选修4-4.2.2.1椭圆的参数方程

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利用椭圆的参数方程求轨迹方程
已知 A、B 分别是椭圆 x2＋y2＝1 的右顶点 36 9
和上顶点，动点 C 在该椭圆上运动，求△ABC 重
y B C
心 G 的轨迹的普通方程． [思路点拨]由已知求出A、B坐标，再设出C点
A
O
x
坐标(6cos θ，3sin θ)，再用A、B、C的坐标
C
y B
3
O
A x
由此消去θ得到x－22＋(y－1)2＝1 即为所求． 4
【规律方法】本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决
相关问题的优越性．运用参数方程显得很简单，运算更简便．
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2．已知椭圆方程是1x62 ＋y92＝1，点 A(6,6)，P 是椭圆上一动
cos s in
(为参数)可以得到椭圆的参数
方程为xy

a cos b s in
2019/5/23
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1、当参数 变化时，动点 P(3cos ,2sin )所确定的曲线必过 ( B )
A、点(2,3), B、点(3,0) 它的焦距是多少？ 2 5
C、点(1,3),
值与最小值．
[思路点拨]将椭圆上的点的坐标设成参数形式，将问题转化成三角函数求最
值问题．
解：椭圆 x2 ＋ y2 ＝1 25 16
的参数方程为
x＝5cos y＝4sin
φφ，(φ为参数)．
代入目标函数得 z＝5cos φ－8sin φ＝ 52＋82cos(φ＋φ0)

89
cos(
0 ) tan0
D、点(0, )
2
2、已知圆的方程为x2 y2 4xcos 2 ysin 3cos2 0,(为参数)，
那么圆心的轨迹的普通方程为____________________?
解：方程x2 y2 4x cos 2 y sin 3cos2 0可以化为
cos( ) [1,1] x 2 y [ 22, 22]
2019/5/23
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小节： 椭圆的参数方程的形式 椭圆参数方程中参数的意义
2019/5/23
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1．椭圆的参数方程
普通方程
参数方程
ax22＋by22＝ 1(a>b>0) ay22＋bx22＝ 1(a>b>0)
x＝__a_c_o_s _φ_____，
y＝__b_s_in__φ_____ (φ
为参数)
x＝_b_c_o_s_φ______，
y＝_a_s_i_n__φ_____ (φ
为参数)
2019/5/23
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2
．
椭
圆
x－m2 a2
＋
y－n2 b2
＝
1(a>b>0)
答案：A
2019/5/23
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2．参数方程xy＝＝c2osisnθθ，(θ 为参数)化为普通方程为(
)
A．x2＋y42＝1
B．x2＋y22＝1
C．y2＋x42＝1
D．y2＋x22＝1
x＝cos θ，
解析：参数方程可化为
y＝sin 2
θ，
两式平方相加，得
x2＋y2＝1． 4
0

4 5
2019/5/23
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8
由三角函数性质知，当－0＝0时，d取最小值 5,此时
3cos

3cos0

9 ,2sin
5

2 s in 0

8 5
所以，当点M位于(9 , 8)时，点M与直线x 2 y 10 0的距离取最小值 5。 55
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1．椭圆 x2 ＋ y2 ＝1 的参数方程为( ) 25 16
A． xy＝＝54scionsθθ，(θ为参数)
B．
x＝5cos y＝3sin
θθ，(θ为参数)
C． xy＝＝54scions22θθ，(θ为参数)
D． xy＝＝54csions22θθ，(θ为参数)
解析：将各选项中的参数方程化为普通方程，可知选项A正确．
0≤θ≤π)上一点
P 与原点 O 的直线的倾斜角为π4，则点 P 的坐标为________．
解析：由题意可设点 P 的坐标为(tcos π，tsin π)(t>0)．代
4
4
入曲线
x＝3cos y＝4sin
θ，得 θ
ttan
θ＝3， 4
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sin θ ＝3，
sin θ＝3， 5
又∵0≤θ≤π∴sin
θ>0，cos
θ>0，由
cos θ 4 sin2 θ＋cos2
得 θ＝1，
cos
θ＝45.
∴点 P 的坐标为(152，152)．
答案：(152，152)
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利用椭圆的参数方程求最值
已知实数 x，y 满足 x2 ＋ y2 ＝1，求目标函数 z＝x－2y 的最大 25 16

a cos b s in
(为参数)这是中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆的参数方程。
思考：类比圆的参数方程中参数的意义，
椭圆的参数方程中参数的意义是什么？
2019/5/23
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2
设以ox为始边，OA为终边的角，点M的坐标是(x, y)，
那么点A的横坐标为x,点B的纵坐标为y，由点A, B均在
角的终边上，由三角函数的定义有
x OA cos a cos, y OB sin bsin
当半径OA绕点O旋转一周时，就得到了
点M的轨迹，它的参数方程是xy

a c os b s in
(为参数)这是中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆。
y A
B M(x,y)

o
3
A、(2,3), B、( 4 5, 4 15) C、(2 3, 3), D、(4,3) 55
2019/5/23
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7
例1、在椭圆 x2 y2 1上求一点 M，使点M到直线x 2 y 10 0 94
的距离最小，并求出最 小距离
解：椭圆的参数方程为
x y

x
在椭圆的参数方程中， 通常规定参数 的范围是 [0,2 )
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3
思考：
椭圆的参数方程中参数
的意义与圆的参数方程
x

y
r cos (为参数 ) r sin
中参数 的意义类似吗？
y
由图可以看出，参数是点M所对应的圆的
半径OA(或OB)的旋转角(称为点M的离心角)，
22
利用椭圆的参数方程求解恒成立问题 已知椭圆x2＋y2＝1 上任一点 M(除短轴端点外)与短轴两端
4
点 B1、B2 的连线分别交 x 轴于 P、Q 两点，求证：|OP|·|OQ|为定值．
[思路点拨]利用参数方程，设出点M的坐标，并由此得到直线MB1，
M
B
的
2
方
程
，
从
而
得
到
P
、
Q
两
点
坐标
，
求
出
|
O

8 5
．所以目标函数
zmin＝－
89，zmax＝
89．
【规律方法】利用椭圆的参数方程，求目标函数的最大(小)值，通常
是利用辅助角公式转化为三角函数求解．
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1．在平面直角坐标系 xOy 中，设 P(x，y)是椭圆 3x2＋y2＝1
上的一个动点，求 S＝x＋y 的最大值．
P
|
，
|
O
Q
|
，
再
求
|OP|·|OQ|的值．
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证明：设 M(2cos φ，sin φ)，φ 为参数，B1(0，－1)，B2(0,1)．
则 MB1 的方程：y＋1＝si2ncoφs＋φ1·x，
【规律方法】利用参数
令 y＝0，则 x＝si2ncoφs＋φ1，即|OP|＝12＋cossinφφ．
表示出G点的参数方程，消参后得普通方
程．
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解：由动点 C 在该椭圆上运动，故据此可设点 C 的坐标为(6cos θ，
3sin θ)，点 G 的坐标为(x，y)，则由题意可知点 A(6,0)，B(0,3)．
x＝6＋0＋6cos θ＝2＋2cos θ，
3 由重心坐标公式可知 y＝0＋3＋3sin θ＝1＋sin θ.
高三数学 选修4-4
第二章 参数方程
2019/5/23
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1
参数方程
普通方程
x a cos

y

b
sin

x2 a2

y2 b2
1
x b cos

y

a sin
y2 a2

x2 b2
1
由例4我们得到了椭圆x a
2 2

y2 b2
1(a

b

0)的一个参数方程为xy
参数，得到一个与参数 无关的定值即可．
即|OP|·|OQ|＝4 为定值．
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3．对任意实数，直线 y＝x＋b 与椭圆 xy＝＝24csionsθθ，(0≤θ＜2π) 恒有公共点，求 b 的取值范围．
解：将(2cos θ，4sin θ)代入 y＝x＋b 得，
4sin θ＝2cos θ＋B．
9
3、设P(x, y)是椭圆2x2 3y2 12上的一个动点，求 x 2 y的取值范围。 解：椭圆的方程可化为x2 y2 1,它的一个参数方程为 64
x y
6 cos 2 s in
(为参数，0
Baidu Nhomakorabea

2
)
x 2 y 6 cos 4sin 22 cos( )
3cos(为参数),可设点M 2 s in
(3c
os ,2 s in
)
由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离
d

3cos 4sin
10

5(cos 3 sin 4 ) 10
5
5

5
5
1 5
5cos(
0 )
10
其中0满足cos0

3 5
,
s
in
不是OM的旋转角，参数是半径OM的旋转角。
M

oB A
x
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4
椭圆参数方程的推导
从几何变换的角度看，通过伸缩变换 x y

1
a 1
x y
b
则椭圆的方程x2 a2

y2 b2
1可以变成x2＋y2
1.
利用圆的参数方程
x y

答案：A
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3．椭圆 C：xy＝ ＝3c5ossinφφ，(φ 为参数)的长轴等于________．
解析：由椭圆 C 的参数方程知 a＝3，b＝ 5．∴长轴长为 2a＝6．
答案：6
4．已知过曲线xy＝＝34csions
θ， θ (θ
为参数，且
的
参
数
方
程
为
x＝m＋acos φ， y＝n＋bsin φ (φ
为参数)．
3．圆的参数方程xy＝ ＝rrcsions
θ，中的参数 θ
θ
是半径
OM
的旋
转角，椭圆参数方程xy＝ ＝abcsions
φ， 中的参数
φ
φ
是椭圆上点
M
的
离心角．
2019/5/23
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(x 2cos )2 ( y sin )2 1所以圆心的参数方程为xy2scinos
(为参数)化为普通方程是x2 y2 1
4
2019/5/23
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6
3、P是椭圆
x4 y2
cos 3 sin
(为参数)上一点，且在第一象限，
OP(O为原点)的倾斜角为 ，则点P的坐标为( B )
解：因为椭圆x2＋y2＝1 3
的参数方程为
x＝ 3cos y＝sin φ
φ，(φ为参数)，
故可设动点 P 的坐标为( 3cos φ，sin φ)，其中 0≤φ<2π．
因此，S＝x＋y＝
3cos
φ＋sin
φ＝2sin

3

．
所以，当φ＝π时，S 取得最大值 2． 6
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方程证明定值(或恒成 立)问题，首先是用参
MB2 的方程：y－1＝si2ncoφs－φ1x，
令y
0,则x
2cos .| OQ | 1 sin
2 c os 1 sin
．
数把要证明的定值(或 恒成立的式子)表示出 来，然后利用条件消去
OP OQ 2cos 2cos 4 1 sin 1 sin
∵恒有公共点，∴以上方程有解． 令 f(θ)＝4sin θ－2cos θ＝2 5sin(θ－φ)． ∴－2 5≤f(θ)≤2 5． ∴－2 5≤b≤2 5．
2019/5/23
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点，求线段 PA 中点 Q 的轨迹方程．
解：设 P(4cos θ，3sin θ)，Q(x，y)，则有
yx＝＝34scions22θθ＋＋66，，即yx＝＝322scions
θ＋3， θ＋3 (θ
为参数)．
∴9(x－3)2＋16(y－3)2＝36 即为所求．
2019/5/23
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