第7章 标准期权定价方法

第7章 标准期权的定价方法


期权的定价关系给出了期权价值的上下限，并 没有给出期权的精确价值。本章将给出股票期 权、外汇期权、期货期权定价模型，它们的推 导过程在以后章节介绍。 7.1 期权定价模型 7.1.1 不派息股票期权定价 有很多股票不派息，对于不派息股票期权定价 使用Black-Scholes(1973)期权定价模型。 因为标的资产股票不派息，股票的预期增长率 等于无风险利率。欧式期权定价模型为：

（2）派息率为 q 股票指数欧式看跌期权的 值
p Se
E
qT
n(d1 )

2 T
qSe qT N (d1 ) rXe rT N (d 2 )

看跌期权的 值也由三部分组成，第一项为正，随着 期权期限的延长，波动率会引起看跌期权价值的增加。 如果标的资产派息，标的资产的现值下降，看跌期权 的价值上升。第三项为负，表示期限越长，推迟了执 行期权的时间，这时降低了看跌期权的实际价值。
E
p

E
如果cE 15%，相当于标的资产每增加1%，欧式看 涨期权的价值上涨15%。 看涨期权价值的变化方向与标的资产的变化方向相同。 看跌期权价值的变化与标的资产的变化方向相反。
E dS / S cE cE dpE / pE S S qT pE e N (d1 ) 1 dS / S pE pE
（3）欧式期货期权的 值
cE erT N (d1) 0
pE erT N (d1 ) 0


7.2.2 期权价格变化百分比 期权的 （Eta）值是期权价格的变化率与标的资产价 格变化率之比，是反映标的资产风险对期权风险影响 的重要指标。 dcE / cE S S qT c c e N (d1 ) 1


7.2.3 资产价格变化引起 的变化 （1） 派息率为 q 股票指数欧式期权的 值 希腊字母 （Gamma）表示，是期权的价值对标的 资产的二阶偏导数。
e qT n(d1 ) E S T


根据看涨期权与看跌期权之间的平价关系，二者的 值相等。 当期权盈亏平衡时， 达到最大值，也就是说平价期 权最难套期保值。
d1 0.2
d 2 d1 T 0.2 0.2 1 0
N (d 2 ) N (0) 0.5
cr XTerT N (d2 ) 101 e0.021 0.5 5.10
E

7.2.5 收益变化对期权价值的影响 美式期权价值对收益率变化的偏导数为： c cqE E TSe qT N (d1 ) 0 q
pA XN(d2 ) Se( r q)T N (d1 )
ln(S / X ) (r q 2 / 2)T d1 T
d2 d1 T


7.1.3 外汇期权定价 根据风险中性定价原则，外汇预期收益率等于本币无风险 利率减去外币无风险利率。Garman和 Kohlhagen(1983) 以及Biger和Hull（1983）提出欧 式外汇期权定价模型。
c Se qT n(d1 )
E

2 T
qSe qT N (d1 ) rXe rT N (d 2 )

看涨期权的 值由三项组成。第一项表示期权的期限 越长，波动率会越大，期权的价值上升。第二项可正 可负，当标的资产派息时，第二项为负，期权的价值 下降。当标的资产需要支付持有成本时，第二项为正， 看涨期权的价值增加。第三项为正，表示时间越长执 行价格越小。

q pE
pE TSe qT N (d1 ) 0 q


看涨期权价值的变化与收益率的变化方向相反，也就 是说收益率越高，标的资产的现值越小，看涨期权的 价值越小。 看跌期权价值的变化与收益率的变化方向相同，也就 是说收益率越高，标的资产的现值越大，看跌期权的 价值越大。


7.2.6 波动率变化对期权价值的影响 波动率变化对期权价值的影响用 （Vega）表示。是 期权价值对标准差求一阶偏导数。
cE Se
r f T
N (d1 ) Xerd T N (d2 )
r f T
pE Xerd T N (d2 ) Se
N (d1 )

作者（2009）认为美式外汇期权定价模型为：
cA Se
( rd r f )T
N (d1 ) Xerd T N (d2 )
( rd r f )T
n(d1 ) 0.1561
E S T n(d1) 10 1 0.1561 1.561

（2）欧式外汇期权的 值
E Se
r f T
n(d1 ) T

（3）欧式期货期权的 值
E SerT n(d1 ) T



7.2.7 期限变化对期权价值的影响 期限变化对期权价值的影响用希腊字母 （Theta） 表示，是期权价值对期限的一阶偏导数，表示期权的 期限与期权价值关系曲线的斜率。单个期权的参数大 多数情况为负数，也就是说，越临近到期日，不确定 因素就越少，期权越不值钱。该参数又称时间衰变 （time decay）参数。 （1）派息率为 q 股票指数欧式看涨期权的 值

例题7-4 计算不派息股票欧式期权的 值 股票的当前价格为10元/股，执行价格为10元/股， 股票对数收益率的标准差为20%，期权的期限为1年， 无风险利率为2%。计算欧式期权的 值。 解：标的资产对数收益率的波动率每增加1%，看涨 和看跌期权的价值分别增加1.561%。
d1 化 希腊字母 (Delta)是期权的价值对标的资产求一阶 偏导数，表示期权的价值与标的资产价值关系曲线的 斜率。 Delta值越大，衍生证券价值的变化对标的资 产的变化越敏感。下面仅介绍派息股票欧式期权的 Delta值。 （1） 派息率为 q 股票（或股票指数）欧式期权的 Delta值 派息率为 q 股票指数欧式看涨期权的 值为： c c E E e qT N (d1 ) 0 S

例题7-2 计算不派息股票欧式期权的 值 股票的当前价格为10元/股，执行价格为10元/股， 股票对数收益率的标准差为20%，期权的期限为1年，
无风险利率为2%。计算欧式期权的 值。 解：股票价格每增加1元，参数 增加0.078。
d1 0.2 2 d1 1 2 n(d1 ) e 0.1561 2 n(d1 ) 0.1561 E 0.078 S T 10 0.2 1
pE TXe rT N (d 2 ) 0 r
r p
E

欧式看涨期权的Rho值大于零，看跌期权的 Rho值小于零。无风险利率增加，看涨期权的 价值增加，看跌期权的价值降低。


例题7-3 计算不派息股票欧式期权的 值 股票的当前价格为10元/股，执行价格为10元/股， 股票对数收益率的标准差为20%，期权的期限为1年， 无风险利率为2%。计算欧式期权的 值。 解：无风险利率每增加1%元，看涨期权的价值增加 5.10%。

例题7-5 计算不派息股票欧式期权的 值 股票的当前价格为10元/股，执行价格为10元/股， 股票对数收益率的标准差为20%，期权的期限为1年，
无风险利率为2%。计算欧式期权的 值。 解：当期权的期限增加1年时，看涨期权的价值增加 0.26元，看跌期权的价值增加0.15元。 d1 0.2 n(d1 ) 0.1561 d 2 0 N (d 2 ) 0.5
pE erT [ XN(d2 ) FN(d1 )]

作者（2008）认为美式期货期权定价模型为：
cA FN(d1 ) XN(d2 )
pA XN(d2 ) FN(d1 )

其中
ln(F / X ) ( 2 / 2)T d1 T
d2 d1 T


7.1.2 派息股票期权定价 对于派息率为 q 股票，股票的预期增长率为 q 。欧式 看涨和看跌期权用Merton(1973)定价模型.
cE SeqT N (d1 ) XerT N (d2 )

pE XerT N (d2 ) Se qT N (d1 ) 作者（2008）认为美式期权定价模型为： cA Se( r q )T N (d1 ) XN(d2 )
pE pE e qT N (d1 ) 0 S

其中：
N ( d1 )
2
1
d1

e
x2 2
dx



欧式看涨期权的Delta值大于零，表示标的资产价格越 大，欧式看涨期权的价值越大 欧式看跌期权的Delta值小于零，表示标的资产价格越 大，欧式看跌期权的价值越小。 如果标的资产价格增加1元，欧式看涨期权价格上涨 cE ，欧式看跌期权下跌 pE 元。 美式期权也有类似的性质。
E SeqT n(d1 ) T


根据看涨期权与看跌期权之间的平价关系，看涨期权 和看跌期权的 值相等。 期权的值为正，说明无论是看涨期权还是看跌期权， 波动率越大，期权的价值越大。因为标的资产的波动 越大，标的资产的到期价格上涨（或下降）越大，看 涨(或看跌)期权的价值越大。



（2） 外汇欧式期权的
E
e
rf T

值

n(d1 ) S T
（3）期货欧式期权的 值
e rT n(d1 ) E S T


7.2.4 利率变化对期权价值的影响 利率变化对期权价值的影响用 r（Rho）表示， 是期权价值对无风险利率求一阶偏导数。
cr
E