第五章 概率及其分布

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抽出一个白球的概率为3 5,抽出一个黑 抽出一个白球的概率为3／5,抽出一个黑
球的概率为2 球的概率为2／5。
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抽出一个黑球和一个白球的情况应包括先
抽出一个黑球、后抽出一个白球和先抽出一 抽出一个黑球、 个白球、后抽出一个黑球两种情况。因此： 个白球、后抽出一个黑球两种情况。因此：
3 2 2 3 P = × + × = 0.48 5 5 5 5
三．概率的加法定理和乘法定理
概率的加法定理
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若事件Ａ发生，则事件Ｂ就一定不发生， 若事件Ａ发生，则事件Ｂ就一定不发生，
这样的两个事件为互不相容事件。 这样的两个事件为互不相容事件。 互不相容事件和的概率， 两互不相容事件和的概率，等于这两个 和的概率
事件概率之和，即 事件概率之和，
P( A+ B ) = P( A ) + P( B )
表5-1 一个学生做10个正误题做对不同题数的概率分布 做对题目数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 出现方式数 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1024 概率P(X) 概率P(X) 0.001 0.010 0.044 0.117 0.205 0.246 0.205 0.117 0.044 0.010 0.001 1.000 累积概率 0.001 0.011 0.055 0.172 0.377 0.623 0.828 0.945 0.989 0.999 1.000
4．二项分布的平均数和标准差
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如果二项分布满足p nq≥5（或者p 如果二项分布满足p＞q且 nq≥5（或者p＜q
np≥5时 二项分布接近于正态分布。 且 np≥5时，二项分布接近于正态分布。可用下 面的方法计算二项分布的平均数和标准差。 面的方法计算二项分布的平均数和标准差。
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二项分布的平均数为
8! 1 2 2 2 6 P( 2 ) = C8 ⋅ p ⋅ q = × × = 0.2816 2!×6! 3 3
P( 3 )
P( 4 )
2 6
8
8! 1 2 = C 83 ⋅ p 3 ⋅ q 5 = × × = 0 .2800 3!× 5! 3 3
♦ ♦ ♦
一次试验只有两种可能的结果 两种可能的结果， 一次试验只有两种可能的结果，即成功
和失败； 和失败； 各次试验相互独立 独立， 各次试验相互独立，即各次试验之间互
不影响； 不影响； 各次试验中成功的概率相等，失败的概 成功的概率相等 各次试验中成功的概率相等，失败的概
相等。 率也相等 率也相等。
第五章
概率及概率分布
教育研究中所收集到的数据， 教育研究中所收集到的数据，除了描 述样本分析结果外（描述统计），更重要 述样本分析结果外（描述统计），更重要 ）， 的是利用这些数据的信息对总体的某种特 征作出具有一定可靠程度的估计与推断 （推断统计）。概率分布理论是处理这些 推断统计）。概率分布理论是处理这些 ）。概率分布理论 数据变量的数学计基础， 数据变量的数学计基础，也是推论统计的 基础。 基础。
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解：⑴．
1 µ = np = 8 × = 2.67 3
♦
⑵．
P( X ) = C ⋅ p ⋅ q
X n X
n− X
2 0 0 8 8 P( 0 ) = C 8 ⋅ p ⋅ q = q = = 0 .0406 3 7 8! 1 2 1 P(1) = C 8 ⋅ p 1 ⋅ q 7 = × × = 0 .1616 7! 3 3
1 1 1 1 1 P( A1 ⋅ A2 ⋅ A3 ⋅ A4 ) = × × × = 5 5 5 5 625
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例2：从30个白球和 30个白球和
20个黑球共50个球中随机 20个黑球共50个球中随机 个黑球共50 抽取两次（放回抽样）， 抽取两次（放回抽样）， 问抽出一个黑球和一个白 球的概率是多少？ 球的概率是多少？
µ = np
♦
（5．9）
二项分布的标准差为
σ = npq
（5．10）
5．二项分布的应用
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二项分布函数除了用
来求成功事件恰好出现X次 来求成功事件恰好出现X 的概率之外， 的概率之外，在教育中主 要用来判断试验结果的机 遇性与真实性的界限。 遇性与真实性的界限。
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例如，一个学生凭猜测做10个是非题， 例如，一个学生凭猜测做10个是非题， 10个是非题
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例题：一个教师对8 例题：一个教师对8个学生的作业成绩
进行猜测，如果教师猜对的可能性为1 进行猜测，如果教师猜对的可能性为1／3， 问：
♦ ♦
平均能猜对几个学生的成绩？ ⑴．平均能猜对几个学生的成绩？ 假如规定猜对95％，才算这个教师 95％， ⑵．假如规定猜对95％，才算这个教师
有一定的评判能力， 有一定的评判能力，那么这个教师至少要猜 对几个学生？ 对几个学生？
（5．2）
2.先验概率 古典概率 2.先验概率（古典概率 古典概率）
古典概率模型要求满足两个条件： 古典概率模型要求满足两个条件： 试验的所有可能结果是有限的； ⑴ 试验的所有可能结果是有限的； ⑵ 每一种可能结果出现的可能性相等。 每一种可能结果出现的可能性相等。
P( A)
m = n
（5．3）
例：将一枚硬币抛3次，观察正（H）反 面（T）出现的情况。 那么所有可能的结果有8个，HHH，HHT， HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT，即n=8。 如果一次正面朝上为事件A，那么事件A就包 括三种可能的结果：HTT，THT，TTH，m=3， 那么抛3次硬币恰好有1次正面朝上的概率就 是P（A）=m/n=3/8。
二项分布的性质
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从概率直方图可以看到， 从概率直方图可以看到，二项分布有
如下性质： 如下性质：
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①．当p=q时（不管n多大），图形是 p=q时 不管n多大），图形是 ），
对称的。 对称的。
♦
②．当p≠q时，直方图呈偏态。p＞q p≠q时 直方图呈偏态。
与p＜q时的偏斜方向相反。 时的偏斜方向相反。
4
2
最多抽到２个男生的概率，等于１ 最多抽到２个男生的概率，等于１个也 没有抽到、抽到１ 没有抽到、抽到１个和抽到两个男生的概 率之和， 率之和，即
P( 0 ) + P(1) + P(2 ) = C ⋅ p ⋅ q + C ⋅ p ⋅ q + C ⋅ p ⋅ q
0 6 0 6 1 6 5 2 6 2
四．二项分布
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二项分布（bionimal 二项分布（
distribution）是一种具有广泛 ） 用途的离散型随机变量的概率 分布，它是由贝努里创始的， 分布，它是由贝努里创始的， 因此又称为贝努里分布。 因此又称为贝努里分布。
1．二项试验
满足以下条件的试验称为二项试验： 满足以下条件的试验称为二项试验：
事件概率的乘积， 事件概率的乘积，即
P( A⋅B ) = P( A ) ⋅ P( B )
（5．6）
P( A1 ⋅ A2 ⋅L An ) = P( A1 ) ⋅ P( A2 ) ⋅L ⋅ P( An )
（5．7）
Fra Baidu bibliotek
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某一学生从５ 例1：某一学生从５个试题中任意抽取
一题，进行口试。 一题，进行口试。如果抽到每一题的概率 为1／5，则抽到试题１或试题２的概率是 则抽到试题１或试题２ 多少？ 多少？ 如果前一个学生把抽过的试题还回 后一个学生再抽， 后，后一个学生再抽，则４个学生都抽到 试题1的概率是多少？ 试题1的概率是多少？
解：将n=6，p=2/5，q=3/5，X=4代入 n=6，p=2/5，q=3/5，X=4代入 （5．8）式，则恰好抽到4个男生的概率为 则恰好抽到4
6! 2 3 P( 4 ) = C ⋅ p ⋅ q = × × = 0.1382 4!×2! 5 5
4 6 4 2
次从0→n为降幂。每项p 次从0→n为降幂。每项p与q方次之和等于n。 0→n为降幂 方次之和等于n
♦ 系数：各项系数是成功事件次数的组合数。 系数：各项系数是成功事件次数的组合数。
例３：从男生占２/５的学校中随机抽取６ 从男生占２ 的学校中随机抽取６ 个学生，问正好抽到４ 个学生，问正好抽到４个男生的概率是多 最多抽到２个男生的概率是多少？ 少？最多抽到２个男生的概率是多少？
P( A1 + A2 +L An ) = P( A1 ) + P( A2 ) + L + P( An )
（5．4） （5．5）
概率的乘法定理
♦
若事件Ａ发生不影响事件Ｂ是否发生， 若事件Ａ发生不影响事件Ｂ是否发生，这
样的两个事件为互相独立事件。 样的两个事件为互相独立事件。
♦
两个互相独立事件积的概率， 互相独立事件积的概率 两个互相独立事件积的概率，等于这两个
8! 1 2 4 4 4 = C8 ⋅ p ⋅ q = × × = 0 . 1550 4!× 4! 3 3
4 4
3
5
P( 5 )
8! 1 2 5 5 3 = C8 ⋅ p ⋅ q = × × = 0 . 0617 5!× 3! 3 3
6 5 2 4
4
3 2 3 2 3 = + 6 ⋅ + 15 ⋅ = 0.5443 5 5 5 5 5
3．二项分布图
♦ 以成功事件出现的次数为横坐标， 以成功事件出现的次数为横坐标，
以成功事件出现不同次数的概率为纵 坐标，绘制直方图或多边图， 坐标，绘制直方图或多边图，即为二 项分布图。 项分布图。
P( X ) = C ⋅ p ⋅ q
X n X
n− X
n! X n− X = p ⋅q X !(n − X )!
这个公式可以用来直接求出成功事件 恰好X次的概率。 恰好 次的概率。 次的概率
二项展开式的要点：
♦ 项数：二项展开式中共有n＋1项。 项数：二项展开式中共有n ♦ 方次：p的方次，从0 →n为升幂；q的方 方次： 的方次， →n为升幂 为升幂；
计 算
♦
抽到第一题或第二题的概率应为抽到第一题
的概率和抽到第二题的概率之和， 的概率和抽到第二题的概率之和，即
1 1 2 P( A+ B ) = P( A ) + P( B ) = + = 5 5 5
♦
四个学生都抽到第一题即四个学生同时抽到第
一题，其概率应为抽到第一题的概率的乘积， 一题，其概率应为抽到第一题的概率的乘积，即
一、概率的定义
1.后验概率 或统计概率 1.后验概率（或统计概率 或统计概率）
♦ ♦
随机事件的频率
W( A)
m = n
（5．1）
当n无限增大时，随机事件A的频率会稳定在 无限增大时，随机事件A
一个常数P 这个常数就是随机事件A的概率。 一个常数P，这个常数就是随机事件A的概率。
m P( A ) = Lim n →∞ n
2．二项分布函数
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二项分布是一种离散型随机变量的概率
分布。 分布。
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用 n 次方的二项展开式来表达在 n 次
二项试验中成功事件出现的不同次数（ 二项试验中成功事件出现的不同次数（X＝0， 成功事件出现的不同次数 1…）的概率分布，叫做二项分布。 1…）的概率分布，叫做二项分布。
二项展开式的通式（即二项分布函数）：
54张扑克，每张出现的可能性相等， 因此每张出现的概率为1/54，如果我 们将随机事件A规定为红桃，那么事件 A就由13个基本事件组成，也就是m=13， n=54，这时红桃出现的概率为P（A） =13/54=0.241。
二．概率的基本性质
1．任何随机事件Ａ的概率都是在0与1之间的 任何随机事件Ａ的概率都是在0 正数， 正数，即 0 ≤ P（A）≤1 不可能事件的概率等于零， 2．不可能事件的概率等于零，即 的概率等于零 必然事件的概率等于 的概率等于1 3．必然事件的概率等于1，即 P （A ）= 0 P （A ）= 1
平均可以猜对5 平均可以猜对5题。什么情况下可以说他是 真会而不是猜测呢？ 真会而不是猜测呢？
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这种问题需要用累积概率来算。 这种问题需要用累积概率来算。当做对
８题或８题以上时，累积概率为0.989，也 题或８题以上时，累积概率为0.989， 0.989 就是说，猜对９题或10题的概率不足0.05。 就是说，猜对９题或10题的概率不足0.05。 10题的概率不足0.05