2018-2019学年上海市奉贤中学高一下学期期末考试数学试题

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2018-2019学年高一数学下学期期末试卷及答案(九)

2018-2019学年高一数学下学期期末试卷及答案（九）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．若sinα=﹣，则α为第四象限角，则tanα的值等于（）A．B．﹣C．D．﹣2．已知向量=（1，1），=（1，﹣1），若=+，则=（）A．（﹣1，﹣2）B．（1，2）C．（﹣1，2）D．（1，﹣2）3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17=170，则a9的值为（）A．10 B．20 C．25 D．304．已知倾斜角为θ的直线l与直线m：x﹣2y+3=0平行，则sin2θ=（）A．B．C．D．5．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，若sinA、sinB、sinC依次成等比数列，则（）A．a，b，c依次成等差数列B．a，b，c依次成等比数列C．a，c，b依次成等差数列D．a，c，b依次成等比数列6．在Rt△ABC中，已知AC=4，BC=1，P是斜边AB上的动点（除端点外），设P到两直角边的距离分别为d1，d2，则的最小值为（）A．B．C．D．7．将函数f（x）=cosωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位，若所得图象与原图象重合，则f（）不可能等于（）A．0 B．1 C．D．8．正项等比数列{a n}满足：a4+a3=a2+a1+8，则a6+a5的最小值是（）A．64 B．32 C．16 D．8二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每空4分，共36分．）9．已知tanα=2，则tan（α+）=，cos2α=，=．10．设为单位向量，其中，且，则与的夹角为，=．11．已知直线l1：ax﹣y+3=0与直线l2：（a﹣1）x+2y﹣5=0，若直线l1的斜率为2，则a=，若l1⊥l2，则a=．12．直角△ABC中，C=，AC=2．若D为AC中点，且sin∠CBD=，则BC=，tanA=．13．正实数x，y满足：x+y=xy，则x2+y2﹣4xy的最小值为．14．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：ax+y+3=0，点A（0，1），若直线l上存在点M，满足|MA|=2，则实数a的取值范围是．15．对任意的向量，和实数x∈[0，1]，如果满足，都有成立，那么实数λ的最小值为．三．解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足．（I）求角B的值；（II）若，求sinC的值．17．已知直线l：（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．（1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；（2）过定点M作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n2+n，n∈N*，等比数列{b n}满足b1=1，b4=8，n∈N*．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n b n}的前n项和T n．19．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，（x∈R）．（1）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）的值域．（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．20．已知公差不为0的等差数列{a n}满足a2=3，a1，a3，a7成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}满足b n=+，求数列{b n}的前n项和S n；（Ⅲ）设c n=2n（﹣λ），若数列{c n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．若sinα=﹣，则α为第四象限角，则tanα的值等于（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系式求出cosα，然后求解即可．【解答】解：sinα=﹣，则α为第四象限角，cosα==，tanα==﹣．故选：D．【点评】本题考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．2．已知向量=（1，1），=（1，﹣1），若=+，则=（）A．（﹣1，﹣2）B．（1，2）C．（﹣1，2）D．（1，﹣2）【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据向量的运算求出向量C即可．【解答】解：∵向量=（1，1），=（1，﹣1），∴=+=﹣（1，1）+（1，﹣1）=（﹣1，﹣2），则=（﹣1，﹣2），故选：A．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，是一道基础题．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17=170，则a9的值为（）A．10 B．20 C．25 D．30【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的前n项和公式和通项公式直接求解．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S17=170，∴=170，解得a9=10．故选：A．【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．4．已知倾斜角为θ的直线l与直线m：x﹣2y+3=0平行，则sin2θ=（）A．B．C．D．【考点】二倍角的正弦；直线的斜率．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sinθ和cosθ的值，再利用二倍角公式求得sin2θ的值．【解答】解：∵倾斜角为θ的直线l与直线m：x﹣2y+3=0平行，故有tanθ==．再根据sin2θ+cos2θ=1，θ∈[0，π），可得sinθ=，cosθ=，∴sin2θ=2sinθcosθ=，故选：B．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．5．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，若sinA、sinB、sinC依次成等比数列，则（）A．a，b，c依次成等差数列B．a，b，c依次成等比数列C．a，c，b依次成等差数列D．a，c，b依次成等比数列【考点】等比数列的性质．【分析】根据等比中项的性质得：sin2B=sinAsinC，由正弦定理得b2=ac，则三边a，b，c成等比数列．【解答】解：因为sinA、sinB、sinC依次成等比数列，所以sin2B=sinAsinC，由正弦定理得，b2=ac，所以三边a，b，c依次成等比数列，故选：B．【点评】本题考查等比中项的性质，以及正弦定理的应用，属于基础题．6．在Rt△ABC中，已知AC=4，BC=1，P是斜边AB上的动点（除端点外），设P到两直角边的距离分别为d1，d2，则的最小值为（）A．B．C．D．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．=S△BCD+S△ACP，即为4=d1+4d2，求得【分析】运用三角形的面积公式可得S△ABC=（d1+4d2）（）展开后运用基本不等式，计算即可得到所求最小值．=S△BCD+S△ACP，【解答】解：如右图，可得S△ABCACBC=d1BC+d2AC，即为4=d1+4d2，则=（d1+4d2）（）=（1+4++）≥（5+2）=×（5+4）=．当且仅当=，即d1=2d2=，取得最小值．故选：C．【点评】本题考查基本不等式在最值问题中的运用，注意运用等积法，以及乘1法，运用基本不等式求最值时，注意等号成立的条件，属于中档题和易错题．7．将函数f（x）=cosωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位，若所得图象与原图象重合，则f（）不可能等于（）A．0 B．1 C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，可求ω=6k（k∈N*），利用特殊角的三角函数值即可得解．【解答】解：由题意，所以ω=6k（k∈N*），因此f（x）=cos6kx，从而，可知不可能等于．故选：D．【点评】本题主要考查了三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，是常考题型，属于中档题．8．正项等比数列{a n}满足：a4+a3=a2+a1+8，则a6+a5的最小值是（）A．64 B．32 C．16 D．8【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知求出q2=1+，a6+a5==（a1q+a1）++16，由此利用基本不等式的性质能求出结果．【解答】解：∵{a n}是正项等比数列，∴a1＞0，q＞0，∵a4+a3=a2+a1+8，∴，∴q2=1+，∴a6+a5==q2（a1q+a1+8）=（1+）[（a1q+a1）+8]=（a1q+a1）++16≥2+16=32，当且仅当时，取等号．∴a6+a5的最小值是32．故选：B．【点评】本题考查等比数列中两项和的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质及基本不等式性质的合理运用．二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每空4分，共36分．）9．已知tanα=2，则tan（α+）=﹣3，cos2α=，=．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由已知，利用特殊角的三角函数值及两角和的正切函数公式可求tan（α+）的值，利用同角三角函数基本关系式即可计算求得cos2α，的值．【解答】解：∵tanα=2，∴tan（α+）===﹣3；cos2α====；===．故答案为：﹣3，，．【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值及两角和的正切函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．10．设为单位向量，其中，且，则与的夹角为60°，=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量积公式和向量的模，计算即可．【解答】解：设与的夹角为θ，∵，且，∴（2+）=2+=2cosθ+1=2，∴cosθ=，∵0≤θ≤180°，∴θ=60°，∴2=（2+）2=4+4+=4+4×+1=7，∴=，故答案为：60°，【点评】本题主要考查向量数量积的应用，根据向量数量积先求出向量夹角是解决本题的关键，属于中档题．11．已知直线l1：ax﹣y+3=0与直线l2：（a﹣1）x+2y﹣5=0，若直线l1的斜率为2，则a=2，若l1⊥l2，则a=2或﹣1．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的斜率．【分析】利用直线l1：ax﹣y+3=0的斜率为2，可求a；利用平面中的直线垂直的条件A1A2+B1B2=0，求出a的值．【解答】解：∵直线l1：ax﹣y+3=0的斜率为2，∴a=2．∵l1⊥l2，∴a（a﹣1）﹣2=0，∴（a﹣2）（a+1）=0，∴a=2或a=﹣1．故答案为：2；2或﹣1．【点评】本题考查了平面中的直线平行与垂直的应用问题，是基础题．12．直角△ABC中，C=，AC=2．若D为AC中点，且sin∠CBD=，则BC=，tanA=．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】由题意画出图象，由D为AC中点求出CD，在RT△BCD中，由题意和正弦函数求出BD，由勾股定理求出BC，在RT△BCD中，由正切函数求出tanA 的值【解答】解：由题意画出图象：∵AC=2，且D为AC中点，∴CD=1，在RT△BCD中，∵sin∠CBD=，∴，得BD=3，则BC==，在RT△BCD中，tanA===，故答案为：；．【点评】本题考查直角三角形中三角函数的定义，以及勾股定理，属于基础题．13．正实数x，y满足：x+y=xy，则x2+y2﹣4xy的最小值为﹣8．【考点】二次函数的性质．【分析】代入已知条件，化简表达式，通过配方法求解最小值即可．【解答】解：正实数x，y满足：x+y=xy，则x2+y2﹣4xy=x2+y2﹣4x﹣4y=（x﹣2）2+（y﹣2）2﹣8≥﹣8．当且仅当x=y=2时取等号．故答案为：﹣8．【点评】本题考查二次函数的性质的应用，函数的最值，考查计算能力．14．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：ax+y+3=0，点A（0，1），若直线l上存在点M，满足|MA|=2，则实数a的取值范围是a≤﹣或a≥．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】求出M的轨迹，转化为直线与圆有交点，利用圆心到直线的距离小于等于半径，建立不等式，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：设M（x，y），则∵点A（0，1），满足|MA|=2，∴M的轨迹方程为x2+（y﹣1）2=4，圆心为（0，1），半径为2．∵直线l：ax+y+3=0，点A（0，1），直线l上存在点M，满足|MA|=2，∴直线与圆有交点，∴圆心到直线的距离d=，∴a≤﹣或a≥．故答案为：a≤﹣或a≥．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查直线与圆的位置关系．是中档题，15．对任意的向量，和实数x∈[0，1]，如果满足，都有成立，那么实数λ的最小值为2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由绝对值和向量的模的性质≤1，即为≥1，解得即可．【解答】解：当向量=时，可得向量，均为零向量，不等式成立，∵＞|﹣|，∴|﹣x|≤|﹣|＜||，∴≤1，则有≥1，即λ≥2那么实数λ的最小值为2，故答案为：2．【点评】本题考查最值的求法，注意运用特值法，以及恒成立思想的运用，考查向量的运算性质，属于中档题．三．解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足．（I）求角B的值；（II）若，求sinC的值．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．【分析】（I）由，利用正弦定理可得sinBsinA=，结合sinA≠0可得tanB=，且0＜B＜π从而可求B（II）由二倍角的余弦可得，cosA=，进而可得sinA=，sinC=sin（A+），利用和角公式展开可求．【解答】解：（I）∵．由正弦定理得，sinBsinA=，∵sinA≠0，即tanB=，由于0＜B＜π，所以B=．（II）cosA=，因为sinA＞0，故sinA=，所以sinC=sin（A+）==．【点评】本题主要考查了利用正弦定理解三角形，二倍角公式的应用，及三角形内角和的运用，属于对基础知识的综合考查．17．已知直线l：（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．（1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；（2）过定点M作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程．【考点】待定系数法求直线方程；恒过定点的直线．【分析】（1）直线l解析式整理后，找出恒过定点坐标，判断即可得证；（2）由题意得到直线l1过的两个点坐标，利用待定系数法求出解析式即可．【解答】（1）证明：直线l整理得：（2x+y+4）+m（x﹣2y﹣3）=0，令，解得：，则无论m为何实数，直线l恒过定点（﹣1，﹣2）；（2）解：∵过定点M（﹣1，﹣2）作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，∴直线l1过（﹣2，0），（0，﹣4），设直线l1解析式为y=kx+b，把两点坐标代入得：，解得：，则直线l1的方程为y=﹣2x﹣4，即2x+y+4=0．【点评】此题考查了待定系数法求直线方程，以及恒过定点的直线，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n2+n，n∈N*，等比数列{b n}满足b1=1，b4=8，n∈N*．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等比数列；数列递推式．【分析】（1）由题意得，利用a n与S n的关系求出{a n}的通项公式，单独求出n=1时a1的值，验证其是否满足通项公式，即可求出{a n}的通项公式；利用等比数列的性质将{b n}的公比求出，即可求出其通项公式；（2）由（1）中求出的{a n}和{b n}的通项公式代入新数列中，写出新数列的通项公式，利用错位相减法求出其前n项和T n．【解答】解：由题意得：=2（n﹣1）2+（n﹣1）②，（1）因为S n=2n2+n①，所以S n﹣1=4n﹣1（n≥2）；所以①﹣②得：a n=S n﹣S n﹣1当n=1时，a1=S1=3；所以a n=4n﹣1，n∈N*，又因为等比数列{b n}满足b1=1，b4=8，n∈N*，所以=8，所以q=2，所以b n=2n﹣1；（2）由（1）可知a n b n=（4n﹣1）2n﹣1，所以T n=3+7×21+11×22+…+（4n﹣5）×2n﹣2+（4n﹣1）×2n﹣1①，2T n=3×2+7×22+11×23+…+（4n﹣5）×2n﹣1+（4n﹣1）×2n②，所以①﹣②得：﹣T n=3+4×2+4×22+4×23+…+4×2n﹣1﹣（4n﹣1）×2n②，T n=5+（4n﹣5）×2n．【点评】（1）本题难度中档，解题关键在于对a n=S n﹣S n的关系熟练掌握，以﹣1及等比数列相关知识点的掌握；（2）难度中上，解题关键在于对错位相减法求数列前n项和的方法的掌握和应用．19．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，（x∈R）．（1）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）的值域．（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦函数的图象．【分析】（1）利用三角恒等变换化简f（x），根据x的取值范围，求出f（x）的取值范围，即得最值；（2）先根据f（C）=0求出C的值，再根据向量共线以及正弦、余弦定理求出a、b的值．【解答】解：（1）函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣=sin2x﹣﹣=sin2x﹣cos2x﹣1=sin（2x﹣）﹣1．…∵﹣≤x≤，∴，∴，从而﹣1﹣≤sin（2x﹣）﹣1≤0．则f（x）的最小值是，最大值是0．…（2），则，∵0＜C＜π，∴﹣＜2C﹣＜，∴，解得C=．…∵向量与向量共线，∴sinB=2sinA，由正弦定理得，b=2a①由余弦定理得，，即a2+b2﹣ab②由①②解得a=1，b=2．…【点评】本题考查了三角恒等变换的应用问题，也考查了平面向量的应用以及正弦余弦定理的应用问题，是综合性题目．20．已知公差不为0的等差数列{a n}满足a2=3，a1，a3，a7成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}满足b n=+，求数列{b n}的前n项和S n；（Ⅲ）设c n=2n（﹣λ），若数列{c n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）依题意，可求得数列{a n}的首项与公差，从而可求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）结合（Ⅰ）a n=n+1，可求得b n=2+﹣，累加即可求数列{b n}的前n 项和S n；﹣c n=2n（﹣﹣λ）＜0对n∈N*都成立⇔（Ⅲ）依题意，应有c n+1﹣﹣λ＜0恒成立⇔λ＞，设f（n）=﹣，可求得f（n+1）﹣f（n）=，⇒f（1）＜f（2）=f（3）＞f（4）＞f（5）＞…，从而可求f（n）max，问题得到解决．【解答】解：（Ⅰ）由题知=a1a7，设等差数列{a n}的公差为d，则=a1（a1+6d），a1d=2d2，∵d≠0∴a1=2d．…又∵a2=3，∴a1+d=3，∴a1=2，d=1…∴a n=n+1．…（Ⅱ）∵b n=+=+=2+﹣．…∴S n=b1+b2+…+b n=（2+﹣）+（2+﹣）+…+（2+﹣）=2n+．…（III）c n=2n（﹣λ）=2n（﹣λ），使数列{c n}是单调递减数列，﹣c n=2n（﹣﹣λ）＜0对n∈N*都成立…则c n+1即﹣﹣λ＜0⇒λ＞…设f（n）=﹣，f（n+1）﹣f（n）=﹣﹣+=+﹣=2++1+﹣3﹣=…∴f（1）＜f（2）=f（3）＞f（4）＞f（5）＞…当n=2或n=3时，f（n）max=，∴=所以λ＞．…【点评】本题考查数列的递推，考查数列的求和，突出考查累加法求和，考查构造函数思想与等价转化思想的综合应用，考查函数的单调性与推理分析的能力，属于难题．。

上海市高一下学期期末考试数学试卷含答案

上海市高一数学下学期期末考试试卷考试范围：必修二；总分：150分；考试时间：120分钟学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息． 4．测试范围：高二下+高三全部内容 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α与β角均以Ox 为始边，终边分别是射线OA 和射线OB ，射线OA ，OC 与单位圆的交点分别为34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,0)C -．若6BOC π∠=，则cos()βα-的值是_________．2．化简sin sin()tan(3)23cos sin()2παπαπαπαα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭________． 3．复数112z i =-+，21z i =-，332z i =-，它们所对应的点分别为A 、B 、C ，若(),OC xOA yOB x y R =+∈，则yx=________. 4．设z ＝1－i ，则复数22()z z+·z ＝________． 5．已知向量()()1,3,3,3a b ==-，则a 与b 的夹角大小为___________.6．已知向量()()()2,1,0,1,4,3a b c ===，若λ为实数，且()a b c λ+⊥，则λ=___________.7．若函数()cos f x x =,[]2π,2πx ∈-,则不等式()0xf x >的解集为______. 8．若1sin 33πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.9．已知1sin 64x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则25sin sin 63x x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_______.10．已知函数()3sin 4cos f x x x =+，[]12,0,x x ∈π，则()()12f x f x -的最大值是________． 11．若函数()2sin 21()6f x x a a R π⎛⎫=++-∈ ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点12,x x ，则12x x a +-的取值范围是______________.12．已知将函数()sin()(06,)22f x x ππωθωθ=+<<-<<的图象向右平移3π个单位长度得到画()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ωθ⋅=________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．把复数z 1与z 2对应的向量OAOB ，分别按逆时针方向旋转4π和53π后，重合于向量OM 且模相等，已知21z =-，则复数1z 的代数式和它的辐角主值分别是（）A ．，34π B ．3,4πC ．,4πD ．,4π14．已知两非零向量b 与a 的夹角为120︒，且2243a a b =-=，，则b =（） A ．8B ．6C ．4D ．215．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论正确的是（） A ．()f x 是周期函数B ．()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在[,]-ππ有4个零点D ．()f x 的值域为[2,2]-16．在ABC 中，已知2b =，45B =︒，c =C 为（） A ．60︒B ．150︒C ．60︒或120︒D ．120︒三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．若不等式m 2－(m 2－3m )i <(m 2－4m ＋3)i ＋10成立，求实数m 的值.18．已知向量33cos,sin ,cos ,sin 2222x x a x x b ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求：（1）a b ⋅及||a b +；（2）若()2||f x a b a b λ=⋅-+的最小值为32-，求实数λ的值．19．已知函数21())sin ()(02)632f x x x ππωωω=+++-<<，且()04f π=．（1）求()f x 的解析式;（2）先将函数()y f x =图象上所有的点向右平移6π个单位长度，再将所得各点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，得到函数()y g x =的图象．若()g x 在区间,44ππαα⎛⎫-+⎪⎝⎭有且只有一个0x ，使得0()g x 取得最大值，求α的取值范围．20．在①sinsin sin A b cB C b a+=--；②c a =③2S CB =⋅，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，C ，S 为ABC 的面积，若__________（填条件序号）（1）求角C 的大小；（2）若边长2c =，求ABC 的周长的最大值．21．ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知222(2sin )4sin sin A B C B =-．（1）求角C 的大小；（2）若1,b c ==，求cos()B C -的值．高一数学下学期期末答案解析考试范围：必修二；总分：150分；考试时间：120分钟学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：5．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．6．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．7．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息． 8．测试范围：高二下+高三全部内容 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

(完整版)上海市奉贤中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题

观察的式子特征，明确各项关系，以及首末两项，即可写出，
所以，相比，增加了后两项，少了第一项，故。
【点睛】
本题主要考查学生的数学抽象能力，正确弄清式子特征是解题关键。
10．
【解析】
【分析】
由两角差的正弦公式以及诱导公式，即可求出的值。
10．设，其中，则的值为________.
11．设数列（）是等差数列，若和是方程的两根，则数列的前2019项的和 ________
12．已知等比数列的递增数列，且，则数列的通项公式 ________.
13．公比为的无穷等比数列满足：，，则实数的取值范围为________.
A．①③B．①④C．②③D．②④
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
5．一个扇形的半径是，弧长是，则圆心角的弧度数为________.
6．已知，则 ________.
7．已知，且，则 ________.
8．函数的单调增区间是________.
9．若，则 ________.
，，④正确。
综上，正确的结论是①④，故选B。
【点睛】
本题主要考查等比数列的性质应】
【分析】
直接根据弧长公式，可得。
【详解】
因为，所以，解得
【点睛】
本题主要考查弧长公式的应用。
6．
【解析】
【分析】
根据同角三角函数基本关系式，联立求解出，由二倍角公式即可算出。
（1）求的表达式；
（2）写出，的值，并求数列的通项公式；
（3）定义，记，且恒成立，求的取值范围.

2018-2019学年上海市上海中学高一下学期期末数学试题(解析版)

2018-2019学年上海市上海中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且10100S =，则7a 的值为 A ．11 B ．12C ．13D ．14【答案】C【解析】利用等差数列通项公式及前n 项和公式，即可得到结果. 【详解】∵等差数列{}n a 的公差为2，且10100S =， ∴1011091021002S a ⨯=+⨯= ∴11a =∴()7171213a =+-⨯=. 故选：C 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及前n 项和公式，考查计算能力，属于基础题. 2．等比数列的前项和为，已知，，则（） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意可知，，，解得：，，求得，故选C.3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112,0,3m m m S S S -+=-==，则m =( ) A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】由0m S =()112m m m a a S S -⇒=-=--=-又113m m m a S S ++=-=，可得公差11m m d a a +=-=，从而可得结果. 【详解】{}n a 是等差数列()102ms m m a a S +∴==()112m m m a a S S -⇒=-=--=-又113m m m a S S ++=-=， ∴公差11m m d a a +=-=，11325m a a m m m +==+=-+⇒=，故选C ．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 4．设02πα<<，若11sin ,(sin )(1,2,3,)n x n x x n αα+===，则数列{}n x 是（）A ．递增数列B ．递减数列C ．奇数项递增，偶数项递减的数列D ．偶数项递增，奇数项递减的数列【答案】C【解析】根据题意，由三角函数的性质分析可得0sin 1a <<，进而可得函数(sin )xy a =为减函数，结合函数与数列的关系分析可得答案。

上海市奉贤县奉贤中学高一数学理期末试卷含解析

上海市奉贤县奉贤中学高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），则k+α=（）A．B．1 C．D．2参考答案：A【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据幂函数f（x）的定义与性质，求出k与α的值即可．【解答】解：∵幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），∴k=1， =，∴α=﹣；∴k+α=1﹣=．故选：A．【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．2. 在等差数列{a n}中，，则（）A. 72B. 60C. 48D. 36参考答案：B【分析】由等差数列的性质可知：由，可得，所以可求出，再次利用此性质可以化简为，最后可求出的值.【详解】根据等差数列的性质可知：，，故本题选B.【点睛】本题考查了等差数列下标的性质，考查了数学运算能力. 3. 已知函数，则函数的大致图像为（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据函数奇偶性的概念得到BC错误，再由特殊值得到答案.【详解】故函数非奇非偶，排除B,C..故选A．【点睛】这个题目考查了已知函数的表达式选择函数的图像，这类题目通常是从表达式入手，通过表达式得到函数的定义域，值域，奇偶性，等来排除部分选项，或者寻找函数的极限值，也可以排除选项.4. 若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是A．B．C．4 D．参考答案：B5. 设点B是点A（2，﹣3，5）关于xOy面的对称点，则A、B两点距离为（）A．10 B．C．D．38参考答案：A【考点】空间两点间的距离公式；空间中的点的坐标．【分析】点B是A（2，﹣3，5）关于xoy平面对称的点，B点的横标和纵标与A 点相同，竖标相反，写出点B的坐标，根据这条线段与z轴平行，得到A、B两点距离．【解答】解：点B是A（2，﹣3，5）关于xoy平面对称的点，∴B点的横标和纵标与A点相同，竖标相反，∴B（2，﹣3，﹣5）∴AB的长度是5﹣（﹣5）=10，故选A．6. 已知角θ的终边过点P（﹣12，5），则cosθ=（）A． B．C．D．参考答案：B【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得cosθ的值．【解答】解：∵角θ的终边过点P（﹣12，5），则r=|OP|=13，∴cosθ===﹣，故选：B．7. 设集合A＝{x|1＜x≤2}，B＝{ x|x＜a}，若A∪B=B，则a的取值范围是( )．A．{a|a≥1}B．{a|a≤1}C．{a|a≥2}D．{a|a＞2}参考答案：D由A∪B=B，得A?B，已知A＝{x|1＜x≤2}，B＝{ x|x＜a}，故a>2,故选D .8. 下列命题中，不正确的是（）A．B．λ()=(λ) C．（）=D．与共线=参考答案：D9. 若变量x，y满足约束条件，且的最大值为a，最小值为b，则的值是A. 48B. 30C. 24D. 16参考答案：C由，由，当最大时，最小，此时最小，，故选C.【点睛】本题除了做约束条件的可行域再平移求得正解这种常规解法之外，也可以采用构造法解题，这就要求考生要有较强的观察能力，或者采用设元求出构造所学的系数.10. 某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（）A．36cm3 B．48cm3 C．60cm3 D．72cm3参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若 .参考答案：4略12. （5分）过原点O 作圆x 2+y 2﹣6x ﹣8y+20=0的两条切线，设切点分别为M ，N ，则线段MN 的长为．参考答案：4考点：圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：先求出圆心坐标和半径，直角三角形中使用边角关系求出cos∠OCM，二倍角公式求出cos∠MCN，三角形MCN 中，用余弦定理求出|MN|．解答：圆x 2+y 2﹣6x ﹣8y+20=0 可化为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=5，圆心C （3，4）到原点的距离为5．故cos∠OCM=，∴cos∠MCN=2cos 2∠OCM﹣1=﹣，∴|MN|2=（）2+（）2+2×（）2×=16．∴|MN|=4．故答案为：4点评：本题考查直角三角形中的边角关系，二倍角的余弦公式，以及用余弦定理求边长．13. 已知钝角三角形ABC 的最大边长是2，其余两边长分别是，则集合所表示的平面图形的面积是；参考答案：π－214. 函数的值域是_______________.参考答案：略15. 给出下列命题：①、0与表示同一个集合；②、由1，2，3组成的集合可表示为；③、方程的所有解的集合可表示为；④、集合可以用列举法表示；⑤、若全集，则集合的真子集共有3个。

2018-2019学年上海市高一第二学期期末复习卷数学试题(解析版)

2018-2019学年上海市高一第二学期期末复习卷数学试题一、单选题1．在ABC ∆中A B >是cos cos A B <的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】C 【解析】略2．记等差数列{}n a 前n 项和n S ，如果已知521a a +的值，我们可以求得（） A ．23S 的值 B ．24S 的值C ．25S 的值D ．26S 的值【答案】C【解析】设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 5+a 21=2a 1+24d 的值为已知，再利用等差数列的求和公式，即可得出结论．【详解】设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，∵已知a 5+a 21的值， ∴2a 1+24d 的值为已知，∴a 1+12d 的值为已知，∵()251125242525122S a d a d ⨯=+=+ ∴我们可以求得S 25的值．故选：C ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，考查学生的计算能力，属于中档题． 3．若数列{}n a 对任意2()n n N ≥∈满足()()11220n n n n a a a a -----=，下面给出关于数列{}n a 的四个命题：①{}n a 可以是等差数列，②{}n a 可以是等比数列；③{}n a 可以既是等差又是等比数列；④{}n a 可以既不是等差又不是等比数列；则上述命题中，正确的个数为（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】由已知可得a n ﹣a n ﹣1＝2，或a n ＝2a n ﹣1，结合等差数列和等比数列的定义，可得答案．【详解】∵数列{a n }对任意n≥2（n ∈N ）满足（a n ﹣a n ﹣1﹣2）（a n ﹣2a n ﹣1）＝0，∴a n ﹣a n ﹣1＝2，或a n ＝2a n ﹣1，∴①{a n }可以是公差为2的等差数列，正确； ②{a n }可以是公比为2的等比数列，正确；③若{a n }既是等差又是等比数列，即此时公差为0，公比为1，由①②得，③错误； ④{a n }可以既不是等差又不是等比数列，错误；故选：B ．【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了等差，等比数列的相关内容，属于中档题. 4．有穷数列1232015,,;a a a a 中的每一项都是-1，0，1这三个数中的某一个数，1232015425a a a a +++⋯+=，且()211a ++()221a +()()2232015113870a a +++++=，则有穷数列1232015,,,a a a a 中值为0的项数是（）A ．1000B ．1010C ．1015D ．1030【答案】B【解析】把（a 1+1）2+（a 2+1）2+（a 3+1）2+…+（a 2015+1）2＝3870展开，将a 1+a 2+a 3+…+a 2015＝425，代入化简得：222122015a a a +++＝1005，由于数列a 1，a 2，a 3，…，a 2015中的每一项都是﹣1，0，1这三个数中的某一个数，即可得出．【详解】（a 1+1）2+（a 2+1）2+（a 3+1）2+…+（a 2015+1）2＝3870，展开可得：222122015a a a ++++2（a 1+a 2+…+a 2015）+2015＝3870，把a 1+a 2+a 3+…+a 2015＝425，代入化简可得：222122015a a a +++＝1005，∵数列a 1，a 2，a 3，…，a 2015中的每一项都是﹣1，0，1这三个数中的某一个数， ∴有穷数列a 1，a 2，a 3，…，a 2015中值为0的项数等于2015﹣1005＝1010．故选：B ．【点睛】本题考查了乘法公式化简求值、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题5．在等差数列{}n a 中，己知12a =，24a =-，则4a =______.【答案】-16【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，利用通项公式求出即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，得216d a a =-=-，则()41323616a a d =+=+⨯-=-.故答案为：16- 【点睛】本题考查了等差数列通项公式的应用，属于基础题.6．已知{}n a 为等差数列，135a =，2d =-，0n S =，则n =______. 【答案】36【解析】由等差数列的前n 项和公式()1n 12n n S na d -=+，代入计算即可. 【详解】已知{}n a 为等差数列，且135a =，2d =-，所以()1102n n n S na d -=+=，解得36n =或0n =（舍）故答案为：36 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式的应用，属于基础题.7．在等比数列{}n a 中，338131024a a a =，2910a a 的值为______.【答案】4【解析】由等比中项，结合338131024a a a =得84a =，化简29810a a a =即可. 【详解】由等比中项得35103813810242a a a a ===，得84a =，设等比数列{}n a 的公比为q ，化简22982102884q a a a a a q===. 故答案为：4 【点睛】本题考查了等比中项的性质，通项公式的应用，属于基础题. 8．己知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，11334S π=，则6tan a =______. 【答案】-1【解析】由等差数列的()11111113324S a a π⨯+==，得11162a a a +=，代入计算即可. 【详解】己知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，所以()11111113324S a a π⨯+==，得11132a a π+=，由等差中项得634a π=，所以6tan a =3tan14π=-. 故答案为：-1 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式和等差中项的应用，属于基础题. 9．函数arccos y x =在11,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦的值域是______.【答案】2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由函数y ＝arccos x 在11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦为减函数，代入即可得值域. 【详解】已知函数arccos y x =在11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦为减函数，则当x ＝-1时，函数取最大值arccos （-1），即函数取最da 值为π，当12x =-时，函数取最小值arccos （﹣12），即函数取最小值为23π，故答案为：2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了反三角余弦函数单调性的应用，属于基础题．10．数列{}n a 中，11a =，22a =，21n n n a a a ++=-，则{}n a 的前2018项和为______. 【答案】3【解析】直接利用递推关系式和数列的周期求出结果即可．【详解】数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n+2＝a n+1﹣a n ，则：a 3＝a 2﹣a 1＝1，a 4＝a 3﹣a 2＝﹣1，a 5＝a 4﹣a 3＝﹣2，a 6＝a 5﹣a 4＝﹣1， a 7＝a 6﹣a 5＝1，…所以：数列的周期为6．a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6＝0，数列{a n }的前2018项和为：（a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6）+…+（a 2011+a 2012+a 2013+a 2014+a 2015+a 2016）+a 2017+a 2018，＝0+0+…+0+（a 1+a 2）＝3．故答案为：3 【点睛】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，数列的周期的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题． 11．已知函数()arcsin(2)2f x x π=+，则13f π-⎛⎫= ⎪⎝⎭______. 【答案】14-【解析】根据题意令f （x ）＝3π，求出x 的值，即可得出f ﹣1（3π）的值．【详解】令f （x ）＝2π+arcsin （2x ）＝3π，得arcsin （2x ）＝﹣6π，∴2x ＝﹣12，解得x ＝﹣14，∴f ﹣1（3π）＝﹣14．故答案为：﹣14．【点睛】本题考查了反函数以及反正弦函数的应用问题，属于基础题．12．己知数列{}n a 前n 项和22n S n =，则该数列的通项公式n a =______.【答案】42n a n =-【解析】由22n S n =，再写一式，两式相减，可得{a n }的通项公式；【详解】∵S n ＝2n 2（n ∈N ），∴n ＝1时，a 1＝S 1＝2；n≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝4n ﹣2，a 1＝2也满足上式，∴a n ＝4n ﹣2 故答案为：42n a n =- 【点睛】本题考查数列的递推式，考查数列的通项，属于基础题． 13．若3x π=是方程2cos()1x α+=的解，其中(0,2)απ∈，则α=______.【答案】43π 【解析】把3x π=代入方程2cos （x +α）＝1，化简根据α∈（0，2π），确定函数值的范围，求出α即可．【详解】 ∵3x π=是方程2cos （x+α）＝1的解，∴2cos （3π+α）＝1，即cos （3π+α）＝12．又α∈（0，2π），∴3π+α∈（3π，73π）．∴3π+α＝53π．∴α＝43π．故答案为：43π 【点睛】本题考查三角函数值的符号，三角函数的定义域，考查逻辑思维能力，属于基础题． 14．若数列{}n a 满足12a =，21a =，1111n n n n n n a a a a a a -+-+--=(2)n ≥，则20a =______.【答案】110【解析】由1111n n n n n n a a a a a a -+-+--=(2)n ≥，化简得11211n n n a a a -+=+(2)n ≥，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，结合已知条件得20a . 【详解】由1111n n n n n n a a a a a a -+-+--=(2)n ≥，化简得11211n n n a a a -+=+(2)n ≥，且12a =，21a =，得211112d a a =-=，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，以12为公差的等差数列，所以201111119191022d a a ⎛⎫=+=+⨯= ⎪⎝⎭，即20110a = 故答案为：110【点睛】本题考查了数列的递推式，考查了判断数列是等差数列的方法，属于中档题.15．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦.B .曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路，如图是按照一定的分形规律生产成一个数形图，则第13行的实心圆点的个数是______.【答案】144【解析】本题是一个探究型的题，可以看到第四行起每一行实心圆点的个数都是前两行实心圆点个数的和，由此可以得到一个递推关系，利用此递推关系求解即可得答案．【详解】由题意及图形知不妨构造这样一个数列{a n}表示实心圆点的个数变化规律，令a1＝1，a2＝1，n≥3时，a n＝a n﹣1+a n﹣2，本数列中的n对应着图形中的第n+1行中实心圆点的个数．由此知a11即所求：故各行中实心圆点的个数依次为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144；即第13项为144.故答案为：144【点睛】本题考查归纳推理的应用，涉及数列的递推公式，是一个新定义的题，此类题关键是从定义中找出其规律来，构造出相应的数学模型，属于中档题.16．已知数列满足：（m为正整数），若，则m所有可能的取值为__________。

2018~2019学年度高一下学期数学期末试卷(含答案)

2018~2019学年度高一下学期数学期末试卷（含答案）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.若角α的终边经过点(1,−√3)，则sinα=()A. −12B. −√32C. 12D. √322.已知a⃗=(1,x)和b⃗ =(2x+3,−3)，若a⃗⊥b⃗ ，则|a⃗+b⃗ |=()A. 10B. 8C. √10D. 643.已知sin(α+π6)=2√55，则cos(π3−α)=()A. √55B. −√55C. 2√55D. −2√554.函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向右平移π6个单位后所得的图象关于原点对称，则φ可以是()A. π6B. π3C. π4D. 2π35.已知直线3x−y+1=0的倾斜角为α，则12sin2α+cos2α=()A. 25B. −15C. 14D. −1206.某班统计一次数学测验的平均分与方差，计算完毕以后才发现有位同学的卷子还未登分，只好重算一次．已知原平均分和原方差分别为x−、s2，新平均分和新方差分别为x1−、s12，若此同学的得分恰好为x−，则()A. x−=x1−，s2=s12B. x−=x1−，s2<s12C. x−=x1−，s2>s12D. ，s2=s127.某班运动队由足球运动员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成，现从这些运动员中抽取1个容量为n的样本，若分别采用系统抽样和分层抽样，则都不用剔除个体；当样本容量为n+1个时，若采用系统抽样，则需要剔除1个个体，那么样本容量n为()A. 5B. 6C. 12D. 188.执行如图的程序框图．若输入A=3，则输出i的值为()A. 3B. 4C. 5D. 69. 已知△ABC 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△ABC 是( )A. 等边三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形10. “勾股定理”在西方被称为“华达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为4的大正方形，若直角三角形中较小的锐角α=15°，现在向该大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在图中区域1或区域2内的概率是( )A. 12B. 58C. 34D. 7811. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<ϕ<π2)的部分图象如图所示，则f(0)的值是( )A. √32B. √34C. √62D. √6412. 已知a ⃗ =(sin ω2x,sinωx),b ⃗ =(sin ω2x,12)，其中ω>0，若函数f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ −12在区间(π,2π)内没有零点，则ω的取值范围是( ) A. (0,18]B. (0,58]C. (0,18]∪[58,1]D. (0,18]∪[14,58]二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，它们的环数方差分别为s 甲2=2.1，s 乙2=2.6，则射击稳定程度较高的是______(填甲或乙)．14. 执行如图的程序框图，若输入的x =2，则输出的y =______．15. 《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长(弧长)为20米，径长(两段半径的和)为24米，则该扇形田的面积为______平方米．16. 已知点P(4m,−3m)(m <0)在角α的终边上，则2sinα+cosα=______．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.2018年3月19日，世界上最后一头雄性北方白犀牛“苏丹”在肯尼亚去世，从此北方白犀牛种群仅剩2头雌性，北方白犀牛种群正式进入灭绝倒计时．某校一动物保护协会的成员在这一事件后，在全校学生中组织了一次关于濒危物种犀牛保护知识的问卷调查活动．已知该校有高一学生1200人，高二1300人，高三学生1000人．采用分层抽样从学生中抽70人进行问卷调查，结果如下：完全不知道知道但未采取措施知道且采取措施高一8x y高二z133高三712m在进行问卷调查的70名学生中随机抽取一名“知道但未采取措施”的高一学生的概率是0.2．(Ⅰ)求x，y，z，m；(Ⅱ)从“知道且采取措施”的学生中随机选2名学生进行座谈，求恰好有1名高一学生，1名高二学生的概率．18.为增强学生体质，提升学生锻炼意识，我市某学校高一年级外出“研学”期间举行跳绳比赛，共有160名同学报名参赛．参赛同学一分钟内跳绳次数都在区间[90,150]内，其频率直方图如右下图所示，已知区间[130,140)，[140,150]上的频率分别为0.15和0.05，区间[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)上的频率依次成等差数列．(Ⅰ)分别求出区间[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率；(Ⅱ)将所有人的数据按从小到大排列，并依次编号1，2，3，4…160，现采用等距抽样的方法抽取32人样本，若抽取的第四个的编号为18．(ⅰ)求第一个编号大小；(ⅰ)从此32人中随机选出一人，则此人的跳绳次数在区间[110,130)上的概率是多少？19.已知a⃗=(1,2)，b⃗ =(−3,4)．(1)若|k a⃗+b⃗ |=5，求k的值；(2)求a⃗+b⃗ 与a⃗−b⃗ 的夹角．，且α为第二象限角．20.已知sinα=35(1)求sin2α的值；)的值．(2)求tan(α+π4)(x∈R)．21.设函数f(x)=4cosx⋅sin(x+π6(1)求函数y=f(x)的最小正周期和单调递增区间；]时，求函数f(x)的最大值．(2)当x∈[0,π2)，f(0)=0，且函数f(x) 22.已知f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,0<|φ|<π2．图象上的任意两条对称轴之间距离的最小值是π2)的值；(1)求f(π8(2)将函数y=f(x)的图象向右平移π个单位后，得到函数y=g(x)的图象，求函数6g(x)的解析式，并求g(x)在x∈[π6,π2]上的最值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：角α的终边经过点(1,−√3)，则sinα=yr =−√32．故选：B．直接利用任意角的三角函数的定义，求解即可．本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力．2.【答案】A【解析】解：a⃗=(1,x)和b⃗ =(2x+3,−3)，若a⃗⊥b⃗ ，可得：2x+3−3x=0，解得x=3，所以a⃗+b⃗ =(10,0)，所以|a⃗+b⃗ |=10．故选：A．利用向量的垂直，求出x，然后求解向量的模．本题考查向量的数量积以及向量的模的求法，向量的垂直条件的应用，是基本知识的考查．3.【答案】C【解析】解：∵已知sin(α+π6)=2√55，∴cos(π3−α)=cos[π2−(α+π6)]=sin(α+π6)=2√55，故选：C．由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．本题主要考查利用诱导公式进行化简三角函数式，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向右平移π6个单位后，可得y=sin(2x−π3+φ)，∵图象关于原点对称，∴φ−π3=kπ，k∈Z，可得：φ=kπ+π3．当k=0时，可得φ=π3．故选：B．根据图象变换规律，可得解析式，图象关于原点对称，建立关系，即可求解φ值．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律和对称问题，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：∵直线3x −y +1=0的倾斜角为α，∴tanα=3， ∴12sin2α+cos 2α=12⋅2sinαcosα+cos 2α=sinαcosα+cos 2αsin 2α+cos 2α=tanα+1tan 2α+1=3+19+1=25，故选：A ．由题意利用直线的倾斜角和斜率求出tanα的值，再利用三角恒等变换，求出要求式子的值．本题主要考查直线的倾斜角和斜率，三角恒等变换，属于中档题． 6.【答案】C【解析】解：设这个班有n 个同学，数据分别是a 1，a 2，…，a i,…，a n ，第i 个同学没登分，第一次计算时总分是(n −1)x −，方差是s 2=1n−1[(a 1−x −)2+⋯+(a i−1−x −)2+(a i+1−x −)2+⋯+(a n −x −)2]第二次计算时，x 1−=(n−1)x −+x−n=x −，方差s 12=1n [(a 1−x −)2+⋯(a i−1−x −)2+(x −x)2+(a i+1−x −)2+⋯+(a n −x −)2]=n−1ns 2，故s 2>s 12，故选：C ．根据平均数和方差的公式计算比较即可．本题考查了求平均数和方差的公式，是一道基础题． 7.【答案】B【解析】解：由题意知采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体， ∵总体容量为6+12+18=36．当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ，分层抽样的比例是n36，抽取的乒乓球运动员人数为n36⋅6=n6，篮球运动员人数为n36⋅12=n3，足球运动员人数为n36⋅18=n2， ∵n 应是6的倍数，36的约数，即n =6，12，18．当样本容量为(n +1)时，总体容量是35人，系统抽样的间隔为35n+1， ∵35n+1必须是整数，∴n 只能取6．即样本容量n =6．故选：B ．由题意知采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，算出总体个数，根据分层抽样的比例和抽取的乒乓球运动员人数得到n 应是6的倍数，36的约数，由系统抽样得到35n+1必须是整数，验证出n 的值．本题考查分层抽样和系统抽样，是一个用来认识这两种抽样的一个题目，把两种抽样放在一个题目中考查，加以区分，是一个好题． 8.【答案】C【解析】解：运行步骤为：i =1，A =7 i =2，A =15； i =3，A =31； i =4，A =63； i =5，A =127；故输出i 值为5，故选：C ．根据已知的程序语句可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了向量的加减法则，数量积的运算性质，三角形形状的判断，属于中档题．根据向量的加减运算法则，将已知化简得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，得CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.结合向量数量积的运算性质，可得CA ⊥CB ，得△ABC 是直角三角形．【解答】解：∵△ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，即CA ⊥CB ， ∴△ABC 是直角三角形，故选C ． 10.【答案】B【解析】解：小正方形的边长为4sin750−4cos750=(√6+√2)−(√6−√2)=2√2，故小正方形与大正方形的面积之比为(2√24)2=12，因此剩下的每个直角三角形的面积与大正方形的面积之比为12÷4=18， ∴飞镖落在区域1或区域2的概率为12+18=58．故选：B ．由已知求出小正方形的边长，得到小正方形及直角三角形与大正方形的面积比，则答案可求．本题考查几何概型概率的求法，求出小正方形及直角三角形与大正方形的面积比是关键，是中档题．11.【答案】C【解析】解：由图知，A=√2，又ω>0，T 4=7π12−π3=π4，∴T=2πω=π，∴ω=2，∴π3×2+φ=2kπ+π(k∈Z)，∴φ=2kπ+π3(k∈Z)，∵0<ϕ<π2，∴φ=π3，∴f(x)=√2sin(2x+π3)，∴f(0)=√2sinπ3=√62．故选：C．由图知，A=√2，由T4=π4，可求得ω，π3ω+φ=2kπ+π(k∈Z)，0<ϕ<π2可求得φ，从而可得f(x)的解析式，于是可求f(0)的值．本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，求得φ是难点，考查识图能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：a⃗=(sinω2x,sinωx),b⃗ =(sinω2x,12)，其中ω>0，则函数f(x)=a⃗⋅b⃗ −12=sin2(ω2x)+12sinωx−12=12−12cosωx+12sinωx−12=√2sin(ωx−π4)，可得T=2πω≥π，0<ω≤2，f(x)在区间(π,2π)内没有零点，结合三角函数可得，{πω−π4≥02πω−π4≤π或{πω−π4≥−π2πω−π4≤0，解得14≤ω≤58或0<ω≤18，故选：D．利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用函数的零点以及函数的周期，列出不等式求解即可．本题考查函数的零点个数的判断，三角函数的化简求值，考查计算能力．13.【答案】甲【解析】解：方差越小越稳定，s 甲2=2.1<s 乙2=2.6，故答案为：甲．根据方差的大小判断即可．本题考查了方差的意义，掌握方差越小越稳定是解决本题的关键，是一道基础题． 14.【答案】7【解析】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算并输出y ={2x x >23x +1x ≤2的值，∵输入结果为2，∴y =3×2+1=7．故答案为：7．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算并输出y ={2x x >23x +1x ≤2的值，由已知代入计算即可得解．本题主要考查选择结构的程序框图的应用，关键是判断出输入的值是否满足判断框中的条件，属于基础题． 15.【答案】120【解析】解：由题意可得：弧长l =20，半径r =12，扇形面积S =12lr =12×20×12=120(平方米)，故答案为：120．利用扇形面积计算公式即可得出．本题考查了扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.【答案】25【解析】解：点P(4m,−3m)(m <0)在角α的终边上，∴x =4m ，y =−3m ，r =|OP|=√16m 2+9m 2=−5m ， ∴sinα=y r=35，cosα=x r =−45，∴2sinα+cosα=65−45=25，故答案为：25．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα和cosα的值，可得2sinα+cosα的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)采用分层抽样从3500名学生中抽70人，则高一学生抽24人，高二学生抽26人，高三学生抽20人．“知道但未采取措施”的高一学生的概率=x70=0.2， ∴x =14，∴y =24−14−8=2，z=26−13−3=10，m=20−12−7=1，∴x=14，y=2，z=10，m=1；(Ⅱ)“知道且采取措施”的学生中高一学生2名用A，B表示，高二学生3名用C，D，E表示，高三学生1名用F表示．则从这6名学生中随机抽取2名的情况有：(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)，(A,F)，(B,C)，(B,D)，(B,E)，(B,F)，(C,D)，(C,E)，(C,F)，(D,E)，(D,F)，(E,F)共15种，其中恰好1名高一学生1名高二学生的有6种．∴P=615=25，即恰好有1名高一学生，1名高二学生的概率为25．【解析】(Ⅰ)根据分层抽样先求出x，即可求出y，z，m．(Ⅱ)知道且采取措施”的学生中高一学生2名用A，B表示，高二学生3名用C，D，E 表示，高三学生1名用F表示．根据古典概率公式计算即可．本题考查等可能事件的概率，古典概型概率计算公式等知识，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率之和为：1−10×0.035−0.15−0.05=0.45，且前三个频率成等差数列(设公差为d)，故[100,110)上的频率为：0.453=0.15，从而2d=0.35−0.15=0.2，解得d=0.1，∴[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率分别为0.05，0.15，0.25.……(5分) (Ⅱ)(ⅰ)从160人中抽取32人，样本距为5，故第一个编号为18−3×5=3.……(7分) (ⅰ)抽取的32人的编号依次成等差数列，首项为3，公差为5，设第n个编号为a n，则a n=3+(n−1)×5=5n−2，……(9分)由(1)可知区间[90,100)，[100,110)上的总人数为160×(0.05+0.15)=32人，[110,120)，[120,130)上的总人数为160×(0.25+0.35)=96人，[90,130)共有128人，令33≤a n≤128，解得7≤n≤26，∴在[110,120)，[120,130)上抽取的样本有20人，……(11分)故从此32人中随机选出一人，则此人的跳绳次数在区间[110,130)的概率是p=2032=58.……(12分)【解析】(Ⅰ)先求出[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率之和，再由前三个频率成等差数列，得[100,110)上的频率为0.15，由此能求出[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率．(Ⅱ)(ⅰ)从160人中抽取32人，样本距为5，由此能求出第一个编号．(ⅰ)抽取的32人的编号依次成等差数列，首项为3，公差为5，设第n个编号为a n，则a n=3+(n−1)×5=5n−2，由此能求出从此32人中随机选出一人，则此人的跳绳次数在区间[110,130)的概率．本题考查频率的求法，考查第一个编号、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．19.【答案】解：(1)根据题意，k a⃗+b⃗ =k(1,2)+(−3,4)=(k−3,2k+4)，由|k a ⃗ +b ⃗ |=5，得√(k −3)2+(2k +4)2=5，解得：k =0或k =−2；(2)根据题意，设a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 的夹角为θ，a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(−3,4)，则a ⃗ +b ⃗ =(−2,6)，a ⃗ −b ⃗ =(4,−2)；∴cosθ=40×20=−√22， ∵θ∈[0,π]；∴a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 夹角为3π4．【解析】(1)根据题意，求出k a ⃗ +b⃗ 的坐标，进而由向量模的计算公式可得√(k −3)2+(2k +4)2=5，解可得k 的值，即可得答案；(2)设a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 的夹角为θ，求出a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 的坐标，由向量数量积的计算公式可得cosθ的值，结合θ的范围计算可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量数量积、模的计算公式． 20.【答案】解：(1)∵sinα=35，且α为第二象限角，∴cosα=−√1−sin 2α=−45， ∴sin2α=2sinαcosα=2×35×(−45)=−2425；(2)由(1)知tanα=sinαcosα=−34， ∴tan(α+π4)=tanα+tan π41−tanαtan π4=−34+11−(−34)=17．【解析】(1)由已知利用平方关系求得cosα，再由二倍角公式求得sin2α的值；(2)由(1)求出tanα，展开两角和的正切求得tan(α+π4)的值．本题考查同角三角函数基本关系式的应用，考查两角和的正切，是基础的计算题． 21.【答案】解：(1)f(x)=4cosx ⋅sin(x +π6)=2√3sinxcosx +2cos 2x=√3sin2x +cos2x +1=2sin(2x +π6)+1，∴函数f(x)的周期T =π，∴当2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2时，即kπ−π3≤x ≤kπ+π6，k ∈Z ，函数单调增， ∴函数的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6](k ∈Z)； (2)当x ∈[0,π2]时，2x +π6∈[π6,7π6]， ∴sin(2x +π6)∈[−12,1]，∴当sin(2x +π6)=1，f(x)max =3．【解析】(1)对f(x)化简，然后利用周期公式求出周期，再利用整体法求出单调增区间； (2)当x ∈[0,π2]时，sin(2x +π6)∈[−12,1]，然后可得f(x)的最大值．本题考查了三角函数的化简求值和三角函数的图象与性质，考查了整体思想和数形结合思想，属基础题．22.【答案】解：(1)f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=√2sin(ωx+φ+π4)，故2πω=2×π2，求得ω=2．再根据f(0)=sin(φ+π4)=0，0<|φ|<π2，可得φ=−π4，故f(x)=√2sin2x，f(π8)=√2sinπ4=1．(2)将函数y=f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到函数y=g(x)=√2sin2(x−π6)=√2sin(2x−π3)的图象．∵x∈[π6,π2]，∴2x−π3∈[0,2π3]，当2x−π3=π2时，g(x)=√2sin(2x−π3)取得最大值为√2；当2x−π3=0时，g(x)=√2sin(2x−π3)取得最小值为0．【解析】(1)由条件利用两角和差的正弦公式化简f(x)的解析式，由周期求出ω，由f(0)= 0求出φ的值，可得f(x)的解析式，从而求得f(π8)的值．(2)由条件利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域求得g(x)在x∈[π6,π2]上的最值．本题主要考查两角和差的正弦公式，由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由周期求出ω，由f(0)=0求出φ的值，可得f(x)的解析式；函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．。

2019学年上海市高一下学期期末考试数学试卷【含答案及解析】

2019学年上海市高一下学期期末考试数学试卷【含答案及解析】姓名____________ 班级_______________ 分数____________一、填空题1. 计算： ------- :—"~*亚4对+ 12. 已知数列；一「为等差数列，•―- ■-，贝V二3. 在等比数列，中，二y - m ,则—的值为4. 已知；；是等差数列，是其前*项和，•，则45. 函数 -■- 在上「一1」.的值域是6. 数列■:中，込一；，,一二，“；一，.一心“ ■-監,贝V ：的前2015项和= ----------------------- ----7. 在数列.「中，已知广二」..二1* ,且数列•化+菇是等比数列，则9.函数v = sin —+ cos —在f —hT-"\内的单调递增区间为J7争rr10. 在厶'、、、；、中，已知，贝「1, 的取值范围是11. 在等腰直角中，，-一 i ,形，如图所示，若正方形的面积依次为 -.八，则•’•‘12.已知数列｛nJ 满足q ・-1勺＞斫.匕灼-他卜严⑷「V*）,若数列；单调递减，数列；’ 单调递增，则数列罠「；■的通项公式为-=8. 执行右边的程序框图，若「二、，则输出的X1BC 中排列着内接正方（从大到小），其中、选择题) 本题共有2个小题，第1小题4分，第2小题4分.A B.C 的对边分别为门、氏匸.已知c =C,-EU11 A •C . 钝角三角形D .不能确定14.利用数学归纳法证明“ 1 +灯一小 4-L + /' =■|芒 1、 n e A ) ”,在验1 一证 -,成立时，等号左边是()A .B .C .D .1十亓+打】15.在等差数列打中，若且的前•项和有最小值，则使得 |的最小值 n 为(A .11B .19C .D16. 有穷数列, CT, ， …，- 中的每一项都是一 II , 0 ,1这三个数中的某一个数，若灯1+ +…+ =425,且 i 一 1 r+・+'+…+■ = 3870 ,则有穷数列■- , ■ ■ ■ ■ ，：： ,中值为0的项数是()A ..■. C B .；门$.1010D . 1030三、解答题)在 ^中，右，则一宀的形状是()锐角三角形________________ B .直角三角形13. A .(本题满分8分ZU2?C 中，内角 17.在 (1 )求.；，的大小；(2 )若-7.7 ，求 _；；的面积.18. (本题满分8分) 本题共有2个小题，第1小题4分，第2小题4分.已知；[、：：|| . ^ ^ 一■； .■'|| — ，■，且函数’图象上的任意两条对称轴之间距离的最小值是—•(1 )求的值；(2)将函数= _■/-,,>>的图像向右平移— 个单位后，得到函数■ = 的图像,6 求函数•的解析式，并求 • 在——-上的最值.19. (本题满分10分) 本题共有2个小题，第1小题4分，第2小题6分已知数列；.：的首项.■ .「「.(1 )求证：数列；—-J.为等比数列；•%」(2) 记「；-」--[* ，若| ,求最大正整数坏 %6本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题6分-公司开拓国际市场，基本形成了市场规模个月(20 14年1月为第一个月)产品的内销量、出口量和销售总量(销售总量=内销量斗出口量)分别为人、和•. (单位：万件)，依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：.-,■1 T 1Ifl匚-匚广；广叮(其中为常数，卄二严)，已知一万件，• 一万件，. -万件• (1 )求的值，并写出•-与满足的关系式；(2)证明：逐月递增且控制在2万件内•21. (本题满分14分) 本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题5分，第3小题5分•设等比数列..’的前.项的和为，公比为，亩戏口 (1 )若成等差数列，求证：.成等差数列；(2 )若 ..(-为互不相等的正整数)成等差数列，试问数列I 〕中是20. (本题满分12分)在上海自贸区的利好刺激下自20 14年1月以来的第否存在不同的三项成等差数列？若存在，写出两组这三项；若不存在，请说明理由； (3)若：.为大于的正整数•试问.:中是否存在一项，使得恰好可以表示为该数列中连续两项的和？请说明理由.参考答案及解析第1题【答案】【解析】第2题【答案】【解析】试题分析;由等差数列求和公式£ =即吗十— d 0 = 3 5 ??+戈匕_ x (-2 )/_n = 362 2第3题【答案】 4【解析】--- —Z -- — 一 2 4阳一 1 2试题分析:试题分析：= 102+flj = 1024 =4第4题【答案】-1【解析】第5题【答案】［討］【解析】第6题【答案】1【解析】试题分析：由递推公式应-可得各项依次为12X-1-Z-1J.2,所決周期为d,前6项和为°,所以电町二珂_込+气+丐+%二“第7题【答案】2 3^-re【解析】试题分折：数列⑺号对第二项込十2-6 ,第三项◎十3二1& ,等比数列公比対3/.心十 M 二& 3,1~-二心二 2 3：'-1- n第8题【答案】试题分析;- 1T-CCOE ； A试题分析;s n A【解析】H5：程序执行中的费据变怙尸〃士46 = 2”击.27®二丄十丄L 6<7J 7 = 7,J -—+ —+L +—7<7不成立,输岀 2x3 3><4 2«3 3 如 7«81 】q 丄1 1 1 3二； -- 十 ---- -T [ 十 ---- 二一一一二一 2凉 A4 7^8 2 8 S第9题【答案】【解析】Q r e （~2^r,2^） : 乂亡乂+ 乞214第10题【答案】试题分析：过A 作血）丄EC 于D 」B = 60". C = 2, B[1<1 = 1 0寸、mC 二1』当取=4时试题分析：严响吟+遇于三』5血-+ - 匕4丿（35e — /T, —/r I 4 4令三畀 2托714€72'2、增区间为卜寻&・所a sin c 的取值范围是[£i]At【解析】此A 寸=第11题【答案】92【解析】x3 —迸试题分析；设第一个正方形的边长为知贝恼相佩三角册可得= S产4再宙ffilU三角形可得卅丄比L构成4为首项，扌为公比的等比数列，S 4 9■■魚⑶+ S/L ^^)=^-=—=-9第12题【答案】E-L【解析】试题分析；采用列举法得刊=-g =1*理=-3心=5•码=—1血二21L 、然后从数字的变化上找规律，得％广碣二(T厂2” •「①=(外亠％JH為叫卄叽)+L卡@十的)=(—1丫05(Typr+L ±2U2T-1 (-2)^-1 | (-2?-1■■«■-J ■■ 电第13题【答案】【解析】试题分析:由正弦翹里可将迪Ur in诂“血C诗化为R > 丁/nf—十h】一F，7F _LcosC=——； ----- >OAC<-,由已知A，B角的范围不确定，因此形状不能确定2ab2第14题【答案】C【解析】试题分析：n = l时等号左恻卫的最高次数为為所以所边为"卄亍第15题【答案】C【解析】试题分析：M的前斤项和必有最小倩，所以豹列单调递增，且首项巧<o•:加—1二％<0^n>0 且％+知>0.兀二WSjqJ二旧％丸虽二沙匹）二10（佝旳,所以使得\>0的最小1削—--第16题【答案】【解析】试题分析！（巧十1）' +0 +1）]丰他寸1尸+'" + （%手+1）J=3E7OR开得佃+L +d■审”）+2&十碣*L +«；0]j ）+2015 = 3870 ”-&+卅4|_ +咗严E0S ・所以7 ,1共W1E硕，刪,值为0啊I页骚是血0天第17题【答案】（1）R = —（2）M 或需【解析】试题分析；⑴ 由关系式刘1^4$)*诚/_£) =wA・结合两角和差的正弦展开式化简可求得8汕的值，得到B角大小£⑵ 由B甬和方疋边利坪余弦定理可求得静边长，结合三角形面积公式S = —^c s-iii *求得面积2试题解析：（1）2&111.4^0£5= SAH A => eos5 -—或虹n 勺兰0（雋）f/. B28 = a2?良卩口' -6^ + S = 0 、二&二2站二4当（? = 2 时，S ——CC sin R 二3 迟；当/T= 4 B寸：S ——crc&in R — 6爲第18题【答案】⑴1⑵sM^ = n ,厭工)碍二运【解析】试题分析；⑴由对称轴的距蛊求得函数周期，进而得到血IB,代入7(0)-0可戒得倂角：从而确JT 7T 定函数解析式，将自变量“亍代入求解的值,⑵由平移规律得到函数y=^W的解析式h 4咖二岳inp■勻,由工的范围得到"■彳的范围，进而结合单调性求得函数最值试题解析：(1) /M=^2sin(^4^+-)_7 = ^ A，■*'- VFsmpx)…'/(彳)-JJsdil 二-14第19题【答案】详见解析(2)99【解析】试西并析：CD证明数列是等比数列需证明数列相邻两项的比值为常数，井且首项不为①本题中通过数列& ｝的递推公式入手将其变形1冋j⑵借助于(1)的结论求得数列S ｝的的通项公比进而得到数列］三］的通项公式」结合特点采用分组拥闻W比数列求和公式可得到爲的表达式，解不孝武可求得：值’T ⑴Q土中护亡-1说乜,且Q「“.右I"”⑵由⑴可求得于第20题【答案】（1）应二Lb二"g, g] =2屯档士/ C3详见解析A£【解析】试题分析；（1）依蛊意：口―】=■巾+】=吗+內+占如'；将諏1，2；构建方程组丿冃卩可求得S b的値，从而可得為巧芍町满足的关系式』⑵先证明3“為-如/"*6_2卄少2 , 于是供＜2 .再用作差法证明久亡弘,从而可得结论；试题解析：Ci）依ffiiS：口“二矗齐十£卄]二“％十口,，、 3 *.\ 0\ —皿】丄诃十5CT*,「*阿+1十H寸一“ ........ ① 又立* —+ t7r卄by jI r j ■■■■u Ji IA -£7+- + ^! -V=- .................. ②解①②得＜7=1,6 = -2 2 （2 丿8 2从而口m二2口厂十「（2）由于码T = 2珂厂+口；=一片（臥一2）】十2$2・但碍・1工2・否贝」可推得% =匹=2矛盾・故孝&偽・严2 ,于ftn, ＜ 2 .又旳〒1_码=_*V・2码-q =-斗码（码・2）:＞0 ,所決為勺卜仇，从而＜2 .第21题【答案】（1）详见解析（2）心+].dg.q.] （3）不存在【解析】试题分析：⑴ 根据％%爲成等差数列，q^l,可得2几=2 +耳,化简可得,进而可以证明如.％你成等差数列,（2）根据凡・片$ 51为互不相等的正整数）成等差数列、可得2S#二几4Sr ；化简可得2叩「4珂7‘ ；从而可得％“叶知成尊差数列，即可得出结论,<3）设存在一项①,使得丑・恰好可以表示/该数列中连续两项的和，设冷=6斗％] ）可得斤>"} q s'n =1+（?，从而可得结论试题解析：（1）若Z，咼成等差数列,则2S宀览,即2円（1一/；） _ 竹（1-/> | 呵（1-扌）\・q '■ q \-q+ ” …：靳二1 + / ,又2弧- （% +a u） = 2如7 -（a}q9 + qg"） = qg°（2/ T -『）=0|.・2<7|g = CT]。

奉贤中学高一期末(2019.06)

奉贤中学高一期末数学试卷2019.06一. 填空题1. 一个扇形的半径是2cm ，弧长是4cm ，则圆心角的弧度数为2. 已知sin 3cos αα=，则cos2α=3. 已知tan 2x =，且(,)x ππ∈-，则x =4. 函数cos()2y x π=-的单调增区间是5. 若()(1)(2)2f k k k k k =+++++⋅⋅⋅+（k *∈N ），则(1)()f k f k +-=6. 设3sin cos 2sin()x x x θ-=+，其中02θπ<<，则θ的值为7. 设数列{}n a （n *∈N ）是等差数列，若2a 和2018a 是方程24830x x -+=的两根，则数列{}n a 的前2019项的和2019S =8. 已知等比数列{}n a 为递增数列，且2510a a =，212()5n n n a a a +++=，则数列{}n a 的通项公式n a =9. 公比为q 的无穷等比数列{}n a 满足：||1q <，12()n n n a k a a ++=++⋅⋅⋅（n *∈N ），则实数k 的取值范围为10. 已知函数sin()3y x πω=+（0ω>）的最小正周期为π，若将该函数的图像向左平移m（0m >）个单位后，所得图像关于原点对称，则m 的最小值为11. 设x 为实数，[]x 为不超过实数x 的最大整数，如[2.66]2=，[ 2.66]3-=-，记 {}[]x x x =-，则{}x 的取值范围为[0,1)，现定义无穷数列{}n a 如下：1a {}a =，当0n a ≠ 时，11{}n na a +=；当0n a =时，10n a +=，若3a =，则2019a = 12. 已知线段AB 上有9个确定的点（包括端点A 与B ），现对这些点进行往返标数（从A B A B →→→→⋅⋅⋅进行标数，遇到同方向点不够数时就“调头”往回数），如图：在点A 上标1，称为为点1，然后从点1开始数到第二个数，标上2，称为2，再从点2开始数到第三个数，标上3，称为点3（标上数n 的点称为点n ），⋅⋅⋅⋅⋅⋅，这样一直继续下去，直到1,2,3,2019⋅⋅⋅都被标记到点上，则点2019上的所有标记的数中，最小的是二. 选择题13. 在数列{}n a 中，已知31a =，53a =，79a =，则{}n a 一定（）A. 是等差数列B. 是等比数列C. 不是等差数列D. 不是等比数列14. 已知数列{}n a 的前项和2(1)4n n a S +=，那么（） A. 此数列一定是等差数列 B. 此数列一定是等比数列C. 此数列不是等差数列，就是等比数列D. 以上说法都不正确15. 数列{}n a 的通项公式cos 2n n a n π=，其前n 项和为n S ，则2017S 等于（） A. 1006 B. 1008 C. 1006- D. 1008-16. 设等比数列{}n a 的公比为q ，其n 项的积为n T ，并且满足条件11a >，9910010a a ⋅->， 99100101a a -<-，给出下列结论：①01q <<；②9910110a a ⋅->；③100T 的值是n T 中最大的； ④ 使1n T >成立的最大自然数n 等于198，其中正确的结论是（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④三. 解答题17. 在△ABC 中，已知4a =，5c =，且6ABC S =V ，求b .18. 三角比内容丰富，公式很多，若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘，请你完成以下问题：（1）计算：cos2cos88sin 47sin133︒︒+=︒︒_________；cos5cos85sin50sin130︒︒+=︒︒_________；cos12cos78sin57sin123︒︒+=︒︒_________；（2）根据（1）的计算结果，请你猜出一个一般性的结论用数学式子加以表达，并证明你的结论，写出推理过程.19. 已知集合{(,)|310}C x y xy x y =-++=，数列{}n a 的首项13a =，且当2n ≥时，点1(,)n n a a C -∈，数列{}n b 满足11n n b a =-. （1）试判断数列{}n b 是否是等差数列，并说明理由；（2）若lim()1n n ns t a b →∞+=（,s t ∈R ），求t s 的值.20. 已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足2n n n S a b =+（n *∈N ）.（1）若n b n =，求数列{}n a 的通项公式；（2）在满足（1）的条件下，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T 的表达式.21. 将边长分别为1、2、3、⋅⋅⋅、n 、1n +、⋅⋅⋅（n *∈N ）的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第1个、第2个、⋅⋅⋅⋅⋅⋅、第n 个阴影部分图形，设前n 个阴影部分图形的面积的平均值为()f n ，记数列{}n a 满足11a =，1()()n n f n n a f a n -⎧=⎨⎩当为奇数当为偶数. （1）求()f n 的表达式；（2）写出2a ,3a 的值，并求数列{}n a 的通项公式；（3）定义a b ad bc c d=-，记n n b a s =+（s ∈R ），且1120n n n nb b b b +++>恒成立，求s 的取值范围.参考答案一. 填空题1. 22. 45-3. arctan2或arctan2π-+4. [2,2]22k k ππππ-++，k ∈Z5. 33k +6. 116π 7. 2019 8. 2n 9. (,2)(0,)-∞-+∞U 10. 3π11. 112. 3二. 选择题13. C 14. D 15. B 16. B三. 解答题17. 318.（1（2）cos(45)cos(135)sin sin(180)θθθθ-︒︒-+=︒-19.（1）12d =-；（2）1t s =.20.（1）112n n a -=-；（2）(1)(1)212n n n n T n -=--⋅-.21.（1）()21f n n =+；（2）112124521n n a n n k n n k =⎧⎪=-=⎨⎪-=+⎩，*k ∈N ；（3）3s >-.。

上海市上海中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题

上海中学2019学年第二学期期终考试数学试题一、选择题：1. .1lim 1n n →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭2.等差数列中，若，则 .{}n a 13,21,2n a a d ===n =3.数列中，已知，50为第项.{}n a *41322,n n n a n N =-+∈•4. 为等比数列，若，则 .{}n a 1234126,52a a a a a ++=-=n a =5.用数学归纳法证明时，从“到”，()*(1)(2)()213(21)n n n n n n n N +++=-∈ ••n k =1n k =+左边需增乘的代数式是 .6. 数列满足，则等于 .{}n a 1211,3,(2)(1,2,)n n a a a n a n λ+===-= 3a 7. 数列满足，则 .{}n x *1112,2,,,n n n x x x n n N x a x b +-=-≥∈==2019x =8. 数列满足下列条件：，且对于任意正整数，恒有，则 .{}n a 11a =n 2n n a a n =+512a =9. 数列定义为，则 .{}n a 11cos ,sin cos ,1n n a a a n n θθθ+=+=+≥21n S +=10.已知数列是正项数列，是数列的前项和，且满足.若，{}n a n S {}n a n 112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11n nn n a b S S ++=是数列的前项和，则 .n T {}n b n 99T =11. 一个三角形的三边成等比数列，则公比的范围是 .q 12. 数列满足，当时，，则{}n a 123451,2,3,4,5a a a a a =====5n ≥1121n n a a a a +=- •••是否存在不小于2的正整数，使成立？若存在，则在横线处直接填写m 2221212nv na a a a a a =+++ ••的值；若不存在，就填写“不存在” .m 二、选择题（每题3分）13.已知等差数列的公差为2，前项和为，且，则的值为（）{}n a n n S 10100S =7aA ．11B ．12 C. 13 D ．1414.等比数列的前项和为，已知，则（）{}n a n n S 321510,9S a a a =+=1a =A ．B ． C. D ．1313-1919-15.设等差数列的前项和为，则（）{}n a n 11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==m =A ．3 B ．4 C. 5 D ．616.设，若，则数列是（）02πα<<11sin ,(sin )(1,2,3,)n x n x x n αα+=== {}n x A ．递增数列 B ．递减数列C. 奇数项递增，偶数项递减的数列 D ．偶数项递增，奇数项递减的数列三、解答题17. 等差数列的前项和为，求数列前项和.{}n a n 46,62,75n S S S =-=-{||}n a n 18. 已知数列的前项和{}n a n ()2*21n S n n n N =-+∈（1）求的通项公式；{}n a （2）若数列满足：，求的前项和（结果需化简）{}n b ()*133log log n n a n b n N ++=∈{}n b n n T 19.某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获得元的前提a 下，可卖出件。

上海市奉贤中学2018_2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)

上海市奉贤中学 2018-2019 学年高一数学下学期期末考试试题（含解
析）
一、填空题（54 分）
1.一个扇形的半径是 2cm ，弧长是 4cm ，则圆心角的弧度数为________.
【答案】2 【解析】【分析】直接根据弧长公式，可得。
【详解】因为 l R ，所以 4 2 ，解得 2
【点睛】本题主要考查弧长公式的应用。
a1 a2019 a2 a2018 ，然后利用等差数列求和公式可得出答案.
【详解】由二次方程根与系数的关系可得 a2 a2018 2 ，
由等差数列的性质得出 a1 a2019 a2 a2018 2 ，
因此，等差数列an 的前 2019 项的和为
S2019
2019 a1 a2019
【点睛】本题主要考查三角函数的性质以及图像变换，以及 y Asin(x ) 型的函数奇偶性
判断条件。一般地 y Asin(x ) 为奇函数，则 k ；为偶函数，则 k ； 2
y A cos( x ) 为奇函数，则 k ；为偶函数，则 k 。 2
11.设 x 为实数， x 为不超过实数 x 的最大整数，如2.66 2 ， 2.66 3 .记
【点睛】本题主要考查同角三角函数关系式及二倍角公式的应用。
3.已知 tan x 2 ，且 x , ，则 x ________.
【答案】 arctan 2 或 arctan 2
【解析】
【分析】
利用正切函数的单调性及周期性，可知在区间 ( , ) 与区间 (0, ) 内各有一值，从而求出。
的取值范围为________.
【答案】 , 2 0,
【解析】
【分析】
依据等比数列的定义以及无穷等比数列求和公式，列出方程，即可求出 k 的表达式，再利用求

上海市奉贤区奉贤中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题含解析

2018～2019学年奉贤中学高二下期末试卷一、填空题（54分）1.设集合{}1,2,3,5A =，{}1,B t =，若B A ⊆，则t 的所有可能的取值构成的集合是_______；【答案】{}2,3,5 【解析】【分析】根据集合的包含关系可确定t 可能的取值，从而得到结果. 【详解】由B A ⊆得：2t =或3或5t ∴所有可能的取值构成的集合为：{}2,3,5本题正确结果：{}2,3,5【点睛】本题考查根据集合的包含关系求解参数值的问题，属于基础题.2.若()12nx +展开式的二项式系数之和为128，则n =________【答案】7 【解析】【分析】根据二项展开式二项式系数和为2n 可构造方程求得结果.【详解】()12nx +展开式的二项式系数和为：012128n nn n n C C C ++⋅⋅⋅+==，解得：7n =本题正确结果：7【点睛】本题考查二项展开式的二项式系数和的应用，属于基础题.3.在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，4=AD ，12AA =，二面角1C BB D --的大小是_________（用反三角表示）．【答案】3arctan 4【解析】【分析】根据二面角平面角的定义可知CBD ∠为二面角1C BB D --的平面角，在直角三角形中表示出3tan 4CBD ∠=，进而求得结果. 【详解】由长方体特点可知：1BB ⊥平面ABCD又BC ⊂平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD 1BC BB ∴⊥，1BD BB ⊥CBD ∴∠即为二面角1C BB D --的平面角又3CD AB ==，4BC AD ==，BC CD ⊥3tan 4CD CBD BC ∴∠== 3arctan 4CBD ∴∠= 即二面角1C BB D --的大小为：3arctan 4本题正确结果：3arctan 4【点睛】本题考查二面角的求解，关键是能够根据二面角平面角的定义确定平面角，将平面角放到直角三角形中来进行求解.4.如图为某几何体的三视图，则其侧面积为_______2cm【答案】4π 【解析】【分析】根据三视图可知几何体为圆锥，利用底面半径和高可求得母线长；根据圆锥侧面积公式可直接求得结果.【详解】由三视图可知，几何体为底面半径为1∴4=∴圆锥的侧面积：144S ππ=⨯⨯=本题正确结果：4π【点睛】本题考查圆锥侧面积的求解问题，关键是能够根据三视图准确还原几何体，考查学生对于圆锥侧面积公式的掌握情况.5.已知球O 的半径为R ，点A 在东经120°和北纬60°处，同经度北纬15°处有一点B ，球面上A ，B 两点的球面距离为___________；【答案】4R π；【解析】【分析】根据纬度差可确定45AOB ∠=o ，根据扇形弧长公式可求得所求距离.【详解】A Q 在北纬60o ，B 在北纬15o ，且均位于东经120o 45AOB ∴∠=o,A B ∴两点的球面距离为：451804R R ππ= 本题正确结果：4R π【点睛】本题考查球面距离的求解问题，关键是能够通过纬度确定扇形圆心角的大小，属于基础题.6.若实数x ，y 满足221x y +=，则xy 的取值范围是__________；【答案】11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；【解析】【分析】令cos x θ=，sin y θ=，可将xy 化为1sin 22θ，根据三角函数值域可求得结果. 【详解】221x y +=Q ∴可令cos x θ=，sin y θ=1cos sin sin 22xy θθθ∴==[]sin 21,1θ∈-Q 11,22xy ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦本题正确结果：11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题考查利用三角换元的方式求解取值范围的问题，关键是能够将问题转化为三角函数的值域的求解.7.在四棱锥P ABCD -中，设向量()4,2,3AB =-u u u v ，()4,1,0AD =-u u u v ，()6,2,8AP =--u u u v，则顶点P 到底面ABCD 的距离为_________ 【答案】2；【解析】【分析】根据法向量的求法求得平面ABCD 的法向量()3,12,4n =v，利用点到面的距离的向量求解公式直接求得结果.【详解】设平面ABCD 的法向量(),,n x y z =v则423040AB n x y z AD n x y ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩u u u v v u u u v v ，令3x =，则12y =，4z = ()3,12,4n ∴=v ∴点P 到底面ABCD的距离：2AP n d n ⋅===u u u v v v 本题正确结果：2【点睛】本题考查点到面的距离的向量求法，关键是能够准确求解出平面的法向量，考查学生对于点到面距离公式掌握的熟练程度.8.112除以9的余数为_______；【答案】5 【解析】【分析】将112变为()32912-⨯，利用二项式定理展开可知余数因不含因数9的项而产生，从而可知余数为233925C -=.【详解】由题意得：()311322282912=⨯=-⨯()()()()3232203212222333339122929129121C C C C -⨯=⨯+⨯⨯-+⨯⨯-+⨯-112∴除以9的余数为：233925C -=本题正确结果：5【点睛】本题考查余数问题的求解，考查学生对于二项式定理的掌握情况，关键是能够配凑出除数的形式，属于常考题型.9.如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为4，记1111AC B D F ⋂=，11BC B C E =n ，若AE BF ⊥，则此棱柱的体积为______．【答案】322【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设出直四棱柱的高h ，求出,AE BF u u u v u u u v的坐标，由数量积为0求得h ，则棱柱的体积可求．【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设1DD h =，又4AB BC ==，则()4,0,0A ，2,4,2h E ⎛⎫⎪⎝⎭，()4,4,0B ，()2,2,F h ， 2,4,2h AE ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭u u u v ，()2,2,BF h u u uv =--，AE BF ⊥Q ，24802h ∴-+=，即22h = ∴此棱柱的体积为4422322⨯⨯=．故答案为：2【点睛】本题考查棱柱体积的求法，考查利用空间向量解决线线垂直问题，是中档题．10.在平面直角坐标系中，设点()0,0O ，(3A ，点(),P x y 的坐标满足303200x y x y -≤+≥⎨⎪≥⎪⎩，则OA u u u v 在OP uuu v上的投影的取值范围是__________【答案】[]3,3- 【解析】【分析】根据不等式组画出可行域，可知5,66AOP ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦；根据向量投影公式可知所求投影为cos OA AOP ∠u u u v，利用AOP ∠的范围可求得cos AOP ∠的范围，代入求得所求的结果.【详解】由不等式组可得可行域如下图阴影部分所示：由题意可知：6AOB π∠=，56AOC π∠=OA u u u v 在OP uuu v上的投影为：cos 9323OA AOP AOP AOP ∠=+∠=∠u u u vAOB AOP AOC ∠≤∠≤∠Q 5,66AOP ππ⎡⎤∴∠∈⎢⎥⎣⎦ 33cos AOP ⎡∴∠∈⎢⎣⎦[]cos 3,3OA AOP ∴∠∈-u u u v本题正确结果：[]3,3-【点睛】本题考查线性规划中的求解取值范围类问题，涉及到平面向量投影公式的应用；关键是能够根据可行域确定向量夹角的取值范围，从而利用三角函数知识来求解.11.正方体1111A B C D ABCD -3P 是正方体表面上任意一点，集合{|2}P PA Ω=≤，满足Ω的点P 在正方体表面覆盖的面积为_________；【答案】7334π+ 【解析】【分析】分别在六个侧面上找到满足到点A 的距离小于等于2的点的集合，可大致分为两类；从而确定满足集合的点构成的图形，通过计算图形面积加和得到结果.【详解】在正方形11ABB A 、11ADD A 、ABCD 上，满足集合的点构成下图的阴影部分：∴在侧面11ABB A 、11ADD A 、ABCD 覆盖的面积：113343326S ππ⎛⎫=⨯+⨯⨯=+ ⎪⎝⎭在正方形11BCC B 、1111D C B A 、11CDD C 上，满足集合的点构成下图的阴影部分：∴在侧面11BCC B 、1111D C B A 、11CDD C 覆盖的面积：234S π= ∴满足Ω的点P 在正方体表面覆盖的面积为：127334S S π+=+本题正确结果：7334π+【点睛】本题考查立体几何中的距离类问题的应用，关键是能够通过给定集合的含义，确定在正方体侧面上满足题意的点所构成的图形，对于学生的空间想象能力有一定要求.12.已知圆()22:11M x y -+=，圆()22:11N x y ++=，直线12,l l 分别过圆心,M N ，且1l 与圆M 相交于,A B 两点，2l 与圆N 相交于,C D 两点，点P 是椭圆22149x y +=上任意一点，则PA PB PC PD ⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v的最小值为___________；【答案】8 【解析】【分析】根据圆和椭圆的参数方程可假设出,,A C P 点坐标；根据,A B 共线、,C D 共线可得,B D 坐标；写出向量后，根据向量数量积运算法则可求得210sin 8PA PB PC PD θ⋅+⋅=+u u u v u u u v u u u v u u u v，从而可知当2sin 0θ=时，取得最小值，代入求得结果.【详解】由题意可设：()1cos ,sin A αα+，()1cos ,sin C ββ-+，()2cos 3sin P θθ,则()1cos ,sin B αα--，()1cos ,sin D ββ---()1cos 2cos ,sin 3sin PA αθαθ∴=+--u u u v ，()1cos 2cos ,sin 3sin PB αθαθ=----u u u v()2222212cos cos 9sin sin 5sin 4cos 4PA PB θαθαθθ∴⋅=--+-=-+u u u v u u u v同理可得：25sin 4cos 4PC PD θθ⋅=++u u u v u u u v210sin 8PA PB PC PD θ∴⋅+⋅=+u u u v u u u v u u u v u u u v当2sin 0θ=时，()min8PA PB PC PD ⋅+⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v本题正确结果：8【点睛】本题考查向量数量积的最值的求解问题，关键是能够灵活应用圆和椭圆的参数方程的形式，表示出所需的点的坐标，从而将问题转化为三角函数最值的求解问题.二、选择题（20分）13.l m n ，，为直线，,,αβγ为平面，则下列命题中为真命题的是（） A. 若//m α，//n β，则//αβ B. 则m α⊥，n α⊥，则//m n C. 若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥ D. 则αβ⊥，l α⊆，则l β⊥【答案】B 【解析】【分析】根据空间中平面和直线平行和垂直的位置关系可依次通过反例排除,,A C D ，从而得到结果. 【详解】A 选项：若//m n ，则α与β未必平行，A 错误B 选项：垂直于同一平面的两条直线互相平行，B 正确C 选项：垂直于同一平面的两个平面可能相交也可能平行，C 错误D 选项：l 可能与β平行或相交，D 错误本题正确选项：B【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的相关命题的判定，通常通过反例，采用排除法的方式来得到结果，属于基础题.14.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为( ) A. 16B. C.163D.1283【答案】C 【解析】【分析】由已知求出正方体内切球的体积，再由已知体积比求得“牟合方盖”的体积．【详解】正方体的棱长为2，则其内切球的半径r 1=，∴正方体的内切球的体积344V π1π33=⨯=球，又由已知V πV 4=球牟合方盖，4416V ππ33∴=⨯=牟合方盖．故选：C ．【点睛】本题考查球体积的求法，理解题意是关键，是基础题．15.“5n =”是“*,nn N ⎛ ∈⎝的展开式中含有常数项”的（） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据二项展开式的通项可知当5n =时，只需3r =即可得到常数项，可知充分条件成立；当()*5n k k N =∈时，展开式均含有常数项，可知必要条件不成立，从而得到结果.【详解】n⎛ ⎝展开式的通项公式为：(()35621rn rn rr rn r rn n C C x ---⎛⋅⋅=⋅- ⎝当5n =时，通项公式为：()15556521rr r r C x--⋅-令1550r -=，解得：3r =，此时为展开式的常数项，可知充分条件成立令350n r -=，解得：35n r =∴当()*5n k k N =∈时，展开式均含有常数项，可知必要条件不成立∴“5n =”是“*,nn N ⎛ ∈⎝的展开式中含有常数项”的充分不必要条件本题正确选项：A【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，涉及到二项式定理的应用；关键是能够熟练掌握二项展开式通项公式的形式，进而确定当x 幂指数为零时所需要的条件，从而确定是否含有常数项.16.对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该值为点P 到曲线C 的距离，记作(),d P C ，若曲线C 是边长为6的等边三角形，则点集(){},1D P d P C =≤所表示的图形的面积为（）A. 36B. 362π-+C. 36π+D.36π-【答案】D 【解析】【分析】根据(),d P C 可画出满足题意的点P 所构成的平面区域；分别求解区域各个构成部分的面积，加和得到结果.【详解】由(),d P C 定义可知，若曲线C 为边长为6等边三角形ABC ，则满足题意的点P构成如下图所示的阴影区域其中AE AC ⊥，AD AB ⊥，IH AC ⊥，JG AC ⊥，1AD AE IH JG ====2233DAE ππππ∠=--=Q ，1AD = 21121233S ππ∴=⨯⨯= 6IAH π∠=Q ，1IH = 3AH ∴= 413312S ∴=⨯⨯=又2623HG AC AH =-=- ()36231623S ∴=-⨯=- 又2616S =⨯=∴阴影区域面积为：12343336181863333633S S S S S ππ=+++=++-+=-+即点集(){},1D P d P C =≤所表示的图形的面积为：3633π-+ 本题正确选项：D【点睛】本题考查新定义运算的问题，关键是能够根据定义，找到距离等边三角形三边和顶点的最小距离小于等于1的点所构成的区域，易错点是忽略三角形内部的点，造成区域缺失的情况.三、解答题（76分）：17.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，PD ⊥底面ABCD ，1PD =．（1）求直线PB 与直线CD 所成的角的大小；（2）求四棱锥P ABCD -的侧面积；【答案】（1）arctan （2）2+【解析】【分析】（1）根据//AB CD 可知所求角为PBA ∠；利用线面垂直性质可知PD AB ⊥，结合AB AD ⊥，利用线面垂直判定可证得AB ⊥平面PAD ，进而得到AB PA ⊥；利用直角三角形的关系可求得所求角的正切值，进而得到所求角；（2）利用线面垂直的性质和判定易得四棱锥的四个侧面均为直角三角形，分别求得每个侧面面积，加和得到结果. 【详解】（1）Q 四边形ABCD 是正方形 //AB CD ∴∴直线PB 与直线CD 所成角即为直线PB 与直线AB 所成角，即PBA ∠PD ⊥Q 底面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD PD AB ∴⊥，PD AD ⊥又AB AD ⊥，,AD PD ⊂平面PAD ，AD PD D =IAB ∴⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD AB PA ∴⊥PA ∴==2AB = tan PA PBA AB ∴∠==PBA ∴∠=PB 与直线CD 所成角为：arctan（2）由（1）知：PA AB ⊥，PD AD ⊥PD ⊥Q 底面ABCD ，,BC CD ⊂平面ABCD PD CD ∴⊥，PD BC ⊥又BC CD ⊥，PD CD D ⋂=，,PD CD ⊂平面PCD BC ∴⊥平面PCDPC ⊂Q 平面PCD BC PC ∴⊥∴四棱锥P ABCD -的侧面积为：11111122222S PD AD PA AB PC BC PD CD =⋅+⋅+⋅+⋅==+【点睛】本题考查异面直线所成角的求解、棱锥侧面积的求解问题；关键是能够灵活运用线面垂直的判定和性质，考查基础计算能力.18.已知集合11xA x x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}2|23,04B y y x x x ==--≤≤．（1）求A B I ；（2）若集合{}2|230,04x x x a x --+=≤≤=∅，求a 的取值范围；【答案】（1）[)4,1-；（2）()(),54,-∞-+∞U 【解析】【分析】（1）分别求解出集合A 和集合B ，根据交集的定义求得结果；（2）将问题转化为{}2|23,04x xx a x --=-≤≤=∅，由（1）可知[]2234,5x x --∈-，从而得到关于a 的不等式，解不等式求得结果. 【详解】()1,11xA xx ⎧⎫=<=-∞⎨⎬-⎩⎭；{}[]2|23,044,5B y y x x x ==--≤≤=-（1）[)4,1A B =-I（2）{}2|230,04x x x a x --+=≤≤=∅，即{}2|23,04x x x a x --=-≤≤=∅ 又[]0,4x ∈时，[]2234,5x x --∈- 4a ∴-<-或5a ->5a ∴<-或4a >即a 的取值范围为：()(),54,-∞-+∞U【点睛】本题考查集合运算中的交集运算、求解集合中参数取值范围的问题；关键是能够准确求解出两个集合；易错点是忽略两个集合均为数集的特点，误认为两集合元素不一致，导致求解错误.19.某校从参加高二年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段[50,60)，[60,70)，……，[90,100)后画出如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求出物理成绩低于50分的学生人数；（2）估计这次考试物理学科及格率（60分以上为及格）；（3）从物理成绩不及格的学生中选x 人，其中恰有一位成绩不低于50分的概率为1291，求此时x 的值；【答案】（1）6；（2）75%；（3）4；【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图可求得物理成绩低于50分的频率，利用频率乘以总数可得所求频数；（2）根据频率分布直方图可计算得到物理成绩不低于60分的频率，从而得到及格率；（3）计算出成绩不低于50分的人数，根据古典概型概率计算公式可列出关于x 的方程，解方程求得结果.【详解】（1）物理成绩低于50分的频率为：()10.01520.030.0250.005100.1-⨯+++⨯= 物理成绩低于50分的学生人数为：600.16⨯=人（2）物理成绩不低于60分的频率为：()0.0150.030.0250.005100.75+++⨯=∴这次考试物理学科及格率为：75%（3）物理成绩不及格的学生共有：()60175%15⨯-=人其中成绩不低于50分的有：1569-=人由题意可知：1196151291x xC C C -=，解得：4x = 【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算频数、根据样本数据特征估计总体数据特征、古典概型概率的应用问题；关键是熟练掌握频率分布直方图的相关知识点，考查概率和统计知识的综合应用.20.已知椭圆22221(0)x ya ba bΓ+=>>：的左右顶点分别是(2,0)A-，(2,0)B，点13,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，过该椭圆上任意一点P作PQ x⊥轴，垂足为Q，点C在QP的延长线上，且||||QP PC=．（1）求椭圆Γ的方程；（2）求动点C的轨迹E的方程；（3）设直线AC（C点不同A、B）与直线2x=交于R，D为线段RB的中点，证明：直线CD 与曲线E相切；【答案】（1）2214xy+=；（2）224x y+=；（3）证明略；【解析】【分析】（1）根据顶点坐标可知2a=，将13,2⎫⎪⎭代入椭圆方程可求得2b，进而得到椭圆方程；（2）设(),C x y，()00,P x y，可得到02x xyy=⎧⎪⎨=⎪⎩，将P代入椭圆方程即可得到所求的轨迹方程；（3）设()(),0C C CC x y y≠，可得直线AC方程，进而求得R和D点坐标；利用向量坐标运算可求得0OC CD⋅=u u u v u u u v，从而证得结论.详解】（1）由题意可知：2a=将12⎫⎪⎭代入椭圆方程可得：231144b+=，解得：21b = ∴椭圆Γ的方程为：2214x y += （2）设(),C x y ，()00,P x y由PQ x ⊥轴，QP PC =可得：002x x y y =⎧⎨=⎩，即002x xy y =⎧⎪⎨=⎪⎩,2y P x ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭将,2y P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆Γ方程得：224x y += ∴动点C 的轨迹E 的方程为：224x y +=（3）设()(),0C C C C x y y ≠，则直线AC 方程为：22C Cx yx y +=+ 令2x =，解得：42C C y y x =+ 42,2C C y R x ⎛⎫∴ ⎪+⎝⎭ 22,2C C y D x ⎛⎫∴ ⎪+⎝⎭(),C C OC x y ∴=u u u v ，22,2CC C C y CD x y x ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭u u u v ()()2222422222C C C C C C C C C C C x y OC CD x x y y x x y x x -⎛⎫∴⋅=-+-=--+⎪++⎝⎭u u u v u u u v ()24220C C x x =-+-=即OC CD ⊥∴直线CD 与曲线E 相切【点睛】本题考查直线与椭圆、直线与圆的综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、动点轨迹的求解问题、直线与圆位置关系的证明等知识；求解动点轨迹的常用方法是利用动点表示出已知曲线上的点的坐标，从而代入已知曲线方程整理可得动点轨迹.21.如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上．并记组成该“钉”的四条等长的线段公共点为O ，钉尖为(1,2,3,4)i A i =．（1）判断四面体4123A A A A -的形状，并说明理由；（2）设1(0)OA a a =>，当123,,A A A 在同一水平面内时，求1OA 与平面123A A A 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（3）若该“钉”着地后的四个线段根据需要可以调节与底面成角的大小，且保持三个线段与底面成角相同，若12AOA θ∠=，1(0)OA a a =>，问θ为何值时，123O A A A -的体积最大，并求出最大值．【答案】（1）正四面体；理由见解析（2）22（3）当2πθ=时，最大体积为：316a ；【解析】【分析】（1）根据线段等长首先确定O 为四面体外接球球心；又4A O ⊥底面123A A A ，可知4123A A A A -为正三棱锥；依次以123,,A A A 为顶点均有正三棱锥结论出现，可知四面体棱长均相等，可知其为正四面体；（2）由O 为四面体外接球球心及4A O ⊥底面123A A A 可得到11OAO ∠即为所求角；设正四面体棱长为m ，利用m 表示出11Rt OA O ∆各边，利用勾股定理构造方程可求得26m =，从而可求得11cos OAO ∠，进而得到结果；（3）取12A A 中点D ，利用三线合一性质可知22DOA θ∠=，从而可用θ表示出底面边长和三棱锥的高，根据三棱锥体积公式可将体积表示为关于2sin 2θ的函数，利用导数求得函数的最大值，并确定此时2sin 2θ的取值，从而得到结果.【详解】（1）四面体4123A A A A-为正四面体，理由如下：Q四条线段等长，即O到四面体四个顶点距离相等O∴为四面体外接球的球心又4A O⊥底面123A A A4A∴在底面的射影为123A A A∆的外心∴四面体4123A A A A-为正三棱锥，即414243A A A A A A==，122313A A A A A A==又任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，若3A竖直向上可得：313234A A A A A A==可知四面体4123A A A A-各条棱长均相等4123A A A A∴-为正四面体（2）由（1）知，四面体4123A A A A-为正四面体，且O为其外接球球心设123A A A∆中心为1O，则41A O⊥平面123A A A，如下图所示：11OAO∴∠即为1OA与平面123A A A所成角设正四面体4123A A A A-棱长为m则112333AO==，2214141633OO A O A O m m a m a=-=-=-∴在11Rt OA O∆中，222163m a a⎫+-=⎪⎪⎝⎭，解得：63m a=11223A O a∴=1111122cos3AOOAOAO∴∠==1122arccos3OAO∴∠=即1OA与平面123A A A所成角为：2arccos3（3）取12A A 中点D ，连接OD ，3A D12OA OA =Q ，D 为12A A 中点 22DOA θ∴∠=且12OD A A ⊥22cos cos 2OD OA DOA a θ∴=∠=，222sin sin 2A D OA DOA a θ=∠=23222sin2A A A D a θ∴== 2222131134sin sin sin 33222O D A D a a θθθ∴==-= 222222222221114cos sin 1sin sin sin 23223232OO a a a a a a θθθθθ⎛⎫∴=-=--=- ⎪⎝⎭12312322222111344sin sin 334232O A A A A A A V S OO a a a θθ∆-∴=⋅=⨯-3322421sin 34sin sin 34sin 322322a a θθθθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令2sin2x θ=，[]0,1x ∈，则4223sin 34sin 3422x x θθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭设()3243f x x x =-+，[]0,1x ∈，则()2126f x x x '=-+令()0f x '=，解得：10x =，212x =∴当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '<∴当12x =时，()f x 取极大值，即为最大值：()max 1111432844f x f ⎛⎫==-⨯+⨯= ⎪⎝⎭即当21sin22θ=时，123O A A A V -取得最大值，最大值为：3311326a a ⨯=此时sin 2θ=，即2πθ= 综上所述，当2πθ=时，123O A A A -体积最大，最大值为：316a 【点睛】本题考查立体几何中的几何体特征判断、直线与平面所成角的求解、三棱锥体积的最值的求解问题；求解三棱锥体积的最值问题，关键是要把底面面积和三棱锥的高均利用某一变量来进行表示，从而将所求体积最值问题转化为关于此变量的函数最值问题的求解，进而通过导数或其他求解函数最值的方法求得结果.。

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2018-2019学年上海市奉贤中学高一下学期期末考试数学试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、填空题（54分）1.一个扇形的半径是2cm ，弧长是4cm ，则圆心角的弧度数为________. 【答案】2 【解析】【分析】直接根据弧长公式，可得。

【详解】因为l R α=，所以42α=，解得2α= 【点睛】本题主要考查弧长公式的应用。

2.已知sin 3cos αα=，则cos2=α________. 【答案】45- 【解析】【分析】根据同角三角函数基本关系式，联立求解出22sin ,cos αα，由二倍角公式即可算出。

【详解】因为sin 3cos αα=，又22sin cos 1αα+=，解得2219cos ,sin 1010αα==，故22194cos 2cos sin 10105ααα=-=-=-。

【点睛】本题主要考查同角三角函数关系式及二倍角公式的应用。

3.已知tan 2x =，且(),x ππ∈-，则x =________. 【答案】arctan 2或arctan 2π-+ 【解析】【分析】利用正切函数的单调性及周期性，可知在区间(,)2ππ--与区间(0,)2π内各有一值，从而求出。

【详解】因为函数tan y x =的周期为π，而且tan y x =在,22k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭内单调增，所以tan 2x =有两个解，一个在(,)2ππ--，一个在(0,)2π，由反正切函数的定义有，arctan 2x =或arctan 2x π=-。

【点睛】本题主要考查正切函数的性质及反正切函数的定义的应用。

4.函数cos 2y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调增区间是________. 【答案】2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈【解析】【分析】先利用诱导公式化简，即可由正弦函数单调性求出。

【详解】因为cos sin 2y x x π⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以cos 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间是2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈。

【点睛】本题主要考查诱导公式以及正弦函数的性质——单调性的应用。

5.若()()()12f k k k k =+++++()2k k N*∈L ，则()()1f k f k +-=________.【答案】33k + 【解析】【分析】观察式子特征，直接写出()1f k +，即可求出()()1f k f k +-。

【详解】观察()f k 的式子特征，明确各项关系，以及首末两项，即可写出(1)f k +，所以(1)1(2)(3)2(21)(22)f k k k k k k k +=+++++++++++L ，相比()f k ，增加了后两项21,22k k ++，少了第一项k ，故()()1(21)(22)33f k f k k k k k +-=+++-=+。

【点睛】本题主要考查学生的数学抽象能力，正确弄清式子特征是解题关键。

6.()cos 2sin x x x θ-=+，其中02θπ<<，则θ的值为________. 【答案】116π【解析】【分析】由两角差的正弦公式以及诱导公式，即可求出θ的值。

【详解】1cos 2cos 2sin cos cos sin 2sin()2666x x x x x x x πππ⎫⎛⎫-=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin()sin()6x x πθ-=+，因为02θπ<<，故11266ππθπ=-=。

【点睛】本题主要考查两角差的正弦公式的逆用以及诱导公式的应用。

7.设数列{}n a （n ∈*N ）是等差数列，若2a 和2018a 是方程24830x x -+=的两根，则数列{}n a 的前2019项的和2019S =________ 【答案】2019 【解析】【分析】根据二次方程根与系数的关系得出220182a a +=，再利用等差数列下标和的性质得到1201922018a a a a +=+，然后利用等差数列求和公式可得出答案.【详解】由二次方程根与系数的关系可得220182a a +=，由等差数列的性质得出12019220182a a a a +=+=，因此，等差数列{}n a 的前2019项的和为()120192019201920192201922a a S +⨯===，故答案为：2019.【点睛】本题考查等差数列的性质与等差数列求和公式的应用，涉及二次方程根与系数的关系，解题的关键在于等差数列性质的应用，属于中等题.8.已知等比数列{}n a 的递增数列，且2510a a =，()2125n n n a a a +++=则数列{}n a 的通项公式n a =________.【答案】2n 【解析】【分析】利用等比数列的定义以及通项公式，列出关于1,a q 的方程，利用单调性解出符合题意的1,a q ，即求得{}n a 的通项公式。

【详解】设等比数列{}n a 的首项和公比分别是1,a q ，依题意有，()2491122(1)5a q a qq q⎧=⎪⎨+=⎪⎩，又等比数列{}na 为递增数列，解得122a q =⎧⎨=⎩ ，故数列{}n a 的通项公式为*2()n n a n N =∈。

【点睛】本题主要考查等比数列的单调性以及通项公式的求法，待定系数法是解决此类问题的常用方法。

9.公比为q 的无穷等比数列{}n a 满足：1q <，()12k k k a k a a ++=++L ()n N *∈，则实数k的取值范围为________. 【答案】()(),20,-∞-+∞U【解析】【分析】依据等比数列的定义以及无穷等比数列求和公式，列出方程，即可求出k 的表达式，再利用求值域的方法求出其范围。

【详解】由题意有21()1q k q q kq =++=-L ，即111q k q q-==-，因1q <，所以()(),20,k ∈-∞-+∞U 。

【点睛】本题主要考查无穷等比数列求和公式的应用以及基本函数求值域的方法。

10.已知函数()sin 03y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若将该函数的图像向左平移()0m m >个单位后，所得图像关于原点对称，则m 的最小值为________.【答案】3π【解析】【分析】先利用周期公式求出ω，再利用平移法则得到新的函数表达式，依据函数为奇函数，求出m 的表达式，即可求出m 的最小值。

【详解】由2T ππω==得2ω=，所以sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，向左平移()0m m >个单位后，得到sin[2()]sin(22)33y x m x m ππ=++=++，因为其图像关于原点对称，所以函数为奇函数，有2,3m k k Z ππ+=∈，则62k m ππ=-+，故m 的最小值为3π。

【点睛】本题主要考查三角函数的性质以及图像变换，以及sin()y A x ωϕ=+ 型的函数奇偶性判断条件。

一般地sin()y A x ωϕ=+为奇函数，则k ϕπ=；为偶函数，则2k πϕπ=+；cos()y A x ωϕ=+为奇函数，则2k πϕπ=+；为偶函数，则k ϕπ=。

11.设x 为实数，[]x 为不超过实数x 的最大整数，如[]2.662=，[]2.663-=-.记{}[]x x x =-，则{}x 的取值范围为[)0,1，现定义无穷数列{}n a 如下：{}1a a =，当0n a ≠时，11n n a a +⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当0n a =时，10n a +=，若3a =，则2019a =________.【答案】31- 【解析】【分析】根据已知条件，计算数列的前几项，观察得出无穷数列{}n a 呈周期性变化，即可求出2019a 的值。

【详解】当3a =时，{}131a a ==-，121313122a a ⎧⎫⎧⎫+-⎪⎪===⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭， {}3231311a a ⎧⎫==+=-⎨⎬⎩⎭，43131a a ⎧⎫-==⎨⎬⎩⎭，……，无穷数列{}n a 周期性变化，周期为2，所以2019131a a ==-。

【点睛】本题主要考查学生的数学抽象能力，通过取整函数得到数列，观察数列的特征，求数列中的某项值。

12.已知线段AB 上有9个确定的点（包括端点A 与B ）.现对这些点进行往返标数（从A B A B →→→…进行标数，遇到同方向点不够数时就“调头”往回数）.如图：在点A 上标1，称为点1，然后从点1开始数到第二个数，标上2，称为点2，再从点2开始数到第三个数，标上3，称为点3（标上数n 的点称为点n ），……，这样一直继续下去，直到1，2，3，…，2019都被标记到点上，则点2019上的所有标记的数中，最小的是_______.【答案】3 【解析】【分析】将线段上的点考虑为一圆周，所以共有16个位置，利用规则，可知标记2019的是12320192039190++++=L ，2039190除以16的余数为6，即线段的第6个点标为2019，则(1)6161232k k n k ++=++++=L ，令0n =，即可得3k =。

【详解】依照题意知，标有2的是1+2，标有3的是1+2+3，……，标有2019的是1+2+3+……+2019，将将线段上的点考虑为一圆周，所以共有16个位置，利用规则，可知标记2019的是12320192039190++++=L ，2039190除以16的余数为6，即线段的第6个点标为2019，(1)6161232k k n k ++=++++=L ，令0n =，(1)12k k +=，解得 3k =，故点2019上的所有标记的数中，最小的是3.【点睛】本题主要考查利用合情推理，分析解决问题的能力。