第八章 常微分方程答案(2012[1].6)

例1 微分方程221y x y xy '=-+-满足1)0(=y 的特解为 ． 解：2

2

2(1)(1)(1)(1)11dy dy

y x y x dx x dx y y '=-+⇒

=-⇒=-++⎰⎰ 解得 2

arctan 2

x y x C =-+，由0

14

x y C π

==⇒=

则方程的特解为

2arctan 24

x y x π=-+ 或 2tan()24x y x π

=-+

例2 解微分方程3

23

x

xy y y -='． 解：323x xy y y -='即为3

2

1y x y y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭'=⎛⎫

- ⎪⎝⎭

，为齐次微分方程.令y u y xu y u xu x ''=⇒=⇒=+， 由已知321

u y u '=-，整理得211

u du dx u x -=， 两边积分得

2

22ln ln ln ln 2ln 22u u y u x C Cy Cy x ⎛⎫

-=+⇒=⇒= ⎪⎝⎭

则方程的通解为

2

2ln y Cy x ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

.

例3 微分方程x y y x ln =+'满足1)1(=y 的特解为 ． 解：原方程整理得1ln x

y y x x

'+

=，为一阶线性非齐次微分方程. 由通解公式得

11

ln 1ln ln 1dx dx

x x x C y e e dx C xdx C x x x

x -

⎡⎤⎰⎰⎡⎤=+=+=-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 由1)1(=y 解得2C =，所以微分方程x y y x ln =+'满足1)1(=y 的特解为2

ln 1.y x x

=-+

例4 微分方程3

1

y

xy y +=

'的通解为 ． 解：

3

3dx

dx xy y yx y dy

dy

=+⇒

-=， 通解为

2

22

32

22232y y y ydy

ydy

e y e dy C Ce y x e y e dy C --⎡⎤⎡⎤

+⎢⎥⎢⎥⎣

⎦⎢⎥⎦

=-⎣-⎰

⎰=+=⎰⎰

例5 解微分方程y x y y x 24=-'． ……① 解 原方程可化为y x y x y =⋅-

'4 （2

1

=α的贝努里方程），即 x y x y y

=⋅-'4

1 ……②

作换元y u =

，则

y

y dx du 2'

=

，②可化为

22x

u x dx du =-（一阶线性非齐次方程） ……③ 由常数变易法可得③的通解为：

)2ln (2x

C x u +

=， 故原方程通解为

)2

ln (2x

C x y +

=．

例6 已知函数(),()f x g x 满足x

e x g x

f x f x

g x g x f 2)()(),()(),()(=+='='，且()00f =，

求)()()(x g x f x F =所满足的一阶微分方程，并求)(x F 的表达式．

解：(1) 由)()()()()(x g x f x g x f x F '+'='=)()(2

2x f x g +

=)()(2)]()([2

x g x f x g x f -+)(242x F e

x

-=,

可见，)(x F 所满足的一阶微分方程为

2()2()4(0)0

x

F x F x e F '⎧+=⎨

=⎩．

(2) 由通解公式有

]4[)(222C dx e e e x F dx

x dx +⎰⋅⎰=⎰-=]4[42C dx e e x x +⎰-22x x e Ce -=+．

将0)0()0()0(==g f F 代入上式，得1-=C . 于是

22()x x F x e e -=-．

练习1

1.解微分方程xy y y x 2='+'． （答案：

C x x y +-=)arctan (2）

=，两边积分=,

解得

C x x y +-=)arctan (2.

（其中()2

222=2=2-arctan 1

11t

t t dx

tdt dt t t C C x t t =⋅+++++⎰⎰⎰

2.解微分方程0)sin 2()cos (2

=-+-dy x xy dx x y y ． 解：2

()cos ,

()2sin P x y y x Q x xy x =-=-，

由于

()()

2cos P x Q x y x y x

∂∂=-=∂∂在全平面上恒成立，故微分方程为全微分方程. 原方程整理得2

2cos sin 0y dx xydy y xdx xdy +--=， 即2

2

sin sin 0y dx xdy yd x xdy +--=，

即2

2

2

()(sin )0(sin )0sin d xy d y x d xy y x xy y x C -=⇒-=⇒-=. 故方程的通解为

2

sin xy y x C -=