2020届高三理科数学大题专项练习10

2020届高三数学（理）大题专项练习10

17．在ABC △中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，

2sin cos sin 2sin b C A a A c B +=；

（1）证明：ABC △为等腰三角形；

（2）若D 为BC 边上的点，2BD DC =，且2ADB ACD ∠=∠，3a =，求b 的值．

18．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，且

222,AD AB BC ===

90,BAD PAD ∠=︒V 为等边三角形，平面ABCD ⊥平面PAD ；点E M 、分别为PD PC

、的中点．

（1）证明：//CE 平面PAB ；

（2）求直线DM 与平面ABM 所成角的正弦值．

19．已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>1,2⎛- ⎝⎭

. （1）求椭圆C 的方程；

（2）过点

)

作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，试问在x 轴上是否存在定点Q

使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.

20．已知函数()ln 2f x x x =--．

（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；

（2）函数()f x 在区间(,1)()k k k N +∈上有零点，求k 的值；

21．某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y （万人）与年份x 的数据：

该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了y 与x 的两个回归模型：

模型①：由最小二乘法公式求得y 与x 的线性回归方程$50.8169.7y x =+；

模型①：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线bx

y ae =的附近．

（1）根据表中数据，求模型①的回归方程$bx y ae =．（a 精确到个位，b 精确到0．01）． （2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．

参考公式、参考数据及说明：

①对于一组数据()()()1122,,,,,,n n v w v w v w L ，其回归直线µµµw

v αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为µµµ1

2

1()()

,()

n

i

i

i n

i

i w w v v w v v v β

α

β==--==--∑∑． ①刻画回归效果的相关指数µ2

2

1

2

1

()1()n

i

i i n i

i y

y R y

y ==-=-

-∑∑ ．

①参考数据： 5.46235e ≈， 1.43 4.2e ≈．

表中10

1

1ln ,10i i i i u y u u ===∑．

22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,

2sin ,x y θθ=⎧⎨

=⎩

（θ为参数），已知点

(4,0)Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半

轴为极轴建立极坐标系.

（1）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；

（2）已知直线l ：y kx =与曲线2C 交于,A B 两点，若3OA AB u u u v u u u v

=，求k 的值.

23．已知函数()121f x ax x =++- （1）当1a =时，求不等式()3f x >的解集； （2）若02a <<，且对任意x ∈R ，3

()2f x a

≥恒成立，求a 的最小值．

2020届高三数学（理）大题专项练习10（答案解析）

17．在ABC △中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，

2sin cos sin 2sin b C A a A c B +=；

（1）证明：ABC △为等腰三角形；

（2）若D 为BC 边上的点，2BD DC =，且2ADB ACD ∠=∠，3a =，求b 的值． 【解】（1）2sin cos sin 2sin b C A a A c B +=Q ，由正弦定理得：22cos 2bc A a cb +=，

由余弦定理得：2222222b c a bc a bc bc

+-⋅+=；

化简得：222b c bc +=,所以()2

0b c -=即b c =， 故ABC V 为等腰三角形． （2）如图，

由已知得2BD =，1DC =，

2,ADB ACD ACD DAC Q ∠=∠=∠+∠

ACD DAC ∴∠=∠， 1AD CD ∴==，

又cos cos ADB ADC ∠=-∠Q ，

222222

22AD BD AB AD CD AC AD BD AD CD +-+-∴=-

⋅⋅， 即222222

1211221211

c b +-+-=-

⨯⨯⨯⨯，

得2229b c +=，由（1）可知b c =，得b =

解法二：取BC 的中点E ，连接AE ．由（1）知,AB AC AE BC =∴⊥， 由已知得31

,1,22

EC DC ED =

==，