简单的线性规划问题教学设计

《简单的线性规划问题》教学设计

一、教学内容分析

线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支,主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型。简单的线性规划指的是目标函数含两个变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。涉及更多个变量的线性规划问题不能用初等方法解决。

与其它部分知识的联系，表现在：

二、学情分析

本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上，通过实例，巩固二元一次不等式（组）所表示的平面区域，使学生从实际优化问题中抽象出约束条件和目标函数，理解平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系式表示简单的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化为数学问题。

从数学知识上看，问题涉及多个已知数据、多个字母变量，多个不等关系，从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日，这都成了学生学习的困难。所以，通过这种从点与数对的对应，线与方程的对应，到平面区域与不等式组的对应的过渡和提升，使学生进一步理解数形结合思想方法的实质及其重要性。

三、设计思想

本课以问题为载体，以学生为主体，以数学实验为手段，以问题解决为目的，以多媒体课件作为平台，激发他们动手操作、观察思考、猜想探究的兴趣。注重引导帮助学生充分体验“从

实际问题到数学问题”的建构过程，“从具体到一般”的抽象思维过程，应用“数形结合”的思想方法，培养学生的学会分析问题、解决问题的能力。

四、教学目标

1.使学生了解二元一次不等式表示平面区域；

2.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；

3.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题

4.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力

5.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新

五、教学重难点

教学重点：用图解法解决简单的线性规划问题

教学难点：准确求得线性规划问题的最优解。

六、教学支持条件分析

教师可借助计算机或图形计算器，从激励学生探究入手，讲练结合，精准的直观演示能使教学更富趣味性和生动性.

通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实践，调动多感官去体验数学建模、用模的思想，让学生学会用“数形结合”思想方法建立起代数问题和几何问题间的密切联系．

七、教学过程

1、创设情境，提出问题

引例：某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品．每生产一件甲产品使用4个A配件，耗时1h；每生产一件乙产品使用4个A配件，耗时2h．已知该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？

问题1：该厂日生产安排受哪些条件约束？

设甲、乙两种产品每日分别生产x，y件，得出二元一次不等式组：

[师生活动]学生读题，引导阅读理解后，列表→建立数学关系式→ 画平面区域，教师关注有多少学生写出了线性数学关系式，有多少学生画出了相应的平面区域，在巡视中并发现代表性的练习进行展示，强调这是同一事物的两种表达形式数与形。

[设计意图]：引导学生读题，完成实际问题数学化的过程．承前一课时，使学生进一步熟练如何从实际问题中抽象出不等式组（约束条件）并用平面区域表示。

2、分析问题，形成概念

问题2：可能的日安排，什么意思？

（0，0），（0，1），（0，2），（0，3）；

（1，0），（1，1），（1，2），（1，3）；

（2，0），（2，1），（2，2），（2，3）；

（3，0），（3，1），（3，2）；

（4，0），（4，1），（4，2）．

[师生活动]教学中，可以结合几何画板，让学生“读出”可行解，即可行域中的18个整点，对于边界附近的点，如（3，3），（4，3，），（4，4）是否可行域中，需引导学生配合不等式来判断，这将有助于学生手绘解决问题时的慎密思考．

[设计意图]：让学生了解日生产方案的数学符号表示，不等式组（1）的整数解（x ,y）的实际意义，并给出“可行解”、“可行域”概念。

问题3：若每生产一件甲产品获利2万元，每生产一件乙产品获利3万元，如何安排生产利润最大？

利润函数模型的建立．设生产利润为z（万元），则z=2x＋3y。

[师生活动]①引导学生分别求各种可能安排的利润（列举）：z=？

x y z=2x+3y

000

013

………

4111

4214

观察得到，当x=4，y=2时，z最大，z的最大值为14万元．引出最优解概念。

②以上过程计算繁琐，操作难度大，引导学生调整探究思路，寻找解决问题的新方法。由利润函数的解析式z=2x＋3y，可变形为，故求z的最大值，可转化为求的最大值，而是直线z=2x＋3y在y轴上的截距，只要找到直线系z=2x＋3y与y轴的交点的最高即可.

③示范解答

解：设甲、乙两种产品每日分别生产x，y件，依题意，得不等式组：

（列出不等式）

平面区域（如图），（画出可行域）依题意，得目标函数z=2x＋3y．（求出目标函数）

作直线2x＋3y=0，平移之，经过点M时，z最大。（平移目标函数表示直线）

由x=4，x＋2y=8得点M的坐标（4，2）．（求（写）出最优解）

因此，当x=4，y=2时，z最大，z max=2×4＋3×2=14（万元）．

[设计意图]：通过添加最优化问题转入对新知识的探究，借助计算机技术展示数学关系式平面区域、表格等各种形态的表现形式，在数、图、表的关联中进行观察，培养学生数形结合思想。

从笔算到计算，从点到直线再到平面（区域），从一个函数到多个函数，从特殊到一般，从具体到抽象的认识过程，使学生经历数学知识形成、发现、发展的过程，获得问题的解决，这有助于培养学生的科学素养

3、反思过程，提炼方法

问题4：什么线性规划问题是？求解简单线性规划的步骤？

线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题．线性规划问题的模型由目标函数和可行域组成，其中可行域是可行解的集合，可行解是满足约束条件的解．使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解。

步骤：第1步：依题意，列出不等式组；

第2步：画出可行域（实际上也就找到了可行解）；

第3步：依题意，求出目标函数；

第4步：作出目标函数所表示的某条直线（通常选作过原点的直线），平移此直线并观察此直线经过可行域的哪个（些）点时，函数有最大（小）值．

第5步：求（写）出最优解和相应的最大（小）值。

（建、画、移、求、答）

4、变式演练，深入探究