第2章解线性方程组的直接方法5_6
线性方程组的几种求解方法
甘肃政法学院本科学年论文（设计）题目浅议线性方程组的几种求解方法学号：姓名：指导教师：成绩：__________________完成时间： 2012 年 11 月目录第一章引言 (1)第二章线性方程组的几种解法 (1)2.1 斯消元法 (1)2.1.1 消元过程 (1)2.1.2 回代过程 (2)2.1.3 解的判断 (2)2.2 克莱姆法则 (3)2.3 LU分解法 (4)2.4 追赶法 (6)第三章结束语 (8)致谢 (8)参考文献 (9)摘要:线性方程组是线性代数的核心内容之一，其解法研究是代数学中经典且重要的研究课题.下面将综述几种不同类型的线性方程组的解法，如消元法、克莱姆法则、直接三角形法、、追赶法，并以具体例子介绍不同解法的应用技巧. 在这些解法中，高斯消元法方法，具有表达式清晰，使用范围广的特点.另外，这些方法有利于快速有效地解决线性方程组的求解问题，为解线性方程组提供一个简易平台，促进了理论与实际的结合。
关键词:线性方程组;解法;应用Several methods of solving linear equation groupAbstract: The system of linear equations is one of linear algebra core contents, its solution research is in the algebra the classics also the important research topic. This article summarized several kind of different type system of linear equations solution, like the elimination, the Cramer principle, the generalized inverse matrix law, the direct triangle law, the square root method, pursue the law, and by concrete example introduction different solution application skill. In these solutions, the generalized inverse matrix method, has the expression to be clear, use scope broad characteristic. Moreover, these methods favor effectively solve the system of linear equations solution problem fast, provides a simple platform for the solution system of linear equations, promoted the theory and the actual union.Key word: Linear equations; Solution ; Example第一章 引言线性方程组理论是高等数学中十分重要的内容，而线性方程组的解法是利用线性方程组理论解决问题的关键.下面将介绍线性方程组的消元法、追赶法、直接三角形法等求解方法，为求解线性方程组提供一个平台。
第2章线性方程组求解方法第一1讲
(1) 非负性， 即‖A‖≥0，‖A‖=0当且仅当A=0；
(2) 齐次性，即对任意实数α∈R，有
‖αA‖=|α|‖A‖；
(3) 三角不等式性， 即对任意A，B∈Rn×n，有 ‖A+B‖≤‖A‖+‖B‖； (4) 对任意A，B∈Rn×n，有‖AB‖≤‖A‖‖B‖。
计算方法
线性代数方程组求解方法
进一步，若对给定的矩阵范数‖·‖M，它与某个向量范
a
0,
,a
(n) nn ( n 1) n 1
0 以及上述消去过程中假设 a11 0,
(1)
,, an…, 1 0
( n 1)
0 ，则可得xn, xn-1, …，x2，x1
(n) bn xn ( n ) (k=n－1，n－2，…，2，1) ann n ( k ) (k ) (k ) x (b a x ) / a k k kj j kk j k 1 (2.6)
2.1.3
(2) 若当|i-j|>1时，有aij=0，则A为三对角矩阵。
计算方法
线性代数方程组求解方法
特殊矩阵
2.1.3
设A=(aij)∈Rn×n， i，j=1，2，…，n，有下列特殊矩阵：
(3) 若当j>i(i>j)时，有aij=0，则A为上(下)三角矩阵。
计算方法
线性代数方程组求解方法
特殊矩阵
1. 直接法
直接法就是不考虑计算过程中的舍入误差，经过有限次
的运算得到方程组精确解的方法。本章将阐述这类算法中最 基本的高斯顺序消去法及其某些变形，这类方法是解低阶稠 密线性代数方程组及某些大型稀疏线性代数方程组(例如大 型带状线性代数方程组)的有效方法。
第二章-线性方程组习题解答
第二章 线性方程组习题解答习题2.1解下列线性方程组（1）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+.053,12,1321321321x x x x x x x x x解：对方程组的增广矩阵作初等行变换⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-300002101111342002101111015311211111 由最后一行可得原方程组无解.（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+-=+-=-+=-+.153,22,132,3321321321321x x x x x x x x x x x x解：对方程组的增广矩阵作初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------0000210030102001000021003010501100001050051103111102205230511031111513212113123111原方程组有唯一解.2,3,2321===x x x（3）⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++.165105,8362,42432143214321x x x x x x x x x x x x解：对方程组的增广矩阵作初等行变换⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----10100310203102140400013204112116511058316241121⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→10100232101000001 方程组有无穷多解，其通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+==,,1,223,04321c x x c x x 其中c 为任意数.（4）⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=+--.032,03,0432143214321x x x x x x x x x x x x解 对方程组系数矩阵作初等行变换⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------000021001011210042001111321131111111 方程组的通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+=,,2,,242312211c x c x c x c c x 其中21,c c 为任意数.习题2.21.用初等行变换将下列矩阵化成阶梯形矩阵，并求它们的秩.（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21110042220010251413027245310251102517245341302⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→0000021110010251秩为2.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000100117500104111750030000016000104111750101305004522000104111373104018174188701041)2(秩为3.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000000006310052010410013618600189300631005210410016128650281332063100520104100177326543214321631005201041001)3(秩为3.2.求下列各方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩.（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+=-+=-+.8852,9934,7532,1278321321321321x x x x x x x x x x x x解 对增广矩阵作初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000011001191012781770077001191012781132042101191012781132051301791301278188529934753212781系数矩阵与增广矩阵秩均为3.（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++=-+-=++=+++.14,432,152,1224214314314321x x x x x x x x x x x x x解 对增广矩阵作初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---3400056200313201221122200562003132012211222002512031320122111411413021510212211系数矩阵与增广矩阵的秩均为4.习题2.31.解下列各非齐次线性方程组.（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=+-.3,053,32321321321x x x x x x x x x解 对方程组增广矩阵作初等行变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---340031103111311098403111311205133111311105133112 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→4/31004/150100001 原方程组有唯一解43,415,0321-=-==x x x . （2）⎪⎩⎪⎨⎧=++--=-+-=++-.52,12,12432143214321x x x x x x x x x x x x解 由第一个方程和第三个方程可得原方程组无解（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=++-=++-=++-.149132,21111784,72463,735424321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解 对方程组增广矩阵作初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----211521003525350035253500149132173542211117847246314913211491321211117847246373542 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→000000000017/510017/20210000000000757001491321因此原方程组有无穷多解，其通解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==++=,,751,,7221242312211c x c x c x c c x 其中21,c c 为任意数.2.解下列各齐次线性方程组（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=+-.33,053,022321321321x x x x x x x x x解 对方程组系数矩阵作初等行变换⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---5001440311122513311311513122 系数矩阵秩为3，原方程组只有零解.即解为.0,0,0321===x x x（2）⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=-+-=+-+.0111353,0333,04523432143214321x x x x x x x x x x x x解 对方程组系数矩阵作初等行变换化为行简化阶梯形得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00003/73/8109/29/10100003/73/8103/23/10378307830452311135333134523原方程组的一般解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=+-=,,,3738,92912413212211c x c x c c x c c x 其中21,c c 为任意数. （3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--=+-=+-.0,0,0,05416521642531x x x x x x x x x x x x x解 对方程组系数矩阵作初等行变换化为行简化阶梯形得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----001100201100101010010101001100100110101010010101011001110011101010010101⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→10000000110000101001100120000201100101010010101 原方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=====-=,0,,,,,625141312211x c x c x c x c x c c x 其中21,c c 为任意数.3.某工厂为两家企业加工3种零件，现3种零部件各有,1,2,3t t t 两家企业需要3种部件分别为t 4和t 2.用)3,2,1;2,1(==j i x ij 表示第i 家企业需要第j 种部件的数量，试列出ij x 所满足的方程组，并求解. 解 根据题意可得ij x 所满足的方程组为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=++=++12324231322122111232221131211x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000021110001100100201001011100011100100201001030010012111000000000011001002010010300100121110004000111其通解为.2,1,2,123222123132212232211x x x x x x x x x x --=-=-=++=4.当a 为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+-+=+++3)3()1(3,)1(,2)3(321321321x a ax x a a x x a ax a x x x a （1）有唯一解.（2）有无穷多解.（3）无解?解法一：系数行列式为)1(33332333323130103)1(311213222222-=-+----=-+--+---=-+---+--=++-+a a aa aaa a a a a a a a a a a a a a a a a a （1）当,0≠a 且1≠a 时，方程组有唯一解.（2）当时1=a ，原方程组为⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++.346,1,12432131321x x x x x x x x 增广矩阵作初等行变换化为阶梯形⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000032101101321011013210341611011214 方程组有无穷多解，其通解为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=,,23,1321c x c x c x 其中c 为任意数. （3）当0=a 时，原方程组为 增广矩阵作初等行变换化为阶梯形⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-300001100213311001100213330301100213 因此方程组无解.解法二：对方程组的增广矩阵作初等行变换化为阶梯形.⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+a a a a aa a a a a a a a a a a a a a a aa a 331103133001233323311012333)1(3112132⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+--+-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+-→a a a a a ar r a a a a a a a a a 33110361100123)2(331103330012322232⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----+--→)1)(39()1(003611001232222a a a a a a a (1)当,0≠a 且1≠a 时，系数矩阵与增广矩阵的秩都为3，方程组有唯一解. (2)当0=a 时，系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，方程组无解.(3)当1=a 时，系数矩阵与增广矩阵的秩都为2，方程组有无穷多解.此时增广矩阵化为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000032101101000032103303000032100113其通解为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=,,23,1321c x c x c x 其中c 为任意数. 5.问当b a ,为何值时，方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=++-=++=++bx x x ax x x x x x x x x 321321321321453,7,132,632 （1）有唯一解.（2）有无穷多解.（3）无解？ 解：对方程组增广矩阵作初等行变换化为阶梯形得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--500002001351207015000020013516321185101331013510632145371111326321b a b a b a b a （1）当5,2=-≠b a 时方程组有唯一解，其解为0,13,20321==-=x x x . （2）当5,2=-=b a 时方程组有无穷多解，其通解为⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=,,513,720321c x c x c x 其中c 为任意数. (3)当5≠b 时，方程组无解.总复习题2（A ）1.填空题（1）非齐次线性方程组（系数矩阵为n m ⨯矩阵A ，增广矩阵为B ）有唯一解的充分必要条件是n B r A r ==)()(.（2）线性方程组无解，系数矩阵为A ，且,3)(=A r 则增广矩阵的秩为=),(b A r 4 . （3）若n x x x ,,,21 取任意数都是齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,,0,0221122221211212111n mn m m nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的解，则系数矩阵A 的秩=)(A r 0 .（4）若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=20224312a A 的秩为2，则=a 2 .方法一：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=20011031211064031220224312a a a A .方法二：显然A 取1,2两行以及1,2两列的2阶子式不为0，要使A 的秩为2，则024812282224312||=-=+--=-=a a a A . 2.选择题（1）方程组⎩⎨⎧=+=+,0,02121x x x x λλ当=λ（ C ）时，方程组仅有零解.A.1-B. 1C. 2D.任意实数要使齐次线性方程组只有零解，则系数矩阵的秩为2，当1±=λ时秩为1.（2）当=k （ A ）时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=--=+=-+)4)(3()2)(1(2242332321k k x k k x x x x x 无解.A. 2B. 3C. 4D. 5（3）A 为n m ⨯矩阵，,)(n m A r <=下列结论正确的是（ B ，D ) A.以A 为系数矩阵的齐次线性方程组仅有零解 B.以A 为系数矩阵的齐次线性方程组有非零解 C.以A 为系数矩阵的非齐次线性方程组仅有一解 D.以A 为系数矩阵的非齐次线性方程组有无穷多解系数矩阵的秩等于行数，增广矩阵的秩也等于行数，而且秩小于未知数的个数，因此有无穷多解.（4）对于非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********,,,以下结论中，（B ）不正确.A.若方程组无解，则系数行列式D=0B.若方程组有解，则系数行列式0≠DC.若方程组有解，则方程组或者有唯一解或者有无穷多解D.系数行列式0≠D 是方程组有唯一解的充分必要条件 （5）A 为n m ⨯矩阵，,)(r A r =下列结论中正确的是（ B )A.n r =时，以A 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解B.n m r ==时，以A 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解C.n r <时，以A 为系数矩阵的非齐次线性方程组有无穷多解D.n m =时，以A 为系数矩阵的非齐次线性方程组有解非齐次线性方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，当n r =时，若n m >，有可能增广矩阵为1+n .因此A,C 不正确，当n m =时，系数矩阵与增广矩阵秩未必相等.D 也不正确.（6）已知非齐次线性方程组的系数行列式为零，则（ D ）.A.方程组有无穷多解B.方程组无解C.方程组有唯一解或无穷多解D.方程组可能无解，也可能有无穷多解（B ）1.用矩阵消元法解下列方程组（1）⎪⎩⎪⎨⎧=++--=-+-=++-.552,12,12432143214321x x x x x x x x x x x x解：对方程组增广矩阵作初等行变换得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000001100000121440002200011121551************ 方程组有无穷多解，其通解为⎩⎨⎧=-=124321x x x x ，其中32,x x 为自由未知量. （2）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=-++=-++=+++=-++.2255,123,1222,132,13243214321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x解：对方程组增广矩阵作初等行变换得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------------→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00000291200156001351011321361350228401142013510113212125511123112221113211321 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→00000010006/101006/100106/100010000001000156001351015701方程组有唯一解.0,614321====x x x x（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+.0327,01613114,02332,075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解：对方程组系数矩阵作初等行变换化为阶梯形得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----605751020191702019170987131272019170233298713127161311423327543⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→0000000017/2017/191017/1317/301 方程组有无穷多解，通解为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=432431172017191713173x x x x x x ，43,x x 为自由未知数.（4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+-+-=+-+=-+-.03724,0347,0532,02534321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解：对方程组系数矩阵作初等行变换化为阶梯形得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------152326071116002103471152326071116071317034713724347115322153⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→100072100021034711529007210002103471 方程组只有零解. 2.对方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++,3345,3622,323,15432154325432154321b x x x x x x x x x a x x x x x x x x x x b a ,为何值时，方程组有解.在方程组有解时，求其解.解：对方程组增广矩阵作初等行变换得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--20000003622102511015622103622103622101111111334536221031123111111b a b a b a 当2,0==b a 时，方程组有解，其通解为54354325431,,,6223,52x x x x x x x x x x x ⎩⎨⎧---=+++-=为自由未知量. 3.d c b a ,,,满足什么条件时，方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+=+--=-+-=+++0,0,0,04321432143214321ax bx cx dx bx ax dx cx cx dx ax bx dx cx bx ax 只有零解？解：要使方程组只有零解，则系数矩阵秩为4，即系数行列式不为零.利用矩阵乘积的行列式等于行列式的积有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=------=a b cdb a d cc d a b d cb aa b cd b a d cc d a bd c b a a b cdb a dc cd a b dc b a D 2222222222222222220000000000d c b a dc b ad c b a d c b a ++++++++++++=42222)(d c b a +++=.而D 中4a 的系数为负，故22222)(d c b a D +++-=.在实数范围内，当d c b a ,,,至少一个不为零时，方程组只有零解.4.问μλ,取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++02,0,0321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解：当且仅当系数矩阵秩小于3，即系数行列式为零时，方程组有非零解.)1(0011111211111--===λμμμλμμλD因此当,0=μ或1=λ时方程组有非零解.5.问λ取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(,0)3(2,042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？解：当且仅当系数行列式为零时，该方程组有非零解.)2)(3(001121232311111324212+--=--++---=----=λλλλλλλλλλλλD .因此当230-===λλλ或或时，方程组有非零解.（C ）1.设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++.,743,8234343212432114321b x x x x b x x x x b x x x x 证明此方程组对任意实数321,,b b b 都有解. 证明：对方程组增广矩阵作初等行变换得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321323313233217840034210111144210342101111111171438234b b b b b b b b b b b b b b 系数矩阵与增广矩阵的秩均为3，因此方程组对任意实数321,,b b b 都有解. 2.下图为一物流平衡图，其中1x 表示从站A 流向站B 的货物吨数，4x 表示从站B 流向站D 的货物吨数，20表示从站D 流向站C 的货物吨数等.如果要求在每一站流入吨数与流出吨数相等，问54321,,,,x x x x x 应如何选择？ABCDX 1X 2X 3X 4X 5 20解：根据题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=--=-+2020005342541321x x x x x x x x x x选取54,x x 为自由未知量得，.20,20,5342541x x x x x x x +=-=+=3.投入产出模型 设甲，乙，丙3个部门组成一个经济系统.各部门生产满足系统内部和外部的需求，同时也消耗系统内部各部门的产品，如下表所示直接消耗系数表表中，甲部门那一行的0.4表示生产该部门的1元钱产品需消耗甲部门的产品0.4元，同样0.3表示生产甲部门1元钱的产品需消耗乙部门的产品0.3元，其余类似.（第二行乙消耗丙为0.2，否则丙生产出的将在系统内部全部消耗完） （1）求321,,y y y 与321,,x x x 的关系.（2）当321,,y y y 分别为40亿元，24亿元，16亿元时，求321,,x x x 及321,,z z z . 解：（1）根据题意可得⎪⎩⎪⎨⎧+--=-+-=--=.6.01.03.0,2.05.02.0,2.03.06.0321232123211x x x y x x x y x x x y （2）当321,,y y y 分别为40亿元，24亿元，16亿元时，可解得321,,x x x 分别为 232亿元，212亿元和178亿元.2.233.02.04.011111=---=x x x x z 亿元，类似可得2.211.022==x z 亿元6.352.033==x z 亿元.。
第2章 线性方程组的数值解法
第2章 线性方程组的数值解法2.1 引言在自然科学研究和工程技术的应用中，许多问题的解决，诸如非线性问题线性化、求微分方程的数值解最终都归结为线性方程组的求解问题. 我们在后面章节中的样条插值、曲线拟合、数值代数等，也需要求解线性方程组。
一般地，设n 阶线性方程组(linear system of equations of order n )为11112211211222221122,,,n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ (2.1.1) 表示成矩阵形式=Ax b , (2.1.2)其中()111212122212n n ij n nn n nn a a a a a a a a a a ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦ A ，12n x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ x ，12n b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦b , (2.1.3) A 为系数矩阵(coefficient matrix).目前在计算机上经常使用的、简单有效的线性方程组的数值解法大致分为两类：直接法(direct method)和迭代法(iterative method). 其中直接法适用于以稠密矩阵为系数矩阵的中低阶线性方程组，而迭代法主要用于求解以稀疏矩阵为系数矩阵的高阶线性方程组。
本章首先介绍解线性方程组的两种常用的直接法：Gauss 消去法与矩阵三角分解法；然后介绍解线性方程组的三种常用的迭代法：Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法、超松弛法(SOR 法)，并讨论它们的收敛性。
最后，讨论了线性方程组的性态。
2.2 Gauss 消去法Gauss 消去法（Gaussian elimination method ）的基本思想是使用初等行变换将方程组转化为一个同解的上三角形方程组，再通过回代，求出该三角形方程组的解.2.2.1 Gauss 消去法Gauss 消去法包括消元和回代两个过程. 下面先举例说明Gauss 消去法求解线性方程组的主要过程.例2.2.1 求解线性方程组123123123471,2581,3611 1.x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 解 将该线性方程组写成增广矩阵(augmented matrix)的形式1471258136111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦用Gauss 消去法求解过程如下：1．消元过程12213323323214711471147125810361036136111061020020r r r r r r r r r -+→-+→-+→⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→---−−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦,从而原方程组等价地变为上三角形方程组123233471,361,20.x x x x x x ++=⎧⎪--=-⎨⎪=⎩2．回代过程从第3 个方程解出30x =，将其代入第2 个方程得()2216/31/3x x =--+=，再将30x =及21/3x =回代到第1个方程，解出1231471/3x x x =--=-. 从而得到原方程组的解123113,0.x x x =-==对于一般线性方程组(2.1.1)，使用Gauss 消去法求解分为以下两步：1．消元过程为方便起见，记()(0)(0),ijn na ⨯==A A ()T(0)(0)(0)(0)1,12,1,1,,,n n n n a a a +++== b b ，则方程组(2.1.1)为()()()()()()()()()()()()000011112211,1000021122222,100001122,1,,.n n n n n n n n nn n n n a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a +++⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ (2.2.1) 第1次消元：若()0110a ≠，对方程组(2.2.1) 执行初等行变换11i i i r l r r -→, 2,3,,i n = ,得第1个导出方程组——————————————————————————高斯 (Carl Friedrich Gauss 1777年4月30 日 – 1855年2月23 ) 是德国数学家、天文学家，在许多科学领域都做出了杰出的贡献，他为现代数论、微分几何(曲面论)、误差理论等许多数学分支奠定了基础. 他的数学研究以简明、严谨、完美而著称于世. 他在数学上与阿基米德、牛顿和欧拉齐名，被称为“数学王子”，被公认为有史以来最伟大的数学家之一.()()()()()()()()()()000011112211,111122222,111122,1,,,n nn n n n n nn n n n a x a x a x a a x a x a a x a x a +++⎧+++=⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎩(2.2.2)其中()()1111/i i l a a =，()()()10011,2,3,,;2,3,, 1.ij ij i j a a l a i n j n =-==+第2次消元：若()1220a ≠，对方程组(2.2.2)执行初等行变换22,i i i r l r r -→ 3,4,,i n = ,得第2个导出方程组()()()()()()()()()()()()()()()0000011112213311,1111122223322,122233333,122233,1,,,,n nn n n n n nn n nn nn n a x a x a x a x a a x a x a x a a x a x a a x a x a ++++⎧++++=⎪⎪+++=⎪⎪++=⎨⎪⎪⎪++=⎪⎩(2.2.3)其中()()112222/i i l a a =，()()()21122,3,4,,;3,4,, 1.ij ij i j a a l a i n j n =-==+第k 次消元：若()10k kka -≠，对第1k -个导出方程组执行初等行变换i ik k i r l r r -→，1,2,,i k k n =++ , 得第k 个导出方程组()()()()()()()()()()()()()()()000001111221,1111,110112221,1122,11,111,1,1,11,1,,,,k k n nn k k n n n k k k k k k k n nk n k k k n k k nn n n n a x a x a x a x a a x a x a x a a x a x a a x a x a +++++++++++++++⎧+++++=⎪⎪++++=⎪⎪⎨++=⎪⎪⎪⎪++=⎩(2.2.4)其中()()11k k ik ikkkl a a --=，()()()11,k k k ij ij ik kj a a l a --=- 1,,;1,, 1.i k n j k n =+=++ 重复上述过程1n -次，得到第1n -个导出方程组()()()()()()()()()()()()()()0000011112213311,1111122223322,122233333,111,1,,,.n n n n n n n nn n n nn nn n a x a x a x a x a a x a x a x a a x a x a a x a +++--+⎧++++=⎪⎪+++=⎪⎪++=⎨⎪⎪⎪=⎪⎩(2.2.5)其中()()()()()1111,,1,2,,1;1,,;1,, 1.k k kk k ik ikkkij ijik kjl a a a a l a k n i k n j k n ----==-=-=+=++ (2.2.6)这样，通过消元过程就将方程组(2.1.1)化成了等价的上三角形方程组(2.2.5).2．回代过程回代过程就是求上三角形方程组(2.2.5)的解. 若()10n nna -≠，则从最后一个方程开始，先求出()()11,1,/n n n n n n n x a a --+=，再由第1n -个方程解出1n x -，依此类推可解出221,,,n x x x - . 一般(2.2.7)定义 2.2.1 由式(2.2.2)-(2.2.7)确定的求解线性方程组的算法称为Gauss 消去法(Gaussian elimination method)，包括消元(elimination)和回代(backward substitution)两个过程。
2.6线性方程组解的一般理论
x4
0
,
1
,
0
x5 0 0 1
2 2 6
1
1
5
1
1
,2
0
,3
0
0
1
0
0
0
1
一般解 c11 c22 c33
(c1, c2, c3为任意常数.)
8
三、非齐次线性方程组解的结构
x11 x22 xnn (I) 0 (II)
第二章 线性方程组 §2.6 线性方程组解的一般理论
一、线性方程组有解的判定定理 二、齐次线性方程组解的结构 三、非齐次线性方程组解的结构
1
一、线性方程组有解的判定定理
定理1 线性方程组 x11 x22 xnn (I) 有解
r( A) r( A) 推论1 线性方程组(I)无解 r(A) r( A) 推论2 线性方程组(I)有唯一解 r(A) r(A) n 推论3 线性方程组(I)有无穷多解 r(A) r(A) n
方程组的三个解向量 1,2 ,3满足
1
0
1
1 2 2, 2 3 1, 3 1 0
3
1
1
求 非 齐 次 线 性 方 程 组 一 的 般 解.
19
解 A是m 3矩阵, r(A) 1,
导出组的基础解系中有 含3 1 2个线性无关的解向量.
令1 2 a, 2 3 b, 3 1 c,则
其中k1 , k 2为任意实数.
21
A
2 1
3 0
1 2
1 2
3 6
0 0
0 0
1 0
1 0
1 0
5 0
0
0
4
5
3
线性代数简明教程(第二版)-电子课件ch2
继续消去⑥、⑦中的x2，可以得到 同 解
(Ⅳ)
通 过 回 代 ， 可 以 很 容 易 的 解 得 方 程 组 (Ⅳ) 的 解 ： x1=1, x2=2, x3=－1，也即求得了原方程组(Ⅰ)的解。 分析上述消元法过程，我们对线性方程组施行了三种变换： (1)交换两个方程的位置； (2)用一个不等于零的数乘某一个方程； (3)用一个数乘某个方程后加到另一个方程上. 称这三种变换为线性方程组的初等变换.
阶梯形矩阵
定义 设 m 矩n 阵 A 的 [前aijr]（r≤n）行均全不为零，其余
行全为零. A的第k行第1个非零元素为 ，若满足
akjk
每个台阶的高度都是1，也即从上
则称A为阶梯j形1 矩j阵2 ，并往称下jr 每行为第阶一梯个头非。零元素的位置必
须向右ak边jk 至少缩进一个位置
例如
1 8 5 0 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 0 0
进一步观察一下消元法的过程可以发现，消元法中作的 变化仅仅是对方程组的系数和常数项作的变化，可把系 数项和常数项单独拿出来处理。
2 3 1 5
(Ⅰ)
取出系数和常数 项排成矩形数阵
1 2 1 2
4 2 7 7
1 1 2 3
消元法的两方个程方组程跟互这换样的数表是相互唯数一表对的应两的行互换
(Ⅱ)
取出系数和常数 项排成矩形数阵
第2章 线性方程组
在科学研究和生产实践中,许多实际 问题往往涉及到解线性方程组。因此, 对线性方程组的研究具有十分重要的 意义,其本身也是线性代数的重要内容 之一.
2.1 消元法
上一章导出的克拉默法则在理论上是一个非常 完美的结果，利用行列式，把线性方程组的解以 公式解的形式表示了出来。
(整理)线性方程组的直接法
第二章线性方程组的直接法在近代数学数值计算和工程应用中，求解线性方程组是重要的课题。
例如，样条插值中形成的关系式，曲线拟合形成的法方程等，都落实到解一个元线性方程组，尤其是大型方程组的求解，即求线性方程组（2.1）的未知量的数值。
（2.1）其中ai j，bi为常数。
上式可写成矩阵形式Ax = b，即（2.2）其中，为系数矩阵，为解向量，为常数向量。
当detA=D0时，由线性代数中的克莱姆法则，方程组的解存在且惟一，且有为系数矩阵的第列元素以代替的矩阵的行列式的值。
克莱姆法则在建立线性方程组解的理论基础中功不可没，但是在实际计算中，我们难以承受它的计算量。
例如，解一个100阶的线性方程组，乘除法次数约为（101·100！·99），即使以每秒的运算速度，也需要近年的时间。
在石油勘探、天气预报等问题中常常出现成百上千阶的方程组，也就产生了各种形式方程组数值解法的需求。
研究大型方程组的解是目前计算数学中的一个重要方向和课题。
解方程组的方法可归纳为直接解法和迭代解法。
从理论上来说，直接法经过有限次四则运算，假定每一步运算过程中没有舍入误差，那么，最后得到方程组的解就是精确解。
但是，这只是理想化的假定，在计算过程中，完全杜绝舍入误差是不可能的，只能控制和约束由有限位算术运算带来的舍入误差的增长和危害，这样直接法得到的解也不一定是绝对精确的。
迭代法是将方程组的解看作某种极限过程的向量极限的值，像第2章中非线性方程求解一样，计算极限过程是用迭代过程完成的，只不过将迭代式中单变量换成向量而已。
在用迭代算法时，我们不可能将极限过程算到底，只能将迭代进行有限多次，得到满足一定精度要求的方程组的近似解。
在数值计算历史上，直接解法和迭代解法交替生辉。
一种解法的兴旺与计算机的硬件环境和问题规模是密切相关的。
一般说来，对同等规模的线性方程组，直接法对计算机的要求高于迭代法。
对于中等规模的线性方程组，由于直接法的准确性和可靠性高，一般都用直接法求解。
第2章 线性方程组的直接方法
104
104
104
可以求得
Cond ( A)
A
A1
2.0001 (1 104 ) 2104
条件数比较大，可见该方程组为病态方程组。
§2 迭代解法与收敛性
一、迭代解法 二、收敛性
§3 常用的三种迭代解法
一、Jacobi迭代解法 二、Gauss-Seidel迭代解法 三、超松弛(SOR)迭代解法
6-8 设A是非奇异矩阵，b≠0，x*是方程组Ax＝b的一 个近似解，剩余向量r＝b－Ax。证明
x x*
r
Cond( A)
x
b
~x
病态现象是方程组的固有属性，无法改变，因此
在求解时为了不至于产生太大的误差，应该尽量减少
原始数据 A、b 的误差，或者用高精度的计算机计算。
例如：对于方程组
x1 x1
x2 1 1.0001 x2
2
系数矩阵和逆矩阵分别为
1 1 A 1 1.0001,
A1
1 104
A
1 2
3 1 4 3
2 10 4 14
14 20
则它的特征方程为:
I AT A 10 14 2 30 4 0 14 20
此方程的根为矩阵ATA的特征值，解得
1 15 221 2 15 221
第六章 线性方程组的迭代解法
§1 向量和矩阵的范数 1.1 向量的范数 1.2 矩阵的范数
§2 迭代解法与收敛性 2.1 迭代解法的构造 2.2 迭代解法的收敛性条件
§3 常用的三种迭代解法 2.1 Jacobi迭代法 2.2 Gauss-Seidel迭代法 2.2 超松弛(SOR)迭代法
线性方程组的解法例题线性方程组的解法
线性方程组的解法例题线性方程组的解法第二章线性方程组的解法n阶线性方程组的一般形式为:a11x1,a12x2, ,a1nxn b1 ax,ax, ,ax b 2112222nn2(2.0.1)an1x1,an2x2, ,annxn bnAx b用矩阵表示为: 其中A称为系数矩阵，x称为解向量，b称为常数向量(简称方程组自由项)，它们分别为:x1 b1 a11a12a1nx b aa2122a2n x 2 b 21，， Axn bn an1an2ann如果矩阵A非奇异，即A的行列式值det(A) 0，则根据克莱姆(Cramer)规则，方程组有唯一解:Di,i 1,2, ,n xi D其中D det(A)，Di表示D中等i列换b后所得的行列式值。
但克莱姆规则不适用于求解线性代数方程组，因为计算工作量大得难以容忍。
实际用于求解线性代数方程组的计算方法主要有两种:一是消去法，它属于直接解法;二是迭代解法。
消去法的优点是可以预先估计计算工作量，并且根据消去法的基本原理，可以得到矩阵运算(如矩阵求逆等)的求解方法。
但是，由于实际计算过程总存在有误差，由消去法得到的结果并不是绝对精确的，存在数值计算的稳定性问题。
迭代解法的优点是简单，便于编制计算机程序。
在迭代解法中，必须考虑迭收敛速度快慢的问题。
?2.1 线性方程组的直接计算求解线性代数方程组的直接解法主要是消去法(或称消元2法)。
消去法的基本思想是通过初等行变换:将一个方程乘以某个常数，以及将两个方程相加或相减，减少方程中的未知数数目，最终使每个方程中含一个未知数，从而得到所需要的解。
2.1.1 三角形方程组的计算对下三角形方程组:a11x1 b1ax,ax b 2112222(2.1.1)an1x1,an2x2, ,annxn bn可以通过前代的方法求解:先从第1个方程求出x1，代入第2个方程求出x2，依次类推，可以逐次前代求出所有xi(i 1,2, ,n)，计算公式如下:b1x1 a11i～1bi～ aij xj(2.1.2)j 13xi , i 2, 3, , n aii对上三角形方程组:a11x1,a12x2, ,a1nxn b1ax, ,ax b 2222nn2annxn bn(2.1.3)可以通过回代的方法求解:先从第n个方程求出xn，代入第n～1个方程求出xn～1，依次类推，可以逐次回代求出所有xi(i n,n～1, ,1)，计算公式如下:bnxn annnbi～ aij xj(2.1.4)j i,1xi , i n～1, n～2, , 1 aii2n 前代法和回代法的计算量都是次四则运算。
第二章线性方程组
第7次课 2学时一、课程章节 §2.1 线性方程组 二、教学重点克拉默法则，高斯消元法，线性方程组有解的判定定理 三、教学难点高斯消元法，线性方程组有解的判定定理 四、教学要求（1）了解克莱默法则，掌握高斯消元法。
（2）理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。
五、教学内容第二章 线性方程组线性方程组理论是数学中一个重要的基础理论，是线性代数研究的重点.科学技术和经济管理中的许多问题，经常可以归结为求解一个线性方程组.本章主要讨论线性方程组的求解方法、线性方程组有解的充要条件、向量间的线性关系和性质、线性方程组的性质和解的结构．§1 线性方程组一、线性方程组的概念 一般的线性方程组的形式为11112211211222221122 n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （1） 式中ij a （1,2,,;1,2,,i m j n == ）称为方程组的系数，12,,,n x x x 称为未知量，i b （1,2,,i m = ）称为方程组的常数项，这是一个含有n 个未知量，m 个方程的线性方程组.如果线性方程组（1）的常数项i b （1,2,,i m = ）全为零，则称它为齐次线性方程组，常数项不全为零的方程组称为非齐次线性方程组.齐次线性方程组形式为11112212112222112200n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （2） 称（2）为与（1）相对应的齐次线性方程组，或（1）的导出方程组. 如果令111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ， 12n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x ， 12m b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b ，000⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭0 则线性方程组（1）可以写成矩阵方程b Ax =. 齐次线性方程组（2）可以写成矩阵方程0=Ax ，称A 为线性方程组的系数矩阵，x 为未知量矩阵，b 为常数项矩阵.由线性方程组的系数和常数项构成的矩阵11121121222212n n m m mn m a a a b a a a b a a a b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 称为线性方程组的增广矩阵，显然，线性方程组由其增广矩阵所确定.如果1122,,,n n x c x c x c === 使得线性方程组（2）中的每一个方程都成立，则称这n个数12,,,n c c c 是线性方程组（2）的解，或者说12n c c c ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x 是线性方程组（2）的解.一个线性方程组的解的全体构成的集合称为这个线性方程组的解集合.两个具有相同解集合的线性方程组称为同解的(或等价的). 表示线性方程组的全部解的表达式称为线性方程组的通解.二、克拉默(Cramer)法则前面我们已经讨论过二元线性方程组11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩ 当系数行列式111221220a a a a =≠A 时，二元线性方程组有唯一解，并且它的解可以表示为2221121122212111a a a a a b a b x ==AB ，2221121122111122a a a a ba b a x ==AB上式给出了二元线性方程组的求解公式．这一结果可以推广到一般的n 元线性方程组.定理1（克拉默法则） 如果含有n 个方程的n 元线性方程组11112211211222221122 n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （3） 的系数行列式1112121222120nn n n nna a a a a a a a a =≠A，则线性方程组（3）有唯一解，且AB ii x =，1,2,,i n = ，其中i B 为系数行列式A 的第i 列元素换成常数项元素其它元素不变所得到的行列式.例3 解线性方程组 1231231232323425x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+-=-⎨⎪-+=-⎩如果将克拉默法则运用的n 元齐次线性方程组上，则有下面定理. 定理2 若n 元齐次线性方程组1111221211222211220n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （4） 的系数行列式0≠A ，则齐次线性方程组（4）只有零解.推论 若n 元齐次线性方程组（4）有非零解（即解不唯一），则其系数行列式0=A .例4 已知齐次线性方程组1231231230020x kx x x x x kx x x ++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩有非零解，求k 的值.解 由推论知，方程组的系数行列式必为零，即22111110111010(1)(2)01212012k k k kk k kkkk k--=-=--==-+-=----A解得 1k =-或2k =.三、高斯(Gauss)消元法求解线性方程组的最基本方法就是中学代数中介绍的消元法. 即先通过方程组中方程之间的一些运算，将某些方程中的一些未知量消去，然后再求方程组的解的方法.例5 解线性方程组 123123132 3142542 26x x x x x x x x -+=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩在上述求解线性方程组的过程中，我们对方程组反复进行了3种类型的变换，这3种变换称为线性方程组的初等变换，即定义1 对线性方程组施行下列三种变换：（1）交换线性方程组中第i 个和第j 个方程，记作i j r r ↔； （2）用非零数k 乘以线性方程组中的第i 个方程，记作i r k ⨯；（3）将线性方程组中第j 个方程乘以数k 加到第i 个方程上，记作i j r kr +. 称此三种变换为线性方程组的初等变换.定理3 对线性方程组=Ax b ，若将其增广矩阵()A b 经初等行变换化为()C d ，则方程组=Ax b 与=Cx d 是同解方程组.据此，求解线性方程组的解，就是用矩阵的初等行变换将增广矩阵化成行阶梯形矩阵，这种消元过程就称为高斯消元法.例6 解线性方程组12341234123423 13 5322 223x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+-=⎨⎪++-=⎩例7 解线性方程组1234123412341234 3+ 1 2 344 3210221140x x x x x x x x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎪⎨-+-=⎪⎪--+=⎩上述例题给出了线性方程组解可能出现的三种情况：唯一解、无穷多解和无解，那么如何判别线性方程组是否有解？下面给出线性方程组有解的判定定理.四、线性方程组有解的判定定理 对于n 元线性方程组11112211211222221122 n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 其矩阵方程形式为=Ax b ，其中A 为系数矩阵，x 为未知量矩阵，b 为常数项矩阵，A 为增广矩阵.定理4 设A 为m n ⨯矩阵，n 元线性方程组=Ax b 有解的充分必要条件是系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等，即()()R R =A A .定理5 设A 为m n ⨯矩阵，对于n 元线性方程组=Ax b ,有 （1）当()()R R n ==A A 时，线性方程组=Ax b 只有唯一的解； （2）当()()R R r n ==<A A 时，线性方程组=Ax b 有无穷多个解； （3）当()()R R <A A 时，线性方程组=Ax b 有无解. 对于n 元齐次线性方程组11112212112222112200n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 其矩阵方程形式为=Ax 0，由于其增广矩阵A 的最后一列元素全为零，因此有()()R R =A A ，将定理4和定理5运用到n 元齐次线性方程组上可得下述定理.定理6 设A 为m n ⨯矩阵，n 元齐次线性方程组=Ax 0有非零解的充分必要条件是()R A n <定理7 若n 元齐次线性方程组=Ax 0系数矩阵的秩为r ，即()R r =A ，则 （1）当r n =时，齐次线性方程组=Ax 0仅有零解；（2）当r n <时，齐次线性方程组=Ax 0有非零解，即有无穷多个解. 由于对于m n ⨯矩阵A 有()min(,)R m n ≤A ，由此可得推论 设A 为m n ⨯矩阵，如果n 元齐次线性方程组=Ax 0中，方程的个数少于未知量的个数，即m n <，则齐次线性方程组=Ax 0必有非零解.特别地，对于含有n 个方程的n 元齐次线性方程组=Ax 0，由定理2和定理6可得 定理8 设A 为n n ⨯矩阵，n 元齐次线性方程组=Ax 0有非零解的充分必要条件是0=A一般地，在求解线性方程组时，都是先通过消元过程用矩阵的初等行变换将增广矩阵化成行阶梯形矩阵，然后用线性方程组有解的判定定理判别解的存在性，如果线性方程组有解，那么再通过回代过程将行阶梯形矩阵化成行最简形矩阵，进而得到线性方程组的解.例8 讨论k 取何值时，线性方程组12341234123412342 + 22453036433481711x x x x x x x x x x x x x x x x k--=⎧⎪-++=⎪⎨-++=⎪⎪-++=⎩ 有解，有解时求出其解.。
解线性方程组的解法_图文
线性方程组是线性代数中最重要最基本的内容之 一，是解决很多实际问题的的有力工具，在科学技术 和经济管理的许多领域（如物理、化学、网络理论、 最优化方法和投入产出模型等）中都有广泛应用. 第一章介绍的克莱姆法则只适用于求解方程个数 与未知量个数相同，且系数行列式非零的线性方程组. 本章研究一般线性方程组，主要讨论线性方程组解的 判定、解法及解的结构等问题，还要讨论与此密切相 关的向量线性相关性等. 其主要知识结构如下：
为方程组（3.1）的增广矩阵(augmented matrix). 因为 一个线性方程组由它的系数和常数项完全确定，所以 线性方程组与它的增广矩阵是一一对应的. 如果 x1 c1 , x2 c2 ,, xn cn 可以使（3.1）中的每个等式都 T x ( c , c , , c ) 成立，则称 为线性方程组（3.1）的一个 1 2 n 解(solution). 线性方程组（3.1）的解的全体称为它的解
集(solution set). 若两个线性方程组的解集相等，则称 它们同解(same solution). 若线性方程组（3.1）的解存 在，则称它有解或相容的. 否则称它无解或矛盾的. 解 线性方程组实际上先要判断它是否有解，在有解时求 出它的全部解.
例1 解线性方程组
2 x1 x2 3 x3 1 2 x3 6 2 x1 4 x 2 x 5 x 4 2 3 1
( 2 ) (1)
x2 x3
1 6
显然原方程组与最后的方程组（叫阶梯形方程组） 同解，所以原方程组有唯一解 x1 9, x2 1, x3 6
由此不难发现，在求解线性方程组的过程中，可 以对方程组反复施行以下三种变换： 1. 交换两个方程的位置； 2. 用一个非零数乘某个方程的两边； 3. 把一个方程的倍数加到另一个方程上. 称它们为线性方程组的初等变换. 显然：线性方程组的初等变换不改变线性方程组 的同解性. 在例1的求解过程中，我们只对方程组的系数和 常数项进行了运算，对线性方程组施行一次初等变 换，就相当于对它的增广矩阵施行一次相应的初等行 变换，用方程组的初等变换化简线性方程组就相当于 用矩阵的初等行变换化简它的增广矩阵. 下面我们将 例1的求解过程写成矩阵形式：
上海交通大学计算方法课件(宋宝瑞)CH.2(1)
1第二章 解线性方程组的直接法解线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b+++=⎧⎪+++=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎪⎩或写成矩阵式Ax b =其中()1212,(,,,),(,,,)T Tij n n n nA a x x x x b b b b ⨯=== Gauss 消去法（矩阵行变换法）第k 次消元公式()()(1)()()(1)()()/(1,,)(,1,,)(1,,)k k ik ik kk k k k ij ij ik kj k k k i i ik k m a a i k n a a m a i j k n b b m b i k n ++==+=-=+=-=+计算中，中间结果不必保留，进行一次变换后原来存放(1)k A -的单元存放()k A，(1)k b-的单元存放()k b。
因此，我们得到Gauss消去法的算法：2循环：1,2,,k = n-1何时可行？即第k 步 Gauss 消去法可实行，易见充要条件是()0k kk a ≠若A 的各阶顺序主子式 *det()0ij k k a ≠ 1,,1k n =- ，则有：()**()()()1122()det()det() ||k ij k k ij k kk k k kk k kk a a a a a a =⇔≠ 消元过程可进行到 1k n =-。
因此，可以用Gauss 消去法解线性方程组的充要条件是系数矩阵的各阶顺序主子式不为0。
最后得到()()() n n n A x b A =是上三角阵()()k k A x b =与Ax b =同解2,,k n =解()()n n A x b=只需递推（回代过程）2211112()/, ,,1(0 = 1)nk k kjj kk j k k k i i i k i k x b ax a k n k k a a =+===-=>=∑∑∏ 当时，规定：3计算量 第k 步消元计算ik m 用(n-k )次除法，算诸()k ij a 用2(-)n k 乘法和2(-) n k 次加减法， 对1,,1k n =- 相加，可得消元过程共需2(1)/3n n -⨯÷次 (1)(21)/6n n n -- 右端 (1)()n bb →(1)/2 n n -⨯÷ (1)/2 +n n -－(1)/2 (1)/2 +-n n n n -⨯÷-回代3233 /3/3 /3(1)(25)/6 /3n n n n n n n n +-≈-+≈总数：乘除法加减法矩阵的三角分解（用矩阵乘法分解的观点看Gauss 消去法）对A 作行变换相当于左乘初等矩阵，例如(1)(2)AA →(2)1A L A =其中421131110-1 -01-001n m L m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭＝ 类似的讨论易知：()()1111 ,,n n n n A L L A b L Lb --==1,,100001 00000001 k k k n k L m m k +⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭＝第列令()1111111121313212,1= := 110 =11n n n n n n n U A A L L U L L L m m m m m m -------=⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭上三角阵则单位下三角阵5定理：**(),det()0 1,,1ij n n ij k k A a a k n =≠=- ，则A 可表示为A=LU L ：单位下三角阵，U 上三角阵，且分解唯一。
(完整版)2.1,2.2线性方程组的直接法
第二章线性方程组的直接法一、 教学目标及基本要求通过对本章的学习，使学生掌握线性方程组的直接法求解。
二、 教学内容及学时分配本章主要介绍线性方程组的直接法。
具体内容如下：第 第31-32学时讲授内容：追赶法、误差分析。
三、 教学重点难点1. 教学重点：消去法、追赶法。
2. 教学难点：消去法。
四、 教学中应注意的问题多媒体课堂教学为主。
适当提问，加深学生对概念的理解。
五、正文直接法所谓直接法，就是经过有限步算术运算，可求出方程组精确解的方法（若计算过程中没有舍入差）。
但实际计算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得线性方程组的 近似解，如何避免舍入误差的增长是设计直接法时必须考虑的问题。
本章将介绍这类方法中最基本的高斯（Gauss ）消去法和矩阵分解法。
由于其准确性和可靠性，这类方法是解除稠 密线性方程组的有效方法。
最近直接法在求解较高阶稀疏线性方程组方面也取得了较大的进 展。
§2.1 消去法1约当消去法例1运用消去法求解方程组4x 1 2X 2 5X 34 (1)X 1 2X 2 71）将方程（1）的第一个方程中 X 1的系数化为1,并从方程组（1）的其余方程中消去 X 1 , 得:29-30学时讲授内容：消去法。
2x 1 x 2 3x3 1(7)x 1 0.5X 2 1.5x 3 0.54 X 2 X 32 （2）2.5X 21 .5X 3 6.52）将（2）中的第二个方程中 X 2的系数化为1,从其余方程中消去 X 2X 1 1 .375X 3 0.75X 2 0.25X 3 0.5（3）0.875X 3 5.25最后将方程（3）中第三个方程中X 3的系数化为1，从其余方程中消去X 3X 1 9 X 21 X 36上述算法就是所谓的约当消去法， 特点：每一步仅在一个方程中保留某个变元，而从其余各个方程中消去这个变元，最后，每个方程都变为仅含一个变元的形式， 从而得出所求的解。
第二章解线性方程组的直接方法总结
本章讨论n元线性方程组
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a x a x ... a x b 21 1 22 2 2n n 2 ................................................ a n1 x1 a n 2 x2 ... a nn xn bn
i -1 i -1 i -1 i -1
xi 1 , xi 2 ,
xi bi
, xn 已全部计算出,则
i 1
i 1
ai i 1 xi 1
ain xn
i 1
aii
i 1
。
因此,回代公式为: n 1 n 1 xn bn ann i 1 i 1 xi bi i 1 ai ii11 xi 1 ain xn aii , i n 1, , 2,1
4 1 2 1 3 1 2
1 7 2 1 0 3 3 3 0 1.5 0.5 3.5
x3 5 1 5 x2 3 3 x3 3 3 3 5 3 4
若矩阵A非奇异,即det(A)≠0,则方程组(2.1)有唯一解。 所谓直接解法是指，若不考虑计算过程中的舍入误差， 经过有限次算术运算就能求出线性方程组的精确解的方法。 但由于实际计算中舍入误差的存在，用直接解法一般也只 能求出方程组的近似解。 Cramer法则是一种不实用的直接法，下面介绍几种实 用的直接法。
我们来叙述消 xk 的情况,在消
x1 , x2 , , xk 1 后的增广矩阵为:
0 a11 0 k 1 b 0 0 a12
第2章解线性方程组的直接方法5_6
~ ~ ~ = ∏ uii ⋅ ukk = det Ak −1 ⋅ u kk det Ak
i =1
k −1
~ = det Ak > 0 u kk det Ak −1
(记 det A0 = 1)
以上 k = 1 ,2 , ⋯ , n
2
因此 ~ u11 ~ U= ~ u11 =
4. 解LTx = y:
4.1 xn = yn / ann
4.2 for i=n-1,n-1,…,1 do
xi = ( yi −
k = i +1
∑a
n
ki k
x ) / aii
11
例1.
用平方根法解对称正定方程组
6 7 5 x1 9 7 13 8 x2 = 10 5 8 6 x 9 3
事实上,对称正定方程组也可以用顺序Gauss消去法求解 而不必加入选主元步骤
16
§2.6
对角占优矩阵: 对角占优矩阵
追赶法(Thomas算法 算法) 追赶法 算法 补充
i = 1 ,2 ,⋯ , n
若矩阵A = ( aij )n× n 满足
|aii |> ∑|aij |
j =1 j ≠i
n
则称A为严格对角占优矩阵. 若矩阵A = ( aij )n× n 满足
|aii | ∑|aij | ≥
j =1 j ≠i
n
i = 1 ,2 ,⋯ , n
17
则称A为弱对角占优矩阵.
有一类方程组,在今后要学习的插值问题和边值问题中 有一类方程组 在今后要学习的插值问题和边值问题中 有着重要的作用,即三对角线方程组 其形式为: 即三对角线方程组,其形式为 有着重要的作用 即三对角线方程组 其形式为
第二章-线性代数学习指导书(1)
第二章 线性方程组一．主要内容本章主要讨论向量组的线性性质，线性方程组的可解条件及其解法等内容．（一）、向量组的线性相关性列向量（行向量）是一类特殊的矩阵，因而它的运算（如加法、数乘、转置等）和性质与矩阵的相应运算和性质一样．值得注意的是n 维列向量与n 维行向量才能做相乘运算，例如，令12x ,n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12y y y ,y n ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(字母新罗马用斜体) 则111121221222T 1212xy (,,,),n n n n n n n n x x y x y x y x x y x y x y y y y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(字母新罗马用斜体)()12121122,,,.T T n n n n y y x y x x x y x y x y x y x y ⎛⎫ ⎪ ⎪==+++= ⎪ ⎪⎝⎭这表明：n 维列向量与n 维行向量的积是n 阶方阵，n 维行向量与n 维列向量的积是一个数，这个数被定义为这两个向量的内积（参见第三章）．为了研究一组同维数的列向量间的相互关系，引入了向量的线性表示和向量组的线性无关性以及向量组等价等概念．它们是研究线性方程组的基础． 假设有一组n 维列向量：1j 2j j nj a a ,1,2,,.a j s α⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(字母新罗马用斜体)构造矩阵11121s 21222s 12n1n2ns (,,,)s a a a a a a A a a a ααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭. 则向量组12,,,s ααα线性相关的充要条件是()R A s <. 因此，可用下面步骤判断向量组12,,,s ααα的线性相关性．第一步：对矩阵A 施行初等行变换化为行阶梯形矩阵B ；第二步：行阶梯形矩阵B 的非零行数即为矩阵A 的秩()R A ；第三步：如果()R A s <，则12,,,s ααα线性相关，否则线性无关.在向量组线性相关的情况下，还应求出它的最大线性无关向量组与线性关系式．由于矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量组的线性关系，因而，可利用矩阵的初等行变换求解．具体解法如下：第一步：对矩阵11121s 21222s 12n1n2ns (,,,)s a a a a a a A a a a ααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ 施行初等行变换化为行标准形12(,,,)s B βββ=；第二步：求最大线性无关组．因为行标准形B 中首元1所在的列构成的向量组12,,,r i i i βββ是矩阵B 的列向量组的一个极大线性无关组，所以，12,,,r i i i ααα是12,,,s ααα的一个最大线性无关组．第三步：求线性关系式．若行标准形B 中的列向量12,,,k j j j βββ满足关系式12120k j j r j d d d βββ+++=，则矩阵A 中的列向量12,,,k j j j ααα也满足关系式12120k j j r j d d d ααα+++=． 因此，位于其它各列的向量由最大线性无关组线性表示的组合系数即为矩阵B 对应列的相应分量.（二）、线性方程组理论线性方程组理论是一个应用很广的数学理论，它包含解的存在性、解的唯一性和求解等内容.设含有m 个方程n 个未知量的线性方程组为11112211211222221122,,n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （１）其系数矩阵、未知向量、常向量和增广矩阵分别为111212122212,n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12x ,n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12,m b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(),.A A b = 1．线性方程组解的存在性与唯一性 存在性：线性方程组（１）有解的充分必要条件是R(A)R(A).=唯一性：若R(A)R(A)n,==则线性方程组（１）有唯一解；若R(A)R(A)n,=<则线性方程组（１）有无穷多解．2．线性方程组的求解步骤第一步： 写出线性方程组（1）的增广矩阵(),,A A b =并利用矩阵的初等行变换将A变为行标准形；第二步：分别求出线性方程组（1）的系数矩阵与增广矩阵的秩R(A),和R(A),并运用解的存在性与唯一性定理进行判定．若有解时，继续求解．否则，停止求解；第三步：若线性方程组（１）的解唯一，则根据A的行标准形直接求解，完成计算．若线性方程组（１）的解不唯一，则根据A的行标准形求线性方程组（１）的一个特解．这时，首先确定自由变量．可令A的行标准形中非零行的首元1所在的列对应的变量为约束变量，其个数为R(A),其它未知量为自由变量，其个数为n R(A).-然后将所有的自由变量赋值为零，求得特解．第四步：求线性方程组（1）的导出组的基础解系．首先确定导出组的基础解系中所含向量的个数n R(A),-同时根据A的行标准形确定自由变量；然后，分别取n R(A)-阶单位矩阵的列对自由变量分别赋值，并根据A的行标准形求得导出组的基础解系.第五步：用线性方程组（1）的特解与导出组的基础解系表示线性方程组（1）的解．值得注意的是，对于一个数学问题（或实际问题），它的解的存在性、唯一性和求解等内容是研究的主要内容，这些内容、研究方法与数学思维便形成了一种研究模式．二．基本要求与疑难解析（一）基本要求1.熟悉线性方程组的不同表达形式(方程组形式,矩阵形式,向量形式).2.理解线性方程组的可解条件，熟练掌握求解线性方程组的消元法.3.熟悉齐次线性方程组有非零解(只有零解)的充分必要条件，熟悉非齐次线性方程组有解(无解),有唯一解,有无穷多解的充分必要条件.4.理解n维向量、n维向量空间概念，熟悉n维向量的线性运算.5.理解n维向量的线性组合与线性表示、向量组的线性相关与线性无关、两向量组的等价等概念及其相关定理，会利用矩阵的秩来判别向量组是否线性相关.6.理解向量组的最大无关组及向量组的秩的概念及其相关定理，会求向量组的最大无关组与秩.7.熟悉齐次线性方程组解的结构.熟练掌握齐次线性方程组的基础解系的求法.8.熟悉非齐次线性方程组的解与其导出组的解之间的联系.熟练掌握非齐次线性方程组的结构式通解的求法.（二）疑难解析1、用消元法求解线性方程组时，能对方程的系数矩阵或增广矩阵进行初等列变换吗？答：用高斯消元法求解线性方程组，是对线性方程组作三种初等变换：（1）某个方程乘非零常数k；（2）一个方程乘常数k加到另一方程；（3）对换两个方程的位置，将其化为同解的阶梯形方程组这一消元过程用矩阵来表示就是对方程组的增广矩阵施行三种初等行变换，化为阶梯形矩阵.因此，求解线性方程组时，一般不能对增广矩阵施行初等列变换，但可以对换矩阵的两列，此时相应地未知元也要对换.2、向量组的线性相关与线性表示两个概念之间有什么联系？理解它们之间的关系要注意些什么？答：一向量组线性相关就意味着存在不全为零的一组数，以它们为系数所作的此向量组的线性组合为零.这等价于向量组中有某向量可以由其余向量线性表示.在后一句话中我们要注意两点：第一，向量组线性相关只说明向量组中存在某一个向量可由其余向量线性表示，并不一定是每个向量都可由其余向量线性表示.第二，线性相关的向量组中至少有一向量可由其余向量线性表示.3、如何判断向量组线性相关？答：根据书中的定理，某些向量组可直接判断它是线性相关的，如向量组中向量的个数多于其维数，向量组含有零向量或含有显然线性相关的部分组（如含有对应系数成比例的两个向量）等.一般的向量组可通过矩阵判别法来判断,即把向量组中向量作为列排成一矩阵A ，然后计算矩阵A 的秩，当且仅当A 的秩小于向量的个数时向量组线性相关.特别，对于由n 个n 维向量构成的向量组，只需考察A 的行列式，即当且仅当0=A 时向量组线性相关.4、向量组的最大无关组有什么特性？它在向量组的讨论中起什么作用？答：向量组的最大无关组有两个重要特性：第一，它是向量组的线性无关部分组，第二，它与原向量组等价.最大无关组也可以从其它角度来刻画：向量组的最大无关组就是向量组中含向量最多的线性无关部分组，也是与向量组等价的部分组中含向量最少的部分组.向量组的最大无关组不唯一，但每个最大无关组所包含向量的个数是相同的，称它为向量组的秩，是反映向量组本质的一个量.因为向量组的最大无关组与原向量组等价，根据等价关系的对称性和传递性，在讨论两向量组的线性关系时，诸如讨论一向量组是否可由另一向量组线性表示，两向量组是否等价，两向量组的秩之间的关系等，通常用最大无关组来代表原向量组.因为最大无关组是线性无关的，且其所含向量的个数就是向量组的秩，讨论起来较方便.特别是对包含无限多个n 维向量的向量组，它的最大无关组仅含有限个向量，这样就可以把对无限向量组的讨论转化为对有限向量组的讨论.5、向量组的等价与等秩有什么联系？答：根据等价的向量组的极大无关组也等价以及教材中有关定理可知等价的向量组必等秩.但等秩的向量组不一定等价，例如设),1,0,0(,)0,1,0(,)0,0,1(321===εεε则向量组21,εε与向量组31,εε的秩都为2，但显然这两个向量组不等价.只有当两向量组中有一个可由另一个线性表示时，这两个向量组等秩就一定等价.特别地，一个向量组的部分组如果与原向量组等秩，则它们是等价的.6、如何理解矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量组的线性关系？什么是由此结论得出的求向量组的极大无关组的方法？答：矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量组的线性关系是指如果矩阵A 通过初等行变换化为矩阵B ，那么对A 的任一列向量部分组，该部分组线性相关当且仅当B 对应的列向量部分组也线性相关.因而ir i i ,,ααα 21是A 的列向量组的最大无关组当且仅当B 中对应的列向量组ir i i βββ,,,21 是B 的列向量组的最大无关组. 前一论断证明如下：设A 通过初等行变换化为矩阵B ，任取A 的第k i i i ,,,21 列ik i i ααα,,, 21构成矩阵A 1，则A 1通过前面给出的初等行变换得到的矩阵正是由B 的第k i i i ,,,21 列ik i i βββ,,,21 构成的矩阵B 1，因而)()(11B r A r =.又ik i i ααα,,, 21线性相关当且仅当,)(1k A r <也就是.)(1k B r <而k B r <)(1当且仅当ik i i βββ,,,21 线性相关.所以矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量组的线性关系.利用这一性质，我们求向量组的最大无关组时，只须把所给向量组中向量为列构成一矩阵A ，然后用初等行变换化A 为阶梯形矩阵B ，因为B 的每个非零行第一个不为零的元素所在的列向量构成的列向量部分组是B 的列向量组的一个最大无关组，所以A 的相应的列向量部分组就是所给向量组的一个最大无关组.7、非齐次线性方程组AX ＝b 的解与A 的列向量组之间有何联系？(用b Ax =，或0=Ax ，下同)答：将线性方程组AX ＝b 写成向量形式b x x x n n =+++ααα 2211，其中i α为A 的第i 列构成的列向量，因此b 可由n ααα,,,21 线性表示⇔AX ＝b 有解.b 可由n αα,,1 唯一线性表示⇔AX ＝b 有唯一解.b 可由n αα,,1 表示，且表示法不唯一⇔AX ＝b 有无穷多解.8、齐次线性方程组的基础解系是否唯一？判别一个向量组是否为AX ＝0的基础解系的方法有哪些？答：当方程组AX ＝0存在基础解系（有非零解）时，其基础解系是不唯一的。
第2章线性方程组求解方法第2讲
y1 1 1 1 y2 3 3 y 34 3 5
1 2 3 x1 1 再解 5 9 x2 3 ,得 34 17 x 5 3 5
计算方法 2.3.1
线性代数方程组求解方法
直接三角分解法
将高斯消去法改写为紧凑形式，可以直接从矩阵A的元
素得到计算L、 U元素的递推公式，而不需要任何中间步骤 ，这就是所谓的直接三角分解法。一旦实现了矩阵A的LU分
解，那么求解线性代数方程组Ax=b的问题就等价于求解两
个三角方程组 Ly=b，求y Ux=y，求x 的问题，而这两个线性代数方程组只要回代，就可以求出其
1 u11 u12 u13 u 22 u 23 l21 1 l l 1 u 33 31 32 l l l 1 n1 n 2 n 3
计算方法
线性代数方程组求解方法
克罗脱(Grout)分解
a11 a12 a21 a22 a 31 a32 an 1 an 2 ... a1n ... a2n a3n ... ann ... u1n ... u 2n ... u 3n 1
a11 a12 ... a1n b1 a21 a22 ... a2n b2 a a ... a b nn n n1 n 2
u11 u12 ... u1n y 1 l21 u 22 ... u 2n y 2 l l ... u y nn n n1 n 2
设A
A=LU=L1U1 其中, L、L1 为单位下三角矩阵， U、 U1为上三角矩阵。由 于U１－1
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25 29
9 10 9
y1
b1 l11
9 6
y2
b2
l21 l22
y1
2
b3 l3k yk
y3
k 1
l33
10 29
y1
b1 l11
i1
bi lik yk
yi
k 1
lii
10 7 * 9
6
3
29
174
6
13
即
y ( y1 , y2 , y3 )T
( 9 , 6
u~n1,n u~n1,n1
1
3
D diag(u~11 ,u~22 , ,u~nn ) [diag( u~11 , u~22 , , u~nn )]2
U~
DU
1
D
1 2
D
1
2U 1
11
A L~U~ L%(D 2 D 2U1)
11
而 A 为对称正定阵 , AT A U1T (D 2 D 2 L%T )
l11 li1 ln1
LT
lii
llnnni
------(15) i n 1, ,2,1
对称正定方程 组的平方根法
9
1. 输入系数矩阵A, 右端项b; 2. 作A的Cholesky分解:
for j=1,2,…n 2.1 如果j>1 则 for i= j,j+1,j+2,…,
j 1
§ 2.5 平方根法
一、对称正定矩阵的三角分解(Cholesky分解)
若n阶矩阵A为对称正定矩阵 则det( A) 0, AT A
且A的顺序主子式 det Ak 0, k 1,2, , n
因此A可以进行 LU分解(或Doolittle分解)
记为
A L~U~
其中, L~为单位下三角阵 ,U~为上三角阵
-------------(13)
8
1. 解 Ly b
y1
b1 l11
i1
bi lik yk
yi
k 1
lii
2. 解 LT x y
xn xi
yn lnn
yi
n
lki
k i1
lii
xk
------(14)
l11
L li1 lii
ln1
lni
lnn
i 2,3, , n
4. 解LTx = y:
4.1 xn yn / ann
4.2 for i=n-1,n-1,…,1 do
n
xi ( yi akixk ) / aii k i 1
11
例1. 解:
用平方根法解对称正定方程组
6 7 5
7 13 8
5 8 6
x1 x2 x3
9 10 9
l11 a11
li1
由于 A L%U% 分解唯一，所以 L° U1T .
因此
A
L~U~
11
L%D 2 D 2 L%T
1
1
(L%D 2 )(L%D 2 )T
LLT
1
其中 L L%D 2 为非奇异下三角阵
4
定理1. (Cholesky分解) 设A为对称正定矩阵,则一定存在一个主对角元全是 正数的下三角阵L, 使得
l11
lr1
ln1
ar1
an1
arr
anr
arn lr1
ann
ln
1
lrr
lnr
lnn
lrr
llnnnr
a11 l11 l11 a21 l21 l11 ai1 li1 l11 i 1,2, , n
L的第一列元素 li1可以求出
-------------(6)
1
且对于A, L~,U~的任意k阶顺序主子式Ak , L~k ,U~k
Ak L~kU~k
k 1,2, , n
det Ak detL~k detU~k 1 k u~ii 0 i1
det Ak k1 u~ii u~kk det Ak1 u~kk i1
u~kk
det Ak det Ak1
aij aij aik a jk k 1
2.2 a jj ajj
2.3 for i= j+1, j+2,…,n
aij aij / a jj
10
3. 解Ly=b:
3.1 y1 b1 / a11
3.2 for i=2,3,…,n do
i 1
yi (bi aik yk ) / aii k 1
6
由(6) ~ (8)式可得L的元素的计算公式
l11 a11
li 1
ai 1 l11
i 2,3, , n
r 1
lrr arr lr2k k 1
r 1
air lik lrk
lir
k 1
lrr
r 2, ,n
(9)
i r 1, , n
从公式中可以看出, 在计算机上运算时,
当lij求出后, aij的储存地址可以用来存放lij
假设L的第1 ~ r 1列已求出, 考察A的第r列元素air
r
r 1
arr lrk lrk lr2k lr2r
k 1
k 1
-------------(7)
r
r 1
air lik lrk lik lrk lir lrr
k 1
k 1
-------------(8) i r, r 1, , n
ai1 l11
lrr
r 1
arr lr2k k 1
r 1
air lik lrk
先分解系数矩阵A
lir
k 1
lrr
6
6
A
7 5
7 13 8
5
8 6
LLT 分解
7
6
5
29 6 13
6 174
L
25 29
12
其次解 Ly b
6
7 29
(L,b)
6
6
5 6
13 174
0
(记det A0 1)
以上 k 1,2, , n
2
因此
u~11
U~
u~12 u~22
u~13 u~23 u~33
u~11
u~22
u~33
ˆ DU1
u~1n u~2n
u~3n
u~nn
1
u~12 u~11
1
u~nn
u~13 uu~~1213 u~22
1
u~1n u~u~211n u~22
7
二、对称正定线性方程组的解法来自线性方程组Ax b
-------------(10)
其中A为n阶对称正定矩阵 则存在主对角元为正数的下三角阵L, 使得
A LLT
-------------(11)
则线性方程组(10)可化为两个三角形方程组
L(LT x) b
Ly b LT x y
-------------(12)
A LLT 且该分解式唯一
这种关于对称正定矩阵的分解称为Cholesky分解
a11
a1r
a1n
设 A ar1 arr arn
an1
anr
ann
l11
L lr1 lrr
ln1
lnr
lnn
aij a ji
5
a11
a1r
a1n
l11