2021-2022年高二上学期10月月考数学(理)试题(学生用)
2020-2021学年黑龙江省鹤岗市一中高二上学期10月月考数学(理)试题及答案
2020-2021学年黑龙江省鹤岗市一中高二上学期10月月考数学（理）试题★祝考试顺利★(含答案)一、单选题1．一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+2．直线1:210l ax y +-=与()22:10l x a y a +-+=平行,则a =（ ）A ．1-B ．2C ．1-或 2D ．0 或 13．已知l ,m ,n 为不同的直线,α,β,γ为不同的平面,则下列判断错误的是（ ）A ．若m α⊥,n β⊥,//αβ．则//m nB ．若m α⊥,n β⊥,//m n ,则//αβC ．若l αβ=,m βγ=,n γα=,//l γ,则//m nD ．若αγ⊥,βγ⊥,则//αβ4．直线1:(0)l y kx b kb =+≠和直线2:1xyl k b +=在同一坐标系中可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,E 是棱1DD 的中点,则平面1AC E 截该正方体所得的截面面积为（ ）A ．B ．C ．D ．56．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限,那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,给出下列四个命题：①对角线1AC 被平面1A BD 和平面11B CD 、三等分；②正方体的内切球、与各条棱相切的球、正方体的外接球的表面积之比为1:2:3；③以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是16；④正方体与以A 为球心,1为半径的球的公共部分的体积是6π．其中正确的序号是（ ）A ．①②B ．②④C ．①②③D ．①②④ 8．直线l 经过点A (1,2),在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3),则其斜率的取值范围是（ ）A ．11,5⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．()1,1,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ C ．()1,,51⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ D ．()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭9．设直线1:370l x y +-= 与直线2:10l x y -+=的交点为P ,则P 到直线:20l x ay a ++-=的距离最大值为( )A B ．4 C ．D 10．如图,在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中,P 为11A D 的中点,Q 为11A B 上任意一点,E 、。
福建省漳州市漳州康桥高级中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题
bn
8
1 bn
3
，数列 cn 的前
n
项和为
Sn
，定义 x
为不超过
x
的最大整数，
例如 0.2 0 ，3.4 3，求Sn 的前 n 项和 Tn .
试卷第 4页，共 4页
福建省漳州市漳州康桥高级中学 2023-2024 学年高二上学期 10 月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在等差数列an 中，首项为 a1 1，公差为 d 1 ，则 a4 （ ）
A．2
B．0
A．153
B．171
C．190
试卷第 1页，共 4页
D．210
8．已知数列an 满足 a1
1，an1
an an
2, n 2k, k N 3, n 2k 1, k N
，若 bn
a2n1 ，则 b5
（
）
A．28
B．26
C．21
D．16
二、多选题 9．下列命题是错误的是（ ）
A．等比数列的单调性只与 q 的正负有关
21．在数列 an 中， a1 6 ，且 an1an an1 3an .
(1)证明：
1
1
是等比数列.
an 2
试卷第 3页，共 4页
(2)求数列
n an
的前
n
项和
Sn
.
22．已知数列
an
的前
n
项积为
bn
，且
2 bn
1 an
1.
(1)证明：bn 是等差数列；
(2)设 cn
2021-2022学年河南省驻马店市第二高级中学高二上学期第一次月考(文、理)数学试题(解析版)
2021-2022学年河南省驻马店市第二高级中学高二上学期第一次月考（文、理）数学试题一、单选题1．已知a ，b ∈R ，且a b >，则下列各式中一定成立的是（ ） A ．11a b <B ．33a b >C ．2ab b >D ．22a b >【答案】B【分析】利用特殊值判断A 、C 、D ，根据幂函数的性质判断B ； 【详解】解：因为a ，b ∈R ，且a b >， 对于A ：若1a =，1b，显然11a b>，故A 错误； 对于B ：因为函数3y x =在定义域R 上单调递增，所以33a b >，故B 正确； 对于C ：若0b =，则20ab b ==，故C 错误； 对于D ：若1a =，1b ，则22a b =，故D 错误；故选：B2…，则 ）项． A ．6 B ．7C ．9D ．11【答案】D【分析】根据前几项写出数列的通项公式，由此可判断.【详解】，…，由此可归纳数列的通项为：n a，所以11n =，所以11项， 故选：D.3．若数列{an }满足：a 1＝19，an ＋1＝an －3，则数列{an }的前n 项和数值最大时，n 的值为 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】B【分析】先判断数列{an }为等差数列，写出通项公式，若前k 项和数值最大，利用10,0,k k a a +≥⎧⎨≤⎩，解出k .【详解】∵a 1＝19，an ＋1－an ＝－3，∴数列{an }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴an ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n ，则an 是递减数列．设{an }的前k 项和数值最大，则有10,0,k k a a +≥⎧⎨≤⎩ 即()2230,22310,k k -≥⎧⎨-+≤⎩∴193≤k ≤223， ∵k ∈N *，∴k ＝7． ∴满足条件的n 的值为7． 故选：B【点睛】求等差数列前n 项的最大（小）的方法： （1）由2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n 的值； （2）利用an 的符号①当a 1>0，d <0时，数列前面有若干项为正，此时所有正项的和为Sn 的最大值，其n 的值由an ≥0且an+1≤0求得；②当a 1<0，d >0时，数列前面有若干项为负，此时所有负项的和为Sn 的最小值，其n 的值由an ≤0且an+1≥0求得.4．在等差数列{}n a 中，若38137a a a ++=，2111414a a a ++=，则8a 和9a 的等比中项为（ ） A．BC．D【答案】A【解析】根据等差数列的性质计算出89,a a ，再根据等比中项的定义即可求出答案 【详解】由题意得：3813837a a a a ++==，所以873a =，211149314a a a a ++==，所以9143a =.89989a a ⋅=，所以8a 和9a的等比中项为故选A.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质（若m n p q +=+则m n p q a a a a +=+），以及等比中项，属于基础题。
2021-2022学年重庆市清华中学高二(上)第一次月考数学试卷(10月份) (解析版)
2021-2022学年重庆市清华中学高二（上）第一次月考数学试卷（10月份）一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．直线的倾斜角为（）A．60°B．30°C．45°D．120°2．已知向量，，且，那么x等于（）A．﹣4B．﹣3C．0D．13．点A（1，2）到直线l：3x﹣4y﹣1＝0的距离为（）A．B．C．4D．64．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，已知＝，＝，＝，＝，则＝（）A．﹣+B．++C．﹣﹣+D．﹣﹣+5．在空间直角坐标系中，A（1，﹣1，﹣1），B（2，1，1），平面BCD的一个法向量是（1，1，0），则直线AB与平面BCD所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6．若入射光线所在直线的方程为，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程是（）A．B．C．D．7．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为底面A1B1C1D1内一动点，则•的取值范围是（）A．[，1]B．[0，1]C．[﹣1，0]D．[﹣，0]8．已知直线l1：x﹣y﹣1＝0绕与x轴交点旋转过程中始终与动直线l2：x﹣ay﹣2＝0垂直，当直线l1逆时针旋转75°时，则直线l2沿与向量共线的方向平移4个单位长度后的直线的方程为（）A．B．C．或D．或二、多选题（本大题共4小题，每题5分，共20.0分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）9．设直线l1：3x+2ay﹣5＝0，l2：（3a﹣1）x﹣ay﹣2＝0．若l1与l2平行，则a的值可以为（）A．﹣B．C．0D．610．对于直线l：x＝my+1，下列说法正确的是（）A．直线l恒过定点（1，0）B．直线l斜率必定存在C．m＝时，直线l的倾斜角为60°D．m＝2时，直线l与两坐标轴围成的三角形面积为11．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（）A．B．BD⊥平面ACC1C．向量与的夹角是60°D．直线BD1与AC所成角的余弦值为12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O在线段AC上移动，点M为棱BB1的中点，则下列结论中正确的有（）A．D1O∥平面A1BC1B．∠D1OM的大小可以为90°C．异面直线D1O与A1C1的距离为定值D．存在实数λ∈[0，1]，使得成立三、单空题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）13．若三点P（1，1），A（2，﹣4），B（x，﹣9）共线，则x＝．14．已知四点A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），P（1，1，1），则点P面ABC（填写“∈”或者“∉”中的一个）．15．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AA1＝A1B1＝A1C1＝4，点E是棱CC1上一点，且，则异面直线A1B与AE所成角的余弦值为．16．m∈R，动直线l1：x+my﹣1＝0过定点A，动直线过定点B，若直线l1与l2相交于点P（异于点A，B），则△PAB周长的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知直线l经过点P（1，2）．（1）求在两坐标轴上截距相等的直线l的方程；（2）求与第（1）问中斜率小于零的直线l距离等于的直线l1的方程．18．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，点E，F分别为棱CC1，AA1的中点．（1）求证：D1F∥平面BDE；（2）求直线D1F到平面BDE的距离．19．已知圆C经过点A（1，0），点B（3，﹣2），且它的圆心在直线2x+y＝0上．（1）求圆C的标准方程；（2）若圆D与圆C关于直线x﹣y+1＝0对称，求圆D的标准方程．20．在△ABC中，A（5，4），边AC上的高BE所在的直线方程为3x+4y﹣7＝0，边AB上的中线CM所在的直线方程为5x﹣2y﹣10＝0．（1）求点C坐标；（2）求直线BC的方程．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AC∩BD＝O，底面ABCD为菱形，边长为2，PO⊥CD，PA＝PC，且∠ABC＝60°．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）当异面直线PB与CD所成的角为60°时，在线段CP上是否存在点M，使得直线OM与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，请求出线段CM的长，若不存在，请说明理由．22．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2．点E，F分别在AB，CD上，且AE＝2，CF＝1．沿EF将四边形AEFD翻折至四边形A'EFD'，使平面A'EFD'与平面BCFE垂直，若在线段EB上有动点H．（1）从以下两个条件中任选一个作为已知条件_____，以确定点的位置，①若四点A'，D'，C，H共面，②若三棱锥A'﹣EFH的体积是三棱锥C﹣A'EF体积的；（2）在第（1）问基础上，在线段A'D'上有一动点P，设二面角P﹣HF﹣E的平面角为θ，求cosθ的最大值．参考答案一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40.0分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线的倾斜角为（）A．60°B．30°C．45°D．120°【分析】因为直线的斜率等于倾斜角的正切值，所以先找出直线的斜率，根据特殊角的三角函数值得到倾斜角的度数．解：设直线的倾斜角为α，0＜α＜180°，由直线的斜率为得到：tanα＝，所以α＝60°故选：A．2．已知向量，，且，那么x等于（）A．﹣4B．﹣3C．0D．1【分析】利用向量垂直的性质直接求解．解：向量，，且，∴＝x﹣1＝0，解得x＝1．故选：D．3．点A（1，2）到直线l：3x﹣4y﹣1＝0的距离为（）A．B．C．4D．6【分析】由题意利用点到直线的距离公式，求得结果．解：点A（1，2）到直线l：3x﹣4y﹣1＝0的距离为＝，故选：B．4．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，已知＝，＝，＝，＝，则＝（）A．﹣+B．++C．﹣﹣+D．﹣﹣+【分析】利用空间向量加法法则求解．解：因为在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，＝，＝，＝，＝，所以＝（+）＝﹣+（+）＝﹣++＝﹣+（﹣）+（﹣）＝﹣++＝﹣+．故选：A．5．在空间直角坐标系中，A（1，﹣1，﹣1），B（2，1，1），平面BCD的一个法向量是（1，1，0），则直线AB与平面BCD所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【分析】记平面BCD的一个法向量＝（1，1，0），设直线AB与平面BCD所成的角为θ，根据sinθ＝|cos＜，＞|，求解即可．解：在空间直角坐标系中，A（1，﹣1，﹣1），B（2，1，1），＝（1，2，2），记平面BCD的一个法向量＝（1，1，0），设直线AB与平面BCD所成的角为θ，直线AB与平面BCD所成的角的正弦值sinθ＝|cos＜，＞|＝＝＝．则直线AB与平面α所成角θ为45°．故选：B．6．若入射光线所在直线的方程为，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程是（）A．B．C．D．【分析】经x轴反射的两条光线的斜率互为相反数，再求出入射光线与x轴的交点，然后由点斜式即可写出反射光线所在直线的方程．解：由题意知，反射光线所在直线的斜率为﹣，在直线中，令y＝0，则x＝，所以入射光线所在直线与x轴的交点坐标为（，0），所以反射光线所在直线的方程是y﹣0＝﹣（x﹣），即y＝﹣x+4．故选：B．7．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为底面A1B1C1D1内一动点，则•的取值范围是（）A．[，1]B．[0，1]C．[﹣1，0]D．[﹣，0]【分析】由题意画出图形，建立适当的空间直角坐标系，求出•的表达式，再由配方法求解．解：如图，以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系．则A（1，0，0），C（0，1，0），设E（x，y，1），则0≤x≤1，0≤y≤1．∴，，∴＝．由二次函数的性质可得：当x＝y＝时，•取最小值为；当x＝0或x＝1，且y＝0或y＝1时，•取得最大值为1．∴•的取值范围是[，1]．故选：A．8．已知直线l1：x﹣y﹣1＝0绕与x轴交点旋转过程中始终与动直线l2：x﹣ay﹣2＝0垂直，当直线l1逆时针旋转75°时，则直线l2沿与向量共线的方向平移4个单位长度后的直线的方程为（）A．B．C．或D．或【分析】根据题意先求出l2的直线方程，再对直线进行平移即可．解：直线l1：x﹣y﹣1＝0的斜率k＝1，倾斜角为45°，将直线l1逆时针旋转75°，可得直线的倾斜角为45°+75°＝120°，所以旋转后直线的斜率k1＝tan120°＝﹣，因为旋转后的直线与直线l2：x﹣ay﹣2＝0垂直，所以﹣×＝﹣1，所以a＝，所以l2：x﹣y﹣2﹣0，因为||＝＝2，所以将直线l2沿与向量共线的方向平移4个单位长度后的直线的方程为（x+2）﹣（y+2）﹣2＝0或（x﹣2）﹣（y﹣2）﹣2＝0，即x﹣y﹣6＝0或x﹣y+2＝0；故选：D．二、多选题（本大题共4小题，每题5分，共20.0分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）9．设直线l1：3x+2ay﹣5＝0，l2：（3a﹣1）x﹣ay﹣2＝0．若l1与l2平行，则a的值可以为（）A．﹣B．C．0D．6【分析】对a是否等于0分情况讨论，利用两直线平行的斜率关系即可求出a的值．解：①当a＝0时，直线l1：x＝，直线l2：x＝﹣2，此时两直线平行，符合题意．②当a≠0时，直线l1：y＝，直线l2：y＝，若l1与l2平行，则＝，解得：a＝﹣，综上所述，a＝0或﹣，故选：AC．10．对于直线l：x＝my+1，下列说法正确的是（）A．直线l恒过定点（1，0）B．直线l斜率必定存在C．m＝时，直线l的倾斜角为60°D．m＝2时，直线l与两坐标轴围成的三角形面积为【分析】由题意求出直线的斜率和倾斜角，求直线和坐标轴的交点坐标，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．解：对于直线l：x＝my+1，令y＝0，求得x＝1，可得它恒过定点（1，0），故A正确；当m＝0时，它的斜率不存在，故B错误；m＝时，直线l的斜率为＝，故它的倾斜角为30°，故C错误；m＝2时，直线l即x﹣2y﹣1＝0，它与坐标轴的交点为（1，0）、（0，﹣），故该直线与两坐标轴围成的三角形面积为×1×＝，故D正确，故选：AD．11．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（）A．B．BD⊥平面ACC1C．向量与的夹角是60°D．直线BD1与AC所成角的余弦值为【分析】直接在平行六面体中，利用向量的线性运算，向量的模，向量的夹角，向量的数量积，线面垂直和线线垂直之间的转换判断A、B、C、D的结论．解：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，所以：，故：＝+2＝36+36+36+3×2×6×6×cos60°＝216；整理得：，故A错误；对于B：由于底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD，由于，所以AC1⊥BD，故BD⊥平面ACC1，故B正确；对于C：由于，△AA1D为等边三角形，所以和的夹角为120°，故向量与的夹角是120°，故C错误；对于D：，，利用：，解得：，，由于，所以，故D正确．故选：AC．12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O在线段AC上移动，点M为棱BB1的中点，则下列结论中正确的有（）A．D1O∥平面A1BC1B．∠D1OM的大小可以为90°C．异面直线D1O与A1C1的距离为定值D．存在实数λ∈[0，1]，使得成立【分析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，如图所示，设正方体的棱长为2，通过求解，转化判断A的正误；通过证明OD1⊥平面MAC，判断B的正误；利用空间向量法求出异面直线的距离，从而判断C的正误，通过A，O，C三点共线，结合向量的模的关系，判断D的正误．解：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，如图所示，设正方体的棱长为2，设O（x，2﹣x，0），0⩽x⩽2，D1（0，0，2），B（2，2，0），B1（2，2，2），所以．又DB1⊥平面A1BC1，所以平面A1BC1的法向量为．因为，所以OD1⊥DB1，所以D1O∥平面A1BC1，故A正确；对于B，当O为AC的中点时，O（1，1，0），M（2，2，1），A（2，0，0），C（0，2，0），所以，所以，，所以OD1⊥AC，OD1⊥AM，因为AC∩AM＝A，AC，AM⊂平面MAC，所以OD1⊥平面MAC，所以∠D1OM的大小可以为90°，故B正确；对于C，，设，所以，即，令a＝1，则b＝1，c＝1，所以，又，所以异面直线D1O与A1C1的距离，故C不正确，对于D，A，O，C三点共线，，，，所以，故D正确．故选：ABD．三、单空题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）13．若三点P（1，1），A（2，﹣4），B（x，﹣9）共线，则x＝3．【分析】三点共线等价于以三点为起点终点的两个向量共线，利用向量坐标公式求出两个向量的坐标，利用向量共线的充要条件列出方程求出x．解：三点P（1，1），A（2，﹣4），B（x，﹣9）共线，，，⇒1×（﹣10）＝﹣5（x﹣1）⇒x＝3故答案为314．已知四点A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），P（1，1，1），则点P∉面ABC（填写“∈”或者“∉”中的一个）．【分析】设＝x+y，根据空间向量的坐标运算，可得关于x和y的方程组，解之即可．解：由题意知，＝（﹣1，1，0），＝（﹣1，0，1），＝（0，1，1），设＝x+y，则（0，1，1）＝（﹣x﹣y，x，y），即，该方程无解，所以点P∉面ABC．故答案为：∉．15．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AA1＝A1B1＝A1C1＝4，点E是棱CC1上一点，且，则异面直线A1B与AE所成角的余弦值为．【分析】以点A1为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A1﹣xyz，求出两直线的方向向量，利用向量法求异面直线所成的角的余弦值．解：以点A1为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A1﹣xyz，则A1（0，0，0），B（4，0，4），A（0，0，4），E（0，4，），则＝（4，0，4），＝（0，4，﹣），cos＜，＞＝＝﹣，所以异面直线A1B与AE所成角的余弦值为，故答案为：．16．m∈R，动直线l1：x+my﹣1＝0过定点A，动直线过定点B，若直线l1与l2相交于点P（异于点A，B），则△PAB周长的最大值为2+2．【分析】求出直线l1：x+my﹣1＝0过定点A的坐标和直线l2：mx﹣y﹣2m+＝0过定点B的坐标，l1与l2交于点P，根据两条直线的斜率不难发现有则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝4．利用基本不等式的性质可得|PA|+|PB|的最大值，即可得到所求周长的最大值．解：直线l1：x+my﹣1＝0过定点A（1，0），直线l2：mx﹣y﹣2m+＝0即m（x﹣2）＝y﹣，可得过定点B（2，），由于1•m+m•（﹣1）＝0，则l1与l2始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝4．由a2+b2≥2ab可得2（a2+b2）≥（a+b）2，那么2（|PA|2+|PB|2）≥（|PA|+|PB|）2，即有|PA|+|PB|≤＝2，当且仅当|PA|＝|PB|＝时，上式取得等号，则△PAB周长的最大值为2+2．故答案为：2+2．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知直线l经过点P（1，2）．（1）求在两坐标轴上截距相等的直线l的方程；（2）求与第（1）问中斜率小于零的直线l距离等于的直线l1的方程．【分析】（1）直线l经过原点时，利用点斜式可得方程；直线l不经过原点时，可设方程为：x+y＝a，把点P（1，2）代入可得a．（2）第（1）问中斜率小于零的直线l为：x+y﹣3＝0．设要求的直线l1的方程为：x+y+m ＝0，利用平行线之间的距离公式即可得出．解：（1）直线l经过原点时，可得方程为：y＝2x；直线l不经过原点时，可设方程为：x+y＝a，把点P（1，2）代入可得：a＝1+2＝3，此时直线l的方程为：x+y﹣3＝0．综上可得直线l的方程为：y＝2x；或x+y﹣3＝0．（2）第（1）问中斜率小于零的直线l为：x+y﹣3＝0．设要求的直线l1的方程为：x+y+m＝0，则＝2，解得m＝1，或﹣7．∴要求的直线l1的方程为：x+y+1＝0，或x+y﹣7＝0．18．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，点E，F分别为棱CC1，AA1的中点．（1）求证：D1F∥平面BDE；（2）求直线D1F到平面BDE的距离．【分析】（1）取BB1的中点G，连接FG，C1G，先证明四边形C1D1FG为平行四边形，从而得到D1F∥C1G，由中位线定理以及平行公理可得，D1F∥BE，再利用线面平行的判定定理证明即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面BDE的法向量，又直线D1F到平面BDE的距离，即为点D1到平面BDE的距离，由点到平面距离的向量公式求解即可．解：（1）证明：取BB1的中点G，连接FG，C1G，因为A1B1∥C1D1，且A1B1＝C1D1，又A1B1∥FG，且A1B1＝FG，所以FG∥C1D1，且FG＝C1D1，故四边形C1D1FG为平行四边形，则D1F∥C1G，在矩形BCC1B1中，因为E，G分别为CC1，BB1的中点，所以BE∥C1G，所以D1F∥BE，又D1F⊄平面BDE，BE⊂平面BDE，故D1F∥平面BDE；（2）以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则D（0，0，0），B（1，1，0），E（0，1，1），D1（0，0，2），所以，，设平面BDE的法向量为，则，即，令y＝﹣1，则x＝z＝1，故，由（1）可知，D1F∥平面BDE，所以直线D1F到平面BDE的距离即为点D1到平面BDE的距离，又点D1到平面BDE的距离为＝，所以直线D1F到平面BDE的距离为．19．已知圆C经过点A（1，0），点B（3，﹣2），且它的圆心在直线2x+y＝0上．（1）求圆C的标准方程；（2）若圆D与圆C关于直线x﹣y+1＝0对称，求圆D的标准方程．【分析】（1）先求得线段AB的垂直平分线方程，与2x+y＝0联立，求得圆心即可；（2）根据圆D与圆C关于直线x﹣y+1＝0对称，求得圆心C关于直线x﹣y+1＝0的对称点即可．解：（1）已知圆C经过点A（1，0），点B（3，﹣2），则线段AB的垂直平分线方程为：y+1＝x﹣2，即x﹣y﹣3＝0，又圆心在直线2x+y＝0上，联立，解得，所以其圆心为C（1，﹣2），R＝|AC|＝2，所以圆C的标准方程（x﹣1）2+（y+2）2＝4；（2）设圆D的圆心为D（x，y），因为圆D与圆C关于直线x﹣y+1＝0对称，所以，解得，所以圆D的标准方程是（x+3）2+（y﹣2）2＝4．20．在△ABC中，A（5，4），边AC上的高BE所在的直线方程为3x+4y﹣7＝0，边AB上的中线CM所在的直线方程为5x﹣2y﹣10＝0．（1）求点C坐标；（2）求直线BC的方程．【分析】（1）由边AC上的高BE所在的直线方程为3x+4y﹣7＝0，可设直线AC的方程为4x﹣3y+m＝0，把A（5，4）代入解得m．直线AC的方程与CM的方程联立即可得出C点的坐标．（2）设B（a，b），利用中点坐标公式可得M坐标，代入CM可得方程5×﹣2×﹣10＝0，把B坐标代入BE方程，联立即可得出．解：（1）由边AC上的高BE所在的直线方程为3x+4y﹣7＝0，可设直线AC的方程为4x﹣3y+m＝0，把A（5，4）代入可得：4×5﹣3×4+m＝0，解得m＝﹣8，∴直线AC的方程为4x﹣3y﹣8＝0，联立，解得C（2，0）．（2）设B（a，b），则5×﹣2×﹣10＝0，又3a+4b﹣7＝0，联立解得：a＝b＝1，∴B（1，1）．∴直线BC的方程为：y﹣0＝（x﹣2），化为：x+y﹣2＝0．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AC∩BD＝O，底面ABCD为菱形，边长为2，PO⊥CD，PA＝PC，且∠ABC＝60°．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）当异面直线PB与CD所成的角为60°时，在线段CP上是否存在点M，使得直线OM与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，请求出线段CM的长，若不存在，请说明理由．【分析】（1）只要证明PO垂直于平面ABCD中两相交直线AC和CD即可；（2）用向量数量积计算直线与平面成角的正弦值，列方程求解．【解答】（1）证明：因为ABCD为菱形，所以O为AC中点，又因为PA＝PC，所以PO⊥AC，又因为PO⊥CD，AC∩CD＝C，所以PO⊥平面ABCD．（2）解：因为ABCD为菱形，所以BD⊥AC，由（1）知OC、OD、OP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，B（0，﹣，0），C（1，0，0），D（0，，0），设P（0，0，t），t＞0，＝（0，，t），＝（﹣1，，0），因为异面直线PB与CD所成的角为60°，所以＝，解得t ＝，所以P（0，0，），PC＝＝，设，λ∈[0，1]，则M（λ，0，﹣），＝（λ，0，﹣），＝（﹣1，0，），设平面PCD的法向量为＝（x，y，z），，令z＝1，＝（，，1），直线OM与平面PCD所成角的正弦值为＝，要使直线OM与平面PCD所成角的正弦值等于，只要＝，解得，所以CM＝PC﹣PM＝PC﹣λPC＝（1﹣λ）PC＝＝．22．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2．点E，F分别在AB，CD上，且AE＝2，CF＝1．沿EF将四边形AEFD翻折至四边形A'EFD'，使平面A'EFD'与平面BCFE垂直，若在线段EB上有动点H．（1）从以下两个条件中任选一个作为已知条件_____，以确定点的位置，①若四点A'，D'，C，H共面，②若三棱锥A'﹣EFH的体积是三棱锥C﹣A'EF体积的；（2）在第（1）问基础上，在线段A'D'上有一动点P，设二面角P﹣HF﹣E的平面角为θ，求cosθ的最大值．【分析】（1）选①，过点C作CM⊥平面BCFE，因为四边形ABCD是矩形，所以BC ⊥CF，因为四点A'，D'，C，H共面，所以存在一对实数λ，μ使＝λ+μ，设BH＝x，用坐标表示向量可求得x的值，选②，三棱锥A'﹣EFH的体积是三棱锥C﹣A'EF体积的，设BH＝x，表示体积可求得x的值；（2）设，表示出两平面的法向量，利用向量法求出两平面所成角的余弦值的绝对值，可求得余弦值的最大值，解：选①，（1）过点C作CM⊥平面BCFE，因为四边形ABCD是矩形，所以BC⊥CF，以C为原点，CF，CB，CM分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，2，0），C（0，0，0），A′（，，），D'（，，），设H（x，2，0），所以＝（x，2，0），＝（，，），＝（，，），因为四点A'，D'，C，H共面，所以存在一对实数λ，μ使＝λ+μ，所以（x，2，0）＝λ（，，）+μ（，，），则（x，2，0）＝（λ，λ，λ）+（μ，μ，μ）＝（λ+μ，λ+μ，λ+μ），解得x＝，当HB＝时，四点A'，D'，C，H共面，选②，点A'到面BCFE的距离为，设BH＝x，则S△EHF＝×（2﹣x）×2＝2﹣x；因为三棱锥A'﹣EFH的体积是三棱锥C﹣A'EF体积的，所以×（2﹣x）×＝×S△CEF××，所以2﹣x＝，解得x＝，（2）由（1）知A′（，，），D'（，，），H（，2，0），E （2，2，0），F（1，0，0）设＝（﹣，﹣，λ），所以点P（﹣+，﹣+，λ+），所以＝（﹣，﹣2，0），＝（﹣+﹣，﹣+﹣2，λ+），设平面HPF的一个法向量为＝（x，y，z），，令x＝6，则y＝﹣1，z＝，所以平面HPF的一个法向量为＝（6，﹣1，），因CM⊥平面BCFE，所以平面BCFE的一个法向量为＝（0，0，1）所以cosθ＝＝＝，所以当λ＝0时，cosθ的值最大，且cosθ＝，故答案为：．。
重庆市第一中学2021-2022高二数学上学期10月月考试题.doc
重庆市第一中学2021-2022高二数学上学期10月月考试题注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答卷上。
2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1． 若直线的倾斜角为 60，则直线的斜率为 ( ) A ．3 B ．3- C ．3 D ．3- 2． 在等差数列}{n a 中，3642=+a a ，则数列}{n a 的前5项之和5S 的值为（ ） A ．108 B ．90 C ．72 D ．243． 经过点(2,5)A ,(3,6)B -的直线在x 轴上的截距为( ) A ．2B ．3-C ．27-D ．274． 在ABC △中，3A π∠=，3BC =，6AB =，则C ∠的大小为（ ）A ．6πB ．4π C ．2π D ．23π 5．方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则a 的范围是（ ） A ．2a <-或23a >B ．223a -<<C ．20a -<<D ．223a -<<6． 正方体1AC 中，,E F 分别是1,DD BD 的中点，则直线1AD 与EF 所成角的余弦值是（ ）A ．12B ．3 C ．6 D ．6 7． 已知数列}{n a 为等比数列，20,2272474=+=+a a a a ，则101a a 的值为（ ） A ．16 B ．8 C ．8- D ．16-8． 设21,F F 分别为椭圆1422=+y x 的左、右焦点，点P 在椭圆上，且，则=∠21PF F （ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 9． 与直线40x y --=和圆22220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是（ ）A ．()()22112x y +++= B ．()()22114x y -++= C ．()()22112x y -++=D ．()()22114x y +++=10． 已知点)3,7(P ，圆22:210250M x y x y +--+=，点Q 为在圆M 上一点，点S 在x 轴上，则SP SQ +的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1011． 如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．3π B ．3π C ．4πD ．34π 12． 在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>的下顶点，M ,N 在椭圆上，若四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，若]3,4[ππα∈，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ）A ．60,⎛⎤⎥ ⎝⎦B ．30,⎛⎤⎥ ⎝⎦C ．63,⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．622,⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。
四川省雅安中学2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题 Word版含答案
雅安中学2021-2022学年高二上期10月月考数学试题命题人： 审题人：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
全部试题均在答题卷相应位置上作答，答在试卷上一律不得分。
第Ⅰ卷（选择题：60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
）1.若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是（）A.1a <1b B .a 2>b 2 C.21ac +>21b c +D.a |c |>b |c |2.不等式0432<++-x x 的解集为 （ ）A ．{}41<<-x xB ．{}14-<>x x x 或C ．{}41-<>x x x 或 D ．{}14<<-x x3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0x －y －2≤0x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为( )A ．11B ．10C ．9D ．8.54．设x >0，y >0，则下列不等式中等号不成立的是( )A ．x ＋y ＋2xy≥4 B ．(x ＋y )(1x ＋1y )≥4C ．(x ＋1x )(y ＋1y)≥4D.x 2＋3x 2＋2≥2 5．已知某个几何体的三视图如右图（主视图中的弧线是半圆）， 依据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积 是( )3cm ．A .π+8 B.328π+C.π+12D.3212π+6.已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的表面积与球的表面积的比是（）A ．6：5 B ．5：4 C ．4：3 D ．3：27. 如图是正方体的平面开放图．在这个正方体中，①BM 与ED 平行； ②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60°角； ④DM 与BN 垂直． 以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）A ． ①②③B ． ③④C ． ②④D ．②③④8、假如一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”。
江西省临川第一中学2021-2022高二数学上学期第一次月考试题 理(含解析)
江西省临川第一中学2021-2022高二数学上学期第一次月考试题 理（含解析）一､选择题1.若直线//l α，且l 的方向向量为(2,,1)m ，平面α的法向量为(1,1,2)-，则m 为（ ） A. -4 B. -2C. 2D. 4【答案】D 【解析】 【分析】由题可得l 与平面α的法向量垂直,再利用垂直的数量积公式求解即可.【详解】由题有l 与平面α的法向量垂直,故(2,,1)(1,1,2)0220m m ⋅-=⇒-+=,所以4m =.故选：D【点睛】本题主要考查了线面平行得出线和法向量垂直的关系,同时也考查了空间向量垂直的计算,属于基础题.2.下列说法正确的是（ ）A. 若()p q ⌝∧为真命题，则p ，q 均为假命题；B. 命题“若2340x x --=，则1x =-”的逆否命题为真命题；C. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若“10a >”则“20192018S S >”的否命题为真命题；D. “平面向量a 与b 的夹角为钝角”的充要条件是“0a b ⋅<” 【答案】C 【解析】 【分析】根据逻辑连接词的性质判断A;根据逆否命题与原命题同真假判断B;根据逆否命题同真同假判断C;再根据数量积的公式判断D 即可.【详解】对A, 若()p q ⌝∧为真命题,则p q ∧为假命题,故p ,q 至少有一个假命题,故A 错误. 对B, 因为2340x x --=有1x =-或4x =,故命题“若2340x x --=,则1x =-”为假命题,故其逆否命题也为假命题.故B 错误.对C, 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若“10a >”则“20192018S S >”的逆命题为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若“20192018S S >”则“10a >”.又因为当20192018S S >时201920180S S ->即2018201911000a a q a >⇒>⇒>成立.而原命题的逆命题与否命题互为逆否命题，同真同假，故C 正确.对D, 当0a b ⋅<时, a 与b 也可能反向,此时夹角为π.故D 错误. 故选：C【点睛】本题主要考查了命题的真假判定,包括四种命题之间的关系与充分必要条件的性质判定等.属于基础题.3.命题“[2,3]x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. 0a ≤ B. 1a ≤C. 2a ≤D. 3a ≤【答案】D 【解析】 【分析】先求解原命题的充要条件,再根据必要不充分条件的范围更大选择对应选项即可.【详解】命题“[2,3]x ∀∈,220x a -≥”为真命题的充要条件：[2,3]x ∀∈,22x a ≥恒成立.即42a ≥,2a ≤.故其必要不充分条件为3a ≤. 故选：D【点睛】本题主要考查了必要不充分条件的性质,一般先求出原命题的充要条件,再根据必要条件与充分条件的范围大小进行判定.属于基础题.4.如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于2a 的是（ ）A. 2AB CA ⋅B. 2AC FG ⋅C. 2AD DC ⋅D.2EF DB ⋅【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的数量积公式分析向量的夹角与模长逐个判断即可.【详解】对A, 2222cos 3AB CA AB CA a π⋅=⋅⋅=-.不满足 对B, 222cos022aAC FG AC FG a a ⋅=⋅⋅︒=⨯=.满足对C, 2222cos 3AD DC AD DC a π⋅=⋅⋅=-.不满足 对D, 222cos 22aEF DB EF DB a a π⋅=⋅⋅=-⨯=-.不满足故选：B【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积,需要根据几何关系判断向量的夹角与模长,属于基础题.5.命题p :函数21y x ax =-+在(2,)+∞上是增函数.命题q :直线0x y a +-=在y 轴上的截距小于0. 若p q ∨为假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A. 4a >B. 0a ≥C. 04a ≤<D.04a <≤【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数对称轴与区间的位置关系判断a 的取值范围,再求得直线0x y a +-=在y 轴上的截距令其小于0计算a 的取值范围.再根据p q ∨为假命题可知,p q 均为假命题再分析即可. 【详解】当函数21y x ax =-+在(2,)+∞上是增函数时,对称轴满足242aa ≤⇒≤. 当直线0x y a +-=在y 轴上的截距小于0时有0a <.又p q ∨为假命题可知,p q 均为假命题.故440a a a >⎧⇒>⎨≥⎩.故选：A【点睛】本题主要考查了利用命题间的关系求解参数的范围问题,需要根据题意先求出命题均为真命题时的参数范围,再根据复合命题的真假求取值范围即可.6.设P 为椭圆221259x y +=上一点，1,F 2F 为左右焦点，若1260F PF ︒∠=，则P 点的纵坐标为（ ）B. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆中焦点三角形的面积公式2tan 2S b θ=求解即可.【详解】由题知12609tan2F PF S︒=⨯=设P 点的纵坐标为h 则1221F F h h ⋅⋅=⇒=. 故选：B【点睛】本题主要考查了椭圆焦点三角形的面积运用,属于中档题.7.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱1AA ､1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且1(01)AG m m =<<，则点G 到平面1D EF 的距离为（ ）C.3【答案】D 【解析】 分析】易得11//A B 平面1D EF ,故点G 到平面1D EF 的距离为点1A 到平面1D EF 的距离,再分析线面垂直的关系求解即可.【详解】作11A P ED⊥于P,因为,E F分别为棱1AA､1BB的中点,故11//EF A B,EF⊥平面11A ADD.故1EF A P⊥,又11A P ED⊥,1EF ED E⋂=.故11A P ED F⊥平面. 又11//EF A B所以点G到平面1D EF的距离为点1A到平面1D EF的距离1A P.又111111111212111152225112A E A DA P ED A E A D A PED⨯⋅⋅=⋅⇒===⎛⎫+⎪⎝⎭故选：D【点睛】本题主要考查了点到平面距离的计算,根据题意可直接找到11A P ED F⊥再根据等面积法计算1A P,属于中档题.8.我们把由半椭圆22221(0)x yxa b+=≥与半椭圆22221(0)y xxb c+=<合成的曲线称作“果圆”(其中222a b c=+，0a b c>>>).如图，设点0,F1,F2F是相应椭圆的焦点，1,A2A和1,B2B是“果圆”与,x y轴的交点，若012F F F△是等腰直角三角形，则ab的值为（）A.722 C.62D.54【答案】C【解析】【分析】根据题意分别利用椭圆中的基本量关系计算0,F2F对应的坐标,再根据012F F F△是等腰直角三角形可得02OF OF=计算即可.【详解】根据题意有(),0F c,()2220,bF c-,又根据012F F F△是等腰直角三角形的性质可得02OF OF=,即()22222222322ab c c b a bb-=⇒=-⇒=.故6ab=故选：C【点睛】本题主要考查了根据椭圆的基本量关系列式求解的方法,需要求出对应点的坐标,利用等腰直角三角形的性质列式化简求解.属于基础题.9.如图，直三棱柱111ABC A B C-中，侧棱长为4，2AC BC==，90ACB︒∠=，点D是11A B 的中点，F是侧面11AA B B(含边界)上的动点.要使1AB⊥平面1C DF，则线段1C F的长的最大值为（）5 B. 213 D. 25【答案】A【解析】【分析】分析可得当1AB⊥平面1C DF时1AB DF⊥,故F在边界1BB时1C F取最大值,再根据平面中的边角比例关系求解即可.【详解】由题,当1AB⊥平面1C DF时1AB DF⊥,故F在边界1BB时1C F取最大值,此时因为1AB DF⊥,故111111190FDB AB A B AA AB A∠+∠=∠+∠=︒.故111FDB B AA∠=∠.故111tan tanFDB B AA∠=∠即1111111111FB A B A B DBFBDB AA AA⋅=⇒==2411BB=<满足题意 .此时1C F===故选：A【点睛】本题主要考查了根据线面垂直计算边长的关系的方法.需要根据题意找到对应的角度等量关系,利用正切值相等进行列式求解.属于中档题.10.椭圆22143x y+=上有n个不同的点123,,,,nP P P P⋅⋅⋅，椭圆右焦点F，数列{}nP F是公差大于12019的等差数列，则n的最大值为（）A. 4036B. 4037C. 4038D. 4039 【答案】C【解析】【分析】根据题意分析最大最小的n P F的值,再利用等差数列的通项公式求解n的最大值即可. 【详解】根据题意有,当1P为椭圆的右顶点,n P为左顶点时n取得最大值.此时121PF==.23nP F==.又数列{}nP F是公差12019d>的等差数列,()2131112019n d dn=+-⇒=>-,所以140384039n n-<⇒<.故n的最大值为4038.故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆上的点到焦点的距离最值以及等差数列的基本量运用,属于中档题.11.已知正四棱锥S ABCD-，E是线段AB上的点且13AE AB=，设SE与BC所成的角为1θ，二面角S AB C--的平面角为2θ，SE与平面ABCD所成的角为3θ，则（）A.123θθθ<< B.321θθθ<< C.132θθθ<< D.231θθθ<<【答案】B【解析】 【分析】作出立体图形,分别构造关于123,,θθθ的直角三角形,利用正切值的大小判断即可. 【详解】如图,作SO ⊥平面ABCD 于O ,取AB 中点J ,在DC 上取F 使得13DF DC =,I 为EF 中点.连接各点如图所示.易得//EF BC ,故SE 与BC 所成的角1SEF θ=∠,二面角S AB C --的平面角2SJO θ=∠,SE 与平面ABCD 所成的角3SEO θ=∠. 又OJ AB ⊥,故EO JO >,所以32tan tan SO SO EO JOθθ=<=. 又12EI JO BC ==,SO OI ⊥,故SI SO >,21tan tan SO SI JO EIθθ=<=. 综上有321tan tan tan θθθ<<.又1230,,2πθθθ<<.故321θθθ<< 故选：B【点睛】本题主要考查了立体几何中的线面角与线线角等之间的关系,需要找到对应的角度,利用正切函数的单调性进行大小的判断.属于中档题.12.在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆2222:1(0)C bb x a a y +>>=的下顶点，,M N 在椭圆上，若四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，若35,46ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ）A. ⎫⎪⎪⎝⎭B. 32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C. 0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D. ⎛ ⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】由题四边形OPMN 为平行四边形可知,M N 两点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,再代入椭圆方程可求得,M N 的坐标,再利用35,46ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,根据斜率等于倾斜角的正切值求斜率的表达式再计算即可.【详解】∴,M N 两点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,即,M N 两点关于x 轴对称,MN OP a ==,可设,,,22a a M x N x ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,代入椭圆方程得：2x =,因为35,46ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故0x <得2a N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭, α为直线ON 的倾斜角,tan aα==,又35,46ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以tan 1,3α⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭,即1133ba -<<-⇒<<.故0,3e ⎛= ⎝⎭∴椭圆C的离心率的取值范围为⎛ ⎝⎭.故选：D.【点睛】本题主要考查了根据椭圆中的几何关系列出关于基本量的不等式求解离心率的问题,重点是根据题设找到对应的等量关系列式求解.属于中档题. 二､填空题13.正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，若1AC 与底面ABCD 所成角为45︒，则11A C 和底面ABCD 的距离是________.【答案】2 【解析】 【分析】确定1AC 与底面ABCD 所成角,再利用直角三角形中的边角关系求解即可.【详解】连接1AC ,因为1CC ⊥平面ABCD ,故1AC 与底面ABCD 所成角为145C AC ∠=︒. 所以1C AC 为等腰直角三角形.所以11A C 和底面ABCD 的距离221112CC AC ==+=.2【点睛】本题主要考查了线面角的辨析与立体几何中的求解,属于基础题.14.给定两个命题，P :对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立；Q :方程2213x ya a+=-表示焦点在x 轴上的椭圆.如果P Q ∧⌝为真命题，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】30,[3,4)2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】由P Q ∧⌝为真命题可知P 为真命题Q 为假命题.再分别根据恒成立以及椭圆的标准方程性质求解即可.【详解】由P Q ∧⌝为真命题可知P 为真命题Q 为假命题. 又对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立则显然0a ≥ ：①当0a =时10>恒成立满足题意,②当0a >时24004a a a ∆=-<⇒<<. 综上有04a ≤<又方程2213x y a a+=-表示焦点在x 轴上的椭圆有33032a a a >->⇒<<.又Q 为假命题故32a ≤或3a ≥. 故实数a 的取值范围是30,[3,4)2⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：30,[3,4)2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查了根据命题的真假求参数的范围问题.需要根据题意分析命题的真假,再求解对应的参数范围最后再求参数的交集.属于中档题.15.函数()1g x ax =+(0)a >，2()2f x x x =-，对1[1,2]x ∀∈-，0[0,3]x ∃∈使()()10g x f x =成立，则a 的取值范围是_________.【答案】(0,1] 【解析】 【分析】由题意可知()f x 的值域包含()g x 的值域,再分别根据定义域求对应函数的值域,再根据包含关系列不等式求解即可.【详解】由题,当[]11,2x ∈-时,因为0a >,故[]()11,21g x ax a a =+∈-++.又0[0,3]x ∈则[]2()21,3f x x x =-∈-.又1[1,2]x ∀∈-,0[0,3]x ∃∈使()()10g x f x =成立,所以()f x 的值域包含()g x 的值域.所以111213a a a -+≥-⎧⇒≤⎨+≤⎩,因为0a >,所以a 的取值范围是(0,1]. 故答案为：(0,1]【点睛】本题主要考查了根据函数恒成立与能成立的问题求解参数范围的问题,需要根据题意判定出函数值域满足的关系式,再分别列式求解.属于中档题.16.已知O 为坐标原点,平行四边形ABCD 内接于椭圆Ω：22221(0)x y a b a b+=>>,点E ,F 分别为AB ,AD 的中点,且OE ,OF 的斜率之积为12-,则椭圆Ω的离心率为______．【答案】2【解析】 【分析】设()11,C x y ,则()22,D x y ,由对称性可得：()11,A x y --，则()22,B x y --,由可得2211221x y a b +=,2222221x y a b+=,相减可得：AB ，AD 斜率之积为()()()()2121221212.y y y y b x x x x a -+=--+由E ,F 分别为AB ,AD 的中点,可得OE ，OF 的斜率之积等于AB ,AD 斜率之积．即2212b a =,即可求得椭圆Ω的离心率．【详解】解：设()11,C x y ,则()22,D x y , 由对称性可得：()11,A x y --，则()22,B x y --， 可得2211221x y a b +=,2222221x y a b +=．相减可得：22221212220x x y y a b--+= AB ∴,AD 斜率之积为()()()()2121221212y y y y b x x x x a -+=--+． E ,F 分别为AB ,AD 的中点,且OE ，OF 的斜率之积为12-，则OE ,OF 的斜率之积等于AB ，AD 斜率之积．2212b a =∴,则椭圆Ω的离心率为2e ==,故答案为:2．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．三､解答题17.已知集合{}2|320A x x x=-+≤，集合{}2|2B y y x x a==--，集合{}2|20C x x ax=+-≤，命题:p A B⋂≠∅，命题:q A C⊆.（1）若命题p为假命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p q∧为真命题，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3a<-（2）31a-≤≤-【解析】【分析】(1)由题意A B=∅,再根据区间端点满足的关系式求解即可.【详解】由题, {}{}2|320|12A x x x x x=-+≤=≤≤,{}{}2|2|1B y y x x a y y a==--=≥--（1）由命题p是假命题,可得A B=∅,即得12,3a a--><-.（2）p q∧为真命题,,p q∴都为真命题,即A B⋂≠∅,且A C⊆.∴有121204220aaa--≤⎧⎪+-≤⎨⎪+-≤⎩,解得31a-≤≤-.【点睛】本题主要考查了根据集合间的基本关系求解参数范围的问题,需要根据题意求出对应的区间端点满足的不等式再求解.属于中档题.18.如图，在几何体ABCDE中，//CD AE，90EAC︒∠=，平面EACD⊥平面ABC，22CD EA ==，2AB AC ==，23BC =，F 为BD 的中点.（1）证明://EF 平面ABC ； （2）求直线BC 与平面BDE 所成角. 【答案】（1）证明见解析（2）30°. 【解析】 【分析】(1)取BC 中点G ,连接FG ,AG ,再证明四边形AGFE 是平行四边形即可.(2) 以,,GA GB GF 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,再用空间向量求解直线BC 与平面BDE 所成角即可.【详解】（1）取BC 中点G ,连接FG ,AG ,又F 为BD 的中点,2CD EA =,//CD AE ,12FG CD EA ∴==,且//FG AE , ∴四边形AGFE 是平行四边形, //EF AG ∴,而且EF ⊄平面ABC ,AG ⊂平面ABC , //EF ∴平面ABC ；（2）90EAC ︒∠=,平面EACD ⊥平面ABC ,且交于AC , ∴平EA ⊥面ABC ,由（1）知//FG AE ,FG ∴⊥平面ABC ,又AB AC =,G 为BC 中点, AG BC ∴⊥,如图,以,,GA GB GF 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,则3,0)B ,(0,3,0)C ,(0,3,2)D -,(1,0,1)E ,(0,23,0)BC ∴=-,(0,23,2)BD =-,(1,3,1)BE =,设平面BDE 的法向量为(,,)n x y z =,则00n BD n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即3030z x z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩,令1y =,得(0,1,3)n =, ∴直线BC 与平面BDE 所成角的正弦值为12||||BC n BC n ⋅=.∴直线BC 与平面BDE 所成角为30°.【点睛】本题主要考查了线面平行的证明以及利用空间直角坐标系求解线面角的问题,需要找到合适的坐标原点建立空间直角坐标系,再求面的法向量与直线的向量,进而求得线面所成角的正弦求解.属于中档题. 19.已知21:()4P f x ax ax =-+R ，:q x R ∃∈，使得不等式20x x a -+<成立，关于x 的不等式(1)(2)0x m x m -+-≤的解集记为B . （1）若p q ∧为真，求实数a 的取值集合A ；（2）在（1）的条件下，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）10,4⎡⎫=⎪⎢⎣⎭A ；（2）1,18m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）先确定p ，q 为真的等价条件，若p q ∧为真则p 真q 真，求交集即可；（2）利用x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，即A ⊊B ，确定条件关系，即可求实数m 的取值范围．【详解】（1）:p 真 f （x ）214ax ax =-+的定义域为R ，则ax 2﹣ax +14≥0对任意实数x都成立，当a ＝0时显然满足，当a ≠0时，有2()0a a a ⎧⎨--≤⎩＞，解得0＜a ≤1． 综上： []a 0,1∈:q 真 x R ∃∈，使得不等式20x x a -+<成立，∴14a 0=->即a 1,4⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭p q ∧为真，即p 真，q 真，∴ 10,4A ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭（2）①12m m -<，即1m >-，此时[]1,2B m m =-x A ∈是x B ∈的充分不必要条件∴ 10124m m -≤⎧⎪⎨≥⎪⎩1,18⎡⎤⇒⎢⎥⎣⎦； ②12m m -=，即1m =-，此时{}2B =- 不符合题意． ③①12m m ->，即1m <-，此时[]2,1B m m =-10,4A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦为[]2,1B m m =-的充分不必要条件 ∴ 11420m m ⎧-≥⎪⎨⎪≤⎩ 无解；综上所述：1,18m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查且命题、交集运算、不等式解法、充分条件和必要条件的应用等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.长方形ABCD中，2=AB AD M 是DC 中点（图1）.将ADM 沿AM 折起，使得AD BM ⊥（图2）在图2中:（1）求证:平面ADM ⊥平面ABCM ；（2）在线段BD 上是否存点E ，使得二面角E AM D --5，说明理由. 【答案】（1）证明见解析（2）存在，理由见解析 【解析】 【分析】(1)利用勾股定理与线面垂直的性质证明BM ⊥平面ADM 即可.(2) 以M 为坐标原点,MA 为x 轴,MB 为y 轴,过M 作平面ABCM 的垂线为z 轴,建立空间直角坐标系. 设(01)BE BD λλ=<<,再根据二面角的向量方法,分别求解面的法向量,再根据法向量的夹角求解即可.【详解】（1）在长方形ABCD 中,连结BM ,因为2AB AD =,M 是DC 中点, 所以2AM BM AD ==,从而222AM BM AB +=,所以AM BM ⊥ 因为AD BM ⊥,ADAM A =,所以BM ⊥平面ADM . 因为BM ⊂平面ABCM ,所以平面ADM ⊥平面ABCM .（2）因为平面ADM ⊥平面ABCM ,交线是AM ,所以在面ADM 过M 垂直于AM 的直线必然垂直平面ABCM .以M 为坐标原点,MA 为x 轴,MB 为y 轴,过M 作平面ABCM 的垂线为z 轴, 建立空间直角坐标系.则()2,0,0A ,()0,2,0B ,()1,0,1D ,(1,2,1)BD =-.设(01)BE BD λλ=<<,则(),22,ME MB BE λλλ=+=-.设1(,,)x y z =n 是平面AME 的法向量,则1100n ME n MA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即(22)020x y z x λλλ+-+=⎧⎨=⎩,取()10,,22n λλ=-,平取面AMD 的一个法向量是()20,1,0n =. 依题意122cos ,2n n =, ()222525λλ=+-,解方程得12λ=, 因此在线段BD 上存点E ,使得二面角E AM D --5. 【点睛】本题主要考查了面面垂直的判定与利用空间直角坐标系求解是否存在点满足条件的问题.一般做法是先假设存在,再设对应的向量的参数,再根据二面角的余弦列出关于参数的表达式最后进行求解即可.属于中档题.21.已知动点G(x,y)2222(1)(1)4x y x y ++-+= （1）求动点G 的轨迹C 的方程；（2）过点Q(1,1)作直线L 与曲线C 交于不同的两点,A B ,且线段AB 中点恰好为Q.求OAB ∆的面积；【答案】（1）22143x y +=；（2）1056【解析】 【分析】（1）先由椭圆的定义得知轨迹C 为椭圆，并利用椭圆定义求出a ，从已知条件中得出c ，并求出b 值，结合椭圆焦点位置得出椭圆C 的标准方程；（2）由已知条件得知直线L 的斜率存在，并设直线L 的方程为()11y k x -=-，将直线L 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由Q 为AB 的中点求出k 的值，从而得出直线L 的方程，再利用弦长公式求出AB ，由点到直线的距离公式计算出原点O 到直线L 的距离，再利用三角形的面积公式可求出OAB ∆的面积．【详解】（1）由动点(),G x y4=可知，动点G 的轨迹是以()1,0-和()1,0为焦点，长轴长为4的椭圆，其方程为22143x y +=；（2）由于直线L 与曲线C 相交所得线段AB 中点恰好为()1,1Q 可知， 直线L 的斜率一定存在，设直线L 的方程为()11y k x -=-，联立221431(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，消去y 可得2222(43)(88)(488)0k x k k x k k +--+--=， 所以21222122884348843k k x x k k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩， 又线段AB 中点的横坐标为1，∴212288243k kx x k -+==+，解得34k =-， 12122121x x x x +=⎧⎪∴⎨=⎪⎩， 直线L 的方程为3470x y +-=，弦长21AB ==L 的距离为75d =，1725ABC S ∆∴==． 【点睛】本题考查椭圆的定义、直线与椭圆的位置关系，考查椭圆方程的求法，韦达定理的应用，以及弦长、三角形面积的计算，对于直线与圆锥曲线的综合问题，通常将直线方程与圆锥曲线方程联立，应用韦达定理进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好地考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力以及分析问题解决问题的能力等．22.已知F 1，F 2分别为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点.右焦点，椭圆上的点与F 1的最大距离等于4，离心率等于13，过左焦点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，圆E 内切于三角形F 2MN ；（1）求椭圆的标准方程 （2）求圆E 半径的最大值 【答案】（1）22198x y ；（2）max 89r =【解析】 【分析】（1）根据椭圆上点与1F 的最大距离和离心率列方程组，解方程组求得,,a b c 的值，进而求得椭圆方程.（2）设出直线l 的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，利用与三角形内切圆有关的三角形面积公式列式，求得内切圆半径的表达式，利用换元法结合基本不等式求得圆半径的最大值.【详解】由条件知13314c a a c a c ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪+=⎩ ，所以2228b a c =-=.故椭圆的标准方程为22198x y +=；（2）由条件l 不为x 轴，设1l x my =-：交椭圆于()()1122,,,M x y N x y ，设圆E 的半径为r ，由221198x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()228916640m y my +--=，1212221664,8989m y y y y m m -+==++ 22221(2F MN F MN F MN S C r C F MN ∆∆∆=⨯∆为的周长）2121166F MN r S y y ∴==-重点中学试卷 可修改 欢迎下载- 21 - 即r ==令21t m =+，（1t ≥），则r ==当1,0t m ==即时，max 89r =. 【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆位置关系，考查三角形内切圆半径有关计算，考查换元法和基本不等式求最值，属于中档题.。
2021-2022年高二数学上学期第三次月考试题
2021年高二数学上学期第三次月考试题一、选择题：（共12小题，每小题5分，共12×5=60分. 将正确答案的字母填在答题卡内）1．已知集合A=，B= ，则=A． B． C． D．2．命题“如果，那么”的逆否命题是A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么3．若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a=A．– B． C．– D．4. 对具有线性相关关系的变量x和y，测得一组数据如下表：若已求得它们的回归直线方程的斜率为6.5，则这条回归直线的方程为A．＝ B．＝C．＝ D．＝5．已知p：2＋2＝5；q：3>2，则下列判断错误的是A．“p∨q”为真，“非q”为假B．“p∨q”为真，“非p”为真C．“p∧q”为假，“非p”为真D．“p∧q”为假，“非p”为假6. 执行右图的程序框图. 若输入, 则输出的值为 A ． B ． C ． D ．7．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，对角线AC 1与底面ABCD 所成的角的正切等于A ．1B ．C ．D ． 8．在△中，若，则等于A ．30°或60°B ．45°或60°C ．120°或60°D ．30°或150°9．某四棱锥的三视图如右图, 则该四棱锥的表面积是 A ．32 B ．16+32 C ．48 D ．16+1610. 直线x+y-1=0被圆032222=-+++y x y x 截得的弦长为 A ． B ． C ． D ． 11．已知两个平面互相垂直，下列命题中正确的个数是① 一个平面内的已知直线必垂直于另一平面内的任意一条直线 ②一个平面内的已知直线必垂直于另一平面内的无数条直线 ③ 一个平面内的任一条直线必垂直于另一平面 ④ 过一个平面内任意点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 12. 经过三点、、的圆的一般方程为A ．0202422=---+y x y x B ．0202422=-+++y x y x C ．020*******2=-+++y x y x D ．02072071322=---+y x y x 二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中横线上。
2021-2022学年河南省新乡县高级中学高二上学期第一次月考数学试题(解析版)
2021-2022学年河南省新乡县高级中学高二上学期第一次月考数学试题一、单选题1．数列1,12-,13,14-,15,……的一个通项公式n a =（ ）A ．(1)nn -B ．1n -C ．1(1)n n --D ．1n【答案】C【分析】根据分母的特征和每项的正负性特征,可以选出答案. 【详解】因为数列的正负交替,分母是正整数的次序,所以na =1(1)n n--. 故选C【点睛】本题考查了已知数列求数列的通项公式,本题也可采用根据四个选项中数列通项公式求出前几项,看是否符合已知的数列的前几项.2．一个等差数列的前4项是a ，x ，b ，2x ，则ab等于（ ）A ．14B ．12C ．13D ．23【答案】C【分析】根据等差数列的性质，得到x b a =-，再根据()2b a x a =+-，即可求出结果. 【详解】∵等差数列的前4项是a ，x ，b ，2x ， ∴2a x x b +=+，解得x b a =-．又()()22223b a x a a x a b a b a =+-=-+=-+-=-．∴3b a =，∴13a b =． 故选：C ．【点睛】本题主要考查等差数列的简单应用，属于基础题型. 3．已知{}n a 为等差数列，若34812a a a ++=，则9S =（ ） A ．24 B ．27 C ．36 D ．54【答案】C【解析】计算得到54a =，根据1995992a a S a +=⨯=得到答案. 【详解】3485465312a a a a a a a ++=++==，故54a =，199599362a a S a +=⨯==. 故选：C .【点睛】本题考查了根据等差数列性质求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用. 4．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若cos cos a B b A =，则ABC 为（ ） A ．等腰且直角三角形 B ．等腰或直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形【答案】D【分析】由题意结合余弦定理化简得22a b =，即可得解.【详解】由cos cos a B b A =结合余弦定理可得22222222a c b b c a a b ac bc +-+-⋅=⋅， 化简得22a b =，即a b =，所以ABC 为等腰三角形. 故选：D.5．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块【答案】C【分析】第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列， 设n S 为{}n a 的前n 项和，由题意可得322729n n n n S S S S -=-+，解方程即可得到n ，进一步得到3n S . 【详解】设第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n =+-⨯=， 设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分 别为232,,n n n n n S S S S S --，因为下层比中层多729块，所以322729n n n n S S S S -=-+， 即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n ++++-=-+ 即29729n =，解得9n =， 所以32727(9927)34022n S S +⨯===.故选：C【点晴】本题主要考查等差数列前n 项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题. 6．在ABC 中，30a =，25b =，150A =，则ABC 的解的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．无解 D ．无法确定【答案】A【分析】利用正弦定理求出sin B 的值，再由小边对小角即可判断. 【详解】在ABC 中，由正弦定理可得：sin sin a bA B=， 所以sin 25sin1505sin 3012b A B a ⋅===， 因为b a <，所以B A <，所以角B 是锐角，进而可得角C 和边c 都是唯一的， 所以ABC 的解的个数为1， 故选：A.7．ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC 的面积为2224a b c+-，则C =A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】C【详解】分析：利用面积公式12ABCS absinC =和余弦定理2222a b c abcosC +-=进行计算可得． 详解：由题可知222124ABCa b c SabsinC +-==所以2222absinC a b c +-= 由余弦定理2222a b c abcosC +-= 所以sinC cosC =()C 0,π∈C 4π∴=故选C.点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理．8．在锐角三角形ABC 中，已知2A C =，则ac 的范围是A ．()0,2B ．()2,2 C ．()2,3D ．()3,2【答案】C【分析】根据正弦定理得到2cos aC c =，计算64C ππ<<，得到答案. 【详解】sin sin 22cos sin sin a A CC c C C===，又A B C π++=，2A C =，锐角三角形ABC ， ∴64C ππ<<，故23cos ,22C ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，故23ac <<. 故选：C.【点睛】本题考查了正弦定理，三角恒等变换，三角函数范围，意在考查学生的计算能力和应用能力.9．如图，在ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB AD =，23AB BD =，2BC DB =，则sin C 的值为（ ）A 3B 3C 6D 6【答案】D【分析】根据题中条件，在ABD △中先由余弦定理求出cos A ，利用同角三角函数关系求出sin A ，利用正弦定理可求出sin BDC ∠，然后在BDC 中利用正弦定理求解sin C 【详解】解：设AB x =，则,,33AD x BD x BC x ===， 在ABD △中，由余弦定理可得，2222224213cos 223x x AB AD BD A AB AD x -+-===⋅， 所以 222sin 1cos -A A ， 在ABD △中，由正弦定理得，sin sin AB BDADB A=∠，则sin sin2AB xADB AxBD∠===，所以sin BDC∠=在BDC中，由正弦定理得，sin sinBD BCC BDC=∠，则sinsinxBD BDCCBC⋅∠===故选：D【点睛】此题考查了正、余弦定理，同角三角函数的关系等知识，考查了计算能力，考查了数形结合的思想，属于中档题.10．设n S是等差数列{}n a的前n项和，若3613SS=，则612SS=（）A．310B．13C．18D．19【答案】A【分析】由等差数列的性质可知3S、63S S-、96S S-、129S S-成等差数列，根据题意可将69,S S都用3S表示，可求得结果.【详解】由等差数列的性质可知3S、63S S-、96S S-、129S S-成等差数列，∵3613SS=，即633S S=，()6333S S S S--=，∴9633S S S-=，12934S S S-=，∴936S S=，31210S S=，∴63123331010S SS S==.故选：A.11．若数列{}n a满足119a=，()*13Nn na a n+=-∈，则数列{}n a的前n项和最大时，n的值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】根据等差数列的定义，结合等差数列的通项公式进行求解即可.【详解】因为119a=，13n na a+-=-，所以数列{}n a是以19为首项，3-为公差的等差数列，所以()()1913223na n n=+-⨯-=-．要使{}n a的前n项和最大，则需1nnaa+≥⎧⎨≤⎩，即2230223(1)0nn-≥⎧⎨-+≤⎩，所以192233n ≤≤，又*n ∈N ，所以7n =， 故选：B12．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角之和为 （ ） A ．90︒ B ．120︒ C ．135︒ D ．150︒【答案】B【详解】解：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5， 设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°-θ， 有余弦定理可得，cosθ=25644912582+-=⨯⨯，易得θ=60°，则最大角与最小角的和是180°-θ=120°，故选B ．二、填空题13．ABC 中，60,2A a b =︒==，则c =______． 【答案】3【分析】根据余弦定理，建立方程，可得答案.【详解】在ABC 中，根据余弦定理，可得2222cos a b c bc A =+-，由60,2A a b =︒==，得22224cos 60c c =+-⋅︒，即2742c c =+-，2230c c ∴--=，解得：1c =-（舍）或3c =. 故答案为：3.14．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(cos )c A A b =，b =c =，则ABC 的面积为______．【解析】由正弦定理化边为角，再由诱导公式化sin sin()B A C =+，展开后可求得tan C ，即C 角，再由余弦定理求得a ，最后由三角形面积公式求得面积．【详解】由正弦定理得：sin (cos )sin C A A B -=，因为sin sin()B A C =+所以sin (cos )sin cos sin cos C A A A C C A -=+，因为sin 0A ≠，所以cos C C =，5tan 6C C π==，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，即21333a a =++，解得2a =，所以1sin 2S ab C ==【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，解题关键是用正弦定理化边为角，然后由三角函数公式变形求出角C ．15．在数列{}n a 中，732,1a a ==，且数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，则11a =_________.【答案】12.【分析】先设等差数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的公差为d ，由题中条件求出公差，进而求出等差数列的通项公式，得到{}n a 的通项，从而得出结果.【详解】设数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的公差为d ，因为732,1a a ==，则731114116=-=++d a a ，所以124=d ， 所以311135(3)1132424-+=+-=+=++n n n n d a a ， 因此2415=-+n a n ，解得1112=a .故答案为12【点睛】本题主要考查等差数列基本量的运算，熟记等差数列的通项公式即可，属于常考题型. 16．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，首项12015,a =-且20142012220142012S S -=,则2015S =______． 【答案】2015-【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由20142012220142012S S -=可求得2d =，然后利用等差数列的求和公式即可求解【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 由20142012220142012S S -=可得1120142013201220112014201222220142012a d a d⨯⨯++-= 解得2d =， 又因为12015,a =- 所以()20151201520142015201520152015201420152S a d ⨯+=⨯-+⨯==- 故答案为：2015-三、解答题17．在ABC ∆,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且()2228sin 3ab C b c a =+-,若a =5c =.(1)求cos A ;(2)求ABC ∆的面积S .【答案】(1)45;(2)152或92.【解析】(1)根据条件形式利用正弦定理和余弦定理边化角，可得4sin 3cos A A =，再结合平方关系即可求出cos A ；(2)根据题意，已知两边及一角，采用余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-，即可求出边b ，再根据三角形面积公式1sin 2S bc A =⋅即可求出．【详解】(1)由题意得()22238sin 22b c a ab C bc bc +-=由余弦定理得:4sin 3cos a CA c= 由正弦定理得4sin 3cos A A = 所以3tan 4A =， ∴ABC ∆中，4cos 5A =． (2)由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得28150b b -+= 解得3b =或5b = ∵3tan 4A =，∴3sin 5A =由1sin 2S bc A =⋅得152S =或92S =．【点睛】本题主要考查利用正弦定理，余弦定理解三角形，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．18．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若c =ABC S ∆=ABC ∆的周长.【答案】（1）3C π=（2）5【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，利用和角公式可得1cos ,2C =从而求得角C ；（2）根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =，由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C += 12cos sin()sin cos 23π∴+=⇒=⇒=C A B C C C （2）1313sin 362222∆=⇒=⋅⇒=ABC S ab C ab ab 又2222cos +-=a b ab C c2213a b ∴+=，2()255∴+=⇒+=a b a bABC ∆∴的周长为57+【解析】正余弦定理解三角形.19．为如图所示，ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知3c =，1b =，3BAC π∠=，M 为线段BC 上一点.（1）若3sin 7AMB ∠=，求AM 的长； （2）若BM AM =，求AMC 的面积. 【答案】（121；（233【分析】（1）利用余弦定理求得BC 、cos B ，从而求得sin B ，利用正弦定理求得AM . （2）求得三角形ABM 的高，通过求ABM 的面积来求得AMC 的面积. 【详解】（1）在ABC 中，因为3c =，1b =，3BAC π∠=，由余弦定理2222cos 7BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠= 所以22257cos 2AB BC AC B AB BC +-==⋅， 因为20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以221sin 1cos 14B B =-=， 在ABM 中，由正弦定理sin sin AM ABB AMB=∠33217=，所以212AM =.（2）取AB 的中点H ，因为MB MA =，所以MH AB ⊥， 因为21sin 14B =、57cos 14B =，所以3tan 5B =，所以13333tan tan 22510HM HB B AB B =⋅=⋅=⨯=， 193220ABMSAB HM =⋅=， 所以AMCABCABMSSS=-=19333sin 22010AB AC BAC ⋅⋅∠-=.20．已知{n a }是首项为1a ，公差为d 的等差数列，n S 是其前n 项的和，且55S =，63=-S ．求数列{n a }的通项n a 及n S .【答案】2317310,22n n a n S n n =-+=-+．【分析】先用基本元的思想将已知条件转化为1,a d 的形式，解方程组求得1,a d ，由此求得数列的通项公式及前n 项和.【详解】由55S =，有63S =-有1151056153a d a d +=⎧⎨+=-⎩ 解得173a d =⎧⎨=-⎩ ，()()713310n a n n =+--=-+，∴ ()27310317222n n S n n n +-+==-+．【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的基本量1,a d 、通项公式和前n 项和.基本元的思想是在等差数列中有5个基本量1,,,,n n a d a S n ，利用等差数列的通项公式和前n 项和公式，列出方程组，即可求得数列的通项公式.属于基础题. 21．已知数列{}n a 满足()1144,42n n a a n a -==-≥，令12n n b a =-. （1）求证：数列{}n b 是等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式. 【答案】（1）证明见解析；（2）()21n n a n+=.【分析】（1）由题设1422n n a a --=-，得到12n a -=12+112n a --，进而得到112n n b b --=，由此可知数列{}n b 为等差数列. （2）由（1）求得122n n a =-，两边同时取倒数，进而求得求数列{}n a 的通项公式. 【详解】（1）因为()1442n n a n a -=-≥，可得12(2)422(1)n n n n a a n a a +--=-=≥， 所以111122(2)22n n n n a a a a +==+---，即1111222n n a a +-=--， 又因为12n n b a =-，即()1112n n b b n +-=≥， 又由14a =，可得111122b a ==-， 所以数列{}n b 构成首项为12，公差为12的等差数列. （2）由（1）可得数列12n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭构成首项为12，公差为12的等差数列， 所以1111(1)2222n n n a a =+-⨯=--，所以()2221n n n na +==+， 即数列{}n a 的通项公式()21n n a n +=. 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义及通项公式的应用，注意数列n 的取值，解题时要注意等差数列的性质的应用和判断，着重考查推理与运算能力.22．已知{}n a 是一个等差数列，且251,5a a ==-．(1)求{}n a 的通项公式n a ;(2)求{}n a 的前n 项和n S 的最大值．【答案】(1)25n a n =-+(2)4【分析】（1）利用等差数列的通项公式列出方程组即可求解；（2）利用等差数列的前n 项和公式可得关于n 的二次函数，利用配方法即可求解.【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，由已知条件得11145a d a d +=⎧⎨+=-⎩解得132a d =⎧⎨=-⎩， ∴1(1)25n a a n d n =+-=-+．（2）221(1)4(2)42n n n S na d n n n -=+=-+=--+， ∴当2n =时， n S 取得最大值4．。
河北省唐山一中2021-2022高二数学10月月考试题
河北省唐山一中2021-2022高二数学10月月考试题（满分：150分，测试时间：120分钟）第I 卷（选择题，共60分）一.选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.与椭圆182422=+y x 的焦点坐标相同的是( ) A. 151522=-y x B.192522=-y x C. 1122022=+y x D.125922=+y x 2.抛物线42x y =的准线方程是( ) A.1=x B.1-=x C.1=y D.1-=y3.已知方程12122=--+m y m x 表示双曲线，则m 的取值范围是( ) A.1->m B.2>m C.2,1>-<m m 或 D.21<<-m4.M 是抛物线x y 22=上一点，F 是抛物线的焦点，以Fx 为始边、FM 为终边的角,600=∠xFM 则=||FM ( ) A.1 B.2 C.3 D.45．已知椭圆13222=+y a x C ：的一个焦点为)0,1(，则C 的离心率为( )A ．13B ．12C ．2D ．36.已知点)0,2(),2,0(B A .若点C 在抛物线x y =2上，则使得ABC ∆的面积为2的点C 的个数为( )A.1B.2C.3D.47. 已知圆,422=+y x 直线.:b x y l +=若圆422=+y x 上有2个点到直线l 的距离等于1.则以下b 可能的取值是( ) A.1 B.2 C.2 D.238.已知圆1)4()3(22=-+-y x C ：和两点)0)(0,(),0,(>-m m B m A ,若圆C 上存在点P ，使得，090=∠APB 则m 的最大值为( )A.7B.6C.5D.49.一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）（A ）53-或35- （B ）32- 或23- （C ）54-或45- （D ）43-或34-10. 已知直线x y l 2:=和点).4,3(P 在直线1l 上求一点Q ，使过Q P 、的直线与l 以及x 轴在第一象限内所围成的三角形的面积最小.则Q 坐标为( )A.)4,2(B.)6,3(C.)8,4(D.)10,5( 11.已知双曲线15422=-y x 左焦点为，F P 为双曲线右支上一点，若FP 的中点在以||OF 为半径的圆上，则P 的横坐标为( )A.38B.4C.316 D.612．设直线l 与抛物线24y x =相交于B A ，两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）（A ）()13， （B ）()14， （C ）()23， （D ）()24，第II 卷（非选择题，共90分）二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.经过点)1,0(P 作直线l ，若直线l 与连接)1,2(),2,1(-B A 的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是____________.14.在平面直角坐标系中，经过三点)2,6(),5,5(),5,1(--C B A 的圆的方程为__________．15.21,F F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线分别交于点B A ,，若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为_______.16.已知椭圆1422=+y x C ：，),0(m P 是y 轴正半轴上一动点，若以P 为圆心任意长为半径的圆与椭圆C 至多有两个交点，则m 的取值范围是__________.三、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分.17.已知ABC ∆的顶点),1,5(A AB 边上的中线CM 所在直线方程为,052=--y x AC 边上的高BH 所在直线方程为.052=--y x 求：(1)顶点C 的坐标；(2)直线BC 的方程.18. 圆822=+y x 内有一点)2,1(-P ，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦.(1)当o 135=α时，求AB 的长；(2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程.19.已知一动圆与圆9)3(221=++y x C ：外切，且与圆1)3(222=+-y x C ：内切. (1) 求动圆圆心P 的轨迹方程C ；(2) 过点Q )1,4(能否作一条直线l 与C 交于B A ，两点，且点Q 是线段AB 的中点，若存在，求出直线l 方程；若不存在，说明理由.20.设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为)0,2(-F ,且椭圆经过点)55,2(-. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB (B 为椭圆上顶点)与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率.21.已知定点，)0,1(A P 是直线1:-=x l 上一动点，过P 作l 的垂线与线段PA 的垂直平分线交于点M .M 的轨迹记为.C(1) 求C 的方程；(2) 直线OP (O 为坐标原点)与C 交于另一点B ，过P 作l 垂线与C 交于D ，直线BD 是否过平面内一定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.22.椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点)23,1(P ，离心率21=e ，直线l 的方程为4=x ． (1) 求椭圆C 的方程；(2) 过椭圆右焦点F 作动直线与C 交于不同的两点B A 、，与l 交于.T 直线PB PA ,与l 分别交于，N M ,求证:T 是MN 的中点.唐山一中2021-2022高二年级第一学期10月份考试数学参考答案一、选择题1—5.ADCBB 6-10.DCBDC 11-12.CD二、填空题13. 14. 15. 16.三、解答题17.(1)因为,所以可设的方程为，又，所以与方程联立可得.(2)设,则的中点代入，得，与联立得所以所以直线的方程为即18.直线.圆心到直线的距离弦长为的中点，又的方程为.19.(1)设动圆圆心半径为根据题意得：所以则动点轨迹为双曲线(右支)，其方程为由点差法得，所以所以经验证成立.20.(1)(2)设直线：与联立得，.由题意所以所以21.(1)由抛物线定义知的轨迹是抛物线，(2)设，则，与联立得又，得直线，由对称性知若过定点，则定点一定在轴上，令得所以过定点22.(1)(2)设，由消得则，所以，同理，所以所以是中点.。
2021-2022学年河南省新乡市高二年级上册学期第一次月考数学试题【含答案】
2021-2022学年河南省新乡市高二上学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知a >b ，则下列不等式成立的是（ ）A ．B ．ac >bcC ．D ．22a b -≥22ac bc >22a b>【答案】D【分析】举出反例可判断A 、C ，由不等式的基本性质可判断B ，由指数函数的单调性可判断D ，即可得解.【详解】对于A ，当，时，，故A 错误；0a =1b =-2210a b -=-<对于B ，当时，，故B 错误；0c ≤ac bc ≤对于C ，当时，，故C 错误；0c =22ac bc =对于D ，由函数在上单调递增可得，故D 正确.2xy =R 22a b>故选：D.【点睛】本题考查了不等式性质的应用及不等关系的判断，考查了指数函数单调性的应用，属于基础题.2．在中，，，，则ABC ∆30A =︒105C =︒8b ==aA ．4B ．C ．D ．【答案】D【分析】本题可先通过三角形内角和为180度解出角的度数，再通过解三角形的正弦定理得出答B 案．【详解】因为，30A =︒105C =︒，所以18045B A C =︒--=︒．根据解三角形正弦定理可得，解得D ．8sin 30sin 45a =︒︒a =【点睛】解三角形的正弦定理：sin sin a bA B =．3．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ）n S {}n a n 4524a a +=648S ={}n a A ．1B ．2C ．4D ．8【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式利用条件，列出关于与的n 4524a a +=648S =1a d 方程组，通过解方程组求数列的公差.{}n a 【详解】设等差数列的公差为，{}n a d 则，，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=611656615482S a d a d ⨯=+=+=联立，解得.11272461548a d a d +=⎧⎨+=⎩4d =故选：C.4．数列的通项为，若要使此数列的前项和最大，则的值为{}n a 262n a n =-n n A ．12B ．12或13C ．13D ．14【答案】B【分析】本题可以先通过数列的通项得出数列是等差数列并知道数列的首项，然后得{}n a {}n a {}n a 出数列的前项和，然后得出其的最大值．{}n a n 【详解】因为，262n a n =-所以数列是一个首项为、公差为的数列．124a =，{}n a 242-所以数列的前项和为{}n a n 224262252n nS n n n +-=⨯=-，由数列的前项和为是一个开口向下的二次函数，且对称轴为{}n a n n S 252n =可知的值为12或13，故选B ．n 【点睛】二次函数在对称轴位置取最值，不过要注意是否能取到对称轴所在的那个点．5．在中，若，，则为（ ）ABC 2a =b =30A =B A ．B ．或C ．D ．或6060 1203030 150【答案】B【分析】利用正弦定理即可求解【详解】由得，解得，sin sin a bA B=212=sin B =所以或.60B =120故选：B6．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( )A ．9B ．18C ．D ．【答案】C【分析】由三角形内角和求出，由三角形的性质求出边BC ，根据面积公式求出三角形面积.C ∠【详解】由三角形内角和：，故三角形为等腰三角形，所以，30C ∠=6AB BC ==由三角形面积公式：.166sin 2S B =⨯⨯⨯=故选C.【点睛】本题考查三角形面积公式以及三角形性质，注意面积公式中边与角的关系，求边长时也可以通过正弦定理.7．求和：()11111223341n n ++++=⨯⨯⨯⨯+ A ．B ．C ．D ．1nn +1n n-12n n ++1n n+【答案】A【分析】本题中的可以化为，可以化为，可以化为，再112⨯1112-123⨯1123- ()11n n ⨯+111n n -+将其依次求和，得出结果．【详解】1111212=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯ ，()11111n n n n =-⨯++所以()111111111111111223341122334111n n n n n n n ++++=-+-+-++-=-=⨯⨯⨯⨯++++ ，故选A ．【点睛】裂项相消法：()1111n n a a n n a ⎛⎫=- ⎪⨯++⎝⎭．8．已知等比数列满足，且，，成等差数列，则数列的公比等于{}n a 13a =14a 22a 3a {}n a A ．1B ．-1C ．-2D ．2【答案】D【分析】根据等比数列的通项公式和等差中项的关系，列出方程组,进而求解.【详解】设的公比为，因为成等差数列，所以 ，即{}n a ()0q q ≠1234,2,a a a 2114a a q +14a q =，解得2440q q -+= 2.q =【点睛】属于基础题,考察数列基本量的题目，难点在于运算，本题尤其要注意如何求出公比和首项.9．在中，，则ABC ∆cos cos 2b C c B b +=b a =A B ．C ．D ．122【答案】B【分析】本题可以将转化为、转化为，通过化简得出，最cos C 2222a b c ab +-cos B 2222a c b ac +-2a b =后得出结果．【详解】cos cos 2b C c B b +=，，222222222a b c a c b b c bab ac +-+-⨯+⨯=22222a b a b a==，，即故选B ．1 22b b a b ，==【点睛】解三角形的余弦公式：．222cos 2a b c C ab +-=10．若△ABC 中，，则此三角形的形状是（ ）2sin()sin()sin A B A B C +-=A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】A【分析】已知等式左边第一项利用诱导公式化简，根据不为0得到，再利用两sin C sin()sin A B C -=角和与差的正弦函数公式化简.【详解】中，，ABC ∆ sin()sin A B C +=已知等式变形得：，即，∴2sin sin()sin C A B C -=sin()sin sin()A B C A B -==+整理得：，即，sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B -=+2cos sin 0A B =或（不合题意，舍去），cos 0A ∴=sin 0B =0A π<< ，90A ∴=︒故选：A【点睛】此题考查了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．11． 已知四个实数成等差数列，五个实数成等比数列，则1291a a －，，，－12391b b b －，，，，－221()b a a －＝A ．8B ．－8C ．±8D ．98【答案】B【详解】试题分析：先由等差数列和等比数列的性质，得，()21198413a a d ----===-；再利用等比数列中的第三项和第一项同号，得；所以()()22199b =-⨯-=23b =-.故选B.2218()3=83b a a -⨯-－＝【解析】等差数列的性质；等比数列的性质.12．已知数列满足{}n a 110,n a a +==2017a =A ．0B．C D【答案】A【分析】本题可先由推出的值，再由推出的值，再由推出的值，以此类推后可以发1a 2a 2a 3a 3a 4a现数列是一个循环数列，然后得出结果．{}n a【详解】120a a ===，，23a a ===340a a === 由上述可知，数列是每三项一次循环的数列，{}n a 则有故选A ．201710a a ==，【点睛】如果一个数列中的项数每隔几项就会重复，那么则说明这个数列是循环数列．二、填空题13．不等式的解集为_____________________．2450x x -++<【答案】【详解】试题分析：变形为，所以解集为2450x x -++<()()2450150x x x x -->∴+->【解析】一元二次不等式解法14．已知数列的前项和为，则的通项公式为__________．{}n a n 2n S n n =+{}n a n a =【答案】2n【分析】利用求得.11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩n a 【详解】当时，，1n =112a S ==当时，，2n ≥()221112n n n a S S n n n n n-⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦当时上式也符合，所以.1n =2n a n =故答案为：2n15．设等差数列的前项和为则________.{}n a 1020,100,400,n S S S ==30S =【答案】900【分析】本题可以通过等差数列的前项和计算得出结果．n 【详解】因为数列是等差数列，{}n a 所以成等差数列，1020103020S S S S S --、、所以()201010302030302600300900S S S S S S S -=+-=-=，，．【点睛】如果数列是等差数列，则有{}n a 232n n nn nS S S S S --、、．16．已知的三边长构成公差为2ABC 长为________.【答案】15【分析】本题可先根据三边长构成公差为2的等差数列可将三边设为，再通过最大22n n n -+、、以及对应边，再通过三角形的余弦公式得出的值，最后120︒n 求出周长．【详解】设三边长分别为22n n n -+、、，A 所以角等于或A 60︒120︒，因为角是最大角，A 所以角等于, 角对应边为A 120︒A 2n +，根据三角形的余弦公式得，()()()22222cos12022n n n n n-+-+︒=-解得三角形周长为5n =，2215n n n -+++=．【点睛】最大的角对应的边也是最长的．三、解答题17．设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，.2sin a b A =（1）求B 的大小．（2）若，求b .a =5c =【答案】（1）；（2）π6B =b 【解析】（1）由正弦定理，可得，进而可求出和角；sin 2sin sin A B A =sin B B （2）利用余弦定理，可得，即可求出.2222cos b a c ac B =+-b 【详解】（1）由，得，2sin a b A =sin 2sin sin A B A =因为，所以，sin 0A ≠1sin 2B =又因为B 为锐角，所以．π6B =（2）由余弦定理，可得，解2222cos 27252552457b a c ac B =+-=+-⨯=-=得b =【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的运用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.18．(1)为等差数列的前项和，,，求.n S {}n a n 26S S =1a =5a(2)在等比数列中，若求首项和公比.{}n a 422324,6,a a a a -=+=1a q 【答案】（1）；（2）首项,公比51a =-115a =5q =【分析】（1）本题可通过解得的值，再得出的值．26S S =45a a +5a （2）本题可通过得出，在利用等比数列性质与化简得4223246a a a a -=+=、3430a a +=236a a +=出结果．【详解】（1）由题意可得：根据等差数列的性质可得：()6234564545201,1S S a a a a a a a a -=+++=+==∴=-，（2）在等比数列中,，,可得,{}n a 4224a a -=236a a +=3430a a +=而,可得.又知,.()3423a a q a a +=+5q =()22316a a a q q +=+=115a =首项,公比．115a =5q =【点睛】等比数列有11n n mn m a a q a q --==．19．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且．ABC A B C a b c 2sin a B =(1)求角的大小；A (2)若，求的取值范围．6a =b c +【答案】(1)π3(2)(⎤⎦【分析】（1）利用正弦定理边化角即可求出答案；（2）通过已知结合锐角三角形内角范围求出的范围，然后结合正弦定理表示、，再由和差角B b c 公式与辅助角公式进行化简，利用正弦函数性质即可求解.【详解】（1），2sin a B =，2sin sin A B B ∴=，sin 0B ≠sin A ∴=为锐角的内角，A ABC.π3A ∴=（2），sin sin sin b c a B C A ====，b c B C ∴+=+，23B B π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，1sin 2B B B ⎫=++⎪⎪⎭，6cos B B =+，12sin 6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由题意与小问1可得：，π022ππ032B C B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，ππ62B ∴<<，ππ2π363∴<+<B，πsin 16⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭B.(b c ⎤∴+∈⎦20．已知等差数列满足：，．的前n 项和为．{}n a 37a=5726a a +={}n a n S （Ⅰ）求及；n a n S （Ⅱ）令（）,求数列的前项和．211n n b a =-n N +∈{}n b n n T 【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）．21,(2)nn a n S n n =+=+4(1)nn +【详解】试题分析：（1）设等差数列的公差为，由已知可得{}n a d 3577,26a a a =+=1127{21026a d a d +=+=解得，则及可求；（2）由（1）可得，裂项求和即可1,a d n a n S 111()41n b n n =-+试题解析：（1）设等差数列的公差为，因为，，所以有，{}n a d 37a =5726a a +=1127{21026a d a d +=+=解得，所以，.13,2a d ==32(1)21n a n n =+-=+2(1)3222n n n S n n n -=+⨯=+（2）由（1）知，，21n a n =+所以，22111111(1(21)14(1)41n n b a n n n n n ====--+-++所以，11111111(1)(1)42231414(1)n n T n n n n =-+-++-=-=+++ 即数列的前项和.{}n b n 4(1)n nT n =+【解析】等差数列的通项公式，前项和公式．裂项求和n 21．已知分别是的三个内角所对的边．,,a b c ABC ∆,,A B C (1)若的面积，求的值；ABC∆260ABC S c A ︒∆===,a b (2)若，且，试判断的形状．=cos a c B sin b c A =ABC ∆【答案】（1）；（2）等腰直角三角形．1a b ==【详解】试题分析：（1）解三角形问题，一般利用正余弦定理进行边角转化.首先根据面积公式解出b 边，得，再由由余弦定理得：1sin 2ABC S bc A ∆==12sin 602b ∴⋅︒=1b =，所以（2）判断三角形形状，利用边的222222cos 12212cos 603a b c bc A =+-=+-⨯⨯⋅︒=a =关系比较直观. 因为，所以由余弦定理得：，所以cos a c B =2222222a c b a c a b c ac +-=⋅⇒+=，在中，，所以，所以是等腰直角三角形.90C ∠=︒Rt ABC ∆sin a A c =ab c ac =⋅=ABC ∆解：（1）， 2分1sin 2ABC S bc A ∆= ，得 3分12sin 602b ∴⋅︒=1b =由余弦定理得：， 5分222222cos 12212cos 603a b c bc A =+-=+-⨯⨯⋅︒=所以分a =222a cb +-在中，，所以 11分Rt ABC ∆sin a A c =a b c a c =⋅=所以是等腰直角三角形； 12分ABC ∆【解析】正余弦定理22．已知等比数列{an}中，a2＝2，a5＝128.(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)若bn ＝，且数列{bn}的前项和为Sn ＝360，求的值.2log n a n n 【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) n ＝20232n n a -=【详解】试题分析：(1)由题意结合数列的通项公式得到关于首项、公比的方程组，求解方程组，结合通项公式有；232n n a -=(2)结合(1)的结论可得bn ＝ 则{bn }是首项为－1，公差为2的等差数列， 结合等差223,n log a n =-数列前n 项和公式得到关于n 的方程，结合解方程可得n ＝20.*n ∈N 试题解析：(Ⅰ)设等比数列{an }的公比为q ，则214512128a a q a a q ==⎧⎨==⎩解之得， ∴即 ；1124a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩111142n n n a a q --==⨯232n n a -=(Ⅱ) bn ＝2322223,n n log a log n -==-∵bn ＋1－bn ＝[2(n ＋1)－3]－(2n －3)＝2，又，11b =-∴{bn }是首项为－1，公差为2的等差数列，∴Sn ＝＝360，()1232n n -+-即 n 2－2n －360＝0，∴n ＝20或n ＝－18（舍去），因此，所求n ＝20.。
2021-2022学年山西省运城市教育发展联盟高二(上)月考数学试卷(10月份)(解析版)
2021-2022学年山西省运城市教育发展联盟高二（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．经过，B（3，1）两点的直线的倾斜角为（）A．B．C．D．2．已知向量，，且，则实数x等于（）A．1B．2C．﹣2D．﹣13．若圆C：x2+y2+（m﹣2）x+（m﹣2）y+m2﹣3m+2＝0过坐标原点，则实数m的值为（）A．1B．2C．2或1D．﹣2或﹣1 4．“a＝2”是“直线l1：ax﹣y+a＝0与直线l2：2x+（a﹣3）y+3a﹣1＝0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知△ABC的顶点C的坐标为（1，1），AC所在直线的方向向量为（1，2），AC边上的中线所在的直线方程为x+y﹣1＝0，则A点的坐标为（）A．B．C．D．6．已知a，b为两条异面直线，在直线a上取点A1，E，在直线b上取点A，F，使AA1⊥a，且AA1⊥b（称AA1为异面直线a，b的公垂线）．已知A1E＝2，AF＝3，EF＝5，，则异面直线a，b所成的角为（）A．B．C．D．7．过点P（2，3）作直线l分别交x轴正半轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．当2|OA|+3|OB|取最小值时，直线l的方程为（）A．x+y﹣3＝0B．x+2y﹣3＝0C．x+2y﹣5＝0D．x+y﹣5＝08．设平面点集D包含于R，若按照某对应法则f，使得D中每一点P（x，y）都有唯一的实数z与之对应，则称f为在D上的二元函数，且称D为f的定义域，P对应的值z为f 在点P的函数值，记作z＝f（x，y），若二元函数f（x，y）＝，其中﹣1≤x≤2，﹣4≤y≤0，则二元函数f（x，y）的最小值为（）A．5B．6C．7D．8二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）9．过点A（2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（）A．3x﹣2y＝0B．2x﹣3y＝0C．x+y＝5D．x﹣y＝﹣1 10．已知圆心为C的圆x2+y2﹣4x+6y+11＝0与点A（0，﹣5），则（）A．圆C的半径为2B．点A在圆C外C．点A与圆C上任一点距离的最大值为D．点A与圆C上任一点距离的最小值为11．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，．则下列说法正确的是（）A．B．平面OBB1的法向量C．A1C⊥平面OBB1D．点A到平面OBB1的距离为12．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为线段A1C上的动点（包含线段的端点），点M，N分别为线段A1C1，CC1的中点，则下列说法正确的是（）A．当时，点A，P，D1，B1四点共面B．异面直线AB1与MN的距离为C．三棱锥P﹣DMN的体积为定值D．不存在点P，使得AP⊥DM三、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．空间直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（2，1，3），（﹣1，3，2），则|AB|＝．14．已知直线l1，l2关于y轴对称，l1的方程为：2x﹣3y＝0，则点（2，﹣1）到直线l2的距离为．15．已知直线l1：（1+m）x+（1﹣4m）y﹣6﹣m＝0过定点P，直线l2过点Q（2，﹣1），且l1，l2分别绕P、Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是．16．在如图所示的试验装置中，四边形框架ABCD为正方形，ABEF为矩形，且BE＝3AB ＝3，且它们所在的平面互相垂直，N为对角线BF上的一个定点，且2FN＝BN，活动弹子M在正方形对角线AC上移动，当取最小值时，活动弹子M到直线BF的距离为．四、解答题（共6小题，满分52分）17．在三棱锥A﹣BCD中，E是BC的中点，F在AD上，且AF＝2FD，，，，（1）试用，，表示向量；（2）若底面BCD是等腰直角三角形，且BD＝BC＝AB＝3，∠ABD＝ABC＝60°，求EF的长．18．已知点P（1，4）与直线l：x+y﹣1＝0．（1）若直线l1过点P，且与直线l垂直，求直线l1的方程；（2）一条光线从点P射出，经直线l反射后，通过点Q（3，2），求反射光线所在的直线方程．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥AB，AB＝2BC＝2，PC＝3，PA＝2，E为PD的中点．（1）证明：BC⊥平面PAB；（2）求直线EB与平面PBC所成角的正弦值．20．已知圆C经过（﹣1，3），（5，3），（2，0）三点．（1）求圆C的方程；（2）设点A在圆C上运动，点，且点M满足，求点M的轨迹方程．21．如图，在四棱锥M﹣ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝∠BMC＝90°，MB＝MC，AD＝DC，，E为AB中点，ME＝1．（1）求点D到平面AMB的距离；（2）点P为棱AM上一点，求CP与平面AMB所成角最大时，的值．22．如图甲所示，BO是梯形ABCD的高，OB＝BC＝2，现将梯形ABCD沿OB折成P﹣OB ﹣D为直二面角的四棱锥P﹣OBCD，如图乙所示，在该四棱锥中，CD⊥PC，异面直线PB与CD所成的角为60°．（1）若点F是棱PD的中点，求证：CF∥平面POB；（2）在棱PB上是否存在一点E，使得平面BEO与平面OCE所成锐二面角的正弦值为？若存在，指出点E的位置，若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．经过，B（3，1）两点的直线的倾斜角为（）A．B．C．D．【分析】由两点坐标写出直线AB的斜率，再由k＝tanα得解．解：直线AB的斜率k＝＝﹣，由k＝tanα＝﹣知，倾斜角α＝．故选：D．2．已知向量，，且，则实数x等于（）A．1B．2C．﹣2D．﹣1【分析】利用向量垂直的性质直接求解．解：∵向量，，且，∴＝3+2x+1＝0，解得实数x＝﹣2．故选：C．3．若圆C：x2+y2+（m﹣2）x+（m﹣2）y+m2﹣3m+2＝0过坐标原点，则实数m的值为（）A．1B．2C．2或1D．﹣2或﹣1【分析】将坐标原点代入方程，求出m的值，然后分别判断是否符合题意即可．解：圆C：x2+y2+（m﹣2）x+（m﹣2）y+m2﹣3m+2＝0过坐标原点，则m2﹣3m+2＝0，解得m＝2或m＝1，当m＝2时，原方程为x2+y2＝0，它是一个点，不是圆；当m＝1时，原方程为x2+y2﹣x﹣y＝0，它是以为圆心，为半径的圆．所以实数m的值为1．故选：A．4．“a＝2”是“直线l1：ax﹣y+a＝0与直线l2：2x+（a﹣3）y+3a﹣1＝0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据直线平行求出a的值，结合充分必要条件的定义即可．解：若直线l1：ax﹣y+a＝0与直线l2：2x+（a﹣3）y+3a﹣1＝0平行，则，解得：a＝2，故“a＝2”是“直线l1：ax﹣y+a＝0与直线l2：2x+（a﹣3）y+3a﹣1＝0平行”的充要条件，故选：C．5．已知△ABC的顶点C的坐标为（1，1），AC所在直线的方向向量为（1，2），AC边上的中线所在的直线方程为x+y﹣1＝0，则A点的坐标为（）A．B．C．D．【分析】求出直线AC为：y﹣1＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣1＝0，联立方程组，得线段AB的中点坐标为（，），由此利用中点坐标公式能求出A点坐标．解：∵△ABC的顶点C的坐标为（1，1），AC所在直线的方向向量为（1，2），∴直线AC为：y﹣1＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣1＝0，∵AC边上的中线所在的直线方程为x+y﹣1＝0，联立方程组，得x＝，y＝，∴线段AB的中点坐标为（，），设A（a，b），则，解得a＝，b＝﹣，∴A（，﹣）．故选：A．6．已知a，b为两条异面直线，在直线a上取点A1，E，在直线b上取点A，F，使AA1⊥a，且AA1⊥b（称AA1为异面直线a，b的公垂线）．已知A1E＝2，AF＝3，EF＝5，，则异面直线a，b所成的角为（）A．B．C．D．【分析】设两条异面直线a，b所成的角为θ（0＜θ≤），由已知利用向量列式求解．解：如图，设两条异面直线a，b所成的角为θ（0＜θ≤），∵AA1⊥a，AA1⊥b，A1E＝2，AF＝3，EF＝5，，∴，则＝∴±2×2×3cosθ，得cosθ＝（舍去）或cos，则．故选：B．7．过点P（2，3）作直线l分别交x轴正半轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．当2|OA|+3|OB|取最小值时，直线l的方程为（）A．x+y﹣3＝0B．x+2y﹣3＝0C．x+2y﹣5＝0D．x+y﹣5＝0【分析】设直线AB的方程进而求出A，B的坐标，求出2|OA|+3|OB|的代数式，由均值不等式求出其最小值时的斜率，进而可得直线AB的方程．解：由题意可得直线AB的方程为y﹣3＝k（x﹣2），k＜0，令y＝0可得x＝﹣，令x＝0，可得y＝3﹣2k，所以A（﹣，0），B（0，3﹣2k），所以可得2|OA|+3|OB|＝2（﹣）+3（3﹣2k）＝（﹣）+（﹣6k）+9，因为k＜0，所以﹣＞0，﹣6k＞0，由均值不等式可得（﹣）+（﹣6k）+9≥2+9＝21，当且仅当（﹣）＝（﹣6k），即k＝﹣1，取等号，所以这时直线AB的方程为：x+y﹣5＝0，故选：D．8．设平面点集D包含于R，若按照某对应法则f，使得D中每一点P（x，y）都有唯一的实数z与之对应，则称f为在D上的二元函数，且称D为f的定义域，P对应的值z为f 在点P的函数值，记作z＝f（x，y），若二元函数f（x，y）＝，其中﹣1≤x≤2，﹣4≤y≤0，则二元函数f（x，y）的最小值为（）A．5B．6C．7D．8【分析】先将问题转化为动点P到定点O（0，0），A（﹣1，0），Q（0，﹣2），C（2，﹣4）距离的和，再利用数形结合思想求解即可．解：∵﹣1≤x≤2，﹣4≤y≤0，∴P（x，y）在由直线围成的矩形区域内（含边界），如图，则二元函数f（x，y）表示动点P到定点O（0，0），A（﹣1，0），Q（0，﹣2），C（2，﹣4）距离的和，在矩形ABCD边界及内部任取点P，连接PO，PA，PQ，PC，AC，于是有PO+PQ≥OQ，当且仅当点P在线段OQ上取等号，PA+PC≥AC，当且仅当点P在线段AC上取等号，于是f（x，y）＝PO+PQ+PA+PC≥OQ+AC＝2+＝7，当且仅当点P是线段OQ与AC的交点时取等号，显然直线AC：y＝﹣x﹣与y轴的交点为（0，﹣）在线段OQ上，即当P（0，﹣）时，，f（x，y）的最小值为7，故选：C．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）9．过点A（2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（）A．3x﹣2y＝0B．2x﹣3y＝0C．x+y＝5D．x﹣y＝﹣1【分析】当横截距a＝0时，纵截距b＝0，此时直线过点（2，3），（0，0），由此能求出直线方程为；当横截距a≠0时，纵截距b＝a，设直线方程为，把A（2，3）代入能求出直线方程．解：当横截距a＝0时，纵截距b＝0，此时直线过点（2，3），（0，0），直线方程为：，整理得3x﹣2y＝0，当横截距a≠0时，纵截距b＝a，设直线方程为，把A（2，3）代入得，解得a＝5，∴直线方程为＝1，整理得x+y＝5．故选：AC．10．已知圆心为C的圆x2+y2﹣4x+6y+11＝0与点A（0，﹣5），则（）A．圆C的半径为2B．点A在圆C外C．点A与圆C上任一点距离的最大值为D．点A与圆C上任一点距离的最小值为【分析】圆的方程配方求得半径可判断A，把点A的坐标代入圆方程左边计算代数式的值可判断B，求出圆上的点到定点A的距离的最值可判断CD，解：由圆x2+y2﹣4x+6y+11＝0得（x﹣2）2+（y+3）2＝2，知半径为，故A错误；把点A（0，﹣5）代入圆的方程x2+y2﹣4x+6y+11＝0的左边代数式有02+（﹣5）2﹣4×0+6×（﹣5）+11＝6＞0，所以点A在圆C外，故B正确；圆心C到A的距离为＝＝2，，所以圆C上任一点到A的距离的最大值为2+＝3，最小距离为2﹣＝；故CD正确；故选：BCD．11．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，．则下列说法正确的是（）A．B．平面OBB1的法向量C．A1C⊥平面OBB1D．点A到平面OBB1的距离为【分析】根据已知条件及给定的几何图形写出点A，B，C，A1的坐标，再对各个选项逐一分析计算并判断作答．解：依题意，ABCD是正方形，AC⊥BD，AC与BD的交点O为原点，，在给定的空间直角坐标系中，B（1，0，0），C（0，1，0），A（0，﹣1，0），A1（0，0，1），而，则点B1（1，1，1），，A不正确；，，设平面OBB1的法向量，则，令y＝1，得，B正确；，即A1C⊥平面OBB1，C正确；因，则点A到平面OBB1的距离，D正确．故选：BCD．12．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为线段A1C上的动点（包含线段的端点），点M，N分别为线段A1C1，CC1的中点，则下列说法正确的是（）A．当时，点A，P，D1，B1四点共面B．异面直线AB1与MN的距离为C．三棱锥P﹣DMN的体积为定值D．不存在点P，使得AP⊥DM【分析】对于A，借助空间向量判断共面即可；对于B，建立空间直角坐标系，利用空间向量求距离即可判断；对于C，证明直线A1C//平面DMN即可判断；对于D，利用空间直角坐标系中向量坐标运算即可判断作答．解：在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为线段A1C上的动点，如图，对于A，因，则＝，共面，且它们有公共点A，点A，P，D1，B1四点共面，A正确；对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，则，A1（1，0，1），，设与都垂直的向量，因此，，令y＝1，得，则异面直线AB1与MN的距离，B不正确；对于C，因点M，N分别为线段A1C1，CC1的中点，则A1C//MN，A1C⊄平面DMN，MN⊂平面DMN，于是得A1C//平面DMN，因此，A1C上任意点P到平面DMN的距离都相等，而点D，M，N都是定点，即△DMN 面积是定值，则三棱锥P﹣DMN的体积为定值，C正确；对于D，令，t∈[0，1]，则，而，于是得，当t＝1时，，即，因此当点P 与点C重合时，AP⊥DM，D不正确．故选：AC．三、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．空间直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（2，1，3），（﹣1，3，2），则|AB|＝．【分析】根据空间两点间的距离公式进行求解即可．解：点A，B的坐标分别为（2，1，3），（﹣1，3，2），则|AB|＝＝．故答案为：．14．已知直线l1，l2关于y轴对称，l1的方程为：2x﹣3y＝0，则点（2，﹣1）到直线l2的距离为．【分析】先求出l2的方程，然后利用点到直线的距离公式求解即可．解：因为直线l1，l2关于y轴对称，l1的方程为2x﹣3y＝0，所以l2的方程为2（﹣x）﹣3y＝0，即2x+3y＝0，故点（2，﹣1）到直线l2的距离为＝．故答案为：．15．已知直线l1：（1+m）x+（1﹣4m）y﹣6﹣m＝0过定点P，直线l2过点Q（2，﹣1），且l1，l2分别绕P、Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是．【分析】先利用直线求出a，b与m的关系，然后将问题转化为点Q到直线l1的距离，由点到直线的距离公式以及基本不等式求解最值，即可得到答案．解：直线l1：（1+m）x+（1﹣4m）y﹣6﹣m＝0可变形为（1+m）（x﹣5）+（1﹣4m）（y﹣1）＝0，令a＝1+m，b＝1﹣4m，因为l1∥l2，且点Q在直线l2上，则l1，l2之间的距离d等于点Q到直线l1的距离，所以d＝＝＝＝，当且仅当2a＝3b，即m＝时取等号，所以l1，l2之间的距离的最大值为，又直线l1，l2不重合，所以l1，l2之间的距离的取值范围是．故答案为：．16．在如图所示的试验装置中，四边形框架ABCD为正方形，ABEF为矩形，且BE＝3AB ＝3，且它们所在的平面互相垂直，N为对角线BF上的一个定点，且2FN＝BN，活动弹子M在正方形对角线AC上移动，当取最小值时，活动弹子M到直线BF的距离为．【分析】根据给定条件建立以直线BA，BE，BC分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，利用空间向量即可计算作答．解：因ABCD为正方形，则AB⊥BC，而平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD⋂平面ABEF＝AB，于是得AB⊥平面ABEF，又ABEF为矩形，即BE⊥AB，以射线BA，BE，BC分别为x，y，z轴的非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则B（0，0，0），A（1，0，0），C（0，0，1），E（0，3，0），F（1，3，0），因点N在BF上，且2FN＝BN，则，又M在线段AC上移动，则有，于是得点M（t，0，1﹣t），，，因此，当时，取最小值，此时，点，则，，而，则有，，因此，点M到直线BF的距离，所以活动弹子M到直线BF的距离为．故答案为：．四、解答题（共6小题，满分52分）17．在三棱锥A﹣BCD中，E是BC的中点，F在AD上，且AF＝2FD，，，，（1）试用，，表示向量；（2）若底面BCD是等腰直角三角形，且BD＝BC＝AB＝3，∠ABD＝ABC＝60°，求EF的长．【分析】（1）根据给定条件利用空间向量线性运算直接写出并化简计算即可；（2）利用给定条件借助空间向量的数量积即可计算EF的长．解：（1）依题意，因E是BC的中点，F在AD上，且AF＝2FD，则＝，所以；（2）因BD＝BC＝AB＝3，∠CBD＝90°，∠ABD＝ABC＝60°，即，则，，，由（1）知：，所以EF的长是．18．已知点P（1，4）与直线l：x+y﹣1＝0．（1）若直线l1过点P，且与直线l垂直，求直线l1的方程；（2）一条光线从点P射出，经直线l反射后，通过点Q（3，2），求反射光线所在的直线方程．【分析】（1）利用待定系数法结合垂直直线系方程，设出直线l1的方程，将点P的坐标代入求解即可；（2）点P关于直线l的对称点P'（a，b），利用点PP'的中点在直线l上，直线PP'与直线l垂直，列出方程组，求出a，b，即可得到反射光线经过点P'（﹣3，0）和Q（3，2），求解反射光线即可．解：（1）因为直线l1与直线l垂直，所以设直线l1的方程为x﹣y+m＝0，又直线l1过点P（1，4），所以1﹣4+m＝0，解得m＝3，所以直线l1的方程为x﹣y+3＝0；（2）设点P关于直线l的对称点P'（a，b），则，解得a＝﹣3，b＝0，所以P'（﹣3，0），故反射光线经过点P'（﹣3，0）和Q（3，2），所以反射光线所在的直线方程为，即x﹣3y+3＝0．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥AB，AB＝2BC＝2，PC＝3，PA＝2，E为PD的中点．（1）证明：BC⊥平面PAB；（2）求直线EB与平面PBC所成角的正弦值．【分析】（1）先求AC＝，再利用AC2+PA2＝5+4＝9＝32＝PC2得PA⊥AC，进而证PA⊥面ABCD，可得PA⊥BC，可证BC⊥面PAB；（2）以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，求出平面PBC的法向量，以及EB的方向向量，可求直线EB与平面PBC所成角的正弦值．【解答】（1）证明：AB＝2BC＝2，所以得BC＝1，又底面ABCD是矩形，所以AC＝＝，又AC2+PA2＝5+4＝9＝32＝PC2，所以∠PAC＝90°，所以PA⊥AC，又PA⊥AB，AC∩AB＝A，AC、AB⊂面ABCD，所以PA⊥面ABCD，又BC⊂面ABCD，所以PA⊥BC，又BC⊥AB，AB∩PA＝A，AB⊂面PAB，AP⊂面PAB，所以BC⊥面PAB；（2）解：由（1）知PA⊥AB，PA⊥AD，AB⊥AD以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，则B（2，0，0），D（0，1，0），P（0，0，2），E（0，，1），C（2，1，0）则＝（﹣2，0，2），＝（0，1，0），＝（2，﹣，﹣1），设平面PBC的一个法向量＝（x，y，z），则有，令x＝1，则有y＝0，z＝1，∴平面PBC的一个法向量＝（1，0，1），设直线EB与平面PBC所成角为θ，所以sinθ＝＝＝，所以直线EB与平面PBC所成角的正弦值为．20．已知圆C经过（﹣1，3），（5，3），（2，0）三点．（1）求圆C的方程；（2）设点A在圆C上运动，点，且点M满足，求点M的轨迹方程．【分析】（1）设出圆C的方程，将给定三点坐标代入列出方程组求解即得；（2）设出点M，A的坐标，利用坐标代换法即可求出点M的轨迹方程．解：（1）设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），将三点（﹣1，3），（5，3），（2，0）分别代入得：，即，解得，所以圆C的方程为：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝9；（2）设M（x，y），A（x A，y A），则有，，因，于是得，即，又点A在圆C上运动，则，即（3x﹣16﹣2）2+（3y﹣15﹣3）2＝9，整理得：（x﹣6）2+（y﹣6）2＝1，所以点M的轨迹方程为（x﹣6）2+（y﹣6）2＝1，是以（6，6）为圆心，以1为半径的圆．21．如图，在四棱锥M﹣ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝∠BMC＝90°，MB＝MC，AD＝DC，，E为AB中点，ME＝1．（1）求点D到平面AMB的距离；（2）点P为棱AM上一点，求CP与平面AMB所成角最大时，的值．【分析】（1）取BC中点O，连接MO、EO，证明出BC⊥平面MOE，分析出△MOE 为等边三角形，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，过O垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点D到平面AMB的距离；（2）设，可得出，设CP与平面AMB所成角为θ，利用空间向量法可得出sinθ关于λ的表达式，利用二次函数的基本性质可求得当sinθ取得最大值时对应的λ的值，即可得出结论．解：（1）取BC中点O，连接MO、EO，∵△ADC为等腰直角三角形，∴，因为，AB//CD，则∠CAB＝∠ACD＝45°，由余弦定理可得，∴AC2+BC2＝AB2，故AC⊥BC，又∵△MCB为等腰直角三角形，MB＝MC，O为BC的中点，则MO⊥BC．∵O、E分别为BC、AB的中点，则OE//AC，故OE⊥BC，又∵MO∩OE＝O，∴BC⊥平面MOE，又∵ME＝1，OE＝1，OM＝1，所以，△MOE为等边三角形，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，过O垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则O（0，0，0）、B（0，1，0）、A（2，﹣1，0）、、D（1，﹣2，0）、C（0，﹣1，0），，，，设平面BAM的法向量为，则，即，取，则，z＝1，得，所以，点D到平面AMB的距离；（2）设，则，则，设CP与平面AMB所成角为θ，则．所以，当时，sinθ最大，即θ最大．22．如图甲所示，BO是梯形ABCD的高，OB＝BC＝2，现将梯形ABCD沿OB折成P﹣OB ﹣D为直二面角的四棱锥P﹣OBCD，如图乙所示，在该四棱锥中，CD⊥PC，异面直线PB与CD所成的角为60°．（1）若点F是棱PD的中点，求证：CF∥平面POB；（2）在棱PB上是否存在一点E，使得平面BEO与平面OCE所成锐二面角的正弦值为？若存在，指出点E的位置，若不存在，请说明理由．【分析】（1）只须证明CF所在平面CMF平行于平面POB即可；（2）用向量数量积计算二面角余弦值，列方程求解即可．【解答】（1）证明：过B作BM∥CD，交OD于M，连接MC，MF，MP，因为PO⊥BO，PO⊥OD，OB∩OD＝O，所以PO⊥平面OBCD，因为OC为PC在平面OBCD内投影，因为CD⊥PC，所以CD⊥OC，又因为∠COD＝∠OCB＝45°，所以∠CDO＝∠BMO＝45°，所以MD＝BC，OM＝BO，又因为BO＝BC，所以M为OD中点，因为F为PD中点，所以MF∥PO，MC∥OB，PO∩BO＝O，MF∩CM＝M，所以平面CMF∥平面POB，又因为CF⊆平面CMF，所以CF∥平面POB．（2）解：由（1）知OB、OD、OP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，B（2，0，0），C（2，2，0），设E（2﹣t，0，t），＝（2，2，0），＝（2﹣t，0，t），设平面OEC的法向量为＝（x，y，z），，令x＝t，＝（t，﹣t，t﹣2），平面OBE的法向量为＝（0，1，0），设平面BEO与平面OCE所成锐二面角为θ，cosθ＝＝，sinθ＝＝＝，解得t＝，t＝﹣2（舍）．所以存在点E（2，0，2），即当BE＝时，使得平面BEO与平面OCE所成锐二面角的正弦值为．。
华师一附中2023-2024学年度第一学期高二年级十月月考数学试题及答案
华师一附中2023-2024学年度第一学期高二年级十月月考数学试卷时限：120分钟 满分：150分一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意）1. 直线l 过点()2,1A ，(),3B m 的直线的倾斜角α的范围是3,44ππ，则实数m 的取值范围是（ ）A. (]0,2B. ()0,4C. [)2,4D. ()()0,22,42. 直线1l ：10ax y +−=，2l ：()1210a x y −−+=，则“1a =−”是“12l l ⊥”的（ ）条件 A. 必要不充分B. 充分不必要C. 充要D. 既不充分也不必要3. 已知空间向量()()0,1,2,1,2,2a b ==−，则向量a在向量b 上的投影向量是（ ）A. 122,,333− B. 244,,333−C. ()2,4,4−D. 422,,333−4. 如图，在平行六面体1111ABCD A B C D −中，点M 是棱1CC 的中点，连接1B M 、1BC 交于点P ，则（ ）A 12133DP AB AD AA =−+B. 11233DP AB AD AA =−+C. 12233DP AB AD AA =++D. 11122DP AB AD AA =−+5. 将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点()2,0与点()2,4−重合，点()2021,2022与点(),m n 重合，则m n +=（ ） A 1B. 2023C. 4043D. 40466. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，E 为线段1DD 的中点，F 为线段1BB 的中点．直线1FC ..到平面1AB E 的距离为（ ）．A.B.C.23D.137. 过点()3,4P 在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有多少条（ ） A. 4B. 5C. 6D. 78. 在四棱锥P ABCD −中，棱长为2的侧棱PD 垂直底面边长为2的正方形ABCD ，M 为棱PD 的中点，过直线BM 的平面α分别与侧棱PA 、PC 相交于点E 、F ，当PE PF =时，截面MEBF 的面积为（ ）A. B. 2C. D. 3二、多项选择题（每题有两个或者两个以上正确答案，每题5分，少选得2分，共20分）9. 下列说法中不正确的是（ ）A. 经过定点000(,)P x y 的直线都可以用方程00()y y k x x −=−来表示B. 经过定点(0,)A b 的直线都可以用方程y kx b =+来表示 C. 不与坐标轴重合或平行直线其方程一定可以写成截距式 D. 不与坐标轴重合或平行的直线其方程一定可以写成两点式 10. 下列命题中正确的是（ ）A. 若,,,A B C D 是空间任意四点，则有0AB BC CD DA +++=B. 若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，则直线l 与平面α所成的角等于50°C. 已知向量{},,a b c 组是空间的一个基底，则{},,a b b c a b c ++++也是空间的一个基底D. 对空间任意一点O 与不共线的三点,,A B C ，若OP xOA yOB zOC =++（其中,,x y z ∈R,,x y z ∈R ），则,,,P A B C 四点共面11. 已知点()1,1M −，()2,1N ，且点P 在直线l ：20x y ++=上，则（ ）的A. 存在点P ，使得PM PN ⊥B. 存在点P ，使得2PM PN =C. PM PN +的最小值为D. PM PN −最大值为312. 如图，四边形ABCD 中，90BAD ∠=°，AB AD ==，45ACB ∠=°，1tan 2BAC ∠=，将ABC 沿AC 折到B AC ′位置，使得平面B AC ′⊥平面ADC ，则以下结论中正确的是（ ）A. 三棱锥B ACD ′−体积为8B. 三棱锥B ACD ′−外接球的表面积为44πC. 二面角B AD C ′−−D. 异面直线AC 与B D ′所成角的余弦值为5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13. 直线1:230l mx y +−=与直线()2:3160l x m y m +−+−=平行，则m =_________. 14. 如图，平行六面体1111ABCD A B C D −的底面ABCD是矩形，AB =，AD =，1AA =，且1160A AD A AB ∠=∠=°，则线段1AC 的长为_______________.15. 已知正方形的中心为直线220x y −+=，10x y ++=的交点，正方形一边所在的直线方程为350x y +−=，则它邻边所在的直线方程为___________．的的16. 已知a ，0b R a ∈≠，，曲线221a y y ax b x+==++，，若两条曲线在区间[]34，上至少有一个公共点，则22a b +的最小值为________．四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （1）求证：动直线()()222231310m m x m m y m++++−++=（其中R m ∈）恒过定点，并求出定点坐标；（2）求经过两直线1:240l x y −+=和2:20l x y +−=的交点P ，且与直线3:3450x l y −+=垂直的直线l 的方程.18. 在ABC 中，()()()3,4,1,3,5,0A B C −. （1）求BC 边的高线所在的直线的方程；（2）已知直线l 过点A ，且B C 、到l 的距离之比为1:2，求直线l 的方程.19. 如图，在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，BC CD ⊥，π4ABC ∠=，112CDCE BE ===，2PA AD ==，F 为PD 的中点．（1）证明：AB PE ⊥；（2）求二面角A EF D −−的平面角的余弦值．20. 如图1，边长为2的菱形ABCD 中，120DAB ∠=°，E ，O ，F 分别是AB ，BD ，CD 的中点.现沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，连接AC ，如图2.（1）求cos EOF ∠；（2）若过E ，O ，F 三点的平面交AC 于点G ，求四棱锥A OEGF −的体积.21. 在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点A 与坐标原点重合(如图所示).将矩形折叠，使点A 落在线段DC 上．（1）若折痕所在直线的斜率为k ，试求折痕所在直线的方程;（2）当20k −+≤≤时，求折痕长的最大值．22. 如图，P 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AC 为底面直径，ABD △为底面圆O 的内接正三角形，且ABD △E 在母线PC 上，且AE =1CE =．（1）求证：直线//PO 平面BDE ，并求三棱锥P BDE −的体积：（2）若点M 为线段PO 上的动点，当直线DM 与平面ABE 所成角的正弦值最大时，求此时点M 到平面ABE 的距离．1. B 【解析】由直线的倾斜角α的范围是3,44ππ，得直线的斜率存在时，1k <−或1k >. 当2m ≠时，31222k m m −==−−， 212m ∴<−−或212m >−，解得02m <<或24m <<. 当直线的斜率不存在时，2m =符合题意 综上，实数m 的取值范围是()0,4.故选：B 2.B 【解析】直线1l ：10ax y +−=，2l ：()1210a x y −−+=， 当12l l ⊥时,有()120a a −−=，解得2a =或1a =−. 所以“1a =−”时“12l l ⊥”成立，“12l l ⊥”时“1a =−”不一定成立， 则“1a =−”是“12l l ⊥”的充分不必要条件.故选：B 3. B 【解析】由已知可得，6a b ⋅= ，3b = ，所以，向量a 在向量b 上的投影向量是244,,23333a b b b b b − == ⋅⋅. 故选：B . 4. B 【解析】在平行四边形11BB C C 中，因为M 为1CC 的中点，连接1B M 、1BC 交于点P ，且11//BB CC ，所以，11112C P C M BP BB ==，则()()111222333BP BC BC BB AD AA ++， 因此，()11212333DP DA AB BP AD AB AD AA AB AD AA =++=−+++=−+. 参考答案故选：B. 5. C 【解析】解：设()2,0A ，()2,4B −，则,A B 所在直线的斜率为40122AB k −==−−−，由题知过点()2021,2022与点(),m n 的直线与直线AB 平行， 所以202212021n m −=−−，整理得202120224043m n +=+=故选：C 6.D 【解析】11,AE FC FC ⊄ 平面1AB E ,AE ⊂平面1AB E , 1FC ∴ 平面1AB E ,因此直线1FC 到平面1AB E 的距离等于点1C 到平面1AB E 的距离，如图，以D 点为坐标原点，DA 所在的直线为x 轴，DC 所在的直线为y 轴，1DD 所在的直线为z 轴，建立直角坐标系.则1111(1,0,0),(1,1,1),(0,1,1),(0,0,),(1,1,)22A B C E F111111(1,0,),(1,0,),(0,1,1),(1,0,0)22FC AE AB C B =−=−==设平面1AB E 的法向量为(,,)n x y z =，则11020n AE x z n AB y z ⋅=−+=⋅=+=，令2z =，则(1,2,2)n =− 设点1C 到平面1AB E 的距离为d ，则1113n C B dn⋅=故直线1FC 到平面1AB E 距离为13. 故选：D. 7. D 【解析】当截距为0时，是直线OP ,只有一条，当截距大于0时，设截距分别为,,a b 则直线方程为1x ya b+=，∵直线过点()3,4P , ∴341+a b =①，∵0,0a b >>,∴3400>,>a b ,结合①可得，34<1<1,a b,∴3,4a b >>,又∵,a b 为整数，45a b ∴≥≥，， 由①解得412433a b a a ==+−−,3a −为12的因数， ∴31,2,3,4,6,12a −=,对应4,5,6,7,9,15a =,相应16,10,8,7,6,5,b = 对应的直线又有6条，综上所述，满足题意的直线共有7条，故选：D. 8. A 【解析】由题意，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形， 如图，建立空间直角坐标系D -xyz ，则()0,2,0C ，()002P ,,，()2,0,0A ，()0,0,1M ，()2,2,0B ，()2,0,2PA =−，()2,2,1BM =−−，设()2,0,2PEtPA t t ==−，01t ≤≤，则()2,0,22E t t −，又PE PF =，PA PC =，所以()0,2,2PF tPC t t ==− ，则()0,2,22F t t −，由题意，M E B F 、、、四点共面，所以BM xBE yBF =+，的所以2(22)222(22)1(22)(22)t x yx t y t x t y−=−−−=−+− =−+−，解得32,43x y t ===，所以42,0,33E ，420,,33F ，所以2222,2,,2,,3333BE BF =−−=−− ，所以7cos ,11BE BF BEBF BE BF⋅==，即7cos 11EBF ∠=，所以sin EBF ∠所以1144sin 229EBF S BE BF EBF =××∠=×， 又4141,0,,0,,3333ME MF =−=− ，所以1cos ,17ME MF MEMF ME MF⋅==，即1cos 17EMF ∠=，所以sin EMF ∠所以1117sin 229EMF S ME MF EMF =××∠=×， 所以截面MEBF的面积为EBF EMF S S S =+=+= 故选：A 9. ABC 【解析】对于A ，点斜式方程适用斜率存在的直线，故A 错误； 对于B ，斜截式方程适用斜率存在的直线，故B 错误；对于C ，截距式方程适用不与坐标轴重合或平行且不过原点的直线，故C 错误； 对于D ，两点式方程适用不与坐标轴重合或平行的直线，故D 正确；故选：ABC 10. AC 【解析】A ：因为0AB BC CD DA +++=，所以本选项命题正确；B ：因为直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°， 所以直线l 与平面α所成的角等于()9018013040°−°−°=°，因此本选项命题不正确；C ：假设{},,a b b c a b c ++++不是空间一个基底，所以有()()a b cx a b y b c ++=+++成立， 因为{},,a b c组是空间的一个基底，所以可得111x x y y ==+ =，显然该方程组没有实数解，因此假设不成立， 所以{},,a b b c a b c ++++ 也是空间的一个基底，因此本选项命题正确；D ：因为只有当1x y z ++=时，,,,P A B C 四点才共面， 所以本选项命题不正确， 故选：AC 11. BCD 【解析】对于A ：设(),2P a a −−，若1a =−时()1,1P −−，此时PM 斜率不存在，203PN k =≠，PM 与PN 不垂直，同理2a =时PM 与PN 不垂直， 当1a ≠−且2a ≠时31PM a k a −−=+，32PN a k a −−=−， 若PM PN ⊥，则33121PM PN a a k k a a −−−−⋅=⋅=−−+， 去分母整理得22570a a ++=，2Δ54270−××<，方程无解，故PM 与PN 不垂直，故A 错误； 对于B ：设(),2P a a −−，若2PM PN =，则即221090a a ++=，由2Δ10429280=−××=>，所以方程有解，则存在点P ，使得的2PM PN =，故B 正确；对于C ：如图设()1,1M −关于直线l 的对称点为(),M a b ′，则111112022b a a b − = +−++ ++= ， 解得31a b =− =− ，所以()3,1M ′−−，所以PM PN PM PN M N +=+≥=′′，当且仅当M ′、P 、N 三点共线时取等号（P 在线段M N ′之间），故C 正确；对于D ：如下图，3PM PN MN −≤=，当且仅当P 在NM 的延长线与直线l 的交点时取等号，故D 正确.故选：BCD 12. ABC【解析】过B 作BEAC ⊥于E ，在ABC 中，因为1tan 2BAC∠=，所以sinBAC ∠cos BAC ∠由正弦定理得sin sin AB BCACB BAC=∠∠,=，解得BC =所以sin2BE BC ACB=∠==，2CE=，因为()ABC ACB BACπ∠=−∠+∠,所以sin sin()ABC ACB BAC∠=∠+∠sin cos cos sinACB BAC ACB BAC=∠∠+∠∠=+=，由正弦定理得sin sinAC ABABC ACB=∠∠=6AC=，所以11sin sin(90)22ACDS AC AD DAC AC AD BAC=⋅⋅∠=⋅⋅°−∠11cos61222AC AD BAC=⋅⋅∠=××=，因为平面B AC′⊥平面ADC，平面'B AC 平面ADC AC=，BE AC⊥，所以'B E⊥平面ADC，所以三棱锥B ACD′−的体积为11122833ACDS BE⋅=××=，所以A正确，设O为ACD的外心，ACD外接圆半径为r，由余弦定理得2222cosCD AC AD AC AD DAC=+−⋅∠22222cos(90)2sin36202632AC AD AC AD BACAC AD AC AD BAC+−⋅°−∠=+−⋅∠=+−××所以CD=，由正弦定理得2sinCDrDAC==∠r=取AC的中点M，连接,,OM OE OC，则1OM=，OE，设三棱锥B ACD′−外接球的半径为R，球心为'O，设'OO x=，则222222(2)R OE x R x OC=++ =+ ，即22222(2)10R x R x =++ =+ ，解得1x =，211R =， 所以三棱锥B ACD ′−外接球的表面积为2444R π=π，所以B 正确，过E 作EF AD ⊥于F ，连接'B F ，因为'B E ⊥平面ADC ，AD ⊂平面ADC ，所以'B E AD ⊥，因为'B E EF E = ，所以AD ⊥平面'EB F ，因为'B F ⊂平面'EB F ，所以'B F AD ⊥，所以'B FE ∠为二面角B AD C ′−−的平面角，因为sin 4EF AE DAC =⋅∠=''tan B E B FE EF ∠=C 正确，如图，以E 为坐标原点，建立空间直角坐标系，过D 作DG AC ⊥于G ，则cos 2AG AD CAD =⋅∠==，sin 4DG AD CAD =⋅∠==， 则'(2,0,0),(4,0,0),(2,4,0),(0,0,2)C A D B −−所以'(6,0,0),(2,4,2)AC B D ==−−设异面直线AC 与B D ′所成角为θ，则cos θ，所以D 错误， 故选：ABC13. －2 【解析】由1:230l mx y +−=，得到12:32ml y x =−+，因为12l l //，所以10m −≠，由()3160x m y m +−+−=，得到3611m y x m m −=−−−− 所以3213621mm m m −=− −− ≠− − ，即2603m m m −−= ≠ ，解得2m =−，故答案为：2−.14. 【解析】依题意，11AC AC CC =+ ，得22221111()2AC AC CC AC AC CC CC =+=+⋅+ ， 由底面ABCD为矩形，AB =，AD =222224AC AB AD =+=+= ，显然22118CC AA == ， 又1111()AC CC AB AD CC AB AA AD AA ⋅=+⋅=⋅+⋅1111cos 60cos 60422AB AA AD AA =⋅⋅°+⋅⋅°+= ，因此21424820AC =+×+=，所以1AC = .故答案为：15. 390,330x y x y −+=−−= 【解析】解：22010x y x y −+= ++= ，解得10x y =− =，∴中心坐标为(1,0)M −，点M 到直线1:350l x y +−=的距离d 设与1l 垂直两线分别为34l l 、，则点(1,0)M −，设34,l l 方程为230x y d −+=23d =−或9 ， ∴它邻边所在的直线方程为390,330x y x y −+=−−=．故答案为：390,330x y x y −+=−−= 16.1100【解析】曲线221a yy ax b x+==++，， 221a ax b x+∴=++， 222a ax bx x ∴+=++，()21220x a bx x ∴−++−=， 于是可以看作关于a ，b 的直线方程， 则()a b ，是该直线上的点，22a b ∴+表示原点到点()a b ，的距离的平方，设原点到直线的距离为d ， 根据点到直线的距离公式得到d =()()222222222211x x a b d x x −− ∴+≥== + +， 令[]234t x x =−∈，，，则[]12t ∈，，则2x t =+， ()222222221545214t t a b d t t t t t ∴+≥=== ++++ ++， 设()[]5412f t t t t=++∈，，， 可知函数()f t 在[]12，上为减函数， ∴当1t =时，()()115410max f t f ==++=， ∴当1t =时，22a b +最小值为1100． 故答案为:1100． 17. 【解析】(1)证明：解法一：令0m =，则直线方程为310x y ++= ① 再令1m =时，直线方程为640x y ++=② ①和②联立方程组310640x y x y ++=++=，得12x y =− = ，将点()1,2A −代入动直线()()222231310m m x m my m++++−++=中，即()()()()()22222311231312222130m m m m m m m ++×−++−×++−−+−+++−故动直线()()222231310mm x m m y m ++++−++=恒过定点()1,2A −. 解法二：将动直线方程按m 降幂排列整理，得()()232310x y m x y m x y −++++++=① 不论m 为何实数，①式恒为零，∴ 有3020310x y x y x y −+=+=++=，解得12x y =− = ， 故动直线恒过点()1,2A −．(2)解法一：联立方程24020x y x y −+=+−=，解得()0,2P ， 直线3:3450x l y −+=的斜率为34，由3l l ⊥，则直线l 的斜率为43k =−， 故直线l 的方程为4360x y +−=. 解法二：设所求直线方程为430x y m ++=， 将解法一中求得的交点()0,2P 代入上式可得6m =−，故所求直线方程为4360x y +−=. 解法三：设直线l 的方程为()()2420x y x y λ−+++−=， 即()()12420x y λλλ++−+−=，又3l l ⊥， ∴ ()()()31420λλ×++−×−=， 解得11λ=，故直线l 的方程为4360x y +−=. 18. 【解析】（1）设BC 边高线所在的直线为m ，的所以由3011215m BC m m k k k k −⋅=−⇒⋅=−⇒=−−， 所以直线m 的方程为()423220y x x y −=−⇒−−=； （2）当直线l 不存在斜率时，直线l 的方程为3x =， 显然B C 、到l 的距离之比为2:1，不符合题意；当直线l 存在斜率时，设为k ，方程为()43430y k x kx y k −=−⇒−+−=， 因为B C 、到l 的距离之比为1:2，1k =，或15k =−， 方程为10x y −+=，或5230x y +−=， 综上所述：直线l 的方程10x y −+=，或5230x y +−=. 19. 【解析】（1）在四边形ABCD 中，//AD BC ，取BE 中点G ，连接,AG AE ，由112CDCE BE ===，得2CG AD ==，则四边形AGCD 是平行四边形，又BC CD ⊥， 因此AGCD 是矩形，即有AG BC ⊥，有AE AB =，π4AEB ABC ∠=∠=， 从而π2BAE ∠=，即AB AE ⊥，而PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，则AB PA ⊥， 又,,PA AE A PA AE ∩=⊂平面PAE ，于是AB ⊥平面PAE ，而PE ⊂平面PAE ， 所以AB PE ⊥.（2）由（1）知,,AG AD AP 两两垂直，以点A 为原点，直线,,AG AD AP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，依题意，(0,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,1,1)A E D F ，(1,1,0),(1,0,1),(1,1,0)AE EF ED ==−=−，设平面AEF 的一个法向量(,,)m x y z = ，则00m AE x y m EF x z ⋅=+= ⋅=−+= ，令1x =，得(1,1,1)m =− ，设平面DEF 的一个法向量111(,,)n x y z = ，则111100n ED x y n EF x z ⋅=−+= ⋅=−+=，令11x =，得(1,1,1)n = ，因此1cos ,3||||m n m n m n ⋅〈〉==，显然二面角A EF D −−的平面角为钝角， 所以二面角A EF D −−的平面角的余弦值为13−.20. 【解析】（1）连接OA ，OC ，平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD BD =，OA BD ⊥，OA ⊂平面ABD ，故OA ⊥平面BCD ，分别以OC ，OD ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,1A，()0,B ，()1,0,0C，()D ，因为E ，F 分别是AB ，CD的中点，所以10,2OE =，12OF =， 所以334cos 114OE OF EOF OE OF −⋅∠===−×⋅ . 【小问2详解】连接EG ，FG ，AF ， 设平面OEGF的法向量为(,,)n x y z = ，则0n OE ⋅=，0n OF ⋅=，即1111102102y z x y += +=，令1y =，则13x =−，13z =，所以()n =− ， 设A 到平面OEGF 的距离为h，而10,2AE =−，AE nh n ⋅==依题意得四边形OEGF 是一个菱形，()0,πEOF ∠∈，sin EOF ∠，所以2sin OEF OEGF S S OE OF EOF ==⋅⋅∠=四边形，所以1133A OEGF OEGF V S h −=××==四边形. 21. 【解析】解：（1）①当0k =时，此时点A 与点D 重合，折痕所在直线的方程为12y =． ②当0k ≠时，将矩形折叠后点A 落在线段DC 上的点记为(),1G a ，02a <≤，所以点A 与点G 关于折痕所在的直线对称，有1·11OG k k k a k a=−⇒⋅=−⇒=−， 故点G 的坐标为(),1k −，从而折痕所在的直线与OG 的交点(线段OG 的中点)为122k P−,， 故折痕所在直线的方程为122k y k x −=+，即2122k y kx =++．综上所述，折痕所在直线的方程为2122k y kx =++．()2当0k =时，折痕的长为2;当20k −+≤<时，折痕所在的直线交直线BC 于点212222k M k++,，交y 轴于点2102k N + ,．(22027k<≤−+=−,∴(211122=1222k +<≤<×,则N 在AD 上，221132(2)2222k k k ++=+−，20k −+≤<，21222k k ∴++的取值范围为10,2 ，故点M 在线段BC 上．(22222211||224444732222k k MN k k +=+−++=+≤+×−=− ，∴2.=而22>，故折痕长度的最大值为2.22.【解析】（1）设AC BD F ∩=，连接EF ，ABD 为底面圆O的内接正三角形，2AC ∴=，F 为BD 中点，又32AF ==，31222CF ∴=−=，213AO AF ==；AE = ，1CE =，222AE CE AC ∴+=，AE EC ∴⊥，AF AE AE AC= ，AEF ∴ ∽ACE △，AFE AEC ∴∠=∠，EF AC ∴⊥； PO ⊥ 平面ABD ，PO ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面ABD ， 平面PAC 平面ABD AC =，EF ⊂平面PAC ，EF ∴⊥平面ABD ， 又PO ⊥平面ABD ，//EF PO ∴，PO ⊄ 平面BDE ，EF ⊂平面BDE ，//PO ∴平面BDE ；F 为BD 中点，AF BD ∴⊥，即OF BD ⊥，又EF ⊥平面ABD ，,OF BD ⊂平面ABD ，EF OF ∴⊥，EF BD ⊥， EF BD F = ，,EF BD ⊂平面BDE ，OF ∴⊥平面BDE ，EF === EF BD ⊥，113224BDE S BD EF ∴=⋅== ， 又1122OF AF ==，//PO 平面BDE ， 1131133428P BDE O BDE BDE V V S OF −−∴==⋅=××= . （2）12OF CF == ，F ∴为OC 中点，又//PO EF ，E ∴为PC 中点，2PO EF =，PO ∴，2PC =， 以F 为坐标原点，,,FB FC FE 正方向为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则30,,02A −，B，E，D ，10,,02O −，10,2P − ，3,02AB ∴，30,2AE =，(OP =，1,02DO=−，3,02DA =−，设()()01OM OP λλ==≤≤，12DM DO OM ∴=+=−；设平面ABE 的法向量(),,n x y z = ，则302302AB n x y AE n y z ⋅=+= ⋅==，令1y =−，解得：x =，z =，n ∴=− ， 设直线DM 与平面ABE 所成角为θ，sin DM n DM n θ⋅∴==⋅令32t λ=+，则[]2,5t ∈，23t λ−∴=， ()()2222222213147174313332t t t t t t t λλ−++−+ ∴===−++， 111,52t ∈ ，∴当127t =，即12λ=时，()22min 313114497324λλ+ +== + ， ()max sin 1θ∴==，此时12DM =−，0,1,MA DA DM ∴=−=− ， ∴点M 到平面ABE的距离MA n d n ⋅== .。
山西省太原市师范学院附属中学2021-2022学年高二上学期第一次月考理数试题 Word版含答案
太原师院附中师苑中学2021-2022学年度第一次月考 数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列说法正确的个数为（ ）①三角形肯定是平面图形；②若某四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；③圆心和圆周上两点可确定一个平面；④三条平行线最多可确定三个平面 A ．1 B ．2 C ．3 D ．42.设直线m 与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是（ ） A ．在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直 B ．过直线m 有且只有一个平面与平面α垂直 C ．与直线m 垂直的直线不行能与平面α平行 D ．与直线m 平行的平面不行能与平面α垂直3.如图的正方形''''O A B C 的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（ ）A ．6cmB ．8cmC ．(232)cm +D ．(223)cm + 4.如图，已知M 为Rt ABC ∆斜边AB 的中点，PM ⊥平面ABC ，则（ ）A ．PA PB PC => B ．PA PB PC =< C. PA PB PC ==D ．PA PB PC ≠≠5.已知在三棱锥A BCD -中，,M N 分别是,AB CD 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．1()2MN AC BD ≥+ B ．1()2MN AC BD ≤+ C. 1()2MN AC BD =+ D ．1()2MN AC BD <+6.已知三棱柱111ABC A B C -的则棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形，若P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为（ ）A ．512π B ．3π C. 4π D ．6π 7.如图，在四周体D ABC -中，若D ABC -，AD CD =，E 是AC 的中点，则下列命题中正确的是（ ）A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BCDC. 平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ACD ⊥平面BDE D ．平面ABC ⊥平面ACD ，且平面ACD ⊥平面BDE 8.在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，//AD BC ，222BC AD AB ===，将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A ．23π B ．43π C. 53π D ．2π 9.某圆锥的侧面开放图为一个半径为R 的半圆，则该圆锥的体积为（ ）A ．3324R π B ．338R π C. 3525R π D ．358R π 10.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）A ．2865+B ．3065+ C. 56125+ D ．60125+11.下列四个正方体图形中，,A B 为正方体的两个顶点，,,M N P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（ ）A ．①③B ．①④ C. ②③ D ．②④12.已知球的半径为5，球面被相互垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为23，若其中一个圆的半径为23，则另一个圆的半径为（ ） A ．3 B ．4 C.10 D ．11二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图所示，已知,M N 分别正方体1111ABCD A B C D -中1BB 和11B C 的中点，则MN 与1CD 所成的角为 ．14.在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，EF 是棱AB 上的一条线段，且线段EF 的长为b （b a <），若Q 是CD 上的动点，则三棱锥1Q D EF -的体积为 ．15.如图，PA ⊥于圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上异于,A B 的一点，,E F 分别是点A 在,PB PC 上的正投影，给出下列结论：①AF PB ⊥；②EF PB ⊥；③AF BC ⊥；④AE ⊥面PBC 其中正确结论的序号是 ．16.一四周体的三视图如图所示，则该四周体四个面中，面积最大的那个面的面积是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，P 是1DD 的中点，设Q 是1CC 上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面1//D BQ 平面PAO ？18. 如图，在空间四边形ABCD 中，2AD BC a ==，,E F 分别是,AB CD 的中点，3EF a =，求,AD BC所成角19. 如图，正方体''''ABCD A B C D -棱长为a ，连接''AC ，'A D ，'A B ，BD ，'BC ，'C D ，得到一个三棱锥，求：（1）三棱锥''A BC D -的表面积与正方体表面积的比值； （2）三棱锥''A BC D -的体积.20. 如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，1AB BC ==，PA ⊥平面ABCD ，CD PC ⊥.（1）证明：CD ⊥平面PAC ；（2）若E 为AD 的中点，求证：//CE 平面PAB .21. 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，122AA AC BC ==，D 是1AA 的中点，1CD B D ⊥.（1）证明：11CD B C ⊥；（2）平面1CDB 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.22.如图，四棱锥P ABCD -中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，2AB =，3BAD π∠=，M 为BC 上一点，且12BM =.（1）证明：BC ⊥平面POM ；（2）若MP AP ⊥，求四棱锥P ABMO -的体积.试卷答案一、选择题1-5:CBBCD 6-10:BCCAB 11、12：BB 二、填空题13. 060 14.216a b 15.①②③ 16. 23三、解答题17.解：当Q 为1CC 的中点时，平面1//D BQ 平面PAO .∵Q 为1CC 的中点，P 为1DD 的中点，∴//QB PA . 连接DB ，∵,P O 分别为1DD ，DB 的中点，∴1//D B PO ，又1D B ⊄平面PAO ，QB ⊄平面PAO ，∴1//D B 面PAO . 再由//QB 面PAO ，且1D BQB B =，∴平面1//D BQ 平面PAO .18.解：如图所示，取AC 的中点M ，连接,EM FM ， ∵,E F 分别是,AB CD 的中点，∴EM //=12BC ，FM //=12AD ∴EMF ∠或其补角即为异面直线AD 与BC 所成的角， 又2AD BC a ==， ∴EM FM a ==在EFM ∆中，由余弦定理可得：2222222(3)1cos 222EM FM EF a a EMF EM FM a +-⨯-∠===-•⨯∴异面直线AD 与BC 所成的角为060.。
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2021年高二上学期10月月考数学（理）试题（学生用）
考生须知1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．本试卷共4页，分为两部分。
第一部分选择题，8个小题（共32分）；第二部分非选择题（共68分）。
3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可用2B铅笔。
4．考试结束后，将试卷和答题卡按要求放在桌面上，待监考员收回。
规定要求填涂在机读卡
．．．第1～8题的相应位置上。
（每小题4分，选对一项得4分，多选则
该小题不得分。
）
一、选择
1．垂直于同一条直线的两条直线一定（）
A．平行B．相交 C．异面 D．以上都有可能
2．已知两条相交直线，，平面，则与的位置关系是（）
A．平面B．平面
C．平面D．与平面相交，或平面
3．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均
为2，且侧棱AA1底面A1B1C1，主视图是边长为2的
正方形，该三棱柱的左视图面积为（）
A． B． C． D．
4．正方体ABCD—A1B1C1D1中，异面直线AD与BD1所成角的余弦值为（）A．B．
C． D．
5．已知满足则的最大值是（）
A.1
B. 1
C. 2
D.3
6．已知直线、与平面、，下列命题正确的是（）
A．且，则 B．且，则
C．且，则 D．且，则
7．如图，四边形中，，，.将四边形沿对角线折成四面，
使平面平面，则下列结论正确的是( )
A
B D B D
A ．
B ．
C ．与平面所成的角为
D ．四面体的体积为1/3 8．如图，正方体中，，
分别为棱，的中点，在平面 内且与平面平行的直线（ ）
A ．有无数条
B ．有2条
C ．有1条
D ．不存在
二、填空（5分/每题）
9．在等比数列中,则
10．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，异面直线AC 与BD 1所 成角为
11．直线被曲线截得的弦长等于 .
12．若不等式恒成立，则实数a 的取值范围为 。
13．如图，BC 是Rt △ABC 的斜边，AP ⊥平面ABC ， 连结PB 、PC ， 作PD ⊥BC 于D ，连结AD ， 则图中 共有直角三角形_________个.
14．已知直线，给出下列四个命题 ①若；②若；③若；④若
其中正确命题的序号是__________。
三、解答题（共38分） 15．（10分）设函数． （1）求的最小正周期；
名
A
B
C
D A 1
B 1
C 1
D 1
E
F
P C
A D
（2）当时，求函数的最大值和最小值． 16．（10分）如图2.12：四面体A －BCD 被一平面所截，截面EFHG 是一个矩形，（1）求证：AB//FH ；
（2）求异面直线AB 、CD 所成的角.
17．（10分）已知正方形ABCD 的边长为1，．将正方形ABCD 沿对角线折起，使，得到三棱锥A —BCD ，如图所示．
（I ）若点M 是棱AB 的中点，求证：OM ∥平面ACD ； （II ）求证：；
（III ）求二面角的余弦值．
18．（8分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且 （Ⅰ）求证：数列为等差数列； （Ⅱ）求满足的自然数n 的集合。
B
C
D
E
F
G
H
图2.12
北京市第十八中学2011-x x 学年第一学期高二年级期中考试 班级___________ 考号 ___________ 姓名 ___________
装 订 线 内 请 勿 答 题
北京市第十八中学2011-xx 学年第一学期高二年级期中
考试 数学试卷答题纸
二、填空（5分/每题） 9． ； 10. ； 11． ； 12. ； 13． ； 14. .
三、解答题（共38分） 15．
16． 17．
请在各题目的答题区域内作答，超出限定区域的答案无效
A
B
D
E F
G
H
图2.12
18．。