西安电子科技大学 物理光学与应用光学 ppt 10

2.几种光学成像系统的分辨本领
(1) 人眼睛的分辨本领 (2) 望远镜的分辨本领 (3) 照相物镜的分辨本领
(4) 显微镜的分辨本领
(1) 人眼睛的分辨本领
人眼的成像作用可等价于单凸透镜。通常人眼睛的瞳孔
直径约为 1.5～6 mm（视入射光强而定)。当人眼瞳孔直径 为2mm 时，对于最敏感的光波波长 = 0.55m，计算可得 人眼的最小分辨角 e 为：
的分辨本领。
对于上面的例子，应选择分辨本领大于 425 条 /mm 的底片。
(4) 显微镜的分辨本领
显微镜由物镜和目镜组成，一般情况下系统成像孔径
为物镜框，因此限制显微镜分辨本领的是物镜框(孔径光阑)。
S2 S1
u
0
l
u
S1

S2 像面
物面
点物S1和S2位于物镜前焦点外附近，由于物镜焦距很短，
相邻两暗点之间的间隔为:
f Δx a
在相邻两个暗点之间有一个强度次极大，次极大的位置:
2 d sin 0 d
即
tan
图解法求解结果
0

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
2
0
0.0

2

夫朗和费矩形孔衍射在 y 轴上的光强度:
sin I I0
其分布特性与x 轴类似。

2
在 x, y 轴以外各点的光强度，可按夫琅和费矩孔衍射的 总光强分布公式进行计算。
尽管 xOy 面内存在一些次极大点，但其光强度极弱。
夫朗和费矩形孔衍射图样中 一些特征点的相对强度
(2) 中央亮斑
矩孔衍射的光能量主要集中在中央亮斑处，其边缘在 x,
但实际上光波通过光学成像系统时，总会因光学孔径的
有限性产生衍射，这就限制了光学成像系统的分辨本领。通 常，由于光学成像系统具有光阑、透镜外框等圆形孔径，所 以讨论其分辨本领时，都是以夫朗和费圆孔衍射为基础。
设有 S1 和 S2 两个非相干点光源，间距为 ，它们到直
径为 D 的圆孔距离为 R，则 S1 和 S2 对圆孔的张角 为：
(3) 爱里斑
中央亮斑集中了入射在圆孔上能量的 83.78% ，称之为
爱里斑。其半径 0 由第一光强极小值处的 值决定：
ka 0 10 1.22π f
因此
0 1.22 f

2a
0.61 f

a
或以角半径 0 表示： 0

0
f
0.61

a
爱里斑的面积：
(0.61πf ) S0 S
(3) 衍射图样
对于方形孔径：a = b，沿 x, y 方向有相同的衍射图样。
对于矩形孔径：a b，衍射图样沿x、y 方向形状相同、线
度不同。
a>b
a<b
3.2.4 夫朗和费圆孔衍射
由于光学仪器的光瞳通常是圆形的，所以讨论
圆孔衍射现象对光学仪器的应用，具有重要的实际
意义。 夫朗和费圆孔衍射的讨论方法与矩形孔衍射的 讨论方法相同，只是由于圆孔结构的几何对称性， 采用极坐标处理更加方便。
只有在 S = 0.61f 时，S0 =S 。
2
圆孔面积 S 愈小，爱里斑面积愈大，衍射现象愈明显。
3.2.5 光学成像系统的分辨本领(分辨率）
1. 瑞利判据 2. 几种光学成像系统的分辨本领
1. 瑞利判据
从几何光学的观点看，每个像点应该是一个几何点，因 此，对于一个无像差的理想光学成像系统，其分辨本领应当 是无限的，即两个点物无论靠得多近，像点总可分辨开。
按照衍射积分方程，在经过坐标变换后，P点的光场复振幅 可表示为：
a 2π ~ ik1 cos(1 ) E ( , ) C e ρ1d1d1 0 0
式中


f
是衍射方向与光轴的夹角，称为衍射角。
~ E ( x, y ) C e ik ( xx1 yy1 ) / f dx1dy1
3.2 夫琅和费衍射——远场衍射
3.2.1 夫朗和费衍射的装置
3.2.2 夫朗和费单缝衍射
3.2.3 夫朗和费矩形孔衍射 3.2.4 夫朗和费圆孔衍射 3.2.5 光学成像系统的分辨本领(分辨率）
3.2.3 夫朗和费矩形孔衍射
b
a
衍射图样的主要特征：衍射亮斑集中分布在相互垂直的 x 轴和 y 轴，且亮斑宽度与矩形孔沿两个轴的宽度相反。
4 e 1.22 3.3 10 rad De
通常实验测得的人眼最小分辨角约为 1 (=2.9×10-4rad)，
与计算结果基本相符。
(2) 望远镜的分辨本领
望远镜的作用相当于增大人眼睛的瞳孔。设望远镜物 镜的圆形通光孔直径为 D，若有两个物点恰好能为望远镜所 分辨，则根据瑞利判据，这两个物点对望远镜的张角 为：
' f 0 1.22 f

D
习惯上，照相物镜的分辨本领用底片上每毫米内能成 多少条恰能分开的线条数 N 表示：
1 1 D N ' 1.22 f
式中，D / f 是照相物镜的相对孔径
可见，照相物镜的相对孔径愈大，分辨本领愈高。 例如，对于 D/f = 1:3.5 的常用照相物镜，若 =0.55m， 则 N=1490×1/3.5=425( 条 /mm) 。作为照相系统总分辨本 领的要求来说，感光底片的分辨本领应大于或等于物镜
2
sin

2
式中，I0 是 P0 点的光强度，且有 I0= |Cab|2 。 即矩形孔衍射的相对强度分布等于两个正交单缝衍射 因子的乘积。由此可见，夫琅和费矩形孔衍射，实质上是 两个正交方向上的单缝衍射因子共同起作用的结果。
2. 结果分析与讨论
(1) 衍射光强分布 (2) 中央亮斑 (3) 衍射图样
(1) 衍射光强分布
对于沿 x 轴的光强度分布，因 y = 0，有:
sin I I0
2
当 = 0 时(对应于P0点)，有主极大，IM /I0 = 1 。 在 = m (m=±1,±2,…) 处，有极小值，Im= 0，相应的点 是暗点，暗点的位置为:
2πf f xm m ka a
大三千倍左右。
通常在设计望远镜时，为了充分利用望远镜物镜的分辨 本领，应使望远镜的放大率保证物镜的最小分辨角经望远镜 放大后等于眼睛的最小分辨角，即：
e D M De
(3) 照相物镜的分辨本领
照相物镜一般都是用于对较远物体的成像，感光底片大
致与其焦平面重合。若照相物镜孔径为 D，相应第一极小的 衍射角为0，则底片上恰能分辨的两条直线的间距 为：
~ sin sin E0


~ ~ E0 E0 (0,0) Cab 是观察屏中心点 P0 处的光场复振幅；
a, b 分别是矩形孔沿 x1, y1 轴方向的宽度； 而
kax 2f
kby 2f
则在 P(x,y) 点的光强度为：
sin I ( x, y ) I 0
相邻两个暗环之间存在一个衍射次极大，其位置由满足下 式的 值决定：
d J1 ( ) J 2 ( ) 0 d
I/I0
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0
-10 -8 -6 -4 -2
0
2
4
6
8 10

衍射图样中两相邻暗环的间距不相等，距离中心越远， 间距越小，这一点与矩形孔的衍射图样不同。
1. 光强分布公式
y1 Q x1 y
11
O1

O


P0
P
x
设圆孔半径为 a ，中心 位于光轴上，圆孔上任一点 Q 的坐 标 1、1与相应直角坐标关系：x1=1cos 1 ，y1=1sin 1
类似地，观察屏上任一点 P 的位置坐标、与相应直 角坐标的关系为：
x cos , y sin


R
由于圆孔的衍射效应，S1和 S2 将分别在观察屏上形成 各自的衍射图样。假设其爱里斑关于圆孔的张角为0，则
0 0.61 1.22
a


D
S1
S2
0
S1 S2
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14
X Axis Title
S1 S2 S1 S2

=0
S1 S2
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14
X Axis Title
0
S1 S2
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14
两个点物的衍射像的分辨
X Axis Title
根据瑞利判据，将一个点物衍射图样的中央极大位置 与另一个点物衍射图样的第一个极小位置重合的状态作为 光学成像系统的分辨极限，认为此时光学系统恰好可分辨 开这两个点物。这时，两点物衍射图样的重叠区中点光强 度约为每个衍射图样中心最亮处光强度的73.5 (对于缝隙 形光阑，约为81%)。 于是，由于衍射效应，一个光学成像系统对点物成像 的爱里斑角半径 0 决定了该系统的分辨极限。
0 1
2πC ~ 得： E ( , ) (k ) 2

ka
0
(k1 )J 0 (k1 )d(k1 )
2πa 2C J1 (ka ) ka
2J1 (ka ) 则 P点光强： I ( , ) ( πa ) | C | ka
2 2 2
2
关，即夫朗和费圆孔衍射图样是圆形条纹。
来自百度文库
(2) 衍射图样的极值特性
由贝塞尔函数的级数定义，可将夫琅和费圆孔衍射的 光强分布公式进一步表示为：
I 2J1 ( ) 1 2 4 I 0 2!2 2!3!2
2 4
2
2
当 = 0 时，对应光轴上的 P0 点，有 I = I0 ，衍射光强主 极大。 当 满足 J1() = 0 时， I = 0，衍射光强极小（暗环）。
2
2 J1 ( ) I0
2
I 0 S ( A / f )— P0 点光强；
2 2
S πa
2
—圆孔面积
ka
—圆孔边缘与中心点沿 方向光线间的光程差
2. 结果分析与讨论
(1) 衍射图样
2 J1 ( ) I ( , ) I 0 ka 光强度分布仅与衍射角 (或 )有关，而与方位角 无
所以 S1 和 S2 发出的光波以很大的孔径角入射到物镜，其像
S1 和 S2 离物镜较远。虽然 S1 和 S2 离物镜很近，它们的像也 是物镜边缘(孔径光阑)的夫朗和费衍射图样，其爱里斑的半 径为：
l' 0 l ' 0 1.22 D
其中，l 是像距；D是物镜直径。 如果 =0，则按照瑞利判据，两衍射图样刚好可以分 辨，此时的二点物间距 就是物镜的最小分辨距离。

根据零阶贝塞尔函数的积分表示式：
1 2π ix cos J 0 ( x) e d 2π 0
可得：
~ E ( , ) C 2πJ 0 (k1 ) 1d1
0
其中利用了 J0(k1 ) 为偶函数的性质。 再由贝塞尔函数的性质：
xJ ( x)dx xJ ( x)
1. 光强分布公式
b/2 ~ E ( x, y ) C
~ E ( x, y ) C e ik ( xx1 yy1 ) / f dx1dy1

透镜焦平面上 P(x, y)点的光场复振幅：
b / 2 a / 2

a/2
e
ik ( xx1 yy1 ) / f
dx1dy1
0 1.22

D
这就是望远镜的最小分辨角公式。该式表明，望远镜物镜的 直径 D 愈大，分辨本领愈高，并且像的光强也愈大。
例如，天文望远镜物镜的直径做得很大( ~10m )，原因
之一就是提高分辨本领。对于 = 0.55m 的单色光来说，其 最小分辨角 α= 0.023 = 1.12×10-7rad，比人眼的分辨本领要
y 轴上的位置是：
f x a
f 和 y b
2 2 4 f 中央亮斑面积为： S0 ab
说明：中央亮斑面积与矩形孔面积成反比，在相同波长 和装置下，衍射孔愈小，中央亮斑愈大，反之亦然。
注意：
Aab I 0 | Cab | 2 2 f
2
2 2 2
可见，随衍射孔的减小，虽然中央亮斑增大，但相应的 P0 点光强度愈小。