(名师整理)最新数学中考复习《图形的变换——三角形的翻折型》专题精讲课件

AB＝CA， 在△ABD 与△CAF 中，∠2＝∠3，
BD＝AF，
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∴△ABD≌△CAF(SAS)．∴CF＝AD，∠ADB＝∠CFA＝120°. ∵∠ADB＝∠EDB＝120°，AD＝ED，∴∠ADE＝120°，CF＝ ED. ∴∠ADE＝∠CFA＝120°.∴FC∥DE. ∴四边形 DECF 是平行四边形．∴FD＝CE.∴BD＋CE＝AD.
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专题简析
图形折叠是一种重要的图形变化，折叠前后图形会产生明显 的规律，例如几何形状不变，关于对称轴呈现几何对称特性等， 有效利用折叠的相关特性，在变与不变中挖掘隐含条件，可以实 现问题的简化．
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三角形折叠前后一定是全等的，由此就可以得出对应边相等 和对应角相等，从而结合三角形和四边形中的特殊三角形的性质、 勾股定理、全等、相似等核心知识，考查学生的直观想象、逻辑 推理、数学建模等数学核心素养．
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小丽剪了一些直角三角形纸片，她取出其中的几张进行 了如下的操作：
操作一：如图 1，将 Rt△ABC 沿某条直线折叠，使斜边的两 个端点 A 与 B 重合，折痕为 DE.
图1
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(1)如果 AC＝6 cm，BC＝8 cm，试求△ACD 的周长； 解： 由折叠的性质可得 AD＝BD，∵△ACD 的周长＝AC＋CD＋ AD， ∴△ACD 的周长＝AC＋CD＋BD＝AC＋BC＝6＋8＝14(cm)．
答图1
由翻折的性质，得∠APB＝∠CPB.
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∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC. ∴∠PBC＝∠CPB. ∴BC＝PC＝10. ∴PD＝ PC2－CD2＝8. ∴AP＝AD－PD＝10－8＝2.
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(2)设 AP＝x，BF＝y，求 y 关于 x 的函数关系式，并直接写出
x 的取值范围； 解：如答图 2，
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a＝12，
解得b＝－32， c＝1.
∴过点 P，B，E 的抛物线的函数关系式为 y＝12x2－23x＋1.
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(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点 Q，使△PEQ 是 以 PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求 出点 Q 的坐标．
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解：由(2)知∠EPB＝90°，即点 Q 与点 B 重合时满足条件． 直线 PB 的解析式为 y＝x－1，与 y 轴交于点(0，－1)． 将 PB 向上平移 2 个单位长度则过点 E(0，1)， ∴平移后的直线为 y＝x＋1. 由yy＝＝12xx＋2－1，32x＋1，得xy11＝＝65，，xy22＝＝10.， ∴Q(5，6)． 故该抛物线上存在点 Q(4，3)或(5，6)满足条件．
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操作三：如图 3，小丽又拿出另一张 Rt△ABC 纸片，将纸片 折叠，折痕 CD⊥AB.你能证明 BC2＋AD2＝AC2＋BD2 吗？
图3
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解：能．证明如下： 在 Rt△BCD 中，由勾股定理可得 BC2＝BD2＋CD2， 在 Rt△ACD 中，由勾股定理可得 AD2＋CD2＝AC2， ∴BC2＋AD2＋CD2＝BD2＋CD2＋AD2，即 BC2＋AD2＝AC2＋ BD2.
②如答图 4 中，当 PF＝DF 时，
在 Rt△DFC 中，DF＝y，CD＝6，CF＝10－y，
∴y2＝62＋(10－y)2，解得 y＝354. ∴34＝x2＋36，
5 2x
解得 x1＝10(舍去)，x2＝158.
∴AP＝158.
答图4
综上所述，AP 的长为158.
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学习了本课后，你有哪些收获和感想？ 告诉大家好吗？
图1
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(1)设 P(x，0)，E(0，y)，求 y 关于 x 的函数关系式，并求 y 的最大值．
解：由已知 PB 平分∠APD，PE 平分∠OPF，且 PD，PF 重 合，则∠BPE＝90°，
∴∠OPE＋∠APB＝90°. 又∵∠APB＋∠ABP＝90°， ∴∠OPE＝∠ABP.
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∴△POE∽△BAP. ∴OABP＝OAPE，即3x＝4－y x. ∴y＝31x(4－x)＝－13x2＋43x(0＜x＜4)，且当 x＝2 时，y 有最大 值43.
C．2 cm
D．3 cm
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2．如图，△ABC 是等腰三角形，把它沿底边 BC 翻折后，得
到△DBC，则四边形 ABDC 为 菱形 ，理由是 四条边相等的四边
形是菱形
．
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3．如图，Rt△ABD 中，∠A＝90°，AB＝2 cm，AD＝4 cm， 将此三角形折叠，使点 D与点 B重合，折痕为 EO，则 ED为 2.5 cm.
核心例题
如图，△ABC 为等边三角形，点 D 为△ABC 内一点，∠ ADB＝120°，把△ADB 沿 BD 翻折，点 A 落在点 E 处，连接 CE. 求证：BD＋CE＝AD.
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证明：在 AD 上截取 AF＝BD，连接 CF. ∵△ABC 是等边三角形，∴∠1＋∠2＝60°. ∵∠ADB＝120°，∴∠1＋∠3＝60°.∴∠2＝∠3.
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拓展迁移
如图 1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片 OABC，已知 O(0， 0)，A(4，0)，C(0，3)，点 P 是 OA 边上的动点(不与点 O，A 重合)， 现将△PAB 沿 PB 翻折，得到△PDB；再在 OC 边上选取适当的点 E， 将△POE 沿 PE 翻折，得到△PFE，并使直线 PD，PF 重合．
曾经以为是艰难困苦的关头，却 成了中国人干得最欢、最带劲、最舒 坦的黄金时代。
——钱三强
数学中考专题考点精讲
第二轮 专题突破
第35讲 图形的变换2(三角形的翻折型)
课前检测
1．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝4 cm，
BC＝3 cm，将斜边 AB 翻折，使点 B 落在直角边 AC 的延长线上
的点 E 处，折痕为 AD，则 CE 的长为( A )
A．1 cm
B．1.5 cm
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三角形折叠问题重在读题，充分理解图形的折叠过程是解题 的关键．对于题中的设问，有必要结合图形强化释义，充分利用 折叠特性构造图形来帮助分析问题．在作答时，需要学生根据已 有的知识经验对问题做出准确的判断，结合平时所学的数形结合、 方程、化归、分类讨论等数学思想方法构造几何或代数模型进行 解答．
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பைடு நூலகம்27
中考实践
如图，矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝10，P 是边 AD 上一点， 把△ABP 沿 BP 所在的直线翻折后得到△EBP，直线 PE 与边 BC 相交于点 F，点 E 在线段 PF 上．
备用图
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(1)如果点 F 和点 C 重合，求 AP 的长； 解：如答图 1， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB＝CD＝6，BC＝AD＝10，∠D＝90°.
由翻折的性质，得∠APB＝∠FPB，∠A＝∠PEB＝90°，PA
＝PE＝x，AB＝BE＝6，
∵AD∥BC，∠A＝∠PEB＝90°，
∴∠APB＝∠PBC.
答图2
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∴∠PBC＝∠FPB. ∴BF＝PF＝y. ∴EF＝PF－PE＝y－x. 在 Rt△BEF 中，根据勾股定理，BF2＝BE2＋EF2， 即 62＋(y－x)2＝y2，解得 y＝x2＋2x36(2≤x＜6)．
图2
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解：能． ∵AC＝4，BC＝8， ∴AB＝ AC2＋BC2＝ 42＋82＝4 5. 根据折叠性质可得 AC＝AE＝4， ∴BE＝AB－AE＝4 5－4. 设 CD＝x，则 BD＝8－x，DE＝x.
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在 Rt△BDE 中，根据勾股定理可列方程 x2＋(4 5－4)2＝(8 －x)2，
解得 x＝2 5－2. ∴CD＝2( 5－1)(cm)．
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(2)如果∠CAD∶∠BAD＝4∶7，求∠B 的度数． 解：设∠CAD＝4x°，∠BAD＝7x°. 由题意可得方程 7x＋7x＋4x＝90， 解得 x＝5. ∴∠B＝∠BAD＝35°.
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操作二：如图 2，小丽拿出另一张 Rt△ABC 纸片，将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，已知 两直角边 AC＝4 cm，BC＝8 cm，你能求出 CD 的长吗？
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(2)如图 2，若翻折后点 D 落在 BC 边上，求过点 P，B，E 的 抛物线的函数关系式．
图2
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解：由已知，△PAB，△POE 均为等腰直角三角形，可得 E(0， 1)，P(1，0)，B(4，3)．
c＝1， 设过此三点的抛物线为 y＝ax2＋bx＋c，则a＋b＋c＝0，
16a＋4b＋c＝3，
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(3)连接 DF，如果△PDF 是以 PF 为腰的等腰三角形，求 AP 的长．
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解：①如答图 3 中，当 PF＝PD 时， 由(2)可知 BF＝PF，∴PD＝BF＝y. ∴x＋y＝10. ∴x＋x2＋2x36＝10. 整理得 3x2－20x＋36＝0. ∵Δ＜0，∴此种情形不存在．
答图3
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