平均变化率与导数(1)
变化率简介
变化率简介变化率是学习导数的前提，它在描述各种变化规律的过程中起着非常重要的作用，速度和加速度就是两个典型例子.新教材人教A 版中，对于变化率主要从以下两个方面介绍：1、平均变化率；2、瞬时变化率.一、平均变化率函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆或（00[,]x x x +∆）上的平均变化率是商yx∆∆，其中x ∆是自变量x 在0x 处的改变量，可正可负，但不能为0，y ∆是函数值相应的改变量，即00()()y f x x f x ∆=+∆-（y ∆为正、负、零均可）所以00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，下面通过举例来进一步加深对概念的理解。
例1、求332-=x y 在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率.解：当自变量从0x 到x x ∆+0之间变化时，函数的平均变化率为：x f∆∆=∆-∆+=x x f x x f )()(00xx x x ∆---∆+=]33[]3)(3[2020 x x xx x x ∆+=∆∆+∆⋅=36)(3602评注：此类题目只需要紧扣定义式，注意运算过程就可以了. 评注：⑴函数平均变化率的求法可分两步：①求y ∆；②求yx∆∆.⑵不论0x 、x ∆中的哪一个变化，都会引起函数平均变化率的变化。
拓展：函数()y f x =的平均变化率的几何意义为其图象上割线的斜率。
即：函数()y f x =的图象为曲线C ，曲线C 上有一点00(,)P x y 及邻近一点00(,)Q x x y y +∆+∆，则割线PQ 的斜率0000y y y yk x x x x+∆-∆==+∆-∆。
利用平均变化率的几何意义，可解决一些实际问题，举例如下：例2、某电视机厂有甲、乙两条生产流水线，产量S （单位：台）与时间t （单位：天）的关系如图所示，问：（1）0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量哪个大？（2）在接近0t 天时，甲、乙两条生产线谁的日产量大？0,)x y y ∆+∆解析：（1） 0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量，即函数1()S f t =与2()S f t =在0[0,]t 内的平均变化率，其都为直线OA 的斜率，所以0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量相同。
变化率与导数
变化率与导数、导数的运算课前双击巩固1.变化率与导数 (1)平均变化率: 概念 对于函数y=f (x ),f(x 2)-f(x 1)x 2-x 1=Δy Δx 叫作函数y=f (x )从x 1到x 2的 变化率几何 意义 函数y=f (x )图像上两点(x 1,f (x 1)),(x 2,f (x 2))连线的物理 意义 若函数y=f (x )表示变速运动的质点的运动方程,则ΔyΔx 就是该质点在[x 1,x 2]上的 速度(2)导数:概念点x 0处 limΔx→0ΔyΔx =limΔx→0f(x 0+Δx)−f(x 0)Δx,我们称它为函数y=f (x )在 处的导数,记为f'(x 0)或y'|x=x 0,即f'(x 0)=limΔx→0ΔyΔx= lim Δx→0f(x 0+Δx)−f(x 0)Δx区间 (a ,b )当x ∈(a ,b )时,f'(x )=lim Δx→0ΔyΔx =lim Δx→0 叫作函数在区间(a ,b )内的导数几何 意义 函数y=f (x )在点x=x 0处的导数f'(x 0)就是函数图像在该点处切线的 .曲线y=f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程是物理 意义 函数y=f (x )表示变速运动的质点的运动方程,则函数在x=x 0处的导数就是质点在x=x时的 速度,在(a ,b )内的导数就是质点在(a ,b )内的 方程2.导数的运算 常用 导数 公式原函数导函数特例或推广常数函数 C'=0(C 为常数)幂函数(x n)'= (n ∈Z )1x'=-1x 2三角函数(sin x)'=,(cos x)'=偶(奇)函数的导数是奇(偶)函数,周期函数的导数是周期函数指数函数(a x)'=(a>0且a≠1) (e x)'=e x对数函数(log a x)'=(a>0且a≠1)(ln x)'=1x,(ln|x|)'=1x四则运算法则加减[f(x)±g(x)]'=(∑i=1nf i(x))'=∑i=1nf'i(x)乘法[f(x)·g(x)]'=[Cf(x)]'=Cf'(x) 除法f(x)g(x)'=(g(x)≠0)1g(x)'=-g′(x)[g(x)]2复合函数导数复合函数y=f[g(x)]的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数之间具有关系y'x=,这个关系用语言表达就是“y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积”题组一常识题1.[教材改编]向气球中充入空气,当气球中空气的体积V(单位:L)从1 L增加到2 L时,气球半径r(单位:dm)的平均变化率约为.2.[教材改编]已知将1吨水净化到纯净度为x %时所需费用(单位:元)为c(x)=5284100−x(80<x<100),当净化到纯净度为98 %时费用的瞬时变化率为.3.[教材改编] y=sin(πx+φ)的导数是y'=.4.[教材改编]曲线y=xe x-1在点(1,1)处切线的斜率等于.题组二常错题◆索引:平均变化率与导数的区别;求导时不能掌握复合函数的求导法则致错;混淆f'(x 0)与[f (x 0)]',f'(ax+b )与[f (ax+b )]'的区别.5.函数f (x )=x 2在区间[1,2]上的平均变化率为 ,在x=2处的导数为 .6.已知函数y=sin 2x ,则y'= .7.已知f (x )=x 2+3xf'(2),则f (2)= .8.已知f (x )=x 3,则f'(2x+3)= ,[f (2x+3)]'= .课堂考点探究探究点一 导数的运算1(1)函数f (x )的导函数为f'(x ),且满足关系式f (x )=x 2+3xf'(2)-ln x ,则f'(2)的值为( )A.74 B.-74 C.94 D.-94(2)已知f (x )=-sin x2(1−2cos 2x4),则f'(π3)= .[总结反思] (1)对于复杂函数的求导,首先应利用代数、三角恒等变换等变形规则对函数解析式进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错.(2)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,不要与求导的乘法公式混淆. 式题 (1)函数y=sinx x 的导数为y'= .(2)已知f (x )=(x+1)(x+2)(x+a ),若f'(-1)=2,则f'(1)= . 探究点二 导数的几何意义考向1 求切线方程2 函数f (x )=e x·sin x 的图像在点(0,f (0))处的切线方程是 .[总结反思] (1)曲线y=f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程为y-f (x 0)=f'(x 0)(x-x 0);(2)求解曲线切线问题的关键是求切点的横坐标,在使用切点横坐标求切线方程时应注意其取值范围;(3)注意过某点的切线和曲线上某点处的切线的区别. 考向2 求切点坐标3设a∈R,函数f(x)=e x+a·e-x的导函数是f'(x),且f'(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为( )A.ln 2B.-ln 2C.ln22 D.-ln22[总结反思] f'(x)=k(k为切线斜率)的解即为切点的横坐标.考向3求参数的值4已知曲线C在动点P(a,a2+2a)与动点Q(b,b2+2b)(a<b<0)处的切线互相垂直,则b-a的最小值为( )A.1B.2C.√2D.-√2[总结反思](1)利用导数的几何意义求参数的基本方法:利用切点的坐标、切线的斜率、切线方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.(2)注意:①曲线上横坐标的取值范围;②切点既在切线上又在曲线上.强化演练1.【考向1】已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为( )A.x+y-1=0B.x-y-1=0C.x+y+1=0D.x-y+1=02.【考向3】直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值等于( )A.2B.-1C.1D.-23.【考向2】已知在平面直角坐标系中,f(x)=aln x+x的图像在x=a处的切线过原点,则a=( )A.1B.eC.1eD.04.【考向2】若曲线y=xln x在点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是.5.【考向1】函数f(x)=xe x的图像在点P(1,e)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为.。
2019版数学(理)高分计划一轮高分讲义：第2章 函数、导数及其应用 2.10 导数的概念及运算
2．10导数的概念及运算［知识梳理]1．变化率与导数（1）平均变化率(2）导数2．导数的运算[诊断自测] 1．概念思辨(1)f ′(x 0）与（f （x 0））′表示的意义相同．( )（2)f ′(x 0)是函数y ＝f （x ）在x ＝x 0附近的平均变化率．（ ) （3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．（ ) （4）曲线y ＝f （x )在点P (x 0，y 0)处的切线与过点P （x 0,y 0)的切线相同．（ ）答案 （1）× （2)× (3）× （4）×2．教材衍化(1）（选修A2－2P 6例1)若函数f (x ）＝2x 2－1的图象上一点（1，1)及邻近一点（1＋Δx,1＋Δy ），则Δy Δx 等于（ ）A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2（Δx ）2答案 C解析 Δy ＝(1＋Δy )－1＝f (1＋Δx ）－f (1）＝2(1＋Δx )2－1－1＝2（Δx )2＋4Δx ，∴错误!＝2Δx ＋4，故选C.（2）（选修A2－2P 18T 7）f （x ）＝cos x 在错误!处的切线的倾斜角为________． 答案错误!解析 f ′（x )＝（cos x )′＝－sin x ，f ′错误!＝－1， tan α＝－1，所以α＝3π4. 3．小题热身（1)（2014·全国卷Ⅱ)设曲线y＝ax－ln (x＋1）在点（0,0）处的切线方程为y＝2x,则a＝（）A．0 B．1 C．2 D．3答案D解析y′＝a－错误!,当x＝0时，y′＝a－1＝2，∴a＝3，故选D.(2）（2017·太原模拟）函数f(x）＝x e x的图象在点(1，f（1))处的切线方程是________．答案y＝2e x－e解析∵f(x)＝x e x,∴f(1)＝e,f′（x)＝e x＋x e x，∴f′（1)＝2e，∴f(x）的图象在点(1，f（1))处的切线方程为y －e＝2e(x－1),即y＝2e x－e.题型1导数的定义及应用错误!已知函数f(x)＝错误!＋1，则错误!错误!的值为（）A．－错误! B.错误! C.错误!D．0用定义法．答案A解析由导数定义，错误!错误!＝－错误!错误!＝－f′(1),而f′（1)＝错误!，故选A。
高中数学变化率问题导数的概念(老师版)
变化率的“视觉化”， %越大，曲线y = f(x)在区间［X 1, X 2］上越“陡峭”，反之亦然 平均变化率的几何意义是函数曲线上过两点的割线的斜率，若函数 则fx2― fx1X 2 — X 1知识点二瞬时速度与瞬时变化率 把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s = s(t)描述，设 A 为时间改变量，在t o + A t 这段时间内，物体的位移 (即位置)改变量是A s = s(t o ^ At) — s(t 0)，那么位移改变量 A s 与时间改变量A t 的比就是这段时间内物体的平均速度s s t o + A t — s t oV ，即 V = A t = A t1.1.1 变化率问题1.1.2导数的概念［学习目标］1•理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念 .2.掌握函数平均变化率的求法 3掌握导数的概念，会用导 数的定义求简单函数在某点处的导数 . 知识梳理自主学习知识点一函数的平均变化率 1•平均变化率的概念 设函数y = f(x), X 1, X 2是其定义域内不同的两个点，那么函数的变化率可用式子f X2 — f X1我们把这个式子称 X 2 — X 1 为函数y = f(x)从X 1到X 2的平均变化率，习惯上用 A x 表示X 2 — X 1，即A x = X 2— X 1，可把A x 看作是相对于X 1的一个 “增量”，可用 X 1+ A x 代替X 2；类似地，A y = f(X 2)— f(X 1).于是，平均变化率可以表示为A y A2•求平均变化率 求函数y = f(x)在［*, x 2］上平均变化率的步骤如下: (1)求自变量的增量 A x = X 2— X 1 ； ⑵求函数值的增量 A y = f(x 2)- f(x 1); ⑶求平均变化率A x X 2 — X 1 A y f X 2 — f X 1 f X 1 + A x — f X 1 A x 思考 (1)如何正确理解 A x , A y? (2)平均变化率的几何意义是什么？ 答案(1) A 是一个整体符号，而不是 △与X 相乘，其值可取正值、负值，但 时0 ；A y 也是一个整体符号，若 A x=X 1 — x 2，贝U A y = f(X 1)— f(X 2)，而不是 A y = f(X 2)— f(X 1), A y 可为正数、负数，亦可取零(2)如图所示: y = f(x)在区间［X 1, X 2］上的平均变化率 “数量化”，曲线陡峭程度是平均 y = f(x)图象上有两点 A(X 1, f(X 1)) , B(X 2, f(X 2)),物理学里，我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻 t o 的速度，即t o 时刻的瞬时速度，用 v 表示，物体在t o 时刻的瞬时速度 v 就是运动物体在t o 到t o +A t 这段时间内的平均变化率 s+弓+_在A t T 0时的极限，即v = limA ss t o + A t — s t o 一 一△t = ym o 石 •瞬时速度就是位移函数对时间的瞬时变化率 .思考(1)瞬时变化率的实质是什么？(2)平均速度与瞬时速度的区别与联系是什么？ 答案⑴其实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于 o 时的值，它是刻画函数值在某处变化的快慢 •⑵①区别：平均变化率刻画函数值在区间［X 1, X 2］上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在 x o 点处变化的快慢；②联系：当A X 趋于o 时，平均变化率A y 趋于一个常数，这个常数即为函数在 x o 处的瞬时变化率，它是一个固定值 • 知识点三导数的概念函数y = f(x)在x = x o 处的导数一般地，函数y = f(x)在x = xo 处的瞬时变化率是 |im o 多=妁。
变化率与导数
导数的概念
一般地, 函数 y＝f(x) 在点x＝x0处的瞬时变 化率是
f ( x0 + Dx ) f ( x 0 ) Dy lim lim Dx 0 D x Dx 0 Dx
我们称它为函数 y ＝ f (x)在点x＝x0处的导数， 记为 f '(x0)或 y'| x＝x0 ,即
f ( x0 + Dx ) f ( x0 ) Dy f ( x0 ) lim lim Dx 0 Dx Dx 0 Dx
Dx 0
曲线在点(x0 , f(x0))处的切线的方程为： y－f (x0) ＝ f '(x0)(x－x0)
例2 求曲线y＝f(x)＝x2＋1在点P(1,2)处的 切线方程.
解：
y
△y
因此,切线方程为
y－2＝2(x－1),
P △x
即 y ＝ 2x.
O
1
x
【总结提升】 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出切点P的坐标；
变化率与导数
平均变化率
我们把式子
f ( x2 ) f ( x1 ) 称为函数 x2 x1
y＝f (x)从x1到 x2的平均变化率.
令△x ＝ x2－x1 , △ y ＝ f (x2) －f (x1) ,则
△y f ( x 2 ) f ( x1 ) ＝ △x x 2 x1
平均变化率
例题分析
例2 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各 种不同产品, 需要对原油进冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位: oC) 为 f(x)＝x2－7x＋15 (0≤x≤8). 计算第2h 与低6h时原油温度的瞬时变化 率，并说明它们的意义。
解:
高中数学变化率问题、导数精选题目(附答案)
高中数学变化率问题、导数精选题目（附答案）(1)函数的平均变化率对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1和x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子f(x2)－f(x1)x2－x1称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1)．于是，平均变化率可表示为Δy Δx.(2)瞬时速度①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．②若物体运动的路程与时间的关系式是S＝f(t)，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率f(t0＋Δt)－f(t0)Δt趋近于常数，我们就把这个常数叫做物体在t0时刻的瞬时速度．(3)导数的定义一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是：lim Δx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(4)导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝f′(x0)＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(5)导函数从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数．这样，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′.即f′(x)＝y′＝lim Δx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.1．已知函数f (x )＝3x 2＋5，求f (x )： (1)从0.1到0.2的平均变化率； (2)在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率．2．已知函数f (x )＝x ＋1x ，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．3．若一物体的运动方程为S ＝⎩⎨⎧29＋3(t －3)2，0≤t <3，3t 2＋2，t ≥3，(路程单位：m ，时间单位：S )．求：(1)物体在t ＝3 S 到t ＝5 S 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 S 时的瞬时速度．求瞬时速度的步骤(1)求物体运动路程与时间的关系S ＝S (t )；(2)求时间改变量Δt ，位移改变量ΔS ＝S (t 0＋Δt )－S (t 0)； (3)求平均速度Δs Δt； (4)求瞬时速度v ＝lim Δt →0Δs Δt. 4．一质点按规律S (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：S )，若该质点在t ＝2 S 时的瞬时速度为8 m/S ，求常数a 的值．[思考] 任何一个函数在定义域中的某点处均有导数吗？函数f (x )＝|x |在x ＝0处是否存在导数？解：不一定，f (x )＝|x |在x ＝0处不存在导数．因为Δy Δx ＝f (0＋Δx )－f (0)Δx ＝|Δx |Δx ＝⎩⎨⎧1，Δx >0，－1，Δx <0，所以当Δx →0时，Δy Δx 的极限不存在，从而在x ＝0处的导数不存在．5．利用导数的定义求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的三个步骤简称：一差、二比、三极限．6．利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．7．已知曲线y＝x2，(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程．利用导数的几何意义求切线方程的方法(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．8．已知曲线y＝2x2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)曲线过点P(3,9)的切线方程．9．若曲线y＝x3－3x2＋1在点P处的切线平行于直线y＝9x－1，求P点坐标及切线方程．10．已知抛物线y＝2x2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?11．(1)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是下图中的()(2)已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()12．如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的()参考答案：1.解：(1)因为f(x)＝3x2＋5，所以从0.1到0.2的平均变化率为3×0.22＋5－3×0.12－50.2－0.1＝0.9.(2)f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x20＋5)＝3x20＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x20－5＝6x0Δx＋3(Δx)2.函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为6x0Δx＋3(Δx)2Δx＝6x0＋3Δx.(1)求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1.第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)．第三步，求平均变化率ΔyΔx＝f(x2)－f(x1)x2－x1.(2)求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率，可用f(x0＋Δx)－f(x0)Δx的形式．2.解：自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为f(2)－f(1) 2－1＝2＋12－(1＋1)1＝12；自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为f(5)－f(3)5－3＝5＋15－⎝⎛⎭⎪⎫3＋132＝14 15.因为12<14 15，所以函数f(x)＝x＋1x在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．3.[尝试解答](1)因为ΔS＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48，Δt＝2，所以物体在t＝3 S到t＝5 S这段时间内的平均速度为ΔsΔt＝482＝24(m/S)．(2)因为ΔS＝29＋3[(1＋Δt)－3]2－29－3×(1－3)2＝3(Δt)2－12Δt，所以Δs Δt＝3(Δt)2－12ΔtΔt＝3Δt－12，则物体在t＝1 S时的瞬时速度为S′(1)＝limΔx→0ΔsΔt＝limΔx→0(3Δt－12)＝－12(m/S)．4.解：因为ΔS＝S(2＋Δt)－S(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以Δs Δt ＝4a ＋a Δt ，故在t ＝2S 时，瞬时速度为S ′(2)＝lim Δx →0 Δs Δt＝4a (m/S )． 由题意知，4a ＝8，所以a ＝2.5.解： Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1)＝3(Δx )2＋4Δx ， ∵Δy Δx ＝3(Δx )2＋4ΔxΔx ＝3Δx ＋4，∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δt →0(3Δx ＋4)＝4. 6.解：由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数f ′(2)＝lim Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2)＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0 －(Δx )2－ΔxΔx ＝li m Δx →0 (－Δx －1)＝－1. 7.解： (1)设切点为(x 0，y 0)， ∵y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2－x 20Δx＝lim Δx →0 x 20＋2x 0·Δx ＋(Δx )2－x 2Δx＝2x 0， ∴y ′|x ＝1＝2.∴曲线在点P (1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)， 即y ＝2x －1.(2)点P (3,5)不在曲线y ＝x 2上，设切点为(x 0，y 0)， 由(1)知，y ′|x ＝x 0＝2x 0， ∴切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，由P (3,5)在所求直线上得5－y 0＝2x 0(3－x 0)，① 再由A (x 0，y 0)在曲线y ＝x 2上得y 0＝x 20，② 联立①，②得x 0＝1或x 0＝5.从而切点为(1,1)时，切线的斜率为k 1＝2x 0＝2， 此时切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1， 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k 2＝2x 0＝10， 此时切线方程为y －25＝10(x －5)，即y ＝10x －25.综上所述，过点P (3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程为y ＝2x －1或y ＝10x－25.8.解：y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0[2(x＋Δx)2－7]－(2x2－7)Δx＝limΔx→0(4x＋2Δx)＝4x.(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，∴切点坐标为(1，－5)．(2)由于点P(3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．将P(3,9)及y0＝2x20－7代入上式，得9－(2x20－7)＝4x0(3－x0)．解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.9.解：设P点坐标为(x0，y0)，Δy Δx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝(x0＋Δx)3－3(x0＋Δx)2＋1－x30＋3x20－1Δx＝(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x20－6x0.所以f′(x0)＝limΔx→0[(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x20－6x0]＝3x20－6x0，于是3x20－6x0＝9，解得x0＝3或x0＝－1，因此，点P的坐标为(3,1)或(－1，－3)．又切线斜率为9，所以曲线在点P处的切线方程为y＝9(x－3)＋1或y＝9(x ＋1)－3，即y＝9x－26或y＝9x＋6.10.解：设点的坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.∴ΔyΔx＝4x0＋2Δx.当Δx无限趋近于零时，ΔyΔx无限趋近于4x0.即f′(x0)＝4x0.(1)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴斜率为4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．(2)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，∴斜率为8，即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9).11.解：(1)由导数的几何意义知导函数递增说明函数切线斜率随x增大而变大，因此应选A.(2)从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排除B、C.再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y＝f(x)的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A.12.解析：选D函数的定义域为(0，＋∞)，当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越大，即斜率f′(x)在[0,2]内越来越大，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；当x∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越小，即斜率f′(x)在(2,3)内越来越小，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线．。
第5章5.15.1.1 平均变化率-2024-2025学年新教材数学苏教版选择性必修第一册同步课件
5.1.1 平均变化率
1
2
3
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
1.思考辨析 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于函数 y＝f (x)，当 x 从 x1 变为 x2 时，x2－x1 一定大于 0．
()
(2)对于函数 y＝f (x)，当 x 从 x1 变为 x2 时，函数值的变化量为 f (x2)
5.1.1 平均变化率
1
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
类型 2 实际问题中的平均变化率 【例 2】 (1)圆的半径 r 从 0.1 变化到 0.3 时，圆的面积 S 的平均 变化率为________．
(1)0.4π [∵S＝πr2，∴圆的半径 r 从 0.1 变化到 0.3 时， 圆的面积 S 的平均变化率为S(00.3.3)－－S0(.10.1)＝π×0.320－.2π×0.12＝ 0.4π.]
5.1.1 平均变化率
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03
学习效果·课堂评估夯基础
5.1.1 平均变化率
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
1．函数 f (x)＝x2＋c(c∈R)区间1，3上的平均变化率为( )
5.1.1 平均变化率
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高中数学第2章导数及其应用1平均变化率与瞬时变化率1-1平均变化率1-2瞬时变化率北师大版选择性必修
对点训练❷ 一辆汽车按规律s＝2t2＋3做直线运动，求这辆 汽车在t＝2时的瞬时速度．(时间单位：s，位移单位：m)
[解析] 设这辆汽车在 t＝2 附近的时间改变量为 Δt，则位移的改变 量 Δs＝[2(2＋Δt)2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt＋2(Δt)2，则ΔΔst＝8＋2Δt.当 Δt 趋 于 0 时，平均变化率ΔΔst趋于 8.
第二章 导数及其应用
§1 平均变化率与瞬时变化率 1．1 平均变化率 1．2 瞬时变化率
素养目标•定方向 必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基
素养目标•定方向
1．理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念． 2．会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度． 3．会求函数在某点附近的平均变化率．
练一练： 1．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是( B )
A．1 C．2
[解析]
B．－1 D．－2 ΔΔxy＝f33－－f11＝1－2 3＝－1.
2．一质点的运动方程是s＝5－3t2，则在一段时间[1,1＋Δt]内相应的
平均速度为( D )
A．3Δt＋6
B．－3Δt＋6
C．3Δt－6
[规律方法] 求函数平均变化率的步骤 (1)求自变量的改变量 Δx＝x2－x1. (2)求函数值的改变量 Δy＝f(x2)－f(x1)． (3)求平均变化率ΔΔxy＝fxx22－ －fx1x1.
对点训练❶ 球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率
28π 为___3___.
[解析]
因为 Δy＝43π×23－43π×13＝283π，
28π 所以ΔΔyx＝2－3 1＝283π.
题型二
瞬时变化率(瞬时速度)的求法
典例 2 以初速度 v0(v0>0)竖直上抛的物体，t 秒时的高度 s 与 t 的 函数关系为 s＝v0t－12gt2，求物体在时刻 t0 处的t)－12g(t0＋Δt)2－v0t0－12gt20＝(v0－gt0)Δt－
函数的平均变化率与导数(Word)
导数的概念及运算知识梳理1. 平均变化率与瞬时变化率（1）函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率x y∆∆＝ ．（2）函数()f x 在处0x x =的瞬时变化率为 2. 导数的概念（1）函数()f x 在x x =处的导数：()f x 在点0x 处的导数就是函数()f x 在x x =处的瞬时变化率即()0'x f =（2）函数()f x 的导函数:当x 变化时()x f '是x 的一个函数，称()x f '为()f x 的导函数（简称导数）即()x f '=3. 导数的几何意义与物理意义 （1）几何意义切线方程为： （2）物理意义4．基本初等函数的导数①;C '=②();nx '=③(sin )x '=; ④(cos )x '=;⑤()x a '=;⑥();x e '=⑦()l g a o x '=; ⑧()ln x '=.5．导数的运算法则_______ ______ ______ [](4)()'C f x ⋅=_______ ___________ 6．复合函数的导数()()()()的导数的关系为：的导数与复合函数x g u u f y x g f y ===,【题型分析】一．导数的概念及其几何意义例1：（1）若0'()2f x =，则当k 无限趋近于0时00()()2f x k f x k--=________()()()()()====k x f x x f y x f y x x f y 切线的斜率即：处的在点是曲线处的导数在函数000'0,P ()=0'x f ()()时刻的是物体运动在处的导数在函数00'0t t S S S ===t t t t ()()时刻的是物体运动在处的导数在函数00'0t t V V V ===t t t t ()()()'1f x g x ±=⎡⎤⎣⎦()()()'2.f x g x =⎡⎤⎣⎦()()'15f x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦()()()'3f x g x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（2）如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，， 的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = ；(1)(1)limx f x f x∆→+∆-=∆．（用数字作答）二．导数的计算例2：求下列函数的导数（1）2()(2)()f x x a x a =+- （2）22()cos sin cos f x x x x =⋅+（3）()x xf x = （4）()f x =（5）()()ln ln ln f x x =⎡⎤⎣⎦ （6）()2()3lg 1cos2xf x x =⋅-三．与切线相关的问题例3：（1）曲线32242y x x x =--+在点(1,3)-处的切线方程是_________。
导数1
则 : MP x, MQ y,
P
y tan .
O
x
请问：y 是割线PQ的什么? x
课前探究学习
y=f(x) Q
Δy
β
Δx
M x
斜 率!
课堂讲练互动
活页规范训练
请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点
y P逐渐转动的情况. y=f(x)
割
线 Q
T 切线
P
o
x
课前探究学习
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的 关键是弄清自变量的增量 Δx 与函数值的增量 Δy，求平均变化率 的主要步骤是： (1)先计算函数值的改变量 Δy＝f(x1)－f(x0)． (2)再计算自变量的改变量 Δx＝x1－x0. (3)得平均变化率ΔΔyx＝fxx11－－fx0x0.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
想一想：函数y＝f(x)在[x1，x2]内的平均变化率为0，能否说明函数 y＝f(x)没有发生变化？ 提示 不能说明．理由：函数的平均变化率只能粗略地描述函数 的变化趋势，增量Δx取值越小，越能准确地体现函数的变化情 况．在某些情况下，求出的平均变化率为0，并不一定说明函数没 有发生变化．如函数f(x)＝x2在[－2,2]上的平均变化率为0，但f(x) 的图象在[－2,2]上先减后增．
即ΔΔyx＝fxx22－－fx1x1＝fx1＋ΔΔxx－fx1称为函数在区间[x1，x2]上的
平均变化率．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
名师点睛 1．关于平均变化率的理解
关于函数的平均变化率，应注意以下几点： (1)Δx 是自变量 x2 相对于 x1 处的改变量，且 x2 是 x1 附近的任意 一点，即 Δx＝x2－x1≠0，但 Δx 可以为正，也可以为负． (2)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若 Δx＝x2－x1，则 Δy＝f(x2)－f(x1)；若 Δx＝x1－x2，则 Δy＝f(x1)－f(x2)．
第2篇 第10节 导数的概念与计算课件 理 新人教A版 课件
质疑探究 1：如果 f(x)＝ln |x|，则 f′(x)＝1x？ 提示：正确，分 x>0，x<0 去绝对值，求导数可得．
4．导数的运算法则和复合函数的导数
(1)导数的运算法则 ①[f(x)± g(x)]′＝___f_′(_x_)_±__g_′(_x_)_____； ②[f(x)·g(x)]′＝_f_′(_x_)g_(_x_)_＋__f(_x_)_g_′(_x_) ______；
解析：设过点(1,0)的直线与 y＝x3 相切于点(x0，x30)， 所以切线方程为 y－x30＝3x02(x－x0)， 即 y＝3x20x－2x30， 又(1,0)在切线上， 则 x0＝0 或 x0＝32， 当 x0＝0 时，由 y＝0 与 y＝ax2＋145x－9 相切可得 a＝－2654， 当 x0＝32时，
导数，记作 f′(x0)或 y′|x＝x0，即 ___Δ_lix_m→_0__f_x_0＋__Δ_Δ_xx_－__f_x_0_____.
f′(x0)＝Δlixm→0
ΔΔyx＝
②几何意义
函数 f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y＝ f(x)上点(x0，f(x0))处的 切线的斜率 (瞬时速度就是位移函数 s(t) 对 时 间 t 的 导 数 ) ． 相 应 地 ， 切 线 方 程 为 ___y_－__f(_x_0_)＝__f_′(_x_0_)(_x_－__x_0)__________．
即f′(x＋T)＝f′(x)， 所以导函数为周期函数． 因为y＝f(x)是奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)， 两边求导得f′(－x)(－x)′＝－f′(x)， 即－f′(－x)＝－f′(x)， 所以f′(－x)＝f′(x)， 即导函数为偶函数，故选B. 答案：B
平均变化率、瞬时速度与导数 PPT课件
[误解]
fa＋2Δx－fa－2Δx
lim
Δx→0
Δx
＝ lim
Δx→0
fa＋2Δx－fa＋fa－fa－2Δx Δx
＝ lim
Δx→0
fa＋2ΔΔxx－fa＋Δlixm→0
fa－fa－2Δx Δx
＝ lim
Δx→0
fa＋2ΔΔxx－fa＋Δlixm→0
fa－2Δx－fa －Δx
＝m＋m＝2m
[辨析] 不能正确地把已知条件转化为平均变化率的
极限，误认为 lim
Δx→0
fa＋2ΔΔxx－fa＝m，Δlixm→0
fa－2Δx－fa －Δx
＝m，从而导致错误．
[正解]
fa＋2Δx－fa－2Δx
lim
Δx→0
Δx
＝ lim
Δx→0
fa＋2Δx－fa＋fa－fa－2Δx Δx
＝ lim
Δx→0
fa＋2ΔΔxx－fa＋Δlixm→0
fa－fa－2Δx Δx
[解析] ∵Δs＝v0(t0＋Δt)－12g(t0＋Δt)2－(v0t0－12gt20＝(v0－ gt0)Δt－12g(Δt)2，
∴ΔΔst＝v0－gt0－12gΔt，当 Δt→0 时，ΔΔst→v0－gt0. 故物体在时刻 t0 的瞬时速度为 v0－gt0.
• [点评] 瞬时速度是平均速度在Δt→0时的 极限值．因此，要求瞬时速度应先求出平均 速度．
＝2 lim
Δx→0
fa＋22ΔΔxx－fa＋2Δlixm→0
fa－2Δx－fa －2Δx
＝2m＋2m＝4m.
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
3．设函数 y＝f(x)在 x0 附近有定义，当自变量在 x＝x0 处有 增量 Δx 时，函数 y＝f(x)相应地有增量 Δy＝__f_(x_0_＋__Δ_x_)_－__f(_x_0)___.
导数的概念及其意义(1)课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
x 3.
x
x
∴f (3) lim ( x 1) 1.
x 0
f (5) lim ( x 3) 3.
x 0
在第3 h附近，原油温度大约以1 ℃/h的速率下降；在第5 h附近，原油
温度大约以3 ℃/h的速率上升.
课本P66
2. 设f ( x ) x,求f (1).
x 0
x 0 x
x 0
在第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为－3 ℃/h与5 ℃/h. 说
明在第2 h附近，原油温度大约以3 ℃/h的速率下降；在第6 h附近，原油
温度大约以5 ℃/h的速率上升.
一般地，f'(x0) (0≤x0≤8) 反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况.
2
(0 + 2∆) − (0 )
=1
∆
例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷
2
y
f
(
x
)
x
7 x 15
却和加热. 已知在第x h时，原油的温度(单位: °C)为
(0 x 8) . 计算第2 h与第6 h时, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
∵
t 2.
t
t
2
v (6 t ) v (6) 12t ( t ) 6t
t 6.
t
t
∴v (2) lim( t 2) 2. v (6) lim( t 6) 6.
2
t 0
t 0
在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为2m/s2与－6m/s2. 说明在第2s
导数概念 公式知识点总结+习题含详细讲解
．《导数及其应用》知识点总结一、导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --。
2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ∆无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。
函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。
3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x x+∆-∆；（3）取极限，当x ∆无限趋近与0时，00()()f x x f x x+∆-∆无限趋近与一个常数A ，则0()f x A '=.4. 导数的几何意义：函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。
由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。
当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。
特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。
5. 导数的物理意义：质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。
高中数学选择性必修二 5 1 2导数的概念及其几何意义(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)
5.1.2导数的概念及其几何意义要点一 导数的概念1．平均变化率：对于函数y ＝f (x )，设自变量x 从x 0变化到x 0＋Δx ，则把Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 叫做函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率．2．导数：如果Δx →0时，平均变化率Δy Δx 无限趋近于一个确定的值，即ΔyΔx 有极限，则称y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，并把这个确定的值叫做y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f ′(x 0)或y ′|0x x ＝ ，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 【重点小结】(1)当Δx ≠0时，比值Δy Δx 的极限存在，则f(x)在x ＝x 0处可导；若ΔyΔx的极限不存在，则f(x)在x ＝x 0处不可导或无导数．(2)在x ＝x 0处的导数的定义可变形为f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx 或f ′(x 0)＝lim x →x 0 f (x )－f (x 0)x －x 0.要点二 导数的几何意义对于曲线y ＝f (x )上的点P 0(x 0，f (x 0))和P (x ，f (x ))，当 点P 0趋近于点P 时，割线P 0P 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线P 0T 称为点P 0处的切线．割线P 0P 的斜率是k ＝f (x )－f (x 0)x －x 0．当点P 无限趋近于点P 0时，k 无限趋近于切线P 0T 的斜率．因此，函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线P 0T 的斜率k ，即k ＝li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 【重点总结】(1)曲线的切线与割线①曲线的切线是由割线绕一点转动，当另一点无限接近这一点时割线趋于的直线． ②曲线的切线就是割线趋近于某一确定位置的直线，体现了无限趋近的思想． (2)曲线的切线与导数①函数f(x)在x ＝x 0处有导数，则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率． ②函数f(x)表示的曲线在点(x 0，f(x 0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝3x 在x ＝0处有切线，但不可导．曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线． 要点三 导函数对于 函数y ＝f (x )，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，当x 变化时，f ′(x )便是一个关于x 的函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称为导数)，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx【重点总结】函数在某点处的导数与导函数的区别(1)函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数．(2)函数f(x)在x0处的导数就是导函数f ′(x)在x＝x0处的函数值．【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数f(x)在x＝x0处有意义，则f′(x0)存在．()(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．()(3)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相等．()(4)曲线f(x)＝x2在原点(0,0)处的切线方程为y＝0.()【答案】（1）×（2）×（3）×（4）√2．若函数f(x)＝－3x－1，则f′(x)＝()A．0 B．－3xC．3 D．－3【答案】D【解析】k＝li mΔx→0－3(x＋Δx)－1－(－3x－1)Δx＝－3.3．设曲线y＝x2＋x－2在点M处的切线斜率为3，则点M的坐标为() A．(0，－2) B．(1,0)C．(0,0) D．(1,1)【答案】B【解析】设点M(x0，y0)，∴k＝limΔx→0(x0＋Δx)2＋(x0＋Δx)－2－(x20＋x0－2)Δx＝2x0＋1，令2x0＋1＝3，∴x0＝1，则y0＝0.故选B.4．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.【答案】2【解析】点(5，f(5))在切线y＝－x＋8上，∴f(5)＝－5＋8＝3.且f′(5)＝－1，∴f(5)＋f′(5)＝2.题型一 求函数在某点处的导数【例1】(1)已知函数f (x )＝2x 2＋4x ，则f ′(3)＝________. 【答案】(1)16【解析】(1)Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3) ＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ， ∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16Δx Δx＝2Δx ＋16. ∴f ′(3)＝li m Δx →0(2Δx ＋16)＝16.(2)已知函数f (x )＝2x 2＋4x ，若f ′(x 0)＝12，则x 0＝________. 【答案】(2)2【解析】(2)根据导数的定义f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx ＝li m Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝li m Δx →2(x 0＋Δx )2＋4(x 0＋Δx )－(2x 20＋4x 0)Δx＝li m Δx →04x 0·Δx ＋2(Δx )2＋4ΔxΔx ＝li m Δx →(4x 0＋2Δx ＋4)＝4x 0＋4，∴f ′(x 0)＝4x 0＋4＝12，解得x 0＝2.【方法归纳】用导数定义求函数在某一点处的导数的三个步骤 (1)作差Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)． (2)作比Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(3)取极限f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx. 简记为一差、二比、三极限．【跟踪训练1】已知函数f (x )＝x ＋1x，则f ′(1)＝________.【答案】0【解析】f ′(1)＝lim Δx →f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0⎣⎡⎦⎤(1＋Δx )＋11＋Δx －(1＋1)Δx＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎫Δx ＋11＋Δx －1Δx＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎫1－11＋Δx ＝0题型二 求曲线的切线方程【例2】已知曲线y ＝13x 3，求曲线在点P (3,9)处的切线方程．【解析】由y ＝13x 3，得y ′＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →013(x ＋Δx )3－13x 3Δx＝13li m Δx →3x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3Δx＝13li m Δx →[3x 2＋3xΔx ＋(Δx )2]＝x 2， y ′|x ＝3＝32＝9，即曲线在P (3,9)处的切线的斜率等于9. 由直线的点斜式方程可得，所求切线方程为y －9＝9(x －3)， 即9x －y －18＝0.【变式探究】本例条件不变，求曲线过点M (1,0)的切线方程．【解析】设切点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30，由例2知切线方程为：y －13x 30＝x 20(x －x 0) ∵切线过点(1,0)， ∴－13x 30＝x 20(1－x 0)即23x 30－x 20＝0，解得x 0＝0或x 0＝32. ∴切点坐标为(0,0)或⎝⎛⎭⎫32，98，∴切线方程为：y ＝0或y －98＝94⎝⎛⎭⎫x －32. 即y ＝0或9x －4y －9＝0. 设切点，写出切线方程，已知点代入，求切点． 【方法归纳】1．求曲线上某点切线方程的三个步骤2．过曲线外的点P (x 1，y 1)求曲线的切线方程的步骤 (1)设切点为Q (x 0，y 0)．(2)求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)．(3)利用Q 在曲线上和f ′(x 0)＝k PQ ，解出x 0，y 0及f ′(x 0)． (4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． 【跟踪训练2】已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程；(2)试问(1)中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？若有，求出公共点的坐标；若没有，说明理由． 【解析】将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1，所以切点为(1,1)． Δy Δx ＝(1＋Δx )3－13Δx ＝3Δx ＋3(Δx )2＋(Δx )3Δx＝3＋3Δx ＋(Δx )2， 当Δx 趋近于0时，ΔyΔx趋近于3，所以y ′|x ＝1＝3.故所求切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2＝0，y ＝x 3，可得(x －1)2(x ＋2)＝0，解得x 1＝1，x 2＝－2.从而求得公共点为(1,1)，(－2，－8)．故(1)中的切线与曲线C 的公共点除切点(1,1)外，还有点(－2，－8)． 题型三 导数几何意义的应用 探究1 求切点坐标【例3】已知曲线y ＝x 2＋6的切线分别符合下列条件，求切点． (1)平行于直线y ＝4x －3； (2)垂直于直线2x －y ＋5＝0. 【解析】设切点坐标为(x 0，y 0)．f ′(x )＝li m Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝li m Δx →0 (x ＋Δx )2＋6－(x 2＋6)Δx＝li m Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .∴过(x 0，y 0)的切线的斜率为2x 0.(1)∵切线与直线y ＝4x －3平行，∴2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝x 20＋6＝10， 即过曲线y ＝x 2＋6上点(2,10)的切线与直线y ＝4x －3平行． (2)∵切线与直线2x －y ＋5＝0垂直，∴2x 0×2＝－1，得x 0＝－14，y 0＝9716，即过曲线y ＝x 2＋6上点⎝⎛⎭⎫－14，9716的切线与直线2x －y ＋5＝0垂直． 【方法归纳】求满足某条件的曲线的切点坐标的步骤(1)先设切点坐标(x 0，y 0)； (2)求导函数f ′(x )； (3)求切线的斜率f ′(x 0)；(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，解方程求x 0； (5)点(x 0，y 0)在曲线f (x )上，将(x 0，y 0)代入求y 0得切点坐标．探究2 与曲线的切点相关的问题【例4】已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2. (1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴围成的三角形面积．【解析】(1)y ′＝lim Δx →0(x ＋Δx )2＋(x ＋Δx )－2－x 2－x ＋2Δx＝lim Δx →02xΔx ＋(Δx )2＋ΔxΔx＝lim Δx →0(2x ＋Δx ＋1)＝2x ＋1.所以y ′|x ＝1＝2×1＋1＝3，所以直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)， 则l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.因为l 1⊥l 2，则有2b ＋1＝－13，b ＝－23，B ⎝⎛⎭⎫－23，－209，所以直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧x ＝16，y ＝－52.所以直线l 1和l 2的交点坐标为⎝⎛⎭⎫16，－52. l 1，l 2与x 轴交点的坐标分别为(1,0)，⎝⎛⎭⎫－223，0. 所以所求三角形的面积S ＝12×253×52＝12512.(1)先由已知求出l 1的斜率，再由l 1⊥l 2，求出l 2的斜率，进而求出切点坐标，得出l 2的方程． (2)求出l 1与l 2的交点坐标，l 1，l 2与x 轴的交点，求出直线l 1，l 2和x 轴围成的三角形的面积． 【方法归纳】利用导数的几何意义处理综合应用题的两种思路(1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．(2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点的坐标是常设的未知量．【跟踪训练3】(1)已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( ) A ．f ′(x A )>f ′(x B ) B ．f ′(x A )＝f ′(x B ) C ．f ′(x A )<f ′(x B )D ．f ′(x A )与f ′(x B )大小不能确定 【答案】A【解析】由y ＝f (x )的图象可知，k A >k B ，根据导数的几何意义有f ′(x A )>f ′(x B )．故选A.(2)曲线f (x )＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴，直线x ＝a 围成的三角形的面积为16，则a ＝________.【答案】(2)±1【解析】(2)因为f ′(a )＝li m Δx →(a ＋Δx )3－a 3Δx ＝3a 2，所以曲线在点(a ，a 3)处的切线方程为y －a 3＝3a 2(x －a )．令y ＝0，得切线与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫23a ，0，由题意知三角形面积为12⎪⎪⎪⎪a －23a ·|a 3|＝12×⎪⎪⎪⎪a 3·|a 3|＝16a 4＝16.∴a 4＝1，即a ＝±1. 【易错辨析】求切线方程时忽略“过”与“在”的差异致错【例5】已知抛物线y ＝x 2＋x ＋1，则过抛物线原点的切线方程为________． 【答案】3x －y ＝0或x ＋y ＝0【解析】设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →(x 0＋Δx )2＋(x 0＋Δx )＋1－(x 20＋x 0＋1)Δx＝lim Δx →0(2x 0＋1＋Δx )＝2x 0＋1，所以斜率k ＝2x 0＋1，故所求的切线方程为y －y 0＝(2x 0＋1)(x －x 0)，将(0,0)及y 0＝x 20＋x 0＋1代入上式得：－(x 20＋x 0＋1)＝－x 0(2x 0＋1)， 解得x 0＝1或x 0＝－1，所以k ＝3或k ＝－1，所以切线方程为y ＝3x 或y ＝－x ， 即3x －y ＝0或x ＋y ＝0. 【易错警示】 1.出错原因把原点当作切点，易求的是在原点处的切线方程. 2.纠错心得(1)看清楚求的是原点处的切线，还是过原点的切线． (2)过原点的切线，原点不一定是切点，需设切点为(x 0，y 0).一、单选题1．设()f x 在0x x =处可导，则()()000lim2h f x h f x h h→+--=（ ）． A ．()02f x ' B ．()012f x ' C ．()0f x ' D ．()04f x '【答案】C 【分析】根据导数的定义即可求解. 【解析】解：∵()f x 在0x 处可导， ∵()()()0000lim2h f x h f x h f x h→+--'=，故选：C.2．函数()y f x =在0x x =处的导数可表示为0x x y ='，即（ ）． A ．()()()000f x f x x f x =+∆-' B ．()()()0000lim x f x f x x f x ∆→'=+∆-⎡⎤⎣⎦ C ．()()()0000lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆D ．()()()000f x x f x f x x+∆-'=∆【答案】C 【分析】结合导数定义直接选择即可. 【解析】x x y ='是()0f x '的另一种记法，根据导数的定义可知C 正确．故选：C3．若函数()f x 在0x x =处可导，则()()000limh f x h f x h→+-的结果（ ）．A ．与0x ，h 均无关B ．仅与0x 有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与0x 无关D ．与0x ，h 均有关【答案】B 【分析】根据导数的定义即可求解. 【解析】 解：因为()()()0000limh f x h f x f x h→+-'=，所以结果仅与0x 有关，而与h 无关， 故选：B.4．设()f x 为可导函数，且满足0(1)(12)lim12x f f x x→--=-，则'(1)f 为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】B 【分析】利用导数的定义进行求解. 【解析】 因为0(1)(12)lim12x f f x x →--=-，所以20(1)(12)lim =12x f f x x→---，即20(12)(1)lim12x f x f x-→--=--所以'(1)1f =-. 故选：B.5．已知函数f (x )可导，且满足0(3)l (m 2i 3)x f f x x∆→-+∆=∆，则函数y ＝f (x )在x ＝3处的导数为（ ）A ．－1B ．－2C ．1D ．2【分析】根据导数的定义即可得到答案. 【解析】 由题意，()()()()()003333lim lim3x x f f x f x f f xx∆→∆→-+∆+∆-=-=-∆'∆，所以()32f '=-.故选：B.6．已知函数()f x 的图像如图所示，()f x '是()f x 的导函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()()()()310132f f f f '<-'<< B ．()()()()310312f f f f -''<<< C ．()()()()310312f f f f '<-'<< D ．()()()()310132f f f f ''<<-< 【答案】B 【分析】结合图象，判断出()()()()310,3,,12f f f f ''-的大小关系. 【解析】由题图可知函数()f x 的图像在1x =处的切线的斜率比在3x =处的切线的斜率大，且均为正数，所以()()031f f ''<<. AB 的斜率为()()3131f f --，其比在1x =处的切线的斜率小，但比在3x =处的切线的斜率大，所以()()()()310312f f f f -''<<<. 故选:B7．已知函数()2ln 8f x x x =+，则()()121lim x f x f x∆→+∆-∆的值为（ ）A ．20-B ．10-C ．10D ．20【分析】根据导数的定义可得()()()0121lim 21x f x f f x∆→+∆='-∆，再用求导公式可得()28f x x'=+，代入1x =即可得解. 【解析】因为()2ln 8f x x x =+，所以()28f x x'=+， 所以()()()()()020121121lim2lim 21202x x f x f f x f f xx∆→∆→+∆-+∆-=∆'==∆.故选：D8．下列说法正确的是（ ）A ．曲线的切线和曲线有且只有一个交点B ．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点C ．若()0f x '不存在，则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处无切线D ．若曲线()y f x =在点()()00,x f x 处有切线，但()0f x '不一定存在 【答案】D 【分析】根据瞬时变化率和导数的基本概念对各选项逐一判断即可. 【解析】对于A ，曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他的公共点，故A 错误；对于B ，过曲线上的一点作曲线的切线，由于曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他的公共点，所以这个点不一定是切点，故B 错误；对于C ，()0f x '不存在，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处切线的斜率不存在，但切线可能存在，故C 错误； 对于D ，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处有切线，但切线斜率可能不存在，所以()0f x '不一定存在，故D 正确. 故选：D二、多选题9．已知函数()f x 的图象如图所示，()f x '是()f x 的导函数，则下列数值的排序正确的是（ ）A ．()()32f f ''<B ．()()()332f f f '<-C ．()()()232f f f '<-D ．()()320f f -<【答案】AB 【分析】根据导数的几何意义可得()()23f f ''>，记()()22A f ，，()()33B f ，，作直线AB ，根据两点坐标求出直线AB 的斜率，结合图形即可得出()()()323f f f '->. 【解析】由函数的图象可知函数()f x 是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在2x =处的切线斜率1k 大于在3x =处的切线斜率2k ，所以()()23f f ''>； 记()()22A f ，，()()33B f ，，作直线AB ，则直线AB 的斜率()()()()323232f f k f f -==--，由函数图象，可知120k k k >>>，即()()()()23230f f f f ''>->>. 故选：AB10．(多选题)若函数f (x )在x ＝x 0处存在导数，则000()()limh f h x f x h→+-的值（ ）A ．与x 0有关B ．与h 有关C ．与x 0无关D ．与h 无关【答案】AD 【分析】由导数的定义进行判定. 【解析】由导数的定义，得：'0000()()lim()h f x f x f x hh →-=+，即函数f (x )在x ＝x 0处的导数与x 0有关，与h 无关. 故选:AD.11．甲､乙两个学校同时开展节能活动，活动开始后两学校的用电量()W t 甲（单位：kW h ⋅），()W t 乙（单位：kW h ⋅）与时间t （单位：h ）的关系如图所示，则一定有（ ）A ．甲校比乙校节能效果好B ．甲校的用电量在[]00,t 上的平均变化率比乙校的用电量在[]00,t 上的平均变化率小C ．两学校节能效果一样好D ．甲校与乙校在活动期间的用电量总是一样大 【答案】AB 【分析】根据切线斜率的实际意义判断AC 选项的正确性.根据平均变化率的知识确定B 选项的正确性.根据图象判断用电量是否“总是一样大”，由此判断D 选项的正确性. 【解析】由图可知，对任意的()100,t t ∈，曲线()W t 甲在1t t =处的切线斜率的绝对值比曲线()W t 乙在1t t =处的切线斜率的绝对值大，所以甲校比乙校节能效果好，A 正确，C 错误； 由图可知，()() 000W t W t -甲甲()()000W t W t -<乙乙，则甲校的用电量在[]00,t 上的平均变化率比乙校的用电量在[]00,t 上的平均变化率小，B 正确；由于曲线()W t 甲和曲线()W t 乙不重合，故D 错误. 故选：AB.12．（多选）设()f x 在0x 处可导，下列式子中与()0f x '相等的是（ ） A ．()()0002lim2x f x f x x x∆→--∆∆B ．()()000limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆C ．()()0002limx f x x f x x x∆→+∆-+∆∆D ．()()0002limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆【答案】AC 【分析】利用导数的定义对各选项逐一分析计算并判断作答. 【解析】 对于A ，()()()()()000000202222lim lim 22x x f x f x x f x x x f x x f x x x ∆→∆→--∆-∆+∆--∆'==∆∆，A 满足； 对于B ，()()()()()000000202lim 2lim 22x x f x x f x x f x x x f x x f x x x ∆→∆→+∆--∆-∆+∆--∆'==∆∆，B 不满足； 对于C ，()()()00002limx f x x f x x f x x∆→+∆-+∆'=∆，C 满足；对于D ，()()()()()000000302232lim 3lim 33x x f x x f x x f x x x f x x f x x x∆→∆→+∆--∆-∆+∆--∆'==∆∆，D 不满足. 故选：AC第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题13．某生物种群的数量Q 与时间t 的关系近似地符合10()9tt e Q t e =+.给出下列四个结论：①该生物种群的数量不会超过10；②该生物种群数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小； ③该生物种群数量的增长速度与种群数量成正比； ④该生物种群数量的增长速度最大的时间()02,3t ∈. 根据上述关系式，其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①②④ 【分析】对解析式上下同时除以t e ，结合反比例函数模型可判断①正确；对10()9tt e Q t e =+求导，()Q t '即为该生物种群数量的增长速度与时间的关系式，结合导函数特征和对勾函数模型可判断③错，②④正确 【解析】1010()991t t t e Q t e e ==++，因为0te >，故()911,t e+∈+∞，()100,1091t e ∈+，故该生物种群的数量不会超过10，①正确；由()28109090()()89191t tt t t t e e Q t Q t e e e e=⇒'=+++=+，显然该生物种群数量的增长速度与种群数量不成正比，③错；因为81tt e e +为对勾函数模型，故81tt e e+≥，当且仅当9t e =时取到等号，故811890t t e e++整体先增加后减小，当()03ln92,t =∈时，()Q t '最大，故②④正确， 综上所述，①②④正确， 故答案为：①②④ 14．若02)(=f x '，则00Δ0()(Δ)lim2Δx f x f x x x→-+=________.【答案】1- 【分析】利用导数的定义进行求解. 【解析】00Δ0()(Δ)lim2Δx f x f x x x→-+00Δ0(Δ)()1lim 2Δx f x x f x x →+-=- '01()2f x =-1=-.故答案为1-.15．已知函数f (x )，则()1f '＝________. 【答案】12 【分析】根据导数的定义即可得到答案. 【解析】()()()001111lim lim 21x x f x f f x x →→+∆-'====∆+∆+.故答案为：12.16．函数()f x 在R 上可导，且()02f '＝，x y R ∀∈，，若函数()()()f x y f x f y +＝成立，则()0f ＝________．【答案】1 【分析】令0y ＝，则有()()()0f x f x f ＝，再根据条件即可求出答案． 【解析】解：令0y ＝，则有()()()0f x f x f ＝，()02f '＝， ()f x ∴不恒为0， ()01f ∴＝，故答案为：1．四、解答题17．已知2()f x x =，利用2'(1)11,(1)2,Δ0.03f f x ====，求(1.03)f 的近似值. 【答案】1.06 【分析】将'(1)1,(1)2,Δ0.03f f x ===代入'000()()()f x x f x f x x +∆≈+⋅∆中计算即可得到答案.【解析】由'000()()()f x x f x f x x +∆≈+⋅∆，可知'(1.03)(1)(1)0.03120.03 1.06f f f ≈+⨯=+⨯=.18．已知某产品的总成本函数为22C Q Q =+，总成本函数在0Q 处导数()0f Q '称为在0Q 处的边际成本，用()0MC Q 表示.求边际成本(500)MC 并说明它的实际意义.【答案】(500)1002MC =，其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加1002. 【分析】利用导数的定义计算即可. 【解析】设500Q =时，产量的改变量为Q ∆，22(500)2(500)(5002500)C Q Q Q Q ∆+∆++∆-+⨯=∆∆ 1002Q =∆+，则0(500)lim (1002)1002Q MC Q ∆→=∆+=，即产量为500时的边际成本为1002，其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加1002.。
导数平均变化率课件
当一元函数的导数大于0时，函数图像在该区间内为凹形；当导数小于0时，函数 图像为凸形。因此，通过研究导数的符号变化，我们可以判断函数图像的凹凸性 。
导数与极值点
总结词
导数可以用来判断函数的极值点。
详细描述
函数在极值点处的导数为0，即一阶导数为0的点可能是极值点。此外，二阶导数的符号变化也可以用来判断极值 点的类型（极大值或极小值）。
02 导数在几何中的应用
导数与切线斜率
总结词
导数在几何中最重要的应用之一是表 示切线的斜率。
详细描述
在函数图像上任取一点，该点处的导 数即为切线的斜率。通过导数，我们 可以精确地描述函数图像在某一点的 切线斜率，进而研究函数的增减性。
导数与函数图像的凹凸性
总结词
导数的符号决定了函数图像的凹凸性。
谢谢聆听
03
隐函数求导
$frac{dy}{dx} = frac{-F(x)}{F(y)}$
幂函数的导数计算
$(x^n)' = nx^{n-1}$ $(x^{-n})' = -nx^{-n-1}$
$(x^{1/n})' = frac{1}{n}x^{-frac{1}{n}-1}$
对数函数、三角函数和反三角函数的导数计算
导数与平均变化率课 件
目录
• 导数与平均变化率的基本概念 • 导数在几何中的应用 • 平均变化率在实际问题中的应用 • 导数的计算方法与技巧 • 导数的应用实例分析
01 导数与平均变化率的基本概念
导数的定义与性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些重要的性质，如线性性质、乘积法则、商的法则、链式法则等， 这些性质在研究函数的单调性、极值和曲线的形状等方面有广泛应用。
4.1 导数的概念及其运算
复合函数及其求导： 四.复合函数及其求导： 复合函数及其求导
高考总复习·数学 高考总复习 数学 (3) 复合函数的求导法则：复合函数y=f[g(x)]对自变量x的导数 y 'x 复合函数的求导法则： ，等于外函数y=f(u)对中间变量u的导数y’u,乘以中间变量u对自变 ′ x 量x（即内函数）的导数 u’x,即 y′ = yu ⋅ u ′ x
高考总复习·数学 高考总复习 数学
导数的基本运算
求下列函数的导数：
1 1 （1） y = x ( x + + 3 ) x x 1 （3） = ( x + 1)( y − 1) x
2
3
x x ；（2）y = x − sin cos 2 2
；
1 2 ' 2 Q 【解析】（1） y = x + 1 + 2 ∴ y = 3 x − 3 . x x x x 1 （2）先使用三角公式进行化简，得 y = x − sin cos = x − sin x 2 2 2
复合函数求导步骤：分解——求导——回代。 复合函数求导步骤： 法则的推广：若函数y=f(u)在u点处可导，u=g(v)在v 点处可导， 法则的推广 v=h(x)在x点处可导，则复合函数y=f{g[h(x)]}在x点处可导，并且
y ' = f '(u ) ⋅ g '(v) ⋅ h '( x) = y 'u ⋅ u 'v ⋅ v 'x .
高考总复习·数学 高考总复习 数学 2.导数四则运算法则： 导数四则运算法则： 导数四则运算法则
[u ( x) ± v( x)]' = u ' ( x) ± v ' ( x) ①和、差的导数：
《平均变化率与导数》课件
02
导数
导数的定义
瞬时速度
导数被定义为函数在某一点处的切线的斜率，即 函数在该点的瞬时变化率。
几何意义
在几何上，导数表示曲线在某一点处的切线的斜 率。
函数变化
导数描述了函数在某一点附近的局部变化情况， 反映了函数在该点的变化趋势。
对于参数方程$x = x(t), y = y(t)$， 其导数为$frac{dy}{dx} = frac{y'(t)}{x'(t)}$。
05
导数的应用
利用导数研究函数的单调性
总结词
通过导数的符号，判断函数在某区间内的单调性。
详细描述
导数在某区间内的符号决定了函数在该区间内的单调性。如果导数大于0，则函数在该区间内单调递 增；如果导数小于0，则函数在该区间内单调递减。因此，利用导数可以方便地研究函数的单调性。
反函数求导法则
03
对于反函数$y = f^{-1}(x)$，其导数为$(f^{-1})' = frac{1}{f'}$
。
隐函数的导数计算
对数求导法则
对于隐函数$y = f(x)$满足$e^y = f(x)$，其导数为$frac{dy}{dx} = frac{f'(x)}{f(x)}$。
参数方程求导法则
详细描述
在解决实际问题时，如最优化问题、经济问 题等，可以利用导数来求解最优解。通过建 立数学模型，将实际问题转化为求函数的最 值问题，然后利用导数求出最优解，为实际 问题的解决提供理论支持。
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当自变量改变量趋于0时，平均变化率趋于导数，即导数是平 均变化率的极限形式。
导数的概念、导数公式与应用
导数的概念及运算知识点一：函数的平均变化率（1）概念：函数中，如果自变量在处有增量，那么函数值y也相应的有增量△y=f(x0+△x)-f(x)，其比值叫做函数从到+△x的平均变化率，即。
若，，则平均变化率可表示为，称为函数从到的平均变化率。
注意：①事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。
如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；②函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当取值越小，越能准确体现函数的变化情况。
③是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，可以是0。
函数的平均变化率是0，并不一定说明函数没有变化，应取更小考虑。
（2）平均变化率的几何意义函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。
如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率。
事实上，。
作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。
知识点二：导数的概念：1．导数的定义：对函数，在点处给自变量x以增量，函数y相应有增量。
若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。
即：（或）注意：①增量可以是正数，也可以是负数；②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。
2．导函数：如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。
注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在处的函数值，反映函数在附近的变化情况。
3．导数几何意义：（1）曲线的切线曲线上一点P(x0，y)及其附近一点Q(x+△x,y+△y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ，其倾斜角为当点Q(x0+△x,y+△y)沿曲线无限接近于点P(x，y)，即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。
若切线的倾斜角为，则当△x→0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。
即：。
(2)导数的几何意义：函数在点x的导数是曲线上点（）处的切线的斜率。
北师大版高中数学2-2第二章《变化率与导数》2-1-1平均变化率
§1 变化的快慢与变化率
周至县第三中学 数学组 马周科
1 © Synopsys 2012 1
一、学习目标： 学习目标：
1、理解函数平均变化率的概念； 理解函数平均变化率的概念； 2、会求给定函数在某个区间上的平 均变化率，并能根据函数的平均变化 均变化率， 率判断函数在某区间上变化的快慢。 率判断函数在某区间上变化的快慢。
物体从某一时刻开始运动， 表示此物体 物体从某一时刻开始运动，设s表示此物体 经过时间t走过的路程 走过的路程， 经过时间 走过的路程，在运动的过程中测得了 一些数据，如下表. 一些数据，如下表
t(秒 ) s( 米 )
0 0
2 6
5 9
10 13 15 … 20 32 44 …
物体在0 物体在0～2秒和10～13秒这两段时间内， 秒和10～13秒这两段时间内， 10 秒这两段时间内 哪一段时间运动得更快？ 哪一段时间运动得更快？
2 © Synopsys 2012 2
• 二、学习重点： 学习重点：
• 从变化率的角度重新认识平均速度的概念， 从变化率的角度重新认识平均速度的概念， 知道函数平均变化率就是函数在某区间上 变化的快慢的数量描述。 变化的快慢的数量描述。
• 教学难点： 教学难点：
• 对平均速度的数学意义的认识
• 三、学习方法： 学习方法：
f (x) 在 [x1, x2 ] 区间上
数学 应用
某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示, 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示,试分 12个月的体重变化如图所示 别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重 别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重 12 的平均变化率. 的平均变化率.
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在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分， 微积分的创立与自然科学中四类问题的处理直接相关：
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物 体在任意时刻的速度与加速度等;
二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小 值; 四、求长度、面积、体积和重心等。
思考
平均变化率 观察函数f(x)的图象
表示什么?
y
f (x2)
y=f (x)
B
f (x2 ) f (x1) x2 x1
直线AB的斜率
f (x1)
o
f (x2)-f (x1)
A
x2-x1
x1
x2 x
数学应用
例1、已知函数f(x)=2x+1, 计算在区间[-3， -1]，[0，5]上 f(x) 的平均变化率.
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、 变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相 对于另一个变量变化的快慢程度．
问题1.一款法拉利速度从0增加到100公里/小时需3.6 秒,另一款宝马需3.8秒,哪款车的加速性能更好?
加速快
问题2.在经营某商品过程中，甲用6年时间挣到12万
我们可以用什么来描述在某段时 间内的其运动状态呢？
平均速度
在0≤t≤0.5这段时间内， 在1≤t≤2这段时间内，
讨论归纳 概念新知
无论汽车加速问题，经营获利问题，气温变化问题还是高
台跳水问题都是变化率问题。如果问题中的函数关系用
y=f(x)表示，那么问题中的变化率可以用式子
f ( x2 ) f ( x1 ) f
1.1.2 导数的概念
感谢下 载
元，乙用6个月时3.现有某市某年3月和4月某天日最高气温记载.
时间
3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
气温变化快
问题4：高台跳水 在高台跳水运动中，运动员
相对于水面的高度h(单位：m)与起 跳后的时间(单位：s)存在函数关 系
x2 x1
x
表示，我们把这个式子称为函数y=f(x)从 x1到x2的平均变化率
习惯上，用 表示 ，即 可把 看做 的一个“增量”，可用
代替 ；类似地，
建构数学理论
平均变化率的定义：
一般地，函数 在区间
[ x , x ] f上(的x平)均变化率为
12
y f (x2 ) f ( x1)
x
x2 x1