导数用于单调性和极值问题

专题十四、导数用于单调性和极值问题 题型一 利用导数判断函数的单调性

1.证明：函数f (x )＝sin x

x 在区间⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2，π上单调递减．

题型二 利用导数求函数的单调区间

2.求下列函数的单调区间．

(1)f (x )＝x 3－x ；(2)y ＝e x －x ＋1.

3.求函数y ＝x 2－ln x 2的单调区间．

题型三 已知函数单调性求参数的取值范围

4.已知函数

f (x )＝x 2＋

a x

(x ≠0，常数a ∈R )．若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a

的取值范围．

5.(1)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为[－1,2]，求b ，c 的值．

(2)设f (x )＝ax 3＋x 恰好有三个单调区间，求实数a 的取值范围．

题型四 用单调性与导数关系证不等式

6.当x ＞0时，证明不等式ln(x ＋1)＞x －1

2x 2.

7.当0＜x ＜π2时，求证：x －sin x ＜1

6

x 3.

题型五、函数的极值问题

8．下列函数存在极值的是( )

A ．y ＝2x

B ．y ＝1

x

C ．y ＝3x －1

D ．y ＝x 2

9．设函数f (x )＝2

x

＋ln x ，则( )

A ．x ＝1

2为f (x )的极大值点

B ．x ＝1

2为f (x )的极小值点

C ．x ＝2为f (x )的极大值点

D ．x ＝2为f (x )的极小值点

10．若函数y ＝f (x )是定义在R 上的可导函数，则f ′(x 0)＝0是x 0为函数y ＝f (x )的极值点的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 11．函数y ＝x ·e x 的最小值为________．

12．若函数f (x )＝x

x 2＋a (a >0)在[1，＋∞]上的最大值为3

3

，则a 的值为________．

题型六、利用极值求参数范围

13.已知函数f (x )＝a sin x －b cos x 在x ＝π4时取得极值，则函数y ＝f (3π

4

－x )是( )

A ．偶函数且图象关于点(π，0)对称

B ．偶函数且图象关于点(3π

2

，0)对称

C ．奇函数且图象关于点(3π

2，0)对称

D ．奇函数且图象关于点(π，0)对称

14．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f (x )在x ＝0处取得极值，并且在区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性．

(1)求实数b 的值； (2)求实数a 的取值范围．

题型七、导数用于解决实际问题

15．用边长为48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( )

A ．6

B ．8

C ．10

D ．12

16．一工厂生产某型号车床，年产量为N 台，分批进行生产，每批生产量相同，每批生产的准备费为C 2元，产品生产后暂存库房，然后均匀投放市场(指库存量至多等于每批的生产量)．设每年每台的库存费为C 1元，求在不考虑生产能力的条件下，每批生产该车床________台，一年中库存费和生产准备费之和最小．

题型八、图像问题

17.二次函数y ＝f (x )的图象过原点且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是如图所示的一条直线，y ＝f (x )的图象的顶点在( )

A ．第Ⅰ象限

B ．第Ⅱ象限

C ．第Ⅲ象限

D ．第Ⅳ象限

18.设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如下图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )

巩固练习：

19.定义域为R 的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )>1

2，则满足2f (x )

的集合为( )

A ．{x |－1

B ．{x |x <1}

C ．{x |x <－1或x >1}

D ．{x |x >1}

20．函数f (x )＝sin x ＋2xf ′(π3)，f ′(x )为f (x )的导函数，令a ＝－1

2，b ＝log 32，则下列关系正

确的是( )

A ．f (a )>f (b )

B ．f (a )

C ．f (a )＝f (b )

D ．f (|a |)

21.若关于x 的方程x 3－3x ＋m ＝0在[0,2]上有根，则实数m 的取值范围是( )

A ．[－2,2]

B ．[0,2]

C ．[－2,0]

D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

22.已知函数f (x )＝13ax 3＋1

2ax 2－2ax ＋2a ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是________．

23.已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (1，m )(m ≠－2)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，则实数

m 的取值范围为________．

三、解答题

24．求证：x >0时，1＋2x

25.设函数f (x )＝a ln x ＋

x －1x ＋1

，其中a 为常数．

(1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性.

26．已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的曲线上，求矩形的面积最大时的边长．