组合数学基础

每一行(或列、或对角线)之和称为幻方的和.
n阶幻方的幻和为：n(n^2+1) /2.
4
3 8
9
5 1
2
7 6
9
如右边表格是一个3阶 幻方，它的和是15。
四阶幻方（幻和为 34）的填法：
1 12 8 13 15 6 10 3 14 7 11 2 4 9 5 16
1 5 9 13
2 6 10 14
3 7 11 15
16
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例1 最短路径（非降路径）问题
从点(0, 0)到达点(m , n )的最短路径是指从点(0, 0) 出发, 终点为(m , n)的一组方格边,当沿这组方格边行 走时, 始终保持前进的方向与坐标轴的正方向一致.
从(0, 0)点开始, 水平向右走一步记为x , 垂直向上 走一步记为y , 则走到( m , n)点,需水平向右走m步,垂 直向上走n步.所以一条由(0, 0)到(m , n )的最短路径就 对应m个x和n个y的一个排列.反之,m个 x和 n个 y的一 个排列对应一条由(0, 0)到(m , n )的最短路径.
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例如8×8棋盘存在完全覆盖,但当8×8棋盘剪 去对角线上两个方格后,是否还存在完全覆盖？这 个问题的解答似乎很困难,但用组合分析的方法解 决起来很简单：
把棋盘上的方格用黑白两色交替着色,由于任 一骨牌必须覆盖一黑一白两个方格,而剪角的棋盘 中,被剪掉的两个方格同色, 8×8棋盘上黑白方格 各32个,剪去同色两格后,黑白方格数不相等,从而 这样的棋盘不存在完全覆盖.
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1.1 绪论
计算机科学中涉及的算法可分为两类： 第一类是计算方法，它主要解决数值计算， 如方程求根、解方程组、求积分等问题，其数学 基础是高等数学和线性代数. 第二类是组合算法，它解决搜索、排序、组 合优化等问题，其数学基础是组合数学.
组合数学（Combinatorial mathematics）， 广义的组合数学就是离散数学，狭义的组合数学 是图论、代数结构、数理逻辑等的总称.
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组合数学(狭义的)主要研究满足一定条件的组 态（也称组合模型）的存在、计数以及构造等方面 的问题.
组合数学的主要内容有组合计数、组合设计、 组合矩阵、组合优化（最佳组合）等.
组合数学在基础数学研究中具有极其重要的地 位，同时，它在其它学科中也有重要的应用，如计 算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物学等 学科中均有重要应用。
5.竖补角，以中间列为基准，将突出的数字补回本列所缺的 方格内，17，23补到4上，24补到5上，2补到21下，3，9补 到22下。从而重新得到一个n*n方格，及得到结果。 17 23 24 5 1 7 8 14 15 16
4
10 11
6
12 18
13
19 25
20
21 2
22
3 9
14
例2:“棋盘覆盖”问题. 设m×n棋盘,假定有一批外形完全一样的骨牌， 每块牌恰好覆盖棋盘上两个相邻的方格.若用一些 牌覆盖棋盘,使得棋盘上的所有方格都被牌覆盖， 牌之间不交叠，这称之为棋盘的完全覆盖. 定理 若m或n为偶数时,则m×n棋盘存在完全 覆盖.
9 10
12 13 14 15 18 19 20 24 25
11
3.横补角，以中间行为基准，将突出的数字补回本行所缺的方 格内，4，5补到1的前，10补到6前，16补到20后，21，22补到 25后。从而重新得到一个n*n方格。
4 10 11 5 6 12 1 7 13 2 8 14 3 9 15
4
组合数学是一个历史悠久的数学分支，它起源 于娱乐和数学游戏.1666年，德国著名数学家莱布 尼兹发表了一篇“论组合数学”的文章，开创了一 门独立的学科---组合数学. 尽管组合数学历史久远,但蓬勃发展的时期只有 近半个世纪。自20世纪60年代以来,数字通讯理论、 规划论、试验设计等新兴学科发展迅速,特别是计算 机科学的巨大发展，大大推动了组合数学的发展,使 组合数学成为富有生命力的新兴的数学分支。
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组合数学问题求解的方法大致可分为两类：一 类是从组合数学基本概念、基本原理出发解题的所 谓常规法（基本方法）；另一类是一些特殊方法。 解决组合问题常需要特殊的方法，即使是在使 用组合数学中的基本原理和方法去解决问题时，仍 需要巧妙地应用它们。因此，在解决组合问题时， 学习组合数学中典型问题的解题经验和方法是非常 重要的。
17
23
18
24
19
25
20
21
16
22
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4.竖错位，将方格纵向错位，每列错位数为 n-列数，即第一列 横向移动n-1位，第二列横向移动n-2位...直到形成一个左低右 高的楼梯。 2 1 5 4 10 11 17 23
13
3 9 15 16 22
8 14 20 21
7 13 19 25
6 12 18 24
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常用的方法有： （1）数学归纳法 （2）迭代法 （3）一一对应法 （4）组合意义法 （5）数论方法
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例1 历史上曾广泛流行过一种古老的数学游戏叫做
幻方,就是一个有趣的组合问题.
给定1, 2, 3,, n2这些数字,将其排列成n阶方阵,
要求每行、每列、每条对角线上的n个数字之和都
相等.这样的方阵叫n阶幻方.
4 8 12 16
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错位补角法填奇数阶（如五阶幻方，幻和为 65） ：
1.对于所有的奇阶幻方，1-n*n从小到大填入n*n的方格中。 1 2 3 4 5
6 11 16 21
7 12 17 22
8 13 18 23
9 14 19 24
10 15 20 25
6
1
7
2
8
3
4
5
2.横错位，将方格横向错 位，每行错位数为 n-行数， 11 即第一行横向移动n-1位， 16 17 第二行横向移动n-2位...直 到形成一个左低右高的楼 21 22 23 梯。
例如,排列xyxxyxxyyxx对应的最短路径见下图:
18
Hale Waihona Puke Baidu
y
(0, n )
( m , n)
(0, 0)
xyxxyxxyyxx
(m, 0)
x
所以,(0, 0)到(m , n)的最短路径数等于m个x , n个y 的排列数.这个数为
C
m m n
m n m
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组合数学
第一章 组合数学基础
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平时作业要求
写一篇3000字左右关于组合数学的论文,主要是用 组合数学知识解决一个实际问题 或 理论有所创新. 文章包括以下几个部分(按照发表文章的格式) 1.文题 2.摘要 3.关键词(3-5个) 4.正文 5.结论(一般要有运行结果及对结果的分析) 6.参考文献(需在文中标出, 5-8个) 文章用A4打印, 并加盖封面(上面有姓名,学号).