垂直于弦的直径知识点总结
九年级数学垂直于弦的直径
在机械制造中应用
机械制造中的轴心定位
在机械制造中，垂直于弦的直径原理可用于轴心的定位。通过确保轴心与某个参考平面垂直，可以确保机械部件 的精确运动和定位。
机械制造中的切削工具设计
在切削工具的设计中，垂直于弦的直径可用于确定切削刃的角度和形状。这有助于确保切削工具在加工过程中能 够准确地去除材料，并获得所需的表面质量和精度。
九年级数学垂直于弦的直径
目
CONTENCT
录
• 垂直于弦的直径基本概念与性质 • 垂直于弦直径在圆中位置关系 • 垂直于弦直径判定方法 • 垂直于弦直径在几何证明中应用 • 垂直于弦直径在解决实际问题中应
用 • 总结回顾与拓展延伸
01
垂直于弦的直径基本概念与性质
定义及性质介绍
01
定义：垂直于弦的直径是指一 个圆的直径，它垂直于给定弦
80%
问题三
探讨垂径定理在解决实际问题中 的应用，如建筑设计、工程测量 等领域中如何利用垂径定理进行 计算和测量。
THANK YOU
感谢聆听
03
D、∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴DE=CE，故本选项正确；
04
故选C．
03
垂直于弦直径判定方法
利用垂径定理判定
垂径定理
垂直于弦的直径平分该弦，并且平分该弦所对的两条弧。
判定方法
若一条直径垂直于弦，则该直径平分该弦，且平分该弦所对的两条弧。因此， 我们可以通过观察图形或计算来验证这一条件，从而判断一条直径是否垂直于 弦。
解析
连接AC、FC，由于AB是⊙O的直径且AB⊥CD， 根据垂径定理可知弧AC=弧AD。因此， ∠AFC=∠ACF。又因为∠GFC是弧AC所对的圆周角， ∠ACF是弧AD所对的圆周角，所以∠GFC=∠ACF。 因此，∠AFD=∠GFC。
垂直于弦的直径
垂直于弦的直径简介在数学几何中，弦是圆上的线段，而直径是连接圆的两个点的线段，且经过圆心。
垂直于弦的直径指的是与弦互相垂直的直径。
本文将介绍垂直于弦的直径的性质和相关定理。
垂直于弦的直径的性质1.垂直性质：垂直于弦的直径与弦互相垂直。
也就是说，如果一条直径与一个弦相交，并且与这个弦的交点互相垂直，那么这条直径就是垂直于该弦的直径。
2.关于圆心的性质：垂直于弦的直径通过圆心。
由弦的性质可知，连接弦的两个端点和圆心的线段形成一个三角形，而垂直于弦的直径正好是这个三角形的高。
3.长度性质：垂直于弦的直径是所有以弦为直径的圆中最长的直径。
垂直于弦的直径的定理1.定理一：垂直于弦的直径平分弦如果一条直径垂直于计圆的一条弦，那么这条直径将会平分该弦。
即弦的两个端点到直径上的交点的距离相等。
2.定理二：以垂直于弦的直径为直径的圆相切于弦以垂直于弦的直径为直径的圆和原有的圆相切于弦的两个端点。
这意味着，以垂直于弦的直径为直径的圆与原有圆恰好有一个公共的切点。
3.定理三：垂直于弦的直径经过圆心垂直于弦的直径经过圆心，也就是说，垂直于弦的直径的两个端点和圆心三个点共线。
应用举例应用一：判定两条弦是否垂直对于给定的两条弦，如果它们的交点和圆心三点共线，那么这两条弦就垂直。
应用二：平分弦当我们需要将一条弦平分为两段时，可以通过构造垂直于弦的直径来实现。
只需在弦的中点上构造垂直于弦的直径，即可将弦平分为两段。
结论垂直于弦的直径在圆的几何性质中扮演着重要的角色。
它具有许多有趣的性质和定理，对于解决几何问题有着重要的作用。
通过理解垂直于弦的直径的性质，我们能够更深入地理解圆的几何特征，提升解题的能力。
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九年级圆垂径定理知识点
九年级圆垂径定理知识点圆垂径定理是数学中的一个重要定理，它是研究圆的性质和应用的基础。
本文将详细介绍九年级圆垂径定理的相关知识点，帮助你更好地理解和应用这一定理。
一、圆垂径定理的概述圆垂径定理是指：在一个圆中，如果一条直径垂直于另一条弦，那么它一定是这条弦的垂直平分线。
二、圆垂径定理的证明为了证明圆垂径定理，我们可以采用几何证明和代数证明两种方法。
1. 几何证明假设圆的中心为O，半径为r，直径AB垂直于弦CD。
我们需要证明AO = BO。
首先，连接AC和BC，并设AC = x，BC = y。
根据圆的性质，我们知道AO = r，BO = r，AC = BC = r。
又因为AO垂直于CD，所以∠ACO = ∠BCO = 90°。
由三角形的性质可知，AO² = AC² - CO²，BO² = BC² - CO²。
代入已知条件，我们可以得到r² = x² - CO²，r² = y² - CO²。
通过这两个等式，我们可以得到x² - CO² = y² - CO²，即x² = y²。
进而，我们可以得知x = y，即AC = BC。
所以，根据直角三角形的特性，AO = BO，也就是说AO = BO = r。
因此，根据圆的定义，我们可以得出圆垂径定理的结论。
2. 代数证明我们也可以采用代数方法证明圆垂径定理。
设圆的方程为x² + y² = r²（其中，O为坐标原点）。
直径AB垂直于弦CD，且AB的斜率k存在。
根据直线的斜率公式，可以得到直线AB的方程为y = kx。
将直线AB的方程代入圆的方程中，我们可以得到x² + (kx)² =r²。
简化这个方程，可以得到x² + k²x² = r²。
24.垂直于弦的直径PPT课件(人教版)
（√ ） （√ ） （×）
轴
经过圆心
中心
圆心
垂直于弦的 直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
垂直
弦所对的两条弧
问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建 造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主 桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m, 拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主 桥拱的半径吗？
∵AB∥CD，∴ON⊥CD于N
在RtAOM中，AM 5cm,OM OA2 AM2 12cm. 在RtOCN中，CN 12cm,ON OC2 CN 2 5cm.
∵MN=OM-ON，∴MN=7cm. (2)当AB、CD在O点异侧时，如图②所示，
由（1）可知OM=12cm,ON=5cm，MN=OM+ON，
（并2且）平A分M=A（BBM及，AA（DCB=．BC，AD=BD，即直径CD平分弦AB，
这样，我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧。进一步，我们还可以得到结论：平 分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 。
知识点一 垂径定理及其推论
C
知识点一 垂径定理及其推论
通过本节课的学习,我们就会很容易解决这一问题．
探究：1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什 么？你能找到多少条对称轴？
分析讨论：圆是轴对称图形,它的对称轴是直径，我能找到 无数多条直径．
探究： 2．你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行 交流．
分析讨论我：是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决 圆的对称轴问题的．
.2垂直于弦的直径
判断：
（１）直径是弦．（ √ ）
（２）弦是直径． （ × ）
垂直于弦的直径知识点 垂直于弦的直径教学反思
垂直于弦的直径知识点1. 弦和直径的定义弦：在圆上取两点A和B，并且A、B点都在圆上，这条线段AB称为弦，常用小写字母表示，例如ab。
直径：过圆心O的两个点，构成直径，常用大写字母表示，例如CD。
垂直于弦的直径：当弦ab与直径CD相交时，如果交点E在弦ab的中点上，则直径CD被称为垂直于弦ab的直径。
2. 垂直于弦的直径性质性质1：垂直于弦的直径的两条弦等长当弦ab与直径CD相交，交点E在弦ab的中点上时，有以下性质成立： - AE = BE - CE = DE - 弦ab与直径CD所在的扇形和面积相等性质2：垂直于弦的直径的两条弦垂直于彼此当弦ab与直径CD相交，交点E在弦ab的中点上时，有以下性质成立： -∠AED = 90° - ∠BEC = 90°性质3：垂直于弦的直径上的任意两点与圆心构成的直线垂直于弦当弦ab与直径CD相交，交点E在弦ab的中点上时，连接两点A、B与圆心O所构成的直线与弦ab垂直，即∠AOC = ∠BOC = 90°。
性质4：垂直于弦的直径上的任意两点与圆心构成的直线是等腰三角形的高当弦ab与直径CD相交，交点E在弦ab的中点上时，连接两点A、B与圆心O所构成的直线是等腰三角形AOC和BOC的高。
3. 实际应用圆的切线利用垂直于弦的直径的性质，可以辅助判断圆与直线的切点。
如果已知弦ab与直径CD相交，交点E在弦ab的中点上，同时弦与直线的交点为F，则EF是切线。
因为垂直于弦的直径与弦垂直，所以EF与切线是垂直的。
这个性质可以用于解决很多与圆相关的实际应用题。
4. 垂直于弦的直径教学反思在教学垂直于弦的直径相关知识时，可以采取以下教学策略，以提高学生的兴趣和理解程度：1.利用多媒体课件或实物演示工具展示圆、弦和直径的概念。
通过图像和实物的展示，引导学生理解弦、直径的概念。
2.引入具体问题或实际应用场景，让学生思考垂直于弦的直径的性质。
可以使用贴近学生生活的例子，如自行车轮胎、篮球等圆形物体。
垂直于弦的直径
④⑤
①②③
注意要点
根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直线来说，如果具备： ① 经过圆心 ② 垂直于弦 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对的优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧 那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论。
圆的两条平行弦所夹的弧相等.
如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD， 你能得到什么结论？
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平 分弦所对的两条弧。
C
∵ CD是直径，CD⊥AB
O · A
∴ AE=BE, AC =BC, AD =BD.
B
⌒
⌒
⌒
⌒
E D
垂径定理推论
平分弦（不是直径）的直径垂直 于弦,并且平分弦所对的两条弧。
C
∵ CD是直径， AE=BE
O · A
∴ CD⊥AB,AC =BC, AD =BD.
B
⌒
⌒
⌒
⌒
E D
知识点三：
垂径定理的推论
定理：如图,在下列五个条件中:
① CD是直径(一条直线过圆心) ② CD⊥AB, ③ AM=BM,
⌒ ⌒ ④AC=BC,
C
⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
A
M└
●
B
O
D
垂径定理的推论
条件
①③ ①④ ①⑤ ②③ ②④ ②⑤ ③④ ③⑤
结论
②④⑤ ②③⑤ ②③④ ①④⑤ ①③⑤ ①③④ ①②⑤ ①②④
命题
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧． 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对 的另一条弧． 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧． 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平 分弦和所对的另一条弧． 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦 ，并且平分弦所对的另一条弧． 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦．
垂径定理知识点
垂径定理知识点1. 垂径定理说啦，垂直于弦的直径平分弦！就好像你有一根绳子，我拿一根直直的杆子从中间穿过，那这根杆子是不是就把绳子给平均分成两半啦！比如说，一个圆形的蛋糕，直径把它分成相等的两半，这就是垂径定理在起作用呀，是不是很神奇？2. 嘿，垂径定理还提到，平分弦的直径垂直于弦呢！这不就像拔河比赛，中间的红绳被公平地分成两半，那和地面肯定是垂直的呀！就像一个圆形的大饼，用刀平分它，这刀肯定和饼是垂直的呀，是不是很有意思呢？3. 你想想看呀，垂径定理告诉我们，垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧！好比一把撑开的伞，伞骨垂直伞面，把伞面分成相等的部分，那同时也把下面的空间也给平分啦！比如一个圆形的池塘，中间有根柱子垂直立着，那柱子两边的水面区域就是相等的，超厉害的吧！4. 不得了哦，垂径定理里说平分弦所对的一条弧的直径，必垂直平分这条弦！就好像英雄总是和他的武器相得益彰，武器能发挥最大威力，英雄也能更厉害！像个钟的指针，钟的中心轴线平分了指针划过的弧，那必然也和指针是垂直的呀，多形象呀！5. 哇塞，垂径定理也包括平分弦所对的两条弧的直径，垂直平分弦呢！这就好像有个神奇的魔法棒，只要一挥，就能让东西变得整齐有序！比如一个摩天轮，中间的轴既能把那些车厢走过的弧平分，又能让连接车厢的杆子垂直，这就是垂径定理的魅力呀！6. 哎呀呀，垂径定理还有哦，弦的垂直平分线经过圆心！这简直就像是给圆心找到回家的路一样清楚明白呀！好比你放风筝，线的垂直平分线肯定是要经过风筝的中心呀！像个圆形的轮子，轮子上一根线的垂直平分线肯定会经过轮子中心，是不是很明了？7. 最后呢，平分弦的直径，不一定垂直于弦哦！这就好像不是所有的好人都一定是强壮的一样。
比如有根不太直的棍子平分了一根线，但它们不一定是垂直的呀。
垂径定理真的很有趣呢，我们一定要好好掌握呀！我的观点结论就是：垂径定理非常的神奇和有趣，在很多方面都有重要的应用，我们要多多去理解和运用它呀！。
垂径定理3
垂径定理知识点 1. 垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦 所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 知识点1：垂径定理及其逆定理1．如图，MN 是⊙O 的直径，弦AB ⊥MN ，垂足为点C，则下列结论中不一定成立的是( ) A.AM ＝BM B.AN ＝BNC.AC ＝CBD.OC ＝CM2.如图所示,在中,弦AB 的长为,圆心0到AB 的距离为,则的半径长为( )A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm3. 高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB=10米，净高CD=7米，则此圆的半径OA=( )DBA．5B．7C．D．4.如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（）A．3≤OM≤5B．4≤OM≤5C．3＜OM＜5D．4＜OM＜55.如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为（）A.12.5寸B.13寸C.25寸D.26寸6.如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中0A＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为( )A.19B.16C.18D.207.已知半径为5的中,弦,弦,则的度数是( )A. B. C. 或 D. 或8.在直角坐标系中，以点O(﹣6，﹣2)为圆心的圆弧与x轴交于A，，B(A在B的右边)两点，点A的坐标为(﹣3，0)，则点B的坐标为 .9.已知、两点,分别以A、B为圆心的两圆相交于和,则的值为10. 如图，的两条弦、互相垂直，垂足为，且，已知，，则的半径是_____ 。
人教版初中数学垂径定理知识点总结
人教版初中数学垂径定理知识点总结一、垂径定理的定义垂径定理是关于直径和过该直径的直线（或圆）交于圆内两点之间的线段长度和关系的重要定理。
如果一个直径和一条过该直径的直线交于圆内两点，那么这条直径平分过这两点的线段，并且这条直径垂直于过这两点的直线。
二、垂径定理的表述1.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
2.垂直于弦的直径平分弦（不是直径），并且平分弦所对的两条弧。
3.垂直于弦的直径平分过弦的两条直线，并且平分弦所对的两条弧。
三、垂径定理的应用垂径定理在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决与圆和直径相关的问题时。
例如，可以利用垂径定理来证明圆的性质，如圆的对称性、圆的周长和面积等。
此外，垂径定理还可以用于解决与圆和直线相关的问题，如求圆的半径、确定圆的中心等。
四、垂径定理的推论1.从圆心到弦的垂线是弦的中垂线。
2.圆内一条弦的两端到圆心的距离相等。
3.圆内一条过圆心的弦最短，其长度为圆的直径。
4.圆内一条不过圆心的弦最短，其长度等于从圆心到弦中点的线段长。
五、垂径定理的证明垂径定理可以通过以下两种方法证明：1.直接证明法：通过作图和推理，直接证明垂径定理。
这种方法比较直观和简洁，但需要一定的几何知识和推理能力。
2.代数法：利用圆的性质和代数运算，证明垂径定理。
这种方法比较抽象，但具有普适性，可以用于证明其他类似的定理。
六、注意事项1.在使用垂径定理时，要注意区分直径和其他弦的区别，避免混淆。
2.在作图时，要确保所作的线段是垂直于弦的直径，否则将无法使用垂径定理。
3.在解决实际问题时，要根据具体情况选择合适的方法来应用垂径定理。
七、垂径定理的应用场景1.确定圆的形状和大小：垂径定理可以用于确定圆的形状和大小。
例如，通过测量圆的直径或半径，可以确定圆的大小；通过观察垂径定理的各种表现，可以判断圆的状态和形状。
2.计算圆的周长和面积：垂径定理可以用于计算圆的周长和面积。
例如，通过已知的直径或半径，可以计算出圆的周长和面积。
垂直于弦的直径
垂直于弦的直径什么是垂直于弦的直径？在圆的几何学中，直径是两个在圆周上相对点之间的线段，并且经过圆心。
而垂直于弦的直径是指与给定弦垂直的直径。
换句话说，如果一个直径与某条弦垂直相交，那么它就是垂直于弦的直径。
特性和性质1.垂直于弦的直径的性质之一是它们互相垂直。
这意味着，如果两条直径都是垂直于同一条弦，那么这两条直径相互垂直。
2.对于一个给定的圆和一条弦，只有一个垂直于该弦的直径。
这是因为直径经过圆心，且圆心位于弦的垂直平分线上。
3.垂直于弦的直径被称为弦的直径。
这是因为垂直于弦的直径通过弦的中点，并将弦一分为二。
4.对于一个给定的圆，以及圆心处的一点，存在唯一的垂直于通过该点的弦的直径。
这是因为垂直于弦的直径经过圆心。
如何证明一条直径垂直于弦？要证明一条直径垂直于弦，可以使用以下步骤：1.假设有一个圆，以及一条弦和它的中点。
我们需要证明通过该中点的直径是垂直于弦。
2.通过指定的弦的两个端点和圆心绘制弧。
3.连接弧的两个端点与圆心，形成两条半径。
4.根据性质，半径与圆周相切于弦的端点。
5.通过弦的中点绘制一条水平线段，并通过圆心绘制一条垂直线段。
6.证明水平线段与垂直线段相交于直径的一点。
7.由于水平线段与弦平行，且垂直线段与弧相切于弦的端点，因此直径与弦垂直相交。
8.因此，通过弦的中点的直径是垂直于弦的。
垂直于弦的直径的应用垂直于弦的直径的概念在几何学和数学中具有广泛的应用。
以下是几个具体的应用场景：1.圆锥与割线问题：当我们考虑一个锥体与平面相交时，垂直于割线的直径对于计算截面的半径和圆锥的体积非常有用。
2.弦截矩关系：根据垂直于弦的直径的性质，我们可以推导出弦的截矩公式。
截矩是描述截面形状的一个参数，它对于材料的强度和性能分析非常重要。
3.三角函数与圆：在三角函数中，正弦值、余弦值和正切值等与圆相关的概念经常涉及到垂直于弦的直径。
这些概念为我们理解三角函数的图像、计算角度和边长提供了基础。
垂径定理及其推论
圆部分知识点总结垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论 1：（ 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（ 2 ）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（ 3 ）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
2：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论 1 ：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论 2 ：半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90 °的圆周角所对的弦是直径。
推论 3 ：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
点和圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d<r点P在⊙O内； d=r 点 P 在⊙O 上； d>r 点 P 在⊙O 外。
过三点的圆1、不在同一直线上的三个点确定一个圆。
2、经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
3、三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。
直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
如果⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线L的距离为 d,那么：直线L与⊙O 相交d<r；直线L与⊙O相切d=r；直线L与⊙O相离d>r；圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
24.1.2 垂直于弦的直径
———（垂径定理）
C
推论：平分弦（不是直径） 的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧．
A
O · M
B
推论：
D
由
CD是直径 可推得 AM=BM
CD⊥AB, ⌒ ⌒ AC=BC,
⌒ ⌒ AD=BD.
C
(1)直径 (过圆心的线)；(2)垂直弦； (3) 平分弦 ； (4)平分劣弧；
O 的半径是3cm ，那么过P点的最短
的弦等于
2 5cm .
B O E C A P D
1. 同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D, 已知AB=4,CD=2,AB的弦心距为1,则 两个同心圆的半径之比为( B ) A.3:2 B. 5 : 2 C. 5 :2 D.5:4
2.已知:AB是⊙O的直径,OA=10,弦 CD=16,则A,B两点到CD的距离之和 等于( B ) A.24 B.12 C.16 D.6
O
这条弧所对的弦)
AB=2AD=32cm
已知:如图,ＡＢ是⊙Ｏ直径,AB=10,弦 AC=8,D是弧AC中点,求CD的长.
B
O
5
A
3 E 4 2
C
D2
5
（1）已知⊙O的半径为4.5，它的内接 ΔABC中，AB=AC,AD⊥BC于 D,AD+AB=10,求AD的长。
（2）若D是BC的中点，AD⊥BC,BC=24,
A
E
B D
C
作业:
C
M D O
1.已知:AB,CD是⊙O的两条平行 弦,MN是AB的垂直平分线. 求证:MN垂直平分CD 2.在直径为130mm的圆铁片 上切去一块高为32mm的弓形 铁片.求弓形的弦AB的长.
垂直于弦的直径(一)
垂直于弦的直径（一）弦的基本概念首先，我们先了解一下什么是弦。
在几何中，弦是圆上两个点之间的线段。
特别地，对于一个圆，弦是连接圆上任意两点的线段。
而垂直于弦的直径则是一个和弦垂直的直线段，它通过圆心，并且刚好与弦的中点重合。
在本文中，我们将探讨关于垂直于弦的直径的性质和应用。
性质以下是关于垂直于弦的直径的性质：1.垂直性质：垂直于弦的直径和弦是垂直的。
也就是说，垂直于弦的直径与弦所在的直线段之间的夹角为90度。
这一性质可以通过几何推理很容易证明。
2.垂直二分性质：垂直于弦的直径将弦分成两个相等的线段。
也就是说，垂直于弦的直径的两个端点与弦的两个端点连线，这两条线段是相等的。
这一性质也可以通过几何推理来证明。
证明接下来，我们来证明上述两个性质。
垂直性质的证明设O为圆的圆心，AB为圆上的一条弦，CD为垂直于弦AB的直径，CE为弦AB的中点。
首先，我们可以通过圆的性质得知OA和OD分别是圆的半径。
又因为直径OD通过圆心O，所以OA和OD是共线的。
因此，可以得出三角形OAD是等腰直角三角形。
同时，正因为OD是圆的直径，所以正好通过弦AB的中点E。
根据等腰直角三角形的性质，直角边OE等于斜边OD的一半，即OE=EA。
而根据直角三角形的性质，OE和EA垂直，因此垂直于弦的直径和弦是垂直的。
垂直二分性质的证明同样设O为圆的圆心，AB为圆上的一条弦，CD为垂直于弦AB的直径，CE为弦AB的中点。
首先，我们可以通过圆的性质得知OA和OD分别是圆的半径。
又因为直径OD通过圆心O，所以OA和OD是共线的。
接下来，连接直线段OC和OD。
由于OC和OD都是圆的半径，所以它们相等，即OC=OD。
由于CD为垂直于弦AB的直径，所以C和D是弦AB的中点E的两个对称点。
根据对称性质，直线段OC和OD是相等的，即OC=OD，因此得出OC=OD=CE。
综上所述，连接垂直于弦的直径的两个端点与弦的两个端点连线，这两条线段是相等的。
应用在几何学和物理学中，垂直于弦的直径有许多重要的应用。
垂直于弦的直径
有关垂直于弦的直径简单介绍
C
构造等腰三角形，利 用等腰三角形的性质 和勾股定理解释
A
P
.
D
· O
B
• 第三步，现在我们知道直径CD和弦AB是垂直的. 请思考：如果把圆沿直径CD所在的直线对折，弦 AB的两个端点会怎样？线段AP和线段BP有怎么 样的数量关系？这说明什么问题？同时弧AD和弧 BD，弧AC和弧BC有怎样的数量关系？为什么呢？
∴ AD=17.2 ∵ OA OD AD
2 2 2
O
∴ r 18.7 r 7.2
2 2
2
解得r=27.9（m） 即主桥拱半径约为27.9m.
问题三：求作弧AB的四等分点。
C m n
F
A
E
G
B
D
问题四：
你能破镜
m
n
C
重圆吗？
注意：不能做两 条平行弦的垂直 平分线 作图依据：
有关垂直于弦的直径简单介绍垂直于弦的直径圆o的直径ab垂直于弦是直径直径是圆中最长的弦弦是直径吗圆中两垂直弦的问题圆o的直径ab与弦cd证明直径是最长的弦弦的垂直平分线经过
重点 垂直于弦的直径所具有的性质以及证明. 难点 利用垂直于弦的直径的性质解决实际问 题. 关键 探 索 并 证 明 垂径定理及利用垂径定理解 决一些实际问题.
解:作 OC ⊥ AB 于 C, 由垂径定理得: AC=1/2 AB=0.5 × 16=8 由勾股定理得:
8
C
10 8
OC OB2 BC2 102 82 6
CD=OD-OC=4
D
如图，AB是⊙O的直径，AB=10，弦AC=8，D
⌒ 是AC的中点，连结CD，求CD的长。 B
练 一 练
垂径定理—知识讲解(基础)
垂径定理—知识讲解（基础）【学习目标】1.理解圆的对称性；2.掌握垂径定理及其推论；3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝6 cm，OD＝4 cm，则DC的长为（）A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm【思路点拨】欲求CD 的长，只要求出⊙O 的半径r 即可，可以连结OA ，在Rt △AOD 中，由勾股定理求出OA.【答案】D ；【解析】连OA ，由垂径定理知13cm 2AD AB ==， 所以在Rt △AOD 中，2222435AO OD AD =+=+=（cm ）．所以DC ＝OC －OD ＝OA －OD ＝5－4＝1（cm ）.【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形。
举一反三：【变式】如图，⊙O 中，弦AB ⊥弦CD 于E ，且AE=3cm ，BE=5cm ，求圆心O 到弦CD 距离。
【答案】1cm ．2．如图所示，直线与两个同心圆分别交于图示的各点，则正确的是（ ）A ．MP 与RN 的大小关系不定B ．MP ＝RNC ．MP ＜RND ．MP ＞RN【答案】B ；【解析】比较线段MP 与RN 的大小关系，首先可通过测量猜测MP 与RN 相等，而证明两条线段相等通常利用全等三角形，即证△OMP ≌△ONR ，如果联想到垂径定理，可过O 作OE ⊥MN 于E ，则ME ＝NE ，PE ＝RE ，∴ ME －PE ＝NE －RE ，即MP ＝RN ．【点评】在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”.举一反三：【高清ID 号：356965 关联的位置名称（播放点名称）：例2-例3】【变式】已知：如图，割线AC 与圆O 交于点B 、C ，割线AD 过圆心O. 若圆O 的半径是5，且30DAC ︒∠=，AD=13. 求弦BC 的长.【答案】6.类型二、垂径定理的综合应用3．如图1，某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24m，拱的半径为13m，则拱高为（）A．5m B．8m C．7m D．53m【思路点拨】解决此题的关键是将这样的实际问题转化为数学问题，即能够把题目中的已知条件和要求的问题转化为数学问题中的已知条件和问题．【答案】B；【解析】如图2，AB表示桥拱，弦AB的长表示桥的跨度，C为AB的中点，CD⊥AB于D，CD表示拱高，O为AB的圆心，根据垂径定理的推论可知，C、D、O三点共线，且OC平分AB．在Rt△AOD中，OA＝13，AD＝12，则OD2＝OA2－AD2＝132－122＝25．∴ OD＝5，∴ CD＝OC－OD＝13－5＝8，即拱高为8m．【点评】在解答有关弓形问题时，首先应找弓形的弧所在圆的圆心，然后构造直角三角形，运用垂径定理（推论）及勾股定理求解.4．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是的圆心，•其中CD=600m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径．【答案与解析】如图，连接OC，设弯路的半径为R，则OF=(R-90)m，∵OE⊥CD，∴CF=12CD=12×600=300(m)，根据勾股定理，得：OC2=CF2+OF2即R2=3002+(R-90)2，解得R=545，∴这段弯路的半径为545m．【点评】构造直角三角形，利用垂径定理、勾股定理，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题的数学方法一定要掌握．举一反三：【变式】有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面距拱顶不超过3m时拱桥就有危险，现在水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．【答案】不需要采取紧急措施设OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，OC=OD-CD=R-18，R2=302+(R-18)2， R2=900+R2-36R+324，解得R=34(m).连接OM，设DE=x，在Rt△MOE中，ME=16，342=162+(34-x)2，x2-68x+256=0，解得x1=4，x2=64(不合题意，舍)，∴DE=4m＞3m，∴不需采取紧急措施．。
人教版初中数学24.1.2 垂直于弦的直径 课件
D
OE CD,
1
1
CF CD 600 300(m).
2
2
根据勾股定理，得 OC2 CF 2 OF 2 ,
R2 3002 R 902 .
解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m.
课堂小结
内容
垂径定理
推论 辅助线
24.1 圆的有关性质/
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦 所对的两条弧
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③ 平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优 弧;⑤平分弦所对的劣弧. “知二推三”
两条辅助线： 连半径，作弦心距
基本图形及 变式图形
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方 程.
课后作业
作业 内容
24.1 圆的有关性质/
教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习
d2
a 2
2
rd O
连接中考
24.1 圆的有关性质/
C
课堂检测
24.1 圆的有关性质/
基础巩固题
1. 已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为
3cm，则此圆的半径为 5cm .
2. ⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= .
课堂检测
24.1 圆的有关性质/
3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦
垂足为E．
C
【思考】左图是轴对称图形吗？
满足什么条
件才能证明
O E A
D
圆是轴对称 图形呢？
B
大胆猜想 是轴对称图形．
探究新知
24.1 圆的有关性质/
证明：连结OA、OB.
C
则OA＝OB．
又∵CD⊥AB，
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24.1.2 垂直于弦的直径
【知能点分类训练】
知能点1 圆的对称性
1．圆是轴对称图形，它的对称轴是_______，圆还是中心对称图形，它的对称中心是_______．
2．两个同心圆的对称轴（）．
A．仅有1条 B．仅有2条 C．有无数条 D．仅有有限条
3．如图所示，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（3）①在图中，连接OA，OB，则△OAB是等腰三角形，那么
直径CD既是⊙O•的________，又是△OAB的________．
②把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，
点A与点B重合，AE与____•重合，AC与______重合，AD
与_____重合．
③同理可得到AE_____BE，AC=_______，AD=________．
知能点2 垂直于弦的直径
4．如图所示，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是（）．
A．∠COE=∠DOE B．CE=DE C．OE=BE D．BC BD
(第4题) (第5题) (第8题)
5．如图所示，在⊙O中，OD⊥AB于P，AP=4cm，PD=2cm，则OP的长等于（）．
A．9cm B．6cm C．3cm D．1cm
6．在⊙O中，CD为直径，AB为弦，且CD平分AB于E，OE=3cm，AB=8cm，则⊙O•的半径为________．
7．在⊙O中，直径AB垂直于弦CD于E，∠COD=100°，则∠COE=_______．
8．如图所示，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，当______时，CD•⊥AB．（填写一个你认为适当的条件）
9．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA•为半径的圆与AB，BC分别交于点D，E，求AB，AD的长．
10．如图所示，在⊙O中，AB，CD为两条弦，且AB∥CD，直径MN经过AB中点E，交CD
吗？
于F，试问：（1）点F是CD的中点吗？（2）AC BD
【综合应用提高】
11．如图所示，圆弧形桥拱的跨度AB=12m，拱高CD=4m，则拱桥的直径为（）．A．6.5m B．9m C．13m D．15m
(第11题) (第12题)
12．如图，在直径为10m的圆柱形油槽内装入一些油后，油面宽AB=8m，•那么油的最大深度是_________．
13．如图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧，即图中CD，点O是CD•的圆心，CD=600m，E为CD上一点，且OE⊥CD于F，EF=90m，则这段弯路的半径是多少？
14．一座桥，桥拱是圆弧形（水面以上部分），测量时只测到桥下水面宽AB为16m（•如图），桥拱最高处离水面4m．
（1）求桥拱半径；
（2）若大雨过后，桥下面河面宽度为12m，问水面涨高了多少．
15．如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下的水平宽度为7.2m，•拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽为3m，船舱顶部为长方形，并高出水面2m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？用你所学的数学知识说明理由．
【开放探索创新】
16．不过圆心的直线L交⊙O于C，D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥L，垂足为E，BF⊥L，• 垂足为F．
（1）在图所示的三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形．（2）请你观察（1）中所画的图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论（不再标注其他字母），找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程．（3）请你选择（1）中的一个图形，证明（2）所得的结论．
【中考真题实战】
17．（黑龙江）如图所示，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的弦OD⊥AB，•OE⊥AC，垂足分别为D，E，若AC=2cm，则⊙O的半径为________．
(第17题) (第19题)
18．（武汉）过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，那么OM的长为（）．
A．3cm B．6cm C cm D．9cm
19．（南昌）如图所示，在平面直角坐标系中，⊙O•′与两坐标轴分别交于A，B，C，D四点，且AC=BD．已知A（6，0），B（0，-3），C（-2，0），则点D的坐标是（）．A．（0，2） B．（0，3） C．（0，4） D．（0，5）
20．（河北）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90°，•尺寸如图（•单位：cm），将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A，E，B三个接触点，•该球的大小就符合要求．
图（2）是过球心O及A，B，E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD，BD⊥CD，请你结合图（1）中的数据，计算这种铁球的直径．
答案:
1．经过圆心的任意一条直线 圆心 2．C 3．（1）是．直径CD 所在的直线．
（2）相等的线段有AE=BE ；相等的弧有AB BC =，AD BD =．
根据此图形是轴对称图形，图形两侧部分重合．
（3）①对称轴 对称轴 ②BE BC BD ③= BC BD
4．C
5．C 提示：连结OA ，则O A 2+（OD-PD ）2=AP 2，即OA 2+（OA-2）2=42， ∴OA=5，OP=OD-PD=OA-PD=3cm ． 6．5cm 7．50°
8．BC BD =（或CE=DE ，或AC AD =）
9．解：如右图所示，作CP ⊥AB 于P ． 在Rt △ABC 中，由勾股定理，得
=．
由S △ABC =
12AB ·CP=1
2AC ·BC ， 得52CP=12×3×4，所以CP=125
．
在Rt △ACP 中，由勾股定理，得
=95．
因为CP ⊥AD ，所以AP=PD=1
2
AD ， 所以AD=2AP=2×
95=185
．
10．解：如右图所示，（1）点F 是CD 的中点． ∵直径MN 平分不是直径的弦AB ， ∴MN ⊥AB ， ∵AB ∥CD ， ∴MN ⊥CD ， ∴CF=FD ．
（2）由MN ⊥AB ，MN ⊥CD 得 AN BN =，CN DN =， ∴AN CN BN DN -=-， 即AC BD =．
11．C 12．2cm
13．解：如右图所示，连接OD ．
∵OE ⊥CD ，∴DF=
1
2
×600m=300m ． 在Rt △DOF 中，OD 2=OF 2+DF 2， ∴R 2=（R-90）2+3002， ∴R=545（m ）．
∴这段弯路的半径是545m ． 14．解：（1）如右图所示，设点O 为AB 的圆心，点C 为AB 的中点， 连接OA ，OC ，OC 交AB 于D ，由题意得AB=16m ，CD=4m ，
由垂径定理得OC ⊥AB ，AD=
12AB=12
×16=8（m ）． 设⊙O 半径为xm ，则在Rt △AOD 中，
OA 2=AD 2+OD 2，即x 2=82+（x-4）2
解得x=10，所以桥拱的半径为10m ． （2）设河水上涨到EF 位置（如上图所示），
这时EF=12m ，EF ∥AB ，有OC ⊥EF （•垂足为M ）． ∴EM=
1
2
EF=6m ． 连接OE ，则有OE=10m ，
（m ）． OD=OC-CD=10-4=6（m ）， OM-OD=8-6=2（m ）．
15．解：如右图所示，作出AB 所在的圆心O ，连接OA ，ON ． 设OA=r ，则OD=OC-DC=r-2.4，AD=
2
AB
=3.6． 在Rt △OAD 中，有OA 2=AD 2+OD 2， 即r 2=3.62+（r -2.4）2，解得r=3.9．
又在Rt△ONH中，有=3.6， FN=DH=OH-CD=3.6-（3.9-2.4）=2.1（m），
这里2m<2.1m，有0.1m的等量，因此货船可以通过这座拱桥．16．解：（1）
（2）结论：EC=FD或ED=FC．
（3）选择（1），证明：
过O作OG⊥CD于G，则CG=GD．
∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴AE∥OG∥BF，则四边形AEFB为梯形，
∵AB为⊙O的直径，∴OA=OB，
∴EG=GF，∴EG-CG=GF-GD，
即EC=DF．
17
18．A 19．D
20．解：连接OE，交AB于F，连接OA，由题意得四边形ABDC是矩形，• 由圆的轴对称性可知OE⊥CD．
∵CD∥AB，∴OE⊥AB．
且AF=1
2
AB=
1
2
×16=8（cm），
EF=AC=4cm，设⊙O的半径为r，在Rt△AFO中，OA2=OF2+AF2，即r2=（r-4）2+82，
解得r=10，∴2r=20．
所以这种铁球的直径为20cm．。