有理数简便运算技巧(十五法)

有理数简便运算技巧（十五法）

有理数是代数的入门，又是难点，是中学数学中一切运算的基础。进行有理数的运算时，若能根据题目的特征，注意采用运算技巧，不但能化繁为简，而且会妙趣横生，新颖别致。现举例介绍有理数运算中的几个常用技巧。

一、归类

将同类数（如正数或负数）归类计算。 例1 计算：()()()231324-+++-++-。 解：原式()()()()312234=+++-+-+-⎡⎤⎣⎦ ()69=+- 3=-。 二、凑整

将和为整数的数结合计算。

例2 计算：36.54228263.46+-+。 解：原式()36.5463.462282=++- 1002282=+- 12282=- 40=。三、对消

将相加得零的数结合计算。 例3

计算：()()()5464332+-++++-+-。 原式()()()4453263=-+++-+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 009=++ 9=。

四、组合

将分母相同或易于通分的数结合。

例4 计算：。 解：原式55511125210624918⎛

⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

517

1386=- 13

524

=-。

五、分解

将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。

例5 计算：1111

2

5434236

-+-+。 原式()111125434236⎛⎫

=-+-++-+-+ ⎪⎝⎭

3642212121212⎛⎫

=+-+-+ ⎪⎝

⎭ 11

221212

=+

=

六、转化

将小数与分数或乘法与除法相互转化。 例

6：计算：例

8 计算：

()()()412.5310.15⎛⎫

-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭

解：原式412.50.1315⎛⎫

=-⨯

⨯⨯ ⎪⎝⎭

13131=-⨯=-。

11221212

=+

= 七、变序

运用运算律改变运算顺序。

例8 计算：()()()412.5310.15⎛⎫

-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭

解：原式412.50.1315⎛⎫

=-⨯

⨯⨯ ⎪⎝⎭

。 。

13131=-⨯=-

八、约简

将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。 解：原式88815

59158⎛⎫=---⨯

⎪⎝

⎭ 8158158155898158⎛⎫

=-⨯

-⨯-⨯ ⎪⎝⎭

5313⎛⎫=--- ⎪⎝

⎭

13

=-。 九、逆用

正难则反，逆用运算律改变次序。 例11 计算：

2283210.2555214⎛⎫⎛⎫

÷--⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

。 解：原式258715122144

⎛⎫⎛⎫=

⨯--⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 21811

34344

=-⨯+⨯- 1281433⎛⎫=

⨯-+- ⎪⎝⎭

14

=

。

十、观察

根据0、1、1-在运算中的特性，观察算式特征寻找运算结果为0、1或1-的部分优先计算。 例12 计算：()()2009

1312009 3.753164⎛⎫⎛⎫-÷-⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

。

解：

33.75304

-=，()2009

11-=-。

∴原式()011=+-=-。

十一、变量替换

通过引入新变量转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用．

例6 计算512769)323417(125.0323417-++⨯+×(0.125＋3

2

3

417512769+-)． 解：设a =323417+，b = 0.125，c =51

2769-，则

512769)323417(125.0323417-++⨯+×(0.125＋32

3

417512769+-) =

c ab a +×(b ＋a

c ) =

c ab a

+×a

c ab + = 1．

评析：此题横看纵看都显得比较复杂，但若仔细观察，整个式子可分为三个部分：3

2

3417+，0.125，5

1

2769

-，因此，采用变量替换就大大减少了计算量． 十二、倒序相加

在处理多项式的加减乘除运算时，常根据所求式结构，采用倒序相加减的方法把问题简化．

例8 计算

21＋(31＋32)＋(41＋42＋43)＋(51＋52＋53＋54)＋…＋(601＋60

2

＋…＋

6058＋60

59

)．① 解：把①式括号内倒序后，得：

21＋(32＋31)＋(43＋42＋41)＋(54＋53＋52＋51)＋…＋(6059＋6058＋…＋602＋601)， ②

①＋②得：1＋2＋3＋4＋…＋58＋59 = 1770，

∴21＋(31＋32)＋(41＋42＋43)＋(51＋52＋53＋54)＋…＋(601＋602＋…＋6058＋6059) =

2

1

(1770) = 885． 评析：显然，此类问题是不能“硬算”的，倒序相加可提高运算速度，降低复杂程度． 十三、添数配对

例9 计算11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋

1999999999．

解：添上9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1，依次与各数配对相加，得：

11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999． = 20＋200＋2×103＋2×104＋…＋2×109－(9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1) = 2222222220－45 = 2222222175．

评析：添数配对实质上也是一种凑整运算． 十四、整体换元

对于较复杂的算式直接运算很困难，若能抓住其特征，运用整体运算的思维，创造性地加以解决，就能收到事半功倍的效果．

例10 计算1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561． 解；设1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561

= x ，①

则①×(－21)，得－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561－5121=－2

1

x ， ②

① －②，得1＋5121=23x ，解得x =256

171

，故

1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561=256171．

十五、分组搭配