计算方法各章习题及答案

第二章 数值分析

2.1 已知多项式432()1p x x x x x =-+-+通过下列点：

试构造一多项式()q x 通过下列点：

答案：54313

()()()3122

q x p x r x x x x x =-=-

++-+． 2.2 观测得到二次多项式2()p x 的值：

表中2()p x 的某一个函数值有错误，试找出并校正它．

答案：函数值表中2(1)p -错误，应有2(1)0p -=．

2.3 利用差分的性质证明22212(1)(21)/6n n n n +++=++．

2.4 当用等距节点的分段二次插值多项式在区间[1,1]-近似函数x

e 时，使用多少个节点能够保证误差不超过

61

102

-⨯． 答案：需要143个插值节点．

2.5 设被插值函数4()[,]f x C a b ∈，()

3()h H x 是()f x 关于等距节点

01n a x x x b =<<<=的分段三次艾尔米特插值多项式，步长b a

h n

-=

．试估计()

3||()()||h f x H x ∞-．

答案：()

4

43||()()||384

h M f x H x h ∞-≤．

第三章 函数逼近

3.1 求()sin ,[0,0.1]f x x x =∈在空间2

{1,,}span x x Φ=上最佳平方逼近多项式，并给

出平方误差．

答案：()sin f x x =的二次最佳平方逼近多项式为

-522sin ()0.832 440 710 1.000 999 10.024 985 1x p x x x ≈=-⨯+-，

二次最佳平方逼近的平方误差为

0.1

22-1220

(sin )())0.989 310 710x p x dx δ=-=⨯⎰．

3.2 确定参数,a b c 和，使得积分

2

1

2

1

(,,)[I a b c ax bx c -=++-⎰取最小值．

答案：810, 0, 33a b c ππ

=-

== 3.3 求多项式432()251f x x x x =+++在[1,1]-上的３次最佳一致逼近多项式

()p x ．

答案：()f x 的最佳一致逼近多项式为3

2

3

()74

p x x x =++

． 3.4 用幂级数缩合方法，求() (11)x f x e x =-≤≤上的３次近似多项式6,3()p x ，并估计6,3||()()||f x p x ∞-．

答案：

236,3()0.994 574 650.997 395 830.542 968 750.177 083 33p x x x x =+++， 6,3||()()||0.006 572 327 7f x p x ∞-≤

3.5 求() (11)x

f x e x =-≤≤上的关于权函数

()x ρ=

的三次最佳平方逼近

多项式3()S x ，并估计误差32||()()||f x S x -和3||()()||f x S x ∞-．

答案：233()0.994 5710.997 3080.542 9910.177 347S x x x x =+++，

32||()()||0.006 894 83f x S x -=，3||()()||0.006 442 575f x S x ∞-≤．

第四章 数值积分与数值微分

4.1 用梯形公式、辛浦生公式和柯特斯公式分别计算积分1

(1,2,3,4)n x dx n =⎰

，并与

精确值比较．

答案：计算结果如下表所示

4.2 确定下列求积公式中的待定参数，使得求积公式的代数精度尽量高，并指明所确定的求积公式具有的代数精度． （１）101()()(0)()h

h f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰

（２）

1

121

1

()[(1)2()3()]3

f x dx f f x f x -≈-++⎰ （３）2

0()[(0)()][(0)()]2

h h f x dx f f h h f f h α''≈++-⎰

答案：（１）具有三次代数精确度（２）具有二次代数精确度（３）具有三次代数精确度．

4.3 设10h x x =-，确定求积公式

1

2300101()()[()()][()()][]x x x x f x dx h Af x Bf x h Cf x Df x R f ''-=++++⎰

中的待定参数,,,A B C D ，使得该求积公式的代数精确度尽量高，并给出余项表达式．

答案：3711,,,20203020A B C D ====-，(4)6

()[]1440

f R f h η=，其中01(,)x x η∈．

4.4 设2()P x 是以0,,2h h 为插值点的()f x 的二次插值多项式，用2()P x 导出计算积分

30()h

I f x dx =⎰

的数值积分公式h I ，并用台劳展开法证明：453

(0)()8

h I I h f O h '''-=+． 答案：3203()[(0)3(2)]4

h h I p x dx h f f h ==+⎰．

4.5 给定积分1

0sin x

I dx x =

⎰

（１）运用复化梯形公式计算上述积分值，使其截断误差不超过

31

102

-⨯． （２）取同样的求积节点，改用复化辛浦生公式计算时，截断误差是多少？

（３）要求的截断误差不超过6

10-，若用复化辛浦生公式，应取多少个节点处的函数值？ 答案：（１）只需7.5n ≥，取９个节点，0.946I ≈

（２）4(4)46111

|[]||()|()0.271102880288045

n b a R f h f η--=-≤=⨯ （３）取７个节点处的函数值．

4.6 用变步长的复化梯形公式和变步长的复化辛浦生公式计算积分1

0sin x

I dx x =⎰．要

求用事后误差估计法时，截断误不超过

31102-⨯和61

102

-⨯． 答案：使用复化梯形公式时，80.946I T ≈=满足精度要求；使用复化辛浦生公式时，

40.946 083I s ≈=满足精度要求．

4.7（１）利用埃尔米特插值公式推导带有导数值的求积公式