高数下A试题及答案

高等数学A （下） 课程考试试题参考解答

一、单项选择题(满分15分，每小题3分，共5道小题), 请将合适选项填在括号内．

1. 函数3y

z x e =-的全微分dz =【 C 】．

(A) 2

2y

x dx e dy -； (B) 23y

x dx e dy +；

(C) 23y x dx e dy -； (D) 2

3y e dx x dy -．

2. 球面2

2

2

1x y z ++=

在点P 处的切平面方程是【 D 】． (A)

0x y -=； (B)

0x y ++=； (C)

0x y -=； (D)

0x y +=．

3. 设区域{}

2(,)11, 1.D x y x x y =-≤≤≤≤，二重积分

()2

cos D

x x

xy dxdy +=⎰⎰【 B 】

． (A) 1-； (B) 0； (C) 1； (D)

1

2

． 4.

级数n

n ∞

= A 】．

(A) 条件收敛； (B) 绝对收敛； (C) 发散； (D) 其它选项都不对．

5. 曲线22

1()

4

4

z x y y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩在点)5,4,2(处的切线对于x 轴的倾角为【 C 】． (A) 3

π

； (B) 3π-；

(C) 4

π

； (D) 4π-．

二、填空题 ( 满分15分，每小题3分，共5道小题 )，请将答案填在横线上．

1. dx x

y dy I y

⎰

⎰

=

55

1

ln 1

= 4 . 2. 设L 是圆周2

2

2

R y x =+，曲线积分

()2

2L

x

y ds +⎰= 32R π .

3. 设⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤<≤≤=πππx x x f 20201)(可以展开为正弦级数，此正弦级数在4x π=处收敛于 1 . 解 由于4

π=

x 是)(x f 的连续点，则)(x f 的正弦级数在4

π=

x 收敛于1)4

(=π

f ．

4. 微分方程20y y y '''-+=的通解为 12()x

y c c x e =+ .

5. 函数33

(,,)3f x y z z xyz y =-+在点(1,2,3)处的梯度为 (18,3,21)- .

三．（满分10分）设(

)

22

,ln 2z f xy x y =+，求z

x

∂∂和2z x y ∂∂∂（其中f 具有二阶连续偏导数）.

解

2122z

f y f xy x

∂''=+∂ 2z

x y

∂∂∂33221211

221222225yf xf xy f x yf x y f ''''''''=++++ 四. （满分10分）计算曲线积分22L

xy dy x ydx -⎰

，其中L 为圆周222a y x =+的正向.

解

2

2

,xy Q y x P =-=，

22,y x

Q x y P =∂∂-=∂∂，由格林公式，得 ydx x dy xy L

22-⎰

=

222x y a Q P dxdy x y +≤⎛⎫∂∂- ⎪∂∂⎝

⎭⎰⎰ ()222

2

2x y a x

y dxdy +≤=

+⎰⎰

2

4

3

20

a dr r d a

πθπ=

=⎰⎰

.

五．（满分10分）试将函数()2

x t f x e dt =⎰

展成x 的幂级数，

（要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛域）。

解：

因为 ∑∞

==0!

n n

t

n t e ()+∞<<∞-t

则∑∞

==02!

2

n n

t n t e ()+∞<<∞-t ，

将上式两端逐项积分，得

()⎰∑⎰⎪⎪⎭⎫

⎝⎛==∞=x

n n x t dt n t dt e x f 00

20!2

∑⎰∞==002!

n x

n

dt n t

()∑∞

=++=0

1

2!12n n n n x ()+∞<<∞-x

六．（满分12分）计算曲面积分323232222

()()()x z dydz y x dzdx z y dxdy

I x y z

∑

+++++=

++⎰⎰

， 其中∑是上半球面221y x z --=的上侧.

解 添加辅助曲面*

∑：0=z 取下侧，使*

,∑∑构成封闭曲面，记所围成的空间闭区域为Ω，由高斯公式, 得，

323232()()()I x z dydz y x dzdx z y dxdy ∑

=+++++⎰⎰

()()()323232

*P Q R x z dydz y x dzdx z y dxdy dxdydz x y z Ω∑+∑

⎛⎫∂∂∂+++++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰

(

)

⎰⎰⎰Ω

++=dxdydz z y x 2

223πϕϕθπ

π

56

sin 31042020==⎰⎰⎰dr r d d ，

()()()3

232322*

*

x

z dydz y x dzdx z y dxdy y dxdy ∑∑+++++=⎰⎰⎰⎰

212320

01

sin 4

D xy

y dxdy d d πθρθρπ=-=-=-⎰⎰⎰

⎰

()()()()()()3

232323

2

3

2

3

2

*

*

I x

z dydz y x dzdx z y dxdy

x z dydz y x dzdx z y dxdy

∑+∑∑=

+++++-+++++⎰⎰⎰⎰

6129

.5420

πππ⎛⎫=

--= ⎪⎝⎭ 七. （满分12分）设()y x 是一个连续函数，且满足0

()cos 2()sin x y x x y t tdt =+⎰

，求()y x 。

解 由已知条件得微分方程初值问题 sin 2sin 2(0)1

y y x x

y '-=-⎧⎨

=⎩

方程sin 2sin 2y y x x '-=-的通解是