平均变化率与导数(1)

创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，
在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分， 微积分的创立与自然科学中四类问题的处理直接相关：
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物 体在任意时刻的速度与加速度等;
二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小 值; 四、求长度、面积、体积和重心等。
1.1.2 导数的概念
感谢下 载
x2 x1
x
表示，我们把这个式子称为函数y=f(x)从 x1到x2的平均变化率
习惯上，用 表示 ，即 可把 看做 的一个“增量”，可用
代替 ；类似地，
建构数学理论
平均变化率的定义：
一般地，函数 在区间
[ x , x ] f上(的x平)均变化率为
12
y f (x2 ) f ( x1)
x
x2 x1
元，乙用6个月时间挣到2万元，如何比较和评价两
人的经营成果？
获利快
问题3.现有某市某年3月和4月某天日最高气温记载.
时间
3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
气温变化快Biblioteka Baidu
问题4：高台跳水 在高台跳水运动中，运动员
相对于水面的高度h(单位：m)与起 跳后的时间(单位：s)存在函数关 系
思考
平均变化率 观察函数f(x)的图象
表示什么?
y
f (x2)
y=f (x)
B
f (x2 ) f (x1) x2 x1
直线AB的斜率
f (x1)
o
f (x2)-f (x1)
A
x2-x1
x1
x2 x
数学应用
例1、已知函数f(x)=2x+1, 计算在区间[-3， -1]，[0，5]上 f(x) 的平均变化率.
我们可以用什么来描述在某段时 间内的其运动状态呢？
平均速度
在0≤t≤0.5这段时间内， 在1≤t≤2这段时间内，
讨论归纳 概念新知
无论汽车加速问题，经营获利问题，气温变化问题还是高
台跳水问题都是变化率问题。如果问题中的函数关系用
y=f(x)表示，那么问题中的变化率可以用式子
f ( x2 ) f ( x1 ) f
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、 变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相 对于另一个变量变化的快慢程度．
问题1.一款法拉利速度从0增加到100公里/小时需3.6 秒,另一款宝马需3.8秒,哪款车的加速性能更好?
加速快
问题2.在经营某商品过程中，甲用6年时间挣到12万