第十章 足球队排名问题(I)_竞赛图法

0 0 1 0 0 0
6支球队比赛结果
1
2
6
3
s(1) (4,3,3,2,2,1)T ,
5
4
s(2) (8,5,9,3,4,3)T
s(3) (15,10,16,7,12,9)T , s(4) (38,28,32,21,25,16)T
2.232, s (0.238,0.164,0.231,0.113,0.150,0.104)T
32，4 5
排名 132456 合理吗
循环比赛的结果——竞赛图 每对顶点间都有边相连的有向图
3个顶点 的竞赛图
名次
Biblioteka Baidu
2
1
3
(1)
{1，2，3}
2
1
3
(2)
{(1,2,3)}并列
1
1
1
1
4个顶点
2
2
2
2
的竞赛图 4
34
(1)
34
(2)
34
(3)
3
(4)
名次 {1, 2, 3, 4} {2,(1,3,4)} {(1,3,4), 2} {(1,2),(3,4)}
若 ai a j , 比较
a(2) 与 i
a(2) j
(4) 根据邻接矩阵得到竞赛图
k , s(k) ?
双向连通竞赛图的名次排序 s(k) As(k1) Ake
• 对于n(>3)个顶点的双向连通竞赛图，存在正整 数r，使邻接矩阵A 满足Ar >0，A称素阵
• 素阵A的最大特征根为正单根，
对应单位正特征向量s，且
lim
k
Ak e eT Ak e
s
k , s(k) (归一化后) s
s(2) As(1) (3,2,1,2)T ~ 2级得分向量
s(3) (3,3,2,3)T , s(4) (5,5,3,3)T s(k) As(k1) Ake
s(5) (8,6,3,5)T , s(6) (9,8,5,8)T
s(7) (13,13,8,9)T , s(8) (21,17,9,13)T
一个分解成三个双向连通子图的例子 1
2
4
3
5
8
7
6
足球队排名的竞赛图方法：
(1) 根据建边情况建立矩阵 A (aij )
a ii 0 while i j, if with edge (Ti ,Tj ), let aij 1, a ji 0
if without edge (Ti ,Tj ), let aij , a jinone
排名次序为{1，3， 2，5，4，6}
一般竞赛图排名问题的算法：
当竞赛图既没有唯一完全路径，又不是双向连通 图时，通常可以 将它分解为若干个双向连通的子竞 赛图（只有一个顶点的 图可视为双向连通竞赛图的 特例）；
每个双向连通子图内的名次按其极限得分向量排名；
双向连通子图间的名次则由连接它们的边的方向决定.
10 足球队排名问题
表10-1(P_182) 给出我国12支球队在1988-1989 年全国足球甲级联赛中的成绩,要求
(1)设计一个依据这些成绩排出诸名次的算法,并给 出用该算法排名次的结果
(2)把算法推广到任意个队的情况 (3)讨论数据应具备什麽样的条件,用你的方法才能 够排出诸队的名次
1) 竞赛图法
{1, 2, 3, 4}?
1
1
1
1
2
2
2
2
4
34
34
34
3
(1)
(2)
(3)
(4)
竞赛图的 3种形式
• 具有唯一的完全路径，如(1)； • 双向连通图——任一对顶点存在两条有 向路径相互连通，如(4)； • 其他，如(2)， (3) 。
竞赛图 的性质
• 必存在完全路径； • 若存在唯一的完全路径，则由它确定的顶 点顺序与按得分排列的顺序一致，如(1) 。
双向连通竞赛图G=(V,E)的名次排序
1
邻接矩阵
aij
1, viv j E
0,
vv i
j
E
4
0
得分向量 s (s1, s2 , , sn )T
s Ae, e (1,1, ,1)T
A 0 0
s(1) Ae (2,2,1,1)T ~ 1级得分向量1
2
3
(4)
1 1 0
0
1
1
0 0 1
0 0 0
用s排名
1
0 1 1 0 1.4,
2
A 0 0
0 0
1 0
1
1
s (0.323,0.280,0.167,0.230)T
4
(4)
3 1
0 0 0
排名为{1，2，4，3}
{1, 2, 3, 4}?
0 1 0 1 1 1
0
0
0
1
1
1
0 1 0 1 0 0
A 0
0
0
0
1
1
0 0 1 0 0 1
完全图的定向图 G=(V,E) ---- 竞赛图
应用: 循环比赛的名次
• n支球队循环赛，每场比赛只计胜负，没有平局。 • 根据比赛结果排出各队名次
例 6支球队比赛结果
1
2
6
方法1：顺箭头方向寻找通过 全部顶点的一条路径。
312456 146325 …… 无法排名 5
3 4
方法2：计算得分：1队胜4场，2, 3队各胜3场，4, 5 队各胜2场， 6队胜1场。 2, 3队， 4, 5队无法排名
(2) 计算得分向量 ai
, 二级得分向量
a(2) i
ai 以 Ti 为尾的边的数目
a(2) i
被 Ti 打败的球队的得分之和
(3) 完善邻接矩阵
如果 Ti 与 Tj 之间没有边连接, 比较 ai 与 a j
若 ai a j , 建立边 (Ti ,Tj )
若 ai a j , 建立边 (Tj ,Ti )