弹簧振子运动的研究

弹 簧 振 子 运 动 的 研 究如图（1）所示，把一个有孔的小球安在弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球穿在光滑的水平杆上，可以在杆上滑动。

小球在水平杆之间的摩擦忽略不计，弹簧的质量比小球的质量小得多，也可忽略不计。

这样的系统称为弹簧振子，其中的小球常称作振子。

图（1）由弹簧振子的定义可以看出，振子在运动的过程中，由于合外力时刻在改变，从而导致了加速度。

速度跟着不断改变，因此它的运动就显得较为复杂。

为了能够更好的掌握它的运动规律，同时锻炼我们对运动的研究能力，我们对它进行了初步的研究。

一、弹簧振子的周期和运动表达式 1.周期规律可能影响因素：小球的质量（M ），弹簧的劲度系数（K ）以及振子的振幅（A ）。

（1）周期与振幅（A ）的关系。

质量为m 的小球，前后两次振幅分别为1A ，2A ，弹簧的劲度系数为K ，前后两次振动的周期分别为T 1，T 2。

推论：在前后两个运动过程中分别取两小段位移1x ，2x ，使得q A A x x ==2121，根据胡克定律及牛顿第二定律，得m kx a 11-=，m kx a 22-= ∴q A Aa a ==2121 由于位移x 是任意的，且q 为定值。

∴q A A a a ==2121 而222211121121)4()4(44T a Ta T v T v A A ⋅⋅=⋅⋅=∴21T T =△结论：弹簧振子的周期与振幅无关。

（2）周期与振子质量和劲度系数的关系。

有两个弹簧振子，振子的质量分别为1m ，2m ，弹簧的劲度系数分别为1k ，2k ，并且振子的振幅相同（因为周期与振幅无关，所以不用考虑它的影响）推论：在两个运动中都取一小段位移x （任意的），同样有1221221121m k m k m xk m xk a a =--=由于是任取的，122121m k m k a a = 同样可得2212212122221121)4()4(T m k T m k T a T a A A =⋅⋅=所以22221211m T k m T k =因此有k mT ∝ 由此可以看出：弹簧振子的周期与振子的质量的算术根成正比，与弹簧劲度系数的算术根成反比，即kmnT=（其中n 是一个与小球质量，弹簧劲度系数，振子振幅等无关的常数）。

2.振子位移，速度，加速度的变化规律根据沙漏实验（图2）可知：弹簧振子的位移——时间图像是一条余弦曲线。

因为右图沙漏实验得到的余弦曲线，实际上是由x 方向上的匀速直线运动和y 方向的振动的合成，因此y 方向上弹簧振子的振动图像也应为余弦曲线。

图（2）如图（3），以经平衡位置向右运动开始计时，则其初相为2π图（3）设)2cos(πω+=t A x t （A ，ω>0）∴)2sin('πω+-==t A x v t t . )2cos("2πωω+-==t A x a t t∵t t ma kx F=-=∴221)2cos()2cos(ωπωωπω-=+-+=-=t A t A km a x∴mk=ω ∴)2cos(π+=t m k A x t)2sin('π+-==t m k A x v t t . )2cos(π+-=t m k m k A a t如图（4）是弹簧振子运动的x-t 图象。

图（4）由图像可见kmTπωπ22==（即正面的常数 η=2π）；当4π+=nT t 时，x 达到正向最大，此时振子速度ν=0（振子ν-t 图象如图（5）所示）；当2)12(Tn t ⋅+=时，振子位移为0，速度达到反向最大。

图（5）（3）振子机械能的变化规律取任意时刻t ，则此时系统的总机构能为：2222221)]2sin([21)]2cos([212121kA t m k m k A m t m k A k mv kx E =+⋅⋅++⋅=+=ππ如图（6）是振子动能和弹簧势能的关系图，亦可见其机械能总量E 恒等于221kA图（6）△结论：弹簧振子在运动过程中机械能守恒，恒为221kA E =上述弹簧振子均为理想化模型，在实际生活中，由于各种阻力的存在，导致振子周期出现偏差，与理论不相符；振子的振幅也会逐渐减小，机械能逐渐减小。

4.恒力作用下的弹簧振子如图（7）是竖直方向上的弹簧振子，振子受到一个恒力--重力的作用。

设弹簧的劲度系数为K ，自然长度为0l ，振子静止时弹簧伸长量为△x ，则有：mg=k △x 。

现将振子向下拉伸x ，则：kx x k x x k mg F F =∆-∆+=-=∑)(弹 因为ΣF 与x 反向，所以矢量式为kx F -=∑∴km Tπ2= 由此可见，恒力作用下的弹簧振子（此时平衡位置为静止放置时振子所在处）周期不变，运动表达式不变。

二.实验验证周期公式（主要验证周期与质量和振幅的关系）图（7）1.实验装置：（1）如图（1），弹簧和小球（穿孔）穿过细杆，一端固定在支架上，另一端系着一个小球，使小球在细杆上振动。

这种装置既有优点，亦有缺点。

优点：可以避免小球在振动中偏离原来的轨道。

缺点：由于细杆与小球间存在较大的摩擦，给实验造成较大的误差。

为减小摩擦，考虑在细杆上涂一层油脂。

但是油是粘性物质，会给实验造成新的误差。

（2）既然水平细杆的存在会造成摩擦，那么去掉呢？则小球会下落。

但如果顺应或防止这种下落，实验还是可以顺利进行。

①顺应下落。

将水平弹簧振子变为竖直方向上的弹簧振子，如图（7），由于恒力对振子周期没有影响，因此可以用此装置实验。

这种装置的优点是：可以减少阻力的影响；但当振子的振幅较大时，振子会左右摆动。

②防止小球下落。

考虑用细线吊住小球，但是由于左右受力不平衡，会造成小球严重脱离轨道。

因此可以在小球右端加多一根劲度系数与左边相近的弹簧（此时21k k k +=）如图（8） 虽然解决了偏离问题，但也存在一些新的问题。

△当振幅太大时，小球受到细绳的拉力变大，且此拉力水平分量也变大，小球会上偏。

△解决办法：（1）增加细绳长度。

这样，相同振幅下，绳偏离角度变小，绳拉力的水平分量减小，且小球上偏程度减小。

（2）减小振子振幅，同样可以减小阻力和上偏程度。

比较图（7）和图（8）装置，图（8）的装置显得优越些。

因此，实验时选择图（8）装置。

2.实验测取数据并分析整理按图（8）装置，取不同质量的小球，振子振幅不同（都不会太大）。

测得的数据如下（弹簧劲度系数k=k 1+k 2=23.13+23.13=46.43N/m ）△结论：在误差允许的范围内，周期满足公式kmT π2=，即周期与小球质量的算术平方根成正比，与振幅无关。

三.弹簧振子的扩展--简谐运动1.除了弹簧振子外，单摆也是简谐运动的典例。

下面我们对单摆进行研究。

（1）单摆周期与质量的关系如图（9）是一个单摆。

前后两次用两个质量分别为M ，m （M 〉m ）小球拉开图（8）相同的角度，然后放手让小球作单摆运动。

假如质量大的周期长（即速度快），所以M 运动的速度小于m 。

如果有一个质量M+m 的小球，则它下落的速度应小于M 。

但是，将M+m 的小球看成两部分，由于m 下落比M 快，m 可以带动M 从而使整个球的速度大于M ，这与质量大的周期长相等。

因此质量大的周期不一定长。

同样，我们可以推出，质量小的周期也不一定长。

由此可见，周期与小球质量无关。

（2）推导单摆周期公式现在，让我们用能量的角度来推导。

如图（10）当小球的振幅为A 时，有（∵θ很小，所以振幅为θA ）。

Rt △0θD ∽Rt △θ0E∴A h AA l =21 ∴lA h A 22=同样，当位移为x 时，l x h x 22=∴lx A h h h x A 222-=-=∆由于绳的拉力方向始终垂直于小球的速度方向，因此拉力对绳不做功，机械能守恒。

∴lx A mg h mg mv 221222-⋅=∆=∴)(222x A l g v -⋅=∴222A v gl x =+ …①根据弹簧振子机械能守恒公式222212121kL mv kx =+得222A v k m x =+…② 对比①②式，用g l 取代k m ，即可得：gl2k m 2T π=π=（亦可得到位移x ，速度v ，加速度a 的表达式）2.据对弹簧振子和单摆的研究可以得到简谐运动的一般规律。

（1）回复力x m F 2ω-=（亦可写成F=-kx ，k 为比例常数）（2）周期T=km 2π（3）瞬时速度t sin A v ωω-=3.简谐运动的其它例子（1）均速圆周运动质点在x 轴（或y 轴）上的投影作反复运动，可以证明，它的运动是简谐运动。

图（9） 图（10）如图所示：△在x 轴投影的位移t A x v t A x sin ,cos '⋅===ωω△在y 轴投影的位移t A y v t A y ωωωcos ,sin '⋅-===由此可见，两个相互垂直，振幅，频率相同初相差为2π的简谐运动的合成是匀速圆周运动。

（2）如下的运动亦为简谐运动：简谐运动是最简单最原始的振动，它在自然界中广泛存在。

在此次研究性学习中，我们没有查到太多的资料，以上的理论，大多是我们用自己所学的知识推导出来的，因此不免显得有些浅薄，敬请见谅。

但是，此次学习中我们也学到了一些东西。

我们不仅初步掌握了弹簧振子、单摆等的规律，增长了见识，同时也提高了我们的思维能力和实验能力，掌握了研究运动的基本方法。

在半径较大的光滑圆弧槽中运动的小球，其运动为简谐运动，类似单摆。

弯曲水管中的具有一定高度差的水在做简谐运动。

两物块固定在弹簧两端压缩（或拉伸）一段距离后放手，两物块做简谐运动，周期相同。