抽屉原理及其应用

抽屉原理及其应用

许莉娟

（数学科学学院，2003 （ 4）班，03213123号）

［摘要］抽屉原理是数学中的重要原理，在解决数学问题时有非常重要的作用.各种形式的抽屉原理在高等数学和初等数学中经常被采用.本文着重从抽屉的构造方法阐述抽屉原理在高等数学和初等数学（竞赛题）中的应用，同时指岀了它在

应用领域中的不足之处.

［关键词］抽屉原理高等数学初等数学

抽屉原理也称为鸽笼原理或鞋箱原理，它是组合数学中的一个最基本的原理.抽屉原

理主要用于证明某些存在性问题及必然性题目，如几何问题、涂色问题等•抽屉原理的简

单形式可以描述为：“如果把n • 1个球或者更多的球放进n个抽屉，必有一个抽屉至少有两个球.”它的正确性十分明显，很容易被并不具备多少数学知识的人所接受，如果将其灵活地运用，则可得到一些意想不到的效果.

各种形式的抽屉原理在高等数学和初等数学中经常被采用，使用该原理的关键在于如何巧妙地构造抽屉，即如何找出合乎问题条件的分类原则，抽屉构造得好，可得出非常巧妙的结论，下面我们着重从抽屉的构造途径去介绍抽屉原理在高等数学和初等数学（竞赛题）中的应用，同时指出它在应用领域中的不足之处•

一、抽屉原理

陈景林、阎满富编著的中国铁道出版社出版的《组合数学与图论》一书中对抽屉原理给出了比较具体的定义，概括起来主要有下面几种形式：

原理I把多于n个的元素按任一确定的方式分成n个集合，则一定有一个集合中含有两个或两个以上的元素•

原理U把m个元素任意放到n（m • n）个集合里，则至少有一个集合里至少有

k个元素，其中

当n能整除m时，

当n不能整除m时.

原理川把无穷个元素按任一确定的方式分成有穷个集合，则至少有一个集合中仍含无穷个

元素.

原理n>m是对原理I的进一步深入阐述，把抽屉原理推入了更深更广的层次.并且我们很容易对其进行证明，可见它们都是非常简单的原理，可是，正是这样一些简单的原则，

在初等数学乃至高等数学中，有着许多应用.巧妙地运用这些原则，可以很顺利地解

决一些看上去相当复杂，甚至觉得简直无法下手的数学题目.

二、抽屉的构造途径

在利用抽屉原理解题时，首先要明确哪些是“球”，哪些是“抽屉”，而这两者通常不会现成存在于题目中，尤其是“抽屉”，往往需要我们用一些巧妙的方法去构造.下面举例说明几种常见的抽屉构造法.

（一）利用等分区间构造抽屉

所谓等分区间简单的说即是：如果在长度为1的区间内有多于n个的点，可考虑把区

间n等分成n个子区间，这样由抽屉原理可知，一定有两点落在同一子区间，它们之间的距离

不大于-.这种构造法常用于处理一些不等式的证明•

n

例1已知11个数/X, , x n ,全满足0

1

满足X j _X j兰一.

j10

证明如图1,将实数轴上介于0与1那段（连同端点）等分为10小段（这10个小段也就

是10个等分区间，即10个抽屉），每一小段长为丄.由抽屉原理，11个点（数）中至少

10

有口+1=2个点落在同一条小线段上，这两点相应的数之差的绝对值乞丄.

1（10 10

0 1

图1

例2任给7个实数，证明必存在两个实数a ,b满足0—..3（a-b）：：：1+ab.

Tt 31 证明设七个实数为a1,a2,a3,…,a y，作Q i =arctga i( i =1, 2，…',7),显然Q j € ( ,)，

2 2

n n n n n n n n n

把（石三）等分成六个区间:

（石二），肓二），蔷①，0,6），6,3），3 由抽屉原理，Q1,Q2,…，Q7必有两个属于同一区间，不妨设为Q i ,Q j,而不论Q i ,Q j属于哪

1

个小区间都有0乞Q i-Q j :：：—，由正切函数的单调性可知，0 ：：：tg（Q i -Q j）：：：tg 1

（“），

6 6 <3

a -

b 0( Q i Q j ),1+ ab 0,从而有 0 _ 3 (a -b) ：： 1+ab .

对于给定了一定的长度或区间并要证明不等式的问题，我们常常采用等分区间的构造 方法来构造抽屉，正如上面的两个例子，在等分区间的基础上我们便很方便的构造了抽屉， 从而寻找到了证明不等式的一种非常特殊而又简易的方法，与通常的不等式的证明方法（构 造函数法，移位相减法）相比，等分区间构造抽屉更简易，更容易被人接受 •

（二）利用几何图形构造抽屉

在涉及到一个几何图形内有若干点时，常常是把图形巧妙地分割成适当的部分，然后 用分割所得的小图形作抽屉•这种分割一般符合一个“分划”的定义，即抽屉间的元素既 互不重复，也无遗漏；但有时根据解题需要，分割也可使得抽屉之间含有公共元素

例3如果直径为5的圆内有10个点，求证其中有某两点的距离小于 2.

证明 先将圆分成八个全等的扇形，再在中间作一个直径d=1.8的圆（如图2），这就把 已知的圆分成了 9个区域（抽屉）.由抽屉原理，圆内的10个点（球），必有两点落在同一区 域内，只须证明每个区域中的两点的距离都小于 2.显然，小圆内任两点间的距离小于 2, 又曲边扇形ABCD 中，AB ：：：2, AD ：：：2, CD ：：： 2,而任两点距离最大者 AC ，有

AC = OA 2 OC 2 -2OA OCcos45

=2.52 0.92

-2.5 0.9 , 2 （三）利用整数分组制构造抽屉

例4对于m 1个不同的自然数，若每一数都小于 2m,那么可以从中选取三个数，使 其中两个数之和等于第三个数•

不妨记 a 二tgQ j ,b =tgQ j ，贝U tg(Q i -Q j )= a - b 1 ab 而由（）知0< a - b 1 ab ,又因为有

=.3.88<2.

图2