第2章解线性方程组的直接方法5_6
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aij aij aik a jk k 1
2.2 a jj ajj
2.3 for i= j+1, j+2,…,n
aij aij / a jj
10
3. 解Ly=b:
3.1 y1 b1 / a11
3.2 for i=2,3,…,n do
i 1
yi (bi aik yk ) / aii k 1
§ 2.5 平方根法
一、对称正定矩阵的三角分解(Cholesky分解)
若n阶矩阵A为对称正定矩阵 则det( A) 0, AT A
且A的顺序主子式 det Ak 0, k 1,2, , n
因此A可以进行 LU分解(或Doolittle分解)
记为
A L~U~
其中, L~为单位下三角阵 ,U~为上三角阵
25 29
9 10 9
y1
b1 l11
9 6
y2
b2
l21 l22
y1
2
b3 l3k yk
y3
k 1
l33
10 29
y1
b1 l11
i1
bi lik yk
yi
k 1
lii
10 7 * 9
6
3
29
174
6
13
即
y ( y1 , y2 , y3 )T
( 9 , 6
假设L的第1 ~ r 1列已求出, 考察A的第r列元素air
r
r 1
arr lrk lrk lr2k lr2r
k 1
k 1
-------------(7)
r
r 1
air lik lrk lik lrk lir lrr
k 1
k 1
-------------(8) i r, r 1, , n
1
且对于A, L~,U~的任意k阶顺序主子式Ak , L~k ,U~k
Ak L~kU~k
k 1,2, , n
det Ak detL~k detU~k 1 k u~ii 0 i1
det Ak k1 u~ii u~kk det Ak1 u~kk i1
u~kk
det Ak det Ak1
由于 A L%U% 分解唯一，所以 L° U1T .
因此
A
L~U~
11
L%D 2 D 2 L%T
1
1
(L%D 2 )(L%D 2 )T
LLT
1
其中 L L%D 2 为非奇异下三角阵
4
定理1. (Cholesky分解) 设A为对称正定矩阵,则一定存在一个主对角元全是 正数的下三角阵L, 使得
7
二、对称正定线性方程组的解法
线性方程组
Ax b
-------------(10)
其中A为n阶对称正定矩阵 则存在主对角元为正数的下三角阵L, 使得
A LLT
-------------(11)
则线性方程组(10)可化为两个三角形方程组
L(LT x) b
Ly b LT x y
-------------(12)
A LLT 且该分解式唯一
这种关于对称正定矩阵的分解称为Cholesky分解
a11
a1r
a1n
设 A ar1 arr arn
an1
anr
ann
l11
L lr1 lrr
ln1
lnr
lnn
aij a ji
5
a11
a1r
a1n
l11
l11
lr1
ln1
ar1
an1
arr
anr
arn lr1
ann
ln
1
lrr
lnr
lnn
lrr
llnnnr
a11 l11 l11 a21 l21 l11 ai1 li1 l11 i 1,2, , n
L的第一列元素 li1可以求出
-------------(6)
u~n1,n u~n1,n1
1
3
D diag(u~11 ,u~22 , ,u~nn ) [diag( u~11 , u~22 , , u~nn )]2
U~
DU
1
D
1 2
D
1
2U 1
11
A L~U~ L%(D 2 D 2U1)
11
而 A 为对称正定阵 , AT A U1T (D 2 D 2 L%T )
0
(记det A0 1)
以上 k 1,2, , n
2
因此
u~11
U~
u~12 u~22
u~13 u~23 u~33
u~11
u~22
u~33
ˆ DU1
u~1n u~2n
u~3n
u~nn
1
u~12 u~11
1
u~nn
u~13 uu~~1213 u~22
1
u~1n u~u~211n u~22
4. 解LTx = y:
4.1 xn yn / ann
4.2 for i=n-1,n-1,…,1 do
n
xi ( yi akixk ) / aii k i 1
11
例1. 解:
用平方根法解对称正定方程组
6 7 5
7 13 8
5 8 6
x1 x2 x3
9 10 9
l11 a11
li1
6
由(6) ~ (8)式可得L的元素的计算公式
l11 a11
li 1
ai 1 l11
i 2,3, , n
r 1
lrr arr lr2k k 1
r 1
air lik lrk
lir
ຫໍສະໝຸດ Baidu
k 1
lrr
r 2, ,n
(9)
i r 1, , n
从公式中可以看出, 在计算机上运算时,
当lij求出后, aij的储存地址可以用来存放lij
ai1 l11
lrr
r 1
arr lr2k k 1
r 1
air lik lrk
先分解系数矩阵A
lir
k 1
lrr
6
6
A
7 5
7 13 8
5
8 6
LLT 分解
7
6
5
29 6 13
6 174
L
25 29
12
其次解 Ly b
6
7 29
(L,b)
6
6
5 6
13 174
l11 li1 ln1
LT
lii
llnnni
------(15) i n 1, ,2,1
对称正定方程 组的平方根法
9
1. 输入系数矩阵A, 右端项b; 2. 作A的Cholesky分解:
for j=1,2,…n 2.1 如果j>1 则 for i= j,j+1,j+2,…,
j 1
-------------(13)
8
1. 解 Ly b
y1
b1 l11
i1
bi lik yk
yi
k 1
lii
2. 解 LT x y
xn xi
yn lnn
yi
n
lki
k i1
lii
xk
------(14)
l11
L li1 lii
ln1
lni
lnn
i 2,3, , n
2.2 a jj ajj
2.3 for i= j+1, j+2,…,n
aij aij / a jj
10
3. 解Ly=b:
3.1 y1 b1 / a11
3.2 for i=2,3,…,n do
i 1
yi (bi aik yk ) / aii k 1
§ 2.5 平方根法
一、对称正定矩阵的三角分解(Cholesky分解)
若n阶矩阵A为对称正定矩阵 则det( A) 0, AT A
且A的顺序主子式 det Ak 0, k 1,2, , n
因此A可以进行 LU分解(或Doolittle分解)
记为
A L~U~
其中, L~为单位下三角阵 ,U~为上三角阵
25 29
9 10 9
y1
b1 l11
9 6
y2
b2
l21 l22
y1
2
b3 l3k yk
y3
k 1
l33
10 29
y1
b1 l11
i1
bi lik yk
yi
k 1
lii
10 7 * 9
6
3
29
174
6
13
即
y ( y1 , y2 , y3 )T
( 9 , 6
假设L的第1 ~ r 1列已求出, 考察A的第r列元素air
r
r 1
arr lrk lrk lr2k lr2r
k 1
k 1
-------------(7)
r
r 1
air lik lrk lik lrk lir lrr
k 1
k 1
-------------(8) i r, r 1, , n
1
且对于A, L~,U~的任意k阶顺序主子式Ak , L~k ,U~k
Ak L~kU~k
k 1,2, , n
det Ak detL~k detU~k 1 k u~ii 0 i1
det Ak k1 u~ii u~kk det Ak1 u~kk i1
u~kk
det Ak det Ak1
由于 A L%U% 分解唯一，所以 L° U1T .
因此
A
L~U~
11
L%D 2 D 2 L%T
1
1
(L%D 2 )(L%D 2 )T
LLT
1
其中 L L%D 2 为非奇异下三角阵
4
定理1. (Cholesky分解) 设A为对称正定矩阵,则一定存在一个主对角元全是 正数的下三角阵L, 使得
7
二、对称正定线性方程组的解法
线性方程组
Ax b
-------------(10)
其中A为n阶对称正定矩阵 则存在主对角元为正数的下三角阵L, 使得
A LLT
-------------(11)
则线性方程组(10)可化为两个三角形方程组
L(LT x) b
Ly b LT x y
-------------(12)
A LLT 且该分解式唯一
这种关于对称正定矩阵的分解称为Cholesky分解
a11
a1r
a1n
设 A ar1 arr arn
an1
anr
ann
l11
L lr1 lrr
ln1
lnr
lnn
aij a ji
5
a11
a1r
a1n
l11
l11
lr1
ln1
ar1
an1
arr
anr
arn lr1
ann
ln
1
lrr
lnr
lnn
lrr
llnnnr
a11 l11 l11 a21 l21 l11 ai1 li1 l11 i 1,2, , n
L的第一列元素 li1可以求出
-------------(6)
u~n1,n u~n1,n1
1
3
D diag(u~11 ,u~22 , ,u~nn ) [diag( u~11 , u~22 , , u~nn )]2
U~
DU
1
D
1 2
D
1
2U 1
11
A L~U~ L%(D 2 D 2U1)
11
而 A 为对称正定阵 , AT A U1T (D 2 D 2 L%T )
0
(记det A0 1)
以上 k 1,2, , n
2
因此
u~11
U~
u~12 u~22
u~13 u~23 u~33
u~11
u~22
u~33
ˆ DU1
u~1n u~2n
u~3n
u~nn
1
u~12 u~11
1
u~nn
u~13 uu~~1213 u~22
1
u~1n u~u~211n u~22
4. 解LTx = y:
4.1 xn yn / ann
4.2 for i=n-1,n-1,…,1 do
n
xi ( yi akixk ) / aii k i 1
11
例1. 解:
用平方根法解对称正定方程组
6 7 5
7 13 8
5 8 6
x1 x2 x3
9 10 9
l11 a11
li1
6
由(6) ~ (8)式可得L的元素的计算公式
l11 a11
li 1
ai 1 l11
i 2,3, , n
r 1
lrr arr lr2k k 1
r 1
air lik lrk
lir
ຫໍສະໝຸດ Baidu
k 1
lrr
r 2, ,n
(9)
i r 1, , n
从公式中可以看出, 在计算机上运算时,
当lij求出后, aij的储存地址可以用来存放lij
ai1 l11
lrr
r 1
arr lr2k k 1
r 1
air lik lrk
先分解系数矩阵A
lir
k 1
lrr
6
6
A
7 5
7 13 8
5
8 6
LLT 分解
7
6
5
29 6 13
6 174
L
25 29
12
其次解 Ly b
6
7 29
(L,b)
6
6
5 6
13 174
l11 li1 ln1
LT
lii
llnnni
------(15) i n 1, ,2,1
对称正定方程 组的平方根法
9
1. 输入系数矩阵A, 右端项b; 2. 作A的Cholesky分解:
for j=1,2,…n 2.1 如果j>1 则 for i= j,j+1,j+2,…,
j 1
-------------(13)
8
1. 解 Ly b
y1
b1 l11
i1
bi lik yk
yi
k 1
lii
2. 解 LT x y
xn xi
yn lnn
yi
n
lki
k i1
lii
xk
------(14)
l11
L li1 lii
ln1
lni
lnn
i 2,3, , n