高数课件导数与微分

例 已知自由落体运动方程 S=1/2 gt2
求（1）落体在 t0 到 t0+t 这段时间内的平均速度； （2）落体在 t = t0 时的瞬时速度；
（3）落体在 t =10s 到 t =10.1s 这段时间内的平
均速度； （4）落体在 t =10s 时的瞬时速度。
（1 ）
1 1 2 2 g (t0 t ) gt0 S 2 2 V g (t0 t ) t t
第二章 倒数与微分
Baidu Nhomakorabea 第一节 倒数的概念
一. 变速直线运动的速度问题 1.汽车的行驶 在很短的时间内， 我们用平均速度来近似 的代替瞬时速度，当
t 很小时，近似程度就越
好,
t 0 此时由近似值就过渡到精确值
汽车在t+ t 内的行驶路程为 s ，在t时刻的
速度 v(t) =
lim s / t lim s(t t ) / t (t 0)
存在，则称其为函数y = f(x)在点x0处的 左导数，记作 f ( x0 ) ，即
f ( x0 ) =
f ( x0 x) f ( x0 ) y lim x x x 0
lim
x 0
• 同样，如果 lim
x 0
f ( x0 x) f ( x0 ) y lim x 0 x x
y f ( x x) f ( x) • （1）求增量：
• （2）算比值： y f ( x x) f ( x)
x x
• （3）取极限：
lim
x 0
y f ( x x) f ( x) x x
常见的导数公式
0 （常数的导数等于零） • （C ） • 幂函数 (xa ) axa1 (a R) • (sin x ) cos x
u v u v （2）u*v也是x的可导函数，且 （u v）
（3）u (v 0) 也是x的可导函数，且 ( u ) u v 2 u v (v 0) v v v 1 u 特别 C u ( x) C u( x), ( ) (u 0) u u2
导，则复合函数 y f [u( x)] 在点x处可导，且
dy dy du , 或y x yu u x，或 y x f ( u ) ( x ) dx du dx
例2-23 例2-24 例2-25
dy y ln tan x，求 dx
dy y e ，求 dx
例2-12 y 2 x 5x 3x 7
3 2
2 y 2 x x sin x lg 2的导数 例2-13 求
例2-14 例2-15
y 3x sin x ln 3，求y
y x sin x，求y
2
例2-16
y e x (sin x cos x)，求y
例 2-9 讨论函数y = f(x) =
x {
x , x 0 x , x 0
在点x=0
处的可导性。
可导与连续的的关系
定理2-1 若函数y = f(x)在点x处可导，则它 在该点处必连续。 若函数y = f(x)在点x处连续，则它在该点处 不一定可导。
例 2-11 讨论函数y = f(x) = { 1处的连续性与可导性。 连续性 可导性
;
• 对数函数
1 (loga x) loga e x 1 (ln x) (a e时) x
• 指数函数
(a ) a ln a
x x
(e ) e
x
x
二 复合函数的导数
定理2-4 （复合函数求导法则） 若函数u ( x)
在点x处可导，函数 y f (u ) 在对应点u处可
{
(t )与y (t ) 都可导，
且
(t ) 0 ，则由参数方程所确定的函数（参
y 的导数为 f ( x)
数式函数）
dy dy dt yt (t ) , 或y x dx dx xt (t ) dt
x (1sin ) 例2-37 求参数方程 的导数 y cos
的切线方程和法线方程
二 幂指函数的导数 形如 y f ( x) g ( x) (其中f ( x) 0) 的函数称为幂指函
数。如 y x x , y xsin x ( x o) 等
幂指函数求导方法：
1.对数求导法
2.指数求导法
1.对数求导法步骤：
1）两边取对数 2）方程两边同时对X求导，得到一个关于 y 的方程式，从中解出 y 2.指数求导法
二. 曲线的切线问题
与曲线只有一个交点的直线为圆的切线，y=x2 在原点两个坐标轴都符合圆的切线的定义，但在 实际中切线只有一条
导数的定义
定义2-1 设函数 y = f(x)在点x0及其邻域有定 义，当自变量x在点x0处取得增量 x 时，相 应函数y取得增量 y f ( x0 x) f ( x0 ) 如果
x3
2x dy y sin ，求 2 1x dx dy y ln sin x，求 dx dy y 1 2 x ，求 dx
3 2
例2-26
例2-27
例2-28
例2-29 例2-30
dy y ln cos( e )，求 dx
x
ye
1 sin x
，求y
n
y sin nx sin x，求y
时，把 y 看成中间变量，按照复合函数
的求导法则先对 y 求导，再对 x 求导。
例 2-31 求由方程 e x xy e y 0 所确定的函 数 y 对自变量 x 的导数 例 2-32 求由方程 y5 2 y x 3x7 0 所确定 的隐函数y 对自变量 x 的导数
例 2-33 求曲线 x 2 y 2 25 上点（3,-4）处
lim
x 0
f ( x0 x) f ( x0 ) y x x
存在，则称函数 y =
f(x)在点x0处可导，并称此极限为函数y =
f(x)在点x0处的导数，记做 f ( x0 ) ，即
f ( x0 ) =
lim
x 0
f ( x0 x) f ( x0 ) y x x
例2-34 求函数的 y x
1 x
sin x
导数
例2-35 设 y (1 cos x) , 求y
( x 1)( x 2) 例2-36 求函数y 的导数 ( x 3)( x 4)
三 参数式函数的导数
定理2-5 设函数 y
( t )所确定，当 x
x ( t ) f ( x) 由参数方程 y ( t )
y f ( x)是它的 定理2-3 设 x ( y ) 为直接函数，
反函数，如果 x ( y ) 在区间I内严格单调、可
导，且 ( y ) 0 ，那么它的反函数 y f ( x) 在对
应的区间内可导，且有 dy
1 1 , 或f ( x) dx dx ( y ) dy
例 2-7 求曲线 y x 在点（4 , 2）处的切
线方程和法线方程。 例 2-8 曲线 y ln x 上何处的切线平行于直 线y = x + 1 。
可导的充要条件
• 定义2-2 若lim
x 0
f ( x0 x) f ( x0 ) y lim x 0 x x
第四节 隐函数、幂指函数及参数 式函数的导数
一 隐函数的导数
用自变量x表示y的函数即 y f ( x) ，如y = 3x+1,y = lnx+sinx等，称之为显函数； 函数y与自变量x的关系由方程F（x,y）= 0表 示的函数称为隐函数，如 3x-y+1=0,xy+x+1=0 等。
隐函数的求导法则：方程两边同时对自变 量 x 求导，得到一个含 y 的方程式，从 中解出 y 即可。 注：方程两边对 x 求导，是指遇到 x 时， 可直接求出其导数；遇到 y 或 y 的函数
（2）由上式知，t = t0 时的瞬时速度为：
V
t t 0
1 lim g (t0 t ) gt 0 t 0 2
（3）当t0 =10, t =0.1s时，平均速度为
1 V g (10 0.1) 10.05 g (m / s ) 2 （4）当 t = 10s时，瞬时速度为 V t 10 10g (m / s)
x 2 x , x 1 2 x 3 , x 1
在点x =
左极限=右极限=函数值 左导数=右导数
第二节函数的和、差、积、商求导法则
一、函数的和、差、积、商的导数
定理2-2 （导数的四则运算的法则） 若函数u = u(x),v = v(x)都是 x 的可导函数，则 （1 ） u v u v 也是x的可导函数，且 （u v）
结论概括：反函数的导数等于它的原函数导 数的倒数 例2-21 求 y arcsin x 的导数
例2-22 求 y arctan x 的导数
基本初等函数的导数公式
0 （常数的导数等于零） • （C ） • 幂函数 (xa ) axa1 (a R) • 三角函数 (sin x ) cos x
• 指数函数
(a ) a ln a
x x x (e ) e x
导数的几何意义
• 函数 y = f(x)在点x0处的导数 f ( x0 ) 表示曲 线 y = f(x)上点M（x0,f(x0)）的切线斜率 k,k = tan = f ( x0 ) • 函数在点M（x0,f(x0)）处的切线方程 • 函数在点M（x0,f(x0)）的法线方程
• （4）(u1 u2 u3 un ) u1 u2 u3 un 求 y




• （5） u1 u2 un u1u2 un u1u2 un （u1u2 un）
(cos x ) sin x
2 (t an x ) sec x 2 (cot x ) csc x (sec) t an x sec x
(csc) cot x csc x
• 反三角函数
(arcsin x )
1
2
1 x 1 (arccosx ) ; 1 x2 1 (arct anx ) ; 2 1 x 1 ( arc cot x ) 2 1 x
(cos x ) sin x
2 (t an x ) sec x 2 (cot x ) csc x (sec) t an x sec x
(csc) cot x csc x
• 对数函数
1 (loga x) loga e x 1 (ln x) (a e时) x
例2-17 求y = tan x 的导数； 例2-18 求y = sec x 的导数； 例2-19 求函数 例2-20 求函数
y f ( x) 1 cos x 的导数，并求 f ( ) 1 cos x 2
x 1 y 的导数 x 1
第三节 反函数与复合函数的导数
一 反函数的导数
比值
y x 反映自变量
x0 x0 x 时，函数的
平均变化率； 导数 f ( x0 ) 反映函数在点x0处的瞬时变化率，
即函数随自变量变化而变化的快慢程度；
若函数y = f(x)在区间（a,b）内每一点都可导 ，则称函数y = f(x)在区间（a,b）内可导； 导函数简称导数
求导数的步骤
存在，则称其为函数y = f(x)在点x0处的 右导数，记作 f ( x0 ) ，即
f ( x0 ) =
lim
x 0
f ( x0 x) f ( x0 ) y x x
因此，函数y = f(x)在点x0处可导的充要条
件是 左右导数存在且相等，即
f ( x0 ) = f ( x0 )