弹簧振子运动的研究

弹 簧 振 子 运 动 的 研 究

如图（1）所示，把一个有孔的小球安在弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球穿在光滑的水平杆上，可以在杆上滑动。小球在水平杆之间的摩擦忽略不计，弹簧的质量比小球的质量小得多，也可忽略不计。这样的系统称为弹簧振子，其中的小球常称作振子。

图（1）

由弹簧振子的定义可以看出，振子在运动的过程中，由于合外力时刻在改变，从而导致了加速度。速度跟着不断改变，因此它的运动就显得较为复杂。为了能够更好的掌握它的运动规律，同时锻炼我们对运动的研究能力，我们对它进行了初步的研究。

一、弹簧振子的周期和运动表达式 1.周期规律

可能影响因素：小球的质量（M ），弹簧的劲度系数（K ）以及振子的振幅（A ）。

（1）周期与振幅（A ）的关系。

质量为m 的小球，前后两次振幅分别为1A ，2A ，弹簧的劲度系数为K ，前后两次振动的周期分别为T 1，T 2。

推论：在前后两个运动过程中分别取两小段位移1x ，2x ，使得q A A x x ==2

1

21，根据胡克定律及牛顿第二定律，得

m kx a 11-

=，m kx a 22-= ∴q A A

a a ==2121 由于位移x 是任意的，且q 为定值。 ∴

q A A a a ==

2

1

2

1 而2

222

1112112

1)4

()4(44T a T

a T v T v A A ⋅⋅=⋅⋅

=

∴21T T =

△结论：弹簧振子的周期与振幅无关。

（2）周期与振子质量和劲度系数的关系。

有两个弹簧振子，振子的质量分别为1m ，2m ，弹簧的劲度系数分别为1k ，2k ，并且振子的振幅相同（因为周期与振幅无关，所以不用考虑它的影响）

推论：在两个运动中都取一小段位移x （任意的），同样有

12212

2

112

1m k m k m x

k m x

k a a =--

=

由于是任取的，

1

22

121m k m k a a = 同样可得22

122

1212

2221121)4

()4(T m k T m k T a T a A A =⋅⋅=

所以2

2221211m T k m T k =

因此有k m

T ∝ 由此可以看出：弹簧振子的周期与振子的质量的算术根成正比，与弹簧劲度系数的算术根成反比，即k

m

n

T

=（其中n 是一个与小球质量，弹簧劲度系数，振子振幅等无关的常数）。

2.振子位移，速度，加速度的变化规律

根据沙漏实验（图2）可知：弹簧振子的位移——时间图像是一条余弦曲线。因为右图沙漏实验得到的余弦曲线，实际上是由x 方向上的匀速直线运动和y 方向的振动的合成，因此y 方向上弹簧振子的振动图像也应为余弦曲线。

图（2）

如图（3），以经平衡位置向右运动开始计时，则其初相为

2

π

图（3）

设)2

cos(π

ω+

=t A x t （A ，ω>0）

∴)2

sin('π

ω+-==t A x v t t . )2

cos("2π

ωω+

-==t A x a t t

∵t t ma kx F

=-=

∴2

21

)

2

cos()

2

cos(ω

π

ωωπ

ω-=+

-+

=

-=t A t A k

m a x

∴m

k

=

ω ∴)2

cos(

π+=t m k A x t

)2sin('π+-==t m k A x v t t . )2

cos(π

+-=t m k m k A a t

如图（4）是弹簧振子运动的x-t 图象。

图（4）

由图像可见k

m

T

π

ωπ

22==

（即正面的常数 η=2π）；当4π+=nT t 时，x 达

到正向最大，此时振子速度ν=0（振子ν-t 图象如图（5）所示）；当2

)12(T

n t ⋅+=时，

振子位移为0，速度达到反向最大。

图（5）

（3）振子机械能的变化规律

取任意时刻t ，则此时系统的总机构能为：

222222

1)]2sin([21)]2cos([212121kA t m k m k A m t m k A k mv kx E =+⋅⋅++⋅=+=

ππ

如图（6）是振子动能和弹簧势能的关系图，亦可见其机械能总量E 恒等于2

2

1

kA

图（6）

△结论：弹簧振子在运动过程中机械能守恒，恒为22

1kA E =

上述弹簧振子均为理想化模型，在实际生活中，由于各种阻力的存在，导致振子周期出现偏差，与理论不相符；振子的振幅也会逐渐减小，机械能逐渐减小。

4.恒力作用下的弹簧振子

如图（7）是竖直方向上的弹簧振子，振子受到一个恒力--重力的作用。设弹簧的劲度系数为K ，自然长度为0l ，振子静止时弹簧伸长量为△x ，则有：mg=k △x 。现将振子向下拉伸x ，则：

kx x k x x k mg F F =∆-∆+=-=∑)(弹 因为ΣF 与x 反向，所以矢量式为kx F -=∑

∴k

m T

π

2= 由此可见，恒力作用下的弹簧振子（此时平衡位置为静止放置时振子

所在处）周期不变，运动表达式不变。

二.实验验证周期公式（主要验证周期与质量和振幅的关系）

图（7）