高等数学单元测验一答案

高等数学单元测验一答案（仅供参考）

一、填空题

1、设二阶线性微分方程

)()(')(''x f y x q y x p y =++有三个特解2123,,x x x x x y e y e e y e e -==+=+，则该微分方程为11'''22x y y y e +

-= 2、方程x e y y y x 234'4''2+=+-的一个特解为*223122

x x y x e +=+ 3、设)2,1,1(),1,1,2(-=-=b a ，则=⨯b a (1,5,3)--

4、已知=++，5||,2||,3||===，则⋅+⋅+⋅=-19

5、空间曲线)10(0x 2y z 2

≤≤⎩⎨⎧==y L ：绕z 轴旋转一周所得的旋转曲面方程为()

222y x z += 6、曲线⎩⎨⎧+=+=2222x 2z )y (x -3z y

L ：在xOy 平面上的投影曲线为⎩⎨⎧==+0122z y x 7、设一平面经过原点及点)2,3,6(-，且与平面824=+-z y x 垂直，则此平面方程为0322=-+z y x

8、 直线241312-=-=-z y x 与平面012=-+-z y x 的夹角为6π 9、设有直线182511:1+=--=-z y x L 与⎩⎨⎧=+=-3

26:2z y y x L ，则1L 与2L 的夹角为3π 10、过点)4,2,0(且与两平面12:1=+z x π和23:2=-z y π平行的直线方程为1

4322-=-=-z y x 二、证明：2222||||)()(=⨯+⋅

证明：

222222222222222222()=||||cos ,()||||sin ,()()||||cos ,||||sin ,||||a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b a b a b a b

a b ⋅⨯=⋅+⨯=+=

三、求过点)3,4,1(--P 且与二直线：

⎩⎨⎧=++=+05301-z 4y -2x 1y x L ： ⎪⎩

⎪⎨⎧+-=--=+=t z t y t x L 231422：垂直的直线方程。

解：直线1L 的方向向量为

)10,1,3(3142,1021,0314)0,3,1()1,4,2(1-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=⨯-=

直线2L 的方向向量为)2,1,4(2-= 要求直线的方向向量为)1,46,12(1413,42310,2110121-=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛----=⨯=s s 要求的直线方程为13464121--=+=+z y x 四、求直线⎩

⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 在平面14=+-z y x 上的投影直线的方程。 解：设过已知直线的平面束方程为24λ(329)0x y z x y z -++---=

经整理得()()()23λ4λ12λ9λ0x y z +-++--=

由(23λ)4(1)(4λ)(12λ)10+∙+-∙--+-∙=得13λ11

=-

代入平面束方程得1731371170x y z +--= 因此所求投影直线的方程为173137117041x y z x y z +--=⎧⎨-+=⎩

五、求微分方程x e

y y y 2164'4''-=+-的通解。 解：齐次方程的特征方程为0442=+-r r ，特征根为221==r r

齐次方程通解为()x

e x C C Y 221+= 非齐次方程特解设为x Ae

y 2*-=代入原方程得x x e Ae 221616--=，得1=A 特解为x e y 2*-=

原方程通解为=+=*y Y y ()x x e e x C C 2221-++

六、求过直线3

122+=+=z y x 与平面015=+++z y x 的交点，且与平面05432=++-z y x 垂直的直线方程。

解：将L 的参数方程13,2,2-=-==t z t y t x 代入平面015=+++z y x 得2-=t 从而交点为)7,4,4(---，取直线的方向向量为)4,3,2(-== 由点向式得直线方程：

473424+=-+=+z y x

七、求过点)3,1,2(0M 且与直线1

2131:-=-=+z y x L 垂直相交的直线方程。 解：先作一平面过点)3,1,2(0M 且垂直于已知直线，那么这平面方程为

0)3()1(2)2(3=---+-z y x

已知直线的参数方程为t z t y t x -=+=+-=,21,31代入平面方程

0)3()1(2)2(3=---+-z y x 中，求得73=

t ，从而求得交点为)73,713,72(- 由两点式方程，过点)3,1,2(0M 和)7

3,713,72(-的直线方程为 4

31122-=--=-z y x