椭圆中与焦点三角形有关的问题

椭圆中与焦点三角形有关的问题

例1：椭圆14

92

2=+y x 的焦点为F l 、F 2，点P 为其上动点，当 21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是_______。

（二）问题的分析

问题1. 椭圆14

92

2=+y x 的焦点为F l 、F 2，点P 为其上一点，当21PF F ∠为直角时，点P 的横坐标是_______。

问题2. 而此题为钝角，究竟钝角和直角有何联系？

解题的关键在于点动，发现21PF F ∠的大小与点P 的位置有关，究竟有何联系。

性质一：当点P 从右至左运动时，21PF F ∠由锐角变成直角，又变成钝角，过了Y 轴之后，对称地由钝角变成直角再变成锐角，并且发现当点P 与短轴端点重合时，21PF F ∠达到最大。

3.“性质一”是为什么呢？你能证明吗？

问题3：解三角形中我们常用的理论依据是什么？

问题4：究竟转化为求哪种三角函数的最值，经演算、试验，悟出“欲求21PF F ∠的最大值，只需求cos 21PF F ∠的最小值”

问题5：由上面的分析，你能得出cos 21PF F ∠与离心率e 的关系吗？

性质二：已知椭圆方程为),0(122

22>>=+b a b

y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ（当且仅当动点为短轴端点时取等号）

题2：已知1F 、2F 是椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的两个焦点，椭圆上一点P 使︒=∠9021PF F ，求椭圆离心率e 的取值范围。

变式1：已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使得,1200

21=∠PF F 求椭圆的离心率e 的取值范围。

变式2：若椭圆13

42

2=+y x 的两个焦点1F 、2F ，试问：椭圆上是否存在点P ，使︒=∠9021PF F 存在，求出点P 的纵坐标；否则说明理由。

（三）问题引入2

题3：P 是椭圆14522=+y x 上的点，F l ，F 2是椭圆的焦点，若3

21π=∠PF F ，则21F PF ∆的面积等于_______。

问题1：已知椭圆C ：122

22=+b

y a x (a>b>0)，F 1、F 2是两个焦点，对于给定的角()παα<<0， 探求在C 上存在点P ，使 α=∠21PF F 的条件。

改动一：P 是椭圆14522=+y x 上的点，F l ，F 2是椭圆的焦点，若6

21π=∠PF F ，则21F PF ∆ 的面积等于_______。

改动二：P 是椭圆1422=+y x 上的点，F l ，F 2是椭圆的焦点，若3

21π=∠PF F ，则21F PF ∆的面积等于_______。

问题3：改动的依据是什么？（2121BF F PF F ∠≤∠,B 为短轴的一个端点）

题4：若1F 、2F 是椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的两个焦

点，P 是椭圆上一点，且θ=∠21PF F ，求椭圆的面积。

性质三：若1F 、2F 是椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的两个焦点，P 是椭圆上一点，且θ=∠21PF F ，则2tan 221θb S PF F =∆。

继续看题2：已知1F 、2F 是椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的两个焦点，椭圆上一点P 使︒=∠9021PF F ，求椭圆离心率e 的取值范围。

思路二：

如果把图形特殊化，使PF 1⊥F 1F 2,我们可以得到：

性质四：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为a

b 2

2。 题5：已知椭圆1C ：22

221(0)y x a b a b

+=>>的右顶点为(1,0)A ，过1C 的焦点且垂直长轴的弦长为1．求椭圆1C 的方程；

问题：考察两个定点的位置还有哪些可能。

定点可以是长轴顶。恒、中心、短轴顶点，甚至可能是坐标轴上任一点或椭圆内的一点。 焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题

（1）短轴长为5，离心率

32=e 的椭圆的两焦点为1F 、2F ，过1F 作直线交椭圆于A 、

B 两点，则2ABF ∆的周长为________

（2）设P 是等轴双曲线)0(222>=-a a y x 右支上一点，F1、F2是左右焦点，若

0212=⋅F F PF ，|PF1|=6，则该双曲线的方程为 ；

（3）椭圆22

194x y +=的焦点为F1、F2，点P 为椭圆上的动点，当PF2→ ·PF1→ <0时，

点P 的横坐标的取值范围是 ；

（4）双曲线的虚轴长为4，离心率e ＝26

，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线

与双曲线的左支交于A 、B 两点，且AB 是2AF 与2BF 等差中项，则AB ＝__________

（5）已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且

6021=∠PF F ，31221=∆F PF S ．求该双曲线的标准方程

【课堂测试】

1.已知12F 、F 的两个焦点，p 为椭圆C 上的一点，且。若12PF F ∆的面积为9，则b = .

2.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）

A ．(0,1)

B ．1

(0,]2

C ．(0,

2 D ．2 3.已知椭圆2

221(1)x y a a

+=>的两个焦点分别为1F ,2F ,P 为椭圆上一点,且1260F PF ∠=,则12||||PF PF ⋅的值等于 ．