圆周角定理及其推论随堂练习试卷
圆周角定理及其推论随堂练习试卷
圆周角定理及其推论随堂练习试卷、选择题（共20小题；共100 分）1. 如图，•是矗:讨的直径，只駅:：二加「，贝y 等于（）A. 2胪B.站”C. 50^D. 65^2. 如图，四边形風总罰是丨用璃的内接四边形，」：」，则出也谢的度数为A. 45 "B.勺C. 100D. 135°3. 如图，正三角形'内接于⑥巨，动点因在圆周的劣弧上，且不与', 重合，则I空決匸等于（）A.30 B. 60°4.如图，四边形風沁岀内接于，C. 90，则■'''的度数是C.805.如图，四边形’内接于，•‘为.延长线上一点, ，则D.D.⑵■的度数为A. 'B. 1C.'6.小宏用直角三角板检查某些工件的弧形凹面是否是半圆，下列工件的弧形凹面7.如图，问I是⑧/的直径，、网是上两点，f^|,如果于8.如图•四边形’■内接于，•-为延长线上一点，如果于（）A.130° B. 120 C. 80 D.BC = 85的长为9.如图，是 '的直径，、网是圆上的两点•若A. B. C. D.D.定是半圆的是B.—■，那么应罔等B. C. D.^1D£= 12O ，那么10.在数学实践活动课中，小辉利用自己制作的一把 直角角尺”测量、计算一些圆的直径•如图，直角角尺中，^\0B = 90',将点U 放在圆周上，分别确定 朗，OR 与圆的交点 G D ，读得数据 :儿二琴，： ，则此圆的直径约为A. B.网 C. D.'ii. 如图，△皿G 内接于oo ,若山。
* =丄00",则山聊的度数是（：）A. 40"B. 50 亠C. 60°D.曲12.如图1,、：是.的两条互相垂直的直径，点 岡从点口出发沿图中某一个扇形顺时针匀速运动，设 A/'-：-'：'（单位：度），如果 与点同运动的时间•（单位：秒）的函数关系的图象大致如图2所示，那么点 忸的运动路线可能为A. 0-4心0B. O T UOC. SDfOD. O T E T D T O、13.如图，线段屹罰是；的直径，弦|二：一宀；|,"代-'二，那么|二煎纠等于，A.财B. I 亦C.丄D.曲14. 如图，儿也4三点在已知的圆上，在AMG 中，=，"CE = p 是励匚的中点，连接■，-，则|"0彳的度数为A.汨B.估亠C. 5创D .15. 如图，四边形川比"内接于©°,山=11° ，则皿＞1）的度数是（＞a--a o pA. 70B.订°C. 120D.丄4°16. 如图，色心汀为等边三角形，点■在过点制且平行于:的直线上运动，以I色描用的高为半径的分别交线段-注；L 于点，■‘，则| '所对的圆周角的度数C.总等于O CZJ ②17. 如图，四边形’ 内接于危:二，「是」上一点，且’，连接并延长交！的延长18.如图，若力B是© °的直径,3是◎ a的弦，= 则丄卩CD的度数为（）D.总等于B.从石"I到A.从0 "到30变化变化45°线于点，连接；•若•U 耳的度数为119.如图所示，1为的内接三角形,D.，则的内接正方形的面积为20.如图，|总|是烽二|的直径，-, 两点在•上，如果am，那么卜总綁I的度数为A. 40"B. 9旷C. 00°D. 50、填空题（共10小题；共50分）21.已知，如图所示.（1）求作kml的内接正方形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；23. 如右图，四边形磁°内接于© °,日是丿血延长线上一点，若= 105°，则ME的度数24. 阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题:小芸的作法如下:k!；：取' =匚，作月甘的垂直平分线交AM于点。
《圆周角定理》练习题(A)
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《圆周角定理》练习题一．选择题（共16小题)1．如图,A、B、C三点在⊙O上，若∠BOC=76°，则∠BAC的度数是（）A．152° B．76°C．38° D．14°2．如图,⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°,则∠B的度数为（)A．30° B．35°C．40° D．45°第1题图第2题图第3题图3．如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（）个．A．1 B．2 C．3 D．44．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（）A．25° B．30° C．40° D．50°5．如图，已知在⊙O中,点A，B，C均在圆上，∠AOB=80°,则∠ACB等于（）A．130°B．140° C．145° D．150°第4题图第5题图第6题图6．如图，MN是⊙O的直径，∠PBN=50°，则∠MAP等于（）A．50° B．40° C．30° D．20°7．如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠ABD=20°，则∠ADC的度数为）A．40° B．50° C．60° D．70°8．如图,AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（) A．55° B．60° C．65° D．70°第7题图第8题图第9题图9．如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC=130°，则∠D等于（）A．25° B．30° C．35° D．50°10．如图，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（)A．∠4＜∠1＜∠2＜∠3 B．∠4＜∠1=∠3＜∠2C．∠4＜∠1＜∠3∠2 D．∠4＜∠1＜∠3=∠211．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=60°，D是半圆上任意一点，那么∠D的度数是(） A．30° B．45° C．60° D．90°第10题图第11题图第12题图12．如图，在⊙O中,OA⊥BC，∠AOC=50°，则∠ADB的度数为()A．15° B．20° C．25° D．50°13．在⊙O中，点A、B在⊙O上，且∠AOB=84°，则弦AB所对的圆周角是（）A．42° B．84° C．42°或138° D．84°或96°14．如图所示，在⊙O中，AB是⊙O的直径，∠ACB的角平分线CD交⊙O于D，则∠ABD的度数等于（）A．90° B．60° C．45° D．30°15．已知如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CDB=40°,则∠CBA的度数为（）A．60° B．50° C．40° D．30°第10题图第11题图第12题图16．如图,AB是圆的直径，AB⊥CD，∠BAD=30°，则∠AEC的度数等于（）A．30° B．50° C．60° D．70°二．填空题（共8小题)17．如图，⊙O的直径CD经过弦EF的中点G，∠DCF=20°,则∠EOD等于．第17题图第18题图第19题图18．如图，点A、B在⊙O上，∠AOB=100°,点C是劣弧AB上不与A、B重合的任意一点,则∠C=°．19．在⊙O中，弦AB=2cm,∠ACB=30°,则⊙O的直径为cm．20．如图，⊙O中弦AB等于半径R，则这条弦所对的圆心角是,圆周角是．第20题图第21题图第22题图21．如图，等腰△ABC的底边BC的长为4cm,以腰AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，则DE的长为cm．22．如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时,同样乙已经助攻冲到B点，丙助攻到C点．有三种射门方式：第一种是甲直接射门;第二种是甲将球传给乙,由乙射门．第三种是甲将球传给丙，由丙射门．仅从射门角度考虑，应选择种射门方式．三．解答题(共16小题)25．28．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，AC=6cm，BC=8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AB和BD的长．26．如图,已知CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M,点P是上一点，且∠BPC=60°．试判断△ABC的形状，并说明你的理由．27、如图,△ABC的高AD、BE相交于点H,延长AD交ABC的外接圆于点G，连接BG．求证:HD=GD．28．已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E．∠BAC=40°（1）求∠EBC的度数;（2）求证：BD=CD．29．如图，△ABC是⊙O的内接三角形,∠A=30°，BC=3cm．求⊙O的半径．30．如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点C作CD⊥AB于点D，点C是弧AF的中点，连接AF 交CD于点E，连接BC交AF于点G．(1）求证：AE=CE；．31．如图，△ABC中，AB＞AC，∠BAC的平分线交外接圆于D，DE⊥AB于E，DM⊥AC于M．（1）求证:BE=CM．(2）求证：AB﹣AC=2BE．32．如图，OA是⊙0的半径,以OA为直径的⊙C与⊙0的弦AB相交于点D．求证:AD=BD．33．如图,已知：AB是⊙O的弦，D为⊙O上一点，DC⊥AB于C，DM平分∠CDO．求证：M是弧AB的中点．34．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上,CD是高，D是垂足,CE是直径，求证：∠ACD=∠BCE．35．已知：如图，AE是⊙O的直径，AF⊥BC于D，证明：BE=CF．36．已知AB为⊙O的直径，弦BE=DE,AD，BE的延长线交于点C,求证：AC=AB．37．如图，AB是圆O的直径，OC⊥AB，交⊙O于点C，D是弧AC上一点，E是AB上一点,EC⊥CD,交BD于点F．问：AD与BF相等吗?为什么？38．如图，AB是⊙O的直径，AC、DE是⊙O的两条弦,且DE⊥AB，延长AC、DE相交于点F,求证:∠FCD=∠ACE．39．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径,作CE⊥AD，垂足为E，CE的延长线与AB交于F．试分析∠ACF与∠ABC是否相等，并说明理由．40．如图,△ABC内接于⊙O，AD为△ABC的外角平分线，交⊙O于点D,连接BD,CD，判断△DBC的形状，并说明理由．41．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB,垂足为点E，G是上的任意一点，AG、DC的延长线相交于点F，∠FGC与∠AGD的大小有什么关系？为什么？42．如图，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，D是弧AC中点，DE⊥AB垂足为E，AC分别与DE、DB相交于点F、G，则AF与FG是否相等？为什么？43．如图，OA是⊙O的半径,以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB交于点D,求证：D是AB的中点．44．如图，在△ABC中,∠ACB=90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC的边于G，F,E点．求证：（1)F是BC的中点；（2）∠A=∠GEF．45．如图，圆内接四边形ABCD的外角∠DCH=∠DCA，DP⊥AC垂足为P，DH⊥BH垂足为H,求证:CH=CP，AP=BH．《圆周角定理》2222222222参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．（2012•呼伦贝尔）如图,A、B、C三点在⊙O上，若∠BOC=76°,则∠BAC的度数是（）A．152°B．76°C．38°D．14°【解答】解：∵所对的圆心角是∠BOC，圆周角是∠BAC，又∵∠BOC=76°,∴∠A=76°×=38°．故选C．2．（2015•眉山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°,则∠B的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°【解答】解:∵OA=OC，∠ACO=45°,∴∠OAC=45°，∴∠AOC=180°﹣45°﹣45°=90°，∴∠B=∠AOC=45°．故选D．3．(2010秋•海淀区校级期末）如图，在图中标出的4个角中,圆周角有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∠1和∠3符合圆周角的定义，∠2顶点不在圆周上，∠4的一边不和圆相交，故图中圆周角有∠1和∠3两个．故选B．4．（2015•珠海)如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°,则∠BOD的度数是(）A．25°B．30°C．40°D．50°【解答】解：∵在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，∴=，∴∠DOB=2∠C=50°．故选:D．5．(1997•陕西）如图,已知在⊙O中，点A,B，C均在圆上，∠AOB=80°,则∠ACB等于（）A．130°B．140°C．145°D．150°【解答】解：设点E是优弧AB上的一点，连接EA，EB∵∠AOB=80°∴∠E=∠AOB=40°∴∠ACB=180°﹣∠E=140°．故选：B．6．如图，MN是⊙O的直径，∠PBN=50°,则∠MAP等于（)A．50°B．40°C．30°D．20°【解答】解:连接OP,可得∠MAP=∠MOP，∠NBP=∠NOP，∵MN为直径，∴∠MOP+∠NBP=180°，∴∠MAP+∠NBP=90°，∵∠PBN=50°，∴∠MAP=90°﹣∠PBN=40°．故选B．7．(2007•太原）如图,CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点,若∠ABD=20°，则∠ADC的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【解答】解：∵∠ABD=20°∴∠C=∠ABD=20°∵CD是⊙O的直径∴∠CAD=90°∴∠ADC=90°﹣20°=70°．故选D．8．(2013•苏州)如图,AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC=50°,则∠DAB等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°【解答】解：连结BD，如图,∵点D是的中点，即弧CD=弧AD，∴∠ABD=∠CBD，而∠ABC=50°,∴∠ABD=×50°=25°，∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB=90°﹣25°=65°．故选C．9．(2009•枣庄)如图，AB是⊙O的直径,C，D为圆上两点，∠AOC=130°,则∠D等于（）A．25°B．30°C．35°D．50°【解答】解:∵∠AOC=130°,∴∠BOC=50°，∴∠D=∠BOC=25°．故选A．10．（2013秋•沙洋县校级月考）如图,∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是(）A．∠4＜∠1＜∠2＜∠3B．∠4＜∠1=∠3＜∠2C．∠4＜∠1＜∠3∠2D．∠4＜∠1＜∠3=∠2【解答】解：如图，利用圆周角定理可得：∠1=∠3=∠5=∠6，根据三角形的外角的性质得：∠5＞∠4,∠2＞∠6，∴∠4＜∠1=∠3＜∠2，故选B．11．（2012秋•天津期末）如图,AB是半圆O的直径，∠BAC=60°,D是半圆上任意一点，那么∠D的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：连接BC,∵AB是半圆的直径∴∠ACB=90°∵∠BAC=60°,∴∠ABC=90°﹣∠BAC=30°,∴∠D=∠ABC=30°．故选A．12．（2009•塘沽区二模)如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOC=50°，则∠ADB的度数为（)A．15°B．20°C．25°D．50°【解答】解：∵OA⊥BC，∠AOC=50°，∴，∴∠ADB=∠AOC=25°．故选C．13．（2012秋•宜兴市校级期中)在⊙O中,点A、B在⊙O上，且∠AOB=84°，则弦AB所对的圆周角是(）A．42°B．84°C．42°或138°D．84°或96°【解答】解:如图，∵∠AOB=84°，∴∠ACB=∠AOB=×84°=42°，∴∠ADB=180°﹣∠ACB=138°．∴弦AB所对的圆周角是：42°或138°．故选C．14．(2011•南岸区一模）如图所示,在⊙O中，AB是⊙O的直径,∠ACB的角平分线CD交⊙O 于D,则∠ABD的度数等于（）A．90°B．60°C．45°D．30°【解答】解：连接AD，∵在⊙O中，AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵CD是∠ACB的角平分线，∴=，∴AD=BD，∴△ABD是等腰直角三角形，∴∠ABD=45°．故选C．15．（2015秋•合肥校级期末)已知如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CDB=40°,则∠CBA的度数为（）A．60°B．50°C．40°D．30°【解答】解：连接AC，∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵∠A=∠CDB=40°，∴∠CBA=90°﹣∠A=50°．故选B．16．（2013•万州区校级模拟)如图,AB是圆的直径,AB⊥CD，∠BAD=30°,则∠AEC的度数等于（）A．30°B．50°C．60°D．70°【解答】解：∵∠BAD=30°，∴=60°，∵AB是圆的直径，AB⊥CD,∴==60°，∴=180°﹣60°=120°，∴∠AEC==×120°=60°．故选C．二．填空题（共8小题）17．(2016•大冶市模拟)如图，⊙O的直径CD经过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD等于40°．【解答】解：∵⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠DCF=20°，∴弧DF=弧DE，且弧的度数是40°，∴∠DOE=40°,答案为40°．18．（2015•历城区二模）如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点,∠ABC=50°，则∠DAB的度数是65°．【解答】解：连结BD,如图，∵点D是的中点,即弧CD=弧AD，∴∠ABD=∠CBD，而∠ABC=50°，∴∠ABD=×50°=25°，∵AB是半圆的直径,∴∠ADB=90°，∴∠DAB=90°﹣25°=65°．故答案为65°．19．（2013秋•滨湖区校级期末)如图,点A、B在⊙O上，∠AOB=100°，点C是劣弧AB上不与A、B重合的任意一点,则∠C=130°．【解答】解：在优弧AB上取点D,连结AD、BD，如图，∴∠D=∠AOB=×100°=50°，∵∠D+∠C=180°，∴∠C=180°﹣50°=130°．故答案为130．20．(2008秋•苏州校级期中）球员甲带球冲到A点时,同伴乙已经助攻冲到B点．有两种射门方式:第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．仅从射门角度考虑，应选择第二种种射门方式较为合理．【解答】解:连接OC．根据圆周角定理，得∠PCQ=∠B,根据三角形的外角的性质,得∠PCQ＞∠A，则∠B＞∠A．故答案为第二种．21．(2015•黄岛区校级模拟）在⊙O中，弦AB=2cm，∠ACB=30°，则⊙O的直径为4cm．【解答】解：连接OA，OB，∵∠ACB=30°，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=2cm,∴⊙O的直径=4cm．故答案为：4．22．（2014春•海盐县校级期末)如图,⊙O中弦AB等于半径R,则这条弦所对的圆心角是60°，圆周角是30°或150°．【解答】解：连结OA、OB,∠APB和∠AP′B为弦AB所对的圆周角，如图，∵弦AB等于半径R，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB=60°,∴∠APB=∠AOB=30°,∴∠AP′B=180°﹣∠APB=150°，即这条弦所对的圆心角是60°,圆周角是30°或150°．故答案为60°；是30°或150°．23．（2012•义乌市模拟）如图，等腰△ABC的底边BC的长为4cm，以腰AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点E，则DE的长为2cm．【解答】解：连接AD,∵∠DEC为圆内接四边形ABDE的外角,∴∠DEC=∠B，又等腰△ABC，BC为底边,∴AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠DEC=∠C，∴DE=DC,∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∴BD=CD=BC，又BC=4cm，∴DE=2cm．故答案为：224．(2012秋•哈密地区校级月考）如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ 进攻，当他带球冲到A点时,同样乙已经助攻冲到B点，丙助攻到C点．有三种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．第三种是甲将球传给丙，由丙射门．仅从射门角度考虑，应选择第二种射门方式．【解答】解：设AP与圆的交点是C，连接CQ；则∠PCQ＞∠A；由圆周角定理知：∠PCQ=∠B;所以∠B＞∠A；因此选择第二种射门方式更好．故答案为:第二．三．解答题（共16小题）25．(2009•沈阳模拟)如图，△ABC的高AD、BE相交于点H,延长AD交ABC的外接圆于点G，连接BG．求证：HD=GD．【解答】证明：∵∠C=∠G，△ABC的高AD、BE，∴∠C+∠DAC=90°，∠AHE+∠DAC=90°,∴∠C=∠AHE，∵∠AHE=∠BHG=∠C,∴∠G=∠BHG，∴BH=BG，又∵AD⊥BC，∴HD=DG．26．（2013秋•虞城县校级期末）如图，已知CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，点P是上一点，且∠BPC=60°．试判断△ABC的形状,并说明你的理由．【解答】解：△ABC为等边三角形．理由如下：∵AB⊥CD，CD为⊙O的直径，∴弧AC=弧BC，∴AC=BC，又∵∠BPC=∠A=60°，∴△ABC为等边三角形．27．(2013秋•耒阳市校级期末）已知:如图,AB为⊙O的直径,AB=AC，BC交⊙O于点D,AC交⊙O于点E．∠BAC=40°(1）求∠EBC的度数；（2）求证：BD=CD．【解答】（1）解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠BAC=40°，∴∠C=（180°﹣40°）=70°,∵AB为⊙O的直径,∴∠AEB=90°，∴∠EBC=90°﹣∠C=20°；证明：连结AD,如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°,∴AD⊥BC，而AB=AC,∴BD=DC．28．（2014秋•高密市期中）如图，AB是⊙O的直径,C是⊙O上的点，AC=6cm，BC=8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AB和BD的长．【解答】解：如图,∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∠ADB=90°．∴AB===10（cm）．∵AC=6cm，BC=8cm，∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠BCD,则=，∴AD=BD，∴BD=AB=5cm．综上所述，AB和BD的长分别是10cm，5cm．29．（2013秋•宜兴市校级期中）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=30°，BC=3cm．求⊙O的半径．【解答】解：作直径CD，连结BD，如图，∵CD为直径，∴∠CBD=90°,∵∠D=∠A=30°，∴CD=2BC=2×3=6,∴⊙O的半径为3cm．30．(2010秋•瑞安市校级月考）如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点C作CD⊥AB于点D，点C是弧AF的中点，连接AF交CD于点E，连接BC交AF于点G．（1)求证:AE=CE；（2）已知AG=10，ED：AD=3：4，求AC的长．【解答】（1）证明：∵点C是弧AF的中点，∴∠B=∠CAE,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,即∠ACE+∠BCD=90°，∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠B=∠CAE=∠ACE，∴AE=CE …(6分）（2）解：∵∠ACB=90°，∴∠CAE+∠CGA=90°，又∵∠ACE+∠BCD=90°，∴∠CGA=∠BCD，∵AG=10，∴CE=EG=AE=5,∵ED：AD=3:4,∴AD=4，DE=3，∴AC=…(10分）．31．(2015秋•扬中市期中)如图，△ABC中，AB＞AC，∠BAC的平分线交外接圆于D,DE⊥AB 于E，DM⊥AC于M．（1）求证：BE=CM．（2)求证：AB﹣AC=2BE．【解答】证明：（1)连接BD，DC，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴弧BD=弧CD，∴BD=CD，∵∠BAD=∠CAD，DE⊥AB，DM⊥AC，∵∠M=∠DEB=90°，DE=DM，在Rt△DEB和Rt△DMC中，，∴Rt△DEB≌Rt△DMC（HL），∴BE=CM．（2）∵DE⊥AB，DM⊥AC，∵∠M=∠DEA=90°，在Rt△DEA和Rt△DMA中∴Rt△DEA≌Rt△DMA(HL)，∴AE=AM，∴AB﹣AC，=AE+BE﹣AC，=AM+BE﹣AC，=AC+CM+BE﹣AC,=BE+CM，=2BE．32．（2013•宁夏模拟）如图,OA是⊙0的半径，以OA为直径的⊙C与⊙0的弦AB相交于点D．求证：AD=BD．【解答】证明：连结OD，如图，∵OA为⊙C的直径，∴∠ADO=90°，∴OD⊥AB，∴AD=BD．33．（2011秋•宁波期中）如图，已知：AB是⊙O的弦，D为⊙O上一点，DC⊥AB于C,DM平分∠CDO．求证：M是弧AB的中点．【解答】解：连接OM∵OD=OM,∴∠ODM=∠OMD，∵DM平分∠ODC，∴∠ODM=∠CDM，∴∠CDM=∠OMD，∴CD∥OM，∵CD⊥AB，∴OM⊥AB，∴弧AM=弧BM，即点M为劣弧AB的中点．34．(2009秋•哈尔滨校级期中）如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，CD是高，D是垂足，CE是直径，求证：∠ACD=∠BCE．【解答】解：连接AE,∵CE为直径,∴∠EAC=90°，∴∠ACE=90°﹣∠AEC，∵CD是高,D是垂足，∴∠BCD=90°﹣∠B,∵∠B=∠AEC（同弧所对的圆周角相等)，∴∠ACE=∠BCD，∴∠ACE+∠ECD=∠BCD+∠ECD，∴∠ACD=∠BCE．35．已知：如图,AE是⊙O的直径，AF⊥BC于D，证明：BE=CF．【解答】证明:∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°,∴∠E+∠BAE=90°，∵AF⊥BC于D,∴∠FAC+∠ACB=90°，∵∠E=∠ACB，∴∠BAE=∠FAC，∴弧BE=弧CF，∴BE=CF．36．（2015秋•哈尔滨校级期中)已知AB为⊙O的直径，弦BE=DE,AD，BE的延长线交于点C，求证：AC=AB．【解答】证明：连接AE，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°,∴∠AEB=∠AEC=90°，∵弦BE=DE，∴=，∴∠DAE=∠BAE,∵∠C=90°﹣∠DAE，∠B=90°﹣∠BAE,∴∠B=∠C，∴AC=AB．37．如图，AB是圆O的直径，OC⊥AB，交⊙O于点C，D是弧AC上一点,E是AB上一点，EC⊥CD，交BD于点F．问：AD与BF相等吗？为什么？【解答】解:AD和BF相等．理由：如图,连接AC、BC，∵OC⊥AB，∴∠BOC=90°∴∠BDC=∠BAC=45°∵EC⊥CD，∴∠DCE=∠ACB=90°，∴△DCF和△ACB都是等腰直角三角形，∴DC=FC，AC=BC，∵∠DCA+∠ACF=∠BCF+∠ACF=90°，∴∠DCA=∠FCB在△ACD和△BCF中，｛，∴△ACD≌△BCF∴DA=BF．38．如图,AB是⊙O的直径，AC、DE是⊙O的两条弦，且DE⊥AB，延长AC、DE相交于点F,求证：∠FCD=∠ACE．【解答】证明：连接AD，AE，∵AB是直径．AB⊥DE，∴AB平分DE,弧ACE=弧AD,∴∠ACD=∠ADE,∵A、C、E、D四点共圆，∴∠FCE=∠ADE，∴∠FCE=∠ACD，∴∠FCE+∠DCE=∠DAC+∠ECD,∴∠FCD=∠ACE．39．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,作CE⊥AD,垂足为E，CE的延长线与AB交于F．试分析∠ACF与∠ABC是否相等，并说明理由．【解答】解：延长CE交⊙O于M，∵AD是⊙O的直径，作CE⊥AD，∴弧AC=弧AM，∴∠ACF=∠ABC（在同圆中,等弧所对的圆周角相等）．40．如图，△ABC内接于⊙O，AD为△ABC的外角平分线，交⊙O于点D,连接BD，CD,判断△DBC的形状，并说明理由．【解答】解：△DBC为等腰三角形．理由如下：∵AD为△ABC的外角平分线，∴∠EAD=∠DAC，∵∠EAD=∠DCB，∠DBC=∠DAC，∴∠DBC=∠DCB，∴△DBC为等腰三角形．一．解答题（共6小题）1．如图,AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，G是上的任意一点，AG、DC的延长线相交于点F,∠FGC与∠AGD的大小有什么关系？为什么？【解答】解：∠FGC与∠AGD相等．理由如下:连接AD,如图,∵CD⊥AB，∴=，∴∠AGD=∠ADC,∵∠FGC=∠ADC,∴∠FGC=∠AGD2．如图,AB是圆O的直径,C是圆O上一点，D是弧AC中点，DE⊥AB垂足为E,AC分别与DE、DB相交于点F、G，则AF与FG是否相等?为什么？【解答】解：AF=FG，理由是：连接AD，∵AB是直径，DE⊥AB，∴∠ADB=∠DEB=90°，∴∠ADE=∠ABD，∵D为弧AC中点,∴∠DAC=∠ABD，∴∠ADE=∠DAC，∴AF=DF，∠FAE=∠DAC，∴DF=FG，∴AF=FG．3．如图,AB为⊙O的直径,以OA为直径作⊙C，AD为⊙O的弦，交⊙C于E，试问，当D点在⊙O上运动时（不与A重合）,AE与ED的长度有何关系？证明你的结论．【解答】解:AE=ED．理由：连接OE，∵AO是⊙C的直径，∴∠OEA=90°，∴OE⊥AD，∵OE过圆O的圆心O，∴AE=ED．4．如图,OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB交于点D，求证:D是AB的中点．【解答】证明:连接OD，∵OA为⊙C的直径，∴∠ODA=90°，即OD⊥AB，∴D是AB的中点．5．（2007•鄂尔多斯）如图,在△ABC中,∠ACB=90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC的边于G，F，E点．求证:（1）F是BC的中点；(2）∠A=∠GEF．【解答】证明一：(1）连接DF，∵∠ACB=90°，D是AB的中点，∴BD=DC=AB，（2分）∵DC是⊙O的直径，∴DF⊥BC，（4分)∴BF=FC，即F是BC的中点；（5分）（2）∵D,F分别是AB，BC的中点，∴DF∥AC，（6分)∴∠A=∠BDF，（7分）∵∠BDF=∠GEF（圆周角定理)，（8分）∴∠A=∠GEF．（9分)证明二：(1)连接DF，DE，∵DC是⊙O直径，∴∠DEC=∠DFC=90°．（1分）∵∠ECF=90°，∴四边形DECF是矩形．∴EF=CD，DF=EC．（2分）∵D是AB的中点，∠ACB=90°，∴EF=CD=BD=AB．（3分）∴△DBF≌△EFC．（4分）∴BF=FC，即F是BC的中点．(5分)（2）∵△DBF≌△EFC，∴∠BDF=∠FEC，∠B=∠EFC．（6分）∵∠ACB=90°（也可证AB∥EF，得∠A=∠FEC)，∴∠A=∠FEC．（7分）∵∠FEG=∠BDF(同弧所对的圆周角相等），（8分）∴∠A=∠GEF．(9分）（此题证法较多,大纲卷参考答案中，又给出了两种不同的证法，可供参考．)6．（2000•兰州）如图,圆内接四边形ABCD的外角∠DCH=∠DCA，DP⊥AC垂足为P，DH⊥BH 垂足为H，求证：CH=CP,AP=BH．【解答】证明：(1)在△DHC与△DPC中，∵∠DCH=∠DCA，DP⊥AC，DH⊥BH，DC为公共边，∴△DHC≌△DPC，∴CH=CP．（2）连接DB，由圆周角定理得，∠DAC=∠DBH,∵△DHC≌△DPC，∴DH=DP，∵DP⊥AC，DH⊥BH,∴∠DHB=∠DPC=90°，∴△DAP≌△DBH，∴AP=BH．。
人教版九年级上册数学圆周角定理及推论测试题
人教版九年级数学考试题测试题人教版初中数学24.1.4 圆周角第1课时圆周角定理及推论一、选择题1．如图1，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（）．A．140° B．110° C．120° D．130°(1) (2) (3)2．如图2，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（）A．∠4<∠1<∠2<∠3 B．∠4<∠1=∠3<∠2C．∠4<∠1<∠3∠2 D．∠4<∠1<∠3=∠23．如图3，AD是⊙O的直径，AC是弦，OB⊥AD，若OB=5，且∠CAD=30°，则BC等于（）．A．3 B． C．5-12D．5二、填空题1．半径为2a的⊙O中，弦AB的长为，则弦AB所对的圆周角的度数是________．2．如图4，A、B是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．•B(4) (5)3．如图5，已知△ABC为⊙O内接三角形，BC=•1，•∠A=•60•°，•则⊙O•半径为_______．三、综合提高题1．如图，弦AB 把圆周分成1：2的两部分，已知⊙O 半径为1，求弦长AB ．2．如图，已知AB=AC ，∠APC=60° （1）求证：△ABC 是等边三角形．（2）若BC=4cm ，求⊙O 的面积．3．如图，⊙C 经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A 与点B ，点A 的坐 标为（0，4），M 是圆上一点，∠BMO=120°． （1）求证：AB 为⊙C 直径． （2）求⊙C 的半径及圆心C 的坐标．A参考答案一、1．D 2．B 3．D二、1．120°或60° 2．90° 3．3三、1．（1）证明：∵∠ABC=∠APC=60°，又AB AC=，∴∠ACB=∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形．（2）解：连结OC，过点O作OD⊥BC，垂足为D，在Rt△ODC中，DC=2，∠OCD=30°，设OD=x，则OC=2x，∴4x2-x2=4，∴OC=433．（1）略（2）4，（，2）初三第一学期期末学业水平调研数学本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分。
圆周角定理经典训练卷(含答案)
圆周角定理经典训练卷一．选择题1．如图，AB、CD都是⊙O的弦，且AB⊥CD．若∠CDB=62°，则∠ACD的大小为（）（1）（2）（3）A．28°B．31°C．38°D．62°2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=40°，则∠ACB的大小为（）A．40°B．30°C．45°D．50°3．如图，AB是⊙O的弦，点C在圆上，已知∠OBA=40°，则∠C=（）A．40°B．50°C．60°D．80°4．如图，已知AB、AD是⊙O的弦，∠B=30°，点C在弦AB上，连接CO并延长CO交于⊙O于点D，∠D=20°，则∠BAD的度数是（）（4）（5）（6）（7）A．30°B．40°C．50°D．60°5．如图，已知圆心角∠BOC=100°，则圆周角∠BAC的大小是（）A．50°B．55°C．60°D．65°6．如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，则弦AB的长为（）A．2B．4C．D．27．如图，OA、OB是⊙O的半径，C是⊙O上一点，∠ACB=20°，则∠OAB的度数为（）A．80°B．75°C．70°D．65°8．如图，在⊙O中，AB平分∠CAO，∠BAO=25°，则∠BOC的大小为（）A．25°B．50°C．65°D．80°（8）（9）（10）9.如图，⊙O中，劣弧AB所对的圆心角∠AOB=120°，点C在劣弧AB上，则圆周角∠ACB=（）A．60°B．120°C．135°D．150°10．如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°11．如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知和所对的圆心角分别为90°和50°，则∠P=（）A．45°B．40°C．25°D．20°12．已知△ABC中，AB=AC，∠A=50°，⊙O是△ABC的外接圆，D是优弧BC上任一点（不与A、B、C重合），则∠ADB的度数是（）A．50°B．65°C．65°或50°D．115°或65°13．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OBC=60°，则∠BAC的度数是（）（13）（14）（15）A．75°B．60°C．45°D．30°14．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°15．如图，已知CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．50°16．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．若∠BAC=23°，则∠ADC的大小为（）A．23°B．57°C．67°D．77°17．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ABD=53°，则∠BCD为（）（16）A．37°B．47°C．45°D．53°（17）（18）（19）18．如图，若AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=65°，则∠BCD的度数为（）A．25°B．45°C．55°D．75°19．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，分别连接AC、BC、CD、OD．若∠DOB=140°，则∠ACD=（）A．20°B．30°C．40°D．70°20.在⊙O中，点A、B在⊙O上，且∠AOB=84°，则弦AB所对的圆周角是（）A．42°B．84°C．42°或138°D．84°或96°二．填空题21．如图，在⊙O中，弦AC=2，点B是圆上一点，且∠ABC=45°，则⊙O的半径R=．（21）（22）（23）22．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=．23．如图，⊙O的直径CD经过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD等于．24．如图，在⊙O中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，则∠AOB的度数是°．25．如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠B=20°，则∠ADC的度数为．26．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为．27．如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，0），C（0，6），则⊙A的半径为．（25）（26）（27）28．如图，在⊙O中，AB为直径，C、D为⊙O上两点，若∠C=25°，则∠ABD=．29．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC=60°，弦AD平分∠BAC，若AD=6，那么AC=．（28）（29）（30）30．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于D，若AC：BC=4：3，AB=10cm，则OD的长为cm．三．解答题31．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，AC=6cm，BC=8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AB和BD的长．32、如图，△ABC的高AD、BE相交于点H，延长AD交ABC的外接圆于点G，连接BG．求证：HD=GD．33.已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E．∠BAC=40°（1）求∠EBC的度数；（2）求证：BD=CD．34．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=30°，BC=3cm．求⊙O的半径．35．如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点C作CD⊥AB于点D，点C是弧AF的中点，连接AF交CD于点E，连接BC交AF于点G．（1）求证：AE=CE；．36．如图，△ABC中，AB＞AC，∠BAC的平分线交外接圆于D，DE⊥AB于E，DM⊥AC 于M．（1）求证：BE=CM．（2）求证：AB﹣AC=2BE．37．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，CD是高，D是垂足，CE是直径，求证：∠ACD=∠BCE．8．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，作CE⊥AD，垂足为E，CE的延长线与AB交于F．试分析AC、AF、AB的关系，并说明理由．39.如图，△ABC内接于⊙O，AD为△ABC的外角平分线，交⊙O于点D，连接BD，CD，（1）判断△DBC的形状，并说明理由．（2）若∠BAC=60°，判断AD、AB、AC有怎样的关系？并说明理由．40．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，G是上的任意一点，AG、DC 的延长线相交于点F，∠FGC与∠AGD的大小有什么关系？为什么？一．选择题（共20小题）1．D；2．C；3．A；4．C；5．A；6．D；7．A；8．B；9．C；10．A；11．D；12．C；13．C；14．B；15．B；16．A；17．C；18．D；19．A；20．D；二．填空题（共10小题）21．；22．80°；23．70°；24．60°；25．5；26．40°；27．60；28．65°；29．；30．4；三解答题28．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，AC=6cm，BC=8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AB和BD的长．【解答】解：如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∠ADB=90°．∴AB===10（cm）．∵AC=6cm，BC=8cm，∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠BCD，则=，∴AD=BD，∴BD=AB=5cm．综上所述，AB和BD的长分别是10cm，5cm．29．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=30°，BC=3cm．求⊙O的半径．【解答】解：作直径CD，连结BD，如图，∵CD为直径，∴∠CBD=90°，∵∠D=∠A=30°，∴CD=2BC=2×3=6，∴⊙O的半径为3cm．30．如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点C作CD⊥AB于点D，点C是弧AF的中点，连接AF交CD于点E，连接BC交AF于点G．（1）求证：AE=CE；（2）已知AG=10，ED：AD=3：4，求AC的长．【解答】（1）证明：∵点C是弧AF的中点，∴∠B=∠CAE，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即∠ACE+∠BCD=90°，∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠B=∠CAE=∠ACE，∴AE=CE …（6分）（2）解：∵∠ACB=90°，∴∠CAE+∠CGA=90°，又∵∠ACE+∠BCD=90°，∴∠CGA=∠BCD，∵AG=10，∴CE=EG=AE=5，∵ED：AD=3：4，∴AD=4，DE=3，∴AC=…（10分）．31．（2015秋•扬中市期中）如图，△ABC中，AB＞AC，∠BAC的平分线交外接圆于D，DE⊥AB于E，DM⊥AC于M．（1）求证：BE=CM．（2）求证：AB﹣AC=2BE．【解答】证明：（1）连接BD，DC，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴弧BD=弧CD，∴BD=CD，∵∠BAD=∠CAD，DE⊥AB，DM⊥AC，∵∠M=∠DEB=90°，DE=DM，在Rt△DEB和Rt△DMC中，，∴Rt△DEB≌Rt△DMC（HL），∴BE=CM．（2）∵DE⊥AB，DM⊥AC，∵∠M=∠DEA=90°，在Rt△DEA和Rt△DMA中∴Rt△DEA≌Rt△DMA（HL），∴AE=AM，∴AB﹣AC，=AE+BE﹣AC，=AM+BE﹣AC，=AC+CM+BE﹣AC，=BE+CM，=2BE．34．（2009秋•哈尔滨校级期中）如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，CD是高，D是垂足，CE是直径，求证：∠ACD=∠BCE．【解答】解：连接AE，∵CE为直径，∴∠EAC=90°，∴∠ACE=90°﹣∠AEC，∵CD是高，D是垂足，∴∠BCD=90°﹣∠B，∵∠B=∠AEC（同弧所对的圆周角相等），∴∠ACE=∠BCD，∴∠ACE+∠ECD=∠BCD+∠ECD，∴∠ACD=∠BCE．39．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，作CE⊥AD，垂足为E，CE 的延长线与AB交于F．试分析∠ACF与∠ABC是否相等，并说明理由．【解答】解：延长CE交⊙O于M，∵AD是⊙O的直径，作CE⊥AD，∴弧AC=弧AM，∴∠ACF=∠ABC（在同圆中，等弧所对的圆周角相等）．40．如图，△ABC内接于⊙O，AD为△ABC的外角平分线，交⊙O于点D，连接BD，CD，判断△DBC的形状，并说明理由．【解答】解：△DBC为等腰三角形．理由如下：∵AD为△ABC的外角平分线，∴∠EAD=∠DAC，∵∠EAD=∠DCB，∠DBC=∠DAC，∴∠DBC=∠DCB，∴△DBC为等腰三角形．1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，G是上的任意一点，AG、DC 的延长线相交于点F，∠FGC与∠AGD的大小有什么关系？为什么？【解答】解：∠FGC与∠AGD相等．理由如下：连接AD，如图，∵CD⊥AB，∴=，∴∠AGD=∠ADC，∵∠FGC=∠ADC，∴∠FGC=∠AGD11。
(完整word版)圆周角定理经典训练卷(含答案)
圆周角定理经典训练卷一．选择题1．如图，AB、CD都是⊙O的弦,且AB⊥CD．若∠CDB=62°,则∠ACD的大小为（）(1）（2）(3)A．28° B．31°C．38° D．62°2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=40°，则∠ACB的大小为（）A．40° B．30°C．45° D．50°3．如图,AB是⊙O的弦，点C在圆上，已知∠OBA=40°，则∠C=（）A．40° B．50°C．60° D．80°4．如图,已知AB、AD是⊙O的弦，∠B=30°，点C在弦AB上，连接CO并延长CO交于⊙O于点D，∠D=20°,则∠BAD的度数是( ）（4）（5）（6)（7）A．30° B．40°C．50° D．60°5．如图,已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC的大小是（）A．50° B．55°C．60° D．65°6．如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点,∠APB=45°,则弦AB的长为( ）A．2 B．4 C．D．27．如图，OA、OB是⊙O的半径，C是⊙O上一点,∠ACB=20°,则∠OAB的度数为（）A．80° B．75°C．70° D．65°8．如图,在⊙O中，AB平分∠CAO，∠BAO=25°，则∠BOC的大小为( )A．25° B．50°C．65° D．80°（8）（9）（10）9.如图，⊙O中,劣弧AB所对的圆心角∠AOB=120°,点C在劣弧AB上，则圆周角∠ACB=（）A．60° B．120°C．135°D．150°10．如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦,点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2,则弦AB所对的圆周角的度数是( )A．60° B．120°C．60°或120°D．30°或150°11．如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知和所对的圆心角分别为90°和50°，则∠P=（）A．45°B．40°C．25° D．20°12．已知△ABC中,AB=AC，∠A=50°,⊙O是△ABC的外接圆，D是优弧BC上任一点（不与A、B、C重合），则∠ADB的度数是( ）A．50° B．65°C．65°或50°D．115°或65°13．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OBC=60°，则∠BAC的度数是（)（13）（14）（15）A．75° B．60°C．45° D．30°14．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为（)A．30°B．45°C．60° D．75°15．如图,已知CD是⊙O的直径,过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是( ）A．25° B．30°C．40° D．50°16．如图,AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．若∠BAC=23°，则∠ADC的大小为（)A．23° B．57°C．67° D．77°17．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ABD=53°，则∠BCD为（）（16）A．37° B．47°C．45° D．53°（17）（18）（19）18．如图，若AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=65°,则∠BCD的度数为（）A．25° B．45°C．55° D．75°19．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，分别连接AC、BC、CD、OD．若∠DOB=140°，则∠ACD=（)A．20° B．30°C．40° D．70°20。
圆周角定理的推论2,3
圆周角定理的推论2，3要害问答①圆周角定理的推论有哪些？②圆的内接四边形有什么性质？1．从下列三角尺与圆弧的位置干系中，可鉴别圆弧为半圆的是()A B C D图3－4－152.①如图3－4－16，AB是⊙O的直径，C，D是圆周上的两点．已知AC＝7，BC＝24，AD＝15，则BD＝________．图3－4－163.②如图3－4－17，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BAD＝110°，则∠C的度数是________．图3－4－17命题点1利用圆周角的推论2举行谋略与证明[热度：99%]4.③如图3－4－18，▱ABCD的极点A，B，D在⊙O上，极点C在⊙O的直径BE上，相连AE，∠E＝36°，则∠ADC的度数是()图3－4－18A．44° B．54° C．72° D．53°要领点拨③求与圆有关的角的度数时，一般环境下，都是利用圆周角定理及其推论1.特殊地，当题中有直径出现时，往往要用到“直径所对的圆周角是直角”这一性质.5.④如图3－4－19，AB是⊙O的直径，CD是弦，且AB∥CD，若AB＝8，∠ABC＝30°，则弦AD的长为()图3－4－19A. 3 B．4 3 C．2 3 D．8要领点拨④见直径，布局直径所对的圆周角.6．2019·咸宁如图3－4－20，已知⊙O 的半径为5，弦AB ，CD 所对的圆心角分别是∠AOB ，∠COD ，若∠AOB 与∠COD 互补，弦CD ＝6，则弦AB 的长为( )图3－4－20A ．6B ．8C ．5 2D ．5 37.⑤如图3－4－21，半径为3的⊙A 议决原点O 和点C (0，2)，B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 的值为( )图3－4－21A.13 B ．22 C.24 D.223要领点拨⑤求一个不在直角三角形中的锐角的三角函数值，一般思路为：布局含有这个角(或与这个角相等的角)的直角三角形，再根据三角函数的定义求解.8．⑥如图3－4－22，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，交BC 于点E ，相连AE ，ED ，则下列结论中不一定正确的是( )图3－4－22A ．AE ⊥BCB ．BE ＝EC C ．ED ＝EC D ．∠BAC ＝∠EDC 知识链接⑥等腰三角形三线合一．9．已知：如图3－4－23，△ABC 的极点都在⊙O 上，AB 为直径，∠CBA 的中分线交AC 于点F ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且交AC 于点P ，相连AD .(1)求证：∠DAC ＝∠DBA ； (2)求证：P 是线段AF 的中点；(3)若⊙O 的半径为5，AF ＝152，求tan ∠ABF 的值． 图3－4－23命题点 2 圆内接四边形的相关谋略与证明 [热度：92%]10．如图3－4－24所示，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是弧CD 上一点，且DF ︵＝BC ︵，相连CF 并延长交AD 的延长线于点E ，相连AC ，若∠ABC ＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为( )图3－4－24A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°11.⑦如图3－4－25，已知四边形ABCD 内接于半径为4的⊙O 中，且∠C ＝2∠A ，则BD ＝________．图3－4－25要领点拨⑦谋略弦长，通常需要布局直角三角形，再借助勾股定理或三角函数求解.12．已知：如图3－4－26，四边形ABCD 内接于⊙O ，延长AD ，BC 相交于点E ，F 是BD 延长线上的点，且DE 中分∠CDF .(1)求证：AB ＝AC ；(2)若AC ＝3 cm ，AD ＝2 cm ，求DE 的长．图3－4－2613.⑧如图3－4－27所示，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且∠D ＝∠E .(1)求证：∠D ＝∠CBE ； (2)求证：CB ＝CE ；(3)设AD 不是圆O 的直径，AD 的中点为M ，且MB ＝MC ，求证：△ADE 为等边三角形．图3－4－27要领点拨⑧欲证明一个三角形是等边三角形，可以证明这个三角形的三条边相等或三个角相等或证明这个三角形是有一个角是60°的等腰三角形.14.⑨如图3－4－28，已知⊙O 的半径为2，弦AB 的长为23，点C 与点D 分别是劣弧AB 与优弧AmB 上的任一点(点C ，D 均不与点A ，B 重合)．(1)求∠ACB 的度数； (2)求△ABD 的最大面积．图3－4－28解题突破⑨(1)题中出现半径长和弦长，要遐想到垂径定理，再想办法利用边的干系求角的度数； (2)要求△ABD 的最大面积，AB 是定值，只需使AB 边上的高最大即可. 15.⑩⑪如图3－4－29，在Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝4.P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB ＝∠PBC ，则线段CP 长的最小值为( )图3－4－29A .12B ．2C .81313D .121313解题突破⑩根据三角形内角和与已知条件求出∠APB ＝90°，由圆周角定理的推论鉴别出动点P 的轨迹为以AB 为直径的圆在△ABC 内的弧，则可把标题转化为圆外一点与圆上动点的隔断最值标题．要领点拨⑪在动态标题中求两点之间隔断的最值标题，一般应先确定动点的运动纪律，再运用相关知识求解.16.⑫如图3－4－30，A ，P ，B ，C 是⊙O 上四点，∠APC ＝∠CPB ＝60°. (1)鉴别△ABC 的形状，并证明你的结论；(2)当点P 位于什么位置时，四边形PBOA 是菱形？并说明理由； (3)求证：PA ＋PB ＝PC.图3－4－30要领点拨⑫探索结论成立的条件，可采取逆向思维，由果索因.详解详析1．B[剖析] 只有B选项相符圆周角为90°时，所对的弦为直径，由此可知该弧为半圆．故选B.2．20[剖析] ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.∵AC＝7，BC＝24，∴AB ＝25.∵AD＝15，∴BD＝20.3．70°[剖析] ∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD＋∠C＝180°.∵∠BAD＝110°，∴∠C＝70°.4．B[剖析] ∵BE为⊙O的直径，∴∠BAE＝90°，∴∠ABC＝90°－∠AEB＝54°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠ABC＝54°.故选B.5. B[剖析] 相连BD，∵AB∥CD，∴∠BAD＝∠ADC.∵∠ADC＝∠ABC，∠ABC＝30°，∴∠ADC＝30°，∴∠BAD＝30°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD＝AB·cos30°＝8×32＝4 3.故选B.6．B[剖析] 如图，延长AO交⊙O于点E，相连BE，则∠AOB＋∠BOE＝180°.∵∠AOB＋∠COD＝180°，∴∠BOE＝∠COD，∴BE＝CD＝6.∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴AB＝AE2－BE2＝102－62＝8.故选B.7．C [剖析] 相连CD. ∵∠DOC ＝90°， ∴CD 是⊙A 的直径．在Rt △OCD 中，CD ＝6，OC ＝2， 则OD ＝CD 2－OC 2＝42， ∴tan ∠CDO ＝OC OD ＝24.由圆周角定理，得∠OBC ＝∠CDO ， ∴tan ∠OBC ＝tan ∠CDO ＝24.故选C . 8．D [剖析] ∵AB 为⊙O 的直径，∴AE ⊥BC. ∵AB ＝AC ，∴BE ＝EC ，∠BAE ＝∠CAE ，∠B ＝∠C ， ∴BE ︵＝ED ︵，∴BE ＝ED ， ∴ED ＝EC ，∴∠EDC ＝∠C ， ∴∠EDC ＝∠B.故选D .9．解：(1)证明：∵BD 中分∠CBA ， ∴∠CBD ＝∠DBA.∵∠DAC 与∠CBD 都是CD ︵所对的圆周角， ∴∠DAC ＝∠CBD ，∴∠DAC ＝∠DBA. (2)证明：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°. 又∵DE ⊥AB 于点E ， ∴∠DEB ＝90°，∴∠ADE ＋∠EDB ＝∠DBA ＋∠EDB ＝90°， ∴∠ADE ＝∠DBA ＝∠CBD ＝∠DAP ， ∴PD ＝PA.∵∠DFA ＋∠DAC ＝∠ADE ＋∠PDF ＝90°，且∠ADE ＝∠DAC ， ∴∠PDF ＝∠DFA ， ∴PD ＝PF ，∴PA ＝PF ，即P 是线段AF 的中点．(3)∵∠DAF ＝∠DBA ，∠ADB ＝∠FDA ＝90°， ∴△FDA ∽△ADB ，∴AD BD ＝AFAB .在Rt △ABD 中，tan ∠ABD ＝AD BD ＝AF AB ＝15210＝34，即tan ∠ABF ＝34.10．B [剖析] 因为四边形ABCD 内接于⊙O ，所以∠ADC ＝180°－∠ABC ＝180°－105°＝75°.因为DF ︵＝BC ︵，所以∠DCE ＝∠BAC ＝25°.因为∠ADC ＝∠DCE ＋∠E ，所以∠E ＝∠ADC －∠DCE ＝75°－25°＝50°.故选B .11．4 3 [剖析] 相连OD ，OB ，过点O 作OF ⊥BD ，垂足为F. ∵OF ⊥BD ，∴DF ＝BF ，∠DOF ＝∠BOF. ∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠A ＋∠C ＝180°.∵∠C ＝2∠A ，∴∠A ＝60°，∴∠BOD ＝120°， ∴∠BOF ＝60°. ∵OB ＝4，∴BF ＝OB·sin ∠BOF ＝4×sin 60°＝2 3， ∴BD ＝2BF ＝4 3.12．解：(1)证明：如图，∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°， ∠2＋∠ADC ＝180°， ∴∠ABC ＝∠2.又∵∠2＝∠1＝∠3，∠4＝∠3，∴∠ABC ＝∠4，∴AB ＝AC.(2)∵∠3＝∠4＝∠ABE ，∠DAB ＝∠BAE ， ∴△ABD ∽△AEB ， ∴AB AE ＝AD AB. ∵AB ＝AC ＝3 cm ，AD ＝2 cm ，∴AE ＝AB 2AD ＝92 cm ，∴DE ＝92－2＝52(cm )．13．证明：(1)∵四边形ABCD 是圆内接四边形， ∴∠ABC ＋∠D ＝180°. 又∵∠ABC ＋∠CBE ＝180°， ∴∠D ＝∠CBE.(2)∵∠D ＝∠CBE ，∠D ＝∠E ， ∴∠CBE ＝∠E ， ∴CB ＝CE.(3)设BC 的中点为N ，相连MN. ∵MB ＝MC ，∴MN ⊥BC ， ∴圆心O 在直线MN 上．又∵AD 不是圆O 的直径，M 为AD 的中点，∴OM ⊥AD ， 即MN ⊥AD ，∴BC ∥AD ， ∴∠A ＝∠CBE.又∵∠CBE ＝∠D ，∠D ＝∠E ， ∴∠A ＝∠D ＝∠E ， ∴△ADE 为等边三角形．14．解：(1)相连OA ，OB ，过点O 作OE ⊥AB ，E 为垂足，则AE ＝BE.在Rt △AOE 中，OA ＝2，AE ＝3，∴sin ∠AOE ＝32， ∴∠AOE ＝60°，∠AOB ＝2∠AOE ＝120°.又∵∠ADB ＝12∠AOB ，∴∠ADB ＝60°.∵四边形ACBD 为圆内接四边形， ∴∠ACB ＋∠ADB ＝180°， ∴∠ACB ＝180°－∠ADB ＝120°. (2)过点D 作DF ⊥AB ，垂足为F ， 则S △ABD ＝12×23·DF.显然，当DF 议决圆心O 时，DF 取得最大值，从而S △ABD 取得最大值，此时DF ＝DO＋OF ＝DO ＋OE ＝2＋2sin 30°＝3，∴S △ABD ＝12×23×3＝33，即△ABD 的最大面积是3 3.15．B [剖析] 如图，∵AB ⊥BC ， ∴∠ABP ＋∠PBC ＝90°. ∵∠PAB ＝∠PBC ， ∴∠ABP ＋∠PAB ＝90°，∴∠APB ＝90°，∴点P 在以AB 为直径的⊙E 上，当点C ，P ，E 在一条直线上时，CP 长取最小值，此时由勾股定理，得CE ＝32＋42＝5，CP ＝CE －PE ＝5－3＝2.故选B .16．解：(1)△ABC 是等边三角形．证明如下：在⊙O 中，∵∠BAC 与∠CPB 是BC ︵所对的圆周角，∠ABC 与∠APC 是AC ︵所对的圆周角，∴∠BAC ＝∠CPB ，∠ABC ＝∠APC. 又∵∠APC ＝∠CPB ＝60°， ∴∠ABC ＝∠BAC ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形．(2)当点P 是AB ︵的中点时，四边形PBOA 是菱形．理由：如图①，相连OP.∵∠AOB ＝2∠ACB ＝120°，P 是AB ︵的中点，∴∠AOP ＝∠BOP ＝60°.又∵OA ＝OP ＝OB ，∴△OAP 和△OBP 均为等边三角形，∴OA ＝AP ＝OB ＝PB ， ∴四边形PBOA 是菱形．(3)如图②，在PC上截取PD＝AP.又∵∠APC＝60°，∴△APD是等边三角形，∴AD＝PA＝PD，∠ADP＝60°，∴∠ADC＝120°.又∵∠APB＝∠APC＋∠BPC＝120°，∴∠ADC＝∠APB.在△APB和△ADC中，∵∠APB＝∠ADC，∠ABP＝∠ACD，AP＝AD，∴△APB≌△ADC，∴PB＝DC.∵PD＝PA，∴PC＝PA＋PB.[要害问答]①同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的对角互补．第 11 页。
圆周角定理及其推论随堂练习试卷
圆周角定理及其推论随堂练习试卷一、选择题（共20小题；共100分）1. 如图，AB是⊙O的直径，∠AOC=130∘，则∠D等于 ( )A. 25∘B. 35∘C. 50∘D. 65∘2. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=135∘，则∠AOC的度数为( )A. 45∘B. 90∘C. 100∘D. 135∘3. 如图，正三角形ABC内接于⊙O，动点P在圆周的劣弧上，且不与A，B重合，则∠BPC等于( )A. 30∘B. 60∘C. 90∘D. 45∘4. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=120∘，则∠BAD的度数是( )A. 30∘B. 60∘C. 80∘D. 120∘5. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点，∠A=50º，则∠BCE的度数为( )A. 40ºB. 50ºC. 60ºD. 130º6. 小宏用直角三角板检查某些工件的弧形凹面是否是半圆，下列工件的弧形凹面一定是半圆的是( )A. B.C. D.7. 如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，CD⊥AB，如果∠DAB=65∘，那么∠AOC等于( )A. 25∘B. 30∘C. 50∘D. 65∘8. 如图．四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE=120∘，那么∠B等于 ( )A. 130∘B. 120∘C. 80∘D. 60∘9. 如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上的两点．若BC=8，cosD=23，则AB的长为( )A. 8√133B. 163C. 24√55D. 1210. 在数学实践活动课中，小辉利用自己制作的一把“直角角尺”测量、计算一些圆的直径．如图，直角角尺中，∠AOB=90∘，将点O放在圆周上，分别确定OA，OB与圆的交点C，D，读得数据OC=8，OD=9，则此圆的直径约为( )A. 17B. 14C. 12D. 1011. 如图，△ABC内接于⊙O，若∠AOB=100∘，则∠ACB的度数是( )A. 40∘B. 50∘C. 60∘D. 80∘12. 如图1，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发沿图中某一个扇形顺时针匀速运动，设∠APB=y（单位：度），如果y与点P运动的时间x（单位：秒）的函数关系的图象大致如图 2所示，那么点P的运动路线可能为( )A. O→B→A→OB. O→A→C→OC. O→C→D→OD. O→B→D→O13. 如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20∘，那么∠AOD等于( )A. 160∘B. 150∘C. 140∘D. 120∘14. 如图，A，B，C三点在已知的圆上，在△ABC中，∠ABC=70∘，∠ACB=30∘，D是BAC的中点，连接DB，DC，则∠DBC的度数为( )A. 30∘B. 45∘C. 50∘D. 70∘15. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=110∘，则∠BOD的度数是( )A. 70∘B. 110∘C. 120∘D. 140∘16. 如图，△ABC为等边三角形，点O在过点A且平行于BC的直线上运动，以△ABC的高为半径的⊙O分别交线段AB，AC于点E，F，则EF所对的圆周角的度数( )A. 从0∘到30∘变化B. 从30∘到60∘变化C. 总等于30∘D. 总等于60∘17. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是CD上一点，且DF=BC，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105∘，∠BAC=25∘，则∠E的度数为( )A. 45∘B. 50∘C. 55∘D. 60∘18. 如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58∘，则∠BCD的度数为( )A. 32∘B. 58∘C. 64∘D. 116∘19. 如图所示，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30∘，则⊙O的内接正方形的面积为( )A. 2B. 4C. 8D. 1620. 如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，如果∠C＝40∘，那么∠ABD的度数为( )A. 40∘B. 90∘C. 80∘D. 50∘二、填空题（共10小题；共50分）21. 已知⊙O，如图所示．（1）求作⊙O的内接正方形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若⊙O的半径为4，则它的内接正方形的边长为．22. 如图，在⊙O中，∠BOC=100º，则∠A的度数是．23. 如右图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若BAD=105∘，则∠DCE的度数是．24. 阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小芸的作法如下：①取AB=c，作AB的垂直平分线交AB于点O；②以点O为圆心，OB长为半径画圆；③以点B为圆心，a长为半径画弧，与⊙O交于点C；④连接BC，AC．则Rt△ABC即为所求．老师说："小芸的作法正确．"请回答：小芸的作法中判断∠ACB是直角的依据是．25. 数学课上，老师让学生用尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明的做法如图所示，你认为小明这种做法中判断∠ACB是直角的依据是．26. 阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：小敏的作法如下：老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90∘，其依据是；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是．27. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，点A在优弧BC上，∠BOC=100∘，则∠A的度数为．28. 如图，弦AB的长等于⊙O的半径，那么弦AB所对的圆周角的度数是．29. 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，点O在∠D的内部，∠OAD+∠OCD=50∘，则∠B=．30. 如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位，mm），直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是( )mm．三、解答题（共5小题；共65分）31. 如图，AB是直径，弦CD⊥AB，E是AC上一点，AE，DC的延长线交于点F．求证：∠AED=∠CEF．32. 已知：如图，A、B、C为⊙O上的三个点，⊙O的直径为4cm，∠ACB=45∘，求AB的长．33. 如图，在△ABC中，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点D．点E在BD上，连接DE，AE，连接CE并延长交AB于点F，∠AED=∠ACF．Ⅰ求证：CF⊥AB；Ⅱ若CD=4，CB=4√5，cos∠ACF=4，求EF的长．534. 已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．Ⅰ求证：AB=AC；Ⅱ若AB=4，BC=2√3，求CD的长．35. 已知：⊙O是△ABC的外接圆，点M为⊙O上一点．Ⅰ如图，若△ABC为等边三角形，BM=1，CM=2，求AM的长；小明在解决这个问题时采用的方法是：延长MC到E，使ME=AM，从而可证△AME为等边三角形，并且△ABM≌△ACE，进而就可求出线段AM的长．请你借鉴小明的方法写出AM的长，并写出推理过程．Ⅱ若△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90∘，BM=a，CM=b（其中b>a），直接写出AM的长（用含有a，b的代数式表示）．圆周角定理及其推论随堂练习试卷答案第一部分1. A2. B3. B4. B5. B6. A7. C8. B9. D 10. C11. B 12. C 13. C 14. C 15. D16. C 17. B 18. A 19. A 20. D第二部分21. （1）如图：（2）4√222. 50∘23. 105∘24. 直径所对的圆周角是直角．25. 直径所对的圆周角是直角26. 直径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线27. 50∘28. 30∘或150∘29. 130∘30. 50第三部分31. 连接AD．因为AD=AC，所以∠AED=∠ADC，因为∠CEF+∠AEC=∠ADC+∠AEC=180∘，所以∠ADC=∠CEF．所以∠AED=∠CEF．32. 连接OA、OB．∵∠ACB=45∘，∴∠AOB=2∠ACB=90∘ .又OA=OB .∴△AOB是等腰直角三角形.∴AB2=OA2+OB2=22+22=8 .∴AB=2√2 .答：AB的长为2√2cm．33. （1）连接BD，如图 1.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90∘．∴∠DAB+∠1=90∘．∵∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3．∴∠DAB+∠3=90∘．∴∠CFA=180∘−(∠DAB+∠3)=90∘．∴CF⊥AB．（2）连接OE，如图 2．∵∠ADB=90∘，∴∠CDB=180∘−∠ADB=90∘．∵在Rt△CDB中，CD=4，CB=4√5，∴DB=√CB2−CD2=8．∵∠1=∠3，∴cos∠1=cos∠3=45．∵在Rt△ABD中，cos∠1=DBAB =45，∴AB=10．∴OA=OE=5，AD=√AB2−DB2=6．∵CD=4，∴AC=AD+CD=10．∴在Rt△ACF中，CF=AC⋅cos∠3=8．∴AF=√AC2−CF2=6．∴OF=AF−OA=1．∴在Rt△OEF中，EF=√OE2−OF2=2√6．34. （1）因为ED=EC，所以∠EDC=∠C，因为∠EDC=∠B，所以∠B=∠C，所以AB=AC．（2）连接AE，因为AB为直径，所以AE⊥BC，由（1）知AB=AC，BC=√3，所以BE=CE=12因为CE⋅CB=CD⋅CA，AC=AB=4，所以√3⋅2√3=4CD，所以CD=3．235. （1）AM=3．延长MC到E，使ME=AM．∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60∘．∴∠AME=60∘．∴△AME为等边三角形．∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．又AB=AC，∴△ABM≌△ACE．∴AM=ME=3．（2）AM=√22(a+b)或√22(b−a)．。
圆周角定理及其推论随堂练习考试卷
圆周角定理及其推论随堂练习试卷一、选择题（共20小题；共100分）1. 如图，AB是⊙O的直径，∠AOC=130∘，则∠D等于 ( )A. 25∘B. 35∘C. 50∘D. 65∘2. 如图，四边形ABCD是⊙O的接四边形，∠B=135∘，则∠AOC的度数为( )A. 45∘B. 90∘C. 100∘D. 135∘3. 如图，正三角形ABC接于⊙O，动点P在圆周的劣弧上，且不与A，B重合，则∠BPC等于( )A. 30∘B. 60∘C. 90∘D. 45∘4. 如图，四边形ABCD接于⊙O，∠BCD=120∘，则∠BAD的度数是( )A. 30∘B. 60∘C. 80∘D. 120∘5. 如图，四边形ABCD接于⊙O，E为DC延长线上一点，∠A=50º，则∠BCE的度数为( )A. 40ºB. 50ºC. 60ºD. 130º6. 小宏用直角三角板检查某些工件的弧形凹面是否是半圆，下列工件的弧形凹面一定是半圆的是( )A. B.C. D.7. 如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，CD⊥AB，如果∠DAB=65∘，那么∠AOC等于( )A. 25∘B. 30∘C. 50∘D. 65∘8. 如图．四边形ABCD接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE=120∘，那么∠B等于 ( )A. 130∘B. 120∘C. 80∘D. 60∘9. 如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上的两点．若BC=8，cosD=23，则AB的长为( )A. 8√133B. 163C. 24√55D. 1210. 在数学实践活动课中，小辉利用自己制作的一把“直角角尺”测量、计算一些圆的直径．如图，直角角尺中，∠AOB=90∘，将点O放在圆周上，分别确定OA，OB与圆的交点C，D，读得数据OC=8，OD=9，则此圆的直径约为( )A. 17B. 14C. 12D. 1011. 如图，△ABC接于⊙O，若∠AOB=100∘，则∠ACB的度数是( )A. 40∘B. 50∘C. 60∘D. 80∘12. 如图1，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发沿图中某一个扇形顺时针匀速运动，设∠APB=y（单位：度），如果y与点P运动的时间x（单位：秒）的函数关系的图象大致如图 2所示，那么点P的运动路线可能为( )A. O→B→A→OB. O→A→C→OC. O→C→D→OD. O→B→D→O13. 如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20∘，那么∠AOD等于( )A. 160∘B. 150∘C. 140∘D. 120∘14. 如图，A，B，C三点在已知的圆上，在△ABC中，∠ABC=70∘，∠ACB=30∘，D是BAC的中点，连接DB，DC，则∠DBC的度数为( )A. 30∘B. 45∘C. 50∘D. 70∘15. 如图，四边形ABCD接于⊙O，∠A=110∘，则∠BOD的度数是( )A. 70∘B. 110∘C. 120∘D. 140∘16. 如图，△ABC为等边三角形，点O在过点A且平行于BC的直线上运动，以△ABC的高为半径的⊙O分别交线段AB，AC于点E，F，则EF所对的圆周角的度数( )A. 从0∘到30∘变化B. 从30∘到60∘变化C. 总等于30∘D. 总等于60∘17. 如图，四边形ABCD接于⊙O，F是CD上一点，且DF=BC，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105∘，∠BAC=25∘，则∠E的度数为( )A. 45∘B. 50∘C. 55∘D. 60∘18. 如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58∘，则∠BCD的度数为( )A. 32∘B. 58∘C. 64∘D. 116∘19. 如图所示，△ABC为⊙O的接三角形，AB=1，∠C=30∘，则⊙O的接正方形的面积为( )A. 2B. 4C. 8D. 1620. 如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，如果∠C＝40∘，那么∠ABD的度数为( )A. 40∘B. 90∘C. 80∘D. 50∘二、填空题（共10小题；共50分）21. 已知⊙O，如图所示．（1）求作⊙O的接正方形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若⊙O的半径为4，则它的接正方形的边长为．22. 如图，在⊙O中，∠BOC=100º，则∠A的度数是．23. 如右图，四边形ABCD接于⊙O，E是BC延长线上一点，若BAD=105∘，则∠DCE的度数是．24. 阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小芸的作法如下：①取AB=c，作AB的垂直平分线交AB于点O；②以点O为圆心，OB长为半径画圆；③以点B为圆心，a长为半径画弧，与⊙O交于点C；④连接BC，AC．则Rt△ABC即为所求．老师说："小芸的作确．"请回答：小芸的作法中判断∠ACB是直角的依据是．25. 数学课上，老师让学生用尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明的做法如图所示，你认为小明这种做法中判断∠ACB是直角的依据是．26. 阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：小敏的作法如下：老师认为小敏的作确．请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90∘，其依据是；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是．27. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，点A在优弧BC上，∠BOC=100∘，则∠A的度数为．28. 如图，弦AB的长等于⊙O的半径，那么弦AB所对的圆周角的度数是．29. 如图，已知四边形ABCD接于⊙O，点O在∠D的部，∠OAD+∠OCD=50∘，则∠B=．30. 如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位，mm），直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是( )mm．三、解答题（共5小题；共65分）31. 如图，AB是直径，弦CD⊥AB，E是AC上一点，AE，DC的延长线交于点F．求证：∠AED=∠CEF．32. 已知：如图，A、B、C为⊙O上的三个点，⊙O的直径为4cm，∠ACB=45∘，求AB的长．33. 如图，在△ABC中，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点D．点E在BD上，连接DE，AE，连接CE并延长交AB于点F，∠AED=∠ACF．Ⅰ求证：CF⊥AB；Ⅱ若CD=4，CB=4√5，cos∠ACF=4，求EF的长．534. 已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．Ⅰ求证：AB=AC；Ⅱ若AB=4，BC=2√3，求CD的长．35. 已知：⊙O是△ABC的外接圆，点M为⊙O上一点．Ⅰ如图，若△ABC为等边三角形，BM=1，CM=2，求AM的长；小明在解决这个问题时采用的方法是：延长MC到E，使ME=AM，从而可证△AME为等边三角形，并且△ABM≌△ACE，进而就可求出线段AM的长．请你借鉴小明的方法写出AM的长，并写出推理过程．Ⅱ若△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90∘，BM=a，CM=b（其中b>a），直接写出AM的长（用含有a，b的代数式表示）．圆周角定理及其推论随堂练习试卷答案第一部分1. A2. B3. B4. B5. B6. A7. C8. B9. D 10. C11. B 12. C 13. C 14. C 15. D16. C 17. B 18. A 19. A 20. D第二部分21. （1）如图：（2）4√223. 105∘24. 直径所对的圆周角是直角．25. 直径所对的圆周角是直角26. 直径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线27. 50∘28. 30∘或150∘29. 130∘30. 50第三部分31. 连接AD．因为AD=AC，所以∠AED=∠ADC，因为∠CEF+∠AEC=∠ADC+∠AEC=180∘，所以∠ADC=∠CEF．所以∠AED=∠CEF．32. 连接OA、OB．∵∠ACB=45∘，∴∠AOB=2∠ACB=90∘ .又OA=OB .∴△AOB是等腰直角三角形.∴AB2=OA2+OB2=22+22=8 .∴AB=2√2 .答：AB的长为2√2cm．33. （1）连接BD，如图 1.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90∘．∴∠DAB+∠1=90∘．∵∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3．∴∠DAB+∠3=90∘．∴∠CFA=180∘−(∠DAB+∠3)=90∘．∴CF⊥AB．（2）连接OE，如图 2．∵∠ADB=90∘，∴∠CDB=180∘−∠ADB=90∘．∵在Rt△CDB中，CD=4，CB=4√5，∴DB=√CB2−CD2=8．∵∠1=∠3，∴cos∠1=cos∠3=45．∵在Rt△ABD中，cos∠1=DBAB =45，∴AB=10．∴OA=OE=5，AD=√AB2−DB2=6．∵CD=4，∴AC=AD+CD=10．∴在Rt△ACF中，CF=AC⋅cos∠3=8．∴AF=√AC2−CF2=6．∴OF=AF−OA=1．∴在Rt△OEF中，EF=√OE2−OF2=2√6．34. （1）因为ED=EC，所以∠EDC=∠C，因为∠EDC=∠B，所以∠B=∠C，所以AB=AC．（2）连接AE，因为AB为直径，所以AE⊥BC，由（1）知AB=AC，BC=√3，所以BE=CE=12因为CE⋅CB=CD⋅CA，AC=AB=4，所以√3⋅2√3=4CD，所以CD=3．235. （1）AM=3．延长MC到E，使ME=AM．∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60∘．∴∠AME=60∘．∴△AME为等边三角形．∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．又AB=AC，∴△ABM≌△ACE．∴AM=ME=3．（2）AM=√22(a+b)或√22(b−a)．。
圆周角定理及其推论随堂练习试卷
圆周角定理及其推论随堂练习试卷一、选择题（共20小题；共100分）1. 如图，AB是⊙O的直径，∠AOC=130∘，则∠D等于( )A. 25∘B. 35∘C. 50∘D. 65∘2. 如图，四边形ABCD是⊙O的接四边形，∠B=135∘，则∠AOC的度数为( )A. 45∘B. 90∘C. 100∘D. 135∘3. 如图，正三角形ABC接于⊙O，动点P在圆周的劣弧上，且不与A，B重合，则∠BPC等于( )A. 30∘B. 60∘C. 90∘D. 45∘4. 如图，四边形ABCD接于⊙O，∠BCD=120∘，则∠BAD的度数是( )A. 30∘B. 60∘C. 80∘D. 120∘5. 如图，四边形ABCD接于⊙O，E为DC延长线上一点，∠A=50º，则∠BCE的度数为( )A. 40ºB. 50ºC. 60ºD. 130º6. 小宏用直角三角板检查某些工件的弧形凹面是否是半圆，下列工件的弧形凹面一定是半圆的是( )A. B.C. D.7. 如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，CD⊥AB，如果∠DAB=65∘，那么∠AOC等于( )A. 25∘B. 30∘C. 50∘D. 65∘8. 如图．四边形ABCD接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE=120∘，那么∠B等于( )A. 130∘B. 120∘C. 80∘D. 60∘9. 如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上的两点．若BC=8，cosD=23，则AB的长为( )A. 8√133B. 163C. 24√55D. 1210. 在数学实践活动课中，小辉利用自己制作的一把“直角角尺”测量、计算一些圆的直径．如图，直角角尺中，∠AOB=90∘，将点O放在圆周上，分别确定OA，OB与圆的交点C，D，读得数据OC=8，OD=9，则此圆的直径约为( )A. 17B. 14C. 12D. 1011. 如图，△ABC接于⊙O，若∠AOB=100∘，则∠ACB的度数是( )A. 40∘B. 50∘C. 60∘D. 80∘12. 如图 1，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发沿图中某一个扇形顺时针匀速运动，设∠APB=y（单位：度），如果y与点P运动的时间x（单位：秒）的函数关系的图象大致如图 2所示，那么点P的运动路线可能为( )A. O→B→A→OB. O→A→C→OC. O→C→D→OD. O→B→D→O13. 如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20∘，那么∠AOD等于( )A. 160∘B. 150∘C. 140∘D. 120∘⏜14. 如图，A，B，C三点在已知的圆上，在△ABC中，∠ABC=70∘，∠ACB=30∘，D是BAC的中点，连接DB，DC，则∠DBC的度数为( )A. 30∘B. 45∘C. 50∘D. 70∘15. 如图，四边形ABCD接于⊙O，∠A=110∘，则∠BOD的度数是( )A. 70∘B. 110∘C. 120∘D. 140∘16. 如图，△ABC为等边三角形，点O在过点A且平行于BC的直线上运动，以△ABC的高⏜所对的圆周角的度数( )为半径的⊙O分别交线段AB，AC于点E，F，则EFA. 从0∘到30∘变化B. 从30∘到60∘变化C. 总等于30∘D. 总等于60∘⏜上一点，且DF⏜=BC⏜，连接CF并延长交AD 17. 如图，四边形ABCD接于⊙O，F是CD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105∘，∠BAC=25∘，则∠E的度数为( )A. 45∘B. 50∘C. 55∘D. 60∘18. 如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58∘，则∠BCD的度数为( )A. 32∘B. 58∘C. 64∘D. 116∘19. 如图所示，△ABC为⊙O的接三角形，AB=1，∠C=30∘，则⊙O的接正方形的面积为( )A. 2B. 4C. 8D. 1620. 如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，如果∠C＝40∘，那么∠ABD的度数为( )A. 40∘B. 90∘C. 80∘D. 50∘二、填空题（共10小题；共50分）21. 已知⊙O，如图所示．（1）求作⊙O的接正方形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若⊙O的半径为4，则它的接正方形的边长为．22. 如图，在⊙O中，∠BOC=100º，则∠A的度数是．23. 如右图，四边形ABCD接于⊙O，E是BC延长线上一点，若BAD=105∘，则∠DCE的度数是．24. 阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小芸的作法如下：①取AB=c，作AB的垂直平分线交AB于点O；②以点O为圆心，OB长为半径画圆；③以点B为圆心，a长为半径画弧，与⊙O交于点C；④连接BC，AC．则Rt△ABC即为所求．老师说："小芸的作确．"请回答：小芸的作法中判断∠ACB是直角的依据是．25. 数学课上，老师让学生用尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明的做法如图所示，你认为小明这种做法中判断∠ACB是直角的依据是．26. 阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：小敏的作法如下：老师认为小敏的作确．请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90∘，其依据是；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是．27. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，点A在优弧BC上，∠BOC=100∘，则∠A的度数为．28. 如图，弦AB的长等于⊙O的半径，那么弦AB所对的圆周角的度数是．29. 如图，已知四边形ABCD接于⊙O，点O在∠D的部，∠OAD+∠OCD=50∘，则∠B=．30. 如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位，mm），直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是( )mm．三、解答题（共5小题；共65分）⏜上一点，AE，DC的延长线交于点F．31. 如图，AB是直径，弦CD⊥AB，E是AC求证：∠AED=∠CEF．32. 已知：如图，A、B、C为⊙O上的三个点，⊙O的直径为4cm，∠ACB=45∘，求AB的长．⏜上，连接33. 如图，在△ABC中，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点D．点E在BDDE，AE，连接CE并延长交AB于点F，∠AED=∠ACF．Ⅰ求证：CF⊥AB；，求EF的长．Ⅱ若CD=4，CB=4√5，cos∠ACF=4534. 已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．Ⅰ求证：AB=AC；Ⅱ若AB=4，BC=2√3，求CD的长．35. 已知：⊙O是△ABC的外接圆，点M为⊙O上一点．Ⅰ如图，若△ABC为等边三角形，BM=1，CM=2，求AM的长；小明在解决这个问题时采用的方法是：延长MC到E，使ME=AM，从而可证△AME为等边三角形，并且△ABM≌△ACE，进而就可求出线段AM的长．请你借鉴小明的方法写出AM的长，并写出推理过程．Ⅱ若△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90∘，BM=a，CM=b（其中b>a），直接写出AM的长（用含有a，b的代数式表示）．圆周角定理及其推论随堂练习试卷答案第一部分1. A2. B3. B4. B5. B6. A7. C8. B9. D 10. C11. B 12. C 13. C 14. C 15. D16. C 17. B 18. A 19. A 20. D第二部分21. （1）如图：（2）4√222. 50∘23. 105∘24. 直径所对的圆周角是直角．25. 直径所对的圆周角是直角26. 直径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线27. 50∘28. 30∘或150∘29. 130∘30. 50第三部分31. 连接AD．⏜=AC⏜，因为AD所以∠AED=∠ADC，因为∠CEF+∠AEC=∠ADC+∠AEC=180∘，所以∠ADC=∠CEF．所以∠AED=∠CEF．32. 连接OA、OB．∵∠ACB=45∘，∴∠AOB=2∠ACB=90∘ .又OA=OB .∴△AOB是等腰直角三角形.∴AB2=OA2+OB2=22+22=8 .∴AB=2√2 .答：AB的长为2√2cm．33. （1）连接BD，如图 1.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90∘．∴∠DAB+∠1=90∘．∵∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3．∴∠DAB+∠3=90∘．∴∠CFA=180∘−(∠DAB+∠3)=90∘．∴CF⊥AB．（2）连接OE，如图 2．∵∠ADB=90∘，∴∠CDB=180∘−∠ADB=90∘．∵在Rt△CDB中，CD=4，CB=4√5，∴DB=√CB2−CD2=8．∵∠1=∠3，∴cos∠1=cos∠3=45．∵在Rt△ABD中，cos∠1=DBAB =45，∴AB=10．∴OA=OE=5，AD=√AB2−DB2=6．∵CD=4，∴AC=AD+CD=10．∴在Rt△ACF中，CF=AC⋅cos∠3=8．∴AF=√AC2−CF2=6．∴OF=AF−OA=1．∴在Rt△OEF中，EF=√OE2−OF2=2√6．34. （1）因为ED=EC，所以∠EDC=∠C，因为∠EDC=∠B，所以∠B=∠C，所以AB=AC．（2）连接AE，因为AB为直径，所以AE⊥BC，由（1）知AB=AC，所以BE=CE=12BC=√3，因为CE⋅CB=CD⋅CA，AC=AB=4，所以√3⋅2√3=4CD，所以CD=32．35. （1）AM=3．延长MC到E，使ME=AM．∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60∘．∴∠AME=60∘．∴△AME为等边三角形．∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．又AB=AC，∴△ABM≌△ACE．∴AM=ME=3．（2）AM=√22(a+b)或√22(b−a)．。
2019年秋九年级数学上册 第3章 3.5 圆周角 第2课时 圆周角定理的推论2同步练习
第3章 圆的基本性质3.5 圆周角第2课时 圆周角定理的推论2知识点 圆周角定理的推论2 1．下列命题是假命题的是( ) A ．同弧或等弧所对的圆周角相等 B ．相等的圆心角所对的弧相等 C ．圆的两条平行弦所夹的弧相等D ．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等2．如图3－5－17，已知AB ，CD 是⊙O 的两条直径，∠ABC ＝30°，则∠ADC 的度数为( ) A ．45° B ．60° C ．90° D ．30°3－5－173－5－183．如图3－5－18，已知AB 是⊙O 的直径，∠D ＝40°，则∠CAB 的度数为( ) A ．20° B ．40° C ．50° D ．70°4．如图3－5－19，在⊙O 中，AB ︵＝BC ︵，点D 在⊙O 上，∠CDB ＝25°，则∠AOB 的度数是( ) A ．45° B ．50° C ．55° D ．60°3－5－193－5－205．2017·台州月考如图3－5－20，在⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，若∠A ＝30°，∠APD ＝70°，则∠B 等于( )A ．30°B ．35°C ．40°D ．50°6．如图3－5－21，弦AB ，CD 相交于点O ，连结AD ，BC ，在不添加任何辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角：______________．3－5－213－5－227．如图3－5－22，在⊙O 中，直径AB 交CD 于点E ，CE ＝DE ，∠C ＝68°，则∠D ＝________°. 8．如图3－5－23，在△ABE 中，AB ＝AE ，以AB 为直径的半圆O 分别交AE ，BE 于点C ，D .求证：CD ︵＝BD ︵.图3－5－239．2017·济南如图3－5－24，AB是⊙O的直径，∠ACD＝25°，求∠BAD的度数．图3－5－2410．2017·嘉兴十校联合模拟如图3－5－25，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，若∠BAD＝48°，则∠DCA的大小为( )A．48° B．42° C．45° D．24°3－5－25图3－5－2611．如图3－5－26，点A ，B ，C ，D 都在⊙O 上，CD ︵的度数为84°，则∠ABD ＋∠CAO ＝________°. 12．如图3－5－27，四边形ABCD 的四个顶点均在⊙O 上，点E 在对角线AC 上，EC ＝BC ＝DC . (1)若∠CBD ＝39°，求∠BAD 的度数； (2)求证：∠1＝∠2.图3－5－2713．课本例3变式如图3－5－28，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ 进攻．当他带球冲到A 点时，同伴乙已经助攻冲到B 点．有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．仅从射门角度考虑，选择哪种射门方式较好？为什么？图3－5－2814．如图3－5－29，已知BC 是⊙O 的一条弦，A 是⊙O 的优弧BAC 上的一个动点(点A 与点B ，C 不重合)，∠BAC 的平分线AP 交⊙O 于点P ，∠ABC 的平分线BE 交AP 于点E ，连结BP .(1)求证：P 为BC ︵的中点；(2)PE 的长度是否会随点A 的运动而变化？请说明理由．图3－5－2915．创新学习如图3－5－30，⊙O 的半径为1，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点，∠APC ＝∠CPB ＝60°. (1)判断△ABC 的形状：____________；(2)试探究线段PA ，PB ，PC 之间的数量关系，并证明你的结论；(3)当点P 位于AB ︵的什么位置时，四边形APBC 的面积最大？并求出最大面积．图3－5－30详解详析1．B2．D [解析] ∵∠D 与∠B 所对的弧相同， ∴∠D ＝∠B ＝30°.3．C [解析] ∵∠D ＝40°，∴∠B ＝∠D ＝40°.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＝90°－40°＝50°.4．B [解析] 在同一个圆中，等弧所对的圆心角是圆周角的2倍，故选B. 5．C [解析] ∵∠APD 是△APC 的外角， ∴∠APD ＝∠C ＋∠A . ∵∠A ＝30°，∠APD ＝70°， ∴∠C ＝∠APD －∠A ＝40°， ∴∠B ＝∠C ＝40°. 故选C.6．答案不唯一，如∠A ＝∠C 7．228．证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°， 即AD ⊥BE .又∵AB ＝AE ，∴∠BAD ＝∠CAD ， ∴CD ︵＝BD ︵.9．解：∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°.∵∠ACD ＝25°，∴∠B ＝25°， ∴∠BAD ＝90°－∠B ＝65°.10．B [解析] 连结BD，如图所示．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°－∠BAD＝42°，∴∠DCA＝∠ABD＝42°.故选B.11．48 [解析] 在等腰三角形OAC和等腰三角形OCD中，根据等腰三角形的两个底角相等的性质求得∠OCA＝∠OAC，∠OCD＝∠ODC，所以由三角形的内角和定理求得∠OCD＝48°；由圆周角定理的推论得∠ABD＝∠ACD，进而求得∠ABD＋∠CAO＝∠ACD＋∠OCA＝∠OCD＝48°.12．(1)∵BC＝DC，∴∠CBD＝∠CDB＝39°.∵∠BAC＝∠CDB＝39°，∠CAD＝∠CBD＝39°，∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝39°＋39°＝78°.(2)证明：∵EC＝BC，∴∠CEB＝∠CBE，而∠CEB＝∠2＋∠BAE，∠CBE＝∠1＋∠CBD，∴∠2＋∠BAE＝∠1＋∠CBD.∵∠BAE＝∠CBD，∴∠1＝∠2.13．解：选择第二种射门方式较好．理由：设AP与圆的交点是C，连结CQ，则∠PCQ＞∠A.由圆周角定理知∠PCQ＝∠B，所以∠B ＞∠A ，所以选择第二种射门方式较好．14：(1)证明：∵AP 平分∠BAC ， ∴∠BAP ＝∠CAP ，∴BP ︵＝CP ︵，即P 为BC ︵的中点．(2)PE 的长度不会随点A 的运动而变化． 理由：∵∠BAP ＝∠CAP ，∠CAP ＝∠CBP ， ∴∠BAP ＝∠CBP . ∵BE 平分∠ABC ， ∴∠ABE ＝∠CBE ，∴∠ABE ＋∠BAE ＝∠CBE ＋∠CBP ， ∴∠BEP ＝∠EBP ， ∴PE ＝PB .∵P 为BC ︵的中点，即PB 为定长，∴PE 的长度为定值，即PE 的长度不会随点A 的运动而变化． 15．解：(1)等边三角形 (2)PA ＋PB ＝PC .证明：如图①，在PC 上截取PD ＝PA ，连结AD .∵∠APC ＝60°， ∴△PAD 是等边三角形， ∴PA ＝AD, ∠PAD ＝60°.又∵∠BAC ＝60°，∴∠PAB ＝∠DAC . 又∵AB ＝AC ，∴△PAB ≌△DAC ，∴PB ＝DC . ∵PD ＋DC ＝PC ，∴PA ＋PB ＝PC .(3)当点P 为AB ︵的中点时，四边形APBC 的面积最大．如图②，过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ，过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F . ∵S △PAB ＝12AB ·PE, S △ABC ＝12AB ·CF ，∴S 四边形APBC ＝S △PAB ＋S △ABC ＝12AB (PE ＋CF ).当点P 为AB ︵的中点时，PE ＋CF ＝PC ，PC 为⊙O 的直径， 此时四边形APBC 的面积最大． ∵⊙O 的半径为1，精 品 试 卷推荐下载 ∴其内接正三角形的边长AB ＝3，∴S 四边形APBC ＝12×2×3＝ 3.。
初三圆周角定理及其推论练习题
初三圆周角定理及其推论练习题圆周角定理是初中数学中的一个重要概念，它帮助我们理解和计算圆内的角度。
本文将介绍圆周角定理及其推论，并提供一些相关的练习题供读者加深理解和巩固知识。
一、圆周角定理圆周角定理是指：圆心角的度数等于其所对的弧的度数的两倍。
记作：∠AOB = 2∠ACB。
在一个圆中，以圆心为顶点的角叫做圆心角，以圆弧为底的角叫做弦对的圆周角。
图1: 圆心角和弦对的圆周角示意图根据圆周角定理，可以得出以下推论：推论1：在同一个圆上，圆心角相等的弧相等；弧相等的圆心角相等。
推论2：在同一个圆上，以弦分割的圆弧所对的圆心角相等。
推论3：在同一个圆上，以弦为底的圆周角相等的弧相等；弧相等的圆周角相等。
推论4：在同一个圆上，平分相同弧的两个圆心角的弦相等。
二、练习题现在我们来做一些练习题，加深对圆周角定理及其推论的理解。
1. 图2中，∠AOB = 80°，求∠ACB的度数。
图2: 圆心角的度数求解解：根据圆周角定理可知，∠AOB = 2∠ACB，代入已知条件80°，得到2∠ACB = 80°，再将其化简得∠ACB = 40°。
2. 图3中，∠ACD = 30°，求∠AED的度数。
图3: 弦对的圆周角的度数求解解：根据圆周角定理的推论3可知，以弦分割的圆弧所对的圆心角相等，∠ACB = ∠AED。
又已知∠ACD = 30°，所以∠AED = ∠ACB = 30°。
3. 图4中，弧AB = 80°，求∠AOB的度数。
图4: 弧长求解圆心角的度数解：根据推论1可知，圆心角相等的弧相等，所以∠AOB =2∠ACB。
又已知弧AB = 80°，所以∠AOB = 2 × 80° = 160°。
4. 图5中，弧CD = 弧EF，求∠CED的度数。
图5: 弧长相等的圆心角的度数求解解：根据推论3可知，以弦为底的圆周角相等的弧相等，所以弧CD = 弧EF。
【人教版】数学九年级全一册圆周角——圆周角定理及其推论随堂练习(课件版)
证明：∵DF＝BE，∴D⌒F ＝B⌒E .
∵AB，CD 是⊙O 的直径，∴B⌒E ＋E⌒A ＝D⌒F ＋F⌒C .
∴E⌒A ＝F⌒C .∴∠B＝∠D.
11.如图，⊙O 中，半径 OC⊥弦 AB 于点 D，点 E 在 ⊙O 上，∠E＝22.5°，AB＝4，求圆的半径．
解：∵OC⊥AB，∴A⌒C ＝B⌒C .
三级检测
6.下列说法正确的是( B )
A.相等的圆周角所对的弧相等 B.在同圆中，等弧所对的圆周角相等 C.相等的弦所对的弧相等 D.相等的弦所对的圆周角相等
7.如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 为圆上两点，
∠AOC＝130°，则∠D 等于( A )
A.25° B.30° C.35° D.50°
第二十四章 圆
第5课 圆周角(1)——圆周角定理及其推论
新课学习
1．(1)顶点在__圆__上____，并且两边都与圆__相__交___的 角叫做圆周角．如图所示，__A__O_B_____是圆心角， __∠__A_C__B___是圆周角；
(2)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的
圆__心__角__的一半； (3)圆周角定理的推论：_同__弧___或_等__弧___所对的圆周 角_相__等___；半圆(或直径)所对的圆周角是_直__角___；90° 的圆周角所对的弦是_直__径___．
圆周角的定义 【例 1】下列各圆中，是圆周角的是( C )
2.如图，在图中标出的 4 个角中，圆周角有( B )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
二次函＝_7_0_°_；(2)∠A＝_8__0_°；(3)∠A＝__9_0_°．
3.如图，点 C 在⊙O 上，若∠ACB＝35°，
九年级数学圆弧、弦、圆心角间的关系圆周角定理及其推论精选例题和练习资料
圆周角定理及其推论一、知识点总结1．圆心角：顶点在圆心的角．注意：圆心角的底数等于它所对弧的度数．2．在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距中，只要有一组量相等，那么另外三组量也分别相等考点一：圆心角，弧，弦的位置关系二、弧、弦、圆心角、弦心距间的关系举例例1 如图，AB 为⊙O 的弦，点C 、D 为弦AB 上两点，且OC=OD ，延长OC 、OD 分别交⊙O 于点E 、F ，试证明弧AE=弧BF ． 分析：“弧AE=弧BF”←“∠______=∠______” 把证弧相等转化为证________________． 证明：例2 如图，点O 是∠BPD 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于点A 、B 和C 、D ．求证：AB=CD ． 分析：把证明弦相等转化为证明_弦心距_相等．例3如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ，连接AC 、 OC 、BC ．(1)求证：∠ACO=∠BCD ．(2)若EB=8cm ，CD=24cm ，求⊙O 的直径． 分析： (1)∠ACO=∠______， 而∠______=∠______． (2)在Rt ⊿______中，利用勾股定理列方程求例4 已知，如图，在⊿ABC 中，AD ，BD 分别平分∠BAC 和∠ABC ，延长AD 交⊿ABC 的外接圆于E ，连接BE ．求证：BE=DE ． 分析：把证BE=DE 转化为证∠____=∠____．1.如图1，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（）2.如图2，BE是半径为6的圆D的14圆周，C点是BE上的任意一点，△ABD 是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是（）2、已知AB^、CD^是同圆的两段弧，且AB^=2CD^，则弦AB与2CD之间的关系为（）A、AB=2CDB、AB＜2CDC、AB＞2CDD、不能确定4、下列语句中正确的是（）A、相等的圆心角所对的弧相等B、平分弦的直径垂直于弦C、长度相等的两条弧是等弧D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴5、在一扇形统计图中，有一扇形的圆心角为60°，则此扇形占整个圆的（）6、有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的弧相等；④圆中90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（）7、如图3，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出下列五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧AE是劣孤DE的2倍；⑤AE=BC．其中正确结论的序号是（）图1图2图38.如图所示，⊙O半径为2，弦，A为弧BD的中点，E为弦AC的中点，且在BD上，则四边形ABCD的面积为9.如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD．（1）P是CAD^上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD=∠COB；（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．3．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半．1.如图1，∠A 是⊙O 的圆周角，且∠A ＝35°,则∠OBC=_____.2.如图2，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB= ．3：如图3，AB 是⊙O 的直径，点C D E ，，都在⊙O 上，若C D E ==∠∠∠，则A B +=∠∠ º．4：如图4，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，40EOD ∠=，则DC F ∠= ．图2 图14．圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．注：有直径时，常添加辅助线，构造直径所对的圆周角，由此转化为直角三角形的问题．考点2：圆周角定理1、如图，△ABC 中，∠A=60°，BC 为定长，以BC 为直径的⊙O 分别交AB ，AC 于点D ，E ．连接DE ，已知DE=EC ．下列结论：①BC=2DE ；②BD+CE=2DE ．其中一定正确的有（ ）2.一个圆形人工湖如图所示，弦AB 是湖上的一座桥，已知桥AB 长100m ，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD 为（ ）3.如图AB 是⊙O 的直径， AC^所对的圆心角为60°， BE^所对的圆心角为20°，且∠AFC=∠BFD ，∠AGD=∠BGE ，则∠FDG 的度数为（ ）4. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 两点在⊙O 上，若∠C=40°，则∠ABD 的度数为（ ）1题图 2题 3题4题5：已知：如图，AD•是⊙O•的直径，∠ABC=•30•°，则∠CAD=_______．CO AB C 图3 A B EF C DG O 图46：已知⊙O 中，30C ∠=，2cm AB =，则⊙O 的半径为cm ．7.已知：如图等边ABC △内接于⊙O ，点P 是劣弧BC ⋂上的一点（端点除外），延长BP 至D ，使BD AP =，连结CD ．（1）若AP 过圆心O ，如图①，请你判断PDC △是什么三角形？并说明理由． （2）若AP 不过圆心O ，如图②，PDC △又是什么三角形？为什么？8.如图AB 是圆O 的直径，C是圆O 上的一点，若AC=8㎝，AB=10㎝，OD ⊥BC 于点D ，求BD 的长9.如图，在⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点P ，∠CAB=40°，∠APD=65°． （1）求∠B 的大小；（2）已知圆心0到BD 的距离为3，求AD 的长．D 图① 图②10.11.如图，AB、CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，已知AD=BD=4，PC=6，那么CD的长是12.如图，已知点C、D在以O为圆心，AB为直径的半圆上，且OC⊥BD 于点M，CF⊥AB于点F交BD于点E，BD=8，CM=2．（1）求⊙O的半径；（2）求证：CE=BE．13.5.圆内接多边形：一个多边形的顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆6.圆内接四边形：圆内接四边形的对角互补如图所示，A、B、C三点在圆O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（）A. 140°B. 110°C. 120°D. 130°7.确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图5所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块B．第②块 C．第③块D．第④块Array8.三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．这个三角形叫做圆的内接三角形。
初中数学：圆周角定理的推论练习题
初中数学：圆周角定理的推论练习题一、选择题1．如图K－23－1所示，AB是⊙O的直径，弦DC与AB相交于点E，若∠ACD＝50°，则∠DAB的度数是( )图K－23－1A．30° B．40°C．50° D．60°2.如图K－23－2，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，则∠DAC的度数为( )图K－23－2A．130° B．100° C．65° D．50°3．下列命题中，正确的有( )①90°的圆周角所对的弦是直径；②若圆周角相等，则它们所对的弧也相等；③同圆中，相等的圆周角所对的弦也相等．A．0个 B．1个C．2个 D．3个4．如图K－23－3，▱ABCD的顶点A，B，D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，∠E＝36°，则∠ADC的度数是( )图K－23－3A．44° B．54°C．72° D．53°5．如图K－23－4，点D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则cos ∠OBD＝( )图K－23－4A.12B.34C.45D.356．如图K－23－5，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为( )图K－23－5A．6 B．8 C．5 2 D．5 3二、填空题7．如图K－23－6，已知⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F，若∠E＋∠F＝70°，则∠A的度数是________．图K－23－68．如图K－23－7，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连接OD交BE于点M，若BE＝8且MD＝2，则直径AB为________．图K－23－79．如图K－23－8，⊙O的半径为1，等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上，点D，E也在⊙O上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是________．图K－23－8三、解答题10．如图K－23－9，已知在半圆AOB中，AD＝DC，∠CAB＝30°，AC＝2 3，求AD的长．图K－23－911．已知在⊙O的内接四边形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC.试判断四边形ABCD的形状，并加以证明.12．如图K－23－10，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝40°，∠APD＝66°.(1)求∠B的度数；(2)已知圆心O到BD的距离为4，求AD的长．图K－23－1013．已知：如图K－23－11所示，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O 于点E，∠BAC＝45°.(1)求∠EBC的度数；(2)求证：BD＝CD.图K－23－1114．如图K－23－12，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC为⊙O的直径，DB＝DC，延长BA，CD相交于点E.(1)求证：∠EAD＝∠CAD；(2)若AC＝10，sin∠BAC＝35，求AD的长．图K－23－12图形变换题已知：如图K －23－13，AB 是⊙O 的一条弦，C 为AB ︵的中点，CD 是⊙O 的直径，过点C 的直线l 交AB 所在直线于点E ，交⊙O 于点F .(1)猜想图①中∠CEB 与∠FDC 的数量关系，并证明你的结论；(2)将直线l 绕点C 旋转(与CD 不重合)，在旋转过程中，点E ，F 的位置也随之变化，请在下面的两个备用图中分别画出直线l 在不同位置时，使(1)中的结论仍然成立的图形，标上相应字母，并选其中一个图形给予证明．图K －23－13详解详析【课时作业】[课堂达标]1．[解析] B ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.又∵∠B＝∠C＝50°，∴∠DAB＝180°－∠ADB－∠B＝40°.故选B.2．[解析] C ∵∠CBE＝50°，∴∠ABC＝180°－∠CBE＝180°－50°＝130°.∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠D＝180°－∠ABC＝180°－130°＝50°.又∵DA＝DC，∴∠DAC＝180°－∠D2＝65°.故选C.3．[答案] C4．[解析] B ∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE＝90°.又∵∠E＝36°，∴∠B＝54°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠B＝54°.5．[解析] C 连接CD，如图所示，∵D(0，3)，C(4，0)，∴OD＝3，OC＝4.∵∠COD＝90°，∴CD＝32＋42＝5.∵∠OBD＝∠OCD，∴cos∠OBD＝cos∠OCD＝OCCD＝45.故选C.6．[解析] B 如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，则∠AOB＋∠BOE＝180°.又∵∠AOB＋∠COD＝180°，∴∠BOE＝∠COD，∴BE＝CD＝6.∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴AB＝AE2－BE2＝102－62＝8.故选B.7．[答案] 55°[解析] ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠BCD＝∠BCF＋∠BCD＝180°，∴∠A＝∠BCF.∵∠EBF＝∠A＋∠E，而∠EBF＝180°－∠BCF－∠F，∴∠A＋∠E＝180°－∠BCF－∠F，∴∠A＋∠E＝180－∠A－∠F，即2∠A＝180°－(∠E＋∠F)＝110°，∴∠A＝55°.8．[答案] 10[解析] 连接AD，设AB＝x.∵以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，∴∠AEB ＝∠ADB＝90°，即AE⊥BE，AD⊥BC.∵AB＝AC，∴BD＝CD.∵OA＝OB，∴OD∥AC，∴OD⊥BE，∴BM＝EM，∴CE＝2MD＝4，∴AE＝AC－CE＝x－4.∵在Rt△ABE中，BE＝8，∠AEB＝90°，∴x2＝(x－4)2＋82，解得x＝10，即直径AB为10.故答案为10.9．[答案] 3[解析] 连接BD，OC，如图．∵四边形BCDE为矩形，∴∠BCD＝90°，∴BD为⊙O的直径，∴BD＝2.∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠BOC ＝2∠A ＝120°. 又OB ＝OC ，∴∠CBD ＝30°.在Rt △BCD 中，CD ＝12BD ＝1，BC ＝3CD ＝3，∴矩形BCDE 的面积＝BC ·CD ＝ 3. 10．解：∵AB 是半圆的直径， ∴∠ACB ＝90°.∵∠CAB ＝30°，∴∠ABC ＝60°.∵AD ＝DC ，且BC ︵所对的圆心角为30°×2＝60°，∴AD ︵，DC ︵，CB ︵所对的圆心角均为60°， ∴BC ＝AD .在Rt △ABC 中，∵∠CAB ＝30°，AC ＝2 3， ∴BC ＝2 3×tan30°＝2，∴AD ＝2.11．[解析] 因为AD ＝BC ，AD ∥BC ，所以四边形ABCD 是平行四边形．再根据圆内接四边形的性质可得出∠B ＝∠D ＝90°，因此，四边形ABCD 是矩形．解：四边形ABCD 为矩形． 证明：如图，∵AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴∠B ＝∠D .∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠B ＋∠D ＝180°，∴∠B ＝∠D ＝90°， ∴四边形ABCD 是矩形．12．解：(1)∵∠CAB ＝∠CDB (同弧所对的圆周角相等)，∠CAB ＝40°，∴∠CDB ＝40°. 又∵∠APD ＝66°，∴∠B ＝∠APD －∠CDB ＝26°.(2)过点O作OE⊥BD于点E，则OE＝4，BE＝DE.又∵O是AB的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴AD＝2OE＝8.13．解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°.又∵∠BAC＝45°，∴∠ABE＝45°.∵∠BAC＝45°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝67.5°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝22.5°.(2)证明：如图所示，连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.又∵AB＝AC，∴BD＝CD.14．解：(1)证明：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠BCD＋∠BAD＝∠EAD＋∠BAD ＝180°，∴∠EAD＝∠BCD.∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠BCD，∴∠EAD＝∠DBC.又∵∠DBC＝∠CAD，∴∠EAD＝∠CAD.(2)∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝∠ADC＝90°.∵AC＝10，sin∠BAC＝35，∴BCAC＝35，∴BC＝6，∴AB＝8.∵∠EAD＝∠CAD，∠ADC＝∠ADE＝90°，∴∠E＝∠ACE，∴AE＝AC＝10，ED＝CD.11 ∵∠ADE ＝∠EBC ，∠E ＝∠E ，∴△EAD ∽△ECB ，∴AD BC ＝AE CE ＝ED BE ，即AD 6＝102ED ＝ED 18， 得ED ＝3 10，∴AD ＝10.[素养提升][解析] (1)根据垂径定理的推论得到CD ⊥AB ，根据圆周角定理的推论得到∠CFD ＝90°，然后通过等量代换求证出∠CEB ＝∠FDC ；(2)根据垂径定理得到CD ⊥AB ，∠CFD ＝90°，然后通过等量代换求证出∠CEB ＝∠FDC .解：(1)∠CEB ＝∠FDC .证明：∵CD 是⊙O 的直径，C 为AB ︵的中点，∴CD ⊥AB ，∴∠CEB ＋∠ECD ＝90°.∵CD 是⊙O 的直径，∴∠CFD ＝90°，∴∠FDC ＋∠ECD ＝90°，∴∠CEB ＝∠FDC .(2)所画图形不唯一，如图①②.选图②进行证明：如图②，∵CD 是⊙O 的直径，C 为AB ︵的中点，∴CD ⊥AB ，∴∠CEB ＋∠ECD ＝90°.∵CD 是⊙O 的直径，∴∠CFD ＝90°，∴∠FDC ＋∠ECD ＝90°，∴∠CEB ＝∠FDC.。
湘教版九年级数学下册《2.2.2.2圆周角定理的推论》同步练习(含答案解析)
第2课时 圆周角定理的推论2及圆内接四边形的性质知识点1 圆周角定理的推论21．如图2－2－32，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A＝30°，则∠B的度数为( )图2－2－32A．15°B．30°C．45°D．60°2．如图2－2－33，小华同学设计了一个测圆的直径的测量器，将标有刻度的尺子OA，OB在点O处钉在一起，并使它们保持垂直，在测圆的直径时，把点O靠在圆周上，读得刻度OE＝8 cm，OF＝6 cm，则圆的直径为( )图2－2－33A．12 cm B．10 cm C．14 cm D．15 cm3．2017·福建如图2－2－34，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的是( )图2－2－34A．∠ADC B．∠ABDC．∠BAC D．∠BAD4．如图2－2－35，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD＝25°，∠BAD的度数为________．图2－2－355．如图2－2－36，⊙O的直径AB＝10 m，C为直径AB下方半圆上一点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD，BD.判断△ABD的形状，并说明理由．图2－2－36知识点2 圆内接四边形的概念及其性质6．在圆内接四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶5，则∠D的度数为( )A．60°B．120°C．140°D．150°7．2018·济宁如图2－2－37，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是( )图2－2－37A．50°B．60°C．80°D．100°8．教材练习第3题变式如图2－2－38，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，若∠B＝96°，则∠ADE的度数为________．图2－2－389．2017·西宁如图2－2－39，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上，若∠BOD＝120°，则∠DCE＝________°.图2－2－3910．如图2－2－40，A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，且BC＝BE.求证：△ADE是等腰三角形．图2－2－40311．2018·武威如图2－2－41，⊙A过点O(0，0)，C(，0)，D(0，1)，B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是( )图2－2－41A．15°B．30°C．45°D．60°12．2017·株洲如图2－2－42，已知AM为⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB＝AC，∠BAM＝∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D，E，∠BMD＝40°，则∠EOM＝________°.图2－2－422313．2016·西宁⊙O的半径为1，弦AB＝，弦AC＝，则∠BAC的度数为________．14．如图2－2－43，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O交于点E，连接AC，CE.(1)求证：∠B＝∠D；(2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．图2－2－4315．如图2－2－44，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E.(1)求证：BE＝CE；(2)若BD＝2，BE＝3，求AC的长．图2－2－4416．如图2－2－45，已知⊙O中，弦AB⊥AC，且AB＝AC＝6，点D在⊙O上，连接AD，BD，CD.(1)如图①，若AD经过圆心O，求BD，CD的长；(2)如图②，若∠BAD＝2∠DAC，求BD，CD的长．图2－2－45教师详解详析1．D 2.B3．D [解析]∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BAD ＋∠ABD ＝90°.∵∠ACD ＝∠ABD ，∴∠BAD ＋∠ACD ＝90°，故选D.4．65° [解析] ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD ＝25°，∴∠B ＝25°.∴∠BAD ＝90°－∠B ＝65°.5．解：△ABD 是等腰直角三角形．理由：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∵CD 是∠ACB 的平分线，∴＝，∴AD ＝BD ，∴△ABD 是等腰直角三角形．AD ︵ BD ︵ 6．B7．D [解析] 如图所示．在优弧BD 上任取一点A (不与点B ，D 重合)，连接AB ，AD .因为四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，所以∠A ＋∠BCD ＝180°.因为∠BCD ＝130°，所以∠A ＝50°.因为∠A 与∠BOD 都对着劣弧BD ，所以∠BOD ＝2∠A ＝2×50°＝100°.8．96°9．60 [解析]∵∠BOD ＝120°，∴∠A ＝∠BOD ＝60°.∵四边形ABCD 是圆内接四边形，12∴∠DCE ＝∠A ＝60°.10．证明：∵BC ＝BE ，∴∠E ＝∠BCE .∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠A ＋∠DCB ＝180°.又∵∠BCE ＋∠DCB ＝180°，∴∠A ＝∠BCE ，∴∠A ＝∠E ，∴AD ＝DE ，∴△ADE 是等腰三角形．11．B [解析] 连接CD ，则CD 为⊙A 的直径，可得∠OBD ＝∠OCD ，根据点D (0，1)，C (，0)，得3OD ＝1，OC ＝，由勾股定理得出CD ＝2，∵OD ＝CD ，∴∠OCD ＝30°，∴∠OBD ＝30°.故选B.31212．80 [解析] 连接EM ，∵AB ＝AC ，∠BAM ＝∠CAM ，∴AM ⊥BC .∵AM 为⊙O 的直径，∴∠ADM ＝∠AEM ＝90°，∴∠AME ＝∠AMD ＝90°－∠BMD ＝50°，∴∠EAM ＝40°，∴∠EOM ＝2∠EAM ＝80°.13．15°或75° [解析] 作直径AD ，AD ＝2.如图①，若两条弦在AD 的同侧，分别连接BD ，CD ，则∠B ＝∠C ＝90°.∵AB ＝，AC ＝，∴cos ∠BAD ＝＝，cos ∠CAD ＝＝，∴∠BAD ＝45°，23AB AD 22AC AD 32∠CAD ＝30°，∴∠BAC ＝45°－30°＝15°.如图②，若两条弦在AD 的两侧，分别连接BD ，CD ，则∠B ＝∠C ＝90°.∵AB ＝，AC ＝，∴cos ∠BAD ＝，2322cos ∠CAD ＝，∴∠BAD ＝45°，∠CAD ＝30°，32∴∠BAC ＝45°＋30°＝75°.故答案为15°或75°.14．解：(1)证明：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴AC ⊥BC .又∵DC ＝BC ，∴AD ＝AB ，∴∠B ＝∠D .(2)设BC ＝x ，则AC ＝x －2.在Rt △ABC 中，AC 2＋BC 2＝AB 2，即(x －2)2＋x 2＝42，解得x 1＝1＋，x 2＝1－(舍去)．77∵∠B ＝∠E ，∠B ＝∠D ，∴∠D ＝∠E ，∴DC ＝CE .又∵DC ＝BC ，∴CE ＝BC ＝1＋.715．解：(1)证明：如图，连接AE .∵AC 为⊙O 的直径，∴∠AEC ＝90°，∴AE ⊥BC .又∵AB ＝AC ，∴BE ＝CE .(2)如图，连接DE ，∵BE ＝CE ＝3，∴BC ＝6.易知∠BED ＝∠BAC ，而∠DBE ＝∠CBA ，∴△BED ∽△BAC ，∴＝，即＝，BE BA BD BC 3BA 26∴AB ＝9，∴AC ＝AB ＝9.16．解：(1)∵AD 经过圆心O ，∴∠ACD ＝∠ABD ＝90°.∵AB ⊥AC ，且AB ＝AC ＝6，∴四边形ABDC 为正方形，∴BD ＝CD ＝AB ＝AC ＝6.(2)连接BC ，OD ，过点O 作OE ⊥BD .∵AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝6，∴BC 为⊙O 的直径，∴BC ＝6 ，∴BO ＝CO ＝DO ＝BC ＝3 .2122∵∠BAD ＝2∠DAC ，∴∠DAC ＝30°，∠BAD ＝60°，∴∠COD ＝60°，∠BOD ＝120°，∴△COD 为等边三角形，∠BOE ＝60°，∴CD ＝CO ＝DO ＝BO ＝3 ，则BE ＝，2 3 62∵OE ⊥BD ，∴BD ＝2BE ＝3 .6。
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圆周角定理及其推论随堂练习试卷一、选择题（共20小题；共100分）1. 如图，AB是⊙O的直径，∠AOC=130∘，则∠D等于 ( )A. 25∘B. 35∘C. 50∘D. 65∘2. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=135∘，则∠AOC的度数为( )A. 45∘B. 90∘C. 100∘D. 135∘3. 如图，正三角形ABC内接于⊙O，动点P在圆周的劣弧上，且不与A，B重合，则∠BPC等于( )A. 30∘B. 60∘C. 90∘D. 45∘4. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=120∘，则∠BAD的度数是( )A. 30∘B. 60∘C. 80∘D. 120∘5. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点，∠A=50º，则∠BCE的度数为( )A. 40ºB. 50ºC. 60ºD. 130º6. 小宏用直角三角板检查某些工件的弧形凹面是否是半圆，下列工件的弧形凹面一定是半圆的是( )A. B.C. D.7. 如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，CD⊥AB，如果∠DAB=65∘，那么∠AOC等于( )A. 25∘B. 30∘C. 50∘D. 65∘8. 如图．四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE=120∘，那么∠B等于 ( )A. 130∘B. 120∘C. 80∘D. 60∘9. 如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上的两点．若BC=8，cosD=23，则AB的长为( )A. 8√133B. 163C. 24√55D. 1210. 在数学实践活动课中，小辉利用自己制作的一把“直角角尺”测量、计算一些圆的直径．如图，直角角尺中，∠AOB=90∘，将点O放在圆周上，分别确定OA，OB与圆的交点C，D，读得数据OC=8，OD=9，则此圆的直径约为( )A. 17B. 14C. 12D. 1011. 如图，△ABC内接于⊙O，若∠AOB=100∘，则∠ACB的度数是( )A. 40∘B. 50∘C. 60∘D. 80∘12. 如图1，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发沿图中某一个扇形顺时针匀速运动，设∠APB=y（单位：度），如果y与点P运动的时间x（单位：秒）的函数关系的图象大致如图 2所示，那么点P的运动路线可能为( )A. O→B→A→OB. O→A→C→OC. O→C→D→OD. O→B→D→O13. 如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20∘，那么∠AOD等于( )A. 160∘B. 150∘C. 140∘D. 120∘⏜的中14. 如图，A，B，C三点在已知的圆上，在△ABC中，∠ABC=70∘，∠ACB=30∘，D是BAC点，连接DB，DC，则∠DBC的度数为( )A. 30∘B. 45∘C. 50∘D. 70∘15. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=110∘，则∠BOD的度数是( )A. 70∘B. 110∘C. 120∘D. 140∘16. 如图，△ABC为等边三角形，点O在过点A且平行于BC的直线上运动，以△ABC的高为半径⏜所对的圆周角的度数( )的⊙O分别交线段AB，AC于点E，F，则EFA. 从0∘到30∘变化B. 从30∘到60∘变化C. 总等于30∘D. 总等于60∘⏜上一点，且DF⏜=BC⏜，连接CF并延长交AD的延长17. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是CD线于点E，连接AC．若∠ABC=105∘，∠BAC=25∘，则∠E的度数为( )A. 45∘B. 50∘C. 55∘D. 60∘18. 如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58∘，则∠BCD的度数为( )A. 32∘B. 58∘C. 64∘D. 116∘19. 如图所示，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30∘，则⊙O的内接正方形的面积为( )A. 2B. 4C. 8D. 1620. 如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，如果∠C＝40∘，那么∠ABD的度数为( )A. 40∘B. 90∘C. 80∘D. 50∘二、填空题（共10小题；共50分）21. 已知⊙O，如图所示．（1）求作⊙O的内接正方形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若⊙O的半径为4，则它的内接正方形的边长为．22. 如图，在⊙O中，∠BOC=100º，则∠A的度数是．23. 如右图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若BAD=105∘，则∠DCE的度数是．24. 阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小芸的作法如下：①取AB=c，作AB的垂直平分线交AB于点O；②以点O为圆心，OB长为半径画圆；③以点B为圆心，a长为半径画弧，与⊙O交于点C；④连接BC，AC．则Rt△ABC即为所求．老师说："小芸的作法正确．"请回答：小芸的作法中判断∠ACB是直角的依据是．25. 数学课上，老师让学生用尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明的做法如图所示，你认为小明这种做法中判断∠ACB是直角的依据是．26. 阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：小敏的作法如下：老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90∘，其依据是；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是．27. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，点A在优弧BC上，∠BOC=100∘，则∠A的度数为．28. 如图，弦AB的长等于⊙O的半径，那么弦AB所对的圆周角的度数是．29. 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，点O在∠D的内部，∠OAD+∠OCD=50∘，则∠B=．30. 如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位，mm），直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是( )mm．三、解答题（共5小题；共65分）⏜上一点，AE，DC的延长线交于点F．31. 如图，AB是直径，弦CD⊥AB，E是AC求证：∠AED=∠CEF．32. 已知：如图，A、B、C为⊙O上的三个点，⊙O的直径为4cm，∠ACB=45∘，求AB的长．⏜上，连接DE，AE，33. 如图，在△ABC中，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点D．点E在BD连接CE并延长交AB于点F，∠AED=∠ACF．Ⅰ求证：CF⊥AB；，求EF的长．Ⅱ若CD=4，CB=4√5，cos∠ACF=4534. 已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．Ⅰ求证：AB=AC；Ⅱ若AB=4，BC=2√3，求CD的长．35. 已知：⊙O是△ABC的外接圆，点M为⊙O上一点．Ⅰ如图，若△ABC为等边三角形，BM=1，CM=2，求AM的长；小明在解决这个问题时采用的方法是：延长MC到E，使ME=AM，从而可证△AME为等边三角形，并且△ABM≌△ACE，进而就可求出线段AM的长．请你借鉴小明的方法写出AM的长，并写出推理过程．Ⅱ若△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90∘，BM=a，CM=b（其中b>a），直接写出AM的长（用含有a，b的代数式表示）．圆周角定理及其推论随堂练习试卷答案第一部分1. A2. B3. B4. B5. B6. A7. C8. B9. D 10. C11. B 12. C 13. C 14. C 15. D16. C 17. B 18. A 19. A 20. D第二部分21. （1）如图：（2）4√222. 50∘23. 105∘24. 直径所对的圆周角是直角．25. 直径所对的圆周角是直角26. 直径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线27. 50∘28. 30∘或150∘29. 130∘30. 50第三部分31. 连接AD．⏜=AC⏜，因为AD所以∠AED=∠ADC，因为∠CEF+∠AEC=∠ADC+∠AEC=180∘，所以∠ADC=∠CEF．所以∠AED=∠CEF．32. 连接OA、OB．∵∠ACB=45∘，∴∠AOB=2∠ACB=90∘ .又OA=OB .∴△AOB是等腰直角三角形.∴AB2=OA2+OB2=22+22=8 .∴AB=2√2 .答：AB的长为2√2cm．33. （1）连接BD，如图 1.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90∘．∴∠DAB+∠1=90∘．∵∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3．∴∠DAB+∠3=90∘．∴∠CFA=180∘−(∠DAB+∠3)=90∘．∴CF⊥AB．（2）连接OE，如图 2．∵∠ADB=90∘，∴∠CDB=180∘−∠ADB=90∘．∵在Rt△CDB中，CD=4，CB=4√5，∴DB=√CB2−CD2=8．∵∠1=∠3，∴cos∠1=cos∠3=45．∵在Rt△ABD中，cos∠1=DBAB =45，∴AB=10．∴OA=OE=5，AD=√AB2−DB2=6．∵CD=4，∴AC=AD+CD=10．∴在Rt△ACF中，CF=AC⋅cos∠3=8．∴AF=√AC2−CF2=6．∴OF=AF−OA=1．∴在Rt△OEF中，EF=√OE2−OF2=2√6．34. （1）因为ED=EC，所以∠EDC=∠C，因为∠EDC=∠B，所以∠B=∠C，所以AB=AC．（2）连接AE，因为AB为直径，所以AE⊥BC，由（1）知AB=AC，BC=√3，所以BE=CE=12因为CE⋅CB=CD⋅CA，AC=AB=4，所以√3⋅2√3=4CD，所以CD=3．235. （1）AM=3．延长MC到E，使ME=AM．∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60∘．∴∠AME=60∘．∴△AME为等边三角形．∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．又AB=AC，∴△ABM≌△ACE．∴AM=ME=3．（2）AM=√22(a+b)或√22(b−a)．。