，然后求出PD ，再次利用勾股定理列式计算即可求出CP ，从而得解．【详解详析】解：如图，过点M 作//MH BC 交CP 于H ，则MHP BCP Ð=Ð，NCF MHF Ð=Ð，∵PC 平分∠BPD ，∴∠BPC =∠DPC ，∵AD ∥BC ，∴∠DPC=∠BCP ，BCP BPC \Ð=Ð，BPC MHP \Ð=Ð，BP =PC ，PM MH \=，PM CN =Q ，CN MH \=，ME CP ^Q ，PE EH \=，在NCF D 和MHF D 中，NCF MHF CFN HFM CN MH Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()NCF MHF AAS \D @D ，CF FH \=，12EF EH FH CP \=+=，Q 矩形ABCD 中，10AD =，10BC AD \==，10 BP BC\==，在Rt ABPD中，8AP===，1082PD AD AP\=-=-=，在Rt CPDD中，CP===12EF CP\==．【名师指路】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键．12．（2021·浙江·乐清市英华学校八年级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为_____．【标准答案】3或6．【思路指引】当CEBD¢为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出10AC=，根据折叠的性质得90AB E BÐ¢=Ð=°，而当CEBD¢为直角三角形时，只能得到90EB CÐ¢=°，所以点A、B′、C共线，即BÐ沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB EB=¢，6AB AB=¢=，可计算出4CB¢=，设BE x=，则EB x¢=，8CE x=-，然后在Rt CEBD¢中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时四边形ABEB¢为正方形．【详解详析】解：当CEBD¢为直角三角形时，有两种情况：①当点B ′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC ，在Rt ABC D 中，6AB =，8BC =，10AC \==，B ÐQ 沿AE 折叠，使点B 落在点B ′处，90AB E B \Ð¢=Ð=°，当CEB D ¢为直角三角形时，只能得到90EB C Ð¢=°，\点A 、B ′、C 共线，即B Ð沿AE 折叠，使点B 落在对角线AC 上的点B ′处，如图，EB EB \=¢，6AB AB =¢=，1064CB \¢=-=，设BE x =，则EB x ¢=，8CE x =-，在Rt CEB D ¢中，222EB CB CE ¢+¢=Q ，2224(8)x x \+=-，解得3x =，3BE \=；②当点B ′落在AD 边上时，如答图2所示．此时ABEB ¢为正方形，6BE AB \==．综上所述，BE 的长为3或6．故答案为3或6．【名师指路】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．13．（2021·浙江·杭州市建兰中学八年级期中）在矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝25，点E 在线段BC 上，CE ＝12，点F 是线段AD 上的一个动点，连接BF ，若将四边形ABEF 沿EF 折叠，点A 、B 分别落在点A ¢、B ¢处，则当点B 恰好落在矩形ABCD 的一边上时，AF 的长为_____．【标准答案】5或10.6【思路指引】分两种情况解答：①当点B ′落在DC 边上，根据折叠不变性，AF A F =¢，13B E BE ¢==，连接B F ¢，则¢=B F BF ；在Rt △B EC ¢中由勾股定理可得CB ¢，设AF x =，则25DE x =-，根据BF B F =¢，由勾股定理列出方程，解方程，结论可得；②当点B ′落在AD 边上，过B ′作B H EC ¢^，仿照①，列出方程，结论可得．【详解详析】解：分两种情况解答：①当点B ′落在DC 边上时，如下图：连接B F ¢，由题意：AF A F =¢，B E BE ¢=，BF B F =¢．在矩形ABCD 中，25AD =Q ，25BC \=．12CE =Q ，251213BE \=-=．13B E \¢=．5B C \¢==．12CD AB ==Q ，1257B D CD CB \¢=-¢=-=．设AF x =，则A F x ¢=，25DF x =-．2222212BF AB AF x \=+=+．22222(25)7B F DF B D x ¢=+¢=-+．2214449(25)x x \+=+-．解得：10.6x =．10.6AF \=．②当点B ′落在AD 边上，如下图：过点B ′作B H EC ¢^于点H ，由题意：AF A F =¢，B E BE ¢=，BF B F =¢．在矩形ABCD 中，25AD =Q ，25BC \=．12CE =Q ，251213BE \=-=．13B E \¢=．在Rt △B EH ¢中，12B H CD ¢==，5EH \=．1257CH \=-=．7B D \¢=．25718AB \¢=-=．设AF A F x =¢=，则18B F x ¢=-．2222212BF AB AF x =+=+Q ，22212(18)x x \+=-．解得：5x =．5AF \=．综上，5AF =或10.6．故答案为：5或10.6．【名师指路】本题主要考查了折叠问题，矩形的性质，勾股定理．利用折叠不变性和勾股定理列出方程是解题的关键．14．如图，直线l 上有AB 、两点，且AB =AB 为边向上构造矩形,4ABCD BC =，连接对角线,AC E 为AC 的中点，F 为直线l 上的动点，连接EF ，作C 关于EF 的对称点C ¢，连接,C E C F ¢¢，若EFC ¢V 与ACF V 的重叠部分()EFG V 面积等于ACF V 的14，则BF =___．【标准答案】+【思路指引】分两种情形①如图1中，当点F 在线段AB 上时，连接C E ¢，C A ¢，作EM BC ^于M ，EN PC ^¢于N ．只要证明四边形AFEC ¢是平行四边形即可解决问题；②如图2中，当点F 在线段AB 的延长线上时，同法可求．【详解详析】解：如图1中，当点F 在线段AB 上时，连接C E ¢，C A ¢，作EM CF ^于M ，EN FC ^¢于N ．EFC D ¢Q 与ACF D 的重叠部分()EFG D 面积等于ACF D 的14，EG AG \=，EFC EFC Ð=Ð¢Q ，EM BC ^于M ，EN FC ^¢于N ，EM EN \=，\12212FECFEG FC EM S EC S EG FG EN D D ××===××，2FC FG \=，FC FC ¢=Q ，FG C G \=¢，AG GE =Q ，\四边形AFEC ¢是平行四边形，1122EC AF EC AC \¢====FB \=如图2中，点F 在线段BA 的延长线上时，同法可得AF EC EC =¢==BF \=故答案为或+【名师指路】本题考查矩形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考填空题中的压轴题．15．如图，在矩形纸片ABCD 中，40cm,16cm,BC AB M ==点为BC 边上的中点，点G 沿B A D ®®运动（不含端点），将矩形纸片沿直线MG 翻折，使得点B 落在AD 边上，则折痕MG 长度为______．【标准答案】或【思路指引】过F 作ME ⊥AD 于E ，可得出四边形ABME 为矩形，利用矩形的性质得到AE =BF ，AB =EM ，分两种情况考虑：（i ）当G 在AB 上，B ′落在AE 上时，如图1所示，由折叠的性质得到B ′M =BM ，BG =B ′G ，在直角三角形EMB ′中，利用勾股定理求出B ′E 的长，由AE -B ′E 求出AB ′的长，设AG =x ，由AB -AG 表示出BG ，即为B ′G ，在直角三角形AB ′G 中，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，确定出AG 的长，进而求出BG 的长，在直角三角形GBM 中，利用勾股定理即可求出折痕MG 的长；（ii ）当G 在AE 上，B ′落在ED 上，如图2所示，同理求出B ′E 的长，设A ′G =AG =y ，由AE +B ′E -AG 表示出GB ′，在直角三角形A ′B ′G 中，利用勾股定理列出关于y 的方程，求出方程的解得到y 的值，求出AG 的长，由AE -AG 求出GE 的长，在直角三角形GEM 中，利用勾股定理即可求出折痕MG 的长，综上，得到所有满足题意的折痕MG 的长．【详解详析】解：如图1所示，过M 作ME AD ^于E ，G 在AB 上，B ′落在AE 上，可得四边形ABME 为矩形，16EM AB \==，AE BM =，又40BC =Q ，M 为BC 的中点，\由折叠可得：1220B M BM BC ¢===，在Rt EFB ¢△中，根据勾股定理得：B E 12¢，201232AB AE B E \¢=+¢=+=，设AG x =，则有16GB GB x ¢==-，在Rt AGB ¢△中，根据勾股定理得：222GB AG A B ¢=+¢¢，即222(16)8x x -=+，解得：6x =，16610GB \=-=在Rt GBF △中，根据勾股定理得：GM =()ii 如图2所示，过F 作FE AD ^于E ，G 在AE 上，B ′落在ED 上，可得四边形ABME 为矩形，16EM AB \==，AE BM =，又40BC =，M 为BC 的中点，\由折叠可得：1220B M BM BC ¢===，在Rt EMB ¢△中，根据勾股定理得：B E 12¢==，201232AB AE B E \¢=+¢=+=，设AG A G y =¢=，则32GB AB AG AE EB AG y ¢=¢-=+¢-=-，16A B AB ¢¢==，在Rt △A B G ¢¢中，根据勾股定理得：222A G A B GB ¢+¢¢=¢，即22216(32)y y +=-，解得：12y =，12AG \=，20128GE AE AG \=-=-=，在Rt GEM △中，根据勾股定理得：GM ==，综上，折痕MG =故答案为：或．【名师指路】此题考查了翻折变换-折叠问题，涉及的知识有：矩形的判定与性质，勾股定理，利用了方程、转化及分类讨论的思想，是一道综合性较强的试题．16．（2021·浙江瓯海·八年级期中）如图，在长方形ABCD 中，4,10AB BC ==，M 为BC 的中点，沿过点M 的直线翻折，使点B 落在边AD 上，记折痕为MN ，则折痕MN 的长为_________．【标准答案】【思路指引】设B 点沿过点M 的直线翻折后落在AD 上的对应点为点B ′，分类讨论①过点M 作ME AD ^交AD 于点E ，N 在AB 上，根据折叠性质得5B M BM ¢==，由勾股定理得，3B E ¢=，MN =②过点M 作ME AD ^交AD 于点E ，N 在AD 上，由折叠得5B M BM ¢==，由勾股定理得，3B E ¢=，设AN A N y =¢=，则5EN AE AN y =-=-，在Rt △A NB ¢¢中，由勾股定理得，222NA A B NB ¢+¢¢=¢，在Rt NEM D中，由勾股定理得，MN =，即可得出结论．【详解详析】解：设B 点沿过点M 的直线翻折后落在AD 上的对应点为点B ′，①过点M 作ME AD ^交AD 于点E ，N 在AB 上，可得四边形ABME 为矩形，4EM AB \==，AE BM =，M Q 为BC 中点，10BC =，\由折叠可得：1110522B M BM BC ¢===´=，在Rt △B EM ¢中，由勾股定理得，3B E ¢=，532AB AE B E \¢=-¢=-=，设AN x =，则4NB AB AN x =-=-，在Rt ANB D ¢中，由勾股定理得，22222222(4)AN AB x NB NB x +¢=+=¢==-，解得32x =，35422NB AB AN \=-=-=，在Rt NBM D 中，由勾股定理得，MN②过点M 作ME AD ^交AD 于点E ，N 在AD 上，可得，四边形ABME 为矩形，4ME AB \==，AE BM =，又10BC =Q ，M 为BC 中点，\由折叠得，1110522B M BM BC ¢==´=´=，在Rt EMB D ¢，由勾股定理得，3B E ¢，538AB AE B E ¢=+¢=+=，设AN A N y =¢=，则5EN AE AN y =-=-，则538NB NE B E y y ¢=+¢=-+=-，在Rt △A NB ¢¢中，90NA B Ð¢¢=°，由勾股定理得，222222224(8)NA A B y AB y NB y ¢+¢¢=+=+=¢=-，3y =，则5532NE y =-=-=，在Rt NEM D 中，90EMN Ð=°，由勾股定理得，MN =综上所述，MN =故答案为：【名师指路】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理的综合运用；熟练掌握矩形和翻折变换的性质以及都股定理等基本知识点，本题注意分类讨论．17．（2021·浙江拱墅·八年级期末）如图，对折矩形纸片ABCD ，使边AD 与BC 重合，折痕为EF ，将纸片展平后再次折叠，使点A 落在EF 上的点G 处，折痕BH 交EF 于点M ．若BC AB ＝m （m ＞1），则FG EM的值为____．（用含m 的代数式表示）【标准答案】3-【思路指引】根据折叠的性质得到AE =BE ，AB =BG ，AH =HG ，∠A =∠BGH =90°，证明△HGM 是等边三角形，设AB =1，BC =m ，利用勾股定理求出EM ，求出MG ，GF 的长，即可得到比值．【详解详析】解：由第一次折叠可知：AE =BE ，由第二次折叠可知：AB =BG ，AH =HG ，∠A =∠BGH =90°，∴BG =2BE ，∴∠BGE =30°，∠EBG =60°，∴∠ABH =∠GBH =30°，∠HGM =60°，∴BM =2EM ，∠BME =∠HMG =60°，∴△HGM 是等边三角形，∵BC AB=m ，∴设AB =1，BC =m ，∴BG =1，AE =BE =12，AD =EF =m ，在△BEM 中，222BE EM BM +=，即()222122EM EM æö+=ç÷èø，∴EM =E 为AB 中点，EM ∥AD ，∴AH =2EMHG =MG ，∴GF =EF -EM -MG=m∴FG EM=3-，故答案为：3-．【名师指路】本题考查了矩形的性质，折叠问题，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，知识点较多，解题的关键是利用基本性质得到线段之间的关系．18．（2021·浙江·嵊州市初级中学八年级期中）如图，在矩形ABCD 中，AB =8，BC =12，点E 是BC 的中点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点F 处，连接FC ，下列五个结论：①EF =CF ；②∠BAE +∠ECF =90º；③CF ∥AE ；④△ECF 是等边三角形；⑤365CF =；其中一定成立的有_______（填序号）．【标准答案】②③⑤【思路指引】先证明∠BAE≠30°，即可推出∠BEA=∠AEF≠60°，则∠FEC≠60°，从而可以推出△FEC不是等边三角形，即可判断①④，根据∠BEF=∠EFC+∠ECF，∠ECF=∠EFC，∠BEA=∠AEF，即可得到∠AEB=∠FCE，即可判断②③；过点F作FG∥BC交AE于G，过点B作BH⊥AE于H，先证明四边形FGEC是平行四边形，四边形BEFG是平行四边形，即可得到GH=HE1122GE CF==，然后利用面积法和勾股定理即可判断⑤．【详解详析】解：由折叠的性质可知：BE=EF，AB=AF，∠BEA=∠AEF，∵E为BC的中点，∴BE=EC=162BC=，∴FE=EC，∴∠ECF=∠EFC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∴10AE==，∠BAE+∠AEB=90°，∴2AE BE¹，∴∠BAE≠30°，∴∠BEA=∠AEF≠60°，∴∠FEC≠60°，∴△FEC不是等边三角形，故④错误，∴EF≠CF，故①错误；∵∠BEF=∠EFC+∠ECF，∴∠AEB=∠FCE，∵∠BAE+∠AEB=90°，AE∥CF故③正确∴∠BAE+∠ECF=90°，故②正确，如图，过点F作FG∥BC交AE于G，过点B作BH⊥AE于H，∴四边形FGEC是平行四边形，∴GF=BE=EC，∴四边形BEFG是平行四边形，∴EF=BG=BE，GE=CF，∴GH=HE1122GE CF ==，∵11=22ABES AB BE AE BH=g g△，∴245AB BEBHAE==g，∴185 HE==，∴3625CF EH==，故⑤正确；故答案为：②③⑤．【名师指路】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，平行线的判定，平行四边形的性质与判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．三、解答题19．（2021·浙江余杭·八年级月考）如图，在长方形ABCD中，4AB=，9BC=，动点Q沿着C D A B®®®的方向运动，到点B运动停止，设点Q运动的路程为x，QCBD的面积为y．（1）点Q在CD边上，求y关于x的函数表达式．（2）点Q在AD边上，QCBD的面积是否发生变化？请说明理由．（3）点Q在AB边上，QCBD的面积是否发生变化？如果发生变化，求出面积的变化范围，并写出y关于x的函数表达式；如果没有发生变化，求出此时QCBD的面积．【标准答案】（1）9(04)2y x x=<£；（2）QCB△的面积不发生变化，理由见解析；（3）QCB△的面积发生变化，018y <£，9153(1317)22y x x =-+£<．【思路指引】（1）由题意可求出CQ 的长，利用三角形的面积公式即可得到求y 与x 的关系式；（2）当点Q 在AD 上运动时，QCB △的面积不发生改变，过点Q 作QM BC ^于点M ，利用三角形的面积公式可得QCB △的面积为18，是个定值；（3）先求出BQ 的长，再利用三角形的面积公式可得y 与x 的函数关系式，然后利用点Q 在AB 上可得出x 的范围，由此即可得出面积y 的变化范围．【详解详析】解：（1）Q 在长方形ABCD 中，4AB =，9BC =，4,9,90CD AB AD BC ABC BCD \====Ð=Ð=°，由题意知，当点Q 在CD 边上时，CQ x =，且04x <£，19(24)20y BC CQ x x \=×=<£；（2）QCB △的面积不发生变化．理由如下：如图，过点Q 作QM BC ^于点M ，则4QM AB ==，11941822QCB S BC QM \=×=´´=V ，是一个定值，所以QCB △的面积不发生变化；（3）QCB △的面积发生变化，求解过程如下：当点Q 在AB 边上时，CD AD AQ x ++=，且CD AD x CD AD AB +£<++，49417BQ AB AD CD x x x \=++-=++-=-，1317x £<，1191539(17)(1317)2222y BC BQ x x x \=×=´-=-+£<，1317x £<Q ，9153915317132222y -´+<£-´+\，即018y <£．【名师指路】本题考查了一次函数的几何应用、长方形的性质等知识点，熟练掌握一次函数的求解方法是解题关键．20．如图，已知在矩形ABCD中，点E在AB边上，F在CE边上，且∠ACD＝∠DAF．（1）当∠CAF＝30°时，求矩形的长宽之比；（2）若∠CAF＝∠ECB，请回答下列问题；①设∠ACE＝x，∠CAF＝y，求y关于x的表达式；②若EB＝1，求CF的长．【标准答案】（1；（2）①2303y x=°-；②2．【思路指引】（1）根据矩形的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可；（2）①根据矩形的性质和角的关系得出关系式即可；②延长EB至G，使BG＝BE，连接CG，根据矩形的性质和边的关系解答即可．【详解详析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠BAD＝90°，∴∠ACD＝∠BAC，∵∠ACD＝∠DAF，∴∠BAC＝∠DAF，∴∠BAC﹣∠CAF＝∠DAF﹣∠CAF，∴∠BAF＝∠CAD，∵∠CAF＝30°，∴∠BAF＝∠CAD＝90-90303022CAFÐ-==o o oo，∴△ACD是含30°的直角三角形，∴AD：DC1，1；（2）①设∠ACE＝x，∠CAF＝y，∵∠CAF＝∠ECB，∴∠ECB＝∠CAF＝y，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠BCD＝90°，∴∠CAD＝∠ACB＝∠BCF+∠ACE＝x+y，∵∠ACD＝∠DAF＝∠CAF+∠CAD＝y+x+y＝x+2y，∴∠BCD＝∠ACD+∠ACE+∠BCE＝90°，∴x+2y+x+y＝90°，∴y＝30°-23 x；②延长EB至G，使BG＝BE，连接CG，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠DCA＝∠BAC，∵∠DCA＝∠DAF，∴∠BAC＝∠DAF，∴∠EAF＝∠DAC，∵∠AFE＝∠FAC+∠ACE，∠ACB＝∠ECB+∠ACE，∠FAC＝∠ECB，∴∠AFE＝∠ACB，∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC，∴∠EAF＝∠EFA，∴AE＝EF，∵AB⊥BC，BG＝BE，∴CG＝CE，∴∠ECB＝∠GCB，∵∠ACG＝∠ACB+∠BCG，∠ACB＝∠CAD，∴∠ACG＝∠DAF＝∠BAC，∴AG＝CG，又∵CE＝CG，∴CE＝AG，∴CF+EF＝AE+2EB，∴CF＝2EB＝2．【名师指路】本题考查了四边形得到综合题、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定与性质是解题的关键．21．（2021·浙江·温州市第十二中学八年级期中）如图，△ABC中，∠C＝45°，∠ABC＝60°，AB＝4，∠ABC的平分线交AC于点D，点P是线段AC上一动点，PE//BC交射线BD于点E，连接AE，点'E是点E关于AC的对称点.（1）线段BC＝______，AC＝_____；（2）在点P从点C运动到点A的过程中，△AEB是否有可能是等腰三角形？若有可能，求出当△AEB是等腰三角形时，CP所有可能的长；若不可能，请说明理由；（3）当点E¢恰好落在线段BC上时，PC＝______．【标准答案】（1）2+，（2）有可能，（3【思路指引】（1）过点A作AF⊥BC于F，过点P作PG⊥BC于G，根据已知角和已知边解直角三角形即可求解；（2）过点D 作DQ ⊥BC 于Q ，根据等腰三角形的性质分情况讨论，利用已知角和边解直角三角形即可；（3）过点C 作EC ⊥BC 交BD 延长线于E ，根据等腰直角三角形的性质解直角三角形即可求解.【详解详析】（1）解：过点A 作AF ⊥BC 于F ，过点P 作PG ⊥BC 于G ，∵∠C =45°，∠ABC =60°，AF ⊥BC ，∴AFB △和AFC △是直角三角形，在直角三角形AFB △中，已知AB =4，∠FAB =30°∴BF =12AB =12×4=2，由勾股定理可得：又∵在直角三角形AFC △中，∠C =45°，AF =FC =∴BC =2+∴=（2）解：过点D 作DQ ⊥BC 于Q ，∵BD 平分∠ABC ，∠ABC =60°，∴∠ABD =∠DBC -30°，设CQ =x ，则BQ =BC -CQ =2+x ，在直角三角形BQD V 中，∠DQB =30°，∴12DQ BD =，勾股定理可得：BQ =,∴DQ BQ =∴DQ BQ ==，求得x =2即DQ =CQ =2，BQ =∴BD 4=，DC =，由题意，AEB △是等腰三角形，故有三种情况：①当AB =AE 时，∠ABE =∠AEB =30°，∴∠BAE =180°-30°-30°=120°，∵∠ABC =60°，∠BAE =120°，∴AE //BC ，∵PE //BC ，P 为AC 上一动点，∴点P 与点A 重合，即PC =AC =②当AB =EB 时，EB =AB =2，∵BD =2，AB =2，EB =AB =2，∴点D 与点E 重合（点E 在BD 上），∴点P 与点E 重合,即PC =CD=∵此时不满足PE //BC ，∴不存在；③当AE =BE 时，过点E 作EM ⊥AB 于M ，在直角三角形BME V 中，BM =122AB =,∠MBE =30°，∴ME =12BE ，勾股定理可得：MB，∴BM BE =∴BE ==，过点E 作EH ⊥BC ，PG ⊥BC ，在直角三角形BHE V 中，BE,∠HBE =30°，∴12EH BE ==∵四边形EHGP 是矩形，∴PG =EH在直角三角形PGC V 中，∠PCG =45°，∴PG =GC由勾股定理可得：PC =综上，CP 可能的长为（3）连接EC 、EE ¢，∵∠ACB =45°，PE ∥BC ，∴∠EPC =∠ACB =45゜，∵E 与'E 关于AC 对称，∴∠ECP =∠ACB =45゜，∴∠BCE =∠ACB +∠ECP =90゜，∠PEC =180゜－∠EPC －∠ECP =90゜，∴EC ⊥BC ，PEC V 是等腰直角三角形，∴PE =CE ，由勾股定理可得：PC2=PE 2+CE 2,∴PC 22，∴CE PC ，又∵在直角三角形BCE V 中，∠EBC =30°，BC =2+∴EC =12BE ，由勾股定理可得：BC BE ，∴CE BC =∴CE (22+=,∴PC =.【名师指路】本题主要考查含30°的直角三角形的性质和勾股定理，解决本题的关键是要熟练掌握含30°的直角三角形的性质和勾股定理.22．（2021·浙江·温州市第十四中学八年级期中）如图1，在Rt ABC V 中，ACB 90Ð=o ，AC =BC =4，D 是AB 的中点．延长AC 至点N ，在BC 右侧作BM ∥AN ，点E 为射线BM 上一点，连结DE 交BC 于点F ，过点D 作DG DE ^交AC 于点G ．（1）求证：BFD CGD Ð=Ð；（2）如图 2，点H 在射线CN 上，且EF 平分BFH Ð，连结EH ．①求证：HF HG =；②当HEF V 是以EH 为腰的等腰三角形时，则BF = ．(直接写出答案，结果保留根号)．【标准答案】（1）见解析；（2）①见解析；②4-2-．【思路指引】（1）先证明∠DGC +∠DFC =180°，再根据∠BFD +∠DFC =180°，得出结论；（2）①先证明∠FHD =∠CHD ，再证明CGD Ð=∠DFH ，最后根据△DFH ≌△DGH 得出结论；②分两种情况讨论：①当EH =HF 时；②当EH =EF 时，分别求解即可．【详解详析】解：（1）∵DG DE ^，ACB 90Ð=o ，∴∠ACB =∠FDG =90°，∴∠DGC +∠DFC =360°-∠ACB -∠FDG =180°，∵∠BFD +∠DFC =180°，∴∠BFD =∠DGC ；（2）①连接DC ，DH ，DO ⊥AC ，DK ⊥BC ，DP ⊥HF ，交HF 的延长线于点P ，∵AC =BC ，D 是AB 的中点，∴CD 是∠BCA 的平分线，∴∠FHD =∠CHD ，∵DO ⊥AC ，DK ⊥BC ，∴DO =DK ，。

矩形的性质和判定典型例题1

∴ 矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8(㎝)
矩形的性质和判定典型例题1
变式已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O， ∠AOD=120°，AC=8cm，求矩形BC的长.
解：在矩形ABCD中，
A
D
∵ ∠AOD=120°
∴ ∠AOB=60°
∵OA=OB
O
∴ △AOB为等边三角形
B
1
C
∴A
F
C
老张讲数学
矩形的性质和判定典型例题1
矩形的性质和判定典型例题1
例题1：矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°,AB=4
㎝
求矩形对角线的长？
解：∵ 四边形ABCD是矩形
A
∴AC与BD相等且互相平分
o
D
∴ OA=OB ∵ ∠AOB=60°
B
C
∴ △AOB是等边三角形 ∴ OA=AB=4(㎝)
2
在Rt△ABC中，
BC=
AC2 - AB2 = 82 - 42 =
48 （cm）
方法小结: 如果矩形两对角线的夹角是60°
或120°, 则其中必有等边三角形.
矩形的性质和判定典型例题1
练习1：矩形ABCD的两条对角线相交于点O，
∠BOC=120°,AB=6㎝，(1)求矩形对角线的长？(2)BC的长?
（3）矩形的面积？
A
D
o
B
C
矩形的性质和判定典型例题1
练习2：矩形ABCD的两条对角线相交于点O，
∠BOC=120°,AB=AO
则∠ABD的度数？
A
D
o
B
C
矩形的性质和判定典型例题1
练习3：如图，在矩形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE=CF,连接 AF,DE相交于点O.求证：（1）△ABF≌ △DCE；（2） △AOD是等腰三角形

矩形的性质与判定经典练习

证实【2 】（三）┄┄矩形的性质与剖断【常识要点:】1．矩形的界说：有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特别的平行四边形）. 2．矩形的性质：矩形具有平行四边形的所有性质. （1）角：四个角都是直角. （2）对角线：互相等分且相等. 3．矩形的剖断:（1）有一个角是直角的平行四边形. （2）对角线相等的平行四边形. （3）有三个角是直角的四边形.4.矩形的对称性：矩形是中间对称图形,对角线的交点是它的对称中间;矩形是轴对称图形,对称轴有2条,是经由对角线的交点且垂直于矩形一边的直线. 5.矩形的周长和面积：矩形的周长=)(2b a + 矩形的面积=长⨯宽=ab （b a ,为矩形的长与宽） ★留意:（1）矩形被两条对角线分成的四个小三角形都是等腰三角形且面积相等. （2）矩形是轴对称图形,两组对边的中垂线是它的对称轴.【经典例题:】例1.如图,矩形ABCD 中,E 为AD 上一点,EF ⊥CE 交AB 于F,若DE=2,矩形ABCD 的周长为16,且CE=EF,求AE 的长．例2.,平行四边形ABCD 的四个内角的等分线分离订交于点E,F,G,H,求证：四边形EFGH 是矩形. 例3.已知：如图所示,矩形ABCD 中,E 是BC 上的一点,且AE=BC,︒=∠15EDC ． A D四边形平行四边形矩形菱形梯形一角为90°一组邻边相等正方形两组对边平行只有一组对边平行一角为直角且一组邻边相等邻边相等一角为90°等腰梯形两腰相等PH D C BA求证：AD=2AB ．例4.已知：如图,四边形ABCD 是由两个全等的正三角形ABD 和BCD 构成的,M.N•分离为BC.AD 的中点．求证：四边形BMDN 是矩形．例5.如图,已知在四边形ABCD 中,AC DB ⊥交于O ,E .F .G .H 分离是四边的中点,求证：四边形EFGH 是矩形．例6、如图, 在矩形ABCD 中, AP=DC, PH=PC, 求证: PB 等分∠CBH.【教室演习题:】1．断定一个四边形是矩形,下列前提准确的是（）A ．对角线相等B ．对角线垂直C ．对角线互相等分且相等D ．对角线互相垂直且相等. 2．矩形的双方长分离为10cm 和15cm,个中一个内角等分线分长边为两部分,这两部分分离为（）A ．6cm 和9cmB ．5cm 和10cmC ．4cm 和11cmD ．7cm 和8cm 3.鄙人列图形性质中,矩形不必定具有的是（） A ．对角线互相等分且相等 B ．四个角相等 C ．是轴对称图形 D ．对角线互相垂直等分4在矩形ABCD 中, 对角线交于O 点,AB=0.6, BC=0.8, 那么△AOB 的面积为; 周长为. 5一个矩形周长是12cm, 对角线长是5cm, 那么它的面积为.6.若一个直角三角形的两条直角边分离为5和12,则斜边上的中线等于.7.矩形的两条对角线的夹角是60°,一条对角线与矩形短边的和为15,那么矩形对角线的长为,短边长为. BAC D N MHG OFEDC BA8.矩形的两邻边分离为4㎝和3㎝,则其对角线为㎝,矩形面积为cm 2. 9.若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°,则两条对角线订交所成的锐角是.10．矩形的对角线订交所成的钝角为120°,矩形的短边长为5 cm,则对角线之长为cm. 11．矩形ABCD 的两对角线AC 与BD 订交于O 点,∠AOB=2∠BOC,若对角线AC 的长为18 cm,则AD=cm.【课后演习题:】1.矩形具有而一般的平行四边形不必定具有的特点是（）.A ．对角相等 B. 对边相等 C ．对角线相等 D. 对角线互相等分2.如图,在矩形ABCD 中,对角线AC 与BD 订交于点O,AB=5,AC=13,则矩形ABCD 的面积__.题2题43．已知,矩形的一条边上的中点与对边的两个端点的连线互相垂直,且该矩形的周长为24 cm, 则矩形的面积为cm 2.4．如图所示,在矩形ABCD 中,AB=2BC,在CD 上取一点E,使AE=AB,则∠EBC=. 5．如图,已知△ABC 中,AB=AC,D 为BC 上一点,DE ⊥AB,DF ⊥AC,BM 为高,求证：DE+DF=BM.6.如图,ABCD 是矩形纸片,翻折∠B .∠D ,使BC .AD 正好落在AC 上.设F .H 分离是B .D 落在AC 上的两点,E .G 分离是折痕CE .AG 与AB .CD 的交点.（1）求证：四边形AECG 是平行四边形; （2）若AB ＝4cm ,BC ＝3cm ,求线段EF 的长.7.已知：如图,在△ABC 中,AB=AC,AD ⊥BC,垂足为点D,AN 是△ABC 的外角∠CAM 的等分线,CE ⊥AN,垂足为点E,求证：四边形ADCE 为矩形. AB CDEMF B CDEA。

矩形的性质与判定经典例题练习

矩形第一课时1、矩形的定义2、矩形的性质 1)边 2）角 3）对角线4）对称性3.已知矩形ABCD 中，S 矩形ABCD =24 cm 2，若BC =6 cm ，则对角线AC 的长是________ cm.练一练： 1、矩形的两条对角线把矩形分成个等腰三角形．2、矩形具有而平行四边形不具有的性质是（）A ．对角线互相平分B ．两组对边分别相等C ．相邻两角互补D ．对角线相等3.已知E 是矩形ABCD 的边BC 的中点，那么S △AED =________S 矩形ABCD （）A.21B.41C.51D.61 4.在矩形ABCD 的边AB 上有一点E ，且CE =DE ，若AB =2AD ，则∠ADE 等于（）A.45°B.30°C.60°D.75°【探究三】直角三角形斜边上的中线性质1、根据矩形对角线性质可得到直角三角形斜边上的中线性质：练一练：1、已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3．则直角三角形的面积为（） A ．5B ．6C ．7D ．82、如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边上的高所夹的锐角为34°，那么这个直角三角形的较小的内角是度．精讲精练例1、如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相较于点O ，AE 平分BAD ∠交BC 于E ，若15CAE ∠=︒,求BOE ∠的度数。

变式：已知矩形ABCD 中，如图2，对角线AC 、BD 相交于O ，AE ⊥BD 于E ，若∠DAE ∶∠BAE =3∶1，则∠EAC =________.例题2、如图，已知BD 、CE 是ABC 的两条高，M 、N 分别是BC 、DE 的中点，MN 与DE 有怎样的位置关系。

请证明。

例题3.如图，周长为68的矩形ABCD 被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD 的面积为（）A.98B.196C.280D.284三、用中学习： 1．（2013•老河口市模拟）由10块相同的长方形地砖拼成面积为1.6m 2的矩形ABCD （如图），则矩形ABCD 的周长为多少？2.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是（）A.16B.22C.26D.22或263.矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为_______，短边长为_______.O N M D CBA 4.矩形ABCD 的周长是56 cm ，它的两条对角线相交于O ，△AOB 的周长比△BOC 的周长少 4 cm ，则AB =_______，BC =_______.5、矩形是轴对称图形，它有______条对称轴．6、在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若对角线AC=10cm ，•边BC=•8cm ，•则△ABO 的周长为________．7、如图2，根据实际需要，要在矩形实验田里修一条公路（•小路任何地方水平宽度都相等），则剩余实验田的面积为________．（1） (2)8、在矩形ABCD 中, 对角线交于O 点，AB=0.6, BC=0.8, 那么△AOB 的面积为_______________; 周长为_______9、一个矩形周长是12cm, 对角线长是5cm, 那么它的面积为__________________.10.在△ABC 中, AM 是中线, ∠BAC=90︒, AB=6cm, AC=8cm, 那么AM 的长为_____________________.11.在矩形ABCD 中, AB=3, BC=4, P 为形内一点, 那么PA+PB+PC+PD 的最小值为______12.如图, 矩形ABCD 对角线交于O 点, 且满足AM=BN, 给出以下结论: ①MN //DC; ②∠DMN=∠MNC; ③OMD ONC S S =. 其中正确的是______________.13、已知，如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是OA ，OB 的中点．（1）求证：△ADE ≌△BCF ；（2）若AD=4cm ，AB=8cm ，求OF 的长．14、如图，在矩形ABCD 中，已知AB=8cm ，BC=10cm ，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边的中点F 处，折痕为AE ，求CE 的长．矩形的判定典型例题及练习归纳矩形的三种判定方法：精讲精练例1、已知：如图，ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E 、F 、G 、H 。

矩形的性质及判定知识点及典型例题

1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2．矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且相等． ② 角的性质：四个角都是直角． ③ 对角线性质：对角线互相平分且相等．④ 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直角三角形中，30︒角所对的边等于斜边的一半．点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得． 3．矩形的判定判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形．判定②：对角线相等的平行四边形是矩形．判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．一、矩形的判定【例1】矩形具有而平行四边形不具有的性质为（）A ．对角线相等B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．对边相等【例2】如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE ∠=FED CBA矩形的性质及判定【例3】在矩形ABCD 中，点H 为AD 的中点，P 为BC 上任意一点，PE HC ⊥交HC 于点E ，PF BH⊥交BH 于点F ，当AB BC ，满足条件时，四边形PEHF 是矩形【例4】如图，在四边形ABCD 中，90ABC BCD ∠=∠=︒，AC BD =，求证：四边形ABCD 是矩形．CDB A【例5】如图，已知在四边形ABCD 中，AC DB ⊥交于O ，E 、F 、G 、H 分别是四边的中点，求证四边形EFGH 是矩形．HG OFEDCB A【例6】如图，在平行四边形ABCD 中，M 是AD 的中点，且MB MC =，求证：四边形ABCD 是矩形．MCDB A【例7】设凸四边形ABCD 的4个顶点满足条件：每一点到其他3点的距离之和都要相等．试判断这个四边形是什么四边形?请证明你的结论。

【例8】如图，平行四边形ABCD 中，AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是DAB ∠、ABC ∠、BCD ∠、CDA ∠的平分线，AQ 与BN 交于P ，CN 与DQ 交于M ，证明：四边形PQMN 是矩形．NMQPDCBA【例9】如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF BD =，连结BF ． ⑴ 求证：BD CD =．⑵ 如果AB AC =，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．FED CB A【例10】如图，在ABC ∆中，点D 是AC 边上的一个动点，过点D 作直线MN BC ∥，若MN 交BCA ∠的平分线于点E ，交BCA ∠的外角平分线于点F （1）求证：DE DF =（2）当点D 运动到何处时，四边形AECF 为矩形？请说明理由！NMFEDCBA321FE D CB A【例11】已知，如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 是BC 边上的高，AF 是BAC ∠的外角平分线，DE ∥AB交AF 于E ，试说明四边形ADCE 是矩形．【例12】如图所示，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，将Rt ABC ∆绕点C 顺时针方向旋转60︒得到DEC ∆点E在AC 上，再将Rt ABC ∆沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF ∆连接AD ． ⑴ 求证：四边形AFCD 是菱形；⑵ 连接BE 并延长交AD 于G 连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？AB CDGEF【例13】如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F ，AEF ∆的两条高相交于M ，20AC =，16EF =，求AM 的长．MF E DC BA【例14】已知，如图矩形ABCD 中，延长CB 到E ，使CE AC =，F 是AE 中点．求证：BF DF ⊥．ABCE FD板块二、矩形的性质及应用【例15】如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE AD =，DF AE ⊥，垂足为F .线段DF 与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。