一、行列式的性质

anj
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anj
性质6 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
例如
175 175 6 6 2 3 5 8, 358 662
17 5 715 6 6 2 6 6 2. 35 8 538
性质7 行列式任一行（列）的元素与另一行（列） 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
a A i1 j1 a A i2 j2 a A in jn 0, i j .
x y r2 r1 x z y w r1 r2 x z y w ;
zw
zw
x y
x y r1 r2
x
y r2 r1 z
w
zw
zx w y
zx w y
当运算次序不同时，所得结果不同. 而忽视前一 次运算作为基础，就会出错.
如 x y r2 r1 x z y w
z w r1 r2 z x w y
Dn
1n1
an
x
1
0
0
111
x
0
0 x
1
0 0 x 1
an1 an2 a2 xa1
1n1 an 1n1 xDn1 xDn1 an ,
所以,Dn xDn1 an ,n1,2,,n.
以此作递推公式,可得
D x xDn2 an1 an x 2 Dn2 an1 x an
0 x2n2 ( x2 x1 ) x3n2 ( x3 x1 ) xnn2 ( xn x1 )
按第1列展开，并把每列的公因子 ( xi x1 ) 提出， 就有
1
( x2 x1 )( x3 x1 )( xn x1 )
x2
x
n2 2
n-1阶范德蒙德行列式
11
x3 xn
x3n2
x
n n
若
D
a21
a22
(a2i a2 i ) a2n
an1 an2 (ani an i ) ann
a11 a1i a1n a11 a1i a1n
则
D
a21
a2i
a2n
a21
a2i
a2n
an1 ani ann an1 an i ann
性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘
以同一数k然后加到另一列(行)对应的元素上
去，行列式不变．
a11 a1i a1 j a1n
例如
a21 a2i
a2 j k
a2 j
an1 ani anj anj
a11
(a1i ka1 j )
a1 j
a1n
kc j ci a21
(a2i ka2 j )
a2 j
a2 j
an1
(ani kanj )
小结
行列式的性质 (行列式中行与列具有同等的 地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样 成立).
计算行列式常用方法：
(1)利用定义 (2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从 而算得行列式的值．
§ 2.2 行列式的性质和计算
一、行列式的性质
记 a11 a12 a1n
a11 a21 an1
D
a21
a22
a2n , DT
a12
a22 an2
an1 an2 ann
a1n a2n
a nn
行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式.
性质1 行列式与它的转置行列式相等.即DT D.
2
Dn ( x2 x1 )( x3 x1 )( xn x1 ) ( xi x j )
ni j2
( xi x j ).
ni j1
例5 试用范德蒙行列式计算
ab c
D a2
b2
c2 .
bc ca ab
解 将D的第1行加到第3行,得
a
b
c
111
D a2
b2
c2 abc a b c
abc abc abc
x n a1x n1 a2 x n2 an2 x 2 an1x an .
初等矩阵的行列式
1. | Ei jA | | A || Ei j || A |; 2. | Ei (c)A | c | A || Ei (c) || A |; 3. | Ei j (c)A || A || Ei j (c) || A | .
an1 an2 ann
推论1 如行列式的某一行（列）的元素全为零， 则行列式为零。
行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到
行列式符号的外面．
通常将第 i 行(或列)提出公因子k ,记作 ri k (或ci k ).
以后用 ri 表示行列式的第 i 行, ci 表示第 i 列. 交换 i, j 两行记作 ri rj ,交换 i, j 两列记
a b bb b a bb
例2 计算 n 阶行列式 D b b a b
b b ba
解 将第 2,3,,n 都加到第一列得
a n 1b b b b
a n 1b a b b D a n 1b b a b
a n 1b b b a
1 b bb 1 a bb
a (n 1)b 1 b a b
对任一初等矩阵 E,都有 | EA|| E || A |
同理，设 E1, E2,, Er为初等矩阵，则 | E1E2 Er A || E1 || E2 | | Er || A |
三、方阵乘积的行列式
定理1 n阶方阵A可逆的充分必要条件是 |A| ≠0 .
定理2 设A,B均为n阶方阵，则有 |AB| = |A| |B| .
a
ab
abc
D 0 r1 r2 a 2a b 3a 2b c
0 a 3a b 6a 3b c
ab c
d
0 r3 r4 a a b a b c
0 0 r2 r3
a
2ab
00 a
3ab
ab c
d
0 r3 r4
a
ab
abc a4
00 a
2ab
00 0
a
注意 1.将几次运算写在一起时,各运算的次序不能颠倒. 例2如.记号ri rj与rj ri不同,不能将krj ri写作kri rj .
2 0 1 1 1 5 3 3
解: D
5 1 1 1
2c3 c1
11 1 3 1
c3 c4
0 0 1 0 40.
5 5 3 0
x 1 0 0
0
0 x 1 0
0
例8 计算 Dn
00
0 x 1
an
an1
an2 a2
x a1
解 按第一列展开
1 0 0 0
x 1 0 0
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
性质2 行列式的某一行（列）中所有的元素都
乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
注：(1) | A B || A | | B |, (2)| kA | k | A |,而 | kA | k n | A | ( A为n阶方阵)
推论1 设Ai (i 1,2,, r)均为n阶方阵，则
| A1 • A2 •• Ar || A1 | • | A2 | •• | Ar |
推论2
若A, B均为n阶方阵，且 AB I (或BA I ), 则B A1.
假设（1）对于 n 1 阶范德蒙德行列式成立，
1 11
即
Dn-1
x1
x2
xn1
(xi x j )
n1i j1
x n2 1
x n2 2
x n2 n1
假设（1）对于 n 1 阶范德蒙德行列式成立，
Dn
1
1
1
1
0
x2 x1
0 x2 ( x2 x1 )
x3 x1
xn x1
x3 ( x3 x1 ) xn ( xn x1 )
例4 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
1 11
x1 Dn x12
x2 xn
x
2 2
xn2
( xi x j ). (1)
ni j1
x1n1
x
n1 2
xnn1
证 用数学归纳法
1 D2 x1
1
x2
x2 x1
( xi x j ),
2i j1
当 n 2 时（1）式成立．
作 ci . c j
性质3 如果行列式有两行（列）的对应元素完 全相同，则此行列式为零.(数学归纳)
推论2 行列式中如果有两行（列）元素成比例， 则此行列式为零．
性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两 数之和,则这个行列式等于两个行列式之和.即
a11 a12 (a1i a1i ) a1n
1 b ba
1b bb
a (n 1)b
ab
0 a b
a (n 1)b(a b)n1.
0 ab
例3 计算
ab
c
d
a ab abc abcd D
a 2ab 3a2bc 4a3b2cd
a 3ab 6a3bc 10a6b3cd
解 从第4行开始，后行减前行:
a r3 r4
b
c
d
0 r2 r3
x 2 xDn3 an2 an1 x an
x 3 Dn3 an2 x 2 an1 x an
x n1D1 a2 x n2 an2 x 2 an1x an
x n1 D1 a2 x n2 an2 x 2 an1 x an
x n1 x a1 a2 x n2 an2 x 2 an1 x an
由n阶行列式的定义和性质7，可得：
定理 设n阶方阵A=(aij),则有
n
| A | ,当 i j,
(1) aki Akj
k 1
0 ,当i
j;
n
| A | ,当 i j,
(2) aik Ajk
k 1
0 ,当i
j;
二、 行列式的计算
常用方法： 一、灵活运用行列式的性质化为上（下）三角形行列式； 二、行列式按一行（列）展开法则； 三、利用特殊行列式。
a2 b2 c2
abcbacacb
5 3 1 2 0 1 7 2 52 例6 计算行列式 D 0 2 3 1 0 0 4 1 4 0 0 2 3 50
5 3 1 2 0 1 7 2 52
解 D 0 2 3 1 0 1080.
0 4 1 4 0 0 2 3 50
3 1 1 2 例7 计算行列式 D 5 1 3 4
利用性质计算行列式
计算行列式常用方法：利用行列式的性质，
把行列式化为上（下）三角形行列式，从而算得 行列式的值．
3 1 1 2
例１
5 D
1
3 4 .
2 0 1 1
1 5 3 3
3 1 1 2
解
5 D
1
3 4
2 0 1 1
1 5 3 3
1 3 1 2
c1 c2
1
5
3
4 40
0 2 1 1
5 1 3 3