4.9 不完全区组设计：Durbin 检验

在一个区组中很难包含所有处理，于是出现了不完全的数据 设计结构，其中最常见的是平衡不完全区组设计 及其 Durbin 检验.
Durbin 检验因1951 年 Durbin 提出而得名.
对于平衡不完全区组设计的 BIBD k ,b,r ,t ,r ， 其中处理 k，区组 b，每一区组的处理数 t， 每一处理的区组数 r，每两个处理在一个区组中的相遇次数 r .
BIBD k, b, r, t, BIBD 4, 4,3,3, 2，算得 D 6.75.
精确检验 p 值为 0.07407407. 按照这个结果，能在水平 0.08 时拒绝零假设.
或者用 2 k 1 近似，得到 p 值为 0.08030773.
两处理间的多重比较
r t 1 1 k 1 k b 秩总平均为 Ri Rij . k i 1 k i 1 j 1 2
k 个处理的秩和在 H 0 下是非常接近的，
当某处理效应大时，则反映在秩上，其秩和与总平均之间 的差异也较大，于是可以构造
Durbin 检验统计量为 12( k 1) k r (t 1) D Ri 2 rk (t 1) i 1 2
2
12( k 1) k 2 3r ( k 1)(t 1) Ri 2 rk (t 1) i 1 t 1
显然，当 t k，r b 时， 即为完全区组设计， Durbin 统计量等同于 Friedman 统计量
k 12 2 Q R j 3b ( k 1). bk (k 1) j 1
2 对于显著性水平 ，如果计算检验统计量 D 大于 (k 1)，
则在显著性水平下，拒绝 H 0，接受 H1.
当样本容量较小，即 r 较小时，用 2 近似比较粗略.
如果数据存在打结现象，则有两种修正办法： k 1 k r (t 1) 2 方法之一：Da R ~ (k 1), i A C i 1 2
2
1
1 2 1
3
3 2 1 2 2 7
1 4 3 5 6
解：该区组为平衡的不完全区组设计， k 7，t 3，b 7，r 3，x 1. 使用 Durbin 检验如下： 12(k 1) k r (t 1) D Ri 2 rk (t 1) i 1 2 12 6 2 2 2 2 8 6 9 6 4 6 3 6 3 7 8 12 6 2 2 2 12. 5 6 6 6 7 6 3 7 8 Da (k 1) 12 / 6 DF 8. (n(t 1) Da ) ( nt n k 1) (14 12) / 8
2 bt ( t 1) 2 其中 A Rij , C . 4 i 1 j 1 k b 2
计算出来的 Da 在没有结的情况和前面公式是一样的. 只要结的长度不大，结统计量对 D 统计量的影响不大.
方法之二：使用方差分析法(也适用于不打结数据)，得到： DF Da d1 ~ F (d1 , d 2 ). (n(t 1) Da ) d 2
1/ 2
若大于号成立，则说明两者有区别.
例：假设冰淇淋生产厂家希望测试 7 种不同口味的冰淇淋 受欢迎程度。厂家让 7 名测试者品尝三种不同的冰淇淋， 并按喜欢程度排序 1， 2， 3.为了设计试验，每种冰淇淋的 被品尝次数相同.
测 试 者 1 2 冰淇淋种类
1
2
2
3 3
3
1
4
1
5
2
6
7
3
4 5 6 7 Rj 3 8 9 3 3
3. 作出决策
对于显著性水平 ，设 D1 为最小满足 PH 0 D D1 的值. 如果 D 很大，比如大于或等于 D1， 我们则可以对水平 拒绝零假设.
零假设下的精确分布，只对有限的几组 k 和 b 计算过. 实践中常用大样本近似.
在零假设下，对于固定的 k 和 t ， 当 r 时，Durbin 检验统计量 D 近似服从 2 (k 1).
2
性水平临界值 F 6， 8 3.58. 相同.
D 小于其 5％ 显著性水平临界值 12.59，DF 大于其 5％ 显著
小样本下后者更准确，所以几种冰淇淋受欢迎程度不完全
两处理间的多重比较： 自由度为 bt b k 1 8 的 t1 / 2 2.306. 所以 rt (t 1) t1 / 2 (n(t 1) Da ) 6(nt n k 1)
1/ 2 1/ 2
36 2.306 (14 12) 2.82. 68 凡是秩和之差在 2.82 以上，都是有差别的.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
这里 d1 k 1, d 2 bt b k 1. 最近的一些研究表明，DF 比 Da 更精确.
例 4.3 比较四种材料(k 4)在四个部位(b 4)的磨损.
区组
I
处理
II 28 30
III 36
IV
A B
34 36
45
C
D
40
44
48
54
60
59
解：建立假设检验 H 0 : 1 2 3 4 . H1 : 不是所有的位置参数都相等.
在 Durbin 检验中，考虑平衡不完全区组设计 BIBD k ,b,r ,t ,r . 首先假定总体分布为连续的，因而不存在打结， 再假定区组之间相互独立，且观测值为定序尺度或秩数据.
1. 建立检验问题
Durbin 检验的假设如下： H 0 : 1 2 k . H1 : 不是所有的位置参数都相等.
4.9 平衡不完全区组设计：Durbin 检验
在试验设计中，完全区组设计的每一个区组都应有一个处理. 但现实中，往往很难做到，特别是当处理组数量比较大， 而区组数有限时 区组中可允许样本量有限时 .
例如: 需要品尝 20 种食品(处理)，而每个品尝者(区组) 往往很难对 20 种食品作出精确的排序. 然而，如果使用4倍的品尝者，每个仅品尝5种食品， 那么评判起来就更加容易和精确.
• 如果检验拒绝了零假设，则可以使用处理 i 和 j 间的多重 比较 : ( A C )2r Da Ri R j t1 / 2 (1 ) b(t 1) bt b k 1 • 如果数据不打结，上式可以简化为：
1/ 2
.
t1 / 2
rt (t 1) Ri R j t1 / 2 (b(t 1) Da ) . 6(bt b k 1) 是自由度为 bt n k 1 的 t 分布的 1- 2 分位数，
2. 选择检验统计量
同 Friedman 检验.
首先对每个区组内的处理排序， 然后对每个处理把观测值在各区组中的秩相加. 如果记 Rij 为在第 j 个区组中第 i 个处理的秩， 按处理相加得到各区组的秩和 Ri Rij , i 1, 2,
j 1 b
, k.
, k.

r t 1 当 H 0 成立时，不难得到 E Ri , i 1, 2, 2