正态总体下的四大分布
第2节正态总体下的抽样分布
U—分布 正态总体样本均值的分布
设总体 X ~ N , 2 ， X1, X 2 ,..., X n 是 X 的一 个样本, 则样本均值服从正态分布
2 1 n X X i ~ N , n i 1 n
1 n Xi X n i 1 U ~ N 0,1 n n
性质：若X～F(n1，n2)，则 1 ～F(n2，n1).
F 分布的上分位数 对于给定的 (0< <1)，称满足条件
P F(n1, n2) F(n1, n2)
其几何意义如图5-7所示.
F (n1, n2)
X
f(y)dy
的数F(n1，n2)为F分布的上分位数或上侧临界值，
X n X T ~ t(n 1) 2 S n (n 1)S (n 1) 2
设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体 X～N( ， 2)的样本，则统计量
由定义得
定理
别是来自正态总体N(1 ，2)和N(2 ，2)的样本，且 它们相互独立，则统计量
设(X1，X2，…，Xn1)和(Y1，Y2，…，Yn2) 分
n>30就用标准正态分布N(0, 1)来近似.
四、F分布
定义 设随机变量X～ 2(n1)、Y～ 2(n2)，且 与相互独立，则称随机变量
服从第一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布， 记作
X n1 F Y n2
F～F(n1，n2).
概率密度函数
n n 1 2 n1 1 Ay 2 (1 n1 y) 2 , y 0 f(y) n2 y0 0, n1 n2 ( ) n n1 2 其中 A ( 1 ) 2 , 其图形见图5-6.(P124) n1 n2 n2 ( )( ) 2 2
2.4正态总体分布 共40页
B. 0.2
C. 0.3
D.0.4
4、设ξ～N(1,4)，试求：(1)P(－1＜ξ≤3)；(2)P(3＜ξ≤5) ；(3)P(ξ≥5)．
P(X)0.6826, P(2X2)0.9544, P(3X3)0.9974.
我们从上图看到，正态总体在2,2 以外取值的概率只有4.6％，在3,3 以
解： 由x于 服从正N态 4， 0.2分 5 布
由正态分布的性质知，
正态分布N4，0.25 在 4 3×0.5, 4 3×0. 5
之外取值的 概率只有0.003,而 5 .7 2 .5 , 5 .5
这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发 生的小概率事件.
据此可认为该批零件是不合格的。
画频率分布直方图的步骤
1、求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)
知道这组数据的变动范围4.3-0.2=4.1 2、决定组距与组数（将数据分组） 组距：指每个小组的两个端点的距离，
组数：将数据分组，当数据在100个以内时， 按数据多少常分5-12组。 组数=极 组差 距04..518.2
3、 将数据分组(8.2取整,分为9组) 4、列出频率分布表.(学生填写频率/组距一栏) 5、画出频率分布直方图。
总体密度曲线的形状特征． “中间高，两头低，
左右对称”
频率 概率密度曲线
组距
总体在区间 (a,b)内取值的概率
ab
产品 尺寸 （mm）
知识点二：正态分布与密度曲线
上图中总体密度曲线具有“中间高，两头低” 的特征，像这种类型的概率密度曲线,叫做 “正态密度曲线”，它的函数表达式是
f(x) 1 e(x22)2,x( , )
在实际遇到的许多随机现象都服从或近似 服从正态分布：
正态分布课件
4.应用举例 4.应用举例
例1：若X~N(5,1),求P(6<X<7). 求
例2：在某次数学考试中，考生的成绩 ξ 服从一个 在某次数学考试中，
正态分布， ξ 正态分布，即 ~N(90,100). （1）试求考试成绩 ） 多少？ 多少？
ξ 位于区间 位于区间(70,110)上的概率是 上的概率是
X P 0 1 … … k
C nk p k q n − k
…
n
1 C n0 p 0q n C n p 1q n－1
… C nn p nq 0
4.由函数 y = f ( x) 及直线 x = a, x = b, y = 0y 由函数 围成的曲边梯形的面积S=_________； 围成的曲边梯形的面积 ∫a f ( x)dx ；
归纳小结
1.正态曲线及其特点； .正态曲线及其特点； 2.正态分布及概率计算 正态分布及概率计算； 2.正态分布及概率计算； 原则。 3.3σ原则。
P(µ − a < x ≤µ + a) = ∫
x=µ
ϕµ,σ ( x)dx µ−a
µ+a
µ-a
µ+a
特别地有（熟记） 特别地有（熟记）
P( µ − σ < X ≤ µ + σ ) = 0.6826, P( µ − 2σ < X ≤ µ + 2σ ) = 0.9544, P( µ − 3σ < X ≤ µ + 3σ ) = 0.9974.
3、设离散型随机变量X~N(0,1),则 P( X ≤ 0)= 0.5 、设离散型随机变量 则
P (−2 < X < 2) =
0.9544
.
4、若已知正态总体落在区间 (0.3, +∞) 的概率为 ，则 、 的概率为0.5， 0.3 相应的正态曲线在x= 时达到最高点。 相应的正态曲线在 时达到最高点。 5、已知正态总体的数据落在（-3,-1）里的概率和落 、已知正态总体的数据落在（ ） 在（3,5）里的概率相等，那么这个正态总体的数学 ）里的概率相等， 1 期望是 。
正态总体下的抽样分布
§1.2数理统计中常用的分布正态总体是最常见的总体, 本节介绍的几个抽样分布均对正态总体而言.1.标准正态分布2. 2分布3.t分布4.F分布o xϕ(x )定义:设X ~N (0,1),对任给的α, 0<α<1,称满足条件1、标准正态分布αϕαα==>⎰+∞dx x z X P z )(}{的点z α为标准正态分布的上α分位点.z αα例：求z0.05解:P{X≤z0.05}=1−P{X>z0.05}=1−0.05=0.95∵P{X≤1.64}=0.9495P{X≤1.65}=0.9505∴z0.05≈(1.64+1.65)/2=1.645公式: Φ(zα)=1−α常用数字575.296.1645.1005.0025.005.0===zzz定义:设X i ~N (0,1) (i =1,2,...,n ), 且它们相互独立,则称随机变量2、χ2分布221nii X χ==∑服从自由度为n 的χ2分布,记为χ2~χ2(n ).χ2分布最常用的是拟合优度检验.其中，在x > 0时收敛，称为Γ函数，具有性质1()tx te dtx +∞−−Γ=⎰(1)(),(1)1,(1/2)(1)!()x x x n n n N πΓ+=ΓΓ=Γ=Γ+=∈一般自由度为n 的χ2(n )的密度函数为12221,0()2()20,xnnn ex ng x x x −−⎧>⎪⎪=Γ⎨⎪⎪≤⎩χ2分布的密度函数图χ2~χ2(n)D Y =Di=1nX i 2=i=1n D(X i 2)=i=1n [E(X i 4)−(E(X i 2))2]=i=1n2=2n .χ2分布的基本性质（1）设Y 1~χ2 (m ), Y 2~χ2 (n ), 且Y 1 , Y 2 相互独立，则χ2 分布的可加性（2）若Y ~χ2 (n ), 则E (Y )=n ，D (Y )=2n.= 1;)(~221n m Y Y ++χY 1=i=1mX i 2，Y 2=i=m+1m+nX i 2，)(~2n m +χY 1+Y 2=i=1m+nX i2E Y =Ei=1nX i 2=i=1nE(X i 2)=i=1n[D(X i )+(E(X i ))2]=i=1n1=n ,E(X i 4)=12πන−∞+∞x 4e −x 22dx =3故（3）设X 1,…, X n 相互独立,且都服从正态分布N (μ,σ2),则;)(~)(12122n X Y ni i χμσ∑=−=（4）若Y ~χ2 分布,则当n 充分大时,近似服从N (0,1).n n Y 2−应用中心极限定理oχ2α(n )xf (x )α设χ2~χ2(n ),其密度函数为f (x ),对于给定的正数α(0<α<1),称满足条件αχχαχα==>⎰+∞dx x f n P n )(222)()}({的点χ2α(n )为χ2(n )分布的上α分位点.χ2分布的上α分位点当n 充分大时,22)12(1)(−+≈n z n ααχ例：设X ~N (μ,σ2), (X 1,X 2,...,X 16)是取自总体X 的样本,求概率:}2)(1612{216122σμσ≤−≤∑=i iX P 解:∵X 1,X 2,...,X 16相互独立且)1,0(~N X i σμ−)16(~)(21612χσμ∑=−∴i i X}2)(1612{216122σμσ≤−≤∑=i iX P }32)(8{1612≤−≤=∑=i i X P σμ}32)({}8)({16121612>−−≥−=∑∑==i i i i X P X P σμσμ≈0.95−0.01=0.94定义:设X ~N (0,1)，Y ~χ2(n )，且X 与Y 相互独立,则称随机变量3、t 分布服从自由度为n 的t 分布,记为T ~t (n )./X T Y n=T 的密度函数为：22112()1,.2n n n t x x n n n x π+−+⎛⎫Γ ⎪⎛⎫⎝⎭=+−∞<<∞ ⎪⎛⎫⎝⎭Γ ⎪⎝⎭1908年英国统计学家W.S. Gosset （笔名Student ）t分布的密度函数图T~t(n)t 分布的上α分位点设T ~t (n ),其密度函数为f (x ),对于给定的正数α(0<α<1),称满足条件(){()}()t n P T t n f x dt ααα+∞>==⎰的点t α(n )为t 分布的上α分位点.f (x )xt α(n )αt *0f (x )1-αx-t *t 分布的双侧α分位点设T ~t (n ),其密度函数为f (x ),对于给定的正数α(0<α<1),称满足条件*{||}1P T t α<=−的数t *为t 分布的双侧α分位点.α/2t 分布的密度函数f (x )是偶函数，故**()()P T t P T t ≤−=≥***(||)()P T t P t T t <=−<<*(),2P T t α≥=于是得即*()2P T t α>=**()()P T t P T t =<−≤−**(1())()P T t P T t =−≥−≥*12()1,P T t α=−≥=−= t α/2(n )t 分布的性质(1) 其密度函数f (x )是偶函数(3) f (x )的极限为N (0,1)的密度函数,即221lim ()()2x n f x x e φπ−→∞==(2)t 1−α(n )= −t α(n )当n >45时,t α(n )≈z α例：设X , Y 1,Y 2,Y 3,Y 4 相互独立,且X ～N (2,1),令Y i ～N (0, 4),i =1, 2, 3, 4 ,解：∵X -2～N (0, 1),～t (4),即Z 服从自由度为4 的t 分布.求Z 的分布.由t 分布的定义Y i /2～N (0, 1),i = 1, 2, 3, 4 . ,)2(4412∑=−=i iY X Z ∑=−=412)2(4i i Y X Z 4)2(2412∑=−=i i Y X例：设随机变量X 与Y 相互独立，X ~ N (0,16),Y ~ N (0,9) , X 1, X 2,…, X 9与Y 1, Y 2 ,…, Y 16分别是取自X 与Y 的简单随机样本,求统计量所服从的分布.解：)169,0(~921⨯+++N X X X )1,0(~)(431921N X X X +++⨯ 2162191YY XX Z ++++=从而16,,2,1,)1,0(~31=i N Y i )16(~3122161χ∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛i i Y 2162221921Y Y Y X X X ++++++ ()16314311612921∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯=i i Y X X X )16(~tt分布用于在小样本(n<30)场合下的正态分布(大样本(n≥30)场合下可以用正态分布来近似),有时候在信息不足的情况下,只能用t分布,比如在总体方差不知的情况下,对总体均值的估计和检验通常要用t统计量.12222,()2(),0()()()220,0m n m m nm n x x m nm n n m x m n f x x +−−+⎧Γ⎪+>⎪=⎨ΓΓ⎪⎪≤⎩F 的密度函数为:所服从的分布为第一自由度为m ，第二自由度为n 的F 分布，记作F ~ F (m , n ).4、F 分布则称统计量F 分布多用于比例的估计和检验！nY mX F =定义：设随机变量X 与Y 独立，且X~χ2(m),Y~χ2(n),F 分布的密度函数图F~F(m,n)F 分布的上α分位点设F ~F (m ,n ),其密度函数为f (x ),对于给定的正数α(0<α<1),称满足条件ααα==>⎰+∞dx x f n m F F P n m F ),()()},({的点F α(m ,n )为F 分布的上α分位点.0f (x )F α(m ,n )αxF 分布的性质(1) 若F ~F (m ,n )，则(2)()~,1F F n m ),(1),(1m n F n m F αα=−}),(11{1n m F F P α−≤=∵1−α=P {F ≥F 1−α(m ,n )}}),(11{11n m F F P α−>−=αα=>⇒−}),(11{1n m F F P ),(),(11m n F n m F αα=⇒−（3）若X ~ t (n ), 则X 2~ F (1, n );mX nY F=1例：设F ~ F (24, 15) ,求F 1,F 2,F 3,使其分别满足P (F >F 1 )= 0.025 , P (F <F 2 )= 0.025 , P (F >F 3 )= 0.95 .解：(1)由m =24，n =15，α= 0. 025 ，查P192 附表6(2)无法直接查表获得,但由F 分布性质知1/F ~F (15, 24)，查附表6知(3) ∵F 3 =F 0. 95(24,15), 查附表6知：∴ F 2 = 1/2.44 = 0.41 ; 由性质(2)知,025.0)11()(22=>=<F F P F F P 1F 2=F 0.025(15,24)=2.44⇒P(F <1/2.44)=0.025F 0.05(15,24)=2.11,,)24,15(1)15,24(95.0195.0−=F F .474.011.213==∴F 知F 1= F 0.025 (24, 15)= 2.70 ;抽样分布定理1. 单个正态总体的抽样分布2. 两个正态总体的抽样分布定理：设X 1,X 2,...,X n 是来自正态总体N (μ,σ2)的样本,则1. 单个正态总体的抽样分布(1)),(~2n N X σμ)1,0(~N n X σμ−⇒(2)与S 2相互独立X (3))1(~)1(222−−n S n χσ(4))1(~−−n t n S X μ1σ2n(X i −μ)2~χ2(n)(5)(1)∑==ni i X n X 11)1,0(~N n X σμ−⇒为n 个相互独立的正态X ∴服从正态分布∑==ni i X E n X E 1)(1)(=μ∑==n i i X D n X D 12)(1)(n2σ=),(~2n N X σμ∴随机变量的线性组合(4)),1,0(~N n X σμ− 且它们相互独立由t 分布的定义,)1(~1)1(22−−−−n t n S n nX σσμ)1(~−−n t n S X μ即22)1(σS n −~χ2(n −1)例：设(X 1,X 2,…,Xn )是取自总体X 的样本, 是样本均值,如果总体X ~N (μ,4),则样本容量n 应取多大才能使X 95.0}1.0|{|≥≤−μX P 解:)1,0(~ N n X σμ− }21.02||{}1.0|{|n n X P X P ≤−=≤−∴μμ}05.02)(05.0{n X n n P ≤−≤−=μ)05.0()05.0(n n −Φ−Φ=1)05.0(2−Φ=n ≥0.95975.0)05.0(≥Φ⇒n 96.105.0≥⇒n ⇒n ≥1536.64⇒n ≥1537解：),1(~)1(222−−n S n χσ由),,(~2nN X σμ又()⎪⎭⎫⎝⎛+−+n n N X X n 211,0~σ)1,0(~11N n n X X n +−+σ故212(1)~(1)1(1)n X Xn n St n n n σσ+⎛⎫−−−⎪+−⎝⎭于是)1(~11−+−+n t n nS X X n 即例：总体X ~N (μ,σ2)，(X 1,X 2,…,X n ,X n +1)为样本，，求X n+1−തX S n n+1的分布.S 2=1n −1i=1n(X i −തX)2തX=1n i=1nX i定理：设总体X ~N (μ1,σ12),总体Y ~N (μ2,σ22).X 1,X 2,...,是总体X 的样本,Y 1,Y 2,...,是总体Y 的样本, 且这两个样本相互独立.则1n X 2n Y 2. 两个正态总体的抽样分布(1)),(~22212121n n N Y X σσμμ+−−(2))1,1(~2122222121−−n n F S S σσ)2(~11)()(212121−++−−−n n t n n S Y X ωμμ其中2)1()1(212222112−+−+−=n n Sn S n S ω称为混合样本方差.进一步,若σ12=σ22 =σ2,有(3)),(~221221n n N Y X σσμμ+−− )1,0(~11)()(2121N n n Y X +−−−∴σμμ2211)1(σSn −~χ2(n1−1),2222)1(σSn −~χ2(n2−1)且它们相互独立22222211)1()1(Sn Sn −+−∴~χ2(n1+n 2−2)由t 分布的定义,2)1()1(11)()(21222222112121−+−+−+−−−n n Sn Sn n n Y X σσσμμ22221121112)1()1()()(n n n n Sn S n Y X +−+−+−−−−μμ即~t (n 1+n 2−2)~t (n 1+n 2−2)小结1.理解总体、个体、样本和统计量的概念,掌握样本均值和样本方差的计算及基本性质2.掌握 2分布、t分布、F分布的定义,会查表计算3.理解正态总体的某些统计量的分布。
三大分布及正态总体统计量的分布-精选文档
k=1 k=2
k=6
0.3
0.2 0.1 O 2 4
6
8
10
12
14
x
2
注：
2 （1） 可以证明， 分布具有可加性：即 2 2 若随机变量 1 和 2 相互独立，且 2 2 2 2 ~ k , ~ k , 1 1 2 2
则它们的和
（2） 上 分位数：对于不同自由度 k及 2 0 1 不同的数 ，定义 为自由度为 k 2 的 分布的上 分位数，如果其满足
定理2 设总体 X 服从 N, ，则统计量
14
2 N , ，则统计量 定理3 设总体 X 服从 1 n 2 2 2 满足 X i
i 1
i 1 2 定理4 设总体 X 服从 N, ，则
S 2 相互独立； （1）样本均值 X 与样本方差 2
n 1 S （2）统计量 2 满足 2 n 1 S 2 2 ~ n 1 2
F
例如： F 5 , 1 0 3 . 3 3 0 . 0 5
k k Fkk ,1 1 （2）可以证明，F 2 1 1 , 2
11
F 分布上 分位数
fF x
O
F
x
12
§5.5
正态总体统计量的分布
1.单个正态总体的统计量的分布
约定： 从总体 X 中抽取样本容量为 n 的样 ,X ,X 本X 1 2, n，样本均值与样本方差分别是
X k1 F Y k2
,k 服从自由度为 k1 , k 2 的 F 分布，记作F~Fk 1 2
其中 k 1 称为第一自由度； k 2 称为第二自由度。
概率论与数理统计公式大全2
随机变量的数字特征
切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率
的一种估计，它在理论上有重要意义。
（2）期望的
性质
（1） E(C)=C
（2） E(CX)=CE(X)
（3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，
（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X和Y独立；
充要条件：X和Y不相关。
（3）方差的
性质
（1） D(C)=0；E(C)=C
（2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X)
（3） D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b
（4） D(X)=E(X2)-E2(X)
（5）D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立；
充要条件：X和Y不相关。
D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。
而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。
（4）常见分布的期望和方差
期望方差
0-1分布p
二项分布np
泊松分布
几何分布
超几何分布
均匀分布
指数分布
正态分布
n 2n
t分布0 (n>2)
（5）二维随
机变量的数
期望
第六章样本及抽样分布
第七章参数估计
第八章假设检验
单正态总体均值和方差的假设检验。
正态总体统计量的分布
§5.5 正态总体统计量的分布1. 单个正态总体的统计量的分布从总体X 中抽取容量为n 的样本n X X X ,,,21 ，样本均值与样本方差分别是()212111,1∑∑==--==n i i n i i X X n S X n X . 定理1 设总体X 服从正态分布()2,σμN ，则样本均值X 服从正态分布⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nN 2,σμ,即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n N X 2,~σμ证 因为随机变量n X X X ,,,21 相互独立，并且与总体X 服从相同的正态分布()2,σμN ，所以由§4。
3中的定理知，它们的线性组合X 服从正态分布⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nN 2,σμ。
定理2 设总体X 服从正态分布()2,σμN ，则统计量nX u σμ-=服从标准正态分布()1,0N ，即()1,0~N nX u σμ-=由定理1结论的标准化即得到定理2. 定理3 设总体X 服从正态分布()2,σμN ,则统计量()∑=-=ni iX X12221σχ服从自由度为n 的2χ分布，即()()n X Xni i21222~1χσχ∑=-=证 注意到()2,~σμN X i ，则()n i N X i ,,2,1 ,1,0~ =-σμ又上述统计量相互独立，并按照2χ分布的定义可得结果。
定理4 设总体X 服从正态分布()2,σμN ，则 （1）样本均值X 与样本方差2S 相互独立； (2）统计量()2221σχS n -=服从自由度为1-n 的2χ分布，即()()1~12222--=n S n χσχ证明略。
定理5 设总体X 服从正态分布()2,σμN ，则统计量nSX t μ-=服从自由度为1-n 的t 分布，即()1~--=n t nSX t μ证 由定理2知，统计量()1,0~N nX u σμ-=又由定理4知，统计量()()1~12222--=n S n χσχ因为X 与2S 相互独立，所以u 与2χ也相互独立,于是根据t 分布的定义得结论。
5-4正态总体统计量的分布
2
2
(n 1)S 2
2
1
2
n
Xi
i1
__
X
2
__
X
~
N
, 2
n
u ~ N0,1
t ~ t(n 1) .
2 ~ 2(n)
2 ~ 2(n 1)
概率论与数理统计教程（第四版）
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§5.4 正态总体统计量的分布
两个正态总体X ~ N
1 ,12
,Y ~ N
2
,
2 2
统计量及其分布
__
(X
__
Y)
1 n1
n1 i1
Xi
1 n2
n2
Yj
~
N (1
2
,
2 1
j 1
n1
2 2
n2 )
(1 2 )
__ __
U ( X Y ) (1 2) ~ N (0,1) 1 n1 1 n2
n1 Xi 12 (n112 )
F
i1 n2
Yj 2
2
~ F (n1 , n2 )
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§5.4 正态总体统计量的分布
__
[定理5] 设总体 X ~ N , 2 ,则 t X ~ t(n 1) . Sn
说明:
__
u X ~ N 0,1,
n
2
(n 1)S 2
2
~
2 (n 1).
由于u与 2相互独立,统计量
__
t u X ~ t(n 1) . 2 n 1 S n
16
__
(2)如果未知 ,求( Xi X )2 100的概率.
正态总体参数的区间估计
, 0
2
2 ( 1 , ) 2
已知
≥0
2
2
2
2
2
( n 1)
( n 1)
]
正态总体均值和方差的假设检验 检 验 法
H H
0
1
检验统计量
自 由 度
拒绝域
| |
2
条件
0
≠ 0
> 0 < 0
=
x 0
μ
检 验
≤ 0
≥ 0
0
n
0
, 0
2
已知
0
| t | t
六大分布的期望和方差 分布 参数为 p 的 0~1 分布 离 散 型 分布率或概率密度 P{X=0}=q, P{X=1}=p; 0<p<1,q=1-p P{X=k}=C n p q k=0,1,…,n;0<p<1,q=1-p 泊松分布 X~P(λ ) P{X=k}=
e
k
期望
方差
p np λ
设 x 1 , x 2 , , x n 为来自正态总体 N ( , ) 的一个样本，则样本函数
2
t 分布
def
t
x s/ n
~ t ( n 1 ),
其中 t(n-1)表示自由度为 n-1 的 t 分布。
2
设 x 1 , x 2 , , x n 为来自正态总体 N ( , ) 的一个样本，则样本函数
n
μ = t=
(x )
(x ) s ( n 1) s
2
[x u [x t [
2
正态分布卡方分布t分布f分布的关系
正态分布卡方分布t分布f分布的关系正态分布、卡方分布、t分布和f分布都是常用的概率分布。
它们之间的关系密切，互相影响。
首先是正态分布，也叫高斯分布。
它是一种连续概率分布，具有单峰、对称和钟形曲线等特征。
正态分布有两个重要参数：均值μ和方差σ^2。
当μ=0，σ^2=1时，该分布被称为标准正态分布。
正态分布的应用非常广泛，在统计学、金融、自然科学等领域都有重要的应用。
接下来是卡方分布。
它是一种正态分布的特殊形式，是由n个独立随机变量的平方和构成的。
卡方分布通常用于假设检验和方差分析中。
t分布是由标准正态分布和卡方分布构成的，也是一种连续概率分布。
它在小样本情况下应用广泛，在统计学中常用于估计两组样本均值的差异和回归分析中。
最后是f分布，它是两个独立卡方分布的比值。
f分布在方差分析和回归分析中有重要应用。
四种分布之间的关系如下所示：首先，正态分布的均值和方差可以通过卡方分布、t分布和f分布进行推断和检验。
在假设检验中，我们可以使用t分布来计算样本均值之间的差异，使用f分布来检验方差之间的差异。
其次，t分布和f分布都是由卡方分布构成的。
在t分布中，随着自由度的增加，t分布趋向于正态分布。
而在f分布中，随着自由度的增加，f分布也趋向于正态分布。
此外，正态分布和t分布是密切相关的。
在统计学中，我们通常使用t统计量来检验两个样本均值是否显著不同。
当样本数量较小时，我们使用t分布进行推断，而当样本数量较大时，t分布趋向于正态分布。
最后，四种分布都有广泛应用。
在实际应用中，我们经常需要根据数据的特点来选择合适的分布，以便进行推断和检验。
正态分布,卡方分布,T分布
1。
设X1服从以自由度为m的卡方分布，X2服从以自由度为n的卡方分布，X1与X2独立，则F=（X1/m）/（X2/n）的分布就是自由度为m与n的F分布2。
设随机变量X1，X2独立且X1服从标准正态分布，X2服从以自由度为n的卡方分布，则t=X1/根号（X2/n）的分布就是自由度为n的t分布、在实际工作中，抽取足够多的样本容量进行调查意味着人力、物力和财力的增加，尤其对一些具有破坏性的试验来说也不宜抽取太多的样本容量。
也就是说，对于大样本进行观察受到某些条件的限制。
这里主要讨论t分布、>2分布和F分布。
一、t-分布关于t 分布的早期理论工作，是英国统计学家威廉?西利?戈塞特（WillamSealy Gosset）在1900年进行的。
t分布是小样本分布，小样本分布一般是指n<30。
t分布适用于当总体标准差R未知时用样本标准差s代替总体标准差R，由样本平均数推断总体平均数以及2个小样本之间差异的显著性检验等。
从平均值为L、方差为R2的正态总体中抽取容量为n的一个样本，其样本平均数服从平均值为L，方差为R2/n的正态分布，因此，。
但是总体方差R2总是未知的，从而只能用s2来代替，（1）如果n很大，那么，s2就是R2的一个较好的估计量，仍然是一个近似的标准正态分布；（2）如果n较小，s2常常与R2的差异较大，因此，统计量就不再是一个标准正态分布，而是服从t分布。
（一）t分布的性质1、t分布是对称分布，且其均值为0。
2、当样本容量n较小时，t分布的方差大于1；当n增大到大于或等于30时，t分布的方差就趋近于1，t分布也就趋近于标准正态分布。
3、t分布是一个分布族，对于不同的样本容量都对应不同的分布，且其均值都为0。
4、与标准正态分布相比，t分布的中心部分较低，2个尾部较高。
5、变量t的取值范围在与之间。
t分布与标准正态分布的比较（二）t分布的自由度样本中独立观察值的个数（即样本容量）n减去1（由于样本要估计的总体参数的个数为1，即R2）。
四大分布简述-心理统计
四大分布简述一、正态分布1. 概述正态分布又名常态分布。
高斯在研究误差理论时曾用它来刻画误差，故很多文献中亦称之为高斯分布。
正态分布是概率论中最重要的分布，并有极其广泛的实际背景，很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。
统计学中的三大分布（2χ分布、t分布和F分布）均是由它导出的。
2. 定义如果随机变量X的概率密度为()222(),xμσφx x--=-∞<<+∞则称X服从正态分布，记作2~(,)X Nμσ，其中，μ为随机变量X的数学期望，σ为随机变量X的标准差。
特别地，当0μ=，1σ=时，有22(),xφx x-=-∞<<+∞相应的正态分布(0,1)N称为标准正态分布。
标准正态分布的重要性在于，任何一个普通的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布。
标准化过程为若2~(,)X Nμσ，则(0,1)XμZ~Nσ-=。
3. 性质和特点1)正态分布的概率密度函数的图像为钟形，关于xμ=对称。
2)标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。
σ越小，曲线越高狭；σ越大，曲线越低阔。
3)普遍性：一个变量如果收到大量的独立因素的影响（无主导因素），则它一般服从正态分布。
4. 应用1) 估计频数分布。
2) 制定参考值范围。
3) 质量控制：3σ准则。
4) 二项分布、t 分布等的正态近似计算。
5) 正态分布是许多统计方法的理论基础。
检验、方差分析、相关和回归分析等多种统计方法均要求分析的指标服从正态分布。
二、2χ分布1. 概述2χ分布是由海尔默特（Hermert ）和皮尔逊（Pearson ）分别于1875年和1900年推导出来的。
2. 定义设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且()1,2,,=i X i n 服从标准正态分布(0,1)N ，则它们的平方和21=∑n i i X 服从自由度为n 的2χ分布，记作2()χn 。
3. 性质和特点1) 2χ分布的密度函数在第一象限内呈正偏态（右偏态）。
三大分布及正态总体统计量的分布
泊松分布在统计学中的应用
01
在计数数据分析和可靠性工程中，泊松分布在预测和解释随机 事件发生的频率方面非常有用。
02
在生物统计学中，泊松分布用于描述遗传变异和基因突变的频
率。
在物理学中，泊松分布用于描述放射性衰变和粒子碰撞的次数。
03
泊松分布的参数
λ
事件的平均发生率，决定了泊 松分布的形状和规模。
p
每次试验成功的概率，是一 个0到1之间的实数。
k
成功的次数，是一个0到n之 间的非负整数。
04
正态总体统计量的分布
样本均值的分布
1
样本均值是总体均值的无偏估计，其分布近似于 正态分布，当样本量足够大时，样本均值的分布具有对称性，即均值点是其对称 轴，标准差越小，分布越集中，对称性越好。
3
样本均值的标准误是衡量样本均值与总体均值差 异的指标，其计算公式为标准差除以样本量的平 方根。
样本方差的分布
01
样本方差是总体方差的估计量，其分布并不服从正 态分布，而是卡方分布。
02
样本方差的大小与样本量有关，样本量越大，方差 越小；样本量越小，方差越大。
03
样本方差的自由度等于样本量减去1。
二项分布在统计学中的应用
01
可靠性分析
在可靠性工程中，二项分布用于 描述产品在多次试验中失败的次 数。
遗传学
02
03
统计学
在遗传学中，二项分布用于描述 在n次独立重复的遗传试验中某 基因出现的次数。
在统计学中，二项分布用于描述 在n次独立重复的伯努利试验中 成功的次数。
二项分布的参数
n
试验次数，是一个非负整数 。
正态分布的性质
四个分布：正态分布卡方分布F分布T分布
四个分布：正态分布卡⽅分布F分布T分布正态分布：正态分布（Normal distribution）⼜名⾼斯分布（Gaussiandistribution），若随机变量X服从⼀个数学期望为µ、⽅差为σ^2的⾼斯分布，记为N(µ，σ^2)。
其概率密度函数为正态分布的期望值µ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
我们通常所说的标准正态分布是µ = 0,σ= 1的正态分布。
当µ=0，σ=1时，正态分布就成为标准正态分布N（0，1)。
概率密度函数为：正态分布的密度函数的特点是：关于µ对称，并在µ处取最⼤值，在正（负）⽆穷远处取值为0，在µ±σ处有拐点，形状呈现中间⾼两边低，图像是⼀条位于x轴上⽅的钟形曲线。
卡⽅分布：若n个相互独⽴的随机变量ξ₁、ξ₂、……、ξn ，均服从标准正态分布N（0,1）（也称独⽴同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平⽅和构成⼀新的随机变量，其分布规律称为分布（chi-squaredistribution）。
其中参数n称为⾃由度（通俗讲，样本中独⽴或能⾃由变化的⾃变量的个数，称为⾃由度），正如正态分布中均值或⽅差不同就是另⼀个正态分布⼀样，⾃由度不同就是另⼀个分布。
记为。
分布的均值为⾃由度 n，记为 E( ) = n；分布的⽅差为2倍的⾃由度(2n)，记为 D( ) = 2n。
从卡⽅分布图可以看出：卡⽅分布在第⼀象限内，卡⽅值都是正值，呈正偏态（右偏态），随着参数 n 的增⼤；卡⽅分布趋近于正态分布；随着⾃由度n的增⼤，卡⽅分布向正⽆穷⽅向延伸（因为均值n越来越⼤），分布曲线也越来越低阔（因为⽅差2n越来越⼤）。
t分布：⾸先要提⼀句u分布，正态分布（normal distribution）是许多统计⽅法的理论基础。
正态分布的两个参数µ和σ决定了正态分布的位置和形态。
正态分布卡方分布t分布f分布的特点
正态分布卡方分布t分布f分布的特点正态分布（Normal Distribution）是统计学中最重要的概率分布之一，也是最常见的概率分布之一。
它的形状类似于一个钟形曲线，两头低，中间高，呈对称分布。
正态分布具有许多独特的特点，其中一些特点包括对称性、峰度和偏度的性质、标准正态分布等。
首先，正态分布的最重要特点之一是它的对称性。
这意味着分布的左侧和右侧是镜像对称的。
换句话说，正态分布的均值（mean）、中位数（median）和众数（mode）是相等的，这是它对称性的一个基本特征。
这也意味着在正态分布中，随机变量的概率密度在均值处达到最大值，并且向两侧逐渐减小，形成了典型的钟形曲线。
其次，正态分布具有一个重要的特点是其峰度（kurtosis）和偏度（skewness）的性质。
峰度描述了分布曲线的尖锐程度，它是描述分布形态的重要指标之一。
正态分布的峰度为3，这意味着它的尖峰程度与标准正态分布相当。
偏度则描述了分布曲线的偏斜程度，正态分布的偏度为0，这意味着它是对称的。
这些特点使得正态分布在统计学中有着广泛的应用，特别是在假设检验和统计推断中被广泛使用。
另外，正态分布还有一个重要的特点是标准正态分布。
标准正态分布是均值为0，标准差为1的正态分布。
它是统计学中非常重要的一种分布，因为许多统计量都服从于标准正态分布，比如t值、z值等。
正态分布的重要性在于中心极限定理，它指出了当随机变量的数量足够大时，它们的总和或者平均值会接近于正态分布，这使得正态分布在实际问题中有着广泛的应用。
除了正态分布外，卡方分布（Chi-square Distribution）也是统计学中重要的概率分布之一。
卡方分布是以卡方统计量为基础的分布，它在统计学中有着重要的应用。
卡方分布的特点包括其形状、参数和性质等。
首先，卡方分布的形状是非对称的。
它是一个正偏分布，即分布的右侧长尾较长，左侧短尾较短。
这与正态分布的对称性形成了鲜明的对比。
2.4正态总体分布
数
学
情
景二
从某中学男生中随机抽取出84名，测量身高， 数据如下（单位：cm) :
164 181 170 168 159 185 169 164 179 156 175 155 169 169 180 164 182 168 161 182 170 178 174 159 154 172 167 173 160 182 163 164 164 174 173 163 165 166 175 168 161 176 167 170 167 172 172 169 161 174 181 171 171 168 171 161 169 177 177 181 176 174 170 185 178 175 173 175 167 172 172 174 157 162 161 165 168 178 174 171 172 174 172 155
(3) f ( x) 的图象关于
（1）当x = μ 时,函数值为最大.
X=μ σ
x =μ
对称.
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
（－∞，μ] 时f ( x)为增函数. （4）当 x∈ （μ，+∞） 时f ( x)为减函数. 当 x∈
正态曲线
正态曲线的性质
σ＝0.5
(1)曲线在x轴上方,与x轴不相交.
a
b
产品 尺寸 （mm）
知识点二：正态分布与密度曲线
上图中总体密度曲线具有“中间高，两头 低”的特征，像这种类型的概率密度曲线,叫 做“正态密度曲线”，它的函数表达式是
1 f ( x) e 2 ( x )2 2 2
, x (,)
( 0)是参数,分别表示总体的 式中的实数 、 平均数与标准差.其分布叫做正态分布,由参数 , 唯 2 一确定.正态分布常记作 N ( , ) .它的图象被称 为正态曲线.
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《概率论与数理统计》第六章样本及抽样分布
（2）正态总体下的四大分布：正态分布
设n x x x ,,,21 为来自正态总体),(2
σ
μN 的一个样本，则样本函数
).
1,0(~/N n
x u
def
σμ
-例：设总体ξ～2
12(1,2
),,,n N ξξξ 且是取自ξ的样本，则（
D ）
A)
1(0,1)
2
N ξ-B)
1(0,1)
4N ξ-C)
(
)
1(0,1)
2
N ξ-D
)
(0,1)
N ξt 分布
设n x x x ,,,21 为来自正态总体),(2
σ
μN 的一个样本，则样本函数),
1(~/--n t n
s x t
def
μ其中t(n-1)表示自由度为n-1的t 分布。
分布
2χ设n x x x ,,,21 为来自正态总体),(2
σ
μN 的一个样本，则样本函数
),
1(~)1(22
2
--n S n w
def
χσ其中)1(2
-n χ
表示自由度为n-1的2χ
分布
例:已知F 0.1(7,20)=2.04,则F 0.9(20,7)=_______0.4902_____.
例.对于给定的正数α，10<<α
，设αu ，)(2
n α
χ，)(n t α，),(21n n F α分别是)1,0(N ，)(2n χ，)(n t ，),(21n n F 分布的下α
分位数，则下面结论中不正确．．．
的是（B ）
（A）α
α
--=1u u （B）)
()
(2
2
1n n ααχχ-=-（C）)
()(1n t n t αα--=（D）)
,(1
)
,(12211n n F αα=
-2、设X 、Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则Z =
2
Y X 服从______t(1)_____分布(同时要写出
分
布的参数).
3.设ξ和η相互独立且都服从N(0,4)，而41,ξξ 和41,ηη 分别是来自总体ξ和η的样本，则统计量2
4
2
141......ηηξξ++++=
U 服从的分布为
)
4(t 。