重庆市南开中学九年级上册期末精选试卷检测题

重庆市南开中学九年级上册期末精选试卷检测题

一、初三数学一元二次方程易错题压轴题（难）

1．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动，到达点C停止运动．设运动时间为t秒

（1）如图1，过点P作PD⊥AC，交AB于D，若△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积

的7

9

，求t的值；

（2）点Q在射线PC上，且PQ＝2AP，以线段PQ为边向上作正方形PQNM．在运动过程中，若设正方形PQNM与△ABC重叠部分的面积为8，求t的值．

【答案】（1）t1＝2，t2＝4；（2）t 4

7

7

58．

【解析】

【分析】

（1）先求出△ABC的面积，然后根据题意可得AP＝t，CP＝6﹣t，然后再△PBC与△PAD

的面积和是△ABC的面积的7

9

，列出方程、解方程即可解答；

（2）根据不同时间段分三种情况进行解答即可.【详解】

（1）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，∴S△ABC＝1

2

×6×6＝18，

∵AP＝t，CP＝6﹣t，

∴△PBC与△PAD的面积和＝1

2t2+

1

2

×6×（6﹣t），

∵△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的7

9

，

∴1

2t2+

1

2

×6×（6﹣t）＝18×

7

9

，

解之，得t1＝2，t2＝4；（2）∵AP＝t，PQ＝2AP，∴PQ＝2t，

①如图1，当0≤t≤2时，S＝（2t）2﹣1

2

t2＝

7

2

t2＝8，

解得：t1＝4

7

7

，t2＝﹣

4

7

7

（不合题意，舍去），

②如图2，当2≤t≤3时，S＝1

2

×6×6﹣

1

2

t2﹣

1

2

（6﹣2t）2＝12t﹣

2

5

t2＝8，

解得：t1＝4（不合题意，舍去），t2＝4

5

（不合题意，舍去），

③如图3，当3≤t≤6时，S＝1

2

6×6﹣

1

2

t2＝8，

解得：t1＝25，t2＝﹣25（不合题意，舍去），

综上，t的值为4

7

7或25时，重叠面积为8．

【点睛】

本题考查了三角形和矩形上的动点问题，根据题意列出方程和分情况讨论是解答本题的关键.

2．为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册.

（1）求这两年藏书的年均增长率；

（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？

【答案】（1）这两年藏书的年均增长率是20%；（2）到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%．

【解析】

【分析】

（1）根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以得到这两年藏书的年均增长率；（2）根据题意可以求出这两年新增加的中外古典名著，从而可以求得到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几.

【详解】

解：（1）设这两年藏书的年均增长率是x，

()2

517.2x +=，

解得，10.2x =，2 2.2x =-（舍去），

答：这两年藏书的年均增长率是20%；

（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有()7.2520%0.44-⨯=（万册）， 到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：5 5.6%0.44100%10%7.2

⨯+⨯=， 答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%．

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，这是一道典型的增长率问题.

3．有n 个方程：x 2+2x ﹣8=0；x 2+2×2x ﹣8×22=0；…x 2+2nx ﹣8n 2=0．

小静同学解第一个方程x 2+2x ﹣8=0的步骤为：

“①x 2+2x=8；②x 2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x 1=4，x 2=﹣2．” （1）小静的解法是从步骤 开始出现错误的．

（2）用配方法解第n 个方程x 2+2nx ﹣8n 2=0．（用含有n 的式子表示方程的根）

【答案】（1）⑤；（2）x 1=2n ，x 2=﹣4n ．

【解析】

【分析】

（1）根据移项要变号，可判断；

（2）先把常数项移到方程的右边，再把方程两边都加上一次项系数的一半，使左边是一个完全平方式，然后用直接开平方法求解.

【详解】

解：（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的，

故答案为⑤；

（2）x 2+2nx ﹣8n 2=0，

x 2+2nx=8n 2，

x 2+2nx+n 2=8n 2+n 2，

（x+n ）2=9n 2，

x+n=±3n ，

x 1=2n ，x 2=﹣4n ．

4．近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加．某商场从厂家购进了A ，B 两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息见下表： A 型销售数量（台）

B 型销售数量（台） 总利润（元） 5 10 2 000