分式的恒等变形-学生版
美哉,分式的恒等变形
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美哉，分式的恒等变形
作者：余中华
来源：《初中生世界·八年级》2019年第06期
数学大师丘成桐说过：数学是一门很有意义、很美丽，同时也很重要的科学。
从实用角度讲，数学已渗透到物理、工程、生物、化學和经济等领域，甚至与社会科学也有很密切的关系。
文学的最高境界，是美的境界，而数学也具有诗歌和散文的内在气质。
达到一定的境界后，我们也能体会和享受到数学之美。
数学既有文学性，也有应用性，探讨它们之间妙趣横生的关系，能让人真正享受到研究数学的乐趣。
本文试通过几道分式的变形，让同学们体会数学的对称美。
初中数学竞赛——分式的恒等变形(二)
第6讲 分式的恒等变形（二）典型例题【例1】 化简：222222113111112123x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+--+ ⎪⎛⎫+-+-÷ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪--+--+ ⎪⎝⎭.【例2】 求证：222()()()()()()y z z x x y x y x z y z y x z x z y x y y z z x ---++=++---------.【例3】 若1abcd =，且10abc ab a +++≠.求证：11111a b c d abc ab a bcd bc b cda cd c dab da d +++=++++++++++++.【例4】求证：2220 ()()()()()()a bcb ac c aba b a c b c b a c a c b---++= ++++++.【例5】求证：22()()()()()()a bx a bx a x a x b a b x a b a x b +=+-------.【例6】化简：222111111 ()()()111111()()()a b cb c c a a ba b cb c c a a b-+-+--+-+-.【例7】化简：()()()()()()a b b c c a a b b c c aa b b c c a a b b c c a------+++++++++.【例8】已知y z x z x y x y zpx y z y z x z x y+-+-+-===+++-+-，求23p p p++的值.【例9】已知：0abc≠，0a b c++=，求222a b cbc ca ab++的值.【例10】 已知：0a b c ++=且0abc ≠，求证：2222221222a b c a bc b ca c ab ++=+++.【例11】 已知：1xyz =，2x y z ++=，22216x y z ++=，求代数式111222xy z yz x zx y+++++的值.【例12】 设a b c 、、满足2220a b c bc a ca b ab c ++=---.求222222()()()a b c bc a ca b ab c ++---的值.【例13】已知c b a>>,222222()()()8b c a c a b a b cbc ca ab+-+-+-++=，求证：a b c+=.【例14】已知：y zay z-=+，z xbz x-=+，x ycx y-=+，求证：(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b c a b c---=+++.【例15】已知：2222222221 222b c a c a b a b cbc ca ab+-+-+-++=，求222222222201320132013()()()222b c a c a b a b cbc ca ab+-+-+-++的值.思维飞跃【例16】 设a b c 、、互不相等，证明： 2222()()()()()()()()()()()()a xb xc b x c x a c x a x b x a b a c b c b a c a c b ------++=------.【例17】 已知非零实数a 、b 、c 满足0a b c ++=.（1）求证：3333a b c abc ++=；（2）求()()a b b c c a c a b c a b a b b c c a---++++---的值.【例18】 已知()()()5()()()132a b b c c a a b b c c a ---=+++，求a b c a b b c c a +++++的值.作业1. 求证：11(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)1a a b a b c a b c d a ab abc abcd abcd ++++++++++++++=.2. 求证：222()()()()()()x yz y zx xy z x y x z y z y x z x z y ---+=++++++.3. 若a ，b ，c 均不为0，且0a b c ++=，求222222222111b c a c a b a b c +++-+-+-的值.4. 已知x 、y 、z 满足1x y z y z z x x y ++=+++，求222x y z y z z x x y +++++的值.5. 已知实数a b c 、、满足1abc =-，4a b c ++=，22243131319a b c a a b b c c ++=------，求222a b c ++的值.6. 若0a b c ++=，且0b c c a a b a b c ---++=，求证：2222220bc b c ca c a ab a b b c c a a b +-+-+-++=.。
八年级数学第8讲.分式恒等变形.尖子班.学生版
8分式恒等变形满分晋级代数式10级二次根式的概念及运算代数式11级分式恒等变形代数式12级二次根式的综合化简漫画释义对于分式的混合运算和化简求值来说，最为重要的就是细心运算，不要跳步.个别的题目要注意是否有简便方法.【引例】 计算2233x y x yx y x x y x x ⎡⎤+-⎛⎫---÷⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦ 【解析】 原式()2233x y x yx y x x y x x ⎧⎫+-⎡⎤=--+÷⎨⎬⎢⎥+⎣⎦⎩⎭ ()22233x y x y x y x x y x x y x ⎡⎤+-=-⋅++÷⎢⎥++⎣⎦2x x y=⋅- 2x x y =-【例1】 计算： 例题精讲典题精练思路导航知识互联网题型一：分式的混合运算与化简求值⑴2322()x y x x y xy x y ⎛⎫⎛⎫-÷+⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⑵2212239a aa a a a -+÷---【例2】 将下列式子先化简，再求值⑴已知：2380x x +-=，求代数式21441212x x x x x x -+-⋅--++的值；⑵已知：31=+xx ，求1242++x x x 的值；⑶已知：2410a a ++=，且42321533a ma a ma a++=++，求m 的值；⑷已知113x y -=，求2322x xy yx xy y+---的值．思路导航题型二：分式的恒等变形恒等概念是对两个代数式而言，如果两个代数式里的字母换成任意的数值，这两个代数式的值都相等，就说这两个代数式恒等．表示两个代数式恒等的等式叫做恒等式．将一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做恒等变形(或恒等变换)．以恒等变形的意义来看，它不过是将一个代数式从一种形式变为另一种形式，但有一个条件，要求变形前和变形后的两个代数式是恒等的，就是“形”变“值”不变．【引例】 已知有理数a 、b 、c 满足1111a b c a b c++=++，求证：a b =-，或b c =-，或c a =-． 【解析】 1111a b c a b c ++=++1111a b a b c c+=-++ ()()()a b a b c a b cab c a b c c a b c -++---==++++ ① 若0a b +≠ 则()11ab c a b c -=++ ∴2ac bc c ab ++=- 20ab ac bc c +++= ∴()()0a b c c b c +++=()()0a c b c ++=∴0a c +=或0b c +=②当0a b +=时，即a b =-综上所述c a =-，或a b =-，或b c =-．【例3】 若n 为自然数，且1111a b c a b c ++=++，求证：2121212121211111n n n n n n a b c a b c ++++++++=++．【例4】 若1abc =，求证：1111a b cab a bc b ca c ++=++++++例题精讲典题精练此类题型常见于解决整除问题，特别常见于一元二次方程整数根问题.【引例】 已知2a x +与2b x -的和等于244xx -，求a 、b 的值． 【解析】 22()2()42244a b a b x a b xx x x x +--+==+--- 所以40a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩【例5】 已知()()237231111x x A Bx x x x -+=++-+-+，其中A 、B 为常数，求42A B -的值．【例6】 ⑴若整数m 使61mm-+为正整数，则m 的值为 ．典题精练例题精讲思路导航题型三：部分分式与分离常数⑵若x 取整数，则使分式6321x x +-的值为整数的x 的值有（ ）． A ．3个 B ．4个 C ．6个 D ．8个【例7】 ⑴已知a b ck b c a c a b===+++，求k 的值；⑵已知()()23a b b c c aa b b c c a +++==---，a 、b 、c 互不相等，求证：8a +9b +5c =0．训练1. ⑴x 为何值时，分式1111x++有意义？ ⑵要使分式241312a a a -++没有意义，求a 的值．⑶当x ____时，(8)(1)1x x x -+-值为零. ⑷化简2212239a aa a a a -+÷---训练2. 已知31=+xx ，求1242++x x x 的值训练3. 已知：xy a x y =+，xz b x z =+，yz c y z =+，且0abc ≠．求证：2abcx bc ac ab =+-．训练4. 已知：0a b c ++=，8abc =．求证：1110a b c++<．思维拓展训练(选讲)题型一 分式的混合运算与化简求值 巩固练习【练习1】 若4x y +=-，3xy =-，则式子1111x y +++的值为 .题型二 分式的恒等变形 巩固练习【练习2】 已知x 、y 、z 为三个不相等的实数，且111x y z y z x+=+=+，求证：2221x y z =.【练习3】 已知1x y z a b c++=，0a b c x y z ++=，求证：2222221x y z a b c ++=．题型三 部分分式与分离常数 巩固练习 复习巩固【练习4】 若28224M N x x x x --=+--恒成立，求M 、N 的值．【练习5】 当x 为何值时，分式22365112x x x x ++++有最小值？最小值是多少？第十五种品格：创新微生物之父列文胡克是是一位没有受到正式高等教育的英国皇家学会成员。
分式的基本性质恒等变形28页PPT
分式的基本性质恒等变形
6
、
露Hale Waihona Puke 凝无游氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
分式(三)分式恒等变形
分式（三）分式恒等变形【学习目标】1.学习分式恒等变形常用的各类技巧方法.2.锻炼代数计算能力.3.增强轮换对称式的认识和理解.【专题简介】分式恒等变形可以包括各类代数技巧，课内大型考试不涉及，但是小型周练和老师平时的拓展会大量涉及.分式恒等变形为联赛考察热点之一，变形复杂，难度较大，学习的关键在于基本计算能力和轮换对称式的理解，同学们在学习的时候应注意多练习自己的代数计算能力，不要怕算，更不能不算，大多数题目的技巧都是计算过后才能发现和总结的.【专题分类】1、整体代入：2、连等式：3、配项法：4、乘法公式与因式分解：题型1 整体代入基础夯实【例1】已知a2－3b2＝2ab，求2a ba b+-的值.【练1】(1)若x＋y＝－4，xy＝－3，求11x+＋11y+的值.(2)已知1x＋1y＝5，求2522x xy yx xy y-+++的值.强化挑战【例2】当x分别取值12007，12006，12005，…，12，1，2，…，2005，2006，2007时，计算代数式2211xx-+的值，将所得的结果相加，其和等于( )A.－1B.1C.0D.2007【练2】对于正数x ，规定f (x )＝1x x +，例如f (3)＝313+＝34，f (13)＝13113+＝14，计算：f (12013)＋f (12012)＋f (12011)＋…＋f (13)＋f (12)＋f (1)＋…＋f (2011)＋f (2012)＋f (2013)＝题型2 连等 基础夯实【引例】若2x ＝3y ＝4z，求222234xy yz zx x y z ++++的值.【例3】(第20届“希望杯”全国数学邀请赛初2第1试)若a b c +＝b c a +＝c a b +，则223a b ca b c+++-＝ .【练3】(“希望杯”邀请赛试题)若a b ＝b c ＝c d ＝d a ，则a b c da b c d-+-+-+的值为 .强化挑战 【拓3.1】已知x y z u ++＝y z u x ++＝z u x y ++＝u x y z ++，求x y z u ++＋y zu x++＋z u x y ++＋u x y z ++的值.【拓3.2】已知x b c a +-＝y c a b +-＝za b c+-，求(b －c )x ＋(c －a )y ＋(a －b )z 的值.【拓3.3】(第20届“希望杯”全国数学邀请赛初2第2试)已知实数x ，y ，z 满足1x x +＝2y y +＝3z z +＝3x y z++，则x ＋y ＋z ＝ .【拓3.4】已知y z x x y z +-++＝z x y y z x +-+-＝x y zz x y+-+-＝p .求p 3＋p 2＋p 的值.【拓3.5】已知p ＋q ＋r ＝9，且2p x yz -＝2q y zx -＝2r z xy -，求px qy rz x y z++++的值.【拓3.6】已知x ，y ，z 互不相等，x ＋1y ＝y ＋1z ＝z ＋1x＝k ，求 (1)xyz 的值； (2)k 的值.题型3 配项法(拆添) 强化挑战【例4】已知实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝11与1a b +＋1b c +＋1c a +＝1317，求a b c +＋b c a +＋ca b+的值.【练4】(2012年全国初中数学竞赛)如果a ，b ，c 是正数，且满足a ＋b ＋c ＝9,(不完整)【例5】若x y z +＋yz x+＋z x y +＝1，求2x y z +＋2y z x +＋2z x y +的值.【练5】若2x y z +＋2y z x +＋2z x y +＝0，求x y z +＋yz x+＋z x y +的值.巅峰突破 【例6】已知a b c -＋b c a -＋ca b -＝0，求证：()2a b c -＋()2b c a -＋()2c a b -＝0.【练6】(2015年联赛初二组)已知()2ab c -＋()2bc a -＋()2ca b -＝0，求证：a b c -＋b c a -＋ca b-＝0【例7】已知a 、b 、c 满足a 2＋b 2＋c 2＝1，a (1b ＋1c )＋b (1a ＋1c)＋c (1a ＋1b )＝－3,那么a ＋b ＋c 的值为多少?【练7】已知非零实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，求证：(a b c -＋b c a -＋c a b -)(c a b -＋a b c -＋bc a-)＝9.题型4 乘法公式与因式分解 强化挑战【例8】已知xyz ＝1，x ＋y ＋z ＝2，x 2＋y 2＋z 2＝16，求代数式12xy z +＋12yz x +＋12zx y+的值.【练8】(2012年全国初中数学联赛1试)已知实数a ，b ，c 满足abc ＝－1，a ＋b ＋c ＝4，231a a a --＋231bb b --＋231cc c --＝49，求a 2＋b 2＋c 2的值.【拓8】a ，b ，c 是实数，若2222b c a bc +-，2222c a b ac +-，2222a b c ab+-之和恰等于1，求证：这三个分式的值有两个为1，一个为－1.第6讲 七年级尖端班课后作业分式（三）分式恒等变形【习1】实数a 、b 满足ab ＝1，记M ＝11a +＋11b +，N ＝1a a +＋1b b +，则M 与N 的关系是：( ) A .M ＞NB .M ＝NC .M ＜ND .不确定【习2】若1a ＋1b ＝5a b+，则22b a ＋22a b ＝ .【习3】当x 分别取值2013，2012，2011，…，3，2，1，…，12011，12012，12013；计算代数式2211x x -+的值，将所得的结果相加，其和等于( ) A .－1 B .1 C .0 D .2009 【习4】如果a ＋b ＋c ＝1，11a +＋12b +＋13c +＝0，那么(a ＋1)2＋(b ＋2)2＋(c ＋3)2的值为( ) A .36B .16C .49D .0【习5】有这样一组数据a 1，a 2，a 3，…，a n ，满足以下规律，a 1＝12，a 2＝111a -，a 3＝211a -，…，a n＝111n a --(n ≥2且n 为正整数)，则a 2013的值为 .(结果用数字作答)【习6】设有理数a 、b 、c 都不为零，且a ＋b ＋c ＝0，则2221b c a +-＋2221c a b +-＋2221a b c +-的值是( )A .正数B .负数C .零D .不能确定【习7】设1x －1y ＝14，求2322y xy x y x xy +---的值.【习8】已知x y ＝12，求2222x x xy y -+·22x y x y -+＋2y x y -的值.【习9】已知2m ＋n ＝0，求分式222m nm n +-·(m ＋n )的值.【习10】已知2x ＋y ＝0，求22x y x xy -+·(x 2－y 2)÷2244x xy y x-+的值.【习11】(全国数学竞赛)若4x －3y －6z ＝0，x ＋2y －7z ＝0(xyz ≠0)，求222222522310x y z x y z +---的值.【习12】若x y z z +-＝x y z y -+＝x y z x-++，求()()()x y y z z x xyz +++的值.【习13】若x ＋y ＋z ＝3，则()()()()()()333111111x y z x y z ----+-+-的值是 .【习14】已知x＋y＋z＝3a(a≠0)，那么()()()()()()()()()222x a y a y a z a z a x ax a y a z a--+--+---+-+-的值是.【习15】已知有理数a、b、c满足1a＋1b＋1c＝1a b c++，求证：a＝－b，或b＝－c，或c＝－a.【习16】已知3x y+＝4y z+＝5z x+，则222x y zxy yz zx++++＝.【习17】设a＋b＋c＝0，求222aa bc+＋222bb ac+＋222cc ab+的值.【习18】已知xyz＝－6，x＋y＋z＝2，x2＋y2＋z2＝14，求代数式12xy z+＋12yz x+＋12zx y+的值.【习19】已知abc＝1，a＋b＋c＝2，a2＋b2＋c2＝3，求11ab c+-＋11bc a+-＋11ca b+-的值.【习20】设x，y，z为互不相等的非零实数，且x＋1y＝y＋1z＝z＋1x，求证：x2y2z2＝1。
2020年初中数学竞赛讲义：分式恒等变形
2020年初中数学竞赛讲义：分式恒等变形一、分式恒等变形 (1)第1 页共6 页第 1 页 共 6 页一、 分式恒等变形1. （1993年全国初中数学联赛1试）当x 变化时，分式22365112x x x x ++++的最小值是____________．【难度】 ★★【解析】4 22222236561210226612422(1)112x x x x x x x x x x x ++++==-=-++++++++ ∴当1x =-时，公式取最小值4．2. （1994年全国初中数学联赛1试）若在关于x 的恒等式222Mx N c x x x a x b +=-+-++中，22Mx N x x ++-为最简分式，且有a b >，a b c +=，则N =_________． 【难度】 ★★【解析】 4-∵()()2212x x x x +-=-+，且a b >， 所以，取2a =，1b =-，从而1c a b =+=． 因此，221121Mx N x x x x +==+-+-． 在上式中，令0x =，得4N =-.3. （1996年全国初中数学联赛1试）实数a ，b 满足1ab =，记1111M a b=+++，11a b N a b=+++，则M ，N 的关系为（） A ．M N > B ．M N = C ．M N <D ．不确定 【难度】 ★★【解析】B 1111b a M a b b ab a ab=+=+++++， 又由1ab =，得到11b a M N b a =+=++． 选B ．4. （2000年全国初中数学联赛1试）设a ，b 是不相等的任意正数，又21b x a+=，21a y b+=，则x ，y 这两个数一定（） A ．都不大于2 B ．都不小于2。
美哉,分式的恒等变形
-
x
1 +
4
=
x+4-x
x(x + 4)
=
4
x(x +
4)
。
赏析：第（1）小题非常有意思，直
接通分四项会非常烦琐，而前两项计
算的结果正好可以与第三项运算，运
算得到最终的结果。是不是有种爬楼
的感觉？
第（2）题以退为进，原本分式的化
简应该项数不断减少，本题反其道而
行之，将四项变成八项后，反而变得更
简便。生活中也是如此，以退为进有
（1-
1 x-4
）-（1-
x
1 -
3
）
=
1 x+1
-
1 x+
2
-
x
1 -4
+
x
1 -
3
=
æ è
x
1 +
1
+
x
1 -
ö 3ø
-
æ è
x
1 +
2
+
x
1 -
4
ö ø
=
(x
2x - 2 + 1)(x -
3)
-
(x
2x - 2 + 2)(x -
4)
=（2x-2）æç è
(x
+
1 1)(x
-
3)
-
(x
+
1 2)(x
-4 x2 - 1
+
4 x2 - 4
=
-4(x2 - 4) + 4(x2 (x2 - 1)(x2 - 4)
1)
=
(x2
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分式恒等变形（竞赛部分）
一、化分式为部分分式的和
【例1】 若
213111a M N a a a -=+--+，求M 、N 的值.
【巩固】已知正整数,a b 满足
1114a b +=，则a b +的最小值是 ．
【例2】 已知
2a x +与2b x -的和等于244x x -，求a ，b .
【例3】 若关于x 的恒等式
222Mx N c x x x a x b +=-+-++中，22Mx N x x ++-为最简分式，且有a b >，a b c +=， 求N .
【例4】 将
269x -化为部分分式.
【例5】 化
21(1)(2)x x x ---为部分分式．
【例6】 将下列分式写成部分分式的和的形式：
2342
x x x +--.
例题精讲
【巩固】将下列分式写成部分分式的和的形式：32222361(1)(3)
x x x x x -++++.
【例7】 将下列分式写成部分分式的和的形式：4322231(1)(1)
x x x x x ++-+-.
二、分式的恒等证明
【例8】 求证：()()332222222222a a a ab b a ab b a ab b a ab b a b a b ⎛⎫⎛⎫++--+-=++-+ ⎪⎪-+⎝
⎭⎝⎭
【例9】 已知：a c b d
=，求证：22222222a b c d a b c d abcd ----++++++=.
【例10】 若a b x a b -=+，b c y b c -=+，c a z c a
-=+，求证：(1)(1)(1)(1)(1)(1)x y z x y z +++=---
【例11】 若1abc =，求证：1111a b c a ab b bc c ca
++=++++++.
【巩固】已知1111a b c a ab b bc c ca
++=++++++，求证：1abc =.
【例12】 已知0a b c b c c a a b
++=---，求证：2220()()()a b c b c c a a b ++=---.
【例13】 已知3142a b ab c d cd +==+==，，，，
且
a b c d B b c d c d a d a b a b c
+++=++++++++。
求证： （1）2222
77a b c d B b c d c d a d a b a b c
+++=-++++++++ （2）3333
4968a b c d B b c d c d a d a b a b c +++=-++++++++
【巩固】已知
2220a b c bc a ac b ab c ++=---，求证：()()()
2222220a b c bc a ac b ab c ++=---
三、分式与数论
【例14】 将a b b a -写成两个因式的积，使它们的和为a b b a +，求这两个式子。
【例15】 求最大的正整数n ，使得3100n +能被10n +整除。
【巩固】在12009这2009个正整数中，使221
n n ++不是既约分式的n 共有多少个？
1.
若对于3±以外的一切数，28339
m n x x x x -=+--均成立，求mn .
课后作业
2. 将下列分式写成部分分式的和的形式：32241338(1)(2)(1)
x x x x x x -+++--.
3.
已知x 、y 、z 为三个不相等的实数，且111x y z y z x +=+=+，求证：2221x y z =.
4. 已知
223344371642a b a b a b a b x y x y x x x y +=+=+=+=，，，，求证：5520a b x y
+=。