概率论与数理统计课件 L4.4抽样分布
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概率论课件抽样分布
X
i 4
n
2 i
因为E( X1 X 2 ) 0, D( X1 X 2 ) 2
X1 X 2 所以 U 2
N (0,1)
又 V (X X )
2 3 2 4
(2)
2
所以 T
X1 X 2
2 X 3 X 1 2 2 4
X1 X 2 2 2 2 (X3 X4 ) / 2
独立，则 X 1 X 2 ~ 2 (n1 n2 )
这个性质叫 分布的可加性.
2
2 Y ~ (n) , 则当n充分大时 3. 设
Y n 2n
的分布近似标准正态分布N(0,1).
2、t 分布 2 定义: 设X～N(0,1) , Y～ (n) , 且X与Y相互 独立，则称变量 X T Y n 所服从的分布为自由度为 n的 t 分布. 记为T～t(n). t(n)的概率密度为
t0.975 (10) t0.025 (10) 2.2281,
t0.01 (100) z0.01 2.33, F0.05 (8,10) 3.07, F0.99 (30,10) 1/ F0.01 (10,30) 1/ 2.98 0.336
5.2.2几个常见的抽样分布 2 定理5.1 设总体X N ( , ), ( X 1 , X 2 ,
1 ~ F ( n2 , n1 ) F
得证!
1 P{ F (n2 , n1 )} F
例1 查表求下列分位数的值
z0.05 , z0.9 ,
解
2 0.05
(20),
2 0.01
(200), t0.05 (10), t0.975 (10),
《抽样和抽样分布》课件
缺点
可能导致样本不均衡，造成统计结果的偏差。
系统抽样
1 定义
2 应用
系统抽样是按照固定的间隔从总体中选择 样本的方法。
适用于总体有明显的顺序结构，如时间序 列数据。
整群抽样
定义
整群抽样是按照群组进行抽样的方法，将总体划 分为不同的群组，然后从群组中选择样本。
应用
适用于总体中存在明显的群组结构，如地理区域 或机构。
《抽样和抽样分布》PPT 课件
抽样和抽样分布是统计学中重要的概念。通过抽样方法，我们可以从总体中 获取有关信息，并进行推断。本课程将介绍不同类型的抽样方法和抽样分布 的定义。
简单随机抽样
定义
简单随机抽样是从总体中随机选择样本的方法。每个个体有相等的机会被选中。
优点
结果具有代表性，能够有效减小抽样误差。
中心极限定理
定义
中心极限定理是指在一定条件下，大量样本 的平均值将呈现正许我们使用样本数据进行总体参数的估 计和假设检验。
分层抽样
1
定义
分层抽样是将总体划分为不同的层级，然后从各个层级中选择样本的方法。
2
优点
能够保证每个层级都包含在样本中，提高估计的准确性。
3
缺点
需要事先知道总体的层级结构，并且需要耗费更多的时间和成本。
抽样分布的定义
抽样分布是指在相同抽样方法下得到的样本统计量的分布。通过理解抽样分布，我们可以进行推断性统 计分析。
可能导致样本不均衡，造成统计结果的偏差。
系统抽样
1 定义
2 应用
系统抽样是按照固定的间隔从总体中选择 样本的方法。
适用于总体有明显的顺序结构，如时间序 列数据。
整群抽样
定义
整群抽样是按照群组进行抽样的方法，将总体划 分为不同的群组，然后从群组中选择样本。
应用
适用于总体中存在明显的群组结构，如地理区域 或机构。
《抽样和抽样分布》PPT 课件
抽样和抽样分布是统计学中重要的概念。通过抽样方法，我们可以从总体中 获取有关信息，并进行推断。本课程将介绍不同类型的抽样方法和抽样分布 的定义。
简单随机抽样
定义
简单随机抽样是从总体中随机选择样本的方法。每个个体有相等的机会被选中。
优点
结果具有代表性，能够有效减小抽样误差。
中心极限定理
定义
中心极限定理是指在一定条件下，大量样本 的平均值将呈现正许我们使用样本数据进行总体参数的估 计和假设检验。
分层抽样
1
定义
分层抽样是将总体划分为不同的层级，然后从各个层级中选择样本的方法。
2
优点
能够保证每个层级都包含在样本中，提高估计的准确性。
3
缺点
需要事先知道总体的层级结构，并且需要耗费更多的时间和成本。
抽样分布的定义
抽样分布是指在相同抽样方法下得到的样本统计量的分布。通过理解抽样分布，我们可以进行推断性统 计分析。
统计学之抽样与抽样分布课件
连续型随机变量的数值特征：
期望 —
E X x f x dx
方差 — σ 2 X x E X 2 f x dx
标准差 — σX x E X 2 f x dx
2020/8/8
第四章 抽样和抽样分布
13
第四章 抽样与抽样分布
第三节 抽样分布
3.1 抽样及抽样分布的含义 3.2 重置抽样下的抽样分布 3.3 不重置抽样下的抽样分布
1
F x P3X/4 x
1
4
当
2/4
3 4 当
1/4
4 4 当
0 x1 1 x2 2 x
2020/8/8
1
2
X
第四章 抽样和抽样分布
8
2.2 连续型随机变量概率分布
连续X❖型的密 随概率机度分变函布量数函的数的概性 率分质布：
1.
f
F
xx
0；x
f x dx
2. f x dx 1 ；
X 的概率密度函数
由于连续型随机变量在某点处的概率等于零。 对于连续性随机变量：
P x1 X x2 F x2 F x1
2020/8/8
第四章 抽样和抽样分布
5
2.2 离散型随机变量概率分布
设：正面向上的次数为 X，
则 X ＝ 0、1、2
P X 0 1 1 1
22 4
PX
1
1 2
1 2
1 2
1 2
方差：σ 2 X X i E X 2 Pi i 1
N
标准差： σ X X i E X 2 Pi i 1
2020/8/8
第四章 抽样和抽样分布
11
2.3 随机变量的数字特征
概 数学期望 率 论
期望 —
E X x f x dx
方差 — σ 2 X x E X 2 f x dx
标准差 — σX x E X 2 f x dx
2020/8/8
第四章 抽样和抽样分布
13
第四章 抽样与抽样分布
第三节 抽样分布
3.1 抽样及抽样分布的含义 3.2 重置抽样下的抽样分布 3.3 不重置抽样下的抽样分布
1
F x P3X/4 x
1
4
当
2/4
3 4 当
1/4
4 4 当
0 x1 1 x2 2 x
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1
2
X
第四章 抽样和抽样分布
8
2.2 连续型随机变量概率分布
连续X❖型的密 随概率机度分变函布量数函的数的概性 率分质布：
1.
f
F
xx
0；x
f x dx
2. f x dx 1 ；
X 的概率密度函数
由于连续型随机变量在某点处的概率等于零。 对于连续性随机变量：
P x1 X x2 F x2 F x1
2020/8/8
第四章 抽样和抽样分布
5
2.2 离散型随机变量概率分布
设：正面向上的次数为 X，
则 X ＝ 0、1、2
P X 0 1 1 1
22 4
PX
1
1 2
1 2
1 2
1 2
方差：σ 2 X X i E X 2 Pi i 1
N
标准差： σ X X i E X 2 Pi i 1
2020/8/8
第四章 抽样和抽样分布
11
2.3 随机变量的数字特征
概 数学期望 率 论
统计学04第四章抽样与抽样分布
抽样分布的计算：
1. 从总体中抽取样本容量相同的所有样 本 — 样本空间；
2. 计算每个样本的样本统计量的取值； 3. 根据样本统计量的所有取值计算相应
的概率； 4. 样本统计量的概率分布 — 抽样分布。
2020/3/2
第四章 抽样和抽样分布
18
3.2 重置抽样下的抽样分布
总体样变本量平的均分数布的：抽样分X 布 100元 2 200 某施工小组X5个员工的 1日0 2工元 资为80、X1 9X02 、X 3 1X040、X5 110、120
N
标准差： σ X X i E X 2 Pi i 1
2020/3/2
第四章 抽样和抽样分布
11
2.3 随机变量的数字特征
概 数学期望
率
N
论 EX X i Pi
i 1
方差
N
σ 2 X X i E X 2 Pi i 1
基本问题
❖ 抽样 ❖ 样本（样本点） ❖ 样本空间 ❖ 随机原则 ❖ 随机抽样 ❖ 重置抽样 ❖ 不重置抽样
2020/3/2
第四章 抽样和抽样分布
15
基本问题
样本点个数
设：总体单位数 N ，样本容量 n ： 样本空间的样本点数为：
重置
不讲
重 顺序
置
不讲 顺序
ANn N n
PNn
N N
1
F x P X x P X X i Pi
Xi x
Xi x
概率分布函数的性质：
P x1 X x2 P X x2 P X x1
F x2 F x1
1. 从总体中抽取样本容量相同的所有样 本 — 样本空间；
2. 计算每个样本的样本统计量的取值； 3. 根据样本统计量的所有取值计算相应
的概率； 4. 样本统计量的概率分布 — 抽样分布。
2020/3/2
第四章 抽样和抽样分布
18
3.2 重置抽样下的抽样分布
总体样变本量平的均分数布的：抽样分X 布 100元 2 200 某施工小组X5个员工的 1日0 2工元 资为80、X1 9X02 、X 3 1X040、X5 110、120
N
标准差： σ X X i E X 2 Pi i 1
2020/3/2
第四章 抽样和抽样分布
11
2.3 随机变量的数字特征
概 数学期望
率
N
论 EX X i Pi
i 1
方差
N
σ 2 X X i E X 2 Pi i 1
基本问题
❖ 抽样 ❖ 样本（样本点） ❖ 样本空间 ❖ 随机原则 ❖ 随机抽样 ❖ 重置抽样 ❖ 不重置抽样
2020/3/2
第四章 抽样和抽样分布
15
基本问题
样本点个数
设：总体单位数 N ，样本容量 n ： 样本空间的样本点数为：
重置
不讲
重 顺序
置
不讲 顺序
ANn N n
PNn
N N
1
F x P X x P X X i Pi
Xi x
Xi x
概率分布函数的性质：
P x1 X x2 P X x2 P X x1
F x2 F x1
概率论与数理统计基本概念及抽样分布PPT课件
~
2 (n1 ),
2 2
~
2 (n2 ), 且它们相互独立，
则
2 1
2 2
~
2 (n1
n2 )
《概率统计》
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结束
4. 2分布的百分位点
对给定的α（0＜α＜1）
（1）称满足
P{ 2
2
(n)}
，即
f ( y)dy
x2 ( n)
的点为 2分布的上100α百分位点。
f(y)
（2）称满足
注：在研究中，往往关心每个个体的一个(或几个)数量指标和 该数量指标在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有的数量 指标的全体就是总体.
或，总体：研究对象的某项数量指标的值的全体.
《概率统计》
某批 灯泡的 寿命
该批灯泡寿命的 全体就是总体
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结束
为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若 干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程 为 “抽样”.
( x)
（1）称满足条件 P{X＞Xα} =α，
α
即
( x)dx
X
的点Xα为N(0，1)分布的上100α百分位点.
X1－α
0
由于 P{X X } 1 记 －Xα= X1－α
（2）称满足条件 P {| X | X }
2
2
的点 X 为N(0，1)分布的双侧100α百分位点.
X
2
则
E(X )
E(1 n
n i 1
Xi)
1 n
n i 1
E(Xi )
1 n
n
D(X ) D(1 n
n i1
Xi)
04概率分布与抽样.ppt
27
4.2.1 几种常见分布
二、正态分布
3σ准则示意图
2021/8/23
28
4.2.1 几种常见分布
二、正态分布
7.正态分布的重要意义
在随机理论中，正态分布是最重要的一种分布, 理由如下： ⑴ 它是最常见的一种分布，现实中许多随机变 量服从或近似服从正态分布。 ⑵ 在一定的条件下，正态分布是其他分布的近 似分布。 ⑶ 许多有用的分布，特别是小样本的精确分布 是由正态分布推导出来的。
则称
2
(
n
)
为 2(n)
分布的上分位点。
2021/8/23
2
(
n
)
34
4.2.1 几种常见分布
三、小样本(n<30)的精确分布
2、t-分布(t-distribution)
（1）t分布的构造及性质 ①由统计学家哥赛特（W.S.Gosset）于1908年提出，并以其笔名命名。 ②构造： 若~N(0, 1), ~2(n), 与独立，则
. . .
3489962435 9866332890 8036522364 7065436387 1327690879 9535443208 2148990085 7065432549 0656433223 2437909854 2376987667 2137860769 8800523267 4379734343 3874856049
②设 X~N(,2)，则 zX~N(0,1)
③构造 Yi zi2(i1,2,...,，n)则 Yi 服从自由度为1的2分布，
即
Y i~2 (1 ), Y i~2 (n )
④当总体 X~N(,2)，从中抽取容量为n的样本，则
n
抽样分布
x
/ n
x s/ n
N (0,1)
t=
N ( , )
2
t分布
总体方差未知或样本容量n小于30时，标准离差的分布呈t分布。
四、 t 分布
对于不同的自由度，t分布有不同的曲线。
四、 t 分布
( 1 ) t分布曲线左右对称，围绕平均数μt =0 向两侧递降。 （2）t分布受自由度df=n-1制约，每个df都有一条t分布曲线。 （3）df小，t值离散程度大。 （4）和正态分布相比，t分布的顶端偏低，尾部偏高，自由度
2 s1 F 2 s2
此Ｆ值具有s12的自由度df1=n1-1和s22的自由度 df2=n2-1。
六、 F 分布
df1 df1 df2 1 ( ) df1 df 2 2 F 2 2 2 f (F ) df1 df2 df1 df 2 df1 df2 ( ) ( ) (df1 F df2 ) 2 2 2
Ｆ分布是随自由度df1和df2进行变化的一组曲线。
Ｆ分布的概率累积函数
f (F )
F
0
f ( F )dF
六、F 分布
1
Ｆ分布的平均数μF=1 ，Ｆ的取值区间为[0,+∝ ）
Ｆ分布曲线的形状仅决定于df1和df2。在df1＝1或2时， 2 Ｆ分布曲线呈严重倾斜的反向Ｊ型，当df1≧ 3时，转
为左偏曲线。
第四章：统计数的分布——抽样分布
从总体中抽取的样本提供的信息仅是总体的一部分，它不能 提供完全准确的信息，必然存在着一定的误差。 对于样本容量相同的多次随机抽样样本，其统计量是变异的， 且其取值有一定的概率，即样本统计量也是一个随机变量，此 分布规律称为抽样分布(sampling distribution)。
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S/ n
说明
在与2都未知时 U甚至不能作为枢轴量 也正是基于 这一原因 在关于单正态总体参数的统计推断中 当2未知
时 需设计出枢轴量T来替换样本函数U 5
定理43(双正态总体的抽样分布)
设(X1 X2 Xm)是自总体N(1, 12) 的样本 其样本均值与
样本方差分别为 X与S12 (Y1 Y2 Yn)是自总体N(2, 22) 的样 本 其样本均值与样本方差分别为Y与S22 记
如总体的方差2已知 便可利用枢轴量Un近 似地对总体未知的数学期望进行统计推断
11
定理44
设(X1 X2 Xn)为总体X的样本 并设总体X的数学期
望与方差均存在 分别记为EX DX 2 再记
Un
X
/
n
Tn
X S/
n
其中 X 与 S 分别表示上述样本的样本均值与样本方差 则有
(1) FUn (x) d0(x)
(2) FTn (x) d0(x) 以上 FUn (x) FTn (x) 与0(x)分别表示 Un Tn 及标准正态分布的分 布函数 说明
如2未知 则可选用枢轴量Tn近似地对作
统计推断 12
S
2
m1 mn
2
S12
m
n1 n2
S22
说明 在统计中
常考虑两
则
(1)U
(
X
Y ) (1
12
2 2
mn
2)
~
N
(0,
1)
个总体数学期望之间的
差异12与两个总体
(2)
F
(12
)2
S12 S22
~
F
(m
1,
n1)
方差的比值r12/22
(3)当
2 1
2 2
2时，T
(X
Y) S
(1
1 1
2 )
~
t(m
设(X1 X2 Xm)是自总体N(1, 12) 的样本 其样本均值与
样本方差分别为 X与S12 (Y1 Y2 Yn)是自总体N(2, 22) 的样 本 其样本均值与样本方差分别为Y与S22 记
S
2
m1 mn
2
S12
m
n1 n2
S22
说明 T
和
F
可分
别
用
于
推
则
(1)U
(
X
Y ) (1
12
2 2
§44 抽样分布
一、正态总体的抽样分布 二、一般总体抽样分布的极限分布
1
一、正态总体的抽样分布
定理41
设总体X~N( 2) (X1 X2 Xn)是其容量为n的一个
样本 X 与 S2 分别为此样本的样本均值与样本方差 则有 (1) X ~ N(, 2)
n
(2) n21S2 ~ 2(n1) (3) X 与 S2 相互独立 有了正态总体的样本均值与样本方差的抽样分布 便 可容易地构造出单正态总体与双正态总体中样本的一些统 计量(或枢轴量) 并使之服从确定的已知分布
若 2
未知
n1
2
S
2
也可视
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
为一枢轴量 它们可用于对未知参数与 2作统计推断
4
定理42(单正态总体的抽样分布 )
设(X1 X2 Xn)为正态总体X~N( 2)的样本 X与S2
分别为该样本的样本均值与样本方差 则有
(1)U X ~ N(0,1) / n
(2) n21S2 ~ 2(n1) (3)T X ~t(n1)
2
定理42(单正态总体的抽样分布 )
设(X1 X2 Xn)为正态总体X~N( 2)的样本 X与S2
分别为该样本的样本均值与样本方差 则有 (1)U X ~ N(0,1) / n (2) n21S2 ~ 2(n1) (3)T X ~t(n1)
S/ n
说明
当与2都已知时 定理42中提及的三个样本函数方可
lim
n
Fn
(
x)
F
(x)
xC(F)
称随机变量Xn依分布收敛至X 或称分布函数Fn(x)依分布收 敛至F(x) 简记为
Xn d X 或Fn(x) dF(x)
9
定理44
设(X1 X2 Xn)为总体X的样本 并设总体X的数学期
望与方差均存在 分别记为EX DX 2 再记
Un
X
/
n
Tn
X S/
n
其中 X 与 S 分别表示上述样本的样本均值与样本方差 则有
两
正
态
总
体
的
方
则
(1)U
(
X
Y ) (1
12
2 2
mn
2)
~
N
(0,
1)
差相等 12未知时
T可作为枢轴量
(2)
F
(12
)2
S12 S22
~
F
(m
1,
n1)
当 r12/22 未 知 时
F可作枢轴量
(3)当
2 1
2 2
2时，T
(X
Y) S
(1
1 1
2 )
~
t(m
n 2)
mn
7
定理43(双正态总体的抽样分布)
mn
2)
~
N
(0,
1)
断未知
12
的 或
期 方
望 差
差 的
异 比
值 值
(2)
F
(12
)2
S12 S22
~
F
(m
1,
n1)
r12/22
(3)当
2 1
2 2
2时，T
(X
Y) S
(1
1 1
2 )
~
t(m
n 2)
mn
8
二、一般总体抽样分布的极限分布
依分布收敛
设Fn(x)为随机变量Xn的分布函数 F(x)为随机变量X的 分布函数 并记C(F)为由F(x)的全体连续点组成的集合 若
n 2)
mn
6
定理43(双正态总体的抽样分布)
设(X1 X2 Xm)是自总体N(1, 12) 的样本 其样本均值与
样本方差分别为 X与S12 (Y1 Y2 Yn)是自总体N(2, 22) 的样 本 其样本均值与样本方差分别为Y与S22 记
S
2
m1 mn
2
S12
m
n1 n2
S22
说明 当
视为样本的统计量
3
定理42(单正态总体的抽样分布 )
设(X1 X2 Xn)为正态总体X~N( 2)的样本 X与S2
分别为该样本的样本均值与样本方差 则有
(1)U X ~ N(0,1) / n
(2) n21S2 ~ 2(n1) (3)T X ~t(n1)
S/ n
说明
若未知 T 可视为一枢轴量
(1) FUn (x) d0(x)
(2) FTn (x) d0(x) 以上 FUn (x) FTn (x) 与0(x)分别表示 Un Tn 及标准正态分布的分 布函数 说明
当样本容量n充分大时 Un与Tn都近似地服 从标准正态分布
10
定理44
设(X1 X2 Xn)为总体X的样本 并设总体X的数学期
望与方差均存在 分别记为EX DX 2 再记
Un
X
/
n
Tn
X S/
n
其中 X 与 S 分别表示上述样本的样本均值与样本方差 则有
(1) FUn (x) d0(x)
(2) FTn (x) d0(x) 以上 FUn (x) FTn (x) 与0(x)分别表示 Un Tn 及标准正态分布的分 布函数 说明
说明
在与2都未知时 U甚至不能作为枢轴量 也正是基于 这一原因 在关于单正态总体参数的统计推断中 当2未知
时 需设计出枢轴量T来替换样本函数U 5
定理43(双正态总体的抽样分布)
设(X1 X2 Xm)是自总体N(1, 12) 的样本 其样本均值与
样本方差分别为 X与S12 (Y1 Y2 Yn)是自总体N(2, 22) 的样 本 其样本均值与样本方差分别为Y与S22 记
如总体的方差2已知 便可利用枢轴量Un近 似地对总体未知的数学期望进行统计推断
11
定理44
设(X1 X2 Xn)为总体X的样本 并设总体X的数学期
望与方差均存在 分别记为EX DX 2 再记
Un
X
/
n
Tn
X S/
n
其中 X 与 S 分别表示上述样本的样本均值与样本方差 则有
(1) FUn (x) d0(x)
(2) FTn (x) d0(x) 以上 FUn (x) FTn (x) 与0(x)分别表示 Un Tn 及标准正态分布的分 布函数 说明
如2未知 则可选用枢轴量Tn近似地对作
统计推断 12
S
2
m1 mn
2
S12
m
n1 n2
S22
说明 在统计中
常考虑两
则
(1)U
(
X
Y ) (1
12
2 2
mn
2)
~
N
(0,
1)
个总体数学期望之间的
差异12与两个总体
(2)
F
(12
)2
S12 S22
~
F
(m
1,
n1)
方差的比值r12/22
(3)当
2 1
2 2
2时，T
(X
Y) S
(1
1 1
2 )
~
t(m
设(X1 X2 Xm)是自总体N(1, 12) 的样本 其样本均值与
样本方差分别为 X与S12 (Y1 Y2 Yn)是自总体N(2, 22) 的样 本 其样本均值与样本方差分别为Y与S22 记
S
2
m1 mn
2
S12
m
n1 n2
S22
说明 T
和
F
可分
别
用
于
推
则
(1)U
(
X
Y ) (1
12
2 2
§44 抽样分布
一、正态总体的抽样分布 二、一般总体抽样分布的极限分布
1
一、正态总体的抽样分布
定理41
设总体X~N( 2) (X1 X2 Xn)是其容量为n的一个
样本 X 与 S2 分别为此样本的样本均值与样本方差 则有 (1) X ~ N(, 2)
n
(2) n21S2 ~ 2(n1) (3) X 与 S2 相互独立 有了正态总体的样本均值与样本方差的抽样分布 便 可容易地构造出单正态总体与双正态总体中样本的一些统 计量(或枢轴量) 并使之服从确定的已知分布
若 2
未知
n1
2
S
2
也可视
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
为一枢轴量 它们可用于对未知参数与 2作统计推断
4
定理42(单正态总体的抽样分布 )
设(X1 X2 Xn)为正态总体X~N( 2)的样本 X与S2
分别为该样本的样本均值与样本方差 则有
(1)U X ~ N(0,1) / n
(2) n21S2 ~ 2(n1) (3)T X ~t(n1)
2
定理42(单正态总体的抽样分布 )
设(X1 X2 Xn)为正态总体X~N( 2)的样本 X与S2
分别为该样本的样本均值与样本方差 则有 (1)U X ~ N(0,1) / n (2) n21S2 ~ 2(n1) (3)T X ~t(n1)
S/ n
说明
当与2都已知时 定理42中提及的三个样本函数方可
lim
n
Fn
(
x)
F
(x)
xC(F)
称随机变量Xn依分布收敛至X 或称分布函数Fn(x)依分布收 敛至F(x) 简记为
Xn d X 或Fn(x) dF(x)
9
定理44
设(X1 X2 Xn)为总体X的样本 并设总体X的数学期
望与方差均存在 分别记为EX DX 2 再记
Un
X
/
n
Tn
X S/
n
其中 X 与 S 分别表示上述样本的样本均值与样本方差 则有
两
正
态
总
体
的
方
则
(1)U
(
X
Y ) (1
12
2 2
mn
2)
~
N
(0,
1)
差相等 12未知时
T可作为枢轴量
(2)
F
(12
)2
S12 S22
~
F
(m
1,
n1)
当 r12/22 未 知 时
F可作枢轴量
(3)当
2 1
2 2
2时，T
(X
Y) S
(1
1 1
2 )
~
t(m
n 2)
mn
7
定理43(双正态总体的抽样分布)
mn
2)
~
N
(0,
1)
断未知
12
的 或
期 方
望 差
差 的
异 比
值 值
(2)
F
(12
)2
S12 S22
~
F
(m
1,
n1)
r12/22
(3)当
2 1
2 2
2时，T
(X
Y) S
(1
1 1
2 )
~
t(m
n 2)
mn
8
二、一般总体抽样分布的极限分布
依分布收敛
设Fn(x)为随机变量Xn的分布函数 F(x)为随机变量X的 分布函数 并记C(F)为由F(x)的全体连续点组成的集合 若
n 2)
mn
6
定理43(双正态总体的抽样分布)
设(X1 X2 Xm)是自总体N(1, 12) 的样本 其样本均值与
样本方差分别为 X与S12 (Y1 Y2 Yn)是自总体N(2, 22) 的样 本 其样本均值与样本方差分别为Y与S22 记
S
2
m1 mn
2
S12
m
n1 n2
S22
说明 当
视为样本的统计量
3
定理42(单正态总体的抽样分布 )
设(X1 X2 Xn)为正态总体X~N( 2)的样本 X与S2
分别为该样本的样本均值与样本方差 则有
(1)U X ~ N(0,1) / n
(2) n21S2 ~ 2(n1) (3)T X ~t(n1)
S/ n
说明
若未知 T 可视为一枢轴量
(1) FUn (x) d0(x)
(2) FTn (x) d0(x) 以上 FUn (x) FTn (x) 与0(x)分别表示 Un Tn 及标准正态分布的分 布函数 说明
当样本容量n充分大时 Un与Tn都近似地服 从标准正态分布
10
定理44
设(X1 X2 Xn)为总体X的样本 并设总体X的数学期
望与方差均存在 分别记为EX DX 2 再记
Un
X
/
n
Tn
X S/
n
其中 X 与 S 分别表示上述样本的样本均值与样本方差 则有
(1) FUn (x) d0(x)
(2) FTn (x) d0(x) 以上 FUn (x) FTn (x) 与0(x)分别表示 Un Tn 及标准正态分布的分 布函数 说明