椭圆中与焦点三角形有关的问题
椭圆中焦点三角形的性质(含答案)
椭圆中焦点三角形的性质（含答案）鞍山三中高二文科数学主题1：椭圆中焦点三角形的性质和应用b2性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为2ax2y2？？1、F1和F2是它们的焦点，以及？f1pf2？60?，例1如果P是椭圆10064求△f1pf2的面积.x2y2？？1上的点F1和F2分别是椭圆的左焦点和右焦点，例2我们知道P是椭圆259证明：性质二：已知的椭圆方程是xy??1(a?b?0),两焦点分别为f1,f2,设焦点三角形22ab22若pf1?pf2|pf1|?|pf2|?1，则△f1pf2的面积为（）2a.33b.23c.3d.在pf1f2中？f1pf2？？，那是什么？f1pf2？B2tan证书：2.33x2y2？？1的左焦点和右焦点分别为F1和F2，点P位于椭圆示例3中的已知椭圆上169若p、f1、f2是一个直角三角形的三个顶点，则点p到x轴的距离为（）99797A。
b、 C.D.或54477x2y2性质三：已知椭圆方程为2?2?1(a?b?0),两焦点分别为f1,f2,设焦点三角形abx2y2例4.已知f1、f2是椭圆2?2?1(a?b?0)的两个焦点，椭圆上一点p使在abpf1f2中？f1pf2？？，那是因为？？1.2e2。
f1pf290，求椭圆离心率e的取值范围。
一鞍山三中高二文科数学y2x2??1上一点p与椭圆两个焦点f1、f2的连线互相垂直，1.椭圆则△f1pf2的4924主题2：偏心率的计算：1．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为()2356a。
2b。
2c。
3d。
三2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()4321a.5b.5c.5d.53.如果椭圆的短轴长度为6，且焦点到长轴端点的最近距离为1，则椭圆的偏心率为___x2y24.已知a是椭圆A2+B2=1（a>b>0）上的移动点。
椭圆焦点三角形圆周角最大问题
椭圆焦点三角形圆周角最大的证明已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>两焦点()()12,0,,0F c F c -,同时点P 椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>上一动点。
通常我们把以12,,P F F 为顶点的三角形称为焦点三角形（如右图）若我们记12F PF θ∠=,则θ何时最大呢？法一：不妨设12,PF m PF n ==，于是2222221212124cos 22PF PF F F m n c PF PF mnθ+-+-==⋅我们知道：当,0a b >)2a b a b +≤≤=当且仅当时取等号，故而当,0a b >时，有()22222a b a bab a b ++⎛⎫≤≤= ⎪⎝⎭当且仅当时取等号 故()222222222222424244222cos 122222m n m n m n c c c m n c mn mn mn m n θ++⎛⎫⎛⎫+⋅-⋅-⋅- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭==≥≥+⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭我们我们注意到2m n a +=（为定值），所以()222222224242cos 12222m n c a c c a a m n θ+⎛⎫⋅- ⎪-⎛⎫⎝⎭≥==- ⎪⎝⎭+⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭为定值 我们注意到()1式，有二次使用不等式，但这两次取等的条件都是m n =（即点P 在短轴的端点()12,B B 处取等），故()2mincos 12c a θ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又()0,θπ∈，且函数cos y x =在()0,π上为减函数。
故cos θ最小时，θ恰有最大值。
故点P 在短轴的端点()12,B B 处，θ最大。
法二：我们仍然设12,PF m PF n ==，于是2m n a += 于是()()2222421a m n m n mn=+=++又据余弦定理得2221212122cos F F PF PF PF PF θ=+-即()22242cos 2c m n mn θ=+-由()()12-得出()()22421cos a c mn θ-=+，故()221cos b mn θ=+，故221cos b mn θ=+于是122222(2sin cos )1sin 22sin tan 21cos 212cos 12PF F b b S mn b θθθθθθθ∆⋅====+⎛⎫+- ⎪⎝⎭， 因为()0,θπ∈，0,22θπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，我们易得122tan 2PF F S b θ∆=是θ的增函数。
椭圆中焦点三角形的性质
焦点三角形习题性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为ab 22性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan 221θb S PF F =∆.证明：记2211||,||r PF r PF ==， 由椭圆的第一定义得.4)(,2222121a r r a r r =+∴=+在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ.cos 12cos 1)(222221θθ+=+-=∴b c a r r由任意三角形的面积公式得：2tan 2cos 22cos2sin2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=+⋅==∆b b b r r S PF F ..2tan 221θb S PF F =∴∆同理可证，在椭圆12222=+b x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立.性质三：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ 性质三证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得：1222242)(2cos 212221221221212212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ.2112221)2(222222222122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证。
例1. 若P是椭圆16410022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，求△21PF F 的面积. 例1．解法一：在椭圆16410022=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60︒=θ 记.||,||2211r PF r PF ==点P 在椭圆上，∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方，得：.1443)(21221=-+r r r r.144340021=-∴r r 从而.325621=r r .336423325621sin 212121=⨯⨯==∆θr r S PF F 解法二：在椭圆16410022=+y x 中，642=b ，而.60︒=θ.336430tan 642tan221=︒==∴∆θb S PF F例2.已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点， 21||||2121=⋅PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ）A. 33B. 32C. 3D.33解：设θ=∠21PF F ，则21||||cos 2121=⋅=PF PF θ，.60︒=∴θ.3330tan 92tan221=︒==∴∆θb S PF F 故选答案A.例3.已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ） A. 59 B. 779C. 49 D. 49或779解：若1F 或2F 是直角顶点，则点P 到x 轴的距离为半通径的长492=a b ；若P 是直角顶点，设点P 到x 轴的距离为h ，则945tan 92tan221=︒==∆θb S PF F ，又,7)2(2121h h c S PF F =⋅⋅=∆ 97=∴h ，.779=h 故选D.1. 椭圆1244922=+x y 上一点P 和椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ）A. 20B. 22C. 28D. 24解：24,90221=︒==∠b PF F θ，∴2445tan 242tan221=︒==∆θb S PFF .故选D.2. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 1C. 3D. 6解：设θ=∠21PF F ， 12tan2tan221===∆θθb S PFF ，∴︒=︒=90,452θθ，021=⋅PF PF .故选A.3. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积最大时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 2C. 4D. 2-解：3,1,2===c b a ，设θ=∠21PF F ， 2tan2tan 221θθ==∆b S PF F ，∴当△21PF F 的面积最大时，θ为最大，这时点P 为椭圆短轴的端点，︒=120θ，∴2120cos cos ||||22121-=︒=⋅=⋅a PF PF PF PF θ.故答案选D. 4．已知椭圆1222=+y ax （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为（ ）A ．1B ．31 C ．34D ．32解：︒==∠6021θPF F ，1=b ，3330tan 2tan221=︒==∆θb S PFF ，又 ||||43sin ||||21212121PF PF PF PF S PFF ⋅=⋅=∆θ，∴33||||4321=⋅PF PF ，从而34||||21=⋅PF PF .故答案选C.5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上，直线1PF 和2PF 倾斜角的差为︒=∠9021PF F ，△21PF F 的面积是20，且√5/3，求椭圆的标准方程.解：设θ=∠21PF F ，则︒=90θ. 2045tan 2tan22221==︒==∆b b b S PFF θ，又 3522=-==a b a ac e ，∴95122=-ab ，即952012=-a. 解得：452=a .∴所求椭圆的标准方程为1204522=+y x 或1204522=+x y .专题2：离心率求法：1．若椭圆的两个焦点和它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为( )1.解析：选A.如图所示，四边形B 1F 2B 2F 1为正方形，则△B 22为等腰直角三角形， ∴＝.2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )2.解析：选B.由题意知2b ＝a ＋c ，又b 2＝a 2－c 2，∴4(a 2－c 2)＝a 2＋c 2＋2ac .∴3a 2－2ac －5c 2＝0.∴5c 2＋2ac －3a 2＝0.∴5e 2＋2e －3＝0.∴e ＝或e ＝－1(舍去)．3．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为．3.解析：依题意，得b ＝3，a －c ＝1.又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝5，c ＝4， ∴椭圆的离心率为e ＝＝. 答案：4.已知A 为椭圆＋＝1(a >b >0)上的一个动点，直线、分别过焦点F 1、 F 2，且和椭圆交于B 、C 两点，若当垂直于x 轴时，恰好有1|∶2|＝3∶1， 求该椭圆的离心率． 4.解：设2|＝m ，则1|＝3m ，∴2a ＝1|＋2|＝4m . 又在△1F 2中， 1F 2|＝＝2m . ∴e ＝＝＝＝.5．如图所示，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率．5. 解：法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a 、b 、c .则焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 点的坐标为(c ，b )， 则△1F 2为直角三角形． 在△1F 2中，1F 2|2＋2|2＝1|2，即4c 2＋b 2＝1|2.而1|＋2|＝＋b ＝2a ，整理得3c 2＝3a 2－2.又c 2＝a 2－b 2， 所以3b ＝2a .所以＝.∴e 2＝＝＝1－＝， ∴e ＝. 法二：设椭圆方程为 ＋＝1(a >b >0)，则M (c ，b )．代入椭圆方程，得＋＝1， 所以＝，所以＝，即e ＝.椭圆中焦点三角形的性质及应用（答案）性质二离心率求法：2。
椭圆中焦点三角形面积公式
2023年高考数学椭圆焦点三角形的面积问题【考点梳理】焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形.r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中：①焦点三角形的周长为2(a ＋c )；②4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos θ；③当r 1＝r 2时，即点P 的位置为短轴端点时，θ最大；④S ＝12r 1r 2sin θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc .【题型归纳】一、求椭圆焦点三角的面积1．已知点P 是椭圆22:1259x y C +=上一点，12,F F 是其左右焦点，且1260F PF ∠=，则三角形12F PF △的面积为_________2．已知点P 是椭圆221259x y +=上的点，点12,F F 是椭圆的两个焦点，若12F PF △中有一个角的大小为3π，则12F PF △的面积为______．3．设12,F F 是椭圆2241496x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且12||:||4:3PF PF =，则12PF F △的面积为（）A ．22B ．42C ．4D ．64．设12,F F 是椭圆2211224x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且1213cos F PF ∠=.则12PF F △的面积为（）A ．6B ．62C ．8D ．825．已知点F 1，F 2分别是椭圆22:14x C y +=的左右焦点，点M 在椭圆C 上，且满足1223MF MF += ，则12MF F △的面积为___________.6．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，若椭圆C 上存在一点P ，使得120PF PF ⋅= ，且△12F PF 的面积等于4.则实数b 的值为___________.二、椭圆焦点三角形面积的最值问题7．已知1F 、2F 为椭圆22:14xy Γ+=的左、右焦点，M 为Γ上的点，则12MF F △面积的最大值为（）A ．3B ．2C ．23D ．4三、已知椭圆焦点三角形面积求边8．设1F 、2F 是椭圆22:110x C y +=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上，且12PF F △的面积为7，则OP =（）A ．3B ．73C ．83D ．39．已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，点M 是椭圆C 上的一点，且1212,2F MF F MF π∠= 的面积为1，则椭圆C 的短轴长为（）A ．1B ．2C ．22D ．4四、与内切圆相结合10．已知椭圆2212516x y +=两焦点1F 、2F ，P 为椭圆上一点，若123F PF π∠=，则12F PF △的内切圆半径为______五、与平面向量相结合11．已知P 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若1212PF PF PF PF ⋅=⋅12，则12F PF △的面积为（）A ．33B ．93C ．3D ．912．已知1F 、2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥ ．若12PF F △的面积为9，求实数b 的值．【巩固训练】一、单选题13．已知点P 在椭圆221164x y +=上，1F 与2F 分别为左、右焦点，若1223F PF π∠=，则12F PF △的面积为（）A ．43B ．63C ．83D ．13314．已知椭圆C ：221259x y +=，1F ，2F 分别为它的左右焦点，A ，B 分别为它的左右顶点，点P 是椭圆上的一个动点，下列结论中错误的是（）A ．离心率45e =B ．12F PF △的周长为18C ．直线PA 与直线PB 斜率乘积为定值925-D ．若1290F PF ︒∠=，则12F PF △的面积为815．已知椭圆2221(10)y x b b +=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点M 是椭圆上一点，点A 是线段12F F 上一点，且121223F MF F MA π∠=∠=，3||2MA =，则该椭圆的离心率为（）A ．32B ．12C ．223D ．33二、多选题16．椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，若方程340mx y m ++-=所表示的直线恒过定点M ，点Q 在以点M 为圆心，C 的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（）A ．椭圆C 的离心率为12B ．12PF PF ⋅的最大值为4C ．12PF F △的面积可能为2D ．2PQ PF -的最小值为256-17．已知椭圆22:14x M y +=，若P 在椭圆M 上，1F 、2F 是椭圆M 的左、右焦点，则下列说法正确的有（）A ．若12PF PF =，则1230PF F ∠=B ．12F PF △面积的最大值为3C ．12PF PF -的最大值为23D ．满足12F PF △是直角三角形的点P 有4个18．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别是1F ，2F ，04,3M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆C 上一点，则下列结论正确的是（）A ．12MF F △的周长为6B ．12MF F △的面积为153C ．12MF F △的内切圆的半径为159D ．12MF F △的外接圆的直径为321119．双曲线22:1124x y C -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在C 上.若12PF F △是直角三角形，则12PF F △的面积为（）A ．833B ．433C ．4D ．220．已知P 是椭圆C ：2216x y +=上的动点，过11,4Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭直线与椭圆交于,M N 两点，则（）A ．C 的焦距为5B ．当Q 为MN 中点时，直线MN 的斜率为3-C ．C 的离心率为306D ．若1290F PF ︒∠=，则12F PF △的面积为121．设椭圆22:12x C y +=的左右焦点为1F ，2F ，P 是C 上的动点，则下列结论正确的是（）A ．离心率62e =B ．12PF F △面积的最大值为2C ．以线段12F F 为直径的圆与直线20x y +-=相切D ．12PF PF ⋅的最小值为0三、填空题22．设12F F ，是椭圆22196x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且1221PF PF =：：，则12F PF △的面积等于_______.23．已知F 1，F 2是椭圆2214x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，2PF ⊥x 轴，则12PF F 的面积为_________．四、解答题24．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P ，Q 为椭圆C 上任意两点，且()110PF QF λλ=< ，若2PQF 的周长为8，12PF F △面积的最大值为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 内切于矩形ABCD （椭圆与矩形四条边均相切），求矩形ABCD 面积的最大值．25．已知椭圆C 的两焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，P 为椭圆上一点，且12122F F PF PF =+．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点P 在第二象限，12120F PF ∠=︒，求△12PF F 的面积．26．已知圆22:(3)64M x y ++=圆心为M ，定点(3,0)N ，动点A 在圆M 上，线段AN 的垂直平分线交线段MA 于点P(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若点Q 是曲线C 上一点，且60QMN ∠=︒，求 QMN 的面积.参考答案1．33【分析】由椭圆方程可得,,a b c ，利用椭圆定义和余弦定理可构造方程求得12PF PF ⋅，由三角形面积公式可求得结果.【详解】由椭圆方程知：5a =，3b =，则22216c a b =-=；由椭圆定义知：12210PF PF a +==，由余弦定理得：222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠，()2212121243100364c PF PF PF PF PF PF ∴=+-⋅=-⋅=，解得：1212PF PF ⋅=，12121213sin 63322F PF S PF PF F PF ∴=⋅∠=⨯= .故答案为：33.2．33或63##63或33【分析】由椭圆方程可求得,,a b c ；当123F PF π∠=时，由焦点三角形面积公式可求得12F PF S ；当123PF F π∠=时，利用余弦定理可构造方程求得1PF ，由三角形面积公式可得结果.【详解】由椭圆方程知：5a =，3b =，则224c a b =-=；若123F PF π∠=，则12212tan9tan 3326F PF F PF S b π∠=== ；若123PF F π∠=，设1PF m =，则2210PF a m m =-=-，由余弦定理得：22222112112122cos 648PF PF F F PF F F PF F mm =+-⋅∠=+-=()210m -，解得：3m =，1211212113sin 3863222F PF S PF F F PF F ∴=⋅∠=⨯⨯⨯= ；同理可得：当21π3PF F Ð=时，1263F PF S = .综上所述：12F PF △的面积为33或63.故答案为：33或63.3．D【分析】根据椭圆的定义求出12||4,||3PF PF ==，从而判断出12PF F △为直角三角形，然后即可求出12PF F △的面积.【详解】易知2494a =，26b =，所以222254c a b =-=，72a =，即52c =，由椭圆的定义，知12||||27PF PF a +==，又因为12||:||4:3PF PF =，所以12||4,||3PF PF ==，又1225F F c ==，所以12PF F △为直角三角形，所以13462ABC S =⨯⨯=△.故选：D.4．B【分析】利用椭圆的几何性质，得到12246PF PF a +==，12243F F c ==，进而利用1213cos F PF ∠=得出1218PF PF ⋅=，进而可求出12S PF F 【详解】解：由椭圆2211224x y +=的方程可得2224,12a b ==，所以22212c a b =-=，得26,23a c ==且12246PF PF a +==，12243F F c ==，在12PF F △中，由余弦定理可得222221212121212121212||||||(||||)2||||||cos 2||||2||||PF PF F F PF PF PF PF F F F PF PF PF PF PF +-+--∠==22212121212442||||42||||2||||2||||a c PF PF b PF PF PF PF PF PF ---==12124122||||2||||PF PF PF PF ⨯-=，而121cos 3F PF ∠=，所以，1218PF PF ⋅=，又因为，121cos 3F PF ∠=，所以1222sin 3F PF ∠=，所以，1212121122sin 1862223S PF F PF PF F PF =⋅∠=⨯⨯= 故选：B 5．1【分析】设00(,)M x y ，则可得1200(2,2)MF MF x y +=-- ，再由1223MF MF += 可得22003x y +=，而点00(,)M x y 在椭圆上，则有220014x y +=，求出0y ，从而可求出12MF F △的面积【详解】由题意可得2,1,3a b c ===，则12(3,0),(3,0)F F -，设00(,)M x y ，则12000000(3,)(3,)(2,2)MF MF x y x y x y +=---+--=--，因为1223MF MF +=，所以22004412x y +=，所以22003x y +=，因为点00(,)M x y 在椭圆上，所以220014x y +=，解得033y =，所以12MF F △的面积为1323123⨯⨯=，故答案为：16．2【分析】由三角形面积公式、向量数量积的坐标表示及P 在椭圆上列方程可得||4P c y =、2||P b y c=，即可求参数b .【详解】由题设，12||||42P P c y c y ⨯⨯==，且(,)(,)0P P P P c x y c x y ---⋅--=，可得222P P x c y =-，又222222222:1P P P Px y c y y C a b a b-+=+=，则2||P b y c =，综上，24b =，又0b >，则2b =.故答案为：27．A【分析】由于12F F 为定值，所以当点M 到12F F 的距离最大时，12MF F △面积取得最大值，即当M 与短轴的一个端点重合时，12MF F △面积的最大【详解】由2214x y +=，得224,1a b ==，所以222,1,3a b c a b ===-=，由椭圆的性质可知当M 与短轴的一个端点重合时，12MF F △面积的最大，所以12MF F △面积的最大值为1211231322F F b =⨯⨯=，故选：A 8．A【分析】根据三角形12PF F △的面积可求得点P 的坐标，由此可求得OP 的值.【详解】在椭圆C 中，10a =，1b =，则223c a b =-=，所以，1226F F c ==，12121372PF F P P S F F y y =⋅==△，所以73P y =，所以253P x =，则223P P OP x y =+=，故选：A.9．B【分析】首先分别设1MF x =，2MF y =，再根据椭圆的定义和性质列出等式，即可求解椭圆的短轴长.【详解】设1MF x =，2MF y =，所以22221124x y a xy x y c+=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩，即()222222244x y x y xy x y a +=++=++=，即22444c a +=，得2221b a c =-=，短轴长为22b =.故选：B 10．233##233【分析】根据椭圆的方程求得c ，得12||F F ，设出11||PF t =，22||PF t =，利用余弦定理可求得12t t 的值，得到△12F PF 的面积，再由等面积法求出△12F PF 内切圆的半径．【详解】由题意方程可得，5a =，4b =，223c a b ∴=-=，即12||6F F =,设11||PF t =，22||PF t =，则根据椭圆的定义可得：1210t t +=，①在12F PF △中，123F PF π∠=，∴根据余弦定理可得：22212122cos 63t t t t π+-⋅=，②联立①②得12643t t ⋅=，∴121211643163sin 232323F PF S t t π=⋅=⨯⨯= ,设△12F PF 内切圆半径为r ，△12F PF 的周长为10616L =+=，面积为1633S =，则1112F PF S Lr =，2233S r L ∴==，故答案为：23311．A【分析】由已知可得12F PF ∠，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解.【详解】因为121212121212cos 1cos 2PF PF F PF PF PF F PF PF PF PF PF ⋅∠⋅==∠=⋅⋅，120F PF π∠≤≤所以123F PF π∠=，又224c a b =-=记12,PF m PF n ==，则222464210m n mn c m n a ⎧+-==⋅⋅⋅⎨+==⋅⋅⋅⎩①②，②2-①整理得：12mn =，所以12113sin 12332322F PF S mn π==⨯⨯= 故选：A12．3b =【分析】由题意以及椭圆的几何性质列方程即可求解.【详解】因为12PF PF ⊥，所以1290F PF ∠=︒，所以12F PF △为直角三角形，22212(2)PF PF c +=，122PF PF a +=，()2221212122PF PF PF PF PF PF +=+-⋅，即()()221212242c a PF PF =-⨯⋅，1212192F PF S PF PF =⋅=△，所以2244490c a =-⨯=，所以2449b =⨯．所以3b =；综上，b =3.13．A【分析】由椭圆的定义结合余弦定理解得1216PF PF =，通过三角形面积公式即可求得答案.【详解】由12222121212128cos 2PF PF PF PF F F F PF PF PF ⎧+=⎪+-⎨∠=⎪⎩，，又1243F F =，解得1216PF PF =，1212121sin 313422162F PF S PF P PF F F =⨯⨯==∠△.故选：A.14．D【分析】根据离心率的定义可判断A ；利用椭圆的定义可判断B ；求出PA PB k k ⋅可判断C ；利用勾股定理以及椭圆的定义求出12PF PF 可判断D.【详解】由221259x y +=，可得5a =，3b =，224c a b =-=，A ，离心率45c e a ==，故A 正确；B ，12F PF △的周长为12122218PF PF F F a c ++=+=，故B 正确.C ，设()00,P x y ，2020002200009125955252525PA PBx y y y k k x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===-+---，故C 正确；D ，1290F PF ︒∠= ，222121264PF PF F F ∴+==，又因为12210PF PF a +==，所以()212100PF PF +=，即2212122100PF PF PF PF ∴++=，解得1218PF PF =,所以1212192F PF S PF PF ==△，故D 错误.故选：D 15．B【分析】由椭圆定义得12MF MF +，由余弦定理可得12MF MF ，再由三角形面积公式得12MF MF +和12MF MF 的关系，从而求得c ，然后可得离心率．【详解】解：设11||MF r =，22||MF r =，则1222r r a +==，由余弦定理得2221212122||||||2||||cos3F F MF MF MF MF π=+-，即222212*********()4c r r r r r r r r r r =++=+-=-，所以21244r r c =-，因为1212F MF F MA AMF S S S =+ ，所以12121211sin ||sin ||sin 232323r r r MA r MA πππ=⋅⋅+⋅⋅，整理得1212()||r r r r MA =+⋅，即234422c -=⨯，整理得214c =，所以12c =，1a =，12c e a ==，故选：B.16．ABD【分析】A ：根据椭圆方程可直接求得2a =，3b =，1c =，和离心率ce a=；B ：由椭圆的定义可得124PF PF +=，结合不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭代入运算；C ：点P 位于椭圆的上、下顶点时，12PF F △的面积取得最大，计算判断；D ：利用椭圆定义和圆的性质转化处理．【详解】对于选项A ，由椭圆C 的方程知2a =，3b =，1c =，所以离心率12c e a ==，故选项A 正确；对于选项B ，由椭圆的定义可得124PF PF +=，所以2121242PF PF PF PF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，即12PF PF ⋅的最大值为4，故选项B 正确；对于选项C ，当点P 位于椭圆的上、下顶点时，12PF F △的面积取得最大值123322⨯⨯=<，故选项C 错误；对于选项D ，易知()3,4M -，则圆()()22:344M x y ++-=，所以()21114424256PQ PF PQ PF QF MF -=--≥-≥--=-，故选项D 正确，故选：ABD ．17．ABC【分析】利用余弦定理可判断A 选项；利用三角形的面积公式可判断B 选项；利用椭圆的定义可判断C 选项；利用平面向量的数量积可判断D 选项.【详解】在椭圆M 中，2a =，1b =，3c =，且1223F F =，对于A 选项，当12PF PF =时，则122PF PF a ===，由余弦定理可得2221122121123cos 22PF F F PF PF F PF F F +-∠==⋅，因为120180PF F <∠<，所以，1230PF F ∠= ，A 对；对于B 选项，当点P 为椭圆M 的短轴顶点时，点P 到x 轴的距离最大，所以，12F PF △面积的最大值为1232c b bc ⨯⨯==，B 对；对于C 选项，因为2a c PF a c -≤≤+，即22323PF -≤≤+，所以，()1222222223PF PF a PF a a c c -=-≤--==，C 对；对于D 选项，当112PF F F ⊥或212PF F F ⊥时，12PF F 为直角三角形，此时满足条件的点P 有4个，当P 为直角顶点时，设点()00,P x y ，则220044x y =-，()1003,F P x y =+ ，()2003,F P x y =- ，222120003130F P F P x y y ⋅=-+=-= ，所以，033y =±，0263x =±，此时，满足条件的点P 有4个，综上所述，满足12F PF △是直角三角形的点P 有8个，D 错.故选：ABC.18．ABC【分析】求得0y ，进而求得12,MF MF ，由此对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别是()11,0F -，()21,0F ，04,3M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆C 上一点，220041531,433y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+==，所以2212715884,433333MF MF ⎛⎫⎛⎫=+==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以12MF F △的周长为22426a c +=+=，A 正确.12MF F △的面积为001151521233c y c y ⨯⨯=⨯=⨯=，B 正确.设12MF F △的内切圆的半径为r ，则115156,239r r ⨯⨯==，C 选项正确.1212641641199cos 0,8416233F MF F MF +-∠==>∠⨯⨯为锐角，12121135315sin 12561616F MF ∠=-==，所以12MF F △的外接圆的直径为12122323215sin 4531531516F F F MF ===∠，D 选项错误.故选：ABC 19．AC【分析】根据双曲线方程求出c ，再根据对称性只需考虑112PF F F ⊥或12PF PF ⊥.当12PF PF ⊥时，将4x =-代入双曲线方程，求出y ，即可求出三角形面积，当12PF PF ⊥时，由双曲线的定义可知1243PF PF -=，再由勾股定理求出12PF PF ，即可得解；【详解】解：由双曲线22:1124x y C -=可得221244c a b =+=+=.根据双曲线的对称性只需考虑112PF F F ⊥或12PF PF ⊥.当12PF PF ⊥时，将4x =-代入221124x y -=可得233y =±，所以12PF F △的面积为12118323F F PF =.当12PF PF ⊥时，由双曲线的定义可知，12243PF PF a -==，由勾股定理可得()22221212264PF PF F F c +===.因为()222121212264PF PF PF PF PF PF +=-+⋅=，所以128PF PF =，此时12PF F △的面积为12142PF PF ⋅=综上所述，12PF F △的面积为4或833.故选：AC .20．CD【分析】由题知226,1a b ==，25c =，进而根据离心率公式和焦距可判断A ，C ；对于B ，利用中点弦的直线的斜率公式直接计算即可判断；对于D 选项，结合椭圆定义得122PF PF =，进而计算面积即可判断.【详解】解：由题知226,1a b ==，所以2615c =-=，故焦距为225c =，故A 选项错误；对于B 选项，当Q 为MN 中点时，由中点弦公式得2020121364MNb x k a y =-=-=-⨯，故B 选项错误；对于C 选项，椭圆的离心率为53066c e a ===，故C 选项正确；对于D 选项，1290F PF ︒∠=，则12222121226PF PF PF PF F F ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，即()1222121212262PF PF PF PF PF PF F F ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，代入数据得122PF PF =，所以12F PF △的面积为12112S PF PF ==，故D 选项正确；故选：CD 21．CD【分析】求出离心率可判断A ；计算12PF F △面积的最大值1212F F b ⋅可判断B ；求出圆的方程，再判断圆心到直线的距离与半径的关系可判断C ；设(),P x y 进行数量积的坐标运算结合2212x y +=可判断D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ：由椭圆22:12x C y +=可知，2a =，1b =，1c =，所以左、右焦点分别为()11,0F -，()21,0F ，离心率22c e a ==，故选项A 错误；对于B ：122F F =，当P 点与椭圆的上下顶点重合时，12PF F △面积的最大，所以12PF F △面积的最大值为11221122b ⨯⨯=⨯⨯=，故选项B 错误；对于C ：以线段12F F 为直径的圆的圆心()0,0，半径为1，由圆心()0,0到直线20x y +-=的距离222111d c ===+，所以以线段12F F 为直径的圆与直线20x y +-=相切，故选项C 正确；对于D ：设(),P x y ，()()121,,1,PF x y PF x y =---=--，2222212111022x x PF PF x y x ⋅=+-=+--=≥ ，则12PF PF ⋅ 的最小值为0，故选项D 正确；故选：CD ．22．23【分析】先利用定义求出12F PF △的各边，再求出123sin 2F PF ∠=，即可求出12F PF △的面积.【详解】由126PF PF +=，且1221PF PF =：：，12124229623PF PF F F ∴===-=，，又在12PF F △中，cos ∠2221242(23)12422F PF +-==⨯⨯，123sin 2F PF ∴∠=12121S sin 232PF PF F PF ∴=∠=.故答案为：2323．32##132【分析】2PF ⊥x 轴可得P 点横坐标，再根据点P 在椭圆上，求出P 的纵坐标，代入三角形面积公式即可求解.【详解】由题意不妨设1(F ﹣3，0)，2(F 3，0)，∵P 2F ⊥x 轴，∴P (3，±12)，∵△P 12F F 的面积＝12|P 2F ||12F F |＝12⨯12⨯23＝32，故答案为：32．24．(1)22142x y +=(2)12【分析】（1）根据椭圆的定义可知24PQF C a = ，即可求出a ，再根据()12max122PF F S c b =⨯⨯ 及a 、b 、c 的关系计算可得；（2）当矩形ABCD 中有一条边与坐标轴平行时，直接求出矩形的面积，当矩形ABCD 的边都不与坐标轴平行时，设出直线方程，联立直线与椭圆方程，消元、根据0∆=求出2242m k =+，同理得2242n k =+，再由平行线之间的距离公式求出AD ，AB ，即可求出ABCD S ，最后利用基本不等式计算可得；(1)解：由()110PF QF λλ=<得P 、1F 、Q 三点共线，因为三角形2PQF 的周长为8，即22211224PQF C PQ PF QF PF QF PF QF a =++=+++=，所以48a =，则2a =．当P 点为椭圆上或下顶点时12PF F △的面积最大，即121222=⨯⨯== PF F S c b bc ，由222244=-=-b ac b，解得22b =，所以椭圆C 的方程为22142x y +=．(2)解：当矩形ABCD 中有一条边与坐标轴平行时，则另外三条边也与坐标轴平行，矩形ABCD 的两条边长分别为24a =，222b =，此时42282ABCD S =⨯=．当矩形ABCD 的边都不与坐标轴平行时，由对称性，不妨设直线AB 的方程为：y kx m =+，则CD 的方程为：y kx m =-，AD 的方程为：1y x n k =-+，BC 的方程为：1y x n k =--．由22142y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222124220k x kmx m +++-=，令0∆=得2242m k =+，同理得2242n k =+，矩形ABCD 的边长分别为221m AD k =+，2211n AB k =+，∴()22222222821122411111ABCD kk m n mnk k S k kk k⎛⎫++ ⎪⎝⎭=⨯==++++，2211828212142k k=+≤+=++，当且仅当1k =±时取等号，所以矩形ABCD 面积的最大值是12．综上所述，矩形ABCD 面积的最大值是12．25．(1)22143x y +=(2)33【分析】（1）根据椭圆的定义得1,2c a ==，进而得答案；（2）根据余弦定理，结合椭圆定义，解决焦点三角形的面积问题即可.(1)解:∵椭圆C 的两焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，∴设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，1c =，12||||42PF PF a ∴+==，2a ∴=．222413b a c ∴=-=-=，∴椭圆的标准方程为22143x y +=．(2)解：在△12PF F 中，由余弦定理得222121212||||||2||||cos F F PF PF PF PF =+-120︒，即212124(||||)||||PF PF PF PF =+-，212124(2)||||16||||a PF PF PF PF ∴=-=-，12||||12PF PF ∴=，1212113||||sin1201233222PF F S PF PF ∴=︒=⨯⨯= ．26．(1)221167x y +=；(2)213.5【分析】（1）根据题意中的几何关系，判断动点P 的轨迹为椭圆，写出其方程即可；（2）利用椭圆定义结合余弦定理，即可求得MQ ，再求三角形面积即可.(1)由已知PN PA =，故8PM PN PM PA AM MN +=+==>，所以P 点轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆，设P 点轨迹方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则228,3,7a c b ===，所以P 点轨迹方程为221167x y +=.(2)不妨设MQ m =，由椭圆定义可得28QN a m m =-=-，又26MN c ==，则在MNQ 中，由余弦定理可得：()222681cos 212m m QMN m+--∠==，解得145m =.故 QMN 的面积13314213sin 2322255S QMN m c c m =⨯∠⨯⨯=⨯=⨯⨯=.。
椭圆中焦点三角形的性质及应用探究
２ ． 故 答 案 为 Ｄ．
２ 、ｆ ２
所以 ｌ Ｐ Ｆ ． １ 『 Ｐ Ｆ 。 Ｉ ＝ （ 『 Ｐ Ｆ 『 ＋『 Ｐ Ｆ 。 Ｉ ） －４ ｃ
２ （ １ ＋Ｃ Ｏ Ｓ ０ ）
４ｎ ２— ４ｃ ２ ｂ
性质 四： 已 知 椭 圆 方 程 为 ＋ 一 ｌ （ ｎ＞ ６＞ ｏ） ・ 两 焦 点 分 别 为 Ｆ ， Ｆｚ ， 设 焦 点 三 角 形 ＰＦ Ｆ 中 Ｆ ＰＦ 一 ０， 则
（ 异 于 长 轴 的 端 点） ，则 称
△Ｆ ＰＦ 为 椭 圆 的 焦 点 三
证明 ： 设 Ｐ（ 。 ， Ｙ 。 ） ， 由焦 半 径公 式可 知 ： ｌ Ｐ Ｆ ｌ 一口＋
ｅ ｏ ， ｌ ＰＦ１ 口一ｅ １ ． Ｔ ｏ ．
角形 ．
性质一 ： 过椭圆焦点 的所 有弦 中通 径 （ 垂 直于焦 点的 弦 ） 最短。 通 径 为 ．
ｙ ａ
在
一
一
刚一
一 ４ ｂ
半
一 一
例 １ 设 椭 圆ｘ ｚ
十
一１ （ ｃ ￡ ＞６ ＞０ ） 的右 焦点 为 Ｆ ， 右 准
（ １ Ｐ Ｆ Ｉ ＋ｌ Ｐ Ｆ ： ｛ ） 。 一２ Ｉ Ｐ Ｆ Ｉ Ｉ Ｐ Ｆ ｌ 一４ ｃ ２ ｌ Ｐ Ｆ Ｉ ｌ Ｐ Ｆ
６ ｚ ｔ ａ ｎ 要一 ｔ ａ ｎ ， 所 以 当 △ Ｆ Ｐ Ｆ 的 面 积 最 大 时 ， ０ 为 最 大 ，
这 时 点 Ｐ 为 椭 圆 短 轴 的端 点 ， ０ —１ ２ ０ 。 ．
所 以Ｐ Ｆｌ ・ＰＦ ２ 一ｌ Ｐ Ｆｌ Ｉ・ｆ Ｐ Ｆ ｚ Ｊ Ｃ Ｏ Ｓ ０ 一Ⅱ Ｃ Ｏ Ｓ １ ２ ０ 。 一
ｃ ｏ ｓ ８ ≥１ —２ ｅ 。 ．
第七讲：椭圆焦点三角形面积问题
第八讲：椭圆的焦点三角形面积问题1 y F 1 O F 2 xP 题型七：焦点三角形的面积有关问题定理 在椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，q =Ð21PF F ，则2tan 221q b S PF F =D . 例1 若P 是椭圆16410022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且°=Ð6021PF F ，求△21PF F 的面积. 例2 已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若21||||2121=××PF PF PF PF ，则△21PF F 的面积为（的面积为（）A. 33 B. 32 C. 3 D. 33 例3已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（轴的距离为（ ）A. 59B. 779 C. 49 D. 49或779例4：已知椭圆1C ：22221(0)y x a b a b +=>>的右顶点为(1,0)A ，过1C 的焦点且垂直长轴的弦长为1．求椭圆1C 的方程；点评：过椭圆焦点的所有弦中通径最短，通径为ab 22。
练习：1、椭圆1244922=+x y 上一点P 与椭圆个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ）A. 20 B. 22 C. 28 D. 24 2. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积最大时，21PF PF ×的值为（的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 2- 3.已知12F 、F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点，p 为椭圆C 上的一点，且12PF PF ^。
椭圆中的焦点三角形
椭圆中的焦点三角形定义：椭圆上一点和两个焦点构成的三角形,称之为椭圆焦点三角形。
其中，我们把椭圆的两个焦点和其短轴的一个端点构成的等腰三角形称为椭圆的一个特征焦点三角形考点1 有关周长和距离问题：例1.（08浙江）已知12F F ,为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，若2212F A F B +=，则AB =变式（06年四川）如图把椭圆22221x y a b +=的长轴分成8等分，过每个点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于127,,,P P P 七个点。
F 是椭圆的一个焦点，则127PF PF PF ++=变式2 已知12F F ,是椭圆2212516x y +=的左，右焦点，点P 在椭圆上运动，则12PF PF 的最大值是考点2 有关角的问题：例2（2000全国）椭圆22194x y +=的焦点为12F F ,，点P 为其上的动点，当12FPF ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是变式：椭圆22194x y +=的焦点为12F F ,，点P 为其上的动点，当12FPF ∠为直角时，点P 横坐标的取值范围是性质一：当点P 从右至左运动时，12FPF ∠由锐角变成直角，又变成钝角，过了y 轴之后，对称地由钝角变成直角再变成锐角，并且发现当点P 与短轴端点重合时，12FPF ∠达到最大变式: (2004湖南卷)12F F ,是椭圆C ：22184x y +=的焦点，在C 上满足12PF PF ⊥的点P 的个数考点3 有关离心率的问题：例3已知椭圆22221x y a b +=，(0)a b >>的两焦点分别为12F F ,，若椭圆上存在一点P ，使得12FPF ∠0120=，求椭圆离心率e 的取值范围性质二：已知椭圆方程为22221x y a b +=，(0)a b >>的两焦点分别为12F F ,，设焦点三角形12F PF 中，12FPF ∠θ=，则2cos 12e θ≥-（当且仅当动点为短轴端点时取等号）变式（09江西）已知12F F ,是椭圆的两个焦点，满足12MF MF 0=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围考点4 有关面积的问题：（122tan2F PF S b θ∆=）（θ为焦点三角形顶角）例4P 是椭圆22154x y +=上的点，12F F ,是椭圆的焦点，若12FPF ∠6π=，则12PF F 的面积等于变式：P是椭圆2214xy+=上的点，12F F,是椭圆的焦点，若12FPF∠3π=，则12PF F的面积等于变式：（04湖北）已知椭圆221169x y+=的左右焦点分别是12F F,，点P在椭圆上，若12,,P F F是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）A 95B 3 C94D94或7性质4过椭圆焦点的所有弦中通径（垂直于焦矩的弦），最短，通径为22b a（2007天津）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ．（Ⅰ）证明a =；（Ⅱ）设12Q Q ，为椭圆上的两个动点，12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ，垂足为D ，求点D 的轨迹方程．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．（Ⅰ）证法一：由题设212AF F F ⊥及1(0)F c -，，2(0)F c ，，不妨设点()A c y ，，其中0y >．由于点A 在椭圆上，有22221c y a b +=，即222221a b y a b-+=． 解得2b y a =，从而得到2b Ac a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．直线1AF 的方程为2()2b y x c ac=+，整理得2220b x acy b c -+=． 由题设，原点O 到直线1AF 的距离为113OF，即23c =将222c a b =-代入上式并化简得222a b =，即a =．证法二：同证法一，得到点A 的坐标为2b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，．过点O 作1OB AF ⊥，垂足为B ，易知1F BO △∽12F F A △，故211BO F AOF F A=． 由椭圆定义得122AF AF a +=，又113BO OF =，所以2212132F AF A F A a F A==-， 解得22aF A =，而22b F A a =，得22b a a =，即a =． （Ⅱ）解法一：设点D 的坐标为00()x y ，．当00y ≠时，由12OD Q Q ⊥知，直线12Q Q 的斜率为0x y -，所以直线12Q Q 的方程为0000()x y x x y y =--+，或y kx m =+，其中00x k y =-，200x m y y =+．点111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组22222y kx m x y b =+⎧⎨+=⎩，．将①式代入②式，得2222()2x kx m b ++=， 整理得2222(12)4220k x kmx m b +++-=，于是122412km x x k +=-+，21222212m b x x k -=+．由①式得2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x k =++=+++2222222222242121212m b km m b k k km m k k k---=++=+++··． 由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=．将③式和④式代入得22222322012m b b k k --=+， 22232(1)m b k =+．将200000x x k m y y y =-=+，代入上式，整理得2220023x y b +=．当00y =时，直线12Q Q 的方程为0x x =，111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组022222x x x y b =⎧⎨+=⎩，． 所以120x x x ==，12y =，．由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=，即2220202b x x --=， 解得22023x b =． 这时，点D 的坐标仍满足2220023x y b +=． 综上，点D 的轨迹方程为 22223x y b +=．解法二：设点D 的坐标为00()x y ，，直线OD 的方程为000y x x y -=，由12OD Q Q ⊥，垂足为D ，可知直线12Q Q 的方程为220000x x y y x y +=+．记2200m x y =+（显然0m ≠），点111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组0022222x x y y m x y b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， ①． ②由①式得00y y m x x =-． ③由②式得22222200022y x y y y b +=． ④ 将③式代入④式得222220002()2y x m x x y b +-=． 整理得2222220000(2)4220x y x mx x m b y +-+-=，于是222122200222m b y x x x y -=+． ⑤ 由①式得00x x m y y =-． ⑥。
椭圆焦点三角形
椭圆焦点三角形定义：椭圆上一点与两焦点构成的三角形为椭圆的焦点三角形 题型一：焦点三角形的周长【例1】已知点12,F F 分别是椭圆221259x y +=的左、右焦点,点P 在此椭圆上,则12PF F ∆的周长等于（ ）A ．20B ．16C ．18D ．14【练1】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为12，则椭圆C 的方程是__________．【练2】若椭圆22221x y a b+=的离心率为35，两焦点分别为F 1，F 2，M 为椭圆上一点，且△F 1F 2M 的周长为16，则椭圆C 的方程为（ ）题型二：焦点三角形的面积【例2】已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若21||||2121=⋅PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ）【练2】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且12PF PF ⊥，若12PF F △的面积为9，则b =__________．【练3】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，，若12PF F △的面积为34，短半轴长2，则21PF F ∠=__________．题型三：焦点三角形与离心率【例3】设椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ,P 是C 上的点,212PF F F ⊥,1230PF F ∠=,则C 的离心率为 ( )【练3】已知点P 在以12,F F 为左，右焦点的椭圆()2222:102x y C b b b +=>上，在12PF F △中，若12PF F α∠=，21PF F β∠=，则()sin sin sin αβαβ+=+（ ） 【例4】已知12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使1290F PF ∠=，则椭圆的离心率e 的取值范围为（ ）【练4】设椭圆22221x y a b +=()0a b >>的两焦点为1F ，2F ，若椭圆上存在点P ，使12120F PF ∠=︒，则椭圆的离心率e 的最小值为（ ）【例5】已知1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使得120PF PF ⋅=，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）【练2】记1F ，2F 为椭圆22:1x C y m +=的两个焦点，若C 上存在点M 满足120MF MF ⋅=，则实数m 取值范围是( )。
椭圆专题三 椭圆中焦点三角形问题(含答案)
椭圆专题三 椭圆中“焦点三角形”班级__________ 姓名：__________证明结论：1.焦点三角形的面积：如果焦距所对的角的大小为θ，那么此焦点三角形的面积大小为2tan 2b θ，特别地，当PF 1⊥PF 2时12F PF ∆的面积为2b 。
证明结论：2. 12,F F 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 是椭圆上的一点，对于焦点三角形12F PF ∆，当P 为短轴端点时，12F PF ∠最大。
1.设F 1，F 2是椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|:|PF 2|＝2:1，则三角形∆PF 1F 2的面积等于____4____．2．设F 1、F 2为椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 为上一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且｜PF 1｜＞｜PF 2｜，则||||21PF PF 的值为 72或 2 . 3．椭圆x 2 a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，满足→MF 1·→MF 2 =0的点M 总在椭圆内部，则e 的取值范围为0,2⎛ ⎝⎭ .4．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b >0)的两焦点为 F 1(-c,0)、F 2(c,0)，P 为右准线L 上一点，F 1P 的 垂直平分线恰过F 2点，则e 的取值范围为⎣5.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若椭圆上存在一点P 使1221sin sin a c PF F PF F =，则该椭圆的离心率的取值范围为 )1,1 ． 6．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( B ) A.54 B.53 C. 52 D. 51 7．已知长方形ABCD ，4AB =,3BC =,则以A B 、为焦点，且过C D 、两点的椭圆的离心率为 12 .8．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b>0)的两焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，使△OPF 1为正三角形，求椭1 .9．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b>0)的两焦点为F 1、F 2，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB,椭圆离心率为5 . 10．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b>0)，斜率为1，且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，→OA +→OB 与→ a =(3,-1)共线，则椭圆的离心率e 为3 . 11．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b>0)的两焦点为F 1(-c ，0)、F 2(c,0)，P 是以｜F 1F 2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF 1F 2 =5∠PF 2F 1，则椭圆的离心率e 为 3. 12．椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则12F PF ∠的大小为___23π___.13．已知动点P 与两个定点12(F F 距离之和为定值，且12cos F PF ∠的最小值为19-，则动点P 的轨迹方程为___22194x y +=____.。
怎样解答与焦点三角形有关的问题
焦点三角形是指由椭圆或双曲线上一点与两个焦点构成的三角形.焦点三角形较为特殊，其一条边为椭圆的长轴或双曲线的实轴.与焦点三角形有关的问题经常出现在解析几何试题中.下面结合实例来探讨一下与焦点三角形有关的问题的解法.一、根据椭圆或双曲线的定义求解解答椭圆和双曲线中焦点三角形问题，首先要明确这两种圆锥曲线的几何特征和定义.椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹.若P为椭圆上一点，根据椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|=2a.双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹，用代数式可表示为||PF1|-|PF2||=2a.若∠F1PF2=θ，根据椭圆的定义可知（1）4c2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ；(2)S△PF1F2=|PF1||PF2|·sinθ；(3)焦点三角形的周长为2(a＋c).对于双曲线，也有类似的性质.例1.已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为()5,0和()-5,0，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，ΔABC的面积为2，则双曲线的方程为.解：设||PF1=r1，||PF2=r2，根据双曲线的第一定义可知，||r1-r2=2a，因为PF1⊥PF2，所以r21+r22=||F1F22，可得ìíîïïïïr21+r22=20，SΔABC=12r1r2=2，||r1-r2=2a，解得a2=3，而c=5，所以b2=2，可得双曲线方程：x23-y22=1.此题比较简单，根据题目中的垂直关系，利用双曲线的定义和三角形的面积公式即可建立关于||PF1、||PF2的方程组，解方程组就可以求出双曲线的方程.例2.已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1,F2，曲线C1和C2的一个交点为P，且PF1⊥PF2，则C1的离心率e1与C2的离心率e2一定满足的关系是（）.A.e1+e2=2B.1e1+1e2=2C.e21+e22=2D.1e21+1e22=2解：设椭圆C1的方程为x2a21+y2b21=1，双曲线C2的方程为x2a22-y2b22=1，点P在第一象限，半焦距为c.则||PF1+||PF2=2a1，||PF1-||PF2=2a2，所以||PF1=a1+a2,||PF2=a1-a2，因为PF1⊥PF2，||PF12+||PF22=4c2，所以a21+a22=2c2，所以æèçöø÷a1c2+æèçöø÷a2c2=2，即1e21+1e22=2.解答本题，需利用椭圆与双曲线的定义，借助勾股定理建立关于||PF1、||PF2的方程，然后将其转化为a、c的方程，根据圆锥曲线离心率公式e=c a，得到e1、e2的关系式.二、根据正余弦定理求解若三角形ABC的三个内角的对边为a、b、c，则有正弦定理：asin A=b sin B=c sin C=2R.余弦定理：a2=b2+c2-2bc cos A；b2=c2+a2-2ca cos B；c2=a2+b2-2ab cos C.在解答与焦点三角形有关的问题时，可根据正余弦定理建立关于焦点三角形三边的关系式，通过解方程求考点透视36丈丈丈丈数列求和问题是高考数学试题中的“常客”.这类问题的命题形式多变，侧重于考查等差、等比数列的性质、通项公式、前n 项求和公式.解答此类问题的常用方法有分类讨论法、并项求和法、倒序相加法、裂项相消法等.本文主要介绍分类讨论法、倒序相加法和裂项相消法.一、分类讨论法有时数列中出现几类具有不同特征的项，此时需采用分类讨论法来求数列的和.运用分类讨论法求数列的和，需根据数列中各项的特点，对n 进行分类讨论，如分奇数项、偶数项，分整数项、分数项，分正数项、负数项等.运用该方法解题，需仔细观察数列的通项公式的结构或数列中各项的特点，并确定分类的标准，然后逐类进行讨论，求出各类数列的和，最后综合所得的结果即可解题.例1.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2=4，a n +1=2S n +1.(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列{|a n -n -2|}的前n 项和.解：（1）数列n 的通项公式是a n n -1.（过程略）（2）设b n =||3n -1-n -2，则b 1=2，b 2=1，当n ≥3时，3n -1>n +2，可得b n =3n -1-n -2，n ≥3，设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1=2，T 2=3.当n ≥3时，T n =3+9()1-3n -21-3-()n +7()n -22=3n-n 2-5n +112，故T n =ìíîïï2,(n =1)3n -n 2-5n +112.()n ≥2数列{b n }的通项公式中含有绝对值，经分析可知，当n =1、2时和当n ≥3时数列的前n 项和式不一样，因此需采用分类讨论法，分别讨论当n =1、2时和当n ≥3时数列的通项公式和前n 项和，最后综合所有情况即可.二、倒序相加法倒序相加法是求数列前n 项和的常用方法之一，考点透视。
椭圆中的焦点三角形
椭圆中的焦点三角形和离心率问题
1、若椭圆方程为x 24＋y 23＝1，∠PF 1F 2＝90°，试求△PF 1F 2的面积．
2、设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．1
3、过椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为________．
4、已知椭圆的两焦点为F 1、F 2，A 为椭圆上一点，且AF 1→·AF 2→
＝0，∠AF 2F 1＝60°，则该椭圆的离心率为________．
5、椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( )
A.12
B.13
C.14
D.22
6、设椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)与x 轴交于点A ，以OA 为边作等腰三角形OAP ，其顶点P 在椭圆上，且∠OP A ＝120°，求椭圆的离心率．
7、以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点与两焦点，恰好组成一个正六边形，求这个椭圆的离心率．
8、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连结AF ，
BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( ) A.35 B.57 C.45 D.67。
椭圆中的焦点三角形案例分析
《椭圆中的焦点三角形》的案例分析（一）：复习引入：1：椭圆的定义（二）：基础训练及例题问题(一)利用焦点三角形求轨迹方程例1：在△ABC 中，已知B,C 坐标分别为(-3,0)和(3,0)，且△ABC 周长为16，则顶点A 的轨迹方程。
变题1：在△ABC 中，已知B,C 坐标分别为(-3,0)和(3,0)，AB,AC 边上中线长为15，则此三角形重心G 的轨迹方程。
变题2：（93年全国高考卷）若△ABC 面积为1，tan ∠ABC=21, tan ∠ACB=2-建立适当坐标系，求以B,C 为焦点并且过点A 的椭圆方程【设计说明】结合高考，逐层深入。
其实变题1，2还是要回归例题1中焦点三角形的边的关系实行求解。
问题(二)焦点三角形的性质例2122y x 的2个焦点，若A 、B 是椭圆过焦点F 1的弦，则B A C(1)求△AF 1F 2，△ABF 2的周长。
(2)求21AF AF ⋅最大值？(3)求∠F 1AF 2的最值？（4） 若∠F 1AF 2为钝角时，求点A 横坐标的范围（2000年全国高考卷）（5）△AF 1F 2面积的最大值。
（6）设∠F 1AF 2为θ，求21F AF S ∆的面积【设计说明】把不等式、三角、面积等等知识实行融会贯通，让学生形成一个整体的认知结构，实现新旧知识的贯通。
（三） 巩固练习（一）必做题（1）（2005年全国高考卷）设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1F 2P 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（2）动圆与定圆x 2+y 2+4y-32=0内切且过定圆内的一个定点A （0，2），求动圆圆心P 的轨迹方程。
（3）已知M 为椭圆上一点，F 1、F 2为2个焦点，且∠MF 1F 2=600, ∠MF 2F 1=300，则椭圆的离心率为 。
（4）已知F 1，F 2为椭圆14922=+y x 的2个焦点，M （1，1）为椭圆内一定点，A 为椭圆上任意一点，求AM AF +1的最大值。
高中数学椭圆的焦点三角形
则SPF1F2
_b_2__ta_n____
2
，设F1PF2
yP
，
.
.
F1 0
F2
x
7
例题、
设椭圆 x2
9
y2 4
1的左右焦点为 F1 和 F2 ，点 P 在椭圆上，
且 F1PF2 600 ，求△PF1F2 的面积. 4 3
3
变式
1、已知 F1 、 F2 是椭圆
x2 9
y2 4
1的两个焦点，P
1(a b 0)
3.椭圆中a,b,c的关系是: a2=b2+c2
2
新课引入
以椭圆上一点P和两焦点F1、F2为顶点的三角形 叫做椭圆的焦点三角形。
3
关于椭圆焦点三角形的常见问题：
1 焦点三角形的周长问题 2 焦点三角形的面积问题 3 焦点三角形的顶角问题
4
1 焦点三角形的周长问题
例题、
设椭圆 x2
椭圆的焦点三角形
1
复习回顾
1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的动点
的轨迹叫做椭圆。
| PF1 | | PF2 | 2a(2a | F1F2 |)
2.椭圆的标准方程是：
当焦点在x轴上时
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
当焦点在y轴上时
y2 a2
x2 b2
F1，F2是椭圆
x2 a2
y2 b2
1 a
b
0的两个焦点，
P是椭圆上一点 (长轴端点除外) ，设F1PF2 ，
则当点P在短轴端点时， 最大。
椭圆
9
例题、若 P 在椭圆
x2 9
椭圆中与焦点三角形有关的问题
椭圆中与焦点三角形有关的问题性质一：当点P 从右至左运动时，21PF F ∠由锐角变成直角，又变成钝角，过了Y 轴之后，对称地由钝角变成直角再变成锐角，并且发现当点P 与短轴端点重合时，21PF F ∠达到最大。
3.“性质一”是为什么呢？你能证明吗？（面对cos 21PF F ∠=||||2||||||212212221PF PF F F PF PF ⋅-+ 如何求最小值，有的同学尝试后发现若用两次均值不等式，则两次不等号方向相反，达不到目的。
能否少用一次均值不等式求出最值呢?学生们发现分子变化的部分是2221||||PF PF +，分母变化的部分是||||221PF PF ⋅，二者的关系是 ()||||24||||2||||||||212212212221PF PF a PF PF PF PF PF PF ⋅-=⋅++=+ ，于是目标式可分成两部分1||||2212-⋅PF PF b ，最后对||||21PF PF ⋅ 利用均值不等式，即可大功告成。
问题5：由上面的分析，你能得出cos 21PF F ∠与离心率e 的关系吗？性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F ________.21cos 2e -≥θ_______________（当且仅当动点为短轴端点时取等号）设计意图：进一步的挖掘，可以让问题简单化，应用价值就更高，“看似一小步，其实一大步”！题2：已知1F 、2F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，椭圆上一点P 使︒=∠9021PF F ，求椭圆离心率e 的取值范围。
1由椭圆定义，有212a PF PF =+|||| 平方后得42228212221212221222a PF PF PF PF PF PF F F c =++⋅≤+==||||||||(||||)||得c a2212≥ 所以有，）e ∈[221 2⇒22≤e ＜1 变式1：已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使得,120021=∠PF F 求椭圆的离心率e 的取值范围。
椭圆中与焦点三角形有关的问题
椭圆中与焦点三角形有关的问题2y1的焦点为 F l 、F 2，点 P 为其上动点，当4点 P 横坐标的取值范围是 ______二）问题的分析点 P 的横坐标是 _____ 。
问题 2. 而此题为钝角，究竟钝角和直角有何联系？解题的关键在于点动，发现 F 1PF 2 的大小与点 P 的位置有关，究竟有何联系。
性质一： 当点 P 从右至左运动时， F 1PF 2 由锐角变成直角，又变成钝角，过了 Y 轴之 后，对称地由钝角变成直角再变成锐角， 并且发现当点 P 与短轴端点重合时， F 1PF 2达到 最大。
3. “性质一”是为什么呢？你能证明吗？问题 3： 解三角形中我们常用的理论依据是什么？问题 4：究竟转化为求哪种三角函数的最值，经演算、试验，悟出“欲求 F 1PF 2 的最 大值，只需求 cos F 1PF 2 的最小值”问题 1. x2椭圆9 2 y1的焦点为 F l 、 F 2，点 P 为其上一点，当4F 1PF 2 为直角时，例 1 ：椭圆F 1 PF 2 为钝角时，问题5：由上面的分析，你能得出cos F1 PF2与离心率 e 的关系吗？性质二：已知椭圆方程为2x2a2y2 1(a b 0), 两焦点分别为F1, F2 ,设焦点三角形b2PF1F 2 中F1PF22,则cos 1 2e2. (当且仅当动点为短轴端点时取等号)题2：已知F1、F2是椭圆2x2a2y2 1(a b 0) 的两个焦点，椭圆上一b2点P 使F1PF290 ，求椭圆离心率e 的取值范围。
变式1：已知椭圆2x2a2y2 1(a b 0)的两焦点分别为F1, F2 ,若椭圆上存在一点P, 使b得F1PF2 1200,求椭圆的离心率e 的取值范围。
22变式2：若椭圆x y 1 的两个焦点F14 31F 2 ，试问：椭圆上是否存在点P ，使F1PF2 90 ？存在，求出点P 的纵坐标；否则说明理由。
三）问题引入2x2题3：P 是椭圆52y1 上的点，F l ，F2是椭圆的焦点，若F1PF2 ，则PF1F 2 41 231 2的面积等于2 x 问题1：已知椭圆C： 2 a22b y221（a>b>0），F1、F2 是两个焦点，对于给定的角探求在 C 上存在点P，使F1PF2的条件。
高中数学选择填空破题(椭圆的基本性质)：椭圆中焦点三角形的周长问题-Word版含答案
今天我们研究椭圆中焦点三角形的周长问题。
利用椭圆的第一定义，过椭圆一个焦点的弦与另一个焦点构成的三角形周长为定值，即长轴的2倍。
先看例题： 例：如图,椭圆E :22143x y +=的左焦点为F 1,过F 1的直线交椭圆于A ,B 两点,求△ABF 2的周长.规律整理：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F 1，右焦点为F 2， 过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，则2ABF V 的周长为4a椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F 1，右焦点为F 2， 过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，则1ABF V 的周长为4a注意：这类三角形周长为定值，与直线的倾斜角无关。
再看一个例题，加深印象例：在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且2ABF V 的周长为16，那么C 的方程为（ ）即4a =16,a =4.又22c e a ==,所以22c =,所以2222b a c =-=.故椭圆C 的方程是221168x y +=. 练习：1. 设F 1，F 2分别是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|=3|F 1B |若|AB |=4， △ABF 2的周长为16，求|AF 2|；若23cos 5AF B ∠=，求椭圆E 的离心率. 2. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33 ，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43C 的方程为( ) A.22132x y += B. 2213x y += C. 221128x y += D. 221124x y +=。
12.4.3焦点三角形的性质及椭圆中的最值问题
F1
O
F2
x
x2 (2)已知直线l : x y m 0与椭圆C : y 2 1, 4 交于A, B两点，求|AB | 的最大值.
4 10 5
(2)当F 1PF 2 60 时，求F 1PF 2的面积；
4 3 3
y
F1
o
F2
x
x2 y 2 变式：已知椭圆 2 2 1 (a b 0), 焦点坐标为F1 , F2 , 点P为椭圆上的动点， a b 2 S△ PF1F2 b tan 若F1PF2 时，求F1PF2的面积； 2
2
xp2
yp2
F1
o
P F2
x
PF1 PF2 2 cos F1PF2 0 PF1 PF2 0 ( 5 x p )( 5 x p ) y p 0 | PF1 || PF2 |
4 2 9 3 5 3 5 2 x ( , ) xp 5 y p 0 x p 5 4 x p 0 x p p 9 5 5 5
3. 椭圆上一点到定直线的距离的最值问题
x2 y 2 例1：已知椭圆 1，直线L : 4 x 5 y 40 0， 25 9 椭圆上是否存在一点，它到直线L的距离最小？ 最小距离是多少？
解：设直线m平行于l， 则l可写成： 4x 5 y k 0
4 x 5 y k 0 2 2 由方程组 x y 1 25 9 2 2 消去y，得25x 8kx k - 225 0
x2 y 2 2.在椭圆 C： 2 2 1（ a b 0 ）中， F1 和 F2 是椭圆的两个焦 a b
椭圆专题：椭圆中焦点三角形的6种常见考法高二数学上学期同步讲与练(选择性必修第一册)(原卷版)
椭圆专题：椭圆中焦点三角形的6种常见考法焦点三角形的定义与常用性质1、定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”。
一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立12+AF AF ，2212+AF AF ，12AF AF 之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题（设12∠F AF 为 ）2、常用性质性质1：122+=AF AF a ，122+=BF BF a （两个定义）拓展：12∆AF F 的周长为121222++=+AF AF F F a c1∆ABF 的周长为12124+++=AF AF BF BF a性质2：222212121242cos ==+-c F F AF AF AF AF θ（余弦定理）性质3：当A 为短轴的端点时，12∠F AF 最大推导：由性质2得，()222221212121212244c cos 22+--+-==AFAF AF AF c AF AF AF AF AF AF θ()222121212224221--==-a AF AF cb AF AF AF AF .∵212212+=22⎛⎫≤ ⎪⎝⎭AF AF AF AF a ，当且仅当12=AF AF 时，即点A 是短轴端点时取等号，∴2221222cos 11=-≥-b b AF AF aθ.又∵cos =y θ在()0,π上单调递减，∴当A 为短轴的端点时，12∠F AF 最大。
性质4：122121sin tan 22∆===AF F A S AF AF b c y θθ当=A y b ，即A 为短轴的端点时，12∆AF F 的面积最大，最大值为bc推导：由性质3的推导过程得2122cos 1=-b AF AF θ∴21221cos =+b AF AF θ，∴122221222sincos 11222sin sin tan 221cos 22cos 2∆==⋅⋅=⋅=+AF F b S AF AF b b θθθθθθθ题型一椭圆中焦点三角形的周长问题【例1】已知∆ABC 的顶点B ，C 在椭圆2211216x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 边上，则∆ABC的周长是（）A．23B．3C．8D．16【变式1-1】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点为1F ，2F ，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若2∆ABF 的周长为16，则=a （）A．2B．4C．6D．8【变式1-2】椭圆C ：2221(0)x y a a+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上异于左右顶点的任意一点，1PF 、2PF 的中点分别为M 、N ，O 为坐标原点，四边形OMPN 的周长为4，则12∆PF F 的周长是_____．【变式1-3】已知椭圆的方程为22194x y +=，过椭圆中心的直线交椭圆于A 、B 两点，2F 是椭圆的右焦点，则2ABF 的周长的最小值为______．题型二椭圆中焦点三角形的面积问题【例2】椭圆C ：2214924x y +=的焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若18PF =，则12PF F △的面积为（）A．48B．40C．28D．24【变式2-1】设12,F F 是椭圆2211224x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且1213cos F PF ∠=.则12PF F △的面积为（）A．6B．C．8D．【变式2-2】已知1F 、2F 为椭圆22:14x y Γ+=的左、右焦点，M 为Γ上的点，则12MF F △面积的最大值为（）B．2C．D．4【变式2-3】已知点P 为椭圆C ：22195x y +=上一点，点1F ，2F 分别为椭圆C 的左､右焦点，若122PF PF =，则12PF F △的内切圆半径为（）B．155题型三椭圆中焦点三角形的个数问题【例3】已知点1F 、2F 为椭圆22143x y+=的左、右焦点，若点P 为椭圆上一动点，则使得123F PF π∠=的点P 的个数为（）A．0B．2C．4D．不能确定【变式3-1】设椭圆22:184x y Γ+=的左、右两焦点分别为1F ，2F ，P 是Γ上的点，则使得12PF F △是直角三角形的点P 的个数为_________.【变式3-2】已知1F 、2F 为椭圆22143x y+=的左、右焦点，若M 为椭圆上一点，且12MF F △的内切圆的周长等于π，则满足条件的点M 的个数为（）A．2B．4C．0D．不确定【变式3-3】若1F 、2F 分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，M 是椭圆上的任意一点，且12MF F △的内切圆的周长为3π，则满足条件的点M 的个数为（）A．2B．4C．6D．不确定题型四椭圆中焦点三角形的顶点坐标问题【例4】已知1F 、2F 为双曲线C :221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，21PF F ∠=︒60，则P 到x 轴的距离为（）A.2B.2【变式4-1】已知椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若12PF F △为直角三角形，则点P 到x 轴的距离为（）或94B．3D．94【变式4-2】椭圆22194x y +=的焦点F 1，F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P横坐标的取值范围是（）A．B．）C．（﹣5，5）D．（﹣5，5）【变式4-3】椭圆22:14x C y +=的左右焦点分别为12,F F ，点M 为其上的动点，当12F MF ∠为钝角时，点M 的纵坐标的取值范围是____________.题型五椭圆中焦点三角形的中位线问题【例5】设1F ，2F 为椭圆22194x y+=的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，则21PF PF 的值为（）A．513B．45C．27D．49【变式5-1】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是（）B．D．【变式5-2】已知椭圆22:194x y C +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为,A B ，线段MN 的中点在椭圆C 上，则AN BN +的值为（）A．6B．12C．18D．24【变式5-3】如图，若P 为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上一点，()F -为椭圆的焦点，若以椭圆短轴为直径的圆与PF 相切于中点，则椭圆C 的方程为___________.题型六椭圆中焦点三角形的角平分线问题【例6】已知1F ，2F 是椭圆C ：22214x y b+=的左、右焦点，离心率为12，点A 的坐标为3(1,)2，则12F AF ∠的平分线所在直线的斜率为（）A．2B．1【变式6-1】已知12F F ，是椭圆221369x y+=的两个焦点，P 是椭圆上任意一点，过1F 引12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 与短轴端点的最近距离为（）A．5B．4C．3D．2【变式6-2】已知椭圆()2221024x y b b+=<<，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一点，()2,1M ，1MF 平分角12PF F ∠，2MF 是角21PF F ∠的外角平分线，则1MPF 与2MPF 的面积之和为()A．1B．32C．2D．3【变式6-3】已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点，P 是椭圆上任一点，从2F 引12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为（）A．圆B．两个圆C．椭圆D．两个椭圆。
辅导班焦点三角形椭圆
椭圆的焦点三角形问题由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称作为焦点三角形 例1椭圆14922=+y x 的焦点为F l 、F 2，点P 为其上任意一点 则PF l 中点Q 的轨迹是什么当椭圆确定时 尽管P 是动点但这个三角形有哪些定量？ 性质1 在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，三角形1F P 2F 的底边 长 周长性质2 在椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，θ=∠21PF F 当且仅当动点P 为短轴端点时21PF F ∠最大例2 若椭圆13422=+y x 的两个焦点1F 、2F ，试问：椭圆上是否存在点P ，使︒=∠9021PF F 存在，求出点P 的纵坐标；否则说明理由。
例 3 椭圆14922=+y x 的焦点为F l 、F 2，点P 为其上一点，当21PF F ∠为直角时，求P 的横坐标例4 椭圆14922=+y x 的焦点为F l 、F 2，点P 为其上动点，当 21PF F ∠为钝角时，求点P 横坐标的取值范围例 5 P 是椭圆1422=+y x 上的点，F l ，F 2是椭圆的焦点，若321π=∠PF F ，求21F PF ∆的面积性质3 在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，θ=∠21PF F ，则2tan 221θb S PF F =∆.性质4在椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）中过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为ab 22练习题1. 椭圆1244922=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ）A. 20B. 22C. 28D. 242. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 1C. 3D. 63. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积 最大时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 2C. 4D. 2-4．已知椭圆1222=+y ax （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点， 且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为（ ）A ．1B ．31C ．34D ．32 P。
微专题：椭圆焦点三角形的秘密
椭圆焦点三角形的秘密一、单选题1．已知12,F F 为椭圆C ：221164xy+=的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12P Q F F =，则四边形12P F Q F 的面积为（ ）A ．B ．8C ．D ．42．已知椭圆22195xy+=的右焦点为,F P 是椭圆上一点，点(0,A ，当A P F ∆的周长最大时，直线A P 的方程为A ．3y x =-+B ．3y x =+C ．y=+D ．y=+3．已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||3||A FF B =，15||4||A B B F =，则C 的方程为（ ）A ．2212xy += B ．22132xy+=C ．22143xy+= D ．22154xy+=4．已知椭圆2222:1(0,0),x y Ca b Cab+=>>的上顶点为A ，两个焦点为12,F F ，离心率为12.过1F 且垂直于2A F 的直线与C 交于,D E 两点，6D E =，则A D E的周长是（ ）A ．11B ．12C ．13D ．145．已知椭圆22195xy+=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段P F 的中点在以原点O 为圆心，O F 为半径的圆上，则直线P F 的斜率是（ ）AB ．CD ．6．已知1F 、2F 是椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的两个焦点，以线段12F F 为边作正三角形12M F F ，若边1M F 的中点在椭圆上，则椭圆的离心率是（ ）A ．4-B 1C 2D 17．如图，椭圆2222:1(0)x y Ma b ab+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，两平行直线12,l l 分别过12,F F 交M 于A ，B ，C ，D 四点，且2222,4A F D F A F D F ⊥=，则M 的离心率为（ ）A ．12B 2C ．23D 38．若点P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆22221(0)x y a b ab+=>>上一点，且12P F P F ⋅=，121ta n ,3P F F ∠=则此椭圆的离心率e =（ ）A ．3B 3C 4D 49．古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积.已知椭圆C 的中心在原点，焦点1F ，2F 在y 轴上，其面积为，过点1F 的直线l 与椭圆C 交于点A ，B 且2F A B的周长为16，则椭圆C 的方程为（ ）A ．221163yx+= B ．2211612yx+= C ．2211612xy+=D ．221163xy+=10．已知椭圆2222:1(0)x y Ca b ab+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 为C 上位于第一象限的一点，1A F 与y 轴交于点B ．若12260F A F A F B ∠=∠=︒，则C 的离心率为（ ）A 3B 2C 4D 511．已知O 为坐标原点，P 是椭圆()2222:10x y Ea b ab+=>>上位于x 轴上方的点，F 为右焦点.延长P O 、P F 交椭圆E 于Q 、R 两点，Q F F R⊥，4Q FF R=，则椭圆E 的离心率为（ ）A 3B 2C 3D 412．椭圆221259xy+=的两个焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆上位于第一象限的一点，若△PF 1F 2的内切圆半径为43，则点P 的纵坐标为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．二、多选题 13．已知椭圆C ：221169xy+=的左，右焦点为F 1，F 2，点P 为椭圆C 上的动点（P 不在x 轴上），则（ ）A ．椭圆C 的焦点在x 轴上B ．△PF 1F 2的周长为C ．|PF 1|的取值范围为[94，4）D ．tan ∠F 1PF 2的最大值为14．设椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，短轴长为4，A ，B 是椭圆上关于x 轴对称的两点，1A B F 的周长的最大值为12．过点(2,1)M -的直线交椭圆于C ，D 两点，且C ，D 关于点M 对称，则下列结论正确的有（ ）A ．椭圆的方程为22194xy+= BC ．椭圆上存在4个点Q ，使得12Q F Q F ⋅= D ．直线CD 的方程为89250x y -+=15．设椭圆C ：22143xy+=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆C 上一动点，则下列说法中正确的是（ ）A ．当点P 不在x 轴上时，12P F F 的周长是6B．当点P 不在x 轴上时，12P F F C ．存在点P ，使12P F P F ⊥ D ．1P F 的取值范围是[]1,316．已知O 为坐标原点，椭圆C ：221169xy+=的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆的上顶点和右顶点分别为A 、B ，点P 、Q 都在C 上，且P OO Q=，则下列说法正确的是（ ）A ．2P Q F 周长的最小值为14 B ．四边形12P F Q F 可能是矩形C ．直线P B ，Q B 的斜率之积为定值916- D ．2P Q F 的面积最大值为三、填空题 17．椭圆22154xy+=的左焦点为F ，直线x =t 与椭圆相交于点M ，N ，当F M N的周长最大时，F M N的面积是 .18．已知椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若椭圆上存在一点P使1221s in s in ac P F F P F F =∠∠，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．19．已知1F ，2F 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>的左、右焦点，M 是C 上一点且2M F 与x 轴垂直，直线1M F 与C 的另一个交点为N ．若直线MN 在y 轴上的截距为3，且14M N F N=，则椭圆C 的标准方程为 ． 20．已知椭圆()2222:10x y Ca b ab+=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，点P 在直线xa=上，直线P A 交椭圆于点Q ，若2A Q Q P=，0A Q Q F ⋅=，则椭圆C 的离心率为 .21．已知椭圆C ：22194xy+=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则A N B N +=.四、解答题 22．已知斜率为k的直线l 与椭圆22143xyC +=：交于A ，B 两点，线段A B 的中点为()()10M mm >，．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且0F P F A F B ++=．证明：F A ，F P ，F B成等差数列，并求该数列的公差．23．设1F ,2F 分别是椭圆E ：22221(0)x y a b ab+=>>的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B两点，113A F B F =（1）若24,A B A B F =∆的周长为16，求2A F ；（2）若23c o s 5A F B∠=，求椭圆E 的离心率.参考答案：1．B【分析】判断四边形12P F Q F 为矩形，利用椭圆的定义及勾股定理求解即可． 【详解】解：因为P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12||||P Q F F =，所以四边形12P F Q F 为矩形， 设1||P Fm=，2||P Fn=，由椭圆的定义可得12||||28P F P F m n a +=+==，所以22264mm n n++=，因为2222221212||||||44()48P F P F F F cab +===-=，即2248m n +=，所以8m n=，所以四边形12P F Q F 的面积为12||||8P F P F m n ==．故选：B 2．D【详解】试题分析：椭圆22195xy+=的32ab c ====，，由题意，设F '是左焦点，则A P F ∆周长24610A F A P P F A F A P a P F P A P F A F =++=++-'=++-'≤+'A P F '（，，三点共线时，且P 在A F '的延长线上，取等号），直线A F '的方程为12x +=-即y =+D ．考点：椭圆的简单性质 3．A【分析】由已知可设2F B n=，则2153,54A F nB F A B n===，得13A F n =，在1A F B △中求得1co s 0F A B∠=，从而可求解．【详解】如图，由已知可设2F B n=，则2153,54A F nB F A B n===，由椭圆的定义有121226,23aB F B F n A F a A F n=+=∴=-=．在1A F B △中，由余弦定理推论得222191625c o s 0234n n nF A B n n+-∠==⋅⋅．所以1290F A F ∠=︒，则222221212994A F A F F F n n +=⇒+=.得3n=a=1c =，得1b =故C 的方程为2212xy+=故选：A4．C【分析】由离心率为12，得到a ，b ，c 之间的关系，做出简图，分析可得直线D E 的方程为：)3y x c =+，且直线D E 垂直平分2A F ，所以A D E的周长等于2F D E △的周长，等于4a ，将直线方程与椭圆方程2222143xycc+=联立，利用弦长公式求出c ，a 的值.【详解】因为椭圆的离心率为12c ea==，所以2ac=，b==，如图，12122A F A F F F c===，所以12A F F △为正三角形，又因为直线D E 过1F 且垂直于2A F ，所以1230D F F ∠=︒，直线D E 的方程为)3yx c =+，设点D 坐标()11,x y ，点E 坐标()22,x y ，将直线方程与椭圆方程2222143xycc+=联立，得22138320x c x c+-=，显然0∆>,则12813c x x +=-，2123213c x x =-，所以48613c D E ===，解得138c=，134a=,由图，直线D E 垂直平分2A F ，所以A D E的周长等于2F D E △的周长，413F D EC a ==△.故选：C. 5．C【分析】设(,)P x y 可得22(2)16x y-+=，联立椭圆方程可得点P 坐标，即可求解.【详解】设椭圆的右焦点为1F ，则()(),,,12020F F -， 由题意可知||=|2O F O M|=c =，由中位线定理可得12||4P F O M ==，设(,)P x y 可得22(2)16x y-+=，联立方程22195xy+=，可解得321,22xx =-=（舍），点P 在椭圆上且在x 轴的上方，求得322P ⎛- ⎝⎭，()2,0F -，所以212P Fk ==故选：C. 6．B2c a+=，计算得离心率.【详解】设1M F 的中点为Q ，由题意得：1Q F c=，2Q F =，2c a+=，所以1c e a===，故选：B ． 7．D 【分析】设2D F x=，则24A F x=，由椭圆定义得124A F a x=-，由椭圆的对称性可知12B F D F x==，连接2B F ，则22B F a x=-．又1222,l l A F D F ⊥∥，利用勾股定理可得答案. 【详解】设2D F x=，则24A F x=，由椭圆定义得124A F a x=-，由椭圆的对称性可知12B F D F x==，连接2B F ，则22B F a x=-．又1222,l l A F D F ⊥∥，所以12290D F A F A F ∠=∠=，在2R tA B F 中，22222||B F A B A F =+，所以222(23)(4)(2)a x x a x -+=-，解得3a x=，所以1224,33a a A F A F ==，12R t A F F 中，2221212A F A F F F +=，所以22224(2)33a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得2259a c=，所以M 的离心率e3c a==故选：D.8．C【分析】根据题意可知12P F F 为直角三角形，而122P F P F a +=，122F F c=，借助边长关系即可求离心率. 【详解】120P F P F ⋅=,则12P F P F ⊥，则12P F F 为直角三角形，因为121ta n 3P F F ∠=，假设21P F =，则1123,P F F F ==，根据椭圆定义得1224P F P F a +==，122F F c ==故4c ea ==，故选：C. 9．A【分析】由题中所给结论得a b =2F AB的周长为16结合椭圆定义得416a=，进而可得结果.()()22a b π=⋅，则a b =由2F A B的周长为16结合椭圆定义可得416a=，所以4a =，b=，又椭圆焦点在y 轴上，故椭圆方程为221163yx+=.故选：A. 10．A【分析】结合对称性及椭圆的定义，得到2122||3a A B B F B F A F ====，然后根据B 为1A F的中点，推导出 2O B A F ∥，求得212A FF F ⊥，122F F F =，找到c a ，的关系，从而求得离心率.【详解】解析：如图，由12260F A F A F B ∠=∠=︒，得2AF B为等边三角形，结合对称性及椭圆的定义，得2122||3a A B B F B F A F ====，则B 为1A F 的中点，从而OB 为12F A F 的中位线，2O B A F ∥，所以212A FF F ⊥，所以122F F F =，即23c=则3c ea==，故选:A ．11．C【分析】设椭圆E 的左焦点为F '，连接P F '、Q F '、R F '，推导出四边形P F Q F '为矩形，设F R m=，在R t P F R '△中，利用勾股定理可解得3a m=，然后在R tP F F'中，利用勾股定理可求得椭圆E 的离心率的值.【详解】解：如图，设椭圆E 的左焦点为F '，连接P F '、Q F '、R F '， 由题意可知，P 、Q 关于原点O 对称，且O 为F F '的中点， 所以四边形P F Q F '为平行四边形，又因为Q F F R⊥，所以四边形P F Q F '为矩形. 因为4Q F F R=，设F R m=，4Q F P F m'==，则224P F a P F a m'=-=-，22F R a F R a m'=-=-，所以，2423P R P F F R a m m a m=+=-+=-，在R t F P R'中，222P F P R F R''+=，即()()22216232m a ma m+-=-，解得3a m=，所以，443a P F m '==，4224233a a P F a m a =-=-=，在R tP F F'中，由勾股定理可得222P F P FF F ''+=，即22242433a a c⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得2259a c =，解得3c ea==故选：C.12．B【分析】首先根据椭圆的方程，可以求得12P F F ∆的周长，结合三角形内切圆的面积等于二分之一周长乘以内切圆的半径，也可以应用二分之一底乘高，得到其纵坐标所满足的条件，求得结果.【详解】根据椭圆的定义可知：121210,8P F P F F F +==，设12P F F ∆的内切圆的圆心为O ， 因为△PF 1F 2的内切圆半径为43，所以12121214()1223P F FS P F P F F F ∆=++⋅=，又因为1212142P F F P PS F F y y ∆=⋅⋅=，所以412Py =，3Py =，故选：B.【点睛】该题考查的是有关椭圆焦点三角形内切圆相关的问题，涉及到的知识点有椭圆焦点三角形的周长，内切圆半径所满足的条件，属于简单题目. 13．ABD【分析】对于ABD ，利用椭圆的知识和三角知识证明是正确的；对于C, 1P F 的取值范围为(44-+，故C 不正确.【详解】对于A ，由椭圆的方程可知，椭圆焦点在x 轴上，故A 正确；对于B ，因为c==12P F F 的周长为228a c +=+B 正确；对于C ，因为P 不在x 轴上，所以1a c P F a c-<<+，所以1P F 的取值范围为(44-+，故C 不正确；对于D ，设椭圆的上顶点为B ，则121202F P F F B F π∠∠<，所以12tan F P F ∠的最大值为12tan F B F ∠.设2O B F ∠α=，则ta n 3α=，且122F B F ∠α=，而22ta n ta n 21ta n ααα==-所以12tan F P F ∠的最大值为D 正确.故选：ABD. 14．ACD【分析】由椭圆定义，利用直角三角形直角边和斜边关系，知AB 过点2F 时1A B F 周长最大为4a 求出a ，再由短轴得出b ，可求得椭圆方程，知A 正确，由c 的值可确定焦距，知B 错误，由1290F Q F ∠=知Q 在以线段12F F 为直径的圆上，由cb>知C 正确，利用点差法可求得直线C D 方程，知D 正确. 【详解】对于A ，由题意知21||||2A B A F ≤，当A B过点2F 时，等号成立，所以1121||||||||22A F AB A F A F a+≤+=，故当A B 过右焦点2F 时，1A B F 的周长取最大值412a =，所以3a=，又2b=，所以椭圆的方程为22194xy+=，A 正确；对于B ，由A知c==122F F c ==B 错误；对于C ，由12Q F Q F ⋅=知1290F Q F ∠=，Q ∴在以线段12F F 为直径的圆上，由c b >知：以线段12F F 为直径的圆与椭圆有4个交点，即椭圆上存在4个点Q ，使得120Q F Q F ⋅=，C 正确；对于D ，由题意知点()2,1M -为弦C D 的中点，M 在椭圆内部， 设()11,C x y ，()22,D x y ，则2211194x y +=，2222194x y +=， 两式相减得：()()()()12121212094x x x x y y y y -+-++=．124x x +=-，122y y +=，则()1212294x x y y --=，121289C D y y k x x -∴==-，∴直线C D 的方程为：()8129yx -=+，即89250x y-+=，D 正确.故选：ACD. 15．ABD【解析】根据椭圆定义以及焦距即可判断选项A ；当点P 位于上下顶点时，12P F F 面积的最大即可判断选项B ；当点P 为椭圆C 短轴的一个端点时，12F P F ∠为最大与90比较即可判断选项C ；当点P 为椭圆C 的左右顶点时取得最值，即可判断选项D. 【详解】由椭圆方程可知2a=，b=1c =．对于选项A:根据椭圆定义，1224P F P F a +==，又1222F F c ==，所以12P F F 的周长是226a c += ，故选项A 正确；对于选项B ：设点()()1000,P x y y ≠，因为122F F =，则020112P F FS F F y y ⋅==△．因为00y b <≤=12P F F B 正确；对于选项C ：由椭圆性质可知，当点P 为椭圆C 短轴的一个端点时，12F P F ∠为最大． 此时，122P F P F a ===，又122F F =，则12P F F 为正三角形，1260F P F =︒△，所以不存在点P ，使12P F P F ⊥，故选项C 错误；由图可知，当点P 为椭圆C 的右顶点时，1P F 取最大值，此时13P F a c =+=；对于选项D ：当点P 为椭圆C 的左顶点时，1P F 取最小值，此时11P F a c =-=，所以[]11,3P F ∈，故选项D 正确． 故选：ABD【点睛】结论点睛：椭圆中焦点三角形的有关结论 以椭圆22221x y ab+=()0a b >>上一点()00,P x y ()00y ≠和焦点()()12,0,,0F c F c -为顶点的12P F F 中，若12F P F θ∠=，则（1）焦点三角形的周长为22a c+；（2）当点P 为椭圆短轴的一个端点时，12F P F θ∠=为最大；（3）121s in 2P F F SP F P F θ=⨯⨯，当0y b=时，即点P 为椭圆短轴的一个端点时P F F S取最大值，为b c ； （4）2ta n2P F F Sb θ=.16．ACD【分析】对四个选项一一判断：对于A ：利用椭圆的对称性，判断出PQ 为椭圆的短轴时，2P Q F 周长最小.即可判断；对于B ：判断出122F A F π∠<，从而四边形12P F Q F 不可能是矩形.即可判断；对于C ：设(),P x y ，直接计算出916P B Q B k k ⋅=-.即可判断；对于D.由2P F Q △的面积为12P QSO Fy y =-.即可判断.【详解】由P OO Q=，可知P ，Q 关于原点对称.对于A.根据椭圆的对称性，22218P Q P F Q F P Q P F P F P Q ++=++=+，当PQ 为椭圆的短轴时，P Q有最小值6，所以2P Q F 周长的最小值为14.故A 正确；对于B.因为1tan 3c F A O b ∠==14F A Oπ∠<，则122F A F π∠<，故椭圆上不存在点P ，使得122F P F π∠=，又四边形12P F Q F 是平行四边形，所以四边形12P F Q F 不可能是矩形.故B 不正确. 对于C.由题意得()4,0B ，设(),P x y ，则(),Q x y --，所以()22229116944161616P B Q B x y yyk k x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭⋅=⋅===------.故C 正确；对于D.设2P F Q △的面积为12P QS O Fy y =-，所以当PQ 为椭圆的短轴时，6P Q y y -=最大，所以11622P Q SO Fy y =-≤⨯=故D 正确.故选：ACD. 175【分析】设椭圆的右焦点为2F ，根据题意可得到22M F N F M N+≥，并且当且仅当2,,MN F 三点共线时等号成立，，由此可求出M N的长，进而可求F M N的面积.【详解】设椭圆的右焦点为2F ，则22M F N F M N+≥，当且仅当2,,M N F 三点共线时等号成立， 所以F M N的周长224M F N F M N M F N F M F N F a ++≤+++==此时2225b M N a==，所以此时F M N的面积为112222555S c =⨯⨯==5.18．)1,1【详解】试题分析：在△PF 1F 2中，由正弦定理得：211221||||s in s in P F P F P F F P F F =∠∠，则由已知得：21P F P F ac=，即：a|PF 1|=|cPF 2|设点（x 0，y 0）由焦点半径公式，得：|PF 1|=a+ex 0，|PF 2|=a-ex 0,则a （a+ex 0）=c （a-ex 0） 解得：x 0=()(1)()(1)a a c a e e a c e e --=-++，由椭圆的几何性质知：x 0＞-a 则(1)(1)a e e e -+>-a整理得e 2+2e-1＞0，解得：e ＜或e，又e ∈（0，1）， 故椭圆的离心率：e ∈，1)，故答案为，1)．考点：本题主要考查了椭圆的定义，性质及焦点三角形的应用，特别是离心率应是椭圆考查的一个亮点，多数是用a ，b ，c 转化，用椭圆的范围来求解离心率的范围．点评：解决该试题的关键是能通过椭圆的定义以及焦点三角形的性质得到a,b,c 的关系式的转换，进而得到离心率的范围． 19．2218154xy+=【分析】根据给定条件，借助几何图形及比例式求出点M ，N 的坐标，再代入椭圆方程求解作答.【详解】由对称性不妨令点M 在第一象限，令直线M N 交y 轴于点A ，过N 作N B x⊥轴于B ，令12(,0),(,0)F c F c -，因为2M F x⊥轴，则2//O A M F ，而O 为12F F 的中点，又A 为1M F 中点，而||3O A =，于是2|2||6|F O A M ==，由14M NF N=知，11||1||3N F M F =，显然2//N BM F ，因此2112112||||2,||||333c N BM F B F F F ====，于是5(,2)3c N --，又(,6)M c ，则22222225419361c a bc ab⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22254,3b ac==，而222a b c=+，则2227,81c a==，所以椭圆C 的标准方程为2218154xy+=.故答案为：2218154xy+=204【分析】设(,)P a m ，00(,)Q x y ，根据比值关系可得03a x =，代入可得2289y b=，由220448()()033339a a A Q Q F a c y a c b⋅=--=--=，整理即可得解.【详解】由题意可得：(,0)A a -，(,0)F c ，设(,)P a m ，00(,)Q x y 由2A QQ P=，可得02123a a a x -+==+，代入可得：2222()31a y a b+=，解得2289y b=，220448()()033339a a A Q Q F a c y a c b⋅=--=--=，整理可得：222330c a c a +-=，所以22330e e +-=，所以4e=4e=421．12【详解】试题分析：设M,N 的中点坐标为P ，(,),(,),(,),(,),(,)M M N N P P A A B B M x y N x y P x y A x y B x y ,则M A M B x x x x +=-+=0,M A y y +=0,M B y y +=2,2M N P M N Px x x y y y +=+=；由于A NB N +=A NB N +=2，根据椭圆的定义23⨯=6，所以A N B N +=12.考点：1.椭圆的定义；2.两点距离公式. 22．（1）12k<-；（22828-【分析】（1）方法一：设而不求，利用点差法进行证明． （2）方法一：解出m ,进而求出点P 的坐标，得到F P,再由两点间距离公式表示出FA，FB ，得到直线的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解． 【详解】（1）［方法一］：【最优解】点差法 设()()1122,,,A x y B x y ，则222211221,14343x y x y +=+=.两式相减，并由1212y y kx x -=-得1212043x x y y k +++⋅=，由题设知12121,22x x y y m++==，于是34k m=-.①由题设得302m <<，故12k<-.［方法二］：【通性通法】常规设线 设:A By k x t=+，()()1122,,,A x y B x y ，当=0k 时，显然不满足题意；由22+=143=+x yy k x t ⎧⎪⎨⎪⎩得，()2223484120kxk tx t +++-=，所以，122834k t x x k+=-+，∆>，即22430k t+->，而1212x x +=，所以2344k k t +=-，又2433044kmk t k kk+-=+=-=>，所以0k<，222434304k kk ⎛⎫++-> ⎪-⎝⎭，即214k>，解得：12k <-．［方法三］：直线与椭圆系的应用 对原椭圆作关于(1,)Mm 对称的椭圆为22(2)(2)143x m y --+=．两椭圆方程相减可得244133m x y m+=+，即为A B 的方程，故34km=-．又点(1,)Mm 在椭圆C 内部可得21143m +<，解得：302m <<．所以3142km=-<-．［方法四］：直线参数方程的应用 设l 的参数方程为=1+c o s ,=+s in x t y m t θθ⎧⎨⎩（θ为l 倾斜角，t 为参数）代入椭圆C 中得()22223c os4sin (6c os 8sin )940t m t m θθθθ+++-+=．设12,t t 是线段中点A ，B 对应的参数，(1,)M m 是线段A B 中点，知120t t +=得(6c o s 8s in )0m θθ-+=，即3ta n 4kmθ==-．而点(1,)M m 在C 内得21143m+<，解得：30,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3142km=-<-．（2）［方法一］：【通性通法】常规运算＋整体思想 由题意得()1,0F ，设()33,P x y ，则()()()()3311221,1,1,0,0x y x y x y -+-+-=.由（1）及题设得()()31231231,20x x x y y y m =-+==-+=-<.又点P 在C 上，所以34m=，从而31,2P ⎛⎫-⎪⎝⎭，32F P =.于是(122x F A x ===-.同理222x F B =-，所以()121432F A F B x x +=-+=.故2F P F A F B =+，即F A，F P，F B成等差数列.设该数列的公差为d ，则12122d F B F A x x =-=-=②将34m=代入①得1k=-.所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404xx -+=.故121212,28x x x x +==，代入②解得28d =.所以该数列的公差为28或28-.［方法二］：硬算 由0F PF A F B ++=，知点F 为P A B △的重心，由三角形重心坐标公式可得1,2PP x y m==-，即(1,2)P m -．由点P 在椭圆上，把坐标代入方程解得34m =，即3(1,)2P -．由（1）有314km=-=-，直线l 的方程为74yx =-+，将其与椭圆方程联立消去y 得2285610x x -+=，求得1,214x =，不妨设ABx x <，所以14Ax =14Bx =(||2228A x x F A ==-=，同理可得，||=2228B x F B -=|3|||F A F B +=，而3||=2F P ，故2F A F B F P+=．2828-.［方法三］：【最优解】焦半径公式的应用 因为线段A B 的中点为(1,)M m ，得122x x +=．由0F PF A F B ++=，知点F 为P A B △的重心，由三角形重心坐标公式可得1Px =，由椭圆方程可知，1e 2=由椭圆的焦半径公式得()()()1212||||e e 2e 3F A F B ax a x a x x +=-+-=-+=，3||e 2P F P a x =-=．所以2F A F B F P+=．由方法二硬算可得，14A x =14A x =从而公差为()31121222A A x x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，即该数列的公差为28或28-.【整体点评】（1）方法一：利用点差法找出斜率与中点坐标的关系，再根据中点在椭圆内得到不等关系，即可解出，对于中点问题，点差法是解决此类问题的常用解法，也是该题的最优解；方法二：常规设线，通过联立得出根与系数的关系（韦达定理），再根据0∆>即可证出，该法是解决直线与圆锥曲线位置关系的通性通法．方法三：；类比直线与圆系，采用直线与椭圆系的应用，可快速求出公共弦所在直线方程，从而得出斜率，进而得证，避免联立过程，适当简化运算； 方法四：利用直线的参数方程以及参数的几何意义，联立求出斜率； （2）方法一：直接根据题意运算结合整体思想，是通性通法； 方法二：直接硬算，思路直接，计算量较大；方法三：利用焦半径公式简化运算，是该题的最优解．23．（1）5；（22.【详解】试题分析：（1）由题意113,4A F FB A B ==可以求得113,1A F F B ==，而2A B F ∆的周长为16，再由椭圆定义可得12416,28a A F A F a =+==.故212835A F a A F =-=-=.（2）设出1F B k=，则0k>且13,4A F k A B k==.根据椭圆定义以及余弦定理可以表示出,a k 的关系()(3)0a k a k +-=，从而3ak=，2123,5A F k A F B F k===，则22222||||B F F A A B =+，故12F AF A⊥，12A F F ∆为等腰直角三角形.从而2ca=，所以椭圆E 的离心率2c ea==.（1）由113,4A F FB A B ==，得113,1A F F B ==.因为2A B F ∆的周长为16，所以由椭圆定义可得12416,28a A F A F a =+==.故212835A F a A F =-=-=.（2）设1F B k=，则0k>且13,4A F k A B k==.由椭圆定义可得2223,2A F a k B F a k=-=-.在2A B F ∆中，由余弦定理可得22222222||||2c o s A B A F B F A F B F A F B=+-⋅∠，即2226(4)(23)(2)(23)(2)5k a k a k a k a k =-+---⋅-，化简可得()(3)0ak a k +-=，而0ak +>，故3ak=.于是有2123,5A F k A F B F k===.因此22222||||B F F A A B =+，可得12F AF A⊥，故12A F F ∆为等腰直角三角形.从而2c=，所以椭圆E 的离心率2c ea==考点：1.椭圆的定义；2.椭圆的离心率求解.。
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椭圆中与焦点三角形有关的问题
例1：椭圆14
92
2=+y x 的焦点为F l 、F 2，点P 为其上动点，当 21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是_______。
（二）问题的分析
问题1. 椭圆14
92
2=+y x 的焦点为F l 、F 2，点P 为其上一点，当21PF F ∠为直角时，点P 的横坐标是_______。
问题2. 而此题为钝角，究竟钝角和直角有何联系？
解题的关键在于点动，发现21PF F ∠的大小与点P 的位置有关，究竟有何联系。
性质一：当点P 从右至左运动时，21PF F ∠由锐角变成直角，又变成钝角，过了Y 轴之后，对称地由钝角变成直角再变成锐角，并且发现当点P 与短轴端点重合时，21PF F ∠达到最大。
3.“性质一”是为什么呢？你能证明吗？
问题3：解三角形中我们常用的理论依据是什么？
问题4：究竟转化为求哪种三角函数的最值，经演算、试验，悟出“欲求21PF F ∠的最大值，只需求cos 21PF F ∠的最小值”
问题5：由上面的分析，你能得出cos 21PF F ∠与离心率e 的关系吗？
性质二：已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b
y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ（当且仅当动点为短轴端点时取等号）
题2：已知1F 、2F 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两个焦点，椭圆上一点P 使︒=∠9021PF F ，求椭圆离心率e 的取值范围。
变式1：已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使得,1200
21=∠PF F 求椭圆的离心率e 的取值范围。
变式2：若椭圆13
42
2=+y x 的两个焦点1F 、2F ，试问：椭圆上是否存在点P ，使︒=∠9021PF F 存在，求出点P 的纵坐标；否则说明理由。
（三）问题引入2
题3：P 是椭圆14522=+y x 上的点，F l ，F 2是椭圆的焦点，若3
21π=∠PF F ，则21F PF ∆的面积等于_______。
问题1：已知椭圆C ：122
22=+b
y a x (a>b>0)，F 1、F 2是两个焦点，对于给定的角()παα<<0， 探求在C 上存在点P ，使 α=∠21PF F 的条件。
改动一：P 是椭圆14522=+y x 上的点，F l ，F 2是椭圆的焦点，若6
21π=∠PF F ，则21F PF ∆ 的面积等于_______。
改动二：P 是椭圆1422=+y x 上的点，F l ，F 2是椭圆的焦点，若3
21π=∠PF F ，则21F PF ∆的面积等于_______。
问题3：改动的依据是什么？（2121BF F PF F ∠≤∠,B 为短轴的一个端点）
题4：若1F 、2F 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两个焦
点，P 是椭圆上一点，且θ=∠21PF F ，求椭圆的面积。
性质三：若1F 、2F 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两个焦点，P 是椭圆上一点，且θ=∠21PF F ，则2tan 221θb S PF F =∆。
继续看题2：已知1F 、2F 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两个焦点，椭圆上一点P 使︒=∠9021PF F ，求椭圆离心率e 的取值范围。
思路二：
如果把图形特殊化，使PF 1⊥F 1F 2,我们可以得到：
性质四：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为a
b 2
2。
题5：已知椭圆1C ：22
221(0)y x a b a b
+=>>的右顶点为(1,0)A ，过1C 的焦点且垂直长轴的弦长为1．求椭圆1C 的方程；
问题：考察两个定点的位置还有哪些可能。
定点可以是长轴顶。
恒、中心、短轴顶点，甚至可能是坐标轴上任一点或椭圆内的一点。
焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题
（1）短轴长为5，离心率
32=e 的椭圆的两焦点为1F 、2F ，过1F 作直线交椭圆于A 、
B 两点，则2ABF ∆的周长为________
（2）设P 是等轴双曲线)0(222>=-a a y x 右支上一点，F1、F2是左右焦点，若
0212=⋅F F PF ，|PF1|=6，则该双曲线的方程为 ；
（3）椭圆22
194x y +=的焦点为F1、F2，点P 为椭圆上的动点，当PF2→ ·PF1→ <0时，
点P 的横坐标的取值范围是 ；
（4）双曲线的虚轴长为4，离心率e ＝26
，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线
与双曲线的左支交于A 、B 两点，且AB 是2AF 与2BF 等差中项，则AB ＝__________
（5）已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且
6021=∠PF F ，31221=∆F PF S ．求该双曲线的标准方程
【课堂测试】
1.已知12F 、F 的两个焦点，p 为椭圆C 上的一点，且。
若12PF F ∆的面积为9，则b = .
2.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A ．(0,1)
B ．1
(0,]2
C ．(0,
2 D ．2 3.已知椭圆2
221(1)x y a a
+=>的两个焦点分别为1F ,2F ,P 为椭圆上一点,且1260F PF ∠=,则12||||PF PF ⋅的值等于 ．
4（选做）设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，
212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113
OF ．证明a =；。