正态分布、区间估计

p ( zα / 2 < z < zα / 2 ) = 1 α p ( zα / 2 < X
a/2 -za/2
a/2 za/2
σX
X
< zα / 2 ) = 1 α
p ( X z α / 2σ
< < X + z α / 2σ X ) = 1 α
通式：X ± Zα / 2σ X (双侧 )
Output语句注解 语句注解
语句格式： 语句格式： OUTPUT OUT=数据集名 [统计关键字 变量 统计关键字=变量 数据集名 统计关键字 名] 功能： 功能： 将过程结果输出到一个新SAS数据集。 数据集。 将过程结果输出到一个新 数据集
方法2（正态分布近似法） 方法 （正态分布近似法）
data a; input sex$ age w h @@; cards; f 15 46 156 f 14 41 149 m 15 50 160 m 13 48 155 m 14 38 150 m 16 55 165 m 16 60 170 f 17 50 160 F 16 60 165 m 17 65 175 ；
样本频率的抽样误差
随机变量 X ~ B（n,π） （ 样本频率
率的标准误
X p= n
总体均数参数为π， 标准差为 σ = π (1 π )
p
n
Sp =
p(1 p) n
总体概率的置信区间
估计方法： 估计方法： 较小， 查表法：当样本含量n较小 比如n 查表法：当样本含量 较小，比如 ≤ 50 正态近似法： 足够大， 正态近似法： 当n足够大，且样本频率 和（1p） 足够大 且样本频率p和 ） 均不太小时， 均不太小时，如np与n(1p) 均大于 与 均大于5
实验三、 实验三、参数估计
抽样分布的特点
各样本均数未必等于总体均数; 各样本均数未必等于总体均数 样本均数之间存在差异; 样本均数之间存在差异 样本均数的分布很有规律：围绕总体均数， 样本均数的分布很有规律：围绕总体均数， 中间多两边少，左右基本对称； 中间多两边少，左右基本对称； 样本均数的变异范围较之原变量的变异范 围大大缩小；随着样本含量的增加，样本 围大大缩小；随着样本含量的增加， 均数的变异范围逐渐缩小。 均数的变异范围逐渐缩小。
p ( X tα / 2 , v S X < < X + tα / 2 , v S X ) = 1 α
通 ： ± tα / 2,vSX (双 ) 式 X 侧
95 双 置 区 ： t0.05/ 2,vSX , X + t0.05/ 2,vSX ) ％ 侧 信 间 (X
σ已知，按标准正态分布原理计算 已知， 已知
95%双侧置信区间 ( X 1.96σ X , X +1.96σ X ) ：
σ未知但样本例数 足够大（n＞50）时 未知但样本例数n足够大 未知但样本例数 足够大（ ＞ ）
分布可知， 由t分布可知，自由度越大，t分布越逼近标准 分布可知 自由度越大， 分布越逼近标准 正态分布， 正态分布，按标准正态分布原理计算
data aa; input x s n; y1=x-1.96*s/sqrt(n); /*可信区间的下限 可信区间的下限*/ 可信区间的下限 y2=x+1.96*s/sqrt(n); /*可信区间的上限 可信区间的上限*/ 可信区间的上限 cards; 172.2 4.5 90 ; proc print; run;
2 正态近似法
例5-8 用某种仪器检查已确诊的乳腺癌患者 120名，检出乳腺癌患者 例，检出率为 名 检出乳腺癌患者94例 78.3%。估计该仪器乳腺癌总体检出率的 。估计该仪器乳腺癌总体检出率的95% 置信区间。 置信区间。 比较大， 均大于5， 解: n比较大，且np = 94及n(1p) = 26均大于 ， 比较大 及 均大于 所以可用正态近似法估计总体概率的置信区间。 所以可用正态近似法估计总体概率的置信区间。
某医院对39名前列腺癌患者实施开放 例5-6 某医院对 名前列腺癌患者实施开放 手术治疗，术后有合并症者2人 手术治疗，术后有合并症者 人，试估计该手 术合并症发生概率的95%置信区间。 置信区间。 术合并症发生概率的 置信区间 解：查附表6，n = 39，X=2，交叉处的数值为 查附表 ， ， ， 1~17，即该手术合并症发生概率的 ，即该手术合并症发生概率的95%置信区 置信区 间为1% ~ 17%。 间为 。
作业
P83 6题 7题
6. 某研究表明新研制的一种安眠药比旧安眠药增加睡 眠时间。 眠时间。某医师从已确诊的神经衰弱病人中随机抽取了 两份样本, 一份样本是20例病人服用该种新药 例病人服用该种新药， 两份样本 一份样本是 例病人服用该种新药，计算得 到平均睡眠时间为6.39小时 标准差为 小时, 小时; 到平均睡眠时间为 小时 标准差为2.24小时 另一 小时 份样本是93例病人也服用该种新药 例病人也服用该种新药， 份样本是 例病人也服用该种新药，计算得到平均睡 眠时间为6.45小时 标准差为 小时, 小时。 眠时间为 小时 标准差为2.51小时。若睡眠时间服 小时 从正态分布， 从正态分布，试分别估计这种新安眠药的平均睡眠时间 置信区间； 的95%置信区间；并比较这两个区间有何不同，用哪 置信区间 并比较这两个区间有何不同， 一个估计总体参数更可靠？ 一个估计总体参数更可靠？ 7. 为了解中年男性高血压患病情况，某研究单位在某 为了解中年男性高血压患病情况， 市城区随机调查了45~54岁男性居民 岁男性居民2660人，检查出 市城区随机调查了 岁男性居民 人 高血压病人775人，试估计该市中年男子高血压患病率 高血压病人 人 置信区间。 的95%置信区间。 置信区间
f 18 65 165 m 18 70 180 m 17 68 176 f 17 58 160 f 18 61 162
proc means; var h; Output out=b mean=mean std=s n=n; data c; set b; t=tinv(0.975,n-1); /*也可使用 也可使用t=tinv(0.025,n-1);但此时计算出来的 界 但此时计算出来的t界 也可使用 但此时计算出来的 值为负数。 值为负数。*/ yl=mean-t*s/sqrt(n); /*可信区间的下限 可信区间的下限*/ 可信区间的下限 y2=mean+t*s/sqrt(n); /*可信区间的上限 可信区间的上限*/ 可信区间的上限 proc print; run;
总体均数的区间估计（单侧）
σ未知但样本例数 足够大（n＞50）时： 未知但样本例数n足够大 未知但样本例数 足够大（ ＞ ）
通式： 通式： > X Zα SX
< X + Zα SX
σ已知，按标准正态分布原理计算： 已知，按标准正态分布原理计算： 已知
通式： 通式： > X Zασ X < X + Zασ X
X X t= = ~ t分布， ν = n 1 分布， sX s n
t分布曲线 分布曲线
单峰分布，曲线以0为中心 为中心， 单峰分布，曲线以 为中心，左右对称类 似于标准正态分布。 似于标准正态分布。 t分布的形状与自由度ν有关 分布的形状与自由度
1-α
-tα/2,v
tα/2,v
双侧： 双侧：P(t≤-tα/2,ν)+ P(t≥tα/2,ν)=α P(-tα/2,ν < t <tα/2,ν) = 1-α
p ± Zα / 2Sp = p ± Z0.05/ 2 p(1 p) n
0.783(1 0.783) = 0.783±1.96× 120 = 0.709 ~ 0.857
data aa; input p n; Sp=sqrt(p*(1-p)/n); y1=p-1.96*Sp; y2=p+1.96*Sp ; cards; 0.783 120 ; proc print; run; /*可信区间的下限*/ /* /*可信区间的上限*/ */
抽样误差
由于总体中个体变异的存在， 抽样过程中 由于总体中个体变异的存在，在抽样过程中 个体变异的存在 产生的样本统计量与总体参数间的差异称为 抽样误差。 抽样误差。
标准误
样本统计量的标准差称为标准误。 样本统计量的标准差称为标准误。 样本均数的标准差称为样本均数的标准误， 样本均数的标准差称为样本均数的标准误， 反映样本均数的离散程度， 反映样本均数的离散程度，反映样本均数 抽样误差大小。 抽样误差大小。
某市2000年随机测量了90名19岁健康男大 某市2000年随机测量了90名19岁健康男大 2000年随机测量了90 学生的身高，均数为172.2cm，标准差为 学生的身高，均数为172.2cm， 172.2cm 4.5cm，试估计该市当年19岁健康男大学 4.5cm，试估计该市当年19岁健康男大学 19 生平均身高95%置信区间。 生平均身高95%置信区间。 95%置信区间
通式：X ± Zα / 2SX (双侧 )
(X 95 ％双侧置信区间： 1.96SX , X +1.96SX )
总体均数的区间估计（单侧）
σ未知且样本例数 较小时，按t分布原理： 未知且样本例数n较小时 未知且样本例数 较小时， 分布原理：
通式： > X tα,v SX
< X + tα,vSX
名学生， 例：随机抽取15名学生，记录他们的性别 随机抽取 名学生 ）、年龄 ）、体重 （sex）、年龄（age）、体重（w）和身高 ）、年龄（ ）、体重（ ） ），求 学生身高的95%置信区间。 置信区间。 （h），求：学生身高的 ）， 置信区间 f m m m f 15 15 14 16 16 46 50 38 60 60 156 160 150 170 165 f m m f m 14 13 16 17 17 41 48 55 50 65 149 155 165 160 175 f m m f f 18 18 17 17 18 65 70 68 58 61 165 180 176 160 162
σ未知且样本例数 较小时，按t分布原理计算 未知且样本例数n较小时 未知且样本例数 较小时， 分布原理计算
p ( tα / 2 , v < t < tα / 2 , v ) = 1 α p ( tα / 2 , v
a/2 -ta/2,v
a/2 ta/2,v
X < < tα / 2 , v ) = 1 α SX
总体均数的可信区间(SAS实现) 总体均数的可信区间(SAS实现) (SAS实现
（1）t 分布法 SAS函数： SAS函数：TINV 函数 t=TINV(p,df) 求t分位数的函数，p 分位数的函数， 是从- 到当前t分位数位置的面积。 是从-∞到当前t分位数位置的面积。 df=n-1（自由度） df=n自由度）
某医生用某药物治疗31例脑血管梗塞 例5-7 某医生用某药物治疗 例脑血管梗塞 患者，其中25例患者治疗有效 例患者治疗有效， 患者，其中 例患者治疗有效，试求该药物 治疗脑血管梗塞有效概率的95%置信区间置 治疗脑血管梗塞有效概率的 置信区间置 信区间。 信区间。 解：n = 31，X = 25 > n/2，所以用 X = 6查 ， ，所以用n 查 附表6，得8 ~38，即无效概率的95%置信区 附表 ， ，即无效概率的 置信区 间为8% ~38%，因此有效概率的 间为 ，因此有效概率的95%置信 置信 区间为62% ~ 92%。 区间为 。
总体均数的区间估计
由于总体情况未知，要计算总体参数 由于总体情况未知，要计算总体参数 的置信区间， 的置信区间，必须依靠样本统计量进行 推断。 推断。 X X t= = 样本是从总体中抽样获得， 样本是从总体中抽样获得，因此不可避 s X 。s n 免存在抽样误差。 免存在抽样误差 因此计算总体参数的置信区间时， 因此计算总体参数的置信区间时，必须 利用样本统计量，同时考虑抽样误差 抽样误差和 利用样本统计量，同时考虑抽样误差和 可信的程度（ 可信的程度（1-α）。
σx =
σ
n
s sx = n
t分布 分布
设从正态分布N( 中随机抽取含量为n的 设从正态分布 ,σ2)中随机抽取含量为 的 中随机抽取含量为 样本，设： 样本，
X ~ N ( , σ ) → z =
2 X z变换
X
σX
~ N (0,1)
ห้องสมุดไป่ตู้
实际工作中，总体方差未知， 实际工作中，总体方差未知，用样本方差 代替，此时： 代替，此时：
参数估计
参数估计： 参数估计：由已知的样本统计量推断总体 参数。 参数。 参数估计：点估计和区间估计； 参数估计：点估计和区间估计； 区间估计： 区间估计： 假设某个总体的均数为， 假设某个总体的均数为 ，需要找到 两个数值A和 ，使得在一个比较高的可信 两个数值 和B，使得在一个比较高的可信 能包含。 度下(如95%)，区间 如 ，区间(A,B)能包含 。即 能包含 P(A<<B)=0.95