第六讲 等熵流动
空气动力学第三章
（3.13）
γ /( γ −1)
（3.14）
⎡ ⎤ ⎥ γ +1 c ⎢ = ⎢ ⎥ c* ⎢ 2(1 + γ − 1 M 2 ) ⎥ ⎣ ⎦ 2
1/2
（3.15）
考虑能量方程：
V = 2c p (T0 − T ) = 2γ R (T0 − T ) γ −1
& m G * = ( ) max A
R (1 + γ − 1 M 2 )(γ +1)/[2(γ −1)] 2 & p γ 2 (γ +1)/(γ −1) m = *= 0 ( ) A T0 R r + 1
γ
M
A G 1 2 γ − 1 2 ( γ +1)/[ 2( γ −1)] M )] = = [( )(1 + * A G M γ +1 2
γ − 1 *2 M γ +1
马赫数和临界马赫数的关系曲线如图3.6所示：
当M<1时,M*<1; 当M=1时,M*=1; 当M>1时,M*>1; 当M趋近无穷时;
M* = r +1 r −1
• 3.4 由马赫数表示的质量流流率
& m G = = ρV A
ρ = p / RT
c = γ RT
V γ G = p( ) c RT
V2 = M2 γ RT
T0 γ −1 2 = 1+ M T 2
（3.4 ）
cp =
γR γ −1
公式（3.4）实用于绝热流动和等熵流动。
对于完全气体的等熵流动，其压力和密度与温度的关系 为： p0 T0 γ /(γ −1) ρ0 T0 1/(γ −1) =( ) =( ) T ρ p T 将上述公式与（3.4）结合起来，可以得到压力和密度由 马赫数来表示的关系式如下：
高二物理竞赛课件：流体力学的等熵流气动函数
可得
A A
＝1.03823＝
Ae A'
A'＝1.03823＝ Ae ＝ 0.003 ＝0.00289m2 1.03823 1.03823
A*’为假想的临界截面，即假想流体沿继续延伸的喷管流动，在截面积A*处 达到声速，喷管其他截面上的参数与该假想临界截面上的参数关系符合等 熵流气动函数关系。现
Ax A'
C5.4.1 截面变化对流动的影响(3-3)
2. 截面积与Ma 数关系
在拉伐尔喷管中
＋1
A A
＝
1 Ma
2＋－1
＋1
Ma
2
2－1
＝ 1 1＋0.2Ma2 3 1.728Ma
＝1.4
对每一个A/A*有两个Ma ：一个为亚声速，一个超声速。
3. 流量与Ma 数关系
m＝
R
p0 T0
Ma
1＋
时出口处出现激波，试求 pb 990、900、300、30kPa 时的流动状况。
解:（1） Ae / At 0.0035 / 0.001 3.5 ， 查等熵流动气动函数表得： Mae1 0.17，Mae2 2.8。
Mae1 0.17代表喉部为临界截面，扩张段为亚声速流 pe / p0 0.98， pe pc 980kPa；Te / T0 0.99，Te 396K。 Mae2 2.8代表扩张段为超声速流， pe / p0 0.04，pe pg 40kPa； Te / T0 0.39，Te 156K。 两种工况的质流量相等，均为最大流量。由例C5.4.2中质流量公
3. pj pb p f
超声速等熵流 4. 0 pb pj
口外膨胀
（实际记录曲线）
[例] 收缩－扩张管内的流动(2-1)
7一元等熵流动
T2 2 s2 s1 cv ln R ln T1 1
T2 p2 c p ln R ln T1 p1
p2 2 cv ln c p ln p1 1
对等墒过程：
p
const
对任意两等墒过程的参数有：
p1 1 p2 2
p1 T1 1 p2 T2
2 2
pA ( p dp) A ( d )(c u) A c A
dp d
连解上两式略去小量有： c
d 大的流体c小,该种流体易压缩， d 小的流体c大，该种流体不易压缩， d 0, c ，为不可压流体。
音速可作为表征流体压缩性的参数。
由于活塞运动是个微量，故 p、T、ρ 等 参数的变化很小，因而每个压缩过程可 看成是绝热、可逆过程，即等熵过程。 p 对于等墒过程： const
一.弱扰动的一维传播(等熵波)： 音速: 微小扰动波在气体中的传播速度 以 c（m/s）表示.
p
m
T
c
v 0 n v u
p dp d T dT
u
p
T
c
m
v c n v c u
p dp d T dT
二.音速公式:
由连续性方程: 动量方程：
vA ( d )(c u) A
1 f p a
4.能量方程：对不可压流体，能量方程 是Br-eq.，对可压缩流体，能量方程中 各项的能量种类不同，但仍满能量守恒 原理，仅是形式不同。
如图：取系统， 其体积为τ ， 表面积为 A， n是dA外法线。
→ n dA dQ
工程流体力学简答题-知识归纳整理
知识归纳整理1. 什么是黏性?当温度变化时, 黏性怎么变化?为什么？当流体内部存在相对运动时.流体内 产生内摩擦力妨碍相对运动的属性。
气体的粘性随温度的升高而升高；液体的粘性随温度的升高而降低。
分子间的引力是形成液体粘性的主要原因。
温度的升高.分子间距离增大.引力减小。
分子作混乱运动时不同流层间动量交换是形成气体粘性的主要原因。
温度的升高.混乱运动强烈.动量交换频繁.气体粘度越大2. 解释：牛顿流体、理想流体牛顿流体：切应力与速度梯度成正比的流体理想流体：没有粘性的流体3.流体静压强的两的特性是什么？流体静压强的方向是作用面内法线方向.即垂直指向作用面。
流体静压强的大小与作用面方位无关.是点坐标的函数4、画出下列曲面对应的压力体。
（4分） ★5. 分别画出下图中曲面A、B、C 对应的压力体（6分）6.写出不可压缩粘性流体总流的能量方程式.并说明各项的物理意义和应用条件。
w hz g p a z g p a +++=++22222112112gv 2g v ρρ 2gv 2a 单位分量流体的动能gp ρ单位分量流体的压能z 单位分量流体的位能 wh单位分量流体的两求知若饥，虚心若愚。
千里之行，始于足下。
断面间流动损失不可压缩粘性流体在重力场中定常流动.沿流向任两缓变流过流断面7. 什么是流线？它有那些基本特性？流场中某一瞬时一系列流体质点的流动方向线。
普通流线是一条光滑曲线、不能相交和转折定常流动中.流线与迹线重合。
8. 解释：定常流动、层流流动、二元流动。
定常流动：运动要素不随时光改变层流流动：流体分层流动.层与层之间互不混合。
二元流动：运动要素是两个坐标的函数。
9.解释：流线、迹线流线：流场中某一瞬时.一系列流体质点的平均流动方向线。
曲线上任意一点的切线方向与该点速度方向一致。
迹线：流场中一时光段内某流体质点的运动轨迹。
10. 描述流动运动有哪两种想法.它们的区别是什么？求知若饥，虚心若愚。
欧拉法.以流体空间点为研究对象拉格朗日法：以流体质点为研究对象11. 什么是量纲？流体力学中的基本量纲有哪些？写出压强、加速度的量纲。
等熵过程资料
等熵过程的理论研究进展
理论进展
• 等熵过程的理论研究包括状态方程、过程曲线等方面 • 等熵过程的理论研究可以通过热力学、统计力学等方法 进行
研究进展
• 近年来，等熵过程的理论研究在量子力学、高温气体等 方面取得进展 • 近年来，等熵过程的理论研究在多相流、燃烧等领域取 得进展
等熵过程的实验研究进展
等熵过程的定义与性质
等熵过程
• 一个热力学过程中，系统的熵保持不变的过程 • 等熵过程的一个重要性质是不可逆性 • 等熵过程的状态方程为pV^k = 常数，其中k为气体的绝 热系数
等熵过程的性质
• 过程中能量转换，但总熵保持不变 • 等熵过程可以是等温、等压、等体积等过程 • 等熵过程在理想气体和实际气体中的表现不同
等熵过程的性质
• 等熵过程是一种不可逆过程 • 等熵过程的能量转换和守恒性质
等熵过程的能量转换与守恒
能量转换
• 在等熵过程中，系统的能量可以通过热量和功的形式进行转换 • 等熵过程中的能量转换满足热力学第一定律
能量守恒
• 在等熵过程中，系统的总能量保持不变 • 能量守恒定律的表达式为ΔU + W = Q
• 在等熵过程的绝对零度时，系统的熵趋于零 • 热力学第三定律的表达式为S(T = 0) = 0
等熵过程的可逆性与不可的过程 • 可逆过程满足热力学第一定律和热力学第二定律
不可逆过程
• 无法完全恢复到初始状态的过程 • 不可逆过程满足热力学第一定律和热力学第二定律
等熵加热
• 系统在恒定压力下，吸收热量的过程 • 等熵加热过程中，系统的熵保持不变
等熵冷却
• 系统在恒定压力下，放出热量的过程 • 等熵冷却过程中，系统的熵保持不变
风力机空气动力学5.3气体一维定熵流动5.3 气体的一维定常等熵流动
2
h0
第三节 气体的一维定常等熵流动
二、滞止状态
cp
R 1
Ma2 v2 c2
c2 RT
同理
T v2 2c p
T0
T0 T
c02 c2
1 -1 Ma2
2
1
p0 1 -1 Ma2 1
p 2
0 1 -1 Ma2 -1
2
1
-1
第三节 气体的一维定常等熵流动
五、速度系数
M v ccr
当v=vmax时
M max
vmax ccr
1 -1
M*与Ma的关系
M
2
1Ma2 2 -1Ma2
Ma2
2M
2
1
1M
2
第三节 气体的一维定常等熵流动
2
第三节 气体的一维定常等熵流动 三、极限状态
气流膨胀到完全真空所能达到的最大速度
极限速度
vmax
2R 1
T0
能量方程的另一种形式
c2
v2
v2 max
c02
1 2 2 1
第三节 气体的一维定常等熵流动
四、临界状态
ห้องสมุดไป่ตู้
ccr
2 1c0
1
v 1
用速度系数表示
T T0
c2 c02
1
-
-1 1
M
2
流体力学第6章气体的一维定常流动
ccr ,Tcr , pcr , cr 在等熵流气动函数中令Ma =1可得
Tcr 2
TT 1
pcr pT
2 1
1
1
cr T
2
1
1
三、 最大速度vmax
在等熵条件下温度降到绝对零度时的速度。
vm a x
2R 1
TT
1/ 2
2021/4/10
为了得到定常流动可以设想观察者随波面mn一起以速度c向右运气体相对于观察者定常地从右向左流动经过波面速度由c降为cdv而压强由p升高到pdp密度和温度分别由加到rdr在dt时间内流入和流出该控制面的气体质量应该相等即化简后得由于压缩波很薄作用在该波上的摩擦力可以忽略不计
第六章 气体的一维定常
流动
1
第五章讨论的是不可压缩流体的流动，例如对于液体，即 使在较高的压强下密度的变化也很微小，所以在一般情况下， 可以把液体看成是不可压缩流体。对于气体来说，可压缩的程 度比液体要大得多。但是当气体流动的速度远小于在该气体中 声音传播的速度（即声速）时，密度的变化也很小。例如空气 的速度等于50m/s，这数值比常温20℃下空气中的声速343m/s 要小得多，这时空气密度的相对变化仅百分之一。所以为简化 问题起见，通常也可忽略密度的变化，将密度近似地看作是常 数，即在理论上把气体按不可压缩流体处理。当气体流动的速 度或物体在气体中运动的速度接近甚至超过声速时，如果气体 受到扰动，必然会引起很大的压强变化，以致密度和温度也会 发生显著的变化，气体的流动状态和流动图形都会有根本性的 变化，这时就必须考虑压缩性的影响。气体动力学就是研究可 压缩流体运动规律以及在工程实际中应用的一门科学。本章中 仅主要讨论气体动力学中一些最基本的知识。
流体力学习题2
流体力学习题一、判断题：1.由绝热流动的能量方程可知，当没有热交换时，单位质量流体所具有的总能量是一个常数。
（）2.当流体与外界有热交换时，这个总能量会增加或减少，这时滞止温度不再是常数，流动是等熵的。
（）3.当马赫数小于一时，在等截面管道中亚音速流动作加速流动。
超音速流动作减速流动。
（）4.在绝热摩擦管流中，亚音速只能加速至M＝1，超音速只能减速至M＝1。
（）5.从有热交换的能量方程可以看出，对于加热流动dq大于0，亚音速流作加速运动。
（）6.对于冷却流动dq小于0，亚音速流作减速运动，超音速流作加速运动。
（T）7.气体的比热由气体本身的性质决定的，所以对某一种气体来说，比热是常数。
（）8.液体都具有可压缩性。
（）9.一般情况下，液体的压缩性很小，可视为不可压缩流体，只有在水击现象中才考虑流体的压缩性。
（）10.如果气体流速很大超过音速的三分之一，可以忽略其压缩性。
（）11.不同的加热过程，气体具有不同的比热。
（）12.在绝热的可逆过程中，熵将不发生变化。
（）13.气体作绝热的且没有摩擦损失的流动时，称为等熵流动。
（）14.音波的传播是一个等温过程。
（）15.液体的压缩性很小，可视为不可压缩流体。
（）16.在可压缩流体中，如果某处产生一个微弱的局部压力扰动，这个和扰动将以波面的形式在流体内播，其传播的速度等于声音的速度。
（）17.陆上的交通车辆如果以超音速行驶，路上的行人将听不到疾驶过来的车辆的鸣笛声。
（T）18.在超音速流动中，扰动只能在马赫锥内传播。
（）19.亚音速流动在收缩管内不可能加速到超音速。
（）20.背压和管道出口压强永远是相等的。
（）二、填空题1.一般地说，压强和温度的变化都会引起液体的改变。
2.热力学第一定律是热现象的能量转换及定律。
3.在绝热流动中，单位质量的流体所具有的与之和是一个常数。
4.在可压缩流体中，如果产生一个微弱的局部压力扰动，这个压力扰动将以波面的形式在流体内传播，其传播速度称为。
南京工程学院流体力学考试题库3
1、不可压缩流体， 。
( A )（A ）流体密度不变 （B ）流体质量不变（C ）流体压力不变 （D ）流体温度不变2、流体静力学的基本方程p=p 0+gh ， 。
( D )（A ）只适用于液体 （B ）只适用于理想流体（C ）只适用于粘性流体 （D ）对理想流体和粘性流体均适用3、以当地大气压强为基准，计量的压强称为 。
（ A ）（A ）计示压强 （B ）绝对压强（C ）临界压强 （D ）滞止压强4、粘性流体的流动是层流还是紊流状态，主要取决于 。
( D )（A ）流体粘性大小 （B ）流速大小（C ）弗劳德数大小 （D ）雷诺数大小5、在同一瞬时，位于流线上各个流体质点的速度方向总是在该点与此流线 。
（ A ） （A ）相切 （B ）垂直（C ）平行 （D ）相交6、长方体敞口容器高0.8m 、宽0.4m 、水深0.5m ，则水作用在该侧壁上的总压力为 。
（A ） （A ）490N （B ）980N（C ）784N （D ）1000N7、圆管内层流流动，管内平均流速为最大流速的________。
（ A ）（A ）21 （B ）22 （C ） 23 （D ）318、 是流体力学中的基本量纲。
（ B ）（A ） 速度 （B ）长度 （C ）压力 （D ）密度9、边界层内流体的流动不可以视为________。
（ D ）（A ）不可压缩流体流动 （B ）可压缩流体流动（C ）黏性流体流动 （D ）理想流体流动10、超声速气体在收缩管中流动时，速度将 。
（ C ）（A ）逐渐增大 （B ）保持不变 （C ）逐渐减小 （D ）不确定11、关于压缩系数，说法正确的是 。
( D )（A ）流体压缩系数大，不容易压缩（B ）流体压缩系数也称为流体的弹性摸量（C ）流体压缩系数与流体种类无关（D ）流体压缩系数与流体所处的温度有关12、通常情况下，流速不高，温度、压强变化不大的气体可视为 。
（ B ）（A ）非牛顿流体 （B ）不可压缩流体（C ）理想流体 （D ）重力流体13、流体的内摩擦力，属于 。
一元等熵气流在变截面管中的流动
拓展研究领域，将一元等熵气流 在变截面管中的流动特性研究推 广到其他相关领域，如流体力学、 热力学等。
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数据收集与处理方法
将实验过程中采集的压力和温度数据整理成表格或图表 形式，便于后续分析处理。
利用相关分析软件或方法对实验数据进行拟合处理，得 到气流在变截面管中流动的数学模型或经验公式。
对数据进行统计分析，包括计算平均值、标准差等统计 量，以评估数据的稳定性和可靠性。
对实验结果进行误差分析，评估实验结果的准确性和可 信度，并提出改进方案以提高实验精度。
实验设备与仪器介绍
一元等熵气流发生器
用于产生稳定的一元等熵气流 ，确保实验条件的准确性和可
重复性。
变截面管
具有可调节截面积的管道，用 于模拟气流在不同截面条件下 的流动情况。
压力和温度传感器
用于实时监测气流在变截面管 中的压力和温度变化。
数据采集系统
将压力和温度传感器采集的数 据实时传输到计算机进行处理
对未来研究的建议与展望
进一步完善数学模型，考虑更多 实际因素，如气流粘性、管道壁 面摩擦等，以提高模型的预测精 度。
将研究成果应用于实际工程中， 如航空发动机、燃气轮机等领域 的气流管道设计，以提高能源利 用效率和设备性能。
开展更多实验研究，验证理论模 型的正确性，并探索更多变截面 管形状对气流流动特性的影响。
能量损失机制及其影响因素探讨
能量损失的主要形式
在变截面管中，能量损失的主要形式包括摩擦损失、局部阻力损失、热能损失等。这些损失会导致气 流能量的降低，从而影响气流的流动特性。
影响能量损失的因素分析
影响能量损失的因素包括管道形状、截面变化率、气流速度、管道粗糙度、流体介质等。其中，管道 形状、截面变化率和气流速度对能量损失的影响较为显著。为了减小能量损失，可以采取优化管道形 状、降低截面变化率、提高管道光滑度等措施。
可压缩流体的流动
p0无穷远 p0喉道
无穷远 喉道
大气环境 调节阀
大容器
（2）最大速度状态：以可逆和绝热方式使气体压强和温 度降低到零、速度达到最大时所对应的状态。利用最大速 度描述的能量方程为：
k p V Vmax const k 1 2 2 a V Vmax const k 1 2 2
一、声速与马赫数 1 声速
声速（a）是小扰动压力波在静止介质中的传播速度,
反映了介质本身可压缩性的大小。
dF d V A p1=p+dp dF 1=+d d V A V1=dv
p,,V=0
B
B
d V
若活塞间流体不可压：扰动 瞬时传递到B,声速a→∞
若活塞间流体可压：
dF A p1,1 V=dV 扰动后 p, V=0 B 扰动前 x
马赫线 V=a 扰动不可到达 区/寂静区 t=0
扰动中心
( c ) Ma=1
扰动源向上游传播速度为0、下游传播速度2a
扰动不能传播到扰动源上游
4 Ma>1. (扰动源以超亚音速向左运动) 由于声波的传播速度小于扰动源的运动速度，因此扰 该锥形区域即为马赫锥。
马赫线
V>a θ 扰动区
p2 p3
p*
p3
p3 p p0 p0 超临界，p2>p3
*
喷嘴出口流量与出口压强的关系
临界压比：流动马赫数达到音速时静压与总压之比
p* k 1 2 k 1 2 k 1 (1 Ma2 ) ( ) p0 2 k 1
k k
对于完全气体,k=1.4，则临界压比为0.5283
u表示单位质量流体的内能，上式表明在一维等熵可压 缩流中，各截面上单位质量流体具有的压强势能、动 能与内能之和保持为常数。－－可压缩流体的伯努利 方程
空气动力学课后习题答案刘
空气动力学课后习题答案刘1. 关于马赫波，下列说法正确的是 *A.马赫波是一种波；B.马赫线是二维超声速定常流场中小扰动传播的边界线；(正确答案)C.马赫波是固定小扰动作用下二维超声速定常流场分界线；(正确答案)D.马赫波或马赫线与来流的夹角都仅取决于来流马赫数，值为arcsin（1/Ma）;(正确答案)E.马赫波的建模过程中引入了一种假设，那就是认为马赫波是一条从原点出发的一条射线。
答案解析：马赫波不是一种波，它只是看上去像一种波；马赫波的形状是一条从原点出发的一条射线是理论分析的结果，并不是一种假设2. 关于膨胀波和斜激波，下列说法正确的是 *A.膨胀波对流动参数的改变可视为从同一折转点发出扇形马赫波束的连续作用；(正确答案)B.激波对流动参数的改变可视为从同一折转点发出马赫波束的连续作用；C.来流为超声速时，有限外折转角壁面产生膨胀波，有限内折转角壁面产生激波；(正确答案)D.给定一个来流马赫数和外折转角，就可以根据普朗特——迈伊尔关系式计算膨胀波波后马赫数；E.给定超声速来流马赫数时，能产生膨胀波的外折转角最大值和能产生激波的内折转角最大值都是有限的；(正确答案)答案解析：激波不可以视为马赫波的连续作用，它可以视为马赫波的连续作用和互相干扰过程；只有在来流是超声速的情况下才可以使用普朗特迈伊尔关系式；即便是来流为超声速，在折转角过大的情况下也不一定可以使用普朗特——迈伊尔关系式计算波后马赫数。
3. 关于马赫波的前后参数关系式，下列说法正确的是 *A.马赫波的法向速度等于声速；(正确答案)B.马赫波前后参数关系的两种模型都是从三大基本定律出发建立的，其中一种先假设马赫波前后参数均匀分布而另一种则没有；(正确答案)C.作为超声速流场，在求得马赫波后的扰动速度后不可以根据亚声速流场中的线化公式来计算压强系数；D.压缩马赫波的波后速度减小，压强、密度和温度均增加；膨胀马赫波的波后速度增加，压强、密度和温度均减小。
流体力学第五章
(M 2 1) du dA uA
5.4 一元等熵气流在变截面管道中的流动 气流参数和通道面积的关系
1
du 1 dA u M 2 1 A
d
M2 M 2 1
dA A
dp p
M 2
M 2 1
dA A
dT T
(
M
1)M 2 1
2
dA A
2
3
x
马缩收赫放缩数喷决管定流动特性
M >=< 1 u必随有Ad减A=小0而减增小加
1
M
2
)
1
p
2
例
M 0.737 u M RT 236.2m / s
若按不可压缩流动计算速度
题
u
2( p0 p) /
2RT ( p0 1) 252.2m / s p
忽略密度变化引起的误差
Δ 252 236 0.068 236
第五章 可压缩流体的一元流动
§5-4 一元等熵气流在变截面管道中的流动
加入系统的热能=内能增加+对外界做功
q
de
pd
1
dqpd —— 1/ 单位质量气体所获得的热能
e —— 单位质量气体的内能
1/ —— 单位质量气体的体积
pd(1/) — 单位质量流体在变形过程中
对外界所作的功
5.1 可压缩气体一元定常流的基本公式
一元绝热定常
单位质量流体能量守恒（运动方程代入热一定律）
M1
A1 T2
M2
A2
( T1
1
T )0 2( 1)
M1
A1 T0 T2
)
1
p01=2.232105N/m2
流体力学难点分析-知识归纳整理
知识归纳整理粘性切应力的计算粘性切应力的计算常常很复杂。
如果流体作一元运动，速度不太大，粘性系数比较大，边界条件简单，则其速度分布可视为线性变化，这样由式就容易算出。
例如，图（a）表示间隙为δ的两个同心圆柱体，外筒固定，内筒以角速度ω旋转。
内柱表面的粘性切应力为。
图（b）表示两个同轴圆柱体，间隙为δ，内筒以速度U沿轴线方向运动，内筒表面的粘性切应力为。
表面张力的计算在普通工程实际问题中通常不思量表面张力。
但如果涉及到流体计量、物理化学变化等问题，则表面张力通常要加以思量。
（1）空气中的液滴如果不思量重力影响，液体内部压强为常数，由式可知又根据对称性知，两个曲率半径相等，这时液滴必为球体，内外压强差为如果思量重力影响，则液滴不再是球体，越靠近下方，液滴的曲率半径越小。
（2）液体气泡液体气泡有内表面和外表面，其半径分别为R1和R2，如图1所示。
气泡内气体压强为p，外部空气压强为p0，液体的压强为p1，对于内表面和外表面分别应用式有：，液膜很薄，内外半径可视为相等，即R1＝R2＝R，上面两式相加，得上式也可以这样推证：过球心作一切面将液体球膜分成两部分。
对于其中一具半球面，压强差p－p产生的压力应等于张力，而张力在内外表面均存在，于是：化简后就得到上式。
求知若饥，虚心若愚。
千里之行，始于足下。
（3）毛细液柱将一根细管插入液体中，由于表面张力的影响，管内液柱将上升h，如图2所示。
设液柱，则表面最低处的液体压强为p，外部大气压强为p由流体静力学知所以，毛细液体上升的高度为（4）铅直固壁上的液面如图所示，表面张力将使液面弯曲，其爬升的最大高度为h。
在弯曲液面上的任一点应用式有：式中，R是该点的曲率半径，求知若饥，虚心若愚。
设该点得高度为y，则所以，令，它具有长度的量纲。
上式化为两边同乘，则有，所以（*），所以C＝1，所以爬升高度为如果要求液面形状，则可将式（*）变成为积分上式，作变量代换：其积分结果为所以，积分常数x0是千里之行，始于足下。
气体的一维流动
气体的一维等熵流动计算
MF2Hg13
题目
用文丘里流量计测空气流量，入口直径d1=0.4m
，喉部直径d2=0.125m，入口处绝对压强p1=138000
Pa，温度t1=17 ℃，喉部绝对压强p2=117000Pa。试
求质量流量qm 。设过程为等熵，γ=1.4，空气R=
287J/kg·K。
题目
图示某超音速风洞，设计参数Ma=2，喉部面积 0.0929m2，喷管入口处压强（绝对）p0=6.9x104pa， 温度为38 ℃，速度不计。设流动等熵。试计算喉部 和工作段的流动参数，工作段截面积及质量流量。
Ma=1Ma=2
P0 T0
qm
喉部 工作部
解题步骤
解：
（1）各滞止参数
p0=6.9x104pa
Ma12 Ma 2
1 0.165Ma12 1.165
2
解题步骤
将后两式带入二式，得到关于Ma1的代数方程， 令x= Ma1，则此方程为
f (x) 10.287x (1 0.165x2 )3.53 0
f ' (x) 10.287 1.1649x(1 0.165x2 )2.53
用迭代法解
x x0
解题步骤
解：
T0
1
1
1.165,
p0
(
T0
)
1
1.8506
T*
2
p* T*
p* 2.1615105 Pa
由于pe<p*,因此出口截面上的气流达临界状态，
1u1 A1
uA,
A1 A
Mu a=1Mac
1u1 1Ma1c1
Ma Ma1
(T
1
第六讲等熵流动
3、理想气体流动基本方程1 ）运动方程-VdV 02 ）等熵方程p C k3 ）状态方程p RT 4 ）连续方程VA m将等熵过程关系式带入运动方程，积分得到上卩Ck 1 2此式为可压缩气体流动的伯努利方程。
注：绝热过程即可，不一定要求等熵流动。
5、一元气体等熵流动基本关系式1）滞止参数p o ,, T2 ）一元气体等熵流动基本关系式3）临界参数马赫数达到1时的流动参数称为临界参数，有 p **T *等。
此时,速度为音速。
基本关系式如下：T o T P o p[1 2]k[12]k判断亚音速或超音速流的准则，临界一词的来源。
4）极限状态（最大速度状态） T=0的断面上，速度达到最大， U maxT = 0 ，无分子运动，是达不到的。
5）不可压伯努利方程的限度P 。
P 1 1 2 u 2对于可压缩伯努利方程由于a * a 。
(<1)T * T o (白 0,833p * P o(kA"0.5280.6342 kpkPIkp kPM 22 a 2k2i 0对于不可压伯努利方程2u P 0既有(1宁M 2)—(k1-M 2 22 S 4 82)k ( kk 1(k 1 2! 蹙卫M 6481)k 1 -(»)2==>U max. 2k p 0 umaxp* P o（kV0.528 0.634自喷管流出的空气质量流量为6kg/s 。
若 T 0 27 C, p 0 800kPa （绝对），出口压强P e 100kPa （绝对），假设整个流动过程均为等熵流动，试计算喉部直径和出口处的直径,并求出口速度。
解：1、确定出口处是否为超音速流动由于 “ I 00 0.125 0.528，又由于是等熵流，故出口处应为超音速流动,P 0 800此时，在管道喉部达到M * 1。
计算管道喉部临界点处的参数P 。
p *250K === > V kRT * 316.94m/sp * 422.63kPa== > * 盖 5.89kg/m 3当M 0.2时可视为不可压流体。
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3、理想气体流动基本方程1）运动方程0=+VdV dpρ2）等熵方程 k C p ρ=3）状态方程RT p ρ=4）连续方程 mVA &=ρ将等熵过程关系式带入运动方程，积分得到C V p k k =+-212ρ此式为可压缩气体流动的伯努利方程。
注：绝热过程即可，不一定要求等熵流动。
5、一元气体等熵流动基本关系式1）滞止参数000,,T p ρ2）一元气体等熵流动基本关系式112012020]211[]211[211---+=-+=-+=k k kM k M k p p M k T T ρρ3）临界参数马赫数达到1时的流动参数称为临界参数，有 ***T p ρ 等。
此时，速度为音速。
基本关系式如下：634.0)12(528.0)12(833.0)12()12(110*10*0*210*=+==+==+=+=--k k kk k p p k T T k a a ρρ判断亚音速或超音速流的准则，临界一词的来源。
4）极限状态（最大速度状态） T=0的断面上，速度达到最大，m ax u T = 0，无分子运动，是达不到的。
212max00u p k k =-ρ ==> 0000max 21212i kRT k p k k u =-=-=ρ5) 不可压伯努利方程的限度 对于不可压伯努利方程 0221p u p =+ρ 既有12120=-u pp ρ对于可压缩伯努利方程...48)2(821...)21(!2)11(1)21(11)211(642222120+-+++=+----+--+=-+=-M k k M k M k M k k kk k M k k k M k p p k k由于222222212121M kp kp a u kp kp u u ===ρρ==>....24)2(41214220+-++=-M k M u p p ρ 误差： (24))2(442+-+=M k M δ当2.0≤M 时可视为不可压流体。
6、 阻塞现象及其判据634.0)12(528.0)12(833.0)12(110*10*0*=+==+==+=--k k kk k p p k T T ρρ例1：自喷管流出的空气质量流量为6kg/s 。
若kPa p C T 800,2700=︒=（绝对），出口压强kPa p e 100=（绝对），假设整个流动过程均为等熵流动，试计算喉部直径和出口处的直径，并求出口速度。
解：1、 确定出口处是否为超音速流动由于528.0125.08001000<==p p e ，又由于是等熵流，故出口处应为超音速流动，此时，在管道喉部达到1*=M 。
2、 计算管道喉部临界点处的参数2.121*0=+=k T T ===〉 K T 250*= ===〉 s m kRT V /94.316**== 893.1)21(1*0=+=-k kk p p ==〉kPa p 63.422*= ==〉3***/89.5m kg RT p ==ρ3、 计算喉部截直径d由连续性方程，有 ***A V mρ=& ===〉 2***4d V mA πρ==& ===〉 mm m d 64064.0== 4、 计算出口处的流动参数和出流速度V120)211(--+=k ke M k p p ===〉014.2=M 20211M k T T e -+= ===〉 K T e 6.165= ===〉s m kRT a e /258== 3/104.2m kg RT p eee ==ρ ==〉 s m a M V /51.519=⋅= 5、 计算出口直径24D V mA e e πρ==& ===〉 mm m D 6.830836.0==第二章 有摩擦和热交换的一元管流前提：定常，一元等截面流动研究对象：有摩擦的绝热流动 Fanno 流动 有热交换的流动 Rayleigh 流动第一节 Fanno 流动一、 基本方程1、 连续方程02211=+===ρρρρd u du Constm u u2、 能量方程220222211=+=+=+udu di i u i u i 3、 动量方程1） 在等断面管道中取微元体如图 2） 去控制体如图3） 受力分析Ddx A dp p p W πτ-+-)]([ 向右4） 动量分析uAdu u du u Q ρρ=-+])[(5） 列动量方程)]([2=⋅++=-+-AD D dx udu dp uAduDdx A dp p p W W πτρρπτ6） 达西公式dTd dudp ++ρ控制体gu D dx h f 22λ= ——dx 管段上的摩擦阻力损失Au D dx gA g u D dx Agh Ddx f W 2222ρλρλρπτ=== 7） 最后得到动量方程022=++u D dx udu dp ρλρ4、 状态方程)(ρρρTd dT R dp RTp +==二、Fanno 流动的参数关系条件：绝热、有摩擦、一元管流 对象：流动参数与M 的关系 工具：四个基本方程1、 温度 21210,,,,M M T T T伯努利方程适用于绝热流动C V RT k k =+-212则有222112211211M k M k T T -+-+=分析：亚音速 ↓↑T V)()(1212T T M M <>超音速 ↑↓T V)()(1212T T M M ><2、 压强 21210,,,,M M p p p由连续性方程，有C kRT M RTp a M RT p V m ==⋅==ρ 则有222121122112211211M k M k M M T T M M p p C T pM -+-+===3、 密度21210,,,,M M ρρρ由状态方程，有211212T T p p =ρρ 得到2121222112)211211(M k M k M M -+-+=ρρ 4、 等熵滞止压强01p 与02p定义：气流由此给定状态等熵减速到速度为0时所达到的压强。
)1(212122210102211211-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+=k k M k M k M M p p三、 壁面摩擦对流动属性的影响寻求各参量的微分（相对）变化关系VdVM dM TdT d pdp 22ρρ1、 基本关系 1）状态方程 TdT d p dp +=ρρ （1） 2）马赫数T dTV dV M dM kRTV M -==222222（2）3）能量方程 C V i =+22由于 T C i p = ==> 0)2(2=+V d dT C p 由于 1-=k kRC p ==> 021222=-+V dV M k T dT （3） 4）连续方程02122=+==V dV d C V m ρρρ （4） 5）动量方程022=++V D dx VdV dp ρλρ将上式各项通除p ，考虑到2222kpM pk aV V ==ρρρ得到0222222=++DdxkM V dV kM p dp λ （5）2、 寻求微分变化关系将（3）（4）式带入（1）式，得到2222)1(1VdV M k p dp -+-= 再与（5）式联解，得到D dx M M k kM p dp λ)1(2])1(1[222--+-= （6） 类似地，有D dx M M k kM M dMλ222221)211(--+= （7） DdxM kM V dV λ)1(222-= （8）D dxM M k k T dT λ)1(2)1(24---= （9） Ddx M kM d λρρ)1(222--= （10） Ddx kM p dp λ2200-= （11）3、 摩擦对流动的影响前提：（1）dx 以沿流动方向为正；（2）0>λ，剪应力与流动方向相反。
1）等熵滞止压强必定减小壁面摩擦降低了所有各类流体机械的效能。
2）分母有 )1(2M -，表明连续地由亚音速转变为超音速或由超音速连续地转变为亚音速都是不可能的。
3）气流属性的变化方向取决于M 是否大于1。
亚音速 超音速↓↓↑↓↑↓↓↑↓↑↑↓0p TV M p ρ4）壁面摩擦的结果使M 总是趋向于1。
注意：1、摩擦使亚音速流加速！ 2、摩擦使亚音速流压强增大！如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。